高三数学一轮复习课时作业 (23)正弦定理和余弦定理A 文 新人教B版
2021年高考数学专题复习 第23讲 正弦定理和余弦定理练习 新人教A版
2021年高考数学专题复习第23讲正弦定理和余弦定理练习新人教A版[考情展望] 1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力．一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc·cos_A，b2＝c2＋a2－2ca·cos_B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C．变形形式①a＝2R sin_A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；②a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；③a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ca；cos C＝a2＋b2－c22ab.解决问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角二、三角形常用面积公式1．S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；2．S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .3．S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A 、B 、C ≠π2)．1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63B.223C ．－63D ．－223【解析】 由正弦定理，得sin B ＝b ·sin A a ＝33. ∵a ＞b ，A ＝60°，∴B ＜60°，cos B ＝1－sin 2B ＝63. 【答案】 A2．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定【解析】∵b sin A＝24sin 45°＝122＜18，∴b sin A＜a＜b，故此三角形有两解．【答案】 B3．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝( )A．2 B．4＋2 3C．4－2 3 D.6－ 2【解析】在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos 30°＝4.∴b＝2.【答案】 A4．△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．【解析】由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos 120°，即49＝25＋BC2＋5BC，解得BC＝3.故S△ABC＝12AB·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.【答案】153 45．(xx·湖南高考)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2a sin B＝3 b，则角A等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】在△ABC中，a＝2R sin A，b＝2R sin B(R为△ABC的外接圆半径)．∵2a sin B＝3b，∴2sin A sin B＝3sin B.∴sin A＝32.又△ABC为锐角三角形，∴A＝π3.【答案】 D6．(xx·陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】∵b cos C＋c cos B＝b ·b 2＋a 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ac＝b 2＋a 2－c 2＋c 2＋a 2－b 22a＝2a22a＝a ＝a sin A ，∴sin A ＝1. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π2，即△ABC 是直角三角形．【答案】 B考向一 [065] 利用正、余弦定理解三角形(xx·临沂模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【思路点拨】 (1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解． (2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解． 【尝试解答】 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.规律方法1 1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练 (1)△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a 的值( )A.32B.33C.22D ．1(2)已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则cos C 等于( ) A.14 B ．－14C.13D ．－13(3)(xx·南昌模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30° B．60° C．120° D．150°【解析】 (1)法一 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋1－2a cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，∴(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1.法二 由正弦定理b sin B ＝csin C得sin B ＝b sin Cc ＝12. ∵b ＜c ，∴B ＜C ，∴B ＝π6.又A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝π－B －C ＝π6，∴a ＝b ＝1.(2)由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4可知a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3x ，b ＝2x ，c ＝4x ， 则cos C ＝9x 2＋4x 2－16x22·3x ·2x＝－14.(3)由sin C ＝23sin B 可知c ＝23b . 又a 2－b 2＝3bc ，∴a ＝7b .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32.∴A ＝30°.【答案】 (1)D (2)B (3)A考向二 [066] 利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(xx·吉林模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．【思路点拨】 求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边． 【尝试解答】 法一(化边为角)：∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )， ∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B . ∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴sin 2A ＝sin 2B ， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 法二(化角为边)： 同法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋b 2－b 22ac∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 规律方法2 判定三角形形状的两种常用途径 1通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.2利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响.对点训练 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 【解】 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0＜A ＜π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sinB ＋sinC )2－sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈(0，π2)，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．考向三 [067] 与三角形面积有关的问题(xx·浙江高考)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且2a sin B ＝3b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积【思路点拨】 (1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A ，进而求出A ；(2)利用余弦定理求出bc ，再用面积公式求面积．【尝试解答】 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理asin A ＝b sin B ， 得sin A ＝32. 因为A 是锐角，所以A ＝π3.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又b ＋c ＝8，所以bc ＝283.由三角形面积公式S ＝12bc sin A ，得△ABC 的面积为12×283×32＝733.规律方法3 1.本例2在求解中通过,“b 2＋c 2－bc ＝b ＋c2－3bc ”实现了“b＋c ”与“bc ”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练 (xx·湖北高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0. 解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又b ＝5，所以c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝21. 又由正弦定理，得sin B sin C ＝ba sin A ·c a sin A ＝bc a 2·sin 2A ＝2021×34＝57.规范解答之六 正、余弦定理在解三角形中的巧用 ———— [1个示范例] ———— [1个规范练] ————(12分)(xx·课标全国卷Ⅰ)如图3－7－1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.图3－7－1(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【规范解答】 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.2分 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.4分故PA ＝72.6分 (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.7分 在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150° ＝sin αsin 30°－α，9分化简得3cos α＝4sin α，11分 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.12分 【名师寄语】 1熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类问题的关键.2学会用“执果索因”的方式把待求的边角化归到一个三角形中，应用两定理求解.如图3－7－2，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．图3－7－2【解】 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.37235 9173 酳39106 98C2 飂k31069 795D 祝36511 8E9F 躟N27943 6D27 洧29283 7263 牣20437 4FD5 俕35534 8ACE 諎 27497 6B69 歩Ky32046 7D2E 紮。
21新高考数学B人教A一轮复习课时规范练23正弦定理和余弦定理 含解析
课时规范练23 正弦定理和余弦定理基础巩固组1.(2019河北枣强中学期末)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若b=3,c=2,cos A=13,则a=( ) A.5B.√7C.4D.32.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2019吉林白山期末)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c=2b sin C ,B ≤π2,则B=( ) A.πB.πC.πD.π4.(2019陕西渭南质量检测)在△ABC 中,AC=√7,BC=2,B=60°,则BC 边上的中线AD 的长为( ) A.1B.√3C.2D.√75.(2019吉林吉林市普通中学调研)△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a sin A-c sin C=(a-b )sin B ,c=4,则△ABC 面积的最大值为( ) A.2√3B.4C.4√3D.8√36.(2019福建漳州二模)在△ABC 中,a=2,∠C=π4,tan B2=12,则△ABC 的面积等于 .7.若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;c a的取值范围是 .8.(2019广东茂名一模)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题,今年超强台风“山竹”登陆时再现了这一现象(如图所示),不少大树被大风折断.某路边树干被台风吹断后(没有完全断开),树干与地面成75°角,折断部分与地面成45°角,树干底部与树尖着地处相距10米,则大树原来的高度是米.(结果保留根号)9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB边上的高为h,若c=2h,则a+b的取值范围是.10.(2019广东省韶关一模)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且√3b cos A=sin A(a cos C+c cosA).(1)求角A的大小;,求△ABC的周长.(2)若a=2√3,△ABC的面积为5√34综合提升组11.(2019河北石家庄模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2-2a(sin B+√3cosB)+4=0,b=2√7,则△ABC的面积为()A.√2B.2√2C.√3D.2√312.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(a cos B+b cos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为(),2] D.(1,2]A.(0,2)B.[1,2)C.[1213.(2019湖南湘西州期末)如图所示,为了测量某一隧道两侧A,B两地间的距离,某同学首先选定了不在直线AB上的一点C(△ABC中∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c),然后确定测量方案并测出相关数据,进行计算.现给出如下四种测量方案;①测量∠A,∠C,b;②测量∠A,∠B,∠C;③测量a,b,∠C;④测量∠A,∠B,a,则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为()A.①③B.①③④C.②③④D.①②④14.如图,在△ABC中,∠B=π,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4√10,∠CED=π.(1)求CE的长;(2)若CD=5,求cos∠DAB的值.创新应用组15.(2019河北衡水十三中质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(a cos,则△ABC的周长的取值范围为()B+b cos A)=abc,若△ABC的外接圆半径为2√33A.(2,4]B.(4,6]C.(4,6)D.(2,6]16.(2019江西高安期末)某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为5√6米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为50秒,要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为( )(米/秒)A.110 B.310 C.12 D.710参考答案课时规范练23 正弦定理和余弦定理1.D 由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=9+4-2×3×2×13=9,解得a=3,故选D .2.D ∵a cos A=b cos B ,∴sin A cos A=sin B cos B ,∴sin 2A=sin 2B ,∴A=B ,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D .3.A 因为c=2b sin C ,所以sin C=2sin B sin C , 所以sin B=12,则B=π6或5π6.因为B≤π2,所以B=π6,故选A.4.D由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B,即AB2-2AB-3=0.∴AB=3.在△ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD cos B=7, ∴AD=√7.故选D.5.C∵a sin A-c sin C=(a-b)sin B,由正弦定理asinA =bsinB=csinC,得a2=(a-b)b+c2,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=12,结合0<C<π,得C=π3.∵c=4,∴由余弦定理可得16=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b等号成立,∴S△ABC=12ab sin C≤12×16×√32=4√3,即△ABC面积的最大值为4√3.故选C.6.8 7由tan B=2tan B21-tan2B2=2×121-14=43.∵sin2B+cos2B=1,∴sin B=45,cos B=35,∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√22×45+√22×35=7√210,由正弦定理可得a=b,∴b=2×457√210=8√27,∴S△ABC=12ab sin C=12×2×8√27×√22=87.7.π3(2,+∞)由题意,得S△ABC=√34(a2+c2-b2)=12ac sin B,即√3(a2+c2-b2)2ac=sin B,∴√3cosB=sin B,∴tan B=√3.∴B=π3.∴A+C=2π3,C=2π3-A>π2,∴0<A<π6.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin(2π3-A)sinA=sin2π3cosA-cos2π3sinAsinA=√3 2tanA +1 2.∵0<A<π6,∴tan A∈(0,√33).∴c a >√32×33+12,即ca∈(2,+∞).8.5√2+5√6设树根部为O,折断处为A,树梢为B,则∠AOB=75°,∠ABO=45°,所以∠OAB=60°,OB=10.由正弦定理知AOsin45°=ABsin75°=10sin60°,所以OA=10√63(米),AB=15√2+5√63(米),故OA+AB=5√2+5√6(米).9.[2,2√2] ∵1ab sin C=1ch ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴ab=cℎ,a 2+b 2=c 2+2ab cos C ,a +b=a 2+b 2ab=c 2+2abcosCcℎsinC=sinC (c 2+2cℎsinC cosC )cℎ=csinC+2ℎcosCℎ=2(sin C+cos C ) =2√2sin (C +π4)≤2√2,又2√2sin C+π4=ab +ba ≥2,当且仅当C=π4,a=b=1时,等号成立. ∴ab +ba ∈[2,2√2].10.解 (1)∵√3b cos A=sin A (a cos C+c cos A ),∴由正弦定理可得√3sin B cos A=sin A (sin A cos C+sin C cos A ) =sin A sin(A+C )=sin A sin B , 即√3sin B cos A=sin A sin B ,∵sin B ≠0,∴tan A=√3, ∵A ∈(0,π),∴A=π3.(2)∵A=π3,a=2√3,△ABC 的面积为5√34,∴12bc sin A=√34bc=5√34,∴bc=5,∴由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即12=b 2+c 2-bc=(b+c )2-3bc=(b+c )2-15,解得b+c=3√3,∴△ABC 的周长为a+b+c=2√3+3√3=5√3.11.D 由题意知a 2-2a (sin B+√3cos B )+4=0,可得a 2-4a sin (B +π3)+4=0,由题意知此方程有解, 则Δ=16sin 2(B +π3)-16≥0, 即sin 2(B +π3)≥1. 又因为0≤sin 2(B +π3)≤1, 所以sin (B +π3)=1,即a=2,所以B+π3=π2,解得B=π6,在△ABC 中,由余弦定理可得b 2=a 2+c 2-2ac cos B , 即(2√7)2=22+c 2-2×2c cos π6, 整理得c 2-2√3c-24=0, 解得c=4√3,或c=-2√3(舍去),所以三角形的面积S=12ac sin B=12×2×4√3sin π6=2√3,故选D . 12.B由题意可得a 2+b 2-c 22ab ×acosB+bcosAc=12,且cos C=a 2+b 2-c 22ab ,acosB+bcosAc=sinAcosB+sinBcosAsinC=sinCsinC=1,据此可得cos C=12,即a 2+b 2-c 22ab=12,a 2+b 2-c 2=ab ,据此有c 2=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab=4-3ab ≥4-3(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时等号成立.三角形满足两边之和大于第三边,则c<a+b=2,综上可得,c 的取值范围为[1,2).13.B ①由∠A ,∠C 可算出∠B ,再根据正弦定理csinC =bsinB 可计算出AB=c ,②已知三角,没有已知边,无论用正弦定理还是余弦定理都算不出AB=c , ③已知两边夹角,用余弦定理可计算出AB=c ,④已知两角,可计算出第三角,再用正弦定理可解得AB=c,故选B.14.解(1)由题意可得∠AEC=π-π4=3π4,在△AEC中,由余弦定理得AC2=AE2+CE2-2AE·CE cos∠AEC,∴160=64+CE2+8√2CE,整理得CE2+8√2CE-96=0,解得CE=4√2.(2)在△CDE中,由正弦定理得CEsin∠CDE =CDsin∠CED,即4√2sin∠CDE=5sinπ4,∴5sin∠CDE=4√2sinπ4=4√2×√22=4,∴sin∠CDE=45.∵点D在边BC上,∴∠CDE>∠B=π3,而45<√32,∴∠CDE只能为钝角,∴cos∠CDE=-3,∴cos∠DAB=cos(∠CDE-π3)=cos∠CDE cosπ3+sin∠CDE sinπ3=-35×12+45×√32=4√3-310.15.B因为(a2+b2-c2)·(a cos B+b cos A)=abc,所以2ab cos C·(sin A cos B+sin B cos A)=ab sinC,2cos C·sin(A+B)=sin C,2cos C=1,C=π3,c=2×2√33×sinπ3=2.因此c2=a2+b2-2ab cosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-3×(a+b)24=(a+b)24.即(a+b)24≤22,a+b≤4.因为a+b>c=2,所以a+b+c∈(4,6],故选B.16.B如图所示,依题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CEsin∠EAC =ACsin∠AEC,∴AC=5√6×sin 45°=10√3(米),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin ∠ACB=10√3×√32=15(米),∵国歌长度约为50秒,∴升旗手升旗的速度应为15=3(米/秒).故选B.。
高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)
§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
2023届高考数学一轮复习作业正弦定理余弦定理新人教B版
正弦定理、余弦定理一、选择题1．(2021·山东泰安市高三三模)在△ABC中，AC＝3，BC＝2，cos C＝，则tan A ＝( )A． B． C． D．D [由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2BC·AC cos C＝32＋22－2×3×2×＝4，所以AB＝2，因为AB＝BC，所以A＝C，所以cos A＝cos C＝，tan A＝．]2．在△ABC中，BC＝6，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为( )A．6 B．6 C．9 D．4A [∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴36＝c2＋b2－bc，∵sin B＝2sin C，∴b＝2c．解得：c＝2，b＝4，∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝×2×4×＝6．]3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是( )A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形B．若sin A＝cos B，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C [对于A项，∵sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，∵sin A＝cos B，∴A－B＝或A＋B＝，∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D项，由正弦定理，得sin C＝＝，且AB＞AC，∴C＝60°或C＝120°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝AC·AB sin A＝或，D不正确．故选C．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝( )A． B． C． D．A [由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cos B＝＝，故选A．]5．(2021·河南安阳市高三一模)在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＋cos B＝，c＝，则当sin A＋sin B取最大值时，△ABC外接圆的面积为( )A． B． C．π D．2πC [由题意，在△ABC中，满足cos A＋cos B＝，因为(cos A＋cos B)2＋(sin A＋sin B)2＝2＋2(sin A sin B＋cos A cos B)＝2＋2cos(A－B)，所以当A－B＝0时，即A＝B时，上式取得最大值，此时sin A＋sin B取最大值，又由cos A＋cos B＝，可得cos A＝cos B＝，因为A，B∈(0，π)，所以A＝B＝，则C＝，又因为c＝，利用正弦定理可得2R＝＝＝2，所以R＝1，所以△ABC外接圆的面积为S＝πR2＝π．]6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin2B＝b cos A cos B，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定B [由a sin2B＝b cos A cos B得sin A sin2B＝sin B cos A cos B，即sin B(cos A cos B－sin A sin B)＝0，即sin B cos(A＋B)＝0，∵sin B≠0，∴cos(A＋B)＝0，又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，故选B．]二、填空题7．(2021·河南新乡市高三二模)a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知a2＋bc＝b2＋c2，则cos A＝ ． [因为a2＋bc＝b2＋c2，且a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以cos A＝．]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝ ． [∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝．由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1．又B∈(0，π)，∴B＝．]9．(2021·山西吕梁市高三三模)已知锐角△ABC中，AB＝6cos A，AC＝2AB－2，sin＝，延长AB到点D，使sin ∠BCD＝，则S△BCD＝ ． [∵sin＝，∴A＝60°，AB＝6cos A＝3，AC＝2AB－2＝4，△ABC中，由余弦定理可知BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos A＝13，∴BC＝，cos ∠CBA＝＝，∴∠CBD＝180°－∠CBA为钝角，∴∠BCD是锐角，∵sin ∠BCD＝，∴cos ∠BCD＝，∴cos ∠CBD＝cos(π－∠CBA)＝－cos ∠CBA＝－，sin ∠CBD＝，∴sin D＝sin(∠CBD＋∠BCD)＝，△BCD中，由正弦定理得＝，∴DC＝4，∴S△BCD＝×BC×DC×sin ∠BCD＝××4×＝．]三、解答题10．(2021·天津高考)在△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，b＝．(1)求a的值；(2)求cos C的值；(3)求sin的值．[解](1)因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶1∶，∵b＝，∴a＝2，c＝2．(2)由余弦定理可得cos C＝＝＝．(3)∵cos C＝，∴sin C＝＝，∴sin 2C＝2sin C cos C＝2××＝，cos 2C＝2cos2C－1＝2×－1＝，所以sin＝sin 2C cos－cos 2C sin＝×－×＝．11．(2021·北京高考)已知在△ABC中，c＝2b cos B，C＝．(1)求B的大小；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c＝b；②周长为4＋2；③面积为S△ABC＝ ．[解](1)由正弦定理＝，得sin C＝2sin B cos B＝sin 2B，故C＝2B(舍)或C＋2B＝π．故B＝A＝．(2)由(1)知，c＝b，故不能选①．选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1．从而BC＝AC＝2，AB＝2，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，cos B＝＝＝，解得AD＝．选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故S△ABC＝·(2x)·(2x)·sin 120°＝x2＝，解得x＝，即BC＝AC＝，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，cos B＝＝＝，解得AD＝．1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的面积为3π，且cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin A sin C，则△ABC的最大边长为( ) A．2 B．3 C． D．2C [由cos2A－cos2B＋cos2C＝1＋sin A sin C得1－sin2A－1＋sin2B＋1－sin2C ＝1＋sin A sin C，即－sin2A＋sin2B－sin2C＝sin A sin C，由正弦定理得b2－a2－c2＝ac，即c2＋a2－b2＝－ac，则cos B＝＝＝－，则B＝150°，即最大值的边为b，∵△ABC的外接圆的面积为3π，设外接圆的半径为R，∴πR2＝3π，得R＝，则＝2R＝2，即b＝2sin B＝2×＝，故选C．]2．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状是( )A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形D [由已知＝＝＝，所以＝或＝0，即C＝90°或＝，由正弦定理，得sin C cos C＝sin B cos B，即sin 2C＝sin 2B，因为B，C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D．]3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－)bc，sinA sin B＝cos2，BC边上的中线AM的长为．(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的面积．[解](1)由a2－(b－c)2＝(2－)bc，得a2－b2－c2＝－bc，∴cos A＝＝，又0＜A＜π，∴A＝．由sin A sin B＝cos2，得sin B＝，即sin B＝1＋cos C，则cos C＜0，即C为钝角，∴B为锐角，且B＋C＝，则sin＝1＋cos C，化简得cos＝－1，解得C＝，∴B＝．(2)由(1)知，a＝b，在△ACM中，由余弦定理得AM2＝b2＋－2b··cos C＝b2＋＋＝()2，解得b＝2，故S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝．1．(2021·浙江高考)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝ ，cos ∠MAC＝ ．2 [由题意作出图形，如图，在△ABM中，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos B，即12＝4＋BM2－2BM×2×，解得BM＝4(负值舍去)，所以BC＝2BM＝2CM＝8，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝4＋64－2×2×8×＝52，所以AC＝2；在△AMC中，由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝．]2．(2020·北京高考)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)a的值；(2)sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A＝－；条件②：cos A＝，cos B＝．[解] 选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11．(1)在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－，解得a＝8．(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝．在△ABC中，由正弦定理，得＝，∴sin C＝＝＝．∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，∴S△ABC＝ab sin C＝×8×3×＝6．若选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11．(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，∴sin A＝，sin B＝．在△ABC中，由正弦定理，可得＝，∴＝＝＝．又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5．(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝＝．∴S△ABC＝ab sin C＝×6×5×＝．。
2019版数学一轮高中全程复习方略课时作业23正弦定理和
[授课提示：对应学生用书第217页]
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin(A＋B)＝ ，a＝3，c＝4，则sinA＝()
A. B.
C. D.
解析：∵ ＝ ，即 ＝ ，又sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝ ，∴sinA＝ ，故选B.
答案：B
2．(2018·济南模拟)在△ABC中，AC＝ ，BC＝1，B＝60°，则△ABC的面积为()
(1)求sinBsinC；
(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．
解析：(1)由题设得 acsinB＝ ，即 csinB＝ .
由正弦定理得 sinCsinB＝ .
故sinBsinC＝ .
(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－ ，
即cos(B＋C)＝－ .
又B＋C∈(0，π)
方法二：∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，
∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝ .
又0<B<π，∴B＝ .
方法三：由余弦定理得2b· ＝a· ＋c· ，即b· ＝b，所以a2＋c2－b2＝ac，所以cosB＝ ，又0<B<π，所以B＝ .
答案：
7．(2018·四川成都市第一次诊断检测)已知△ABC中，AC＝ ，BC＝ ，△ABC的面积为 .若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC＝ ，则CD＝________.
A. B.
C. D.
解析：由bsinB－asinA＝ asinC，且c＝2a，得b＝ a，∵cosB＝ ＝ ＝ ，
∴sinB＝ ＝ .
答案：A
5．(2018·太原五中检测)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sinA＝ ，a＝2，S△ABC＝ ，则b的值为()
正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)
150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析 因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
— 10 —
3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析 在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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— 16 —
针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍 去)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析 由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.
2021高考数学一轮复习课时作业23正弦定理和余弦定理理
课时作业23 正弦定理和余弦定理[基础达标]一、选择题1．[2020·河北省级示范性高中联合体联考]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin A ＝2sin C ，b ＝5，cos C ＝－13，则a ＝( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：因为3sin A ＝2sin C ，由正弦定理得3a ＝2c ，设a ＝2k (k >0)，则c ＝3k .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－5k 220k ＝－13，解得k ＝3或k ＝－53(舍去)，从而a ＝6.故选C.答案：C2．[2020·山东青岛一中月考]在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又0°<C <180°，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形，故选C.答案：C3．[2020·河北衡水中学调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A ．90° B．60° C ．45° D．30°解析：∵S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴12bc sin A ＝12bc cosA ，∴tan A ＝1，∵0°<A <180°，∴A ＝45°，故选C.答案：C4．[2019·广东仲元中学期中]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32 B.22C.12 D ．－12解析：∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，当且仅当a ＝b时取等号，∴cos C 的最小值为12，故选C.答案：C5．[2020·广东深圳高级中学月考]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知sin(2A ＋π6)＝12，b ＝1，△ABC 的面积为32，则b ＋csin B ＋sin C的值为( )A. 3 B ．2 C ．4 D ．1解析：∵sin (2A ＋π6)＝12，∴A ＝π3，又b ＝1，△ABC 的面积为12bc sin A ＝32，解得c＝2，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2＝3，∴a ＝3，∴b ＋c sin B ＋sin C ＝a sin A＝2，故选B.答案：B 二、填空题6．[2020·陕西咸阳一中月考]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝7，b ＝2，A ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2sinπ37＝217，∵b <a ，∴B <A ，∴cos B ＝277，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32114，∴△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.答案：3327．[2020·开封测试]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，且a ＝5，△ABC 的面积为23，则b ＋c 的值为________．解析：由正弦定理及b tan B ＋b tan A ＝2c tan B ，得sin B ·sin B cos B ＋sin B ·sin A cos A＝2sinC ·sin Bcos B，即cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ，亦即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，故sin C ＝2sin C cos A ．因为sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3.由面积公式，知S △ABC＝12bc sin A ＝23，所以bc ＝8.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ，代入可得b ＋c ＝7.答案：78．[2019·四川内江期中]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tanA ＋tanB )＝tan A cos B ＋tan Bcos A，则cos C 的最小值为________． 解析：∵4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A，∴4sin A cos B ＋cos A sin Bcos A cos B＝sin A ＋sin Bcos B cos A，∴4sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，∴4sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得a＋b ＝4c ，即c ＝a ＋b4，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝15a 2＋b 2－2ab 32ab，又a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴cos C ≥28ab 32ab ＝78，∴cos C 的最小值为78.答案：78三、解答题9．[2019·全国卷Ⅰ]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sinB sinC .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解析：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. 10．[2019·辽宁六校协作体期中]设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c ·cos C 是a ·cos B 与b ·cos A 的等差中项．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，求△ABC 周长的最大值．解析：(1)由题意得a cos B ＋b cos A ＝2c cos C ，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，∵C ∈(0°，180°)，∴sin C ≠0，∴cos C ＝12，所以C ＝60°.(2)解法一 由余弦定理得c 2＝4＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－3(a ＋b2)2＝a ＋b24，得a ＋b ≤4，当且仅当a ＝b 时等号成立，故△ABC 周长取最大值为6.解法二 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝433，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝433(sin A ＋sin B )＋2＝433[sin A ＋sin(A ＋60°)]＋2＝433(32sin A ＋32cos A )＋2＝4sin(A＋30°)＋2.∵A ∈(0°，120°)，∴当A ＝60°时，△ABC 周长取最大值为6.[能力挑战]11．[2020·四川绵阳第一次诊断]在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，且2c sin B ＝3a tan A .(1)求b 2＋c 2a2的值；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解析：(1)∵2c sin B ＝3a tan A ，∴2c sin B cos A ＝3a sin A ，由正弦定理得2cb cos A ＝3a 2，由余弦定理得b 2＋c 2－a 2＝3a 2，化简得b 2＋c 2＝4a 2，∴b 2＋c 2a2＝4.(2)∵a ＝2，由(1)知b 2＋c 2＝4a 2＝16，∴由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6bc.根据基本不等式知b 2＋c 2≥2bc ，即8≥bc ，当且仅当b ＝c 时“＝”成立， ∴cos A ≥68＝34.由cos A ＝6bc ，得bc ＝6cos A ，且A ∈(0，π2)，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×6cos A ×sin A ＝3tan A .∵1＋tan 2A ＝1＋sin 2A cos 2A ＝cos 2A ＋sin 2A cos 2A ＝1cos 2A， ∴tan A ＝1cos 2A －1≤ 169－1＝73， ∴S ＝3tan A ≤7.∴△ABC 的面积的最大值为7.。
高考数学一轮复习全程复习构想数学(文)【统考版】第六节 正弦定理和余弦定理(课件)
直角三角形
等腰三角形或直角三角形
反思感悟 判定三角形形状的常用技巧
[提醒] 注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形” 的区别．
【对点训练】
1．[2023·四川省内江市第六中学测试]若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝7∶11∶13，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
关键能力—考点突破
答案：B
答案：A
答案：A
答案：D
反思感悟 用正、余弦定理求解三角形基本量的方法
考点二 判断三角形的形状 [基础性、综合性] [例1] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C ＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
第六节 正弦定理和余弦定理
必备知识—基础落实 微专题
关键能力—考点突破
·最新考纲· 1．借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2．掌握余弦定理、正弦定理．
·考向预测·
考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，尤其 是正、余弦定理的综合问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题， 也有解答题．
微专题19 计算三角形中的未知量
数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题 的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、 选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．
学科素养：通过利用正、余弦定理解三角形考查数学运算的核心素 养．
必备知识—基础落实
sin A∶sin B∶sin C c＝2R sin C
2022届高考数学一轮复习核心素养测评第4章4.7正弦定理余弦定理的应用举例含解析新人教B版
核心素养测评二十四正弦定理、余弦定理的应用举例(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知A,B两地间的距离为10km,B,C两地间的距离为20km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为( )kmC.10km【解析】选D.由余弦定理得,AC2=AB2+CB2-2AB·CB·cos120°=102+202-2×10×20×=700.所以AC=10(km).2.甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )A.小时B.小时C.小时D.小时【解析】选A.假设经过x小时两船相距最近,甲乙分别行至C,D,如图所示:可知BC=10-4x,BD=6x,∠CBD=120°,由余弦定理可得,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=(10-4x)2+36x2+2×(10-4x)×6x×=28x2-20x+100,所以当x=时两船相距最近.3.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为 ( )A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+15)m【解析】△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60 m,sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=.由正弦定理得PB==30(+)(m),所以建筑物的高度为PBsin 45°=30(+)×=(30+30)m.4.已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为km,则A,B两船的距离为( )A.kmB.kmC.2km【解析】选A.画出图形如图所示,由题意可得∠ACB=(90°-25°)+85°=150°,又AC=2,BC=.在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 150°=13,所以AB=,即A,B两船的距离为km.5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A处测得水柱顶端的仰角为45°,从点A沿北偏东30°方向前进100m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )A.50mC.120m【解析】选A.设水柱高度是h,水柱底端为C,则在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根据余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,解得h=50(负值舍去),故水柱的高度是50 m.6.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( ) 世纪金榜导学号【解析】△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15.7.长为的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处的地面上,另一端B在离堤足C处的的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tanα=世纪金榜导学号( )A. B. C. D.【解析】选A.由已知,在△ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α+∠ACB=π.由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BC·cos∠222-2×××cos(π-α),解得cos α=,所以sin α=,所以tan α==.二、填空题(每小题5分,共15分)8.如图,为了测量河对岸的塔高AB,选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D,现测得∠ACB=45°,∠ADB=30°,∠BCD=60°,CD=20m,则塔高AB=________m.【解析】设塔高AB=h m,在Rt△ABC中,因为∠ACB=45°,所以BC=AB=h m,在Rt△ABD中,因为∠ADB=30°,所以BD=h m,在△BCD中,∠BCD=60°,CD=20,由余弦定理得BD2=CD2+BC2-2CD·BCcos 60°,即3h2=400+h2-20h,解得h=10.答案:109.(2020·某某模拟)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶到A处时测得公路北侧一山顶D在北偏西45°的方向上,仰角为α,行驶300米后到达B处,测得此山顶在北偏西15°的方向上,仰角为β,若β=45°,则此山的高度CD=________米,仰角α的正切值为________.【解析】设山的高度CD=x米,由题可得:∠CAB=45°,∠ABC=105°,AB=300米,∠CBD=45°,在△ABC中,可得:∠ACB=180°-45°-105°=30°,利用正弦定理可得:==,解得:CB=300米,AC=150米.在Rt△BCD中,由∠CBD=45°可得:x=CB=300米.在Rt△ACD中,可得:tan α===-1.答案:300-110.海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45°的方向,且与A相距10海里的C处,沿东偏南15°的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为________小时. 世纪金榜导学号【解析】设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为x小时,如图,在△ABC中,AC=10海里,AB=21x海里,BC=9x海里,∠ACB=120°.由余弦定理得(21x)2=100+(9x)2-2×10×9x×cos 120°,整理,得36x2-9x-10=0,解得x=或x=-(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的时间为小时.答案:(15分钟35分)1.(5分)如图,要测量底部不能到达的某铁塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°.在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距600m,则铁塔AB的高度是( )C.240【解析】选D.设AB=x,则BC=x,BD=x,在△BCD中,由余弦定理知cos 120°===-,解得x=600 m,(x=-300舍去).故铁塔AB的高度为600 m.2.(5分)如图,为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度,在海岸上选取距离1千米的两个观察点C,D,在某天10:00观察到该船在A处,此时测得∠ADC=30°,2分钟后该船行驶至B处,此时测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,则船速为________千米/分钟.【解析】在△BCD中,∠BDC=30°+60°=90°,CD=1,∠BCD=45°,所以BC=.在△ACD中,∠CAD=180°-(60°+45°+30°)=45°,所以=,AC=.在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos 60°=,所以AB=,所以船速为=千米/分钟.答案:3.(5分)如图,勘探队员朝一座山行进,在前后A,B两处观察山顶C的仰角分别是30°和45°,两个观察点A,B之间的距离是100米,则此座山CD的高度为________米.【解析】设山高CD为x米,在Rt△BCD中,有BD=CD=x米,在Rt△ACD中,有AC=2x米,AD=x米.而AB=AD-BD=(-1)x=100.解得:x=50+50.答案:(50+50)4.(10分)已知岛A南偏西38°方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用小时能截住该走私船? 世纪金榜导学号【解析】如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x 海里,则BC=0.5x海里,AC=5海里,由已知,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 120°,所以BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.又由正弦定理得sin∠ABC===,所以∠ABC=38°,又∠BAD=38°,所以BC∥AD,所以缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.5.(10分)已知在东西方向上有M,N两座小山,山顶各有一个发射塔A,B,塔顶A,B的海拔高度分别为AM=100m和BN=200m,一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°,该测量车向北偏西60°方向行驶了100m后到达点Q,在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ,且∠BQA=θ,经测量tanθ=2,求两发射塔顶A,B之间的距离. 世纪金榜导学号【解析】在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100 m,所以PM=100m.连接QM,在△PQM中,∠QPM=60°,又PQ=100m,所以△PQM为等边三角形,所以QM=100m.在Rt△AMQ中,由AQ 2=AM 2+QM 2得AQ=200 m.在Rt△BNQ中,tan θ=2,BN=200 m,所以BQ=100m,cos θ=.在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQcos θ=(100)2,所以BA=100.所以两发射塔顶A,B之间的距离是100m.1.如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P 的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是( )世纪金榜导学号A. B. C. D.【解析】选D.由已知,在Rt△ABC中,sin ∠ACB===,则cos ∠ACB=.作PH⊥BC,垂足为H,连接AH,如图所示.设PH=x m,则CH=x m,在△ACH中,由余弦定理得AH==,tan ∠PAH==,当=时,tan θ取得最大值,最大值为.2.线段AB外有一点C,∠ABC=60°,AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶,同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶,则运动开始________h后,两车的距离最小. 世纪金榜导学号【解析】如图所示,设过x h后两车距离为y km,则BD=200-80x,BE=50x,所以y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos 60°,整理得y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5),所以当x=时,y2最小.答案:。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：正弦定理、余弦定理
§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝bsinB ＝c sinC ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R；(3)a ∶b ∶c＝sin A ∶sin B ∶sin Ccos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S ＝12(a ＋b ＋思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为4，a ＝2，B ＝30°，则c 等于()A ．8B ．4C ．833D ．433答案A解析由S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2c ×12＝4，得c ＝8.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，b ＝2，c ＝2，则C ＝.答案45°或135°解析由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝2sin 30°2＝22，因为c >b ，B ＝30°，所以C ＝45°或C ＝135°.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A1＋sin A＝sin 2B1＋cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；[切入点：二倍角公式化简](2)求a 2＋b 2c2的最小值．[关键点：找到角B 与角C ，A 的关系]思维升华解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．跟踪训练1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长．(1)证明方法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A＝bsin B＝csin C可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*)．由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b2，2ab cos C＝a2＋b2－c2，22bc cos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.方法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形的形状判断例2(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以cos A (sin B －sin A )＝0，所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ，所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，c －a 2c ＝sin 2B2，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为△ABC 的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．延伸探究将本例(2)中的条件“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝a c ，所以由正弦定理得a b ＝ac，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4a ＝5c ，cos C ＝35.(1)求sin A 的值；(2)若b ＝11，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理a sin A ＝c sin C，得sin A ＝a ·sin Cc.因为cos C ＝35，所以sin C ＝45，又a c ＝54，所以sin A ＝5sin C 4＝55(2)由(1)知sin A ＝55，因为a ＝5c 4<c ，所以0<A <π2，所以cos A ＝255，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝55×35＋45×255＝11525.因为b sin B ＝csin C，即1111525＝c 45，所以c ＝45，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×11×45×55＝22.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4(2023·厦门模拟)如图，已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，b (1＋cos C )＝3c sin ∠ABC 且△ABC 的外接圆面积为49π3.(1)求边c 的长；(2)若a ＝5，延长CB 至M ，使得cos ∠AMC ＝217，求BM .解(1)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意πR 2＝49π3，解得R ＝733.由题意及正弦定理可得sin ∠ABC (1＋cos C )＝3sin C sin ∠ABC ，因为sin ∠ABC ≠0，所以1＋cos C ＝3sin C ，即1，因为0<C <π，所以C －π6∈－π6，C －π6＝π6，即C ＝π3.故c ＝2R sin C ＝2×733×32＝7.(2)因为a ＝5，c ＝7，C ＝π3，故cos C ＝12＝25＋b 2－492×5×b ，得b 2－5b －24＝0，解得b ＝8(b ＝－3舍去)．在△ABC 中，由余弦定理可得cos ∠ABC ＝52＋72－822×5×7＝17，所以sin ∠ABC ＝437.由cos ∠AMC ＝217得sin ∠AMC ＝277.故sin∠BAM＝sin(∠ABC－∠AMC)＝sin∠ABC cos∠AMC－cos∠ABC sin∠AMC＝107 49，在△ABM中，由正弦定理可得BMsin∠BAM＝ABsin∠AMB，则BM＝7277×10749＝5.思维升华在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)(多选)(2023·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是()A．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形C．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形答案BC解析对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，∴sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；对于C，若acos A＝bcos B＝ccos C，则由正弦定理得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B，故△ABC是等边三角形，故D错误．(2)在①b2＋2ac＝a2＋c2；②cos B＝b cos A；③sin B＋cos B＝2这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，A＝π3，b＝2，求△ABC的面积．解若选①，则由b2＋2ac＝a2＋c2，得2ac＝a2＋c2－b2.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选②，因为cos B ＝b cos A ，A ＝π3，b ＝2，所以cos B ＝b cos A ＝2cos π3＝22.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.若选③，则由sin B ＋cos B ＝2，得2sin ＝2，所以 1.因为B ∈(0，π)，所以B ＋π4∈所以B ＋π4＝π2，所以B ＝π4.由正弦定理得a sin A ＝bsin B，即asin π3＝2sin π4，解得a ＝ 3.因为C ＝π－A －B ＝π－π3－π4＝5π12，所以sin C ＝sin 5π12＝＝sin π6cos π4＋cos π6sin π4＝6＋24，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×6＋24＝3＋34.(3)(2022·重庆八中模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在①c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )；②2b cos A ＋a ＝2c ；③233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．①若，求角B 的大小；②求sin A ＋sin C 的取值范围；③如图所示，当sin A ＋sin C 取得最大值时，若在△ABC 所在平面内取一点D (D 与B 在AC 两侧)，使得线段DC ＝2，DA ＝1，求△BCD 面积的最大值．解①若选①，因为c (sin A －sin C )＝(a －b )(sin A ＋sin B )，由正弦定理得c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选②，因为2b cos A ＋a ＝2c ，由余弦定理得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ＝2c ，化简得，a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，又0<B <π，所以B ＝π3.若选③，因为233ac sin B ＝a 2＋c 2－b 2，由余弦定理得233ac sin B ＝2ac cos B ，化简得tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.②由①得，A ＋C ＝2π3，则0<A <2π3，sin A ＋sin C ＝sin A ＋＝32sin A ＋32cos A ＝3sin 又π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin 1，则sin A ＋sin C ，3.③当sin A ＋sin C 取得最大值时，A ＋π6＝π2，解得A ＝π3，又B ＝π3，所以△ABC 为等边三角形，令∠ACD ＝θ，∠ADC ＝α，AB ＝AC ＝BC ＝a ，则由正弦定理可得a sin α＝1sin θ，所以sin α＝a sin θ.又由余弦定理得，a 2＝22＋12－2×2×1×cos α，所以a 2cos 2θ＝a 2－a 2sin 2θ＝cos 2α－4cos α＋4，所以a cos θ＝2－cos α.S △BCD ＝12×a ×＝32a cos θ＋12a sin θ＝32(2－cos α)＋12sin α＝3＋≤3＋1，当且仅当α＝∠ADC ＝5π6时等号成立，所以△BCD 面积的最大值为3＋1.课时精练1．在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B解析因为sin A ＝6sin B ，则由正弦定理得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×6×1×12，解得c ＝31.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，a ＝7，则△ABC 外接圆的直径为()A ．14B ．7C.733D.1433答案D 解析已知(a ＋b )(sin A －sin B )＝(b ＋c )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(b ＋c )c ，化简得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc＝－12，又因为A ∈(0，π)，所以A ＝2π3，所以sin A ＝sin2π3＝32，设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2R ＝asin A ＝732＝1433，所以△ABC 外接圆的直径为1433.3．(2022·北京模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若3a sin B ＝b cos A ，且b ＝23，c ＝2，则a 的值为()A ．27B ．2C ．23－2D ．1答案B解析由已知及正弦定理得，3sin A sin B ＝sin B cos A 且sin B ≠0，可得tan A ＝33，又0<A <π，所以A ＝π6，又b ＝23，c ＝2，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16－12＝4，解得a ＝2.4．(2023·枣庄模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于()A.2393B.2633C.833D ．23答案A解析由三角形的面积公式可得S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，解得c ＝4，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，设△ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2r ，所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2r (sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C＝2r ＝asin A ＝1332＝2393.5．(2023·马鞍山模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C ，2sin A －2sin B ＝0，则sin C 等于()A.12B.32C.6－24 D.6＋24答案C解析在△ABC 中，由(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋(2－2)sin B sin C 及正弦定理得(b ＋c )2＝a 2＋(2－2)bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－22，而0°<A <180°，解得A ＝135°，由2sin A －2sin B ＝0得sin B ＝22sin A ＝12，显然0°<B <90°，则B ＝30°，C ＝15°，所以sin C ＝sin(60°－45°)＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°＝6－24.6．(2023·衡阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，lg sin C ＝12lg 3－lg 2，则△ABC 的形状为()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形答案C解析∵2cos B (a cos C ＋c cos A )＝b ，∴根据正弦定理得，2cos B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin B ，∴2cos B sin(A ＋C )＝sin B ，∴2cos B sin(π－B )＝sin B ，即2cos B sin B ＝sin B ，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵lg sin C ＝12lg 3－lg 2，∴lg sin C ＝lg32，∴sin C ＝32，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3或2π3，∵B ＝π3，∴C ≠2π3，∴C ＝π3，∴A ＝B ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．7．(2022·全国甲卷)已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝.答案3－1解析设BD ＝k (k >0)，则CD ＝2k .根据题意作出大致图形，如图．在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ＝22＋k 2－2×2k k 2＋2k ＋4.在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ＝22＋(2k )2－2×2×2k ·12＝4k 2－4k ＋4，则AC 2AB 2＝4k 2－4k ＋4k 2＋2k ＋4＝4(k 2＋2k ＋4)－12k －12k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)k 2＋2k ＋4＝4－12(k ＋1)(k ＋1)2＋3＝4－12k ＋1＋3k ＋1.∵k ＋1＋3k ＋1≥23(当且仅当k ＋1＝3k ＋1，即k ＝3－1时等号成立)，∴AC 2AB 2≥4－1223＝4－23＝(3－1)2，∴当ACAB取得最小值3－1时，BD ＝k ＝3－1.8．(2023·宜春模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为．答案233解析∵b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，sin B sin C >0，结合正弦定理可得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，∴sin A ＝12，∵b 2＋c 2－a 2＝8，结合余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得2bc cos A ＝8，∴A 为锐角，且cos A ＝32，从而求得bc ＝833，∴△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233.9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解(1)由正弦定理，得sin B cos C ＝2sin A cos B －cos B sin C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ，又∵sin A ≠0，∴cos B ＝12，∵B 为三角形内角，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理得c ＝2a ，∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－2a 2＝9，即3a 2＝9，∴a ＝3，c ＝23，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×3×23×32＝332.10．(2023·湖州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知3b a sin B .(1)求角A 的大小；(2)若b ，a ，c 成等比数列，判断△ABC 的形状．解(1)∵3b a sin B ，由诱导公式得3b cos A ＝a sin B ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin A sin B ，∵sin B ≠0，∴3cos A ＝sin A ，即tan A ＝3，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)∵b ，a ，c 成等比数列，∴a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝12，即b 2＋c 2－bc ＝bc ，∴(b －c )2＝0，∴b ＝c ，又由(1)知A ＝π3，∴△ABC 为等边三角形．11．(多选)对于△ABC ，有如下判断，其中正确的是()A ．若cos A ＝cosB ，则△ABC 为等腰三角形B ．若A >B ，则sin A >sin BC ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的△ABC 有两个D ．若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 是钝角三角形答案ABD解析对于A ，若cos A ＝cos B ，则A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形，故A 正确；对于B ，若A >B ，则a >b ，由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R ，得2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B 成立，故B 正确；对于C ，由余弦定理可得b ＝82＋102－2×8×10×12＝84，只有一解，故C 错误；对于D ，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则根据正弦定理得a 2＋b 2<c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C为钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故D 正确．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin A sin B sin C ＝18，△ABC 的面积为2，则下列选项错误的是()A ．abc ＝162B ．若a ＝2，则A ＝π3C ．△ABC 外接圆的半径R ＝22D ≥32sin C 答案B解析由题可得12ab sin C ＝2，则sin C ＝4ab，代入sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B ab ＝18，即R 2＝8，即R ＝22，C 正确；abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝1282×18＝162，A 正确；若a ＝2，则sin A ＝a 2R ＝242＝14，此时A ≠π3，B 错误；因为sin A >0，sin B >0，所以(sin A ＋sin B )2≥4sin A sin B ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥4sin A sin B ，由sin A sin B sin C ＝18，得4sin A sin B＝32sin C ，所以(sin A ＋sin B )2(sin A sin B )2≥32sin C ，即≥32sin C ，D 正确．13．(2023·嘉兴模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C ，c ＝23，ab ＝8，则a ＋b 的值是．答案6解析∵c sin A ＝3a cos C ，根据正弦定理得sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，故tan C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3，再由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝12，代入c ＝23，ab ＝8，得a ＋b ＝6.14．在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝7，BC 边的中线AD ＝72，那么BC ＝.答案9解析在△ABD 中，结合余弦定理得cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD，在△ACD 中，结合余弦定理得cos ∠ADC ＝CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD，由题意知BD ＝CD ，∠ADB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD ＋CD 2＋AD 2－AC 22CD ·AD ＝0，2×72CD 2×72CD 0，解得CD ＝92，所以BC ＝9.15．(多选)(2023·珠海模拟)已知△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝332，则下列命题正确的是()A ．△ABC 的周长为5＋7B ．△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足关系A ＋B ＝2C C ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为192答案ABD解析因为△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t ，t >0，利用余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4t 2＋9t 2－7t 212t 2＝12，由于C ∈(0，π)，所以C ＝π3.对于A ，因为S △ABC ＝332，所以12ab sin C ＝12·2t ·3t ·32＝332，解得t ＝1.所以a ＝2，b ＝3，c ＝7，所以△ABC 的周长为5＋7，故A 正确；对于B ，因为C ＝π3，所以A ＋B ＝2π3，故A ＋B ＝2C ，故B 正确；对于C ，利用正弦定理c sin C ＝732＝2213＝2R ，解得R ＝213，所以△ABC 的外接圆半径为213，故C 错误；对于D ，如图所示，在△ABC 中，利用正弦定理732＝2sin A ，解得sin A ＝217，又a <c ，所以cos A ＝277，在△ACD 中，利用余弦定理CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos A ＝9＋74－2×3×72×277＝194，解得CD ＝192，故D 正确．16.如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，则B ＝.若线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，且BC ＝4，DE ＝ 6.则△BCE 的面积为．答案π323解析在△ABC 中，由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，而a 2＋c 2＝b 2＋ac ，∴cos B ＝12，又0<B <π，则B ＝π3，在△BCE 中，设∠CEB ＝θ，则CE sin π3＝BC sin θ，可得CE ＝23sin θ，又AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，则∠ECA ＝∠EAC ＝θ2，∴sin θ2＝DE CE ＝2sin θ2，可得cos θ2＝22，而0<θ<π，故θ2＝π4，即θ＝π2.∴CE ＝23，BE ＝2，故△BCE 的面积为12·CE ·BE ＝23.。
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
(3)若三角形三边 a，b，c 成等差数列，则 2b＝____________
⇔
2sinB
＝
____________
⇔
2sin
B 2
＝
cos
A－C 2
解：由正弦定理得ab＝ssiinnAB，所以
sinB＝
2× 7
sinπ3＝
721，
由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA，所以 7＝ 4＋c2－2c，所
以 c＝3(负值舍去)．故填 721；3.
(2018·全国卷Ⅰ) △ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2
－a2＝8，则△ABC 的面积为________．
解：根据题意，结合正弦定理
可得 sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即 sinA＝12， 结合余弦定理可得 b2＋c2－a2＝2bccosA＝8，
所以 A 为锐角，且 cosA＝ 23，从而求得 bc＝8 3 3，
所以△ABC 的面积为 S＝12bcsinA＝12×8 3 3×
所 以 AB2 ＝ BC2 ＋ AC2 － 2BC·AC·cosC ＝ 1 ＋ 25 －
2×1×5×－35＝32，所以 AB＝4 2.故选 A.
(2017·山东)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分
别为 a，b，c.若△ABC 为锐角三角形，且满足 sinB(1＋2cosC)
＝2sinAcosC＋cosAsinC，则下列等式成立的是( )
高三数学一轮复习课时作业 23正弦定理和余弦定理A 文 B 试题
课时作业(二十三)A [第23讲 正弦定理和余弦定理][时间是：35分钟 分值：80分]根底热身1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，那么b ＝( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 62．在△ABC 中，假设sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，那么△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，那么△ABC 的面积是( ) A ．9 B ．18 C ．9 3 D ．18 34．在△ABC 中，cos A ＝513，sin B ＝35，那么cos C 的值是( )A.1665 B ．－1665 C.5665 D ．－5665才能提升5．判断以下说法，其中正确的选项是( ) A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解 B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解 C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解 D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解6．[2021·卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .假设a cos A ＝b sin B ，那么sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．17．[2021·卷] 假设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，那么ab 的值是( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.238．假设sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，那么△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°9．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，那么sin A ＋sin Csin B＝________.10．在△ABC 中，假设S △ABC ＝14(a 2＋b 2－c 2)，那么角C ＝________.11．[2021·东北三校一模] 在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设A ∶B ＝1∶2，且a ∶b ＝1∶3，那么cos2B 的值是________．12．(13分)[2021·卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)假设a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．难点打破13．(12分)[2021·卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .cos A －2cos Ccos B ＝2c －a b.(1)求sin C sin A的值；(2)假设cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课时作业(二十三)A【根底热身】1．D [解析] 由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝10sin60°sin45°＝5 6.2．B [解析] 用正弦定理可以将条件：sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 化为a 2＝b 2＋c 2. 3．C [解析] 由条件易得A ＝B ＝30°，所以b ＝a ＝6，S ＝12ab sin C ＝12×6×6×32＝9 3.4．A [解析] 由可得sin A ＝1213，sin A >sin B ，由于在△ABC 中，由sin A >sin B ⇔A >B 知角B 为锐角，故cos B ＝45，所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝2065－3665＝－1665，故cos C＝1665. 【才能提升】5．B [解析] A 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝14×127＝1，所以B ＝90°，故只有一解，A 错误；B 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝25×1230<1，又A 为钝角，故只有一解，B 正确；C 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝9×226>1，所以角B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由正弦定理得sin C ＝c sin Bb ＝10×329<1，因为b <c ，B ＝60°，且0°<C <180°，所以角C有两解，D 错误．应选B.6．D [解析] ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.7．A [解析] 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.①由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos60°＝ab ，② 将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.应选A.8．C [解析] 在△ABC 中，由正弦定理：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入sin Aa＝cos Bb＝cos Cc得：sin A 2R sin A ＝cos B2R sin B＝cos C 2R sin C ，∴sin B cos B ＝sin Ccos C＝1. ∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．9.54 [解析] 由正弦定理知，原式＝BC ＋BA AC ，又由椭圆定义知BC ＋BA ＝10，AC ＝8，∴原式＝54.10.π4 [解析] 根据三角形面积公式得，S ＝12ab sin C ＝14(a 2＋b 2－c 2)，∴sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab .又由余弦定理：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝π4.11．－12 [解析] 因为a ∶b ＝1∶3，所以sin A ∶sin B ＝1∶3，又A ∶B ＝1∶2，那么B ＝2A ，所以sin A ∶sin B ＝sin A ∶sin2A ＝1∶3，即cos A ＝32，∴A ＝30°，∴B ＝60°.cos2B ＝cos120°＝－12.12．[解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 有c cos B ＋b cos C ＝a ，代入条件得3a cos A ＝a ，即cos A ＝13.(2)由cos A ＝13得sin A ＝223，那么cos B ＝－cos(A ＋C )＝－13cos C ＋223sin C ，代入cos B ＋cos C ＝233，得cos C ＋2sin C ＝3，从而得sin(C ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 那么C ＋φ＝π2，于是sin C ＝63，由正弦定理得c ＝a sin C sin A ＝32. 【难点打破】13．[解答] (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k .那么2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B .所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B .即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ， 因此sin Csin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A ＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a .又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
最新-2018届高三数学一轮复习课时作业 (23)正弦定理和
课时作业(二十三)B [第23讲 正弦定理和余弦定理][时间：35分钟 分值：80分]基础热身1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B．60° B．45° D．30°2．在△ABC 中，若2sin A sin B <cos(B －A )，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形3．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C .一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．[2018·广东六校联考] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，且B 是A 与C 的等差中项，则sin A ＝________.能力提升5．在△ABC 中，a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则C ＝( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°6．在△ABC 中，B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 67．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝( )A.32B.12C.33 D.139．已知△ABC 三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C ＝________.10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.11．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．12．(13分)[2018·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．难点突破13．(12分)[2018·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课时作业(二十三)B【基础热身】1．B [解析] S ＝12BC ·CA ·sin C ⇒33＝12×4×3×sin C ⇒sin C ＝32，注意到其是锐角三角形，故C ＝60°.2．B [解析] 依题意，sin A sin B <cos A cos B ，所以cos(A ＋B )>0,0<A ＋B <π2，△ABC 的形状是钝角三角形．3．C [解析] 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理得sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ，则b ＝c sin A ＋a sin C 不一定成立．4.12 [解析] 由已知得B ＝60°，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32×3＝12. 【能力提升】5．B [解析] 用余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝3＋2＋3－2－1023＋3－＝－12. ∴C ＝120°.故选B.6．D [解析] a ＋c ＝2b ，根据余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－2ac －b 22ac ，即12＝3b 2－1212，解得b ＝ 6. 7．D [解析] ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B＝sin B ＝32. ∴在锐角△ABC 中，角B 的值为π3.8．C [解析] 将正弦定理代入已知等式，得 (3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∵B 为三角形内角，∴sin B ≠0，∴cos A ＝33.故选C.9.π3[解析] 由条件得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，∴cos C ＝12，C ＝π3.10.12 [解析] 由于A ＋B ＋C ＝2B ＋B ＝π，即B ＝π3， 由正弦定理知：a sin A ＝1sin A ＝b sin B ＝332，得sin A ＝12.11．150° [解析] 由m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－32，∴B ＝150°.12．[解答] (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1582＝78. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.【难点突破】13．[解答] (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大值2.综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.。
正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
（1）求∠；
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×
−
= ，解得 = （负值已舍去）.
方法一：由正弦定理，得
∠
=
,即∠
∠
以 =
, = ，所以
△ = ∠ =
− =
−
×
=
− ,所以
+
,所以
= ，即 + − = ,又 = ,所
× ×
=
.
1.已知在△ 中，角,,的对边分别为,,， = , = , = ∘ ，
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√
解析：选C.由正弦定理得
D.有解但解的个数不确定
=
,所以
所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
=
2025届高考数学一轮复习讲义
高考数学复习课时作业23正弦定理和余弦定理理新人教A版 3101
课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.[2018·江淮六校联考]已知在△ABC中,a=1,b=,A=,则B=()A.或B.C.D.2.[2018·东北师大附中月考]在△ABC中,a=1,A=,B=,则c=()A.B.C.D.3.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,a=4,且△ABC的面积S=20,则c=()A.15B.16C.20D.44.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a sin A=b cos C+c cos B,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2,c=3,B=2C,则S△ABC= .能力提升6.[2018·莆田九中月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2a,sin2B=2sinA sin C,则cos B=()A.B.C.D.17.在△ABC中,B=,AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积为,则AC等于()A.2C.D.8.[2018·沈阳模拟]设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=,那么△ABC的外接圆的半径为()A.1B.C.2D.49.[2018·烟台模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b sin 2A+a sinB=0,b=c,则的值为()A.1B.C.D.10.[2018·丹东二模]已知△ABC的面积为S,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4S=a2-(b-c)2,bc=4,则S=()A.2B.4C.D.211.[2018·安徽示范高中联考]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,则= .12.[2018·上海浦东新区三模]已知△ABC的三边a,b,c所对的内角分别为A,B,C,且b2=ac,则sin B+cos B的取值范围是.13.[2018·黄石三模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b-c)(a+b+c)=3ab,且c=4,则△ABC面积的最大值为.14.(12分)[2018·天津河东区二模]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2A=-,c=,sin A=sin C,A为锐角.(1)求sin A与a的值;(2)求b的值及△ABC的面积.15.(13分)[2018·石家庄二中月考]已知锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin A=3sin C,且△ABC的面积为c2.(1)求B的值;(2)若D是BC边上的一点,且cos∠ADB=,求sin∠BAD及的值.难点突破16.(5分)[2018·漳州质检]在△ABC中,C=,BC=2AC=2,点D在边BC上,且sin∠BAD=,则CD=()A.B.C.D.17.(5分)[2018·成都七中三诊]在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,b=,则△ABC的面积的取值范围是.课时作业(二十三)1.A[解析] 由正弦定理=可得sin B===,∵B∈(0,π),∴B=或.2.A[解析] sin C=sin(π-A-B)=sin=,由正弦定理=,得c===.3.C[解析] 由三角形面积公式可得S△ABC=ac sin B=×4×c×sin 60°=20,所以c=20.4.A[解析] 由a sin A=b cos C+c cos B及正弦定理得sin2A=sin B cos C+sin C cos B,∴sin2A=sin(B+C)=sin A.又在△ABC中,sin A≠0,∴sin A=1,∴A=,∴△ABC为直角三角形.5. [解析] 由正弦定理=,得=,即=,解得cos C=.由余弦定理得cos C=,解得a=1或a=3(舍去),又sin C=,所以S△ABC=a·b·sin C=×1×2×=.6.B[解析] ∵sin2B=2sin A sin C,∴b2=2ac,又∵b=2a,∴4a2=2ac,∴c=2a.由余弦定理得cos B===.7.B[解析] 由题意可知在△BCD中,B=,BD=1,∴△BCD的面积S=×BC×BD×sin B=×BC×1×=,解得BC=3.在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos B=22+32-2×2×3×=7,∴AC=.8.A[解析] 设△ABC的外接圆的半径为R,因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以(b+c)2-a2=3bc, 即b2+c2-a2=bc,所以cos A==,又因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理可得2R===2,所以R=1,故选A.9.D[解析] 由正弦定理及b sin 2A+a sin B=0,可得sin B sin 2A+sin A sin B=0,即2sin B sin A cos A+sin A sin B=0,由于sin B sin A≠0,所以cos A=-.又b=c,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bc cos A=3c2+c2+3c2=7c2,所以=.10.A[解析] 因为S=bc sin A,a2=b2+c2-2bc·cos A,4S=a2-(b-c)2,所以2bc sinA=2bc-2bc·cos A,化简得sin A+cos A=1,即sin=1,所以sin=,可得A+=,所以A=,所以S=bc sin A=2.11.1[解析] 由正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,设a=4,b=5,c=6, 则由余弦定理知cos A===,∴=2××=1.12.(1,][解析] ∵b2=ac,∴ac=b2=a2+c2-2ac cos B≥2ac-2ac cos B,可得cos B≥,当且仅当a=c时等号成立.又∵0<B<π,∴B∈,∴B+∈,可得sin B+cos B=sin∈(1,].13.4[解析] 由(a+b-c)(a+b+c)=3ab,可得a2+b2-c2=ab, 根据余弦定理可得cos C==,∵0<C<π,∴C=.∵c=4,∴a2+b2-16=ab,即a2+b2=ab+16≥2ab,可得ab≤16,当且仅当a=b时取等号,∴△ABC的面积S=ab sin C≤×16×=4,则△ABC面积的最大值为4.14.解:(1)由正弦定理=,得=,解得a=3.因为cos 2A=2cos2A-1=-,A为锐角,所以cos A=,sin A=.(2)因为b2+c2-a2=2bc cos A,所以b2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍去),所以S△ABC=bc sin A=×5××=.15.解:(1)由题意及正弦定理得a=3c,又S△ABC=ac sin B=×3c2sin B=c2,故sin B=,又0<B<,所以B=.(2)因为cos∠ADB=,0<∠ADB<π,所以sin∠ADB==,又∠BAD=π-(∠ABD+∠ADB),故sin∠BAD=sin(∠ABD+∠ADB)=×+×=.在△ABD中,由正弦定理得=,即BD=AB×=2AB=2c,又BC=3c,所以CD=c,所以=2.16.D[解析] ∵C=,BC=2AC=2,∴AB===3,∴cos B===,又∵B∈(0,π),∴B=,可得∠BAC=.∵sin∠BAD=,∠BAD∈,∴cos∠BAD==,∴sin∠DAC=cos∠BAD=.在△ABD中,由正弦定理可得,AD=,在△ADC中,由正弦定理可得,AD=,∴=,解得CD=,故选D.17. [解析] 由正弦定理得====2,∴a=2sin A,c=2sin C,∴S△ABC=ac sin B=ac=sin A sin C=sin A sin=sin A=sin A cos A+sin2A=sin 2A+·=sin 2A-cos 2A+=sin+.∵△ABC为锐角三角形,∴解得<A<,∴<2A-<,∴<sin≤1,∴<sin+≤,故△ABC的面积的取值范围是.。
2020届数学（理）一轮复习人教A版第23讲正弦定理和余弦定理作业
课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.[2018·江淮六校联考]已知在△ABC中,a=1,b=√3,A=π6,则B=()A.π3或2π3B.2π3C.π3D.π42.[2018·东北师大附中月考]在△ABC中,a=1,A=π6,B=π4,则c=()A.√6+√22B.√6-√22C.√62D.√223.已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60°,a=4,且△ABC的面积S=20√3,则c=()A.15B.16C.20D.4√214.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a sin A=b cos C+c cos B,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=2√3,c=3,B=2C,则S△ABC=.能力提升6.[2018·莆田九中月考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2a,sin2B=2sin A sin C,则cos B=()A.18B.14C.12D.17.在△ABC中,B=π3,AB=2,D为AB的中点,△BCD的面积为3√34,则AC等于()A.2B.√7C.√10D.√198.[2018·沈阳模拟]设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且a=√3,那么△ABC的外接圆的半径为()A.1B.√2C.2D.49.[2018·烟台模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b sin 2A+√3a sin B=0,b=√3c,则ca的值为()A.1B.√33C.√55D.√7710.[2018·丹东二模]已知△ABC的面积为S,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若4S=a2-(b-c)2,bc=4,则S=()A.2B.4C.√3D.2√311.[2018·安徽示范高中联考]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,若sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,则2acosAc=.12.[2018·上海浦东新区三模]已知△ABC的三边a,b,c所对的内角分别为A,B,C,且b2=ac,则sin B+cos B的取值范围是.13.[2018·黄石三模] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(a+b-c )(a+b+c )=3ab ,且c=4,则△ABC 面积的最大值为 .14.(12分)[2018·天津河东区二模] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos 2A=-13,c=√3,sin A=√6sin C ,A 为锐角. (1)求sin A 与a 的值; (2)求b 的值及△ABC 的面积.15.(13分)[2018·石家庄二中月考] 已知锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,sinA=3√2sin C ,且△ABC 的面积为32c 2. (1)求B 的值;(2)若D 是BC 边上的一点,且cos ∠ADB=3√1010,求sin ∠BAD 及BDCD的值.难点突破16.(5分)[2018·漳州质检] 在△ABC 中,C=π3,BC=2AC=2√3,点D 在边BC 上,且sin ∠BAD=2√77,则CD=( )A .4√33B .√34C .√33D .2√3317.(5分)[2018·成都七中三诊] 在锐角三角形ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,B=π3,b=√3,则△ABC 的面积的取值范围是 .课时作业(二十三)1.A [解析] 由正弦定理a sinA =bsinB可得sin B=bsinA a =√3×sin π61=√32,∵B ∈(0,π),∴B=π3或2π3.2.A[解析] sin C=sin (π-A-B )=sin 7π12=√6+√24,由正弦定理a sinA =csinC,得c=a ·sinC sinA =1×√6+√2412=√6+√22.3.C [解析] 由三角形面积公式可得S △ABC =12ac sin B=12×4×c×sin 60°=20√3,所以c=20. 4.A [解析] 由a sin A=b cos C+c cos B 及正弦定理得sin 2A=sin B cos C+sin C cos B ,∴sin 2A=sin (B+C )=sin A.又在△ABC 中,sin A ≠0,∴sin A=1,∴A=π2,∴△ABC 为直角三角形. 5.√2 [解析] 由正弦定理b sinB =c sinC, 得b sin2C =c sinC ,即2√32sinCcosC =3sinC, 解得cos C=√33.由余弦定理得cos C=a 2+b 2-c 22ab,解得a=1或a=3(舍去),又sin C=√63,所以S △ABC =12a ·b ·sin C=12×1×2√3×√63=√2.6.B [解析] ∵sin 2B=2sin A sin C ,∴b 2=2ac ,又∵b=2a ,∴4a 2=2ac ,∴c=2a. 由余弦定理得cos B=a 2+4a 2-4a 22·a ·2a =a 24a 2=14.7.B [解析] 由题意可知在△BCD 中,B=π3,BD=1,∴△BCD 的面积S=12×BC×BD×sin B=12×BC×1×√32=3√34,解得BC=3.在△ABC 中,由余弦定理可得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B=22+32-2×2×3×12=7,∴AC=√7.8.A [解析] 设△ABC 的外接圆的半径为R ,因为(a+b+c )(b+c-a )=3bc ,所以(b+c )2-a 2=3bc ,即b 2+c 2-a 2=bc , 所以cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,又因为A ∈(0,π),所以A=π3.由正弦定理可得2R=a sinA =√3√32=2,所以R=1,故选A .9.D [解析] 由正弦定理及b sin 2A+√3a sin B=0,可得sin B sin 2A+√3sin A sin B=0, 即2sin B sin A cos A+√3sin A sin B=0,由于sin B sin A ≠0,所以cos A=-√32.又b=√3c ,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=3c 2+c 2+3c 2=7c 2,所以c a =√77.10.A [解析] 因为S=12bc sin A ,a 2=b 2+c 2-2bc ·cos A ,4S=a 2-(b-c )2,所以2bc sin A=2bc-2bc ·cos A ,化简得sin A+cos A=1,即√2sin (A +π4)=1, 所以sin (A +π4)=√22,可得A+π4=3π4,所以A=π2,所以S=12bc sin A=2.11.1 [解析] 由正弦定理得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6,设a=4,b=5,c=6, 则由余弦定理知cos A=b 2+c 2-a 22bc=25+36-162×5×6=34,∴2acosA c=2×46×34=1. 12.(1,√2] [解析] ∵b 2=ac ,∴ac=b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac-2ac cos B ,可得cos B ≥12,当且仅当a=c 时等号成立.又∵0<B<π,∴B ∈(0,π3],∴B+π4∈(π4,7π12], 可得sin B+cos B=√2sin (B +π4)∈(1,√2].13.4√3 [解析] 由(a+b-c )(a+b+c )=3ab ,可得a 2+b 2-c 2=ab , 根据余弦定理可得cos C=a 2+b 2-c 22ab=12, ∵0<C<π,∴C=π3.∵c=4,∴a 2+b 2-16=ab ,即a 2+b 2=ab+16≥2ab ,可得ab ≤16, 当且仅当a=b 时取等号,∴△ABC 的面积S=12ab sin C ≤12×16×√32=4√3, 则△ABC 面积的最大值为4√3. 14.解:(1)由正弦定理a sinA =c sinC, 得√6sinC =√3sinC,解得a=3√2.因为cos 2A=2cos 2A-1=-13,A 为锐角,所以cos A=√33,sin A=√63.(2)因为b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,所以b 2-2b-15=0,解得b=5或b=-3(舍去),所以S △ABC =12bc sin A=12×5×√3×√63=52√2.15.解:(1)由题意及正弦定理得a=3√2c ,又S △ABC =12ac sin B=12×3√2c 2sin B=32c 2,故sin B=√22, 又0<B<π2,所以B=π4. (2)因为cos ∠ADB=3√1010,0<∠ADB<π,所以sin ∠ADB=√1-cos 2∠ADB =√1010,又∠BAD=π-(∠ABD+∠ADB ), 故sin ∠BAD=sin (∠ABD+∠ADB )=√22×3√1010+√22×√1010=2√55. 在△ABD 中,由正弦定理得AB sin ∠ADB =BDsin ∠BAD,即BD=2√55AB×√10=2√2AB=2√2c , 又BC=3√2c ,所以CD=√2c ,所以BDCD=2. 16.D [解析] ∵C=π3,BC=2AC=2√3,∴AB=√AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cosC =√3+12-2×√3×2√3×12=3, ∴cos B=AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC=2×3×2√3=√32,又∵B ∈(0,π),∴B=π6,可得∠BAC=π2. ∵sin ∠BAD=2√77,∠BAD ∈(0,π2),∴cos ∠BAD=√1-sin 2∠BAD =√217, ∴sin ∠DAC=cos ∠BAD=√217.在△ABD 中,由正弦定理可得,AD=BDsinBsin ∠BAD ,在△ADC 中,由正弦定理可得,AD=CDsinCsin ∠DAC,∴√3-CD)×122√77=CD×√32√217,CD=2√33,故选D .17.(√32,3√34] [解析] 由正弦定理得a sinA =c sinC =bsinB =√3sin π3=2,∴a=2sin A ,c=2sin C ,∴S △ABC =12ac sin B=√34ac=√3sin A sin C=√3sin A sin (2π3-A)=√3sin A (√32cosA +12sinA)=32sin A cos A+√32sin 2A=34sin 2A+√32·1-cos2A 2=34sin 2A-√34cos 2A+√34=√32sin (2A -π6)+√34. ∵△ABC 为锐角三角形, ∴{0<A <π2,0<2π3-A <π2,解得π6<A<π2,∴π6<2A-π6<5π6,∴12<sin (2A -π6)≤1, ∴√32<√32sin (2A -π6)+√34≤3√34, 故△ABC 的面积的取值范围是(√32,3√34].。
2020高考数学一轮复习课时作业23正弦定(理)和余弦定(理)(理)
(2)求△ABC的周长的最大值．
解析：(1)解法一 由已知，得acosB＋bcosA＝2ccosA.
由正弦定理，得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosA，
即sin(A＋B)＝2sinCcosA.
因为sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，
所以sin2－a2＝ bc，∴cosA＝ ＝ ＝ ，
由0<A<π，得A＝ ，tanA＝ ，∴tanB＝－ .
由0<B<π，得B＝ ，∴C＝ ，a＝c，
由S△ABC＝ acsin ＝ × a2＝ ，得a＝2.
[能力挑战]
11．[2019·广州市高三调研]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a＝2，acosB＝(2c－b)cosA.
答案：
三、解答题
9．[2018·全国卷Ⅰ]在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2 ，求BC.
解析：(1)在△ABD中，由正弦定理得 ＝ ，
即 ＝ ，所以sin∠ADB＝ .
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝ ＝ .
课时作业23 正弦定理和余弦定理
[基础达标]
一、选择题
1．在△ABC中，若A＝ ，B＝ ，BC＝3 ，则AC＝( )
A. B.
C．2 D．4
解析：由正弦定理得： ＝ ，
即有AC＝ ＝ ＝2 .
答案：C
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ＝ ，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
答案：B
二、填空题
高考数学 (人教版文)一轮复习课时作业23第3章 三角函数、解三角形7 Word版含答案
所以tan ＋tan ＋tan ＋tan
＝ ＋
＝ ＋
＝ 。Байду номын сангаас
连接BD。
在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，
在△BCD中，有BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC，
所以AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝BC2＋CD2＋2BC·CDcosA。
则cosA＝
＝ ＝ 。
于是sinA＝ ＝ ＝ 。
连接AC。同理可得
cosB＝
＝ ＝ ，
A．90°B．60°
C．120°D．150°
解析：由题意可知lg(a＋c)(a－c)＝lgb(b＋c)，
∴(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cosA＝ ＝－ 。
又A∈(0，π)，∴A＝120°，选C。
答案：C
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则 的值为()
解析：由csinA＝ acosC，所以sinCsinA＝ sinAcosC，即sinC＝ cosC，所以tanC＝ ，C＝ ，A＝ －B，所以sinA＋sinB＝sin ＋sinB＝ sin ，
∵0＜B＜ ，∴ ＜B＋ ＜ ，
∴当B＋ ＝ ，
即B＝ 时，sinA＋sinB的最大值为 .故选C。
答案：C
11．(2015·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝ ，b2－a2＝ c2。
(1)求tanC的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值。
解析：(1)由b2－a2＝ c2及正弦定理得sin2B－ ＝ sin2C，
所以－cos2B＝sin2C。
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(1)求的值；
(2)若cosB＝，△ABC的周长为5，求b的长．
课时作业(二十三)A
【基础热身】
1．D[解析]由＝得，b＝＝＝5.
2．B[解析]用正弦定理可以将条件：sin2A＝sin2B＋sin2C化为a2＝b2＋c2.
3．C[解析]由条件易得A＝B＝30°，所以b＝a＝6，S＝absinC＝×6×6×＝9.
∴sinC＝.又由余弦定理：cosC＝，
∴sinC＝cosC，∴C＝.
11．－[解析]因为a∶b＝1∶，所以sinA∶sinB＝1∶，又A∶B＝1∶2，则B＝2A，所以sinA∶sinB＝sinA∶sin2A＝1∶，即cosA＝，∴A＝30°，∴B＝60°.cos2B＝cos120°＝－.
12．[解答] (1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC，
A.B．8－4C．1D.
8．若＝＝，则△ABC是()
A．等边三角形B．直角三角形，且有一个角是30°
C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一个角是30°
9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.
10．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.
课时作业(二十三)A[第23讲 正弦定理和余弦定理]
[时间：35分钟 分值：80分]
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝()
A．5B．10C.D．5
2．在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是()
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
3．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是()
A．9B．18C．9D．18
4．在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为()
A.B．－C.D．－
5．判断下列说法，其中正确的是()
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
6．D[解析]∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B，
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
7．A[解析]由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4.①
由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，②
将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝.故选A.
4．A[解析]由已知可得sinA＝，sinA>sinB，由于在△ABC中，由sinA>sinB⇔A>B知角B为锐角，故cosB＝，所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－＝－，故cosC＝.
【能力提升】
5．B[解析] A中，由正弦定理得sinB＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sinB＝＝<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sinB＝＝>1，所以角B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sinC＝＝<1，因为b<c，B＝60°，且0°<C<180°，所以角C有两解，D错误．故选B.
8．C[解析]在△ABC中，由正弦定理：
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入＝＝得：＝＝，∴＝＝1.
∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
9.[解析]由正弦定理知，原式＝，又由椭圆定义知BC＋BA＝10，AC＝8，∴原式＝.
10.[解析]根据三角形面积公式得，S＝absinC＝(a2＋b2－c2)，
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝()
A．－B.C．－1D．1
7．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则aБайду номын сангаас的值为()
有ccosB＋bcosC＝a，代入已知条件得3acosA＝a，即cosA＝.
(2)由cosA＝得sinA＝，
则cosB＝－cos(A＋C)＝－cosC＋sinC，
11．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A∶B＝1∶2，且a∶b＝1∶，则cos2B的值是________．
12．(13分在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC.
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝，求边c的值．