2 机动分析1-2
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第二章 平面体系的机动分析
3、平面体系的计算自由度（略）
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
7
8
1 2 3
4 7 8
5
6
1 2 3 4
（教材题2-15）
5
6
常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
1
2
8
9
刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
4
3
例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
4
3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
2
4
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1、三刚片规则 （基本规则）
三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰联，则组成的 体系是几何不变的，而且没有多余联系。 2、二元体规则 二元体：两根不在一直线上的链杆联结一个新结点的构造。 在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的几何 构造性质。 3、两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联（或用三根不 全平行也不交于同一点的链杆相联），则为几何不变体系，而 且没有多余联系。
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1 2 3 4
（教材题2-15）
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常变
例4（教材例2-1）：
1 2 3 4 5
解：
1、结点编号 2、列表分析
地基 杆件1-2
刚片一 杆件2-3
刚片二 杆件3-4
刚片三 杆件4-5
刚片四
3、结论 该体系为几何不变，且无多余联系。
14 13 15 16 8 9 6 4 1 2 10 11 12 7 5 13 8
14 15 16 9 6 4 1 2 10 11 12
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刚片5-9
刚片二
刚片三
3、结论
地基
该体系为几何不变，且无多余联系。
Байду номын сангаас
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例7：
解： 1、结点编号 2、列表分析
1 2 3
刚片1-2
地基
刚片一 +1-4-2 +1-3-2
刚片二
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3、结论
该体系为几何不变，且有两个多 余联系。
1
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结构力学-平面体系的机构分析二
几何不变体系--平衡方程有解
无多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)=0
静定结构 3m=2h+r
有多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)<0
超静定结构 3m<2h+r
例2--2：
分析： W==2j-(b+r)=2*18-(33+3)=0
14ຫໍສະໝຸດ 3625
6
例2--2：
解：此体系的支座链杆只有三根，且不全平行也不交于一点， 若体系本身为一刚片，则 它与地基是按两刚片规则组成的，因 此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。对 于体 系本身(图2-19b)，分析时可从左右两边均按结点1、2、3、…的 顺序拆去二元体，最后剩 下刚片9—10，但当拆到结点6时，即 发现二元体的两杆在一直线上，故知此体系是瞬变的。当 然， 也可以把中间的9-10 杆当作基本刚片，而按结点8、7、…的顺 序增加二元体，当加到结 点6时同样可发现二元体的两杆在一 直线上，故知为瞬变体系。
例2—3 试分析图2-20所示桁架的几何构造。
A
B
C
1
2
分析：可将左半分，右半部分，地基视为三个刚片1，2，3。 则1，2之间——铰C；1，3之间——虚铰A； 2，3之间——虚 铰B。 根据三刚片规则，此体系几何不变。
例：2—4试对图示体系进行机动分析。
解：首先，可按式(2—2)求其计算自由度： w＝2j-(b+r)＝2×6一(8十4)＝0 这表明体系具有几何不变所必需的最少联系数目。
2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图2-18所示多跨静定梁的几何构造。
解：地基为一刚片。观察各段梁与地基的联结情况，首先可看出， AB段梁与地基是用三根链杆按“两刚片规则”相联的；为几何不变。 这样，就可以把地基与AB段梁一起看成是一个扩大了的刚片。再看 BC段梁，它与上述扩大了的刚片之间又是用一铰一杆按刚片规则相 联的，于是这个“大刚片”就更扩大到包含BC段梁。同样，CD段梁 与上述大刚片又是按两刚片规则相联的，DE段梁亦可作同样分析。 因此，可知整个体系为几何不变、且无多余联系。
无多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)=0
静定结构 3m=2h+r
有多余约束的几何不变体系 W=3m-(2h+r)<0
超静定结构 3m<2h+r
例2--2：
分析： W==2j-(b+r)=2*18-(33+3)=0
14ຫໍສະໝຸດ 3625
6
例2--2：
解：此体系的支座链杆只有三根，且不全平行也不交于一点， 若体系本身为一刚片，则 它与地基是按两刚片规则组成的，因 此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。对 于体 系本身(图2-19b)，分析时可从左右两边均按结点1、2、3、…的 顺序拆去二元体，最后剩 下刚片9—10，但当拆到结点6时，即 发现二元体的两杆在一直线上，故知此体系是瞬变的。当 然， 也可以把中间的9-10 杆当作基本刚片，而按结点8、7、…的顺 序增加二元体，当加到结 点6时同样可发现二元体的两杆在一 直线上，故知为瞬变体系。
例2—3 试分析图2-20所示桁架的几何构造。
A
B
C
1
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分析：可将左半分，右半部分，地基视为三个刚片1，2，3。 则1，2之间——铰C；1，3之间——虚铰A； 2，3之间——虚 铰B。 根据三刚片规则，此体系几何不变。
例：2—4试对图示体系进行机动分析。
解：首先，可按式(2—2)求其计算自由度： w＝2j-(b+r)＝2×6一(8十4)＝0 这表明体系具有几何不变所必需的最少联系数目。
2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图2-18所示多跨静定梁的几何构造。
解：地基为一刚片。观察各段梁与地基的联结情况，首先可看出， AB段梁与地基是用三根链杆按“两刚片规则”相联的；为几何不变。 这样，就可以把地基与AB段梁一起看成是一个扩大了的刚片。再看 BC段梁，它与上述扩大了的刚片之间又是用一铰一杆按刚片规则相 联的，于是这个“大刚片”就更扩大到包含BC段梁。同样，CD段梁 与上述大刚片又是按两刚片规则相联的，DE段梁亦可作同样分析。 因此，可知整个体系为几何不变、且无多余联系。
建筑力学第二章平面体系的机动分析
两根链杆的约束作用可以等效为一个固定铰支座或一个单铰 两根链杆延长线的交点称为虚铰。
实铰
两根链杆延长 线组成的虚铰
两根链杆相交 组成的虚铰
无穷远处的虚 铰
一个简单铰=两根链杆
五、计算自由度
1、一个平面体系，通常由若干刚片彼此铰结并用支座与基础相联 W(计算自由度)=(各部件的自由度总数)-( 联系总数)
§ 2-3几何组成分析方法与举例
一、分析方法
1.从基础出发进行分析 即以基础为基本刚片，依次将某个部件(一个结点、一个刚片或两处 刚片)按基本组成方式联结在基本刚片上，形成逐渐扩大的基本刚片， 直至形成整个体系。
2.从内部刚片出发进行分析 首先在体系内部选择一个或几个刚片作为基本刚片，再将周围的部 件按基本组成方式进行联结，形成一个或几个扩大的刚片。最后， 将这些扩大的基本刚片与地基联结，从而形成整个体系
W = 3m-(3g+2h+b)
W = 3m-(2h+b)
m (member) ---刚片数（不包括地基） h (hinge) ---单铰数(只包括刚片与刚片之间相互连接所 用的铰，不包括刚片与支承链杆相连用的铰) b (rod) ---支座链杆数
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
讨论
2
有 几 个 单 铰 ？
2
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1 3
1 W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。 因为除去图中任意 一根杆，体系都将有 一个自由度，所以图 中所有的杆都是必要 的约束。
李廉锟版 结构力学 第二章 平面体系的机动分析 习题参考答案
结构力学习题参考答案第二章平面体系的机动分析复习思考题习题8. 图2-27所示体系因A、B、C三铰共线所以是瞬变的，这样分析正确否？为什么？解：【这道题对理解思路挺有帮助的。
】第一步：计算计算自由度WW=3m-(2h+r)=3×6-7×2=4>3 所以结构是常变体系。
第二步：分析几何构造性。
去二元体（I刚片和1杆），剩下部分是II、III刚片通过2根杆相连，是常变体系。
但是，为什么会得到如题中的结论呢？是因为2杆重复利用了，相当于在体系中多加了一根杆，增加一个联系，从而得出错误结论。
几何构造性分析，所有杆件不能重复、不能遗漏。
解:第一步：计算计算自由度WW=2j-(b+r)=2×10-(17+4)=-1,有一个多余联系。
第二步：分析几何构造性。
从上至下依次去二元体，最后发现有一根杆是多余的。
该体系是有一个多于联系的几何不变体系。
习题2-2 试对图示平面体系进行机动分析。
解:第一步：计算计算自由度WW=2j-(b+r)=2×14-(25+3)=0这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
第二步：分析几何构造性。
去掉二元体后如图所示，分别在三角形基础上依次增加二元体从而形成刚片I、II，此刚片I、II通过一铰和一根不通过此铰的杆相连，得到的体系是几何不变的，且没有多余联系。
解：第一步：计算计算自由度3(2)321(2303)0W m h r =−+=×−×+=或者2()212(213)0W j b r =−+=×−+= 这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
第二步：分析几何构造性此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
去掉M 和C 两个二元体。
在b 图中，KFL 刚片、ABF 刚片和GEJ 刚片通过不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）两两连接，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
《结构力学二》平时作业-2020年华南理工大学网络教育
解：正对称，取半结构
3、图示抛物线三铰拱的轴线方程为 ，试求截面K的内力。（第4章静定拱）
4、试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。（第5章静定平面桁架）
5、作图示结构的M图，并求链杆的轴力。（第5章静定平面桁架）
6、图示简支刚架支座B下沉b，试求C点水平位移。（第6章结构位移计算）
7、图示结构的支座B发生了水平位移 （向右）， （向下）， 。已知各杆的 ， 。试：（a）作M图；（b）求D点竖向位移及F点水平位移。（第7章力法）
《结构力学二》平时作业
2020年华南理工大学网络教育
1、试对图示平面体系进行机动分析。（第2章平面体系的机动分析）
刚片1与刚片2通过不共线三个铰相连，故为无多余约束的几何不变体系
1、试不计算反力而绘出梁的弯矩图。（第3章静定梁与静定刚架）
2、作图示结构的 图,并求a杆的轴力。q=20kN/m。（第3章静定梁与静定刚架）
8、用力法计算，并绘图示结构的M图。EI=常数。（第7章力法）
9、用力法计算图示结构，作其M图。EI=常数。（第7章力法）
10、用位移法计算图示结构，并作M图。EI=常数。（第8章位移法）
11、已知图示结构B点的转角 ，各杆EI=常数,作M图。P=8kN,q=12kN/m。（第8章位移法）
12、试用位移法计算刚架，绘制弯矩图。E=常数。（第8章位移法）
13、试用力矩分配法计算图示刚架，并绘制M图。E=常数。（第9章渐近法）
14、用力矩分配法计算并Байду номын сангаас图示结构M图。EI=常数。（第9章渐近法）
15、试作图示伸臂梁 影响线。（第11章影响线及其应用）
3、图示抛物线三铰拱的轴线方程为 ，试求截面K的内力。（第4章静定拱）
4、试用截面法计算图示桁架中指定杆件的内力。（第5章静定平面桁架）
5、作图示结构的M图，并求链杆的轴力。（第5章静定平面桁架）
6、图示简支刚架支座B下沉b，试求C点水平位移。（第6章结构位移计算）
7、图示结构的支座B发生了水平位移 （向右）， （向下）， 。已知各杆的 ， 。试：（a）作M图；（b）求D点竖向位移及F点水平位移。（第7章力法）
《结构力学二》平时作业
2020年华南理工大学网络教育
1、试对图示平面体系进行机动分析。（第2章平面体系的机动分析）
刚片1与刚片2通过不共线三个铰相连，故为无多余约束的几何不变体系
1、试不计算反力而绘出梁的弯矩图。（第3章静定梁与静定刚架）
2、作图示结构的 图,并求a杆的轴力。q=20kN/m。（第3章静定梁与静定刚架）
8、用力法计算，并绘图示结构的M图。EI=常数。（第7章力法）
9、用力法计算图示结构，作其M图。EI=常数。（第7章力法）
10、用位移法计算图示结构，并作M图。EI=常数。（第8章位移法）
11、已知图示结构B点的转角 ，各杆EI=常数,作M图。P=8kN,q=12kN/m。（第8章位移法）
12、试用位移法计算刚架，绘制弯矩图。E=常数。（第8章位移法）
13、试用力矩分配法计算图示刚架，并绘制M图。E=常数。（第9章渐近法）
14、用力矩分配法计算并Байду номын сангаас图示结构M图。EI=常数。（第9章渐近法）
15、试作图示伸臂梁 影响线。（第11章影响线及其应用）
李廉锟《结构力学》笔记和课后习题(含考研真题)详解-第2章 平面体系的机动分析【圣才出品】
相当于三刚片规则。同理，两刚片规则中链杆仍然可以看作一个刚片。因此三个基本组成
规则实质上只是同一个规则。
5．何谓瞬变体系？为什么土木工程中要避免采用瞬变和接近瞬变的体系？ 答：（1）瞬变体系的定义 瞬变体系是指经微小位移后由几何可变转化为几何不变的体系，瞬变体系是一种几何 可变体系。 （2）在土木工程的实际中，由于材料变形，瞬变体系一经受力即偏离原有位置，而 内力通常也很大，甚至可能导致体系的破坏。同时，瞬变体系的位移只是理论上为无穷小， 实际上在很小的荷载作用下也会产生很大的位移。因此，土木工程中要பைடு நூலகம்免采用瞬变和接
二、平面体系的计算自由度 ★★★★★ 1．自由度和约束（见表 2-1-2）
表 2-1-2 自由度和约束
2．平面体系的计算自由度（见表 2-1-3） 表 2-1-3 平面体系的计算自由度
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三、几何不变体系的基本组成规则（见表 2-1-4） ★★★★★ 表 2-1-4 几何不变体系的基本组成规则
9 / 37
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台
近瞬变的体系，以保证结构的安全和正常使用。
6．试小结机动分析的一般步骤和技巧。 答：（1）机动分析的一般步骤 ①一般先考察体系的计算自由度。如果 W＞0，已表明体系是几何可变的；如果 W≤0，进一步做组成分析。 ②运用几何组成的基本规则做几何组成分析。 （2）机动分析的一般技巧 ①对于较复杂的体系，宜先把能直接观察出的几何不变部分当作刚片。 ②以地基或刚片为基础按二元体或两刚片规则逐步扩大刚片范围。 ③拆除二元体使体系的组成简化，以便进一步用基本的组成规则去分析它们。
结构力学(第二章)
1）组装几何不变体系 （1）从基础出发进行组装 把基础作为一个刚片，然后运用各条规律把基础和其它构 件组装成一个不变体系。 例2-4： 搭上了5个
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
刚片1
二元体
第二章
例2-5： 1 2
平面体系的机动分析
刚片1 二元体
二元体
§2-2 几何不变体系的组成规律
3
二元体
地基作为刚片2
没有多余约束的几何不变体系
连接n个刚片的复铰，
相当于n-1个单铰。
还有5个自由度
第二章
（4）刚结点
平面体系的机动分析
一个刚结点能减 少三个自由度，相 当于三个约束。
用刚节点连接
还有3个自由度 相当于2个刚节点
连接n个刚片的刚结点？
第二章
平面体系的机动分析
=3m-(2h+r)=2j-(b+r)
第二章
平面体系的机动分析
第二章
规律1：一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三 个铰不在一条直线上，则组成几何不变体 系，并且没有多余约束。
第二章
平面体系的机动分析
§2-2 几何不变体系的组成规律
二元体 两根不在一条直线上的 链杆用一个铰连接后，称 为二元体。 规律1还可以这样叙述： 在一个体系上加上或去掉一个二元体，是不会
改变体系原来性质的。
第二章
（1）点的自由度
Y
平面体系的机动分析
x A
y
X
点在平面内的自由度为： 2
第二章
（2）刚片的自由度
平面体系的机动分析
刚片——就是几何尺寸和形状都不变的平面刚体
由于我们在讨论体系的几何构造时是不考虑材料变形的， 因此我们可以把一根梁、一根柱、一根链杆甚至体系中已被确定 为几何不变的部分看作是一个刚片。 Y
第2章体系的几何组成分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
一铰无穷远
几何不变体系
瞬变体系
可变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
两铰无穷远
几何不变体系
瞬变体系
可变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
无穷远元素的性质： 一组平行直线相交于同一个无穷远点； 三铰无穷远 方向不同的平行直线相交于不同的无穷远点； 平面上所有的无穷远点均在同一条直线上。
§2-5 机动分析示例
例2-3 试分析图所示桁架的几何构造。 解：ADCF和BECG都是几何 不变的部分，可作为刚片， 地基作为一个刚片。
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连，
刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概述 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 §2-4 瞬变体系 §2-5 机动分析示例 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 §2-7 几何构造与静定性的关系
§2-1 概述
一般结构必须是 几何不变体系
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。（图a） 几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。（图b）
分析图示体系的内力： 由平衡条件AC杆BC杆的轴力为：
F FN 2 sin
0 F
§2-4 瞬变体系
分析图示体系：
两刚片用三根交于同一点的链杆
相连，可绕交点O作相对转动， 但发生微小转动后，三根杆就不
再交于同一点，运动也就不再继
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
第二章平面体系的机动分析
例2-2-2 求图示体系的计算自由度。 解1： I 1 A II m＝2，h＝1， r＝2×2＋3＋1＝8 4
2
3
5
W＝3×2－2－8＝－4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。 解：
A 1
B 5 7 E 10
j 5 b 10 W 2 5 10 0
2 3 4 8 C 9 6 D
例2-1
I
1 解： 2 3 II（基础）
4
D 5
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。
刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4， 组成大刚片I；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合规 律1。故体系为几何不变且无多余约束。
2）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图 b)。 o D A III B I 4 1 2 3 解： b） II（基础） 刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、 III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、 B、o不共线，符合规律3，组成大刚片 I。
例1： I I
II 无多余约束的 几何不变体系
II
瞬变体系
无多余约束的 几何不变体系
有一个多余约束 的几何不变体系
例2：
无多余约束的几何不变体系
无多余约束的 几何不变体系
技巧 1： 对于与地面有着简单联系的体系，可以直接取体系内部出 来，对其进行几何构造分析。
例3：
几何可变体系
例4：
有3个多余约束的
此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。 2. 正确区分静定结构与超静定结构。 以选择不同的计算方法
基本概念
杆件体系：不考虑材料变形，几何形状与位置 保持不变的体系为几何不变体系 发生可变的体系为几何可变体系 结构—几何不变体系 机动分析：判别体系是否为几何不变体系的分析 刚片——杆件或几何不变部分（忽略材料变形） 联系（约束）——其余链杆、结点和支座
《结构力学》第二章 平面体系的机动分析
常变体系
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
§2-5 机动分析示例
加、减二元体
无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找找虚虚铰铰 无无多多几几何何不不变变
§2-5 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何 不变。
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
s=3
3.体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b)
m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰结的杆 件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
在一个体系上增加 或拆除二元体，不 改变原体系的几何 构造性质。
加二元体组成结构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何不变 体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 于同一点的链杆 相联，组成无多 余联系的几何不 变体系。在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组成 一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
李廉锟《结构力学》(第6版)章节题库-第一章至第三章【圣才出品】
第2部分章节题库第1章绪论一、简答题1．什么是结构的计算简图？为什么要将实际结构简化为计算简图？答：（1）计算简图的定义在进行结构的力学分析时，常用一个简化的图形代替实际结构，这个简化的图形称为结构的计算简图。
（2）将实际结构简化为计算简图的原因因为结构的实际工作状况是非常复杂的，要严格按照实际情况进行力学分析是不可能的，也是不必要的。
因此，计算前要将实际结构进行简化，保留实际结构的主要受力和变形性能，略去次要因素便于计算，成为计算简图。
实际结构的分析是在结构的计算简图中进行的。
2．计算简图的选择原则是什么？答：计算简图的选择原则：（1）能反映结构的主要受力和变形性能。
必须从实际结构的材料、构造及连接方式出发，由它们对杆件可能提供的约束，来反映实际结构的主要受力和变形特征，使计算结果与实际结构情况足够接近。
（2）略去细节，便于计算。
略去实际结构的次要因素（次要连接和内力），尽量简化，便于计算。
3．为什么有些框架结点可简化为刚结点，而有些只能简化为铰结点？答：（1）有些框架结点可简化为刚结点的原因有些框架结点连接的各杆间无相对移动和转动，同时，结点能承受和传递力矩，故可简化为刚结点，例如钢筋混凝土现浇框架结点为整体浇注在一起。
（2）有些框架结点只能简化为铰结点有些框架结点限制彼此间的相对线位移，但对转动的抵抗能力较弱，常忽略对转动的限制作用，而视为可相互转动，故只能视为铰结点，例如厂房排架柱柱顶与屋架端结点。
二、分析计算题1．作出如图1-1所示的某实验室拱式屋架的计算简图。
图1-1解：拱式屋架的计算简图如图1-2所示。
图1-2拱式屋架的计算简图2．作出如图1-3所示的某公路钢筋混凝土桥的计算简图。
图1-3钢筋混凝土公路桥解：钢筋混凝土公路桥的计算简图如图1-4所示。
图1-4钢筋混凝土公路桥的计算简图第2章平面体系的机动分析一、填空题1．如图2-1所示体系计算自由度W为______，是______多余约束的几何______体系。
结构力学第2章 平面体系机动分析
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后，只剩基础。故该体系为 无多余约束的几何不变体系。
2 如上部体系与基础的联结符合两刚片原则，可去掉基础， 只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两刚片用两平行 杆相连，几何可变。
3 当杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆 形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
几何组成分析小结
机动分析先化简 依次拆除二元体 确认刚片是关键 等效代换灵活用
撤去基础三支杆 再为组成找条件 增加两元再扩展 按照规则连成片
§2-6 几何构造与静定性的关系
F FAx
FAy
如何求支 座反力?
静定结构
FB
无多余 联系几何
不变
F FAx
FAy
FC
FB
能否求全 部反力?
超静定结构
有多余 联系几何 不变。
刚片：不计材料变形，将杆件或已知是几何不变的部 分看作刚片，注意：不是“钢片”。
可表示为：
刚片(rigid plate)——平面刚体。
内部是稳定的,几何形状和位置不发生任何改变。（梁、柱、杆、 几何不变体、基础）
形状可任意替换
§2-2 平面体系的计算自由度
1.自由度--确定物体位置所需的独立坐标数目
虽然 W=0, 但其上部有多余联系， 而下部又缺少联系，仍为几何可变。
小结
W>0, 缺少足够约束，体系几何可变。
W=0, 具备成为几何不变体系所需的最少约束 的数目。必要非充分条件
W<0， 体系具有多余联系
W> 0 W< 0
体系几何可变
体系几何不变 ？
§2-3 几何不变体系的组成规则
平面杆系机动分析的方法
平面杆系机动分析的方法近年来，机械结构分析技术取得了巨大的进步，从传统的参数化技术转变为基于计算机的杆系模拟与机动分析。
这在很大程度上改变了传统的机械设计方法，并增强了机械分析的准确性与可靠性，而平面杆系机动分析是最常用的一种分析方法。
在本文中，我们将深入讨论平面杆系机动分析的概念、原理、应用以及其他相关内容。
首先，让我们看一下平面杆系机动分析的概念。
平面杆系机动分析是一种以二维形式构建的杆系分析技术，它可以提供有关机械结构的准确分析结果，通过该分析可以得出结构的综合性能在某一特定的荷载和变形情况下的表现。
例如，该分析可以用于计算结构的受力状态、变形量、以及应力分布情况等。
平面杆系机动分析的基本原理非常简单。
通常，它是以一系列有限的拉格朗日方程式（FEM）来确定结构的响应行为的。
这些方程式的求解过程可以根据不同的分析方法，例如有限元法或者有限差分法，来实现。
一旦这些方程式被求解，就可以计算出结构的受力状态、变形量以及应力分布情况等。
另外，平面杆系机动分析还可以用于计算不同类型的机械结构，包括机械设备、汽车、船舶桥梁等。
它还可以被应用于研究各种结构在抗风、抗震、动态响应等方面的性能情况。
最后，为了保证分析的准确性，需要将定义的各个节点的参数与实际的机械结构状态进行比较，以确保结构计算的结果与实际状态的相符合。
而平面杆系机动分析也可以利用不同的拉格朗日方程式，进行更为详细的模拟，以处理复杂的机械结构。
因此，平面杆系机动分析在机械结构分析技术中扮演着重要的角色，通过引入计算机模拟技术，大大提高了机械结构分析的准确性与可靠性。
而随着计算机技术的发展，我们也期待有更多的研究可以持续改进该分析方法，提供更加准确可靠的机械结构分析，为机械行业的发展带来更多的福音。
机动分析
一个单铰相当于两个链杆。
y
x
φ
x
x,ϕ
y x y
II
ϕ2 I ϕ1
x, y,ϕ1,ϕ2
x
刚片、自由度、 二、 刚片、自由度、约束
虚铰：两个链杆构成一个单铰。 铰心在两链杆轴线汇交点。 复铰 ：与三个或三个以上刚片连 结的铰称为复饺。
A A
若连结的刚片数为m，则该复杂铰 相当于(m-1)个单铰，故其提供的 约束数为2(m-1)个。
一、 几何构造分析的基本概念
几何可变体系—若不考虑材料的应变， 体系的位置和形状是可以改变的。 常变体系 几何可变体系 瞬变体系
常变体系
A
B
C
常变体系——可以发生大位移的几何可 变体系 瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后 又成为几何不变的体系 几何可变体系不能作为结构来使用。
o
B1
瞬变体系
刚片、自由度、 二、 刚片、自由度、约束
II
C
A
III（基础）
6
1、刚片：由于不考虑材料的应变 刚片： ，可以把一根梁、一根链杆或一个 几个不变部分作为一个刚体，在几 何构造分析中称为刚片。 自由度： 2. 自由度：体系在平面内运动时 ，可以独立变化的几何参数的数 目称为自由度。 1）一个结点在平面内有两个自由 度，因为确定该结点在平面内的位 置需要两个独立的几何参数x、y。 2）一个刚片在平面内有三个自由 度，因为确定该刚片在平面内的 位置需要三个独立的几何参数x、 y、φ。
I 1 2 3 II（基础） 4
D 5
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。 刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合两刚片 规则，组成I′ 大刚片 ；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合二 ′ 元体规则。故体系为几何不变且无多余约束。
y
x
φ
x
x,ϕ
y x y
II
ϕ2 I ϕ1
x, y,ϕ1,ϕ2
x
刚片、自由度、 二、 刚片、自由度、约束
虚铰：两个链杆构成一个单铰。 铰心在两链杆轴线汇交点。 复铰 ：与三个或三个以上刚片连 结的铰称为复饺。
A A
若连结的刚片数为m，则该复杂铰 相当于(m-1)个单铰，故其提供的 约束数为2(m-1)个。
一、 几何构造分析的基本概念
几何可变体系—若不考虑材料的应变， 体系的位置和形状是可以改变的。 常变体系 几何可变体系 瞬变体系
常变体系
A
B
C
常变体系——可以发生大位移的几何可 变体系 瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后 又成为几何不变的体系 几何可变体系不能作为结构来使用。
o
B1
瞬变体系
刚片、自由度、 二、 刚片、自由度、约束
II
C
A
III（基础）
6
1、刚片：由于不考虑材料的应变 刚片： ，可以把一根梁、一根链杆或一个 几个不变部分作为一个刚体，在几 何构造分析中称为刚片。 自由度： 2. 自由度：体系在平面内运动时 ，可以独立变化的几何参数的数 目称为自由度。 1）一个结点在平面内有两个自由 度，因为确定该结点在平面内的位 置需要两个独立的几何参数x、y。 2）一个刚片在平面内有三个自由 度，因为确定该刚片在平面内的 位置需要三个独立的几何参数x、 y、φ。
I 1 2 3 II（基础） 4
D 5
1）被约束对象：刚片I, II及结点D。 刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合两刚片 规则，组成I′ 大刚片 ；
大刚片 I、结点D用链杆4、5相连，符合二 ′ 元体规则。故体系为几何不变且无多余约束。
2 机动分析 5
11
解题步骤
1. 去掉支座链杆，只分析体系内部； 2. 去掉二元体 ； 该体系为几何不变体系，且无多余联系。
12
结
• 加深对“二元体”的理解。
13
例10
1 Ⅱ
A
3 Ⅰ
2
链杆1、2、3均虚交于A点，几何可变体系（瞬变体 系）。
14
且无多余联系。
7
例6
A
Ⅱ
满足两刚片 规则，几何 不变体系， 无多余联系 。
Ⅰ
8
例7
B Ⅱ Ⅰ A A Ⅲ
Ⅱ
??? B
∞
三铰共线，几何可变体系（瞬变体系）
9
例8
A B Ⅱ C Ⅲ Ⅰ
A、B、C 三个单铰不在同一直线上。满足三刚 片规则，几何不变体系，无多余联系。
10
例9
对如下体系进行几何组成构造分析。
2-5 机动分析示例
一、常用的几何组成构造分析方法： 1. 扩大刚片法： 从地基出发扩大刚片； 从刚片内部出发扩大刚片
2. 去掉二元体
3. 整个体系与地基之间: 三链杆相连 去掉支座链杆，只分析体系内部
超过三根链杆相连
地基必为一个刚片。
4. 等效代换法 5. 两端各有一个刚片 6. 刚片尽量分散选择
1
例1
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ Ⅳ
几何不变体系，无多余联系
1. 以地基为基础，重复使用两刚片规则，逐步扩大刚 片范围。 2.逐次拆除二元体使体系的组成简化，以便进一步用 基本组成规则去分析它们。
2
例2
B A
Ⅱ
C
铰A、B、C 不共线
满足三刚片 规则 几何不变体 系，无多余 联系
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虽然如此，在分析体系是否几何不变时，还是可 以根据W首先判断联系的数目是否足够。 为此，把W称为体系的计算自由度。
12
任何平面体系的计算自由度，按式（2-1） 或（2-2）计算的结果，将有以下三种情况： （1）W＞0，表明体系缺少足够的联系，因此 肯定是几何可变的。 （2）W＝0，表明体系具有成为几何不变所必 需的最少联系数目。 （3）W＜0，表明体系具有多余联系。
3.刚片
在机动分析中，由于不考虑材料变形，因此可以
把一根杆件或已知是几何不变的部分看作是一个刚
体，在平面体系中又将刚体称为刚片。
4
2-2 平面体系的计算自由度
4.自由度：是指物体运动时可独立变化的几何 参数的数目，也就是确定物体位置所需的独立 坐标数目。
例：一个点在平面内自由运动
其位置需用两个坐标 x、y 来确定。
在平面内一个点自由度等于2
5
在平面内两个点自由度 等于4 在平面内三个点自由度 等于6 由此可知,设平面内有 j 个点，则总的自 由度为（记为W）：
W＝2j
6
一个刚片在平面内自由运动时，其位置需用 三个坐标X、Y、θ来确定。
x y
θ
在平面内一个刚片自 由度等于3
由此可知,设平面内有 m 个刚片，则总的 自由度为（记为W）：
r＝３
W=3×４－（２×４)－３＝１
16
一个几何不变体系必须满足： W≤0 必须指出，一个体系满足了W≤0（或只就体系本身 W≤3）的条件，不一定就是几何不变的。因为尽管体 系总的联系数目足够甚至还有多余，但若布置不当， 则仍可能是几何可变的。
17
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰。
一个单铰＝两个联系（约束）
9
在平面内三个刚片自由度 等于9 加入一个复铰后自由度等 于5，减少了4个自由度
复铰：联结两个以上刚片
的铰称为复铰。
联结三个刚片的复铰= 两个单铰 联结n个刚片的复铰＝(n－1)个单铰
10
6.多余联系：在体系中加入一个联系，而并
不能减少体系的自由度，这样的联系称为多 余联系。
W = 3m－ 2h－r = 3×9－2×12－3
W = 2j－ b－r 铰结链杆体系计算自由度： = 2× 6 － 9 － 3 W = 2j － b －r （2-2） =0 j－结点数；b－杆件数；r－支座数
15
几何可变
几何不变
=0
W>0，表明体系缺少足够的联系， 因此肯定是几何可变的。
例3
m＝４ h＝４
自由度＝0
自由度＝0
多余联系对于保持体系的几何不变性来说是 不必要的（但对于改善结构的受力等方面是 需要的）。
11
7.平面体系的计算自由度：
计算自由度=自由度总数-加入的约束总数 W = 3m － (2h + r ) (2-1) m－刚片数；h－单铰数； r－支座数 实际上每个联系不一定都能使体系减少一个自由 度，这还与体系中是否具有多余联系有关。因此，W 不一定能反映体系真实的自由度。
13
例1
W=0，体系具有成为几何不变体系 所必需的最少联系的数目。
体系的刚片数：m = 8 单铰数共为：h =10 总的支座链杆数：r = 4 W = 3m－ (2h+r) = 3×8 －(2×10+4) = 0
１ １ １ １ １２14 Nhomakorabea２
例2
W=0，体系具有称成为几何不变体系所必需的 最少联系的数目，但不能直接判断体系 是否几何不变。 刚片数：m = 9 单铰数：h = 12 支座链杆数：r = 3
第二章 平面体系的机动分析
(几何构造分析)
1
2-1 概述
一、概念
1.受到任意荷载作用时， 若不考虑材料的变形，体 系的几何形状和位置均能 保持不变。例如： 2.即使不考虑材料的变 形，在很小的荷载作用 下，体系的几何形状和 位置也会发生改变。例 如：
几何不变体系
2
几何可变体系
几何可变体系—示例
3
W＝3m
7
5.约束：减少自由度的装置，也称为联系。
一个联系:能减少一个自由度的装置。 常用的联系有链杆和铰。
在平面内两个点的自 由度等于4 加入一根链杆后自 由度等于3, 减少 了一个自由度
一根链杆＝一个联系（约束）
8
在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了二个自 由度。
12
任何平面体系的计算自由度，按式（2-1） 或（2-2）计算的结果，将有以下三种情况： （1）W＞0，表明体系缺少足够的联系，因此 肯定是几何可变的。 （2）W＝0，表明体系具有成为几何不变所必 需的最少联系数目。 （3）W＜0，表明体系具有多余联系。
3.刚片
在机动分析中，由于不考虑材料变形，因此可以
把一根杆件或已知是几何不变的部分看作是一个刚
体，在平面体系中又将刚体称为刚片。
4
2-2 平面体系的计算自由度
4.自由度：是指物体运动时可独立变化的几何 参数的数目，也就是确定物体位置所需的独立 坐标数目。
例：一个点在平面内自由运动
其位置需用两个坐标 x、y 来确定。
在平面内一个点自由度等于2
5
在平面内两个点自由度 等于4 在平面内三个点自由度 等于6 由此可知,设平面内有 j 个点，则总的自 由度为（记为W）：
W＝2j
6
一个刚片在平面内自由运动时，其位置需用 三个坐标X、Y、θ来确定。
x y
θ
在平面内一个刚片自 由度等于3
由此可知,设平面内有 m 个刚片，则总的 自由度为（记为W）：
r＝３
W=3×４－（２×４)－３＝１
16
一个几何不变体系必须满足： W≤0 必须指出，一个体系满足了W≤0（或只就体系本身 W≤3）的条件，不一定就是几何不变的。因为尽管体 系总的联系数目足够甚至还有多余，但若布置不当， 则仍可能是几何可变的。
17
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰。
一个单铰＝两个联系（约束）
9
在平面内三个刚片自由度 等于9 加入一个复铰后自由度等 于5，减少了4个自由度
复铰：联结两个以上刚片
的铰称为复铰。
联结三个刚片的复铰= 两个单铰 联结n个刚片的复铰＝(n－1)个单铰
10
6.多余联系：在体系中加入一个联系，而并
不能减少体系的自由度，这样的联系称为多 余联系。
W = 3m－ 2h－r = 3×9－2×12－3
W = 2j－ b－r 铰结链杆体系计算自由度： = 2× 6 － 9 － 3 W = 2j － b －r （2-2） =0 j－结点数；b－杆件数；r－支座数
15
几何可变
几何不变
=0
W>0，表明体系缺少足够的联系， 因此肯定是几何可变的。
例3
m＝４ h＝４
自由度＝0
自由度＝0
多余联系对于保持体系的几何不变性来说是 不必要的（但对于改善结构的受力等方面是 需要的）。
11
7.平面体系的计算自由度：
计算自由度=自由度总数-加入的约束总数 W = 3m － (2h + r ) (2-1) m－刚片数；h－单铰数； r－支座数 实际上每个联系不一定都能使体系减少一个自由 度，这还与体系中是否具有多余联系有关。因此，W 不一定能反映体系真实的自由度。
13
例1
W=0，体系具有成为几何不变体系 所必需的最少联系的数目。
体系的刚片数：m = 8 单铰数共为：h =10 总的支座链杆数：r = 4 W = 3m－ (2h+r) = 3×8 －(2×10+4) = 0
１ １ １ １ １２14 Nhomakorabea２
例2
W=0，体系具有称成为几何不变体系所必需的 最少联系的数目，但不能直接判断体系 是否几何不变。 刚片数：m = 9 单铰数：h = 12 支座链杆数：r = 3
第二章 平面体系的机动分析
(几何构造分析)
1
2-1 概述
一、概念
1.受到任意荷载作用时， 若不考虑材料的变形，体 系的几何形状和位置均能 保持不变。例如： 2.即使不考虑材料的变 形，在很小的荷载作用 下，体系的几何形状和 位置也会发生改变。例 如：
几何不变体系
2
几何可变体系
几何可变体系—示例
3
W＝3m
7
5.约束：减少自由度的装置，也称为联系。
一个联系:能减少一个自由度的装置。 常用的联系有链杆和铰。
在平面内两个点的自 由度等于4 加入一根链杆后自 由度等于3, 减少 了一个自由度
一根链杆＝一个联系（约束）
8
在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了二个自 由度。