8高一数学第八讲期中复习

知识要点总结 一、集合

1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的表示法：列举法，描述法，图示法

2、集合间的关系：

子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ⊆

真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集，记

作A B ≠

⊂

集合相等：若：A B B A ⊆⊆且，则A B =

3、元素与集合的关系：属于：∈；不属于：∉；空集：φ

4、集合的运算：

交集：定义：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B

性质：,A A A A A B B A A B A A B B A B A B A ⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆⋂⊆⊆⇔⋂=，，，， 并集：定义：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为A B

性质：

A A A A A A

B B A A B A A B B A B A B B ⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=，，，，， 补集：定义：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集，记为U

C A

5、集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n

-个；

6、常用数集：自然数集：N 正整数集：*

N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R

二、函数

1、映射定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A 中的

任意一个元素x , 在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

3、函数的单调性

定义：对于定义域为D 的函数f （x ），若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2

①()()()()()12120f x f x f x f x f x <⇔-<⇔在D 上是增函数，D 是()f x 的递增区间；

高一数学讲义（64期）

第八讲 期中复习

传统定义：如果在某变化中有两个变量x ，y ，并且对于x 在 某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系f ， y 都有唯一确定的值和它对应。那么y 就是x 的函数。 记作()y f x =。 近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。

定义 函数的三要素：定义域；值域；对应法则

函数的表示方法：解析法；列表法；图像法 2、函数及其表示

②()()()()()12120f x f x f x f x f x >⇔->⇔在D 上是减函数，D 是()f x 的递减区间。 复合函数的单调性：同增异减

结论：①若()(),f x g x 均为某区间上的增（减）函数，则()()f x g x +在这个区间上也为增 （减）函数

②若为增（减）函数，则()f x -为减（增）函数

③奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 4、函数的最值

最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足；

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x ≤M ；

（2）存在0x I ∈，使得()0f x =M 。则称M 是函数()y f x =的最大值。

最小值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数N 满足；

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x ≥N ；

（2）存在0x I ∈，使得()0f x = N 。则称N 是函数()y f x =的最小值。

5、函数的奇偶性 定义：奇函数<=>()()f x f x -=-，偶函数<=>()()f x f x -=（注意：定义域关于原点对称） 性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；

（2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形；

（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

三、指数与指数函数

1、幂的运算法则： （1）m

n

m n

a a a

+= （2）m n m n

a a a

-÷= （3）()n

m mn

a a =

（4）()n n

n

ab a b =

（5） n

n n

a a

b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭

（6）()0

10a a =≠

（7）1

n

n a a

-=

（8）n

m

n

m

a a

（9）n m

m

n

a

a

-

=

2、根式的性质

（1

）

n

a =

（2）当n

a =； 当n

,0

||,0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩

3、指数函数定义：一般地把函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数。

4、指数函数(01)x y a a a =>≠且的性质：（见表1）

5、指数式与对数式的互化：log b

a N

b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>

四、对数与对数函数

1、对数的运算法则：

（1）a b = N <=> b = log a N

（2）log a 1 = 0

（3）log a a = 1

（4）a log a N

= N

（5）log a （MN ）= log a M + log a N （6）log a M N ⎛⎫

⎪⎝⎭

= log a M -log a N

（7）log a N b = b log a N

（8）换底公式：log a N =log log b b N

a