2014-2015学年天津市滨海新区高一上学期期末数学试卷和解析(a卷)

2014-2015学年天津市滨海新区高一（上）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.1．（4分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（4分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a3．（4分）函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．4．（4分）为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．（4分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有，则等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或06．（4分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞07．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=（）A．B．C．D．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．19．（4分）已知ω＞0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]10．（4分）已知f（x）=|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0，则下列四个结论错误的是（）A．存在实数k，使方程恰有2个不同的实根B．存在实数k，使方程恰有3个不同的实根C．存在实数k，使方程恰有5个不同的实根D．存在实数k，使方程恰有8个不同的实根二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，答案填写在答题纸相应的横线上.11．（5分）函数的定义域为．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则：f（﹣1）=．14．（5分）已知，，则=．15．（5分）已知向量，，满足||=1，与的夹角为，若对一切实数x，|x|≥||恒成立，则||的取值范围为．16．（5分）下列6个结论中：（1）第一象限角是锐角；（2）角α的终边经过点（a，a）（a≠0）时，sin；（3）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0；（4）若∥，则有且只有一个实数λ，使=；（5）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则y=f（x）是周期函数．请写出正确结论的序号．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（10分）已知tan=2，求（1）的值；（2）的值．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且，求的坐标；（2）若||=，且与2垂直，求与的夹角．19．（14分）已知=（，cosωx）．=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0．设的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且0＜α＜π的角α的值．20．（14分）已知函数（a、c∈R），满足f（1）=0，成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年天津市滨海新区高一（上）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.1．（4分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．2．（4分）三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵0＜0.312＜0.310=1，log20.31＜log21=0，20.31＞20=1，∴b＜a＜c．故选：C．3．（4分）函数y=﹣xcosx的部分图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=﹣xcosx为奇函数，故排除A，C，又当x取无穷小的正数时，﹣x＜0，cosx→1，则﹣xcosx＜0，故选：D．4．（4分）为了得到函数y=sin的图象，只需把函数y=sin3x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：由于函数y=sin （3x﹣）=sin3（x﹣），故把函数y=sin3x的图象上所有的点向右平移个单位长度，即可得到函数y=sin （3x﹣）的图象，故选：D．5．（4分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有，则等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或0【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有∴函数图象的对称轴是，∴取最大值或者是最小值∵函数的最大值是2，最小值是﹣2∴等于﹣2或2故选：B．6．（4分）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）故选：B．7．（4分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．则B（0，0），A（，），D（1，0），∴=（﹣，﹣），=（﹣，﹣），∴=+=，故选：C．8．（4分）如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【解答】解：∵函数图象经过点（0，1），∴f（0）=2sinφ=1，可得sinφ=，又∵0≤φ≤，∴φ=．∵其中A、B两点的纵坐标分别为2、﹣2，∴设A、B的横坐标之差为d，则|AB|==5，解之得d=3，由此可得函数的周期T=6，得=6，解之得ω=．∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），可得f（﹣1）=2sin（﹣+）=﹣2sin=﹣1．故选：A．9．（4分）已知ω＞0，函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：∵函数y=cosx的单调递增区间是[﹣π+2kπ，2kπ]，k∈Z；∴﹣π+2kπ≤ωx+＜ωπ+≤2kπ，k∈Z；解得：+≤x≤﹣（k∈Z），∵函数f（x）=cos（ωx+）在（，π）上单调递增，∴（，π）⊆[+，﹣]（k∈Z），解得4k﹣≤ω≤2k﹣；又∵4k﹣﹣（2k﹣）≤0，且4k﹣＞0，∴k=1，∴ω∈[，]．故选：D．10．（4分）已知f（x）=|x|﹣1，关于x的方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0，则下列四个结论错误的是（）A．存在实数k，使方程恰有2个不同的实根B．存在实数k，使方程恰有3个不同的实根C．存在实数k，使方程恰有5个不同的实根D．存在实数k，使方程恰有8个不同的实根【解答】解：∵f（x）=|x|﹣1≥﹣1，∴当a=﹣1时，f（x）=a有且只有一个解，当a＞﹣1时，f（x）=a有两个不同的解，∵令f（x）=t，则方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0可化为k=|t|﹣t2，作函数k=|t|﹣t2的图象如下，，结合图象可知，当k=时，k=|t|﹣t2有两个不同的解，且t=±，故方程方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0有四个不同的解，当0＜k＜时，k=|t|﹣t2有4个不同的解，且﹣1＜t＜1，故方程方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0有8个不同的解；当k=0时，k=|t|﹣t2有三个不同的解，分别为﹣1，0，1；故方程方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0有5个不同的解，当k＜0时，k=|t|﹣t2有两个不同的解，且t＜﹣1或t＞1，故方程方程f2（x）﹣|f（x）|+k=0有2个不同的解；故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，答案填写在答题纸相应的横线上.11．（5分）函数的定义域为（2，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则，即，解①得：x≤﹣2或x≥2，解②得：x＞1且x≠2．所以，x＞2．综上，函数的定义域为（2，+∞）．故答案为（2，+∞）．12．（5分）已知函数f（x）=，则f（6）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（6）=f（5）=f（4）==1．故答案为：1．13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b 为常数），则：f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），∴f（0）=1+b=0，解得b=﹣1∴f（x）=2x+2x﹣1．当x＜0时，﹣f（x）=2﹣x+2（﹣x）﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2+1=﹣3．故答案为：﹣3．14．（5分）已知，，则=．【解答】解：已知，，，，∴，，∴===故答案为：﹣15．（5分）已知向量，，满足||=1，与的夹角为，若对一切实数x，|x|≥||恒成立，则||的取值范围为[，+∞）．【解答】解：=，=1，∵|x|≥||恒成立，∴x2+（2x﹣1）||+3||2≥0恒成立，即x2+2||x+3||2﹣||≥0恒成立，∴4||2﹣4（3||2﹣||）≤0，解得：||≥或||≤0（舍），故答案为：[，+∞）．16．（5分）下列6个结论中：（1）第一象限角是锐角；（2）角α的终边经过点（a，a）（a≠0）时，sin；（3）若cos（α+β）=﹣1，则sin（2α+β）+sinβ=0；（4）若∥，则有且只有一个实数λ，使=；（5）若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则y=f（x）是周期函数．请写出正确结论的序号3）、5）．【解答】解：对于（1），第一象限角不一定是锐角，锐角是第一象限角，∴（1）错误；对于（2），角α的终边经过点（a，a）（a≠0）时，若a＞0，则sin，若a＜0，则sinα+cosα=﹣，∴（2）错误；对于（3），若cos（α+β）=﹣1，则sin（α+β）=0，则sin（2α+β）+sinβ=sin[（α+β）+α]+sin[（α+β）﹣α]=2sin（α+β）cos（α+β）=0，∴（3）正确；则sin（2α+β）+sinβ=0；对于（4），当∥时，若=，≠则不满足=，∴（4）错误；对于（5），若f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），∴y=f（x）是以2为周期的周期函数，（5）正确．综上，正确的命题是（3）、（5）．故答案为：（3）、（5）．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（10分）已知tan=2，求（1）的值；（2）的值．【解答】解：（1）tan=2，可得tanα==﹣．所以：====﹣．（2）由（1）tanα=﹣．===．18．（12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）．（1）若||=2，且，求的坐标；（2）若||=，且与2垂直，求与的夹角．【解答】解：设=（x，y），∵||=2，，∴，解得或，∴=（2，4）或=（﹣2，﹣4）．（2）∵与2垂直，∴（）•（2）=0，即2+3﹣2=0，∴=﹣，∴cos＜＞==﹣1，∴与的夹角为π．19．（14分）已知=（，cosωx）．=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0．设的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）当x时，求f（x）的值域；（Ⅲ）求满足f（α）=0且0＜α＜π的角α的值．【解答】解：=（，cosωx）．=（sin（π﹣ωx），﹣cosωx），ω＞0．∵，∴===，∵y=f（x）的最小正周期为T=π，ω＞0，∴，解得ω=1，∴．由，k∈Z．可得：≤x≤，∴f（x）的单调递增区间为[，]，k∈Z．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴，故得；即f（x）的值域为[，0）．（Ⅲ）∵f（α）=0，即，∴，∵0＜α＜π，∴，∴，∴．20．（14分）已知函数（a、c∈R），满足f（1）=0，成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由f（1）=0，得，f（0）=，即，所以．（2）由（1）得，由f（x）+h（x）＜0，得，即，所以，当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为空集．（3），g（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1．假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当2m+1＜m，即m＜﹣1时，函数g（x）在区间[m，m+2]上是增函数，所以g（m）=﹣5，即m2﹣（+m）m+=﹣5，解得m=﹣3或m=，因为m＜﹣1，所以m=﹣3；②当m≤2m+1≤m+2，即﹣1≤m≤1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=﹣5，即（2m+1）2﹣（+m）（2m+1）+=﹣5，解得m=﹣﹣或m=﹣+，均舍去；③当2m+1＞m+2，即m＞1时，g（x）在区间[m，m+2]上是减函数，所以g（m+2）=﹣5，即（m+2）2﹣（+m）（m+2）+=﹣5，解得m=﹣1﹣2或m=﹣1+2，因m ＞1，所以m=﹣1+2．综上，存在实数m ，m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g （x ）在区间[m ，m +2]上有最小值﹣5．。