全国高中数学联合竞赛

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全国高中数学联合竞赛
9月17日上午8:30-10:30
一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 本题共有6小题,每题均给出(A )、(B )、(C )、(D )四个结论,其中有且只有一个是正确。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得5分;不选、错选或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1.已知正项非常值数列}{n a ,}{n b 满足:1,,+n n n a b a 成等差数列,11,,++n n n b a b 成等比数列。


n n b c =,则下列关于数列}{n c 的说法正确的是
(A )}{n c 为等差数列 (B )}{n c 为等比数列 (C )}{n c 的每一项为奇数 (D )}{n c 的每一项为偶数
解:由题可知,n n n a a b +=+12,121++=n n n b b a ,∴11++=n n n b b a
∴112+-+=n n n n n b b b b b ,即112+-+=n n n b b b ,∴}{n c 为等差数列,故选A
2.在△ABC 中,c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长,若0sin cos 2
sin cos =+-
+B
B A A ,则
c
b
a +的值是 (A )1 (B )2 (C )3 (D )2 解:由0sin cos 2sin cos =+-
+B B A A 得,0)
4
sin(22)4
sin(2=+-

B A
即1)4
sin()4
sin(=+
+
π
π
B A ,由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知,
1)4
sin(=+
π
A 且1)4
sin(=+
π
B ,从而4
π
=
=B A ,∴2
π
=
C

2sin sin =+=+B A c
b
a 3.函数)33(299)(x x x x x f --+-+=的最小值是
(A )1 (B )2 (C )3- (D )2- 解:2)33(2)33()33(299)(2-+-+=+-+=----x x x x x x x
x x f
令23
3≥+=-x
x
t ,则3)1(2222--=--=t t t y ,最小值为2-,故选D
4.双曲线122
22=-b
y a x 的左焦点为1F ,顶点为21,A A ,P 是该双曲线右支上任意一点,则分别以线
段211,A A PF 为直径的两圆一定
(A )相交 (B )内切 (C )外切 (D )相离
解:设双曲线的另一个焦点为2F ,线段1PF 的中点为C ,在△P F F 21中,C 为1PF 的中点,
O 为21F F 的中点,从而|)||(|2
1
||212112A A PF PF OC -==
,从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切。

5.设}10,,2,1{ =A ,若“方程02
=--c bx x 满足A c b ∈,,且方程至少有一根A a ∈”,就称该方程为“漂亮方程”。

则“漂亮方程”的个数为
(A )8 (B )10 (C )12 (D )14 解:,由题可知,方程的两根均为整数且两根一正一负,当有一根为1-时,有9个满足题意的“漂亮方程”,当一根为2-时,有3 个满足题意的“漂亮方程”。

共有12个,故选C 。

6.设4321,,,a a a a 是4,3,2,1的任一排列,f 是}4,3,2,1{到}4,3,2,1{的映射,且满足i i f ≠)(,记数
表⎥⎦⎤⎢⎣
⎡)( )( )( 43214321a f a f )f(a a f a a a a 。

若数表N M ,的对应位置上至少有一个不同,就说N M ,是两张
不同的数表。

则满足条件的不同的数表的张数为
(A )144 (B )192 (C )216 (D )576
解:对于4321,,,a a a a 的一个排列,可以9个映射满足i i f ≠)(,而4321,,,a a a a 共有244
4=A 个排
列,所以满足条件的数表共有216924=⨯张,故选C 。

二、填空题(本题满分30分,每小题5分) 本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。

7.函数|
cos sin |2sin )(x x e
x x f ++=的最大值与最小值之差等于2
1e
+。

解:)|
4
sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π
+++=+=x x x e x e x x f ,从而当4
π
=
x 时取最大值2
1e
+
当4
π
-
=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于2
1e
+
8.设π20≤≤x ,则满足不等式x x cos )6
sin(>-
π
的x 的取值范围是
3
43
ππ
<
<x 。

解:由x x cos )6
sin(>-
π
,可得0)3
sin(>-
π
x ,解得
3
43
ππ
<
<x 9.如图,一个立方体,它的每个角都截去一个三棱锥,变成一个新的立体图形。

那么在新图形顶点之间的连线中,位于原立方体内部的有 120 条。

解:据题意新的立体图形中共有24个顶点,每两点连一条线,共
2762312224=⨯=C ,其中所有的棱都在原立方体的表面,有36条
原立方体的每个面上有8个点,除去棱以外,还可以连
202
8
5=⨯条,6个面共120条都在原立方体的表面,除此之外的直线都在原立方体的内部。

10.设)(222y x y x S +-+=,其中y x ,满足1log log 22=+y x ,则S 的最小值为244-。

解:由1log log 22=+y x ,得2=xy
又4)(2)(2)(2)()(22222-+-+=-+-+=+-+=y x y x xy y x y x y x y x S
2445)122(5]12[5]1)[(222-=--=--≥--+=xy y x
11.设△ABC 内接于半径为R 的⊙O ,且AC AB =,AD 为底边BC 上的高,则BC AD +的最大值为R R 5+。

解:如图,设α=∠OBD ,则αsin R R AD +=
αcos 2
1
R BD BC ==,αcos 2R BD = BC AD +=)sin(5cos 2sin ϕααα++=++R R R R R
其中2tan =ϕ
所以BC AD +的最大值为R R 5+
12.设t s r ,,为整数,集合}0,222|{r s t a a t s r <<≤++=中的数由小到大组成数列}{n a :
,14,13,11,7,则=36a 131 。

解:∵t s r ,,为整数且r s t <<≤0,∴r 最小取2,此时符合条件的数有12
2=C
3=r ,t s ,可在2,1,0中取,符合条件有的数有323=C 同理,4=r 时,符合条件有的数有624=C
5=r 时,符合条件有的数有1025=C 6=r 时,符合条件有的数有1526=C 7=r 时,符合条件有的数有2127=C
因此,36a 是7=r 中的最小值,即131********=++=a
C
三、解答题(本题满分80分,每小题20分) 13.如图,CE BD ,是△ABC 的两条高,F 和G 分别是DE 和BC 的中点,O 是△ABC 的外心。

求证:AO ∥FG 。

证明:如图,连结GD 和GE
∵︒=∠=∠90BEC BDC ,BC BG =
∴EG BC DG ==
2
1
, 又∵EF DF = ∴DE DF ⊥
延长OA 交DE 于H ,连结OB ∵︒=∠=∠90BEC BDC
∴D E C B ,,,四点共圆。

AOB DCB DEB ∠=
∠=∠21,即AOB AEH ∠=∠2
1
又∵OB OA =
∴AOB BAO EAH ∠-
︒=∠=∠2
1
90 ︒=∠+∠90AEH EAH
于是,DE AD ⊥,即DE OA ⊥ ∴AO ∥FG 。

14.正方形ABCD 的两顶点B A ,在抛物线2x y =上,D C ,两点在直线4-=x y 上,求正方形的边长d 。

解:设B A ,两点坐标分别为),(211t t A 、),(2
22t t B ,显然21t t ≠
∵AB ∥DC ,∴1
22
12
21t t t t --=,即121=+t t
一方面,])(1[)()()(||2212212
222122122t t t t t t t t AB d ++-=-+-==
]4)[(221221t t t t -+= ∴)2(8
1
221d t t -=
① 另一方面,2
|
4|2
|
4|||21211-=
--=
=t t t t AD d ,∴2
212)4(2-=t t d ②
将①代入②,得0900682
4
=+-d d ,即0)50)(18(2
2=--d d
故23=d 或25=d
C
15.设实数b a ,满足条件321321x x x x x x a =++=,133221x x x x x x ab ++=,其中0,,321>x x x ,
求a
a b a P +++=2
216的是最大值。

解:3332132132133a x x x x x x x x x a =≥++==,∴33≥a
ab x x x x x x x x x x x x x x x x x x a 3)(3)(2)(1332211332212
3222123212=++≥+++++=++=
从而,b a 3≥
93
13
31111112162
222+=+≤+=+=+++≤+++=a a a a a a a a a b a P 当且仅当321x x x ==,33=a ,b a 3=时等号成立。

即3321===x x x ,33=a ,3=b 时,a
a b a P +++=2
216有最大值93
1+ 16.某班有20人,参加语文、数学考试各一次,考试结果是:①没有0分;②没有两个同学的语文、
数学成绩相同。

我们说“同学A 比B 的成绩好”,是指“同学A 的语文、数学成绩都不低于B ”。

证明:存在三个同学A 、B 、C ,使得同学A 比同学B 的成绩好,同学B 比C 的成绩好。

证明:若同学A 比B 的成绩好,记为B A >。

原问题等价于证明:存在三个同学A 、B 、C 满足C B A >> 用),(i i b a 表示第i 个同学的语文、数学成绩(20,,2,1 =i )。

于是j i j i j j i i b b a a b a b a ≤≤⇔<,),(),(且等号不能同时成绩。

因为语文成绩i a (20,,2,1 =i )在1到10的整数值中取值,对这20个同学的语文成绩,由抽屉原理知,下列情形之一必然出现:
情形1:某个分数值,至少有3人取得。

即存在某个}10,,2,1{ ∈m ,使得m a a a k j i ===(其中
k j i ,,两两不等)。

情形2:每个分数值,恰好均有2人取得,即对任意的}10,,2,1{ ∈f ,存在不同的j i ,,使得
f a a j i ==。

同理,对于数学成绩i b 同样有两种情形:
情况1':存在某个}10,,2,1{ ∈n ,使得n b b b k j i ==='''(其中k j i ''',,两两不等)。

情形2':对任意的}10,,2,1{ ∈g ,存在不同的j i '',,使得g b b j i ==''。

下面进行讨论:
对情况形1:若m a a a k j i ===,则由条件知k j i b b b ,,两两不等。

不失一般性,不妨设k j i b b b <<,则),(),(),(k k j j i i b a b a b a ≤<,即存在三个同学存在三个同学A 、B 、C 满足C B A >> 对情况1':同理可证。

对情形2:有两个1=i a ,不失一般性设1==j i a a ,于是得),1(),,1(j i b b ,且j i b b ≠,不失一般性,设j i b b <,则),1(),1(j i b b <
这时,对于i b ,若出现情形1',则结论成立;若出现情形2',则必有2人得10分,不妨设为l k a a ,,易知l k a a ,中至少有一个不取1(否则与条件②矛盾),设为k a ,则k a <1。

所以,故结论成立。

对于情形2',同理可证。

综上所述,结论成立。

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