一元一次不等式讲义

一元一次不等式讲义

【精讲】

一、知识点回顾

一般地，用符号“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”连接的式子叫做不等式。 注意：⑴要弄清不等式和等式的区别：等式有等号，而不等式没有。

⑵常用的不等号有：＜、≤、＞、≥、≠。

例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32>-；②21x ≤；③21x -；④s vt =；⑤283m x <-；⑥

1

24x x

->-；⑦38x ≠；⑧5223x x -≈-+；⑨240x +>；⑩

230x

π

+>。

⑶列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如： “正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）”

⑷除了⑶常见不等式所表示的基本语言与含义还有：

①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或

0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a

b

<，则a 、b 异号。 ⑸不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。 例：规定一种新的运算：1a b a b a b Θ=⨯--+，比如：2323231Θ=⨯--+，请你比较：

34Θ 43Θ，()34-Θ ()43Θ-。

（填不等号） 练习：1、用不等式表示：⑴a 是正数： ；⑵x 的平方是非负数： ；

⑶a 不大于b ： ；⑷x 的3倍与－2的差是负数： ；

⑸长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2

： 。

2、试判断237a a -+与32a -+的大小。

3、如果0a b +<，0b >，则, , , a b a b --的从打到小的排序是： 。

2、不等式的基本性质：

有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。

例：用最确切的不等号填空：

①若3＜x ，则x 3；②若-2＜x ，则0 x +2；③若－2a ≥8，则a 4；④若x ＞y ，则m 2

x m 2 y 。 ⑵关于x 的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是 。

⑶如果0<

A ．99-<-n m

B. n m ->-

C.

m n 11> D.1>n

m

3、不等式的解和不等式的解集的定义：

⑴能使不等式成立的未知数的值（一个或几个），叫做不等式的解。 ⑵一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 注意：不等式的解集，包含两方面的含义：

⑴未知数取解集中的任何一个值时，不等式都成立。 ⑵未知数取解集外的任何一个值时，不等式都不成立。 ⑶求不等式的解集的过程叫做解不等式。

⑷不等式的解集可在数轴上直观表示。注意：用数轴表示不等式的解，应记住规律： 大于向右画，小于向左画，有等号(≤、≥)画实心点，无等号(＜、＞)画空心圈。

例如：不等式x ＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内。

不等式x －5≤－1的解集x ≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置画实心圆点，表示4在这个解集内。 例1：求不等式中字母的取值（实质仍是解不等式）

关于不等式22x a -+≥的解集如图所示，a 的值是（ ） A 、0 B 、2 C 、－2 D 、－4

例2：不等式53-x ＜x +3的正整数解有( )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 练习：⑴解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

①11-≤+-x ； ②032<-x ⑵填空题：①大于0且小于π的整数是 ；②3

4-≥x ，则x 的最小整数是 。

⑶李强同学用若干根长度相等的火柴棒在桌面上首尾相接地摆三角形，其中三角形的一边用了3根火柴棒，另一边用了6根火柴棒，那么第三边最少用 根火柴棒，最多用 根火柴棒。 ⑷不等式3x <的解集在数轴上表示为（ ）。 【答案B 】 A. B ． C ． D ．

4、一元一次不等式的定义和解法：

⑴不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b ＜0或ax+b ≤0，ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．

⑵解一元一次不等式的一般步骤：

例：13

1

321≤---x x 解不等式：

3 2 1 0 3 2 1 0 3

2

1 0 3

2 1 0

练习：⑴解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

①4

1233

523+>--x x ； ②3

252

132x x x -≤--

⑵某商品原来的价格为6元/件，涨价x %后仍不高于9元/件，求x 的最大值。

6、一元一次不等式组：

⑴关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组。

⑵一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ⑶一元一次不等式组的解法：先解出各个不等式的解集，然后再找出它们的公共部分。 可以利用数轴来找。

例1：解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．23112.2

x x x -<⎧⎪

⎨-+-⎪⎩， ①

≥ ②

例2：求不等式组中字母的取值 已知不等式组321

x x a +⎧⎨-<⎩，≥无解，求a 的取值范围