陕西省宝鸡市金台区2013届高三11月质量检测数学理试题

金台区2013届高三质量检测试题（卷）理科数学 2012.11注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡及答题纸规定的位置上2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题纸规定的位置上3．所有题目必须在答题卡或答题纸上规定位置作答，在试卷上答题无效 .参考公式：锥体的体积公式V =13sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高 . 1()n n x nx -'=，1(ln )x x -'=，()xy x y xy '''=+.如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ） = P （A ）+ P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A·B ）= P （A ）· P （B ）.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1. 已知集合{}2log 0,M x x =≤{}022≤-=x x x N ,则“M a ∈”是 “N a ∈”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，+∞)上单调递减的函数是A. 1ln()y x =B. 2y x =C. ||2x y -= D. cos y x =3. 已知,x y R ∈，i 为虚数单位，且1xi y i -=-+，则(1)x yi ++的值为A. 2B. 2i -C. 4-D. 2i4. 已知圆O:224x y +=，直线l 过点(1,1)P ,且与直线OP 垂直，则直线l 的方程为A. 340x y +-=B. 10y -=C. 0x y -=D. 20x y +-=5. 如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且它的体积为12，则该几何体的俯视图可以是6. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字 被污损.则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为A.52B.107 C. 54D. 109甲8 99 8 01 2 3 3 79乙否是结束输出 输入a ,b开始7. 设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y = A. 在区间1(,1),(1,)e e -内均有零点B. 在区间1(,1),(1,)e e -内均无零点C. 在区间1(,1)e -内有零点，在区间),1(e 内无零点D. 在区间1(,1)e -内无零点，在区间),1(e 内有零点8. 有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，每人只能参加一项比赛，若其中某一位同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案共有 A. 112种 B. 100种 C. 92种 D. 76种9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S 14(b 2＋c 2－a 2)，则角A 的最大值是A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π10. 定义某种运算⊗，b a ⊗的运算原理如右图所示：设,)0()(x x x f ⊗=则)(x f 在区间 [-2，2]上的最小值为 A. －4B.－2C. －8D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.观察等式：11212233+=⨯⨯，11131223344++=⨯⨯⨯， 11114122334455+++=⨯⨯⨯⨯,根据以上规律，写出第四个等式．．．．．为： . 12．若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 ．13．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超 过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500 元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛 云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购 买上述同样的商品，则应付款额为 元．14．若曲线2y x =在点2(,)(0)a a a >处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于 .15．本题A 、B 、C 三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. A ．（不等式选讲选做题）若不等式|1|||2x x m m -+-<的解集为∅, 则m 的取值范围为 .B. （几何证明选讲选做题）如图所示，已知AB 和 AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的 延长线相交于点D.过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为 ．C ．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，(2,)3πρ的直角坐标是 .三．解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)16．（本小题满分12分）已知向量()()2sin ,cos m x x π=--u r ，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，函数()1f x m n =-⋅u r r．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的周期及单调递增区间．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11,a =11,n n n n a a a a ++-=数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2n n n T S S =-，求证：1n n T T +>. 18．（本小题满分12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=, AB BD =,现将四边形 ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平 面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为 棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求二面角A-EF-B 的余弦值．图甲 图乙 19. （本小题满分12分）已知椭圆2222: 1 ( x y C a b a b+=>>0)的离心率，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，P 为椭圆C 上的动点.（1）求椭圆C 的标准方程;（2） M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若OP OMλ=，求点M 的轨迹方程， 并说明轨迹是什么曲线？20.（本小题满分13分）某学校要用三辆车把考生送到某考点参考，已知从学校到考点有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -，若甲、乙两辆汽车走公路①， 丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响. （1）若三辆车中恰有一辆车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期 望.21. （本小题满分14分）已知函数（1）当210≤<a 时，求)(x f 的单调区间; （2）设42)(2+-=bx x x g ，当41=a 时，若对任意)2,0(1∈x ，存在[]2,12∈x ，使)()(21x g x f ≥，求实数b 的取值范围.高三理科数学质量检测题答案一、选择题：ACDDC CDBBA二、填空题：11.12. 4 13. 546.614. 2 15. A . 13m ≤ B. 43 C. (1,3)三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（1）∵m n u r r g ()2sin 3cos 2cos sin 2x x x x ππ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭223sin cos 2cos 3sin 2cos21x x x x x =-+=-++…………3分∴()1f x m n =-u r rg 3sin 2cos2x x =-………………………………4分∴()f x =2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭………………………………………………………6分 （2）由（1）知函数()f x 的周期是22T ππ==…………8分 又222()262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，解得()63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为,().63k k k z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦……………12分17．（本小题满分12分） （1）证明：由11,n n n n a a a a ++-=从而得1111n na a +-=…………3分11a =∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列. …………5分(2)1nn a =则1111,123n n a s n n=∴=++++…………7分 ∴2n n n T S S =-＝111111111(1)231223n n n n +++++++-+++++＝111122n n n+++++…………9分 证法1：∵1111111()2322122n n T T n n n n n n+-=+++-++++++++ ＝11121221n n n +-+++＝11102122(21)(22)n n n n -=>++++ ∴1n n T T +>．…………12分证法2：∵2122n n +<+ ∴112122n n >++ ∴1111022221n n T T n n n +->+-=+++∴1n n T T +>．…………12分18．（本小题满分12分）（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=∴45ADB ∠=，︒=∠90ABD ，AB BD ⊥ … 2分在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD I 平面BDC ＝BD ∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥C D ． ……4分EF ZyXDCB A又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC ,且AB BC B =I ∴DC ⊥平面ABC ． …………6分（2）解法1：如图，以B 为坐标原点，建立空间直角坐标系如下图示， 设CD a =，则2,BD AB a ==3BC a =，22AD a =可得(0,0,2)A a ,(0,0,0),(2,0,0)B D a ，33(,,0)22C a a , 则),43,43(a a a E (,0,)F a a ，所以)2,23,23(a a a AC -= 13(,,0)22CD a a =-uu u r ，),43,43(a a a BE =∴；(,0,)BF a a =u u u r 设平面ACD 的法向量为)1,,(11y x m =，平面BEF 的法向量为)1,,(22y x n =，… 8分则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=⋅=-=⋅022323023211111a ay ax AC m ay ax CD m ；⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=++=⋅004343222a ax BF n a ay ax BE n ； 解得⎪⎩⎪⎨⎧==33111y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=33122y x 即)1,33,1(=m ，)1,33,1(--=n ……………10分 713213211311,cos -=⋅+--=∴n m ． 即所求二面角A-EF-B 的余弦值为17-． ………12分 解法2：由题知，EF ∥DC ∴EF ⊥平面ABC ．又∵BE 在平面ABC 内，AE 在平面ABC 内，∴F E⊥BE ，F E⊥AE ，∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角 …………9分 设CD a =，则2,BD AB a ==3BC a =，在△AEB 中，22117222AE BE AC AB BC a ===+= ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅ 即所求二面角B －EF －A 的余弦为17-． …………12分 19. （本小题满分12分）解：（1）由题意可设圆的方程为222x y b +=，(0)b > …………1分 ∵直线20x y -+=与圆相切，∴22d b ==，即2b =， …………2分 又33c e a ==，即3a c =，222a b c =+，解得3a =，1c =， …………3分 ∴ 椭圆方程为22132x y +=． …………4分 （2）设(,)M x y ，其中[3,3]x ∈-．由已知222OP OMλ=及点P 在椭圆C 上可得2222222222633()x x x x y x y λ+-+==++， 整理得2222(31)36x y λλ-+=，其中[3,3]x ∈-． ……6分 ①当33λ=时，化简得26y =， …………7分 ∴点M 的轨迹方程为6(33)y x =±-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段； 8分②当33λ≠时，方程变形为2222166313x y λλ+=-，其中[3,3]x ∈-， ……9分 当303λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点，实轴在y 轴上的双曲线满足33x -≤≤的部分； ……………10分 当33λ<<1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆满足33x -≤≤的部分； ……………11分当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆。