电路理论第08章相量法

(2)
ij1(t) 3π104co(s(1π002π) t 5π3040) 0 i2 (t) 1j0si5nπ(1400π2πt 1530π) 4
进行相位比 较时应满足 同频率、同
(3)i2
(4)
(uuit11i2)((2(tt(tj))jt))1015130cc3030cooc0c0ososo0s(1(ss1((10((102(0010000π0100ππ55tππt0t0t)t03)1301140003155)05520)0000)0)不0) 能函 号 值w比， 范数1 较且 围、相在 比同w位主 较符2差。
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借助相量图计算
U1 630o V U2 460o V
+j
U2
60
U1
U
+j
30 41.9
+1
U
U2
U1 60
30 41.9
+1
首尾相接
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②正弦量的微分、积分运算
i 2 I cos(w t y i ) I Iy i
微分运算 di d Re 2 Iejw t Re 2I jw ejw t dt dt
研究正弦电路的意义 1.正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域 占有十分重要的地位。
优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。
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2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
结论
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素 i(t)=Imcos(w t+y)
(1) 幅值 (振幅、最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率ω
相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。
w 2π f 2πT
(3) 初相位y
单位： rad/s ，弧度/秒
2
•
U
1
e
jwt
)
பைடு நூலகம்
Re(
2
•
U
2
e
jwt
)
Re(
•
2U1
e jwt
2
•
U
2
e jwt
)
Re(
2
•
(U
1
•
U
2
)e
jwt
)
相量关系为： U U1 U2
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
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i1 i2 = i3
I1 I2 I3
例 u1(t) 6 2cos(314t 30) V
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
U
1 2 Um
或 Um 2U
若交流电压有效值为 U=220V ， U=380V
其最大值为
注意
Um311V
Um537V
① 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 压水平时应按最大值考虑。
|F1| |F2|
θ1 θ2
模相除 角相减
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例1 547 10 25 ? 解 原式 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61 例2 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
20 j5 解 原式 180.2 j126.2 19.2427.9 7.21156.3
是一个正弦量 有物理意义
唯一与其对应的复数函数。
i 2Icos(w t Ψ ) F (t) 2Ie j(wtΨ )
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F(t) 还可以写成 复常数
F (t) 2Ie jy e jwt 2Ie jwt
F(t) 包含了三要素：I、 、w， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
试用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量图
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
i(t)=Imcos(w t+y) 正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT )
周期T 和频率f
t
f 1 T
周期T ：重复变化一次所需的时间。单位：秒s 频率f ：每秒重复变化的次数。单位：赫(兹)Hz
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正弦电流电路 激励和响应均为同频率的正弦量的线性电路
（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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注意 同一个正弦量，计时起点不同，初相
位不同。
i
y =0 一般规定：|y | 。
oy y =－/2
wt
y =/2
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例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 i(t) 100cos(103t y )
或 a | F | cos
b | F | sin
2. 复数运算
①加减运算 —— 采用代数式
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若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 则 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2)
Im F2
F1+F2
Im
F1+F2
F2
o 图解法
F1 Re o
F1
Re
F1-F2 -F2
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u(t) 2Ucos(w t θ) U Uθ
+j •
U
•
I
+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2
•
U
1
e
jw
t
)
u2 (t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t)
u1(t) u2 (t) Re(
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
相量的模表示正弦量的有效值
注意
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知 i 141.4cos(314t 30o )A
u 311.1cos(314t 60o )V
i2 (t) 3cos(100π t 300 )
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值定义
物 直流I R 理 意
义 W RI 2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t)dt
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均方根值
100 i
t 0 50 100cosy
y π 3
y π 50
t
3
由于最大值发生在计时起点右侧
o t1
i(t) 100 cos(103t π) 3
当 103t1 π 3 有最大值
t1＝1π033 ＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i) 相位差 ：j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
def
I
定义电压有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+ )
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I
1 T
T
0
I2 m
cos2 (
w
t
Ψ
) dt
T
0
cos2
(
w
t
Ψ
)
dt
T
0
1
cos2(w
2
t
Ψ
) dt
1tT 1T 20 2
Im 2I
20.6214.04 180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536
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③旋转因子
复数 ej =cos +jsin =1∠
F• ej
Im
F• ej
旋转因子
F
0
Re
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特殊旋转因子
uC
u(t)
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos(w t y1)
i2 2 I2 cos(w t y 2 )
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iu1, i
i2
i1
角频率 w
iw2
有效值 I1 o
I2
初相位 1
2
i1+i2 i3
i3
w
w It3 3
结论同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所
u2 (t) 4 2cos(314t 60o ) V
U U1 U2 630 460
U1 630o V U2 460o V
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
②乘除运算 —— 采用极坐标式
若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2
则:
F1 F2
F e j1 1
F e j2 2
F1
F2
e j(12 )
F1 F2 1 2
模相乘 角相加
F1 | F1 | θ1 | F1 | e jθ1 | F | e 1 j(θ1θ2 ) F2 | F2 | θ2 | F2 | ejθ 2 | F2 |
Im
jF
F
π,
2
jπ
e2
cos π
jsin
π
j
0
Re
2
2
jF
F
π,
j π
π
π
e 2 cos( ) jsin( ) j
2
2
2
π , ejπ cos(π) jsin(π) 1
注意 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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8.2 正弦量
1. 正弦量
i
T
波形
瞬时值表达式 0
j ＝ 0， 同相
j = (180o ) ，反相
u
u
i
o
wt
j= /2：u 领先 i /2
o
u i
o
i wt wt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例 计算下列两正弦量的相位差。
解 (1) i1(t) 10cos(100π t 3π 4)
结论
i2 (t) 10cos(100π t π 2) 两个正弦量
以，只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量
复数
变换的思想
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 F (t) 2Ie j(w tΨ )
2Icos(wt Ψ ) j 2Isin(wt Ψ )
对 F(t) 取实部 Re[F(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
结论任意一个正弦时间函数都有
积分运算
idt Re
2Iejw t
dt
Re
2
Iejw t
jw
di dt
jw
I w
I
yi
π 2
idt
I
jw
I
w
yi
π 2
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例 i(t)
+R
u(t)
L
-
C
i(t) 2 I cos(w t y i )
u(t)
Ri
L
di dt
1 C
idt
用相量运算：
U RI jwLI
I
jwC
规定： |j | (180°) 等于初相位之差
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j >0， u超前i j 角，或i 滞后 u j 角, (u 比 i 先
到达最大值)；
j <0， i 超前 u j 角，或u 滞后 i j 角, i 比 u 先
到达最大值）。
u, i u i
o
wt
yu yi j
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特殊相位关系
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②测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
③区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的 符号。
i, Im , I , u,Um ,U
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8.3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程：
+R
u
-
iL
L
+
uC-
C
LC d2uC dt
RC duC dt
相量法的优点
①把时域问题变为复数问题；
②把微积分方程的运算变为复数方程运算； ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
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注意 ① 正弦量
相量
时域 正弦波形图
频域 相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变
线性电路。
不
适
线
w1 线
w非
第8章 相量法
本章重点
8.1 复数 8.2 正弦量 8.3 相量法的基础 8.4 电路定律的相量形式
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重点： 1. 正弦量的表示、相位差 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式
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8.1 复数
1. 复数的表示形式
F a jb 代数式
(j 1 为虚数单位)
F | F | ej
指数式
Im
b
F
|F|
o
a Re
三角函数式
F | F | ej | F | (cos j sin ) a jb
F | F | ej | F |
极坐标式
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几种表示法的关系：
F a jb
Im
b
F
|F|
F | F | ej | F |
| F | a2 b2
o
a Re
θ arctan b a