福建省福州市八县(市)协作校2017-2018学年高二数学上学期期末联考试题理(含答案)

福建省福州市八县(市)协作校2017～2018学年上学期高二期末联考

数学试卷 理科

【完卷时间：120分钟 满分：150分】

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是无理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数

2．已知集合A ＝{}

0562

≤+-x x x ，B ＝{

}

3-=

x y x ，则A ∩B 等于( )

A ．[1,3]

B ．[1,5]

C ．[3,5]

D ．[1，＋∞)

3. 如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内

的概率是（ ） A ．

π4 B ．4π C ．4π4

- D ．π 4. “0

8

1x y -=的焦点坐标为（ ） A.（-

21，0） B ．（-4，0） C ．（0，-41

） D ．（0，-2） 6．设向量()()()1,1,5,,3,2--==+=→→→→c x b a a ，若→

→c b //，则实数x 的值为（ ）

A ．0 B.4 C.5 D.6 7. 已知4

1

log ,31log ,434

1

3

1===c b a ，则（ ） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．c a b >>

8．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积为( ) A ．9π B ．10π C ．11π D ．12π

9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()82,1L L =i p i 是上底面上其余的八个点，则()82,1L L =∙→

→

i AP AB i 的不同值的个数为

（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

10. 已知双曲线C :()0,0,122

22>>b a b

y a x =-的左焦点为F ，圆M 的圆心

在Y 轴正半轴，半径为a 2，若圆M 与双曲线的两条渐近线相切且直线M F 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线C 的离心率为（ ） A ．

2

5

B ．2

C ．332

D ．5

11. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900，点D 1和F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

12. 抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则

||

||

MN AB 的最大值为（ ）

A ．2

B C ．1 D

第Ⅱ卷 共90分

二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.

13．若实数x , y 满足⎪⎩

⎪

⎨⎧≥+≥+-≤-+0303320332y y x y x ，则y x z +=2的最小值为______．；

14. 已知命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>是真命题，则实数m 的取值范围为

15. 若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 轨迹方程为

16. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列给出四个命题：

(1)四边形ABC 1D 1的面积为→

→

1

BC AB (2)A 11与的夹角为60°；(3)0

)()4(;)(3)(11111211211111=-=++⋅D A B A C A B A B A D A AA ； 则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)

三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过演算步骤. 17．（本题满分10分）

设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，)0(>a ； 命题:q 实数x 满足()()023≥--x x

（1）若1a =，p q ∧为真命题，求x 的取值范围；

（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．

18．（本小题满分12分）

在ABC ∆中，角A ，B ，C

的对边分别为,,,2sin .a b c b c B A ==，且 (1)求cos B 的值；

(2)若2a ABC =∆，求的面积． 19．(本小题满分12分）

已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>

（Ⅰ）求双曲线C 的渐进线方程。

（Ⅱ）当1=a 时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值. 20．（本小题满分12分）

已知公差不为0的等差数列{}n a 的前三项和为6，且248,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=

，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使14

15

n S <的n 的最大值． 21．(本小题满分12分)

如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （1）求证：AB 1⊥平面A 1BD ；

（2）求锐二面角A －A 1D －B 的余弦值；

22．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右

焦点分别为21F F ，，右顶点为A ,上顶点为B ,若|||,||,|2AB OF OB 成等比数列，椭圆C 上的点到焦点2F 的最短距离为26-． （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）设T 为直线3-=x 上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点Q P 、，且0

1=⋅PQ TF ，求|

||

|1PQ TF 的最小值．