行列式的基本计算方法—第二章习题课材料

" a1n " a2n " # a nn
.用 Aij 表示元素 aij 的代数余子式，则
a 21 # a n1
⎧ d , 当k = i , a k 1 Ai1 + a k 2 Ai 2 + " + a kn Ain = ⎨ ⎩0 , 当k ≠ i . ⎧ d , 当l = j , a1l A1 j + a 2l A2 j + " + a nl Anj = ⎨ ⎩0 , 当l ≠ j .
λ -1
例 计算 -2
-2
λ -5 -6 例 计算 1 λ
-1
二、抽象行列式的基本类型 抽象行列式的计算虽然在原则上也是将其化为上三角形或下三角形行列式来计算， 但情 形较数字行列式复杂的多. 今介绍几种基本的抽象行列式的处理方法. 类型 1 大多数元素为零的行列式 对这类行列式，一般先按行（列）展开，再观察规律. 例 计算下列行列式
0 " 0 # # = 0 " 0 b11 " b1r # # br1 " brr c11 # ck 1 b11 " # br1 " a11 # ak 1 0 # 0 " " a1k # # " akk " c1k # " crk = ( −1)
kr
a11 " a1k # # ak 1 " akk
b11 "
1
用连加号简写为
∑
s =1
n
⎧ d , 当k = i , a ks Ais = ⎨ ⎩0 , 当k ≠ i ;
∑
s =1
n
⎧ d , 当l = j , a sl Asj = ⎨ ⎩0 , 当 l ≠ j .
事实 III (拉普拉斯定理) 设在 n 级行列式 D 中任意取定了 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )个行. 由这 k 行 元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D . 这种计算方式 也称为行列式按这 k 行展开. 特别地, 有
行列式的基本计算方法
行列式是高等代数学习中的重要工具, 其计算具有一定程度的技巧性. 今就行列式的基 本计算方法做一简要归纳. 先回顾行列式的一些基本事实. 事实 I 行列式具有以下性质（行列式中行具有的性质列也具有）:
性质 1
a11 a 21 # a n1
a12 a 22
" a1n " a2n
# # a n 2 " a nn
例 计算 n 级行列式
5
类型 5 若一个行列式的一行（列）中除一两个元素外，其余元素都相同；或其中一行（列） 的元素均为 xi - a 的形式，则先进行拆项，再做进一步处理。 例 计算 n 级行列式
例 计算 n 级行列式
例 计算 n 级行列式
例 计算 n 阶行列式
1 + x1 y1 1 + x1 y2 " 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 " 1 + x2 yn . # # # # 1 + xn y1 1 + xn y2 " 1 + xn yn
2
3
7
b1r
# # ， br1 " brr
" c1r # " ckr b1r # brr = a11 " a1k # # ak 1 " akk b11 " # br1 b1r
# ， " brr
" a1k # " akk " 0 # 0 = ( −1)
kr
a11 " a1k # # ak 1 " akk
b11 " # br1
5
3
−1
2 5 1 4 5
0 2 0 ，计算以下数值： 0 0
1 7 2 例 对行列式 d = 0 − 2 3 0 − 4 −1 0
(1) d . (2) A21 + A22 + A23 + A24 + A25 . (3) M 11 +M 12 +M 13 +M14 +M 15 . (4) A11 +A21 +A 31 + A41 + A51 . (5) 3 A21 +2A22 +A23 +A24 +A25 .
2
当中也要注意灵活运用行列式的性质来简化计算. 方法 1 用行列式性质将行列式化为上三角形行列式或下三角型行列式而计算(基本的方法). 方法 2 将行列式按某行或按某列展开(对某行或某列零较多的行列式效果好).
1 2 例 计算 1 4
1 1 2 3
1 1 1 -3 . 2 5 2 1
-2 -2 λ -1 -2 . -2 λ -1 3 -1 . -2 λ +1
β n.
β n +1 − α n +1 . β −α
β n 和 Dn − β Dn −1 = α n 便知 Dn =
β n 可知 Dn − β Dn −1 = α n . 依次类推可得
Dn = α n + α Dn −1 = α n + α (α n −1 + α Dn − 2 )=2α n + α 2 Dn −2 = " = ( n − 1)α n + α n +1 D1 = ( n + 1)α n = ( n + 1)α n .
例 计算下列行列式
类型 2：除去个别行（列）外，各行（列）的和是一个定值 这种行列式一般先把各行（列）加到某一固定行（列） ，提取公因子后, 再“打洞” 或按行（列）展开.
3
例 计算 n 级行列式
例 计算 n 级行列式
例 计算 n 级行列式
例 计算 n 级行列式
类型 3 箭头型行列式 此种行列式一般先利用行列式的性质将箭头的一边化为零而计算. 例 计算 n 级行列式
β ( Dn −1 − α Dn −2 ). 依次类推可知
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Dn − α Dn −1 = β n-2 ( D2 − α D1 ).
注意到 D2 =
a b = a 2 - bc, D1 = a, 有 Dn − α Dn −1 = β n . 由于在上述讨论中的 α , β 地位 c d
均等，我们对换 α , β 的位置便得到 Dn − β Dn −1 = （1）若 α , β 不相等，则据 Dn − α Dn −1 = （2）若 α =β， 则据 Dn − α Dn −1 =
类型 6 数学归纳法 例 计算 n 阶行列式
6
类型 7 利用范德蒙德行列式 (选做) 例 计算 n 阶行列式
例 计算 n 阶行列式
a1n n a2 Dn +1 = # n an +1
类型 8 加边法 (选做)
a1n - 1b1 " a1b1n - 1 b1n n- 1 a2 b2 " a2b2n - 1 b2n . # # # # n- 1 -1 an bnn+1 " an +1bnn+ +1 bn +1 1
a11 " # ak 1 " c11 " # cr1 " a11 " # ak 1 " 0 " # 0 " c11 " # ck 1 " b11 " # br1 " 0 " # 0 " # 0 # b11 " b1r br1 " b rr 0
a1k # akk c1k # crk a1k # akk 0 # 0 c1r # akr b1r # b rr a11 # ak 1 c11 # cr1
=
a11 a12 # a1n
a 21 " a n1 a 22 " a n 2 # # a 2 n " a nn
.
a11
性质 2
a12
"
a1n
a11
a12
" a1n # ain . # ann
# # # # kai1 kai 2 " kain = k ai1 # a n1 # an 2 " # ann # a n1
例 计算 n -1 阶行列式
2 n - 2 2 n - 1 - 2 " 23 - 2 2 2 - 2 3n - 3 3n - 1 - 3 " 33 - 3 32 - 3 Dn - 1 = . # # # # # n n - n n n - 1 - n " n3 - n n 2 - n
三、代数余子式的相关计算
an 2 "
性质 4 若行列式有两行相同，则行列式值为零. 性质 5 若行列式有两行成比例，则行列式值为零. 性质 6 把行列式一行的倍数加到另一行，行列式值不变. 性质 7 对换行列式两行的位置，行列式值改变符号. 事实 II 行列式按行(按列)展开公式:
a11
设d =
a12 a 22 # an2
# ai 2 " # an 2 "
a11 #
性质 3
a12 # # an 2
"
a1n # #
a11 # b1 # a n1
a12 # b2 #
" a1n # " bn + # ann
a11 # c1 # a n1
a12 " # c2 " # an 2 "
a1n # cn . # ann
b1 + c1 b2 + c2 " bn + cn = # a n1 " ann
4
例 计算 n 级行列式
类型 4 三对角行列式
a c 0 Dn = # 0 0
对行列式按第一列展开得递推公式
b a c # 0 0
0 b a # 0 0
" 0 0 0 " 0 0 0 " 0 0 0 . # # # " c a b " 0 c a
Dn = aDn - 1 - bcDn - 2 .
设 α + β = a, αβ = bc. 则有 Dn − α Dn −1 =
b1r
# ， " brr
a11 " a1k # # ak 1 " akk
b11 "
b1r
# # . br1 " brr
一、数字行列式的计算方法 数字行列式指的是行列式级数不太大，而其中元素大多数是具体的数字的行列式. 这 种行列式的计算主要有以下 2 种基本方式， 但具体计算时往往将 2 种方式结合起来用, 在这