全国高中数学联合竞赛

全国高中数学联合竞赛
9月17日上午8：30－10：30
一、选择题（本题满分30分，每小题5分） 本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且只有一个是正确。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得5分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．已知正项非常值数列}{n a ，}{n b 满足：1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列。

令
n n b c =，则下列关于数列}{n c 的说法正确的是
（A ）}{n c 为等差数列 （B ）}{n c 为等比数列 （C ）}{n c 的每一项为奇数 （D ）}{n c 的每一项为偶数
解：由题可知，n n n a a b +=+12，121++=n n n b b a ，∴11++=n n n b b a
∴112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，∴}{n c 为等差数列，故选A
2．在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若0sin cos 2
sin cos =+-
+B
B A A ，则
c
b
a +的值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 解：由0sin cos 2sin cos =+-
+B B A A 得，0)
4
sin(22)4
sin(2=+-
+π
B A
即1)4
sin()4
sin(=+
+
π
π
B A ，由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知，
1)4
sin(=+
π
A 且1)4
sin(=+
π
B ，从而4
π
=
=B A ，∴2
π
=
C
∴
2sin sin =+=+B A c
b
a 3．函数)33(299)(x x x x x f --+-+=的最小值是
（A ）1 （B ）2 （C ）3- （D ）2- 解：2)33(2)33()33(299)(2-+-+=+-+=----x x x x x x x
x x f
令23
3≥+=-x
x
t ，则3)1(2222--=--=t t t y ，最小值为2-，故选D
4．双曲线122
22=-b
y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线
段211,A A PF 为直径的两圆一定
（A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）相离
解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△P F F 21中，C 为1PF 的中点，
O 为21F F 的中点，从而|)||(|2
1
||212112A A PF PF OC -==
，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切。

5．设}10,,2,1{ =A ，若“方程02
=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。

则“漂亮方程”的个数为
（A ）8 （B ）10 （C ）12 （D ）14 解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为1-时，有9个满足题意的“漂亮方程”，当一根为2-时，有3 个满足题意的“漂亮方程”。

共有12个，故选C 。

6．设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列，f 是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射，且满足i i f ≠)(，记数
表⎥⎦⎤⎢⎣
⎡)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a 。

若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同，就说N M ,是两张
不同的数表。

则满足条件的不同的数表的张数为
（A ）144 （B ）192 （C ）216 （D ）576
解：对于4321,,,a a a a 的一个排列，可以9个映射满足i i f ≠)(，而4321,,,a a a a 共有244
4=A 个排
列，所以满足条件的数表共有216924=⨯张，故选C 。

二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．函数|
cos sin |2sin )(x x e
x x f ++=的最大值与最小值之差等于2
1e
+。

解：)|
4
sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π
+++=+=x x x e x e x x f ，从而当4
π
=
x 时取最大值2
1e
+
当4
π
-
=x 时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于2
1e
+
8．设π20≤≤x ，则满足不等式x x cos )6
sin(>-
π
的x 的取值范围是
3
43
ππ
<
<x 。

解：由x x cos )6
sin(>-
π
，可得0)3
sin(>-
π
x ，解得
3
43
ππ
<
<x 9．如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。

那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有 120 条。

解：据题意新的立体图形中共有24个顶点，每两点连一条线，共
2762312224=⨯=C ，其中所有的棱都在原立方体的表面，有36条
原立方体的每个面上有8个点，除去棱以外，还可以连
202
8
5=⨯条，6个面共120条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。

10．设)(222y x y x S +-+=，其中y x ,满足1log log 22=+y x ，则S 的最小值为244-。

解：由1log log 22=+y x ，得2=xy
又4)(2)(2)(2)()(22222-+-+=-+-+=+-+=y x y x xy y x y x y x y x S
2445)122(5]12[5]1)[(222-=--=--≥--+=xy y x
11．设△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且AC AB =，AD 为底边BC 上的高，则BC AD +的最大值为R R 5+。

解：如图，设α=∠OBD ，则αsin R R AD +=
αcos 2
1
R BD BC ==，αcos 2R BD = BC AD +＝)sin(5cos 2sin ϕααα++=++R R R R R
其中2tan =ϕ
所以BC AD +的最大值为R R 5+
12．设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a t s r <<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a ：
,14,13,11,7，则=36a 131 。

解：∵t s r ,,为整数且r s t <<≤0，∴r 最小取2，此时符合条件的数有12
2=C
3=r ，t s ,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323=C 同理，4=r 时，符合条件有的数有624=C
5=r 时，符合条件有的数有1025=C 6=r 时，符合条件有的数有1526=C 7=r 时，符合条件有的数有2127=C
因此，36a 是7=r 中的最小值，即131********=++=a
C
三、解答题（本题满分80分，每小题20分） 13．如图，CE BD ,是△ABC 的两条高，F 和G 分别是DE 和BC 的中点，O 是△ABC 的外心。

求证：AO ∥FG 。

证明：如图，连结GD 和GE
∵︒=∠=∠90BEC BDC ，BC BG =
∴EG BC DG ==
2
1
， 又∵EF DF = ∴DE DF ⊥
延长OA 交DE 于H ，连结OB ∵︒=∠=∠90BEC BDC
∴D E C B ,,,四点共圆。

AOB DCB DEB ∠=
∠=∠21，即AOB AEH ∠=∠2
1
又∵OB OA =
∴AOB BAO EAH ∠-
︒=∠=∠2
1
90 ︒=∠+∠90AEH EAH
于是，DE AD ⊥，即DE OA ⊥ ∴AO ∥FG 。

14．正方形ABCD 的两顶点B A ,在抛物线2x y =上，D C ,两点在直线4-=x y 上，求正方形的边长d 。

解：设B A ,两点坐标分别为),(211t t A 、),(2
22t t B ，显然21t t ≠
∵AB ∥DC ，∴1
22
12
21t t t t --=，即121=+t t
一方面，])(1[)()()(||2212212
222122122t t t t t t t t AB d ++-=-+-==
]4)[(221221t t t t -+= ∴)2(8
1
221d t t -=
① 另一方面，2
|
4|2
|
4|||21211-=
--=
=t t t t AD d ，∴2
212)4(2-=t t d ②
将①代入②，得0900682
4
=+-d d ，即0)50)(18(2
2=--d d
故23=d 或25=d
C
15．设实数b a ,满足条件321321x x x x x x a =++=，133221x x x x x x ab ++=，其中0,,321>x x x ，
求a
a b a P +++=2
216的是最大值。

解：3332132132133a x x x x x x x x x a =≥++==，∴33≥a
ab x x x x x x x x x x x x x x x x x x a 3)(3)(2)(1332211332212
3222123212=++≥+++++=++=
从而，b a 3≥
93
13
31111112162
222+=+≤+=+=+++≤+++=a a a a a a a a a b a P 当且仅当321x x x ==，33=a ，b a 3=时等号成立。

即3321===x x x ，33=a ，3=b 时，a
a b a P +++=2
216有最大值93
1+ 16．某班有20人，参加语文、数学考试各一次，考试结果是：①没有0分；②没有两个同学的语文、
数学成绩相同。

我们说“同学A 比B 的成绩好”，是指“同学A 的语文、数学成绩都不低于B ”。

证明：存在三个同学A 、B 、C ，使得同学A 比同学B 的成绩好，同学B 比C 的成绩好。

证明：若同学A 比B 的成绩好，记为B A >。

原问题等价于证明：存在三个同学A 、B 、C 满足C B A >> 用),(i i b a 表示第i 个同学的语文、数学成绩（20,,2,1 =i ）。

于是j i j i j j i i b b a a b a b a ≤≤⇔<,),(),(且等号不能同时成绩。

因为语文成绩i a （20,,2,1 =i ）在1到10的整数值中取值，对这20个同学的语文成绩，由抽屉原理知，下列情形之一必然出现：
情形1：某个分数值，至少有3人取得。

即存在某个}10,,2,1{ ∈m ，使得m a a a k j i ===（其中
k j i ,,两两不等）。

情形2：每个分数值，恰好均有2人取得，即对任意的}10,,2,1{ ∈f ，存在不同的j i ,，使得
f a a j i ==。

同理，对于数学成绩i b 同样有两种情形：
情况1'：存在某个}10,,2,1{ ∈n ，使得n b b b k j i ==='''（其中k j i ''',,两两不等）。

情形2'：对任意的}10,,2,1{ ∈g ，存在不同的j i '',，使得g b b j i ==''。

下面进行讨论：
对情况形1：若m a a a k j i ===，则由条件知k j i b b b ,,两两不等。

不失一般性，不妨设k j i b b b <<，则),(),(),(k k j j i i b a b a b a ≤<，即存在三个同学存在三个同学A 、B 、C 满足C B A >> 对情况1'：同理可证。

对情形2：有两个1=i a ，不失一般性设1==j i a a ，于是得),1(),,1(j i b b ，且j i b b ≠，不失一般性，设j i b b <，则),1(),1(j i b b <
这时，对于i b ，若出现情形1'，则结论成立；若出现情形2'，则必有2人得10分，不妨设为l k a a ,，易知l k a a ,中至少有一个不取1（否则与条件②矛盾），设为k a ，则k a <1。

所以，故结论成立。

对于情形2'，同理可证。

综上所述，结论成立。