北京理工大学概率论习题课

FZ ( z ) P {2 X Y z } 0
0 z 2 FZ ( z ) P {2 X Y z } 1 2 z z 4 z 2 FZ ( z ) P {2 X Y z } 1.
1 0 z 2, 1 z , 故所求的概率密度为： f Z ( z ) 2 其他 . 0 ,
解 1 1 P{ X x} P{ X x}
P{ X x} P{ X x } 2 P{ X x }
1 可见根据定义有 x u P{ X x} 1 ，故应选(C). 2 2
例4 (2004)
) 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n ( n 1独立同分布， n 1 2 且其方差为 0. 令 Y X i，则 n i 1 2 2 . (A) Cov( X 1 ,Y ) (B) Cov ( X 1 , Y ) n n2 2 n1 2 (C) D ( X 1 Y ) (D) D ( X 1 Y ) n n 1 n 解 Cov( X 1 ,Y ) Cov ( X 1 , X i ) n i 1 1 1 n Cov ( X 1 , X 1 ) Cov ( X 1 , X i ) n n i2 1 1 2 DX 1 . n n
设 X , X , X , X 是 来 自 正 态 总 体 N 0,2 的 样 本 ， 令 Y X X X X 则 当 1 C 时 CY ~ 2 .
2 1 2 3 4
2
2
1
2
3
4
2
例1
二．选择题：
对于任意两个随机变量X和 Y , 若 E ( XY ) E ( X ) E (Y ), 则 ( A) D( XY ) D( X ) D(Y )( B ) D( X Y ) D( X ) D(Y ) (C ) X和 Y相互独立 ( D ) X和Y不相互独立
解 : Cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) 0 D ( X Y ) D ( X ) D (Y ) 2Cov( X , Y ) D ( X ) D (Y )
应选 (B) .
例2 (2005) 设 X 1 , X 2 , , X n , 为独立同分布的随机变量列，
例1 (2005) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 1, 0 x 1,0 y 2 x , f ( x, y) 其他 . 0, 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度 f X ( x ), f Y ( y ) （II） Z 2 X Y 的概率密度
三．简答题：
x } ( x ).
C)
n
lim P {
i 1
n
i 1 lim P { (D) x } ( x ) n n
解 由题设，EX i
1
E Xi
i 1
n
n

, DX i n
1

2
i 1
Xi n
n

Xi n
i 1
n

D Xi
0.6 ), Y ~ N (1,2 ), 且 X与 Y相互独立 , 例2 设 X ~ N (10， 则D( 3 X Y )
解：由方差的性质得 D (3 X Y ) 9 D ( X ) D (Y ) 5 .4 2 7 .4
例3 (2001) (1)设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不 等式有估计P{|X-E(X)|≥2} ≤ .
1 2 4/9 4/9 0 1/9
8 1 10 E (V ) 1 2 9 9 9
1 1 1 设A,B为随机事件，且 P ( A ) , P ( B A ) , P ( A B ) 4 3 2 令 1, A发生 , 1, B发生 , X Y 0, A不发生; 0, B不发生 .
i 1
n
n
2
2
故应选(B).
例3 (2004) 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的
( 0 1) ，数 u 满足 P { X u } ，若
P { X x } 则 x 等于 u u (A) (B) (C) 1 2
2
u1
2
(D)
u1
例4
设 X , X , X 是独立同分布的随机变量序 列 ,且均值为 , 方差为 ,那么当 n 充分大
1 2 n
2
2 N ( , ) 时,近似有 X ~ n
X 或 / n X 或 / n
N ( 0 ,1)
。特
别的，当同为正态分布时，对于任意的 n ， 都精确有 X
1 2 4/9 4/9 0 1/9
,
(II)
4 4 1 16 E (UV ) 1 1 0 2 1 2 2 9 9 9 9
4 5 14 E (U ) 1 2 9 9 9
16 14 10 4 Cov (U ,V ) E (UV ) E (U ) E (V ) 9 9 9 81 V 1 2 U
4 P ( X 2 ) P (Y 1 ) P ( X 1 ) P (Y 2 ) 9 P (U 2 ,V 2 ) P (max X , Y 2 , min X , Y 2 }) 1 P ( X 2 , Y 2 ) P ( X 2 ) P (Y 2 ) 9 故(U, V)的概率分布为: V 1 2 U
,
(I) 求(U, V)的概率分布; (II) (II) 求(U, V)的协方差Cov(U, V).
解 (I) 易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且
P (U 1,V 1) P (max X , Y 1, min X , Y 1}) 4 P ( X 1, Y 1 ) P ( X 1) P (Y 1) 9
习题课
例1 (2002)
一．填空题：
2
设随机变量X服从正态分布 N ( , )( 0 ), 且 二次方程 y 2 4 y X 0 无实根的概率为1/2,则 ＝ . 解:由△=16-4X<0,得:X>4,即P(X>4)=1/2,而 P(X>)=P(X< )=1/2,所以=4.
P (U 1,V 2 ) P (max X , Y 1, min X , Y 2 }) 0 P (U 2 ,V 1) P (max X , Y 2 , min X , Y 1})
P ( X 2 , Y 1 ) P ( X 1, Y 2 )
0, z 0, 1 2 FZ ( z ) z z , 0 z 2, 4 z 2. 1,
例2 (2007)
设随机变量X与Y独立同分布, 且X的概率分布为
X 1 2 2 1 P 3 3
记 U max X , Y ,V min X , Y
且均服从参数为 ( 1的指数分布，记 )
为标准正态分布函数，则 (A) lim P {
n i 1
n
( x )
X i n n
X i n
n
lim P { x } ( x ) (B) n
Xi n
i 1
n
n
n
Xi
n
x } ( x ).
E (| X E ( X ) |2 ) D ( X ) 1 解 :由 P (| X E ( X ) | ) . 2 2 2
(2)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正 面向上和反面向上的次数,则X和Y的相关系数等于 (A) -1 (B) 0 (C)1/2 (D) 1 解:因为X+Y=n,即Y=-X+n,故X与Y之间有严格 的线性关系,且为负相关,所以选(A).
f Z ( z ).

解 （I） 关于X的边缘概率密度 f X ( x ) f ( x , y )dy
2x 0 dy , 0 x 1, 2 x , 0 x 1, 其他 . 0, 其他 . 0,
关于Y的边缘概率密度 1 y 0 y 2, y dx , 0 y 2, 1 , fY ( y ) f ( x , y )dx 2 2 其他 . 其他 . 0 , 0 , （II） 令 F Z ( z ) P { Z z } P { 2 X Y z } 当 z0
求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数 XY . P ( AB ) 1 1 解 （I） P ( AB ) P ( A) P ( B A) P(B) , 12 P( A B) 6 1 P { X 1, Y 1} P ( AB ) 12 1 P { X 1, Y 0} P ( A B ) P ( A ) P ( AB ) 16 P { X 0,Y 1} P ( A B ) P ( B ) P ( AB ) , 12
例4
设供电网有 10000 盏电灯，夜晚每盏电灯开 灯的概率均为 0.7， 并且彼此开闭与否相互独 立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分 别估算夜晚同时开灯数在 6800 到 7200 之间 的概率
(1 ) 设 X 表 示 夜 晚 同 时 开 灯 的 盏 数 解：
E ( X ) 7000, D ( X ) 2100, D( X ) 由切比雪夫不等式 P {| X E ( X ) | } 1 , 2 故 P 6800 X 720 0 P {| X 7000 | 200 } 2100 0 .9475 为所求 1 2002
，
例3(2004)
P { X 0,Y 0} P ( A B ) 1 P ( A B )
1 P ( A ) P ( B ) P ( AB ) 1 1 1 2 1 12 6 12 3 故(X,Y)的概率分布为
(II)
Y
0
Байду номын сангаас
1
1 1 X EX , EY 4 6 0 2/3 1/12 5 3 1 1/6 1/12 DY DX 36 16 1 Cov ( X ,Y ) 15 E ( XY ) XY . 12 DX DY 15
1 n 1 1 D( X 1 Y ) D( X1 X 2 X n ) n n n 2 2 n 3n 2 n 3 2 (1 n ) 2 n 1 2 2 2 2 n n n n n1 1 1 D( X 1 Y ) D( X1 X 2 X n ) n n n 2 ( n 1)2 2 n 1 2 n n 2 n 1 2 2 . 2 2 n n n n
2 N ( , ) n
N ( 0 ,1)
例5
8 解： 因 X 1 X 2 ~ N ( 0 , 8 ) X 3 X 4 ~ N ( 0 ,8 ) X3 X4 X1 X 2 ~ N ( 0,1) ~ N ( 0,1) 8 8 2 2 X1 X 2 X 3 X 4 2 所以 ~ (2) 8 8 Y 2 即 ~ ( 2) 8 1 故 C 8