2018-2019龙岩二中高三数学期中考试卷

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福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

努力的你,未来可期!公众号:小升初数学压轴题天天练福建省龙岩高级中学2019-2020学年高三(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 设集合A ={x|−2<x <4},B ={−2,1,2,4},则A ∩B =( )A. {1,2}B. {−1,4}C. {−1,2}D. {2,4} 【答案】A【解析】解:集合A ={x|−2<x <4},B ={−2,1,2,4},则A ∩B ={1,2}. 故选:A .直接利用交集的定义求解即可.本题考查交集的运算法则的应用,是基础题.2. “sinα=12“是“α=30∘”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解:当α=150∘,满足sinα=12,但α=30∘不成立. 若α=30∘,满足sinα=12,∴“sinα=12“是“α=30∘”的必要不充分条件.故选:B .根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用三角函数的性质是解决本题的关键,比较基础.3. 复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ),θ∈(0,π2)的对应点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解:复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ)=−cosθ−isinθ,复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ),θ∈(0,π2)的对应点(−cosθ,−sinθ)在第三象限. 故选:C .利用诱导公式化简,求出复数z 对应点的坐标即可得到结果. 本题考查诱导公式以及复数的几何意义,是基础题.4. 将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π12个单位,得到函数y =g(x)的图象,则它的一个对称中心是( )A. (π24,0)B. (−π6,0)C. (π6,0)D. (π12,0)【答案】D第2页,共11页【解析】解:函数y =sin2x 的图象向右平移π12个单位,则函数变为y =sin[2(x −π12)]=sin(2x −π6);考察选项不难发现:当x =π12时,sin(2×π12−π6)=0; ∴(π12,0)就是函数的一个对称中心坐标.故选:D .由题意根据平移变换求出函数的解析式,然后通过选项,判断函数的一个对称中心即可. 本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理能力,常考题型.5. 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( )A. 58B. 88C. 143D. 176 【答案】B【解析】解:∵在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16, ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16, ∴S 11=11(a 1 +a 11)2=88,故选:B .根据等差数列的定义和性质得a 1+a 11=a 4+a 8=16,再由S 11=11(a 1 +a 11)2运算求得结果.本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n 项和公式的应用,属于中档题.6. 已知角θ的终边经过点P(x,3)(x <0)且cosθ=√1010x ,则x 等于( )A. −1B. −13C. −3D. −2√23【答案】A【解析】解:已知角α的终边经过点P(x,3)(x <0)所以OP =√x 2+9, 由三角函数的定义可知:cosθ=√1010x =√x 2+9,x <0解得x =−1. 故选:A .求出OP 的距离,直接利用三角函数的定义,求出cosθ,列出方程,即可求出x 的值. 本题是基础题,考查三角函数的定义的应用,考查计算能力.7. O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B努力的你,未来可期!公众号:小升初数学压轴题天天练【解析】解:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致 又∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |) ∴向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选:B .先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量,确定AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致,再由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)可得到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),可得答案. 本题主要考查向量的线性运算和几何意义.属中档题.8. 设偶函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90∘,KL =1,则f(16)的值为( )A. −√34B. −14C. −12D. √34【答案】D【解析】解:因为f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90∘,KL =1, 所以A =12,T =2,因为T =2πω,所以ω=π,函数是偶函数,0<φ<π,所以φ=π2, ∴函数的解析式为:f(x)=12sin(πx +π2), 所以f(16)=12sin(π6+π2)=√34.故选:D .通过函数的图象,利用KL 以及∠KML =90∘求出求出A ,然后函数的周期,确定ω,利用函数是偶函数求出φ,即可求解f(16)的值.本题考查函数的解析式的求法,函数奇偶性的应用,考查学生识图能力、计算能力.9. 若O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 一定是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B第4页,共11页【解析】解:∵(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴△ABC 为等腰三角形. 故选:B .利用向量的运算法则将等式中的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 用三角形的各边对应的向量表示,得到边的关系,得出三角形的形状本题考查三角形的形状判断,着重考查平面向量的数量积及应用,考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.10. 正项等比数列{a n }中的a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,则log √6a 5a 6=( ) A. 1 B. 2 C. √2 D. −1【答案】B【解析】解:∵f(x)=13x 3−4x 2+6x −3,f′(x)=x 2−8x +6, a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点, ∴a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根, ∴a 1⋅a 11=6.∴log √6a 5a 6=log √6(a 1a 11)=log √66=2. 故选:B .f′(x)=x 2−8x +6,a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,可得a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根,再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出.本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11. 函数f(x)=xx 2+a 的图象可能是( )A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】解:f(x)=xx 2+a ,可取a =0,f(x)=xx 2=1x ,故(4)正确; ∴f′(x)=a−x 2(x 2+a)2,努力的你,未来可期!公众号:小升初数学压轴题天天练当a <0时,函数f′(x)<0恒成立,x 2+a =0,解得x =±√−a故函数f(x)在(−∞,−√−a),(−√−a,√−a),(√−a,+∞)上单调递减,故(3)正确; 取a >0,f′(x)=0,解得x =±√a ,当f′(x)>0,即x ∈(−√a,√a)时,函数单调递增,当f′(x)<0,即x ∈(−∞,−√a),(√a,+∞)时,函数单调递减,故(2)正确 函数f(x)=xx 2+a 的图象可能是(2),(3),(4),故选:C .分别令a =0,a >0,a <0,根据导数和函数的单调性即可判断.本题考查了函数图象的识别,以及导数和函数的单调性的关系,属于中档题.12. 设函数是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,当x >0时,xlnx ⋅f′(x)<−f(x),则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A. (−2,0)∪(0,2) B. (−∞,−2)∪(2,+∞) C. (−2,0)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)∪(0,2) 【答案】D【解析】解:根据题意,设g(x)=lnx ⋅f(x),(x >0), 其导数g′(x)=(lnx)′f(x)+lnxf′(x)=1x f(x)+lnxf′(x), 又由当x >0时,xlnx ⋅f′(x)<−f(x),即lnx ⋅f′(x)<−1x f(x), 则有g′(x)=1x f(x)+lnxf′(x)<0,即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,又由g(1)=ln1⋅f(x)=0,则在区间(0,1)上,g(x)=lnx ⋅f(x)>0,又由lnx <0,则f(x)<0, 在区间(1,+∞)上,g(x)=lnx ⋅f(x)<0,又由lnx >0,则f(x)<0, 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上,f(x)<0,而x =1时,g(1)=ln1⋅f(x)=0,故f(x)也可小于0,又由f(x)为奇函数,则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上,都有f(x)>0, (x 2−4)f(x)>0⇒{f(x)>0x 2−4>0或{f(x)<0x 2−4<0,解可得:x <−2或0<x <2,则x 的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2); 故选:D .根据题意,设g(x)=lnx ⋅f(x),(x >0),对g(x)求导,利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x)在(0,+∞)上为减函数,分析g(x)的特殊值,结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+∞)上,都有f(x)<0,结合函数的奇偶性可得在区间(−1,0)和(−∞,−1)上,都有f(x)>0,进而将不等式变形转化,解可得x 的取值范围,即可得答案. 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系,以及不等式的解法,关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6,则2a ⃗ −b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为______. 【答案】1【解析】解:∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6,∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2|a ⃗ |2−a ⃗ ⋅b ⃗ =2×22−2×6×12=2,∴2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为(2a⃗ −b⃗)⋅a⃗|a⃗ |=22=1.故答案为:1.由已知求出(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗,然后代入投影概念得答案.本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量在向量方向上的投影的概念,是中档题.14.已知tanα=2,则cos2α+sin2α=______.【答案】1【解析】解:∵tanα=2,∴cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα1+tan2α=1+2×21+22=1.故答案为:1.由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,求得要求式子的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.15.递增数列{a n}满足2a n=a n−1+a n+1,(n∈N∗,n>1),其前n项和为S n,a2+a8=6,a4a6=8,则S10=______.【答案】35【解析】解:∵2a n=a n−1+a n+1,(n∈N∗,n>1),∴数列{a n}为等差数列,又a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3,又a4a6=(a5−d)(a5+d)=9−d2=8,∴d2=1,解得:d=1或d=−1(舍去)∴a n=a5+(n−5)×1=3+(n−5)=n−2.∴a1=−1,∴S10=10a1+10×92=35.故答案为:35.由2a n=a n−1+a n+1,(n∈N∗,n>1),知列{a n}为等差数列,依题意可求得其首项与公差,继而可求其前10项和S10.本题考查数列的求和,判断出数列{a n}为等差数列,并求得a n=2n−1是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.16.对函数f(x)=2sin(12x+π6)−1 (x∈R),有下列说法:①f(x)的周期为4π,值域为[−3,1];②f(x)的图象关于直线x=2π3对称;③f(x)的图象关于点(−π3,0)对称;④f(x)在(−π,2π3)上单调递增;⑤将f(x)的图象向左平移π3个单位,即得到函数y=2cos12x−1的图象.其中正确的是______.(填上所有正确说法的序号).【答案】①②④第6页,共11页努力的你,未来可期!公众号:小升初数学压轴题天天练【解析】解:对函数f(x)=2sin(12x +π6)−1 (x ∈R),他的周期为2π12=4π,值域为[−3,1],故①正确. 当x =2π3时,f(x)=1,为最大值,故f(x)的图象关于直线x =2π3对称,故②正确.当x =−π3时,f(x)=−1,不是函数的最值,故故f(x)的图象不关于直线x =2π3对称,故③错误. 在(−π,2π3)上,12x +π6∈(−π3,π2),故f(x)=2sin(12x +π6)单调递增,故f(x)在(−π,2π3)上单调递增,故④正确.将f(x)的图象向左平移π3个单位,即可得到函数y =2sin[12(x +π3)+π6]=2sin(12x +π3)的图象,故⑤错误,故答案为:①②④.由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,从而得出结论.本题主要考查正弦函数的图象和性质,函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知cos2A =−13,c =√3,sinA =√6sinC .(1)求a 的值;(2)若角A 为锐角,求b 的值及△ABC 的面积.【答案】解:(1)∵cos2A =1−2sin 2A =−13,且 0<A <π, ∴sinA =√63. ∵c =√3,sinA =√6sinC ,由正弦定理asinA =csinC ,得a =√6⋅c =√6×√3=3√2. (2)由sinA =√63,0<A <π2得cosA =√33.由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ,得b 2−2b −15=0. 解得b =5或b =−3(舍负). ∴S △ABC =12bcsinA =5√22. 【解析】(1)由二倍角余弦公式求出sinA 的值,再由正弦定理即可求出a 的值; (2)由sinA 的值求出cosA 的值,再由余弦定理即可求出b 的值及△ABC 的面积.本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力,是中档题.18. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘,且|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4.(Ⅰ)计算:|4a ⃗ −2b ⃗ |;(Ⅱ)当k 为何值时,(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b⃗ ).【答案】解:(Ⅰ)∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为120∘,且|a⃗|=2,|b⃗ |=4.∴由已知得,a⃗⋅b⃗ =2×4×(−12)=−4.∵|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4+2×(−4)+16=12,∴|a⃗+b⃗ |=2√3.∵|4a⃗−2b⃗ |2=16a⃗2−16a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=16×4−16×(−4)+4×16=192,∴|4a⃗−2b⃗ |=8√3.(Ⅱ)∵(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ ),∴(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0,∴k a⃗2+(2k−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0,即16k−16(2k−1)−2×64=0,∴k=−7.即k=−7时,a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直.【解析】(Ⅰ)求出a⃗⋅b⃗ =2×4×(−12)=−4.由此能求出|4a⃗−2b⃗ |.(Ⅱ)由(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ ),得(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0,由此能求出k=−7时,a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直.本题考查向理的模的求法,考查满足向量垂直的实数值的求法,考查向量的娄量积、向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.19.函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx.(1)求函数f(x)的递增区间;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域.【答案】解:(1)f(x)=sin2x+√3sinxcosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x−π6)+12…(2分)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2解得kπ−π6≤x≤kπ+π3…(5分)f(x)的递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)…(6分)(2)∵0≤x≤π2,∴−π6≤2x−π6≤5π6…(8分)∴−12≤sin(2x−π6)≤1,∴0≤sin(2x−π6)+12≤32…(10分)∴f(x)的值域是[0,32]…(12分)【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简,然后通过正弦函数的单调增区间求解即可.(2)求出相位的范围,利用正弦函数的有界性,求解函数的值域即可.本题考查两角和与差的三角函数,二倍角公式的应用,三角函数的最值,考查计算能力.20.已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=12(1−a n).(1)求数列{a n}的通项公式并证明S n<12;第8页,共11页努力的你,未来可期!公众号:小升初数学压轴题天天练(2)设函数f(x)=log 13x ,b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ),若T n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n.求T n .【答案】解:(1)当n ≥2时,S n−1=12(1−a n−1),a n =S n −S n−1,∴a n =12(1−a n )−12(1−a n−1)=−12a n +12a n−1,整理得:2a n =−a n +a n−1,∴a n a n−1=13, 当n =1时,S 1=a 1=12(1−a 1),解得:a 1=13,∴数列{a n }是首项a 1=13,公比为13的等比数列, ∴a n =13×(13)n−1=(13)n ,证明:由等比数列前n 项公式可知:S n =13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ],∵1−(13)n <1,∴12[1−(13)n ]<12, ∴S n <12.(2)∵f(x)=log 13x ,∴b n =log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a n =log 13(a 1a 2…a n )=log 13(13)1+2+⋯+n ,=1+2+⋯+n =n(1+n)2.∵1b n=2n(1+n)=2(1n−1n+1),∴T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2nn+1,∴T n =2nn+1.【解析】(1)由当n ≥2时,S n−1=12(1−a n−1),a n =S n −S n−1,整理得:2a n =−a n +a n−1,a nan−1=13,当n =1时,a 1=13,数列{a n }是首项a 1=13,公比为13的等比数列,即可求得a n =13×(13)n−1=(13)n ,由等比数列前n 项和公式可知:S n =13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ],由1−(13)n <1,则12[1−(13)n ]<12,即可证明S n <12;(2)b n =log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a n =log 13(a 1a 2…a n )=log 13(13)1+2+⋯+n =1+2+第10页,共11页⋯+n =n(1+n)2,则1b n=2n(1+n)=2(1n −1n+1),采用“裂项法”即可求得T n .本题考查等比数列前n 项和公式的应用,求等差数数列的前n 项和,考查“裂项法”求数列的前n 项和,考查计算能力,属于中档题.21. 已知函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若 f(x)≤0恒成立,式确定实数k 的取值范围. 【答案】解:(1)∵函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1, ∴f′(x)=1x−1−k ,(x >1),∴当k ≤0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;当k >0时,令1x−1−k >0,则1<x <1+1k ,∴函数f(x)在区间(1,1+1k )上单调递增; 令1x−1−k <0,则x >1+1k ,∴函数f(x)在区间(1+1k ,+∞)上单调递减.综上,当k ≤0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+∞);当k >0时,函数f(x)单调递增区间为(1,1+1k ),单调递减区间为(1+1k ,+∞). (2)由(1)知:当k >0时,函数f(x)的最大值为:f(1+1k )=ln 1k =−lnk .∵f(x)≤0恒成立,∴−lnk <0, ∴k >1.【解析】本题(1)先求出函数的导函数,利用导函数值的正负,研究函数的单调性,注意要分类研究;(2)要使 f(x)≤0恒成立,就要求函数的最大值小于0,利用(1)的结论,得到求出函数最大值,得到相应的不等关系,解不等式,得到本题结论.本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题,本题难度不大,属于基础题.22. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=1+tcosα(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位),且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=6sinθ. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C 与直线l 交于点A ,B ,求|PA|+|PB|的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ, 化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y , 即x 2+(y −3)2=9.(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程, 得t 2+2(cosα−sinα)t −7=0.由△=(2cosα−2sinα)2+4×7>0, 故可设t 1,t 2是上述方程的两根, 所以{t 1⋅t 2=−7t 1+t 1=−2(cosα−sinα),又直线l 过点(1,2),故结合t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2 =√4(cosα−sinα)2+28=√32−4sin2α≥√32−4=2√7. 所以|PA|+|PB|的最小值为2√7.努力的你,未来可期!【解析】(I)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程;(II)先根据(I)得出圆C的普通方程,再根据直线与交与交于A,B两点,可以把直线与曲线联立方程,用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义,表示出|PA|+|PB|,最后根据三角函数的性质,即可得到求解最小值.此题主要考查参数方程的优越性,及直线与曲线相交的问题,在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可,属于综合性试题有一定的难度.公众号:小升初数学压轴题天天练。

福建省龙岩市2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

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2018-2019学年福建省龙岩市高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合,0,1,,则A. B.C. D. 0,1,【答案】A【解析】解:集合,0,1,,则.故选:A.直接利用集合的交集的运算法则求解即可.本题考查集合的基本运算,交集的求法,是基本知识的考查.2.已知复数,且是纯虚数,则实数A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】解:为纯虚数,,解得.故选:A.把复数代入,然后利用复数代数形式的乘法运算化简,再由已知条件列出方程组,求解可得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.3.若公差为2的等差数列的前9项和为81,则A. 1B. 9C. 17D. 19【答案】C【解析】解:公差为2的等差数列的前9项和为81,,解得,.故选:C.利用等差数列前n项和公式求出首项,由此能求出第9项.本题考查等差数列的第9项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.4.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解:,为偶函数,的图象关于y轴对称,故排除B,C,当时,,故排除D,或者根据,当时,为增函数,故排除D,故选:A.先求出函数为偶函数,再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断.本题考查了函数图象的识别,关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势,属于基础题.5.已知集合,,那么“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解:当时,,,则成立,即充分性成立,若,则或,即或或,当时,不成立,当时,,,则成立,当时,不成立,综上,即“”是“”的充要条件,故选:C.根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据集合交集的定义进行运算是解决本题的关键.6.在长方体中,,与平面所成的角为,则该长方体的体积为A. 8B.C.D.【答案】C【解析】解:长方体中,,与平面所成的角为,即,可得.可得.所以该长方体的体积为:.故选:C.画出图形,利用已知条件求出长方体的高,然后求解长方体的体积即可.本题考查长方体的体积的求法,直线与平面所成角的求法,考查计算能力.7.已知函数,则A. 的最小正周期为,最大值为3B. 的最小正周期为,最大值为4C. 的最小正周期为,最大值为3D. 的最小正周期为,最大值为4【答案】B【解析】解:函数,,,,,,故函数的最小正周期为,函数的最大值为,故选:B.首先通过三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成余弦型函数,进一步利用余弦函数的性质求出结果.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,余弦型函数的性质的应用.8.已知函效,则下列结论正确的是A. 有极值B. 有零点C. 是奇函数D. 是增函数【答案】D【解析】解:当时,,恒成立,在上为增函数,,当时,,函数为增函数,,综上所述是增函数,函数无极值,无零点,,,函数为非奇非偶函数,故选:D.当时,,利用导数判断函数为增函数,当时,,函数为增函数,再去判断零点,极值和奇偶性.本题考查了分段函数的问题,关键是掌握函数的单调性,属于中档题9.在中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则A. B. C. D.【答案】A【解析】解:在中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,,故选:A.运用向量的加减运算和向量中点的表示,计算可得所求向量.本题考查向量的加减运算和向量中点表示,考查运算能力,属于基础题.10.已知椭圆C:的一个焦点为,则C的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】解:椭圆C:的一个焦点为,可得,解得,,.故选:C.利用椭圆的焦点坐标,求出a,然后求解椭圆的离心率即可.本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体最长的棱长为A.B.C. 6D.【答案】C【解析】解:利用“三线交汇得顶点”的方法,该几何体是三棱锥如图所示,其中,正方体棱长为4,点P是正方体其中一条棱的中点,则:,,所以最长棱为6.故选:C.根据几何体的三视图还原几何体形状,求出各棱的长度,比较后,可得答案.本题考查的知识点是由三视图,求体积,其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键12.设函数若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解:函数,若为奇函数,可得,所以函数,可得,曲线在点处的切线的斜率为:1,则曲线在点处的切线方程为:.故选:D.利用函数的奇偶性求出a,求出函数的导数,求出切线的向量然后求解切线方程.本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法,考查计算能力.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知函数,若,则______.【答案】【解析】解:函数,若,可得:,可得.故答案为:.直接利用函数的解析式,求解函数值即可.本题考查函数的解析式的应用,函数的领导与方程根的关系,是基本知识的考查.14.若x,y满足约束条件,则的最小值为______.【答案】2【解析】解:因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的,最值一定在边界点处取得.分别将点代入目标函数,求得:,所以最小值为2.故答案为:2.画出约束条件的可行域,利用目标函数以及可行域,判断最值点的位置,然后求解最小值即可.此题考查了简单的线性规划,考查目标函数的几何意义,体现了数形结合的数学思想方法及数学转化思想方法,是中档题.15.直线与圆交于A,B两点,则______.【答案】【解析】解:圆的圆心,半径为:2,圆心到直线的距离为:,所以.故答案为:.求出圆的圆心与半径,通过点到直线的距离以及半径、半弦长的关系,求解即可.本题考查直线与圆的位置关系的应用,弦长的求法,考查计算能力.16.已知函数在上有最大值,但没有最小值,则的取值范围是______【答案】【解析】解:要求函数在上有最大值,但没有最小值,所以,即,解得.且存在,使得.因为,所以.所以,所以,所以,由解得.由,解得,所以.故答案为.要求函数在上有最大值,但没有最小值,可得所以,解之即可得结论.本题主要考查研究有关三角的函数时要利用整体思想,灵活应用三角函数的图象和性质解题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.记为等比数列的前n项和已知,.求的通项公式;求,并判断,,是否成等差数列.【答案】解:设等比数列首项为,公比为q,则,则,,由,,整理得:,解得:,则,,的通项公式;由可知:,则,,由,,,,即,,,成等差数列.【解析】由题意可知,,,由,列方程即可求得q及,根据等比数列通项公式,即可求得的通项公式;由可知利用等比数列前n项和公式,即可求得,分别求得,,显然,则,,成等差数列.本题考查等比数列通项公式,等比数列前n项和,等差数列的性质,考查计算能力,属于中档题.18.如图,四棱锥中,底面ABCD,,,,M为线段AD上一点,,N为PC的中点.Ⅰ证明平面PAB;Ⅱ求四面体的体积.【答案】证明:Ⅰ取BC中点E,连结EN,EM,为PC的中点,是的中位线,又,,,,M为线段AD上一点,,,四边形ABEM是平行四边形,,平面平面PAB,平面NEM,平面PAB.解:Ⅱ取AC中点F,连结NF,是的中位线,,,又面ABCD,面ABCD,如图,延长BC至G,使得,连结GM,,四边形AGCM是平行四边形,,又,,的高,,四面体的体积.【解析】Ⅰ取BC中点E,连结EN,EM,得NE是的中位线,推导出四边形ABEM 是平行四边形,由此能证明平面PAB.Ⅱ取AC中点F,连结NF,NF是的中位线,推导出面ABCD,延长BC至G,使得,连结GM,则四边形AGCM是平行四边形,由此能求出四面体的体积.本题考查线面平行的证明,考查四面体的体积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.19.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据单位:和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于的概率;估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表【答案】解:根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表,作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图,如下图:根据频率分布直方图得:该家庭使用节水龙头后,日用水量小于的概率为:.由题意得未使用水龙头50天的日均水量为:,使用节水龙头50天的日均用水量为:,估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省:.【解析】根据使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表能作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图.根据频率分布直方图能求出该家庭使用节水龙头后,日用水量小于的概率.由题意得未使用水龙头50天的日均水量为,使用节水龙头50天的日均用水量为,能此能估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.本题考查频率分由直方图的作法,考查概率的求法,考查平均数的求法及应用等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.20.设抛物线C:,点,,过点A的直线l与C交于M,N两点.当l与x轴垂直时,求直线BM的方程;证明:.【答案】解:当l与x轴垂直时,,代入抛物线解得,所以或,直线BM的方程:,或:.证明:设直线l的方程为l:,,,联立直线l与抛物线方程得,消x得,即,,则有,所以直线BN与BM的倾斜角互补,.【解析】当时,代入求得M点坐标,即可求得直线BM的方程;设直线l的方程,联立,利用韦达定理及直线的斜率公式即可求得,即可证明.本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理,直线的斜率公式,考查转化思想,属于中档题.21.已知函数,.讨论的单调性;当时,证明:.【答案】解:的定义域为R ,且,当时,,此时的单调递减区间为.第11页,共13页当时,由 0'/>,得;由,得.此时的单调减区间为,单调增区间为.当时,由 0'/>,得;由,得.此时的单调减区间为,单调增区间为.证明:当时,要证:,只要证:,即证:,设,则,设,由知在上单调递增,所以当时,,于是 0'/>,所以在上单调递增,所以当时,式成立,故当时,.【解析】求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;问题转化为证明,设,根据函数的单调性证明即可.本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,为参数,直线l的参数方程为,为参数.若,求C与l的交点坐标;若C上的点到l距离的最大值为,求a.【答案】解:曲线C的参数方程为为参数,化为标准方程是:;时,直线l的参数方程化为一般方程是:;联立方程,解得或,所以椭圆C和直线l的交点为和第12页,共13页的参数方程为参数化为一般方程是:,椭圆C上的任一点P可以表示成,,所以点P到直线l的距离d为:,满足,且的d的最大值为.当时,即时,解得和,符合题意.当时,即时,解得和18,符合题意.【解析】将曲线C的参数方程化为标准方程,直线l的参数方程化为一般方程,联立两方程可以求得焦点坐标;曲线C上的点可以表示成,,运用点到直线距离公式可以表示出P到直线l的距离,再结合距离最大值为进行分析,可以求出a的值.本题主要考查曲线的参数方程、点到直线距离和三角函数的最值,难点在于如何根据曲线C上的点到直线l距离的最大值求出a.第13页,共13页。

福建省龙岩二中2019届高三上学期期中考试数学(理科)试题及答案

福建省龙岩二中2019届高三上学期期中考试数学(理科)试题及答案

2018-2019龙岩二中高三数学理期中考试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数iiz -+=13,则=z ( ) A.1 B.2 C.5 D.5 2.集合{}{}02|,1|2≤--=-==x x x B x y y A ,则=⋂B A ( )A.[)∞+,2 B.[]0,1 C.[]2,1 D.[]2,0 3.已知312cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα,则 α2cos 的值等于 ( ) A.97 B.97- C.98 D.98- 4.执行如图所示的程序框图,如果输入n 的值为4,则输出的S 的值为( )A.15B.6C.-10D.-21 5.下列命题中正确的是( )A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p ∧q ”为真命题B .命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x ≠0”C .“”是“”的充分不必要条件D .命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“020≤X ”6、圆(x -1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( )(A )1 (B )2 (C(D )7.已知直线l 1:y=xsin α和直线l 2:y=2x+c,则直线l 1与l 2 ( ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直C. 通过绕l 1上某点旋转可以重合D. 可能与x 轴围成等腰直角三角形 8、已知b>0,log 5b=a,lg b=c,5d =10,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c 9. 如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面 ABCD 的中心,M ,N 分别是棱DD 1,D 1C 1的中点,则直线OM( ) A .与AC ,MN 均垂直相交 B .与AC 垂直,与MN 不垂直 C .与MN 垂直,与AC 不垂直 D .与AC ,MN 均不垂直10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )A .B .C .D .311、将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的1x ,2x ,有6-min21π=x x ,则ϕ=( )A.512π B.3π C.4π D.6π 12.已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2<- x f xf x 的解集为( ).A . (0,1)B .(1,2)C .(1,)+∞D .(2,)+∞二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=+,0,,0,232x x x x f x ,则()[]=-1f f .14.已知向量,的夹角为3132==π,则= .15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球体积是 。

福建龙岩一中2019年高三上学期年中考试数学理试题

福建龙岩一中2019年高三上学期年中考试数学理试题

福建龙岩一中2019年高三上学期年中考试数学理试题2018—2018学年高三半期考数学〔理〕试题〔考试时间:120分钟 总分值:150分〕第I 卷〔选择题,共50分〕【一】选择题〔本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、假设1ia bi i+=+〔其中i 为虚数单位,a ,b ∈R 〕那么a +b=( ) A 、 一1 B 、 1 C 、 0 D 、2 A 、充要条件 B 、必要不充分条件C 、充分不必要条件D 、既不充分也不必要条件3、函数y=lg 〔l —x 〕的定义域为A ,函数y=x)31(的值域为B ,那么A B=〔〕A 、〔0,1〕B 、〔13,1〕 C 、φD 、R4、假设{n a }为等差数列,n S 是其前n 项的和,且π32211=S ,那么6tan a =〔〕A B 、C 、D 、5、在以下四个函数中,满足性质:“关于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠,1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有〔〕A 、1()f x x=B 、()||f x x =C 、()2x f x =D 、2()f x x =6、假如()k a ,1=,()4,k b =,那么“b a //”是“2-=k ”的〔〕 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件7、平面向量、为三个单位向量,且、满足〔〕,那么x+y 的最大值为〔〕A 、1B 、C 、D 、28、函数()sin(2))f x x x θθ=++为奇函数,且在[,0]4π-上为减函数的θ值能够是〔〕A 、3π-B 、6π-C 、56π D 、23π 9、设周期函数f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数,假设f 〔x 〕的最小正周期为3,且f 〔1〕>-2,f 〔2018〕=m-3m,那么m 的取值范围是〔〕 A 、〔-∞,-1〕〔0,3〕B 、〔-∞,-3〕〔0,1〕C 、〔-1,0〕〔3,+∞〕D 、〔0,+∞〕10、函数()f x 满足:)()()(n f m f n m f =+,)1(f =3,那么)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f +的值等于〔〕A 、36B 、24C 、18D 、12第II 卷〔非选择题,共100分〕【二】填空题〔本大题共5小题,每题4分,共20分〕 11、角α的终边上有一点21(,)(0)4P t t t +>,那么tan α的最小值为_____ 12、在ABC ∆中,sin :sin :sin 2:3:4A B C =,那么cos C =、13、在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,点D 是BC 边的中点,且21()2AD BC a ac ∙=-,那么角B=________、14、设S n 是正项数列{a n }的前n 项和,且n a 和n S 满足:24(1)(1,2,3,)n n S a n =+=,那么S n =、15、由9个正数组成的数阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭每行中的三个数成等差数列,且131211a a a ++,232221a a a ++,333231a a a ++成等比数列、给出以下结论:①第二列中的322212,,a a a 必成等比数列;②第一列中的312111,,a a a 不一定成等比数列;③23213212a a a a +≥+;④假设9个数之和大于81,那么22a >9、其中正确的序号有、〔填写所有正确结论的序号〕、【三】解答题〔本大题共6个小题,共80分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16、〔本小题总分值13分〕等式:a =++02231sin 61cos 31sin 61cos22cos 20sin 10cos 20sin10.a ︒+︒-︒︒=〔1〕依照以上所给的等式写出一个具有一般性的等式,并指出实数a 的值; 〔2〕证明你所写的等式、17、〔本小题总分值13分〕函数22()2(1)57f x x n x n n =-+++-、〔Ⅰ〕设函数()y f x =的图像的顶点的纵坐标构成数列{}n a ,求证:{}n a 为等差数列; 〔Ⅱ〕设函数()y f x =的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{}n b ,求{}n b 的前n 项和n S 、18、〔本小题总分值13分〕某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供不应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌、现有三种价格模拟函数:①()x f x p q =⋅;②2()1f x px qx =++;③2()()f x x x q p =-+、〔以上三式中、,p q 均为常数,且1q >〕 〔I 〕为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数〔不必说明理由〕〔II 〕假设(0)4f =,(2)6f =,求出所选函数()f x 的解析式〔注:函数定义域是[0,5]、其中0x =表示8月1日,1x =表示9月1日,…,以此类推〕;〔III 〕在〔II 〕的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月份内价格下跌、 19、〔本小题总分值13分〕定义区间(),m n ,[],m n ,(],m n ,[),m n 的长度均为n m -,其中n m >、〔1〕假设关于x 的不等式221230ax x -->,求实数a 的值;〔2〕207{|1},{|30}1340x A x B x tx t x tx tx ⎧>⎪=>=+>⎨++-<⎪⎩,假设A B 构成的各区间长度和为6,求实数t 的取值范围、20、〔本小题总分值14分〕{a n }为递增的等比数列,且{a 1,a 3,a 5}⊆{-10,-6,-2,0,1,3,4,16}、〔1〕求数列{a n }的通项公式;〔2〕是否存在等差数列{b n },使得a 1b n +a 2b n -1+a 3b n -2+…+a n b 1=2n +1-n -2对一切n∈N *都成立?假设存在,求出b n ;假设不存在,说明理由、21、〔本小题总分值14分〕函数2()ln (0,1).x f x a x x a a a =+->≠〔I 〕当a >l 时,求证:函数()f x 在〔0,+∞〕上单调递增; 〔II 〕假设函数|()|1y f x t =--有三个零点,求t 的值:〔III 〕假设存在x 1,x 2∈[-1,1],使得12|()()|1,f x f x e -≥-试求a 的取值范围,参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C AABABBDAB11〕112〕14-13〕3π14〕2n S n =15〕①②③16、解:〔1〕202000cos 61sin 31cos61sin31a ++=22cos 20sin 10cos 20sin10.a ︒+︒-︒︒=20200000cos 61sin (6130)cos 61sin(6130)a ∴+-+-= 22cos 20sin (2030)cos 20sin(2030).a ︒+︒-︒+︒︒-︒=由此猜测也有202000cos 60sin 30cos60sin30a ++=,即得34a =------------4分 ∴可能的一般式为223cos sin (30)cos sin(30)4αααα+-︒+-︒=------------7分〔2〕证明:22cos sin (30)cos sin(30)αααα+-︒+-︒22cos (sin cos30cos sin 30)cos (sin cos30cos sin 30)αααααα+︒-︒+︒-︒---9分2222311cos sin cos cos cos cos 42422αααααααα=+-++-22333sin cos 444αα=+=----------------12分 223cos sin (30)cos sin(30)4αααα∴+-︒+-︒=----------------13分17、解:〔Ⅰ〕∵222()2(1)57[(1)]38f x x n x n n x n n =-+++-=-++-, ∴38n a n =-,---------2分∴13(1)8(38)3n n a a n n +-=+---=, ∴数列{}n a 为等差数列、---------4分〔Ⅱ〕由题意知,|||38|n n b a n ==-,---------6分 ∴当12n ≤≤时,83n b n =-,211()[5(83)]133;222n n n n b b n n n n S b b ++--=++===----8分当3n ≥时,38n b n =-,123521(38)n n S b b b b n =++++=++++-2(2)[1(38)]31328722n n n n -+--+=+=、---------10分∴22133,12231328,32n n n n S n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩、---------13分18、解:〔I 〕依照题意,应选模拟函数2()()f x x x q p =-+--------------4分 〔II 〕(0)4f =,(2)6f =,,得:2443(2)1p p q q ==⎧⎧⇒⎨⎨=-=⎩⎩因此32()694(05)f x x x x x =-++≤≤---------------------------8分〔III 〕32()694f x x x x =-++,/2()3129f x x x =-+令/()031f x x x >⇔><或 又[0,5]x ∈,()f x ∴在(0,1),(3,5)上单调递增,在(1,3)上单调递减、-------11分因此能够预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌、-------13分19、解:〔1〕0a =时不合题意;--------1分0a ≠时,方程221230ax x --=的两根设为1x 、2x ,那么126x x a +=,1232x x a=-,----3分 又()22121212236664x x x x x x a a=-=+-=+,得2a =-或3a =〔舍〕,因此2a =-、----6分 〔2〕先解不等式711x >+,整理得601x x -+>+,即()()160x x +-<, 因此不等式711x >+的解集()1,6A =-,------------------------------------7分 又()0,B ⊆+∞,()0,6A B ⊆,-------------8分,不等式组的解集的各区间长度和为6,因此不等式组230340tx t tx tx +>⎧⎨+-<⎩,当()0,6x ∈时,恒成立、当()0,6x ∈时,不等式30tx t +>恒成立,得0t >;-----------------9分 当()0,6x ∈时,不等式2340tx tx +-<恒成立,即243t x x<+恒成立,而()0,6x ∈时,243x x +的取值范围为2,27⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,因此实数227t ≤;--------11分 综上所述,t 的取值范围为20,27⎛⎤⎥⎝⎦-------------13分 20、解:〔1〕因为{a n }是递增的等比数列,因此数列{a n }的公比是正数,又{a 1,a 3,a 5}⊆{-10,-6,-2,0,1,3,4,16},因此a 1=1,a 3=4,a 5=16,从而q 2=a 3a 1=4,q =2,a n =a 1q n -1=2n -1,因此数列{a n }的通项公式为a n =2n -1,〔2〕假设存在满足条件的等差数列{b n },其公差为D 、 那么当n =1时,a 1b 1=1, 又∵a 1=1,∴b 1=1;当n =2时,a 1b 2+a 2b 1=4,b 2+2b 1=4,b 2=2、那么d =b 2-b 1=1,∴b n =b 1+〔n -1〕d =1+〔n -1〕×1=n 、以下证明当b n =n 时,a 1b n +a 2b n -1+…+a n -1b 2+a n b 1=2n +1-n -2对一切n ∈N *都成立、 设S n =a 1b n +a 2b n -1+…+a n -1b 2+a n b 1,即S n =1×n +2×〔n -1〕+22×〔n -2〕+23×〔n -3〕+…+2n -2×2+2n -1×1,①2S n =2×n +22×〔n -1〕+23×〔n -2〕+…+2n -1×2+2n ×1,② ②-①得S n =-n +2+22+23+…+2n -1+2n =-n +2(1-2n )1-2=2n +1-n -2, 因此存在等差数列{b n },b n =n ,使得a 1b n +a 2b n -1+…+a n -1b 2+a n b 1=2n +1-n -2对一切n ∈N *都成立、 21、。

福建省龙岩二中2019届高三上学期期中考试数学理试题

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2018-2019龙岩二中高三数学理期中考试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数iiz -+=13,则=z ( ) A.1 B.2 C.5 D.5 2.集合{}{}02|,1|2≤--=-==x x x B x y y A ,则=⋂B A ( )A.[)∞+,2 B.[]0,1 C.[]2,1 D.[]2,0 3.已知312cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα,则 α2cos 的值等于 ( ) A.97 B.97- C.98 D.98- 4.执行如图所示的程序框图,如果输入n 的值为4,则输出的S 的值为( )A.15B.6C.-10D.-21 5.下列命题中正确的是( )A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p ∧q ”为真命题B .命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x ≠0”C .“”是“”的充分不必要条件D .命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“020≤X ”6、圆(x -1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( )(A )1 (B )2 (C )2 (D )22 7.已知直线l 1:y=xsin α和直线l 2:y=2x+c,则直线l 1与l 2 ( ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直C. 通过绕l 1上某点旋转可以重合D. 可能与x 轴围成等腰直角三角形 8、已知b>0,log 5b=a,lg b=c,5d =10,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c 9. 如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面 ABCD 的中心,M ,N 分别是棱DD 1,D 1C 1的中点,则直线OM( ) A .与AC ,MN 均垂直相交 B .与AC 垂直,与MN 不垂直C .与MN 垂直,与AC 不垂直D .与AC ,MN 均不垂直10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( )A .B .C .D .311、将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的1x ,2x ,有6-min21π=x x ,则ϕ=( )A.512π B.3π C.4π D.6π12.已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2<- x f xf x 的解集为( ).A . (0,1)B .(1,2)C .(1,)+∞D .(2,)+∞二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=+,0,,0,232x x x x f x ,则()[]=-1f f .14.已知向量b a ,的夹角为3,132==b a ,π,则=+b a .15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球体积是 。

福建省重点中学22019届高三上期中考试数学(理)试卷含答案

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2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学(理科)本试卷共4页.满分150分,考试时间120分钟.注意事项:试卷分第I 卷和第II 卷两部分,将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题:本大题有12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.设集合A ={x |x 2-3x +2≥0},B ={x |2x <4},则A ∪B =()A.RB.∅C.{x |x ≤1}D.{x |x >2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题p :“0a ∀>,都有1ae ≥成立”,则命题p ⌝为()A .0a ∃≤,有1ae <成立B .0a ∃≤,有1ae ≥成立C .0a ∃>,有1a e ≥成立D .0a ∃>,有1ae <成立4.利用数学归纳法证明“(n +1)(n +2)…(n +n )=2n ×1×3×…×(2n -1),n ∈N *”时,从“n =k ”变到“n =k +1”时,左边应增乘的因式是()A .2k +1B .2(2k +1)C .2k +1k +1D .2k +3k +15.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏6.设()250.2log 4,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小关系为()A .a b c>>B .b c a>> C.a c b>>D .b a c>>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是()A .0B .1C .2D .48.如图,在平面四边形ABCD 中,AB BC ⊥,AD CD ⊥,0120BAD ∠=,1AB AD ==.若点E 为边CD 上的动点,则AE BE的最小值为()A .2116B .32C .2516D .39.已知函数121)(--=x e x f x (其中e 为自然对数的底数),则)(x f y =的大致图象大致为()A. B. C.D10.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为()11.已知函数()sin3cos (0),f x x x =->ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为()A.137(,]62B.725(,]26 C.2511(,62 D.1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解,则实数a 的值为()A .1-B .1C .1-或3D .1或3-第Ⅱ卷共90分二:填空题:本大题有4小题,每小题5分.13.已知向量a ,b的夹角为60︒,2a = ,1b = ,则2a b += ____.14.已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7,则34a b+的最小值为____.15.甲和乙玩一个猜数游戏,规则如下:已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭(*,5n n ∈≤≤N 1)五个数字,现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张,然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大.甲看了看自己手中的数,想了想说:我不知道谁手中的数更大;乙听了甲的判断后,思索了一下说:我也不知道谁手中的数更大.假设甲、乙所作出的推理都是正确的,那么乙手中的数是_***__.16.在数列{}n a 中,若存在一个确定的正整数T ,对任意*n N ∈满足n T n a a +=,则称{}n a 是周期数列,T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥,21n n n x x x ++=-,若数列{}n x 的周期为3,则{}n x 的前100项的和为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在ABC ∆中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =,DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆的面积为33,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 和为n S ,若0n a >,1n a =-.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若3nn na b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.(本小题满分12分)在直角坐标系中,曲线,曲线为参数),以坐标原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;(Ⅱ)已知射线与曲线分别交于点(异于原点),当时,求的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数()1f x a x x a =-+-(0a >).(Ⅰ)当2a =时,解不等式()4f x ≤;(Ⅱ)若()1f x ≥,求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)函数()()cos 3cos 022x xf x x ωωωω=⋅+>,在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍(纵坐标不变),再向右平移3π个单位得到函数()g x ,若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ,试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<,使得OP OQ ⊥,若存在请求出满足条件的点Q 的个数,若不存在,说明理由.22.(本小题满分12分)已知函数()()()2e x f x x ax =--.(Ⅰ)当0a >时,讨论()f x 的极值情况;(Ⅱ)若()[]1()0e x f x a --+≥,求a 的值.2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学(理科)一、选择题:ABDBB;DCADB,BA二:填空题:本大题有4小题,每小题5分.13.3,14.715.7816.67三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知得13sin 23BCD S BC BD B ∆==,又2BC =,3sin 2B =得23BD =……………3分在BCD ∆中,由余弦定理得2222221272cos 2223323CD BC BD BC BD B ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,所以CD 的长为73CD =……………6分(Ⅱ)因为6sin 2sin DE CD AD A A===……………8分在BCD ∆中,由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠,又2BDC A ∠=∠,……………10分得26sin 22sin sin 60A A =,……………11分解得2cos 2A =,所以4A π=即为所求.……………12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)1n n a S = ,24(1)n n S a ∴=+.………………………………1分当1n =时,2114(1)S a =+,得11a =.………………………………2分当2n ≥时,2114(1)n n S a --=+,22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+,………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--,即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+,0,n a > 12n n a a -∴-=.………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列,且首项为11a =,公差为2,………………………………5分12(1)21n a n n ∴=+-=-.………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,1(21)3n n b n =-⋅,231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅,——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅,——②………………………………8分①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-,………………………………10分化简得113n n n T +=-.…………………12分19.(本小题满分12分)解:(1)因为,所以曲线的普通方程为:,由,得曲线的极坐标方程,对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,,因为,则20.(本小题满分12分)解:(1)f (x)=2|x -1|+|x -2|3x +4,x <1,,1≤x≤2,-4,x >2.所以,f (x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又f (0)=f (83)=4,故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤83}.....................................6分(2)①若a >1,f (x)=(a -1)|x -1|+|x -1|+|x -a|≥a -1,当且仅当x =1时,取等号,故只需a -1≥1,得a≥2..................................7分②若a =1,f (x)=2|x -1|,f (1)=0<1,不合题意....................…9分③若0<a <1,f (x)=a|x -1|+a|x -a|+(1-a)|x -a|≥a(1-a),当且仅当x =a 时,取等号,故只需a(1-a)≥1,这与0<a <1矛盾..............11分综上所述,a 的取值范围是[2,+∞).…...................12分21.(本小题满分12分)由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点,∴A的纵坐标为又∵ABC ∆为正三角形,所以4BC =…………3分∴42T =可得8T =,即28πω=得4πω=…………4分,∴()23sin()43f x x ππ=+…………5分,(Ⅱ)由题意可得()3g x x =,,232P π⎛ ⎝…………7分法一:作出如右下图象,由图象可知满足条件的点Q 是存在的,而且有两个………8分注:以上方法虽然能够得到答案,但其理由可信度不高,故无法给满分.法二:由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ,即3302πθθ+=,即()24sin 2πθθπθπ=-<<,由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象,由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注:数形结合是我们解题中常用的方法,但就其严密性而言,仍有欠缺和不足.)法三:由OP OQ ⊥ 得0OP OQ = ,即3302πθθ+=,即()24sin 02πθθπθπ+=<<,问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。

龙岩第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

龙岩第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

龙岩第二中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1. 过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线与双曲线2218-=y x 的一条渐近线平行,并交其抛物线于A 、 B 两点,若>AF BF ,且||3AF =,则抛物线方程为( )A .2y x =B .22y x =C .24y x =D .23y x =【命题意图】本题考查抛物线方程、抛物线定义、双曲线标准方程和简单几何性质等基础知识,意在考查方程思想和运算能力.2. 定义:数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ,数列a n =29﹣n ,则下面的等式中正确的是( ) A .T 1=T 19 B .T 3=T 17 C .T 5=T 12 D .T 8=T 113. 已知函数2()2ln 2f x a x x x =+-(a R ∈)在定义域上为单调递增函数,则的最小值是( )A .14 B .12C .D . 4. 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--,{|||3,}B y y x x A ==-∈,则A B =( )A .{2,1,0}--B .{1,0,1,2}-C .{2,1,0}--D .{1,,0,1}- 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力.5. 已知复数z 满足(3+4i )z=25,则=( ) A .3﹣4iB .3+4iC .﹣3﹣4iD .﹣3+4i6. 某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为( )A .2sin 2cos 2αα-+B .sin 3αα-+C. 3sin 1αα+ D .2sin cos 1αα-+ 7. 已知向量(,1)a t =,(2,1)b t =+,若||||a b a b +=-,则实数t =( ) A.2- B.1- C. 1D. 2【命题意图】本题考查向量的概念,向量垂直的充要条件,简单的基本运算能力.8. 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列,点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上,则数列{}n a 的前n 项和为( )A .22n -B .122n +-C .21n -D .121n +-9. 函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为( )10.执行右面的程序框图,如果输入的[1,1]t ∈-,则输出的S 属于( ) A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识,意在考查运算能力和转化思想的运用.11.函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ,若()(2)f x f x =-,且当(,1)x ∈-∞时,'(1)()0x f x -<,设(0)a f =,b f =,2(log 8)c f =,则( )A .a b c <<B .a b c >>C .c a b <<D .a c b <<12.已知f (x )=m •2x +x 2+nx ,若{x|f (x )=0}={x|f (f (x ))=0}≠∅,则m+n 的取值范围为( ) A .(0,4) B .[0,4) C .(0,5] D .[0,5]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在横线上)13.设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第6个个体编号为 ________.【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识,意在考查统计的思想. 14.已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列,则2log a = . 15.若log 2(2m ﹣3)=0,则e lnm ﹣1= .16.已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________.三、解答题(本大共6小题,共70分。

福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

福建省龙岩市高级中学2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)

拼搏的你,背影很美!努力的你,未来可期!福建省龙岩高级中学2018-2019学年高三(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 设集合A ={x|−2<x <4},B ={−2,1,2,4},则A ∩B =( )A. {1,2}B. {−1,4}C. {−1,2}D. {2,4} 【答案】A【解析】解:集合A ={x|−2<x <4},B ={−2,1,2,4},则A ∩B ={1,2}. 故选:A .直接利用交集的定义求解即可.本题考查交集的运算法则的应用,是基础题.2. “sinα=12“是“α=30∘”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解:当α=150∘,满足sinα=12,但α=30∘不成立. 若α=30∘,满足sinα=12,∴“sinα=12“是“α=30∘”的必要不充分条件.故选:B .根据三角函数的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用三角函数的性质是解决本题的关键,比较基础.3. 复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ),θ∈(0,π2)的对应点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】解:复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ)=−cosθ−isinθ,复数z =cos(3π2−θ})+isin(π+θ),θ∈(0,π2)的对应点(−cosθ,−sinθ)在第三象限. 故选:C .利用诱导公式化简,求出复数z 对应点的坐标即可得到结果. 本题考查诱导公式以及复数的几何意义,是基础题.4. 将函数f(x)=sin2x 的图象向右平移π12个单位,得到函数y =g(x)的图象,则它的一个对称中心是( )A. (π24,0)B. (−π6,0)C. (π6,0)D. (π12,0)【答案】D第2页,共11页【解析】解:函数y =sin2x 的图象向右平移π12个单位,则函数变为y =sin[2(x −π12)]=sin(2x −π6);考察选项不难发现:当x =π12时,sin(2×π12−π6)=0; ∴(π12,0)就是函数的一个对称中心坐标.故选:D .由题意根据平移变换求出函数的解析式,然后通过选项,判断函数的一个对称中心即可. 本题是基础题,考查三角函数图象的平移变换,函数的对称中心坐标问题,考查计算能力,逻辑推理能力,常考题型.5. 在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16,则该数列前11项和S 11=( )A. 58B. 88C. 143D. 176 【答案】B【解析】解:∵在等差数列{a n }中,已知a 4+a 8=16, ∴a 1+a 11=a 4+a 8=16, ∴S 11=11(a 1 +a 11)2=88,故选:B .根据等差数列的定义和性质得a 1+a 11=a 4+a 8=16,再由S 11=11(a 1 +a 11)2运算求得结果.本题主要考查等差数列的定义和性质,等差数列的前n 项和公式的应用,属于中档题.6. 已知角θ的终边经过点P(x,3)(x <0)且cosθ=√1010x ,则x 等于( )A. −1B. −13C. −3D. −2√23【答案】A【解析】解:已知角α的终边经过点P(x,3)(x <0)所以OP =√x 2+9, 由三角函数的定义可知:cosθ=√1010x =√x 2+9,x <0解得x =−1. 故选:A .求出OP 的距离,直接利用三角函数的定义,求出cosθ,列出方程,即可求出x 的值. 本题是基础题,考查三角函数的定义的应用,考查计算能力.7. O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】B拼搏的你,背影很美!努力的你,未来可期!【解析】解:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致 又∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |) ∴向量AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与∠BAC 的角平分线一致 ∴一定通过△ABC 的内心 故选:B .先根据AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |、AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |分别表示向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的单位向量,确定AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向与∠BAC 的角平分线一致,再由 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)可得到OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),可得答案. 本题主要考查向量的线性运算和几何意义.属中档题.8. 设偶函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90∘,KL =1,则f(16)的值为( )A. −√34B. −14C. −12D. √34【答案】D【解析】解:因为f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM 为等腰直角三角形,∠KML =90∘,KL =1, 所以A =12,T =2,因为T =2πω,所以ω=π,函数是偶函数,0<φ<π,所以φ=π2, ∴函数的解析式为:f(x)=12sin(πx +π2), 所以f(16)=12sin(π6+π2)=√34.故选:D .通过函数的图象,利用KL 以及∠KML =90∘求出求出A ,然后函数的周期,确定ω,利用函数是偶函数求出φ,即可求解f(16)的值.本题考查函数的解析式的求法,函数奇偶性的应用,考查学生识图能力、计算能力.9. 若O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 一定是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B第4页,共11页【解析】解:∵(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −2OA⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅[(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |, ∴△ABC 为等腰三角形. 故选:B .利用向量的运算法则将等式中的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC⃗⃗⃗⃗⃗ 用三角形的各边对应的向量表示,得到边的关系,得出三角形的形状本题考查三角形的形状判断,着重考查平面向量的数量积及应用,考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.10. 正项等比数列{a n }中的a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,则log √6a 5a 6=( ) A. 1 B. 2 C. √2 D. −1【答案】B【解析】解:∵f(x)=13x 3−4x 2+6x −3,f′(x)=x 2−8x +6, a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点, ∴a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根, ∴a 1⋅a 11=6.∴log √6a 5a 6=log √6(a 1a 11)=log √66=2. 故选:B .f′(x)=x 2−8x +6,a 1、a 11是函数f(x)=13x 3−4x 2+6x −3的极值点,可得a 1、a 11是x 2−8x +6=0的两个实数根,再利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出.本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11. 函数f(x)=xx 2+a 的图象可能是( )A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】解:f(x)=xx 2+a ,可取a =0,f(x)=xx 2=1x ,故(4)正确; ∴f′(x)=a−x 2(x 2+a)2,拼搏的你,背影很美!努力的你,未来可期!当a <0时,函数f′(x)<0恒成立,x 2+a =0,解得x =±√−a故函数f(x)在(−∞,−√−a),(−√−a,√−a),(√−a,+∞)上单调递减,故(3)正确; 取a >0,f′(x)=0,解得x =±√a ,当f′(x)>0,即x ∈(−√a,√a)时,函数单调递增,当f′(x)<0,即x ∈(−∞,−√a),(√a,+∞)时,函数单调递减,故(2)正确 函数f(x)=xx 2+a 的图象可能是(2),(3),(4),故选:C .分别令a =0,a >0,a <0,根据导数和函数的单调性即可判断.本题考查了函数图象的识别,以及导数和函数的单调性的关系,属于中档题.12. 设函数是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数,当x >0时,xlnx ⋅f′(x)<−f(x),则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A. (−2,0)∪(0,2) B. (−∞,−2)∪(2,+∞) C. (−2,0)∪(2,+∞) D. (−∞,−2)∪(0,2) 【答案】D【解析】解:根据题意,设g(x)=lnx ⋅f(x),(x >0), 其导数g′(x)=(lnx)′f(x)+lnxf′(x)=1x f(x)+lnxf′(x), 又由当x >0时,xlnx ⋅f′(x)<−f(x),即lnx ⋅f′(x)<−1x f(x), 则有g′(x)=1x f(x)+lnxf′(x)<0,即函数g(x)在(0,+∞)上为减函数,又由g(1)=ln1⋅f(x)=0,则在区间(0,1)上,g(x)=lnx ⋅f(x)>0,又由lnx <0,则f(x)<0, 在区间(1,+∞)上,g(x)=lnx ⋅f(x)<0,又由lnx >0,则f(x)<0, 则f(x)在(0,1)和(1,+∞)上,f(x)<0,而x =1时,g(1)=ln1⋅f(x)=0,故f(x)也可小于0,又由f(x)为奇函数,则在区间(−1,0)和(−∞,−1)上,都有f(x)>0, (x 2−4)f(x)>0⇒{f(x)>0x 2−4>0或{f(x)<0x 2−4<0,解可得:x <−2或0<x <2,则x 的取值范围是(−∞,−2)∪(0,2); 故选:D .根据题意,设g(x)=lnx ⋅f(x),(x >0),对g(x)求导,利用导数与函数单调性的关系分析可得g(x)在(0,+∞)上为减函数,分析g(x)的特殊值,结合函数的单调性分析可得在区间(0,1)和(1,+∞)上,都有f(x)<0,结合函数的奇偶性可得在区间(−1,0)和(−∞,−1)上,都有f(x)>0,进而将不等式变形转化,解可得x 的取值范围,即可得答案. 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系,以及不等式的解法,关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6,则2a ⃗ −b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为______. 【答案】1【解析】解:∵向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60∘,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=6,∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2|a ⃗ |2−a ⃗ ⋅b ⃗ =2×22−2×6×12=2,∴2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为(2a⃗ −b⃗)⋅a⃗|a⃗ |=22=1.故答案为:1.由已知求出(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗,然后代入投影概念得答案.本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量在向量方向上的投影的概念,是中档题.14.已知tanα=2,则cos2α+sin2α=______.【答案】1【解析】解:∵tanα=2,∴cos2α+sin2α=cos2α+2sinαcosαsin2α+cos2α=1+2tanα1+tan2α=1+2×21+22=1.故答案为:1.由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,求得要求式子的值.本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.15.递增数列{a n}满足2a n=a n−1+a n+1,(n∈N∗,n>1),其前n项和为S n,a2+a8=6,a4a6=8,则S10=______.【答案】35【解析】解:∵2a n=a n−1+a n+1,(n∈N∗,n>1),∴数列{a n}为等差数列,又a2+a8=6,∴2a5=6,解得:a5=3,又a4a6=(a5−d)(a5+d)=9−d2=8,∴d2=1,解得:d=1或d=−1(舍去)∴a n=a5+(n−5)×1=3+(n−5)=n−2.∴a1=−1,∴S10=10a1+10×92=35.故答案为:35.由2a n=a n−1+a n+1,(n∈N∗,n>1),知列{a n}为等差数列,依题意可求得其首项与公差,继而可求其前10项和S10.本题考查数列的求和,判断出数列{a n}为等差数列,并求得a n=2n−1是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.16.对函数f(x)=2sin(12x+π6)−1 (x∈R),有下列说法:①f(x)的周期为4π,值域为[−3,1];②f(x)的图象关于直线x=2π3对称;③f(x)的图象关于点(−π3,0)对称;④f(x)在(−π,2π3)上单调递增;⑤将f(x)的图象向左平移π3个单位,即得到函数y=2cos12x−1的图象.其中正确的是______.(填上所有正确说法的序号).【答案】①②④第6页,共11页拼搏的你,背影很美!努力的你,未来可期!【解析】解:对函数f(x)=2sin(12x +π6)−1 (x ∈R),他的周期为2π12=4π,值域为[−3,1],故①正确. 当x =2π3时,f(x)=1,为最大值,故f(x)的图象关于直线x =2π3对称,故②正确.当x =−π3时,f(x)=−1,不是函数的最值,故故f(x)的图象不关于直线x =2π3对称,故③错误. 在(−π,2π3)上,12x +π6∈(−π3,π2),故f(x)=2sin(12x +π6)单调递增,故f(x)在(−π,2π3)上单调递增,故④正确.将f(x)的图象向左平移π3个单位,即可得到函数y =2sin[12(x +π3)+π6]=2sin(12x +π3)的图象,故⑤错误,故答案为:①②④.由条件利用正弦函数的图象和性质以及函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,从而得出结论.本题主要考查正弦函数的图象和性质,函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知cos2A =−13,c =√3,sinA =√6sinC .(1)求a 的值;(2)若角A 为锐角,求b 的值及△ABC 的面积.【答案】解:(1)∵cos2A =1−2sin 2A =−13,且 0<A <π, ∴sinA =√63. ∵c =√3,sinA =√6sinC ,由正弦定理asinA =csinC ,得a =√6⋅c =√6×√3=3√2. (2)由sinA =√63,0<A <π2得cosA =√33.由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ,得b 2−2b −15=0. 解得b =5或b =−3(舍负). ∴S △ABC =12bcsinA =5√22. 【解析】(1)由二倍角余弦公式求出sinA 的值,再由正弦定理即可求出a 的值; (2)由sinA 的值求出cosA 的值,再由余弦定理即可求出b 的值及△ABC 的面积.本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力,是中档题.18. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120∘,且|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4.(Ⅰ)计算:|4a ⃗ −2b ⃗ |;(Ⅱ)当k 为何值时,(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(k a ⃗ −b⃗ ).【答案】解:(Ⅰ)∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为120∘,且|a⃗|=2,|b⃗ |=4.∴由已知得,a⃗⋅b⃗ =2×4×(−12)=−4.∵|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=4+2×(−4)+16=12,∴|a⃗+b⃗ |=2√3.∵|4a⃗−2b⃗ |2=16a⃗2−16a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=16×4−16×(−4)+4×16=192,∴|4a⃗−2b⃗ |=8√3.(Ⅱ)∵(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ ),∴(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0,∴k a⃗2+(2k−1)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0,即16k−16(2k−1)−2×64=0,∴k=−7.即k=−7时,a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直.【解析】(Ⅰ)求出a⃗⋅b⃗ =2×4×(−12)=−4.由此能求出|4a⃗−2b⃗ |.(Ⅱ)由(a⃗+2b⃗ )⊥(k a⃗−b⃗ ),得(a⃗+2b⃗ )⋅(k a⃗−b⃗ )=0,由此能求出k=−7时,a⃗+2b⃗ 与k a⃗−b⃗ 垂直.本题考查向理的模的求法,考查满足向量垂直的实数值的求法,考查向量的娄量积、向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.19.函数f(x)=sin2x+√3sinxcosx.(1)求函数f(x)的递增区间;(2)当x∈[0,π2]时,求f(x)的值域.【答案】解:(1)f(x)=sin2x+√3sinxcosx=1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x−π6)+12…(2分)令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2解得kπ−π6≤x≤kπ+π3…(5分)f(x)的递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)…(6分)(2)∵0≤x≤π2,∴−π6≤2x−π6≤5π6…(8分)∴−12≤sin(2x−π6)≤1,∴0≤sin(2x−π6)+12≤32…(10分)∴f(x)的值域是[0,32]…(12分)【解析】(1)利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简,然后通过正弦函数的单调增区间求解即可.(2)求出相位的范围,利用正弦函数的有界性,求解函数的值域即可.本题考查两角和与差的三角函数,二倍角公式的应用,三角函数的最值,考查计算能力.20.已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=12(1−a n).(1)求数列{a n}的通项公式并证明S n<12;第8页,共11页拼搏的你,背影很美!努力的你,未来可期!(2)设函数f(x)=log 13x ,b n =f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ),若T n =1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n.求T n .【答案】解:(1)当n ≥2时,S n−1=12(1−a n−1),a n =S n −S n−1,∴a n =12(1−a n )−12(1−a n−1)=−12a n +12a n−1,整理得:2a n =−a n +a n−1,∴a n a n−1=13, 当n =1时,S 1=a 1=12(1−a 1),解得:a 1=13,∴数列{a n }是首项a 1=13,公比为13的等比数列, ∴a n =13×(13)n−1=(13)n ,证明:由等比数列前n 项公式可知:S n =13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ],∵1−(13)n <1,∴12[1−(13)n ]<12, ∴S n <12.(2)∵f(x)=log 13x ,∴b n =log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a n =log 13(a 1a 2…a n )=log 13(13)1+2+⋯+n ,=1+2+⋯+n =n(1+n)2.∵1b n=2n(1+n)=2(1n−1n+1),∴T n =1b 1+1b 2+⋯+1b n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=2nn+1,∴T n =2nn+1.【解析】(1)由当n ≥2时,S n−1=12(1−a n−1),a n =S n −S n−1,整理得:2a n =−a n +a n−1,a nan−1=13,当n =1时,a 1=13,数列{a n }是首项a 1=13,公比为13的等比数列,即可求得a n =13×(13)n−1=(13)n ,由等比数列前n 项和公式可知:S n =13[1−(13)n ]1−13=12[1−(13)n ],由1−(13)n <1,则12[1−(13)n ]<12,即可证明S n <12;(2)b n =log 13a 1+log 13a 2+⋯+log 13a n =log 13(a 1a 2…a n )=log 13(13)1+2+⋯+n =1+2+第10页,共11页⋯+n =n(1+n)2,则1b n=2n(1+n)=2(1n −1n+1),采用“裂项法”即可求得T n .本题考查等比数列前n 项和公式的应用,求等差数数列的前n 项和,考查“裂项法”求数列的前n 项和,考查计算能力,属于中档题.21. 已知函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若 f(x)≤0恒成立,式确定实数k 的取值范围. 【答案】解:(1)∵函数f(x)=ln(x −1)−k(x −1)+1, ∴f′(x)=1x−1−k ,(x >1),∴当k ≤0时,f′(x)>0,∴函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增;当k >0时,令1x−1−k >0,则1<x <1+1k ,∴函数f(x)在区间(1,1+1k )上单调递增; 令1x−1−k <0,则x >1+1k ,∴函数f(x)在区间(1+1k ,+∞)上单调递减.综上,当k ≤0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+∞);当k >0时,函数f(x)单调递增区间为(1,1+1k ),单调递减区间为(1+1k ,+∞). (2)由(1)知:当k >0时,函数f(x)的最大值为:f(1+1k )=ln 1k =−lnk .∵f(x)≤0恒成立,∴−lnk <0, ∴k >1.【解析】本题(1)先求出函数的导函数,利用导函数值的正负,研究函数的单调性,注意要分类研究;(2)要使 f(x)≤0恒成立,就要求函数的最大值小于0,利用(1)的结论,得到求出函数最大值,得到相应的不等关系,解不等式,得到本题结论.本题考查了导数与函数的单调性、最值和恒成立问题,本题难度不大,属于基础题.22. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为{y =2+tsinαx=1+tcosα(t 为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位),且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρ=6sinθ. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C 与直线l 交于点A ,B ,求|PA|+|PB|的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ, 化为直角坐标方程为x 2+y 2=6y , 即x 2+(y −3)2=9.(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程, 得t 2+2(cosα−sinα)t −7=0.由△=(2cosα−2sinα)2+4×7>0, 故可设t 1,t 2是上述方程的两根, 所以{t 1⋅t 2=−7t 1+t 1=−2(cosα−sinα),又直线l 过点(1,2),故结合t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2 =√4(cosα−sinα)2+28=√32−4sin2α≥√32−4=2√7. 所以|PA|+|PB|的最小值为2√7.拼搏的你,背影很美!【解析】(I)利用x=ρcosθ,y=ρsinθ可将圆C极坐标方程化为直角坐标方程;(II)先根据(I)得出圆C的普通方程,再根据直线与交与交于A,B两点,可以把直线与曲线联立方程,用根与系数关系结合直线参数方程的几何意义,表示出|PA|+|PB|,最后根据三角函数的性质,即可得到求解最小值.此题主要考查参数方程的优越性,及直线与曲线相交的问题,在此类问题中一般可用联立方程式后用韦达定理求解即可,属于综合性试题有一定的难度.努力的你,未来可期!。

福建省龙岩二中2018-2019学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

福建省龙岩二中2018-2019学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

7.
已知函数
������(������) = ������������������������(������������ + ������)(������ > 0,������ > 0,|������| < 2)
������
的部分图象如图所示,则函数������(������)的解析式为( )
A. C.
【答案】A 【解析】解:函数 ������(������) =
2������ + 1 ������−1
D. ������(������)有最大值 2,最小值5
= 2 + ������−1
3
即有������(������)在[−8,−4)递减,
5
则������ = −8处取得最大值,且为3, 由������ = −4取不到,即最小值取不到. 故选:A. 将������(������)化为 2 + ������−1
3 ∴ 函数������(������) = ������������������3������ + ������ −9的零点所在区间是(2,3).
故选:C. 先判断函数的单调性,利用函数零点的判断条件即可得到结论. 本题主要考查函数零点所在区间的判断,根据函数零点存在的条件是解决本题的关键.
5.
函数
������ = 3������������������(2������ + 4)
������
������
的定义域是( )
A. C.
{������|������ ≠ ������������ + 2,������ ∈ ������} {������|������ ≠ 2������−8,������ ∈ ������}

福建省龙岩一中2018-2019学年高三(上)期中数学试题(文科)(解析版)

福建省龙岩一中2018-2019学年高三(上)期中数学试题(文科)(解析版)

2018-2019学年福建省龙岩一中高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简,求出z对应点的坐标,则答案可求.【详解】复数.对应的点为,位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.2.已知,,,则A. B. C. D.【答案】B【解析】所以x<1,则,所以则,,故选B3.若x,y是正数,且,则xy有A. 最小值16B. 最小值C. 最大值16D. 最大值【答案】A【解析】由均值不等式可得所以,当且仅当时取等号,故选A.4.设m,n为两条不同的直线,为平面,则下列结论正确的是A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】A,若m⊥n,m∥α时,可能n⊂α或斜交;B,m⊥n,m⊥α⇒n∥α或m⊂α;C,m∥n,m∥α⇒n∥α或m⊂α;D,m∥n,m⊥α⇒n⊥α;【详解】对于A,若,时,可能或斜交,故错;对于B,,或,故错;对于C,,或,故错;对于D,,,正确;故选:D.【点睛】本题考查了空间点、线、面的位置关系,熟记线面平行的判定与性质,线面垂直的判定与性质是关键,属于基础题.5.若,,,则a,b,c的大小关系是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.解析:,,.则的大小关系是.故选:D.点睛:对数函数值大小的比较一般有三种方法:①单调性法,在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底.②中间值过渡法,即寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”,“1”或其他特殊值进行“比较传递”.③图象法,根据图象观察得出大小关系.6.已知点在不等式组表示的平面区域上运动,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义进行求解即可.【详解】作出不等式组表示的平面区域,得到如图的及其内部,其中,,设,将直线l:进行平移,观察x轴上的截距变化,可得当l经过点C时,z达到最小值;l经过点A时,z达到最大值,即的取值范围是故选:A.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键,注意利用数形结合来解决.7.已知在R上是偶函数,且满足,当时,,则A. 8B. 2C.D. 50【答案】B【解析】【分析】利用函数的周期性以及函数的解析式,转化求解即可.【详解】在R上是偶函数,且满足,故周期为3当时,,则.故选:B.【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的奇偶性的应用,利用函数的解析式求解函数值,考查计算能力.8.下列命题错误的是A. 命题“若,则”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则”B. 若命题,则:,C. 中,是的充要条件D. 若向量,满足,则与的夹角为钝角【答案】D【解析】【分析】对A,由逆否命题判断即可;对B,由特称命题的否定判断即可;对C,由三角恒等变换和三角形内角的大小关系判断即可;对D,求出的充要条件,即可判断【详解】依据命题“若p,则q”的逆否命题是“若,则”,可知:命题“若,则”的逆否命题为“若x,y中至少有一个不为0,则”可判断出A正确.B.依据命题的否定法则:“命题:,”的否定应是“,”,故B是真命题.C.由于,在中,,,,又,,,.据以上可知:在中,故在中,是的充要条件.因此C正确.D.由向量,,的夹角,向量与的夹角不一定是钝角,亦可以为平角,可以判断出D是错误的.故选:D.【点睛】本题考题命题的真假判断,熟记四种命题,特称命题的否定,区分向量数量积与夹角的关系是关键,是易错题9.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数是奇函数,利用,即可得出结论.【详解】由题意,,函数是奇函数,,故选:B.【点睛】本题考查函数的奇偶性,考查函数的图象,比较基础.10.如图是一个棱锥的正视图和侧视图,则该棱锥的俯视图可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知中的正视图和侧视图,分析出俯视图可能出现的情况,可得答案.【详解】若几何体为三棱锥,由其正视图和侧视图可知,其底面在下方,且为直角三角形,无答案符号要求;若几何体为四棱锥,由其正视图和侧视图可知,其底面在下方,且为正方形,对角线应从左上到右下,C满足条件;故选:C.【点睛】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,空间想象能力,难度不大,属于基础题.11.在中,有正弦定理:定值,这个定值就是的外接圆的直径如图2所示,中,已知,点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合,对于M的每一个位置,记的外接圆面积与的外接圆面积的比值为,那么A. 先变小再变大B. 仅当M为线段EF的中点时,取得最大值C. 先变大再变小D. 是一个定值【答案】D【解析】【分析】设△DEM的外接圆半径为R1,△DMF的外接圆半径为R2,由正弦定理得R1,R2,结合DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF,得λ=1,由此能求出结果.【详解】设的外接圆半径为,的外接圆半径为,则由题意,,点M在直线EF上从左到右运动点M不与E、F重合,对于M的每一个位置,由正弦定理可得:,,又,,可得:,可得:.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形的外接圆、正弦定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.12.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题,然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即,结合可得恒成立,即恒成立,构造函数,由题意可知函数在定义域内单调递增,故恒成立,即恒成立,令,则,当时,单调递减;当时,单调递增;则的最小值为,据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质,导函数处理恒成立问题,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.在等差数列中,已知,则_____.【答案】【解析】依题意,所以.或:.【考点定位】考查等差数列的性质和通项公式。

龙岩市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

龙岩市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

龙岩市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1. 若满足约束条件,则当取最大值时,的值为( )y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-+≥+-0033033y y x y x 31++x y y x +A . B . C . D .1-3-32. 已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点,则点P 到点M (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .3B .C .D .3. 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见,从中抽取1个容量为50的样本,采用系统抽样法,则分段间隔为( )1111]A . B .C .D .105120304. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 4=﹣2,S 5=0,则S 6=()A .0B .1C .2D .35. 设集合,,则( ){}|22A x R x =∈-≤≤{}|10B x x =-≥()R A B = ðA.B.C.D. {}|12x x <≤{}|21x x -≤<{}|21x x -≤≤{}|22x x -≤≤【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算,属容易题.6. 已知正方体的不在同一表面的两个顶点A (﹣1,2,﹣1),B (3,﹣2,3),则正方体的棱长等于( )A .4B .2C .D .27. 如果对定义在上的函数,对任意,均有成立,则称R )(x f n m ≠0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 函数为“函数”.给出下列函数:)(x f H ①;②;③;④()ln 25x f x =-34)(3++-=x x x f )cos (sin 222)(x x x x f --=.其中函数是“函数”的个数为( )⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f H A .1B .2C .3D . 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力,对函数的单调性定义能从不同角度来刻画,对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力,由于是给定信息题,因此本题灵活性强,难度大.8.已知,若圆:,圆:2->a 1O 01582222=---++a ay x y x 2O 恒有公共点,则的取值范围为( ).04422222=--+-++a a ay ax y x aA .B .C .D .),3[]1,2(+∞-- ),3()1,35(+∞-- ),3[]1,35[+∞-- ),3()1,2(+∞-- 9. 如图,程序框图的运算结果为()A .6B .24C .20D .12010.设函数对一切实数都满足,且方程恰有6个不同的实根,则这()y f x =x (3)(3)f x f x +=-()0f x =6个实根的和为( )A. B. C.D.181290【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识,意在考查运算求解能力.11.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点是边上的动点,记四面体的体M AB FMC E -积为,多面体的体积为,则( )1111]1V BCE ADF -2V =21V V A .B .C .D .不是定值,随点的变化而变化413121M12.若圆心坐标为的圆在直线上截得的弦长为 )()2,1-10x y --=A . B . ()()22210x y -++=()()22214x y -++=C .D .()()22218x y -++=()()222116x y -++=二、填空题13.的展开式中的系数为 (用数字作答).14.在直角梯形分别为的中点,,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===,AB AC 点在以为圆心,为半径的圆弧上变动(如图所示).若,其中,P A AD DE AP ED AF λμ=+,R λμ∈则的取值范围是___________.2λμ-15.若P (1,4)为抛物线C :y 2=mx 上一点,则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= .16.函数的单调递增区间是 .17.【泰州中学2018届高三10月月考】设函数是奇函数的导函数,,当时,()f x '()f x ()10f -=0x >,则使得成立的的取值范围是__________.()()0xf x f x -<'()0f x >x 三、解答题18.(本小题满分10分)选修:几何证明选讲41-如图所示,已知与⊙相切,为切点,过点的割线交圆于两点,弦,相PA O A P C B ,AP CD //BC AD ,交于点,为上一点,且.E F CE EC EF DE ⋅=2(Ⅰ)求证:;P EDF ∠=∠(Ⅱ)若,求的长.2,3,2:3:===EF DE BE CE PA【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识,意在考查逻辑推理能力.19.已知函数,.(Ⅰ)求函数的最大值;(Ⅱ)若,求函数的单调递增区间.20.(本小题满分12分)已知函数.1()ln (42)()f x m x m x m x=+-+∈R (1)时,求函数的单调区间;当2m >()f x (2)设,不等式对任意的恒成立,求实数的[],1,3t s ∈|()()|(ln 3)(2)2ln 3f t f s a m -<+--()4,6m ∈a 取值范围.【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识,意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.21.已知条件4:11p x ≤--,条件22:q x x a a +<-,且p 是的一个必要不充分条件,求实数的取值范围.22.(本题满分12分)在长方体中,,是棱上的一点,是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.(1)求证:平面;⊥1AD D B A 11(2)求证:;11AD E B ⊥(3)若是棱的中点,是棱的中点,求证:平面.E CD P 1AA //DP AE B 123.从某中学高三某个班级第一组的7名女生,8名男生中,随机一次挑选出4名去参加体育达标测试.(Ⅰ)若选出的4名同学是同一性别,求全为女生的概率;(Ⅱ)若设选出男生的人数为X ,求X 的分布列和EX .龙岩市第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(参考答案)一、选择题1.【答案】D【解析】考点:简单线性规划.2.【答案】B【解析】解:依题设P在抛物线准线的投影为P′,抛物线的焦点为F,则F(,0),依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点P到点M(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和,d=|PF|+|PM|≥|MF|==.即有当M,P,F三点共线时,取得最小值,为.故选:B.【点评】本题主要考查抛物线的定义解题,考查了抛物线的应用,考查了学生转化和化归,数形结合等数学思想.3.【答案】D【解析】试题分析:分段间隔为,故选D.50301500=考点:系统抽样4. 【答案】D【解析】解:设等差数列{a n }的公差为d ,则S 4=4a 1+d=﹣2,S 5=5a 1+d=0,联立解得,∴S 6=6a 1+d=3故选:D【点评】本题考查等差数列的求和公式,得出数列的首项和公差是解决问题的关键,属基础题. 5. 【答案】B【解析】易知,所以,故选B.{}{}|10|1B x x x x =-≥=≥()R A B = ð{}|21x x -≤<6. 【答案】A【解析】解:∵正方体中不在同一表面上两顶点A (﹣1,2,﹣1),B (3,﹣2,3),∴AB 是正方体的体对角线,AB=,设正方体的棱长为x ,则,解得x=4.∴正方体的棱长为4,故选:A .【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式,以及正方体的体积的有关知识,属于基础题. 7. 【答案】B第8. 【答案】C【解析】由已知,圆的标准方程为,圆的标准方程为1O 222(1)()(4)x y a a ++-=+2O ,∵ ,要使两圆恒有公共点,则,即222()()(2)x a y a a ++-=+2->a 122||26O O a ≤≤+,解得或,故答案选C62|1|2+≤-≤a a 3≥a 135-≤≤-a 9. 【答案】 B【解析】解:∵循环体中S=S ×n 可知程序的功能是:计算并输出循环变量n 的累乘值,∵循环变量n 的初值为1,终值为4,累乘器S 的初值为1,故输出S=1×2×3×4=24,故选:B .【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键. 10.【答案】A.【解析】,∴的图象关于直线对称,(3)(3)()(6)f x f x f x f x +=-⇔=-()f x 3x =∴个实根的和为,故选A.63618⋅=11.【答案】B 【解析】考点:棱柱、棱锥、棱台的体积.12.【答案】B【解析】考点:圆的方程.1111]二、填空题13.【答案】20【解析】【知识点】二项式定理与性质【试题解析】通项公式为:令12-3r=3,r=3.所以系数为:故答案为:-14.【答案】[]1,1【解析】考点:向量运算.【思路点晴】本题主要考查向量运算的坐标法. 平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.15.【答案】 5 .【解析】解:P (1,4)为抛物线C :y 2=mx 上一点,即有42=m ,即m=16,抛物线的方程为y 2=16x ,焦点为(4,0),即有|PF|==5.故答案为:5.【点评】本题考查抛物线的方程和性质,考查两点的距离公式,及运算能力,属于基础题.16.【答案】 [2,3) .【解析】解:令t=﹣3+4x ﹣x 2>0,求得1<x <3,则y=,本题即求函数t 在(1,3)上的减区间.利用二次函数的性质可得函数t 在(1,3)上的减区间为[2,3),故答案为:[2,3).17.【答案】()(),10,1-∞-⋃【解析】三、解答题18.【答案】【解析】(Ⅰ)∵,EC EF DE ⋅=2DEFDEF ∠=∠∴∽,∴……………………2分DEF ∆CED ∆C EDF ∠=∠又∵,∴, ∴.AP CD //C P ∠=∠P EDF ∠=∠(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,∴∽,P EDF ∠=∠PEA DEF ∠=∠EDF ∆EPA ∆∴,∴,又∵,∴.EDEP EF EA =EP EF ED EA ⋅=⋅EB CE ED EA ⋅=⋅EP EF EB CE ⋅=⋅∵,,∴ ,∵,∴,解得.EC EF DE ⋅=22,3==EF DE 29=EC 2:3:=BE CE 3=BE 427=EP ∴.∵是⊙的切线,∴415=-=EB EP BP PA O PC PB PA ⋅=2∴,解得.……………………10分)29427(4152+⨯=PA 4315=PA 19.【答案】【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合【试题解析】(Ⅰ)由已知当 ,即, 时,(Ⅱ)当时,递增即,令,且注意到函数的递增区间为20.【答案】2m -2请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.21.【答案】.[]1,2-【解析】试题分析:先化简条件得,分三种情况化简条件,由是的一个必要不充分条件,可分三种情况p 31x -≤<p 列不等组,分别求解后求并集即可求得符合题意的实数的取值范围.试题解析:由411x ≤--得:31p x -≤<,由22x x a a +<-得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦,当12a =时,:q ∅;当12a <时,():1,q a a --;当12a >时,():,1q a a -- 由题意得,p 是的一个必要不充分条件,当12a =时,满足条件;当12a <时,()[)1,3,1a a --⊆-得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭,当12a >时,()[),13,1a a --⊆-得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 综上,[]1,2a ∈-.考点:1、充分条件与必要条件;2、子集的性质及不等式的解法.【方法点睛】本题主要考查子集的性质及不等式的解法、充分条件与必要条件,属于中档题,判断是的什么p 条件,需要从两方面分析:一是由条件能否推得条件,二是由条件能否推得条件.对于带有否定性的命题p p 或比较难判断的命题,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题.本题的解答是根据集合思想解不等式求解的.22.【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明,对空间想象能力及逻辑推理有较高要求,对于证明中辅助线的运用是一个难点,本题属于中等难度.23.【答案】【解析】解:(Ⅰ)若4人全是女生,共有C74=35种情况;若4人全是男生,共有C84=70种情况;故全为女生的概率为=.…(Ⅱ)共15人,任意选出4名同学的方法总数是C154,选出男生的人数为X=0,1,2,3,4…P(X=0)==;P(X=1)==;P(X=2)==;P(X=3)==;P(X=4)==.…故X的分布列为X01234PEX=0×+1×+2×+3×+4×=.…【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式,正确理解题意是解决问题的基础.。

福建省龙岩二中2018-2019学年高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

福建省龙岩二中2018-2019学年高三(上)第二次月考数学试卷(理科)(解析版)

福建省龙岩二中2018-2019学年高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合,,则A. B. C. D.【答案】C【解析】解:集合,,,故选:C.先分别求出集合A,B,从而求出,由此能求出.本题考查补集、交集的求法,考查补集、交集、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.2.下列说法正确的是A. ,B. 命题“,”的否定是“,”C. 若为真命题,则为真命题D. 中,“”是“”的充要条件【答案】D【解析】解:,,即,不成立,所以A不正确;命题“,”的否定是“,”不满足命题的否定形式,所以B不正确;若为真命题,则为真命题不正确,所以C不正确;中,“”是“”的充要条件在中,,则,则由,则必要性成立;,,两边平方得,,,则或,即或,当时,等价为,,即,此时,综上恒有,即充分性成立,综上中,“”是“”的充要条件,故D正确,故选:D.利用三角函数线判断A的正误;命题的否定判断B的正误;复合命题的真假判断C的正误;充要条件判断D 的正误;本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强考查学生的运算和推理能力.3.下列函数既是奇函数又在上为减函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】解:利用排除法:函数在不是单调函数,选项A错误;当时,函数没有意义,无法考查该函数在区间上的单调性,选项C错误函数是偶函数,选项D错误,故选:B.由函数的解析式考查所给函数的性质,排除错误选项即可求得最终结果.本题考查了函数的单调性,函数的奇偶性,函数的定义域等,属于基础题.4.若,则A. B. C. D.【答案】B【解析】解:,.则.故选:B.直接利用三角函数的诱导公式化简求值得答案.本题考查了三角函数的诱导公式的应用,考查了三角函数的化简求值,是基础题.5.已知,,下列不等关系中正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解:,,,,,故,故,故选:D.根据不等式的性质求出以及,从而求出答案.本题考查了不等式的基本性质,考查转化思想,是一道基础题.6.将函数图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩为原来的,然后将所得函数图象再向右平移个单位长度,所得函数图象关于y轴对称,则m的最小值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解:将函数图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩为原来的,可得的图象;然后将所得函数图象再向右平移个单位长度,得到的图象.所得函数图象关于y轴对称,则,即,,故当时,m取得最小值为,故选:C.利用函数的图象变换规律,求得所得函数图象的解析式,再根据所得图象关于y轴对称,求得m的最小值.本题主要考查函数的图象变换规律,三角函数的图象的对称性,属于基础题.7.已知函数的图象如图所示,则A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】解:由函数的图象知,,,;,,,又,,.故选:C.由函数的图象求出T、和的值,再计算的值.本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,是基础题.8.函数其中e为自然对数的底数图象的大致形状是A. B.C. D.【答案】B【解析】解:,.为奇函数,图象关于原点对称,排除A,C;当时,,,,故选:B.判断的单调性,再根据在上的函数值的符号得出答案.本题考查了函数图象的判断,只有函数单调性、奇偶性的应用,属于中档题.9.已知函数,若函数有三个零点,则实数k的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】解:由得,所以,作出函数的图象,由图象可知:要使与函数有三个交点,则有,即,故选:D.由题意可得,进而可得,作出图象,结合图象可得答案.本题考查根的存在性及个数的判断,作出函数的图象是解决问题的关键,属中档题.10.在中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且,若的面积,则面积的最小值为A. 1B.C.D. 12【答案】B【解析】解:,即,由正弦定理得,,.,.由余弦定理得,,即,又当且仅当时取等号.,解得,当且仅当时取等号.故选:B.利用二倍角公式和正弦定理化简得,代入面积公式可得,根据余弦定理和基本不等式即可得出,从而可得三角形的面积最小值.本题考查了正余弦定理解三角形,三角形的面积公式,基本不等式的应用,属于中档题.11.已知定义在R上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解:根据题意,函数为偶函数,则函数的图象关于对称,对任意,,都有,则函数在上为减函数,则,即,解可得:,即a的取值范围为故选:A.根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解可得a的取值范围,即可得答案.本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.12.已知有两个不同的极值点,,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解:.函数有两个不同的极值点,,,是的两个实数根.,解得.,,.则.令,则..,可得时,函数取得极大值即最大值,..的取值范围是.故选:B.由函数有两个不同的极值点,,可得,是的两个实数根,解得利用根与系数的关系及其求根公式可得,利用导数研究其单调性即可得出.本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.点A从出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B,若点B的坐标是,记,则______.【答案】【解析】解:由题意可得:,,.故答案为:.由题意求得,的值,利用二倍角公式即可计算得解.本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用,考查计算能力,属于基础题.14.曲线,直线,和x轴所围成的区域的面积是______.【答案】【解析】解:曲线,直线,和x轴所围成的区域的面积,故答案为:.确定被积区间及被积函数,利用定积分表示面积,即可得到结论.本题考查面积的计算,解题的关键是确定曲线交点的坐标,确定被积区间及被积函数,利用定积分表示面积.15.函数是定义在R上的奇函数,对任意的,满足,且当时,,则______.【答案】6【解析】解:由题意可得:,,据此有:,即函数是周期为2的奇函数,,,据此可得:.故答案为:6.首先确定函数的周期性,然后结合函数的周期性和奇函数的性质整理计算即可求得最终结果.本题考查函数的周期性,函数的奇偶性等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题.16.已知是定义在R上的函数,其导函数为,若,,则不等式其中e为自然对数的底数的解集为______.【答案】【解析】解:设,则,,,在R上单调递增.,,即,,.故答案为.构造函数,则,单调递增,不等式两边同乘得出,从而得出x的范围.本题考查了导数与函数单调性的关系,函数单调性的应用,构造是解题关键,属于中档题.三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)17.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为S,.求角A的大小;若,,求的值.【答案】解:,由正弦定理可得,是三角形内角,,,A是三角形内角,.,,由余弦定理,可得,.【解析】利用正弦定理化简已知条件,通过三角形内角求解A的大小即可.由三角形的面积公式求出,再根据余弦定理即可求出的值.本题考查正弦定理以及余弦定理,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查计算能力和转化思想,属于中档题.18.已知,将函数图象向下平移个单位得到的图象,则Ⅰ求函数的最小正周期和单调递增区间;Ⅱ求在区间上的取值范围.【答案】Ⅰ由题意得:,,所以,函数的最小正周期为.要求的单调递增区间,只需,解得,所以的单调递增区间为.Ⅱ因为,所以,此时,所以在区间上的取值范围为.【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的正弦正周期和单调区间.Ⅱ利用函数的关系式求出函数的值域.本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.19.已知函数.求曲线在点处的切线方程;求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】解:函数的导数为,可得曲线在点处的切线斜率为,切点为,即为,曲线在点处的切线方程为;函数的导数为,令,则的导数为,当,可得,即有在递减,可得,则在递减,即有函数在区间上的最大值为;最小值为.【解析】求出的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求方程;求出的导数,再令,求出的导数,可得在区间的单调性,即可得到的单调性,进而得到的最值.本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导和运用二次求导是解题的关键,属于中档题.20.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入万元设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为万元,且写出年利润万元关于年产量千件的函数解析式;年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?注:年利润年销售收入年总成本【答案】解:当时;当时,.当时,由,得,且当时,0'/>;当时,,当时,W取最大值,且当时,当且仅当,即时,,故当时,W取最大值38.综合知当时,W取最大值万元,故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.【解析】由年利润年产量每千件的销售收入为成本,又由,且年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入万元我们易得年利润万元关于年产量千件的函数解析式;由的解析式,我们求出各段上的最大值,即利润的最大值,然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者,即可得到结果.本题考查的知识点是分段函数及函数的最值,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者.21.已知函数.若函数在定义域单调递增,求实数b的取值范围;令,,讨论函数的单调区间;如果在的条件下,在内恒成立,求实数b的取值范围.【答案】解:,因为在定义域单调递增,所以恒成立即而当且仅当时等号成立,故即为所求.,若,,则在单调递增若,令,,,则在单调递增,在单调递减;由题意,须对任意恒成立,设,,,,,即在上单调递增,若对任意恒成立,则应令综上所述,即为所求.【解析】求出函数的导数,分离参数b,根据基本不等式的性质求出b的范围即可;求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;设,根据函数的单调性求出,求出b的范围即可.本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.22.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为.Ⅰ求曲线C的参数方程;Ⅱ若曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A,B,在曲线C上任取一点P,且点P在第一象限,求四边形OAPB面积的最大值.【答案】本小题满分10分选修:坐标系与参数方程解:Ⅰ曲线C的极坐标方程为,即,由,,得到曲线C的直角坐标方程为,即.曲线C的参数方程为为参数分Ⅱ曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A,B,由已知可得,,设.则,所以四边形OAPB面积.当时,四边形OAPB的面积取最大值分【解析】Ⅰ由,,求了曲线C的直角坐标方程为由此能求出曲线C的参数方程.Ⅱ求出,,设则,从而四边形OAPB面积,由此能求出四边形OAPB的面积取最大值.本题考查曲线的参数方程的求法,考查四这形面积的最大值的求法,考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.23.已知函数.Ⅰ当时,求的解集;Ⅱ若的解集包含集合,求实数a的取值范围.【答案】解:Ⅰ当时,,,即,故或或,解得:或或,故不等式的解集是Ⅱ的解集包含,当时,不等式恒成立,即在上恒成立,,即,,在上恒成立,,,的取值范围是.【解析】Ⅰ通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;Ⅱ去掉绝对值,问题转化为在上恒成立,求出a的范围即可.本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及函数恒成立问题,是一道综合题.。

福建省龙岩二中2018-2019学年高三(上)第二次月考数学试卷(文科)(解析版)

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福建省龙岩二中2018-2019学年高三(上)第二次月考数学试卷(文科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】解:集合,,则.故选:B.求定义域得出集合A,再根据交集的定义写出.本题考查了交集的定义与应用问题,是基础题.2.设是虚数单位,则A. 2B.C.D.【答案】D【解析】解:,..故选:D.利用复数的运算法则和共轭复数的意义即可得出.本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义,属于基础题.3.已知命题p:,使得若¬是假命题,则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解:命题p:,使得.,若¬是假命题,是真命题,.则实数a的取值范围为.故选:B.命题p:由已知可得:,若¬是假命题,可得p是真命题,即可得出.本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4.已知,则A. 7B.C.D.【答案】D【解析】解:由得,,所以,故选:D.由题意和二倍角的正切公式求出的值,由两角差的正切公式求出的值.本题考查了两角差的正切公式,以及二倍角的正切公式,属于基础题.5.在中,“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解:若“”成立,则A可能大于,此时“”不一定成立,即“”“”为假命题;在中,若“”,则,即“”一定成立,即“”“”为真命题;故“”是“”的必要而不充分条件故选:B.结合三角形的内角范围及三角函数的性质,我们判断出“”“”与“”“”的真假,再结合充要条件的定义,即可得到答案.本题考查的知识是充要条件及正弦函数的单调性,其中判断出“”“”与“”“”的真假,是解答本题的关键.6.已知二次函数,满足且,则含有零点的一个区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】解::,且且,,又即,,含有零点的一个区间是.故选:A.把变形为,得出,而,从而得到含有零点的一个区间.考查主要考察函数零点的判定定理和不等式的基本性质等基础知识,由,得出是解题的关键,同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力,属于中档题.7.定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数若的最小正周期是,且当时,,则的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解:的最小正周期是函数是偶函数.故选:D.要求,则必须用来求解,那么必须通过奇偶性和周期性,将变量转化到区间上,再应用其解析式求解.本题主要考查了函数的奇偶性,周期性以及应用区间上的解析式求函数值,是基础题,应熟练掌握.8.如图,为了估测某塔的高度,在塔底D和A,与塔底D同一水平面处进行测量,在点A,B处测得塔顶C的仰角分别为,,且A,B两点相距140m,由点D看A,B的张角为,则塔的高度A.B.C.D. 140m【答案】C【解析】解:设塔的高度为hm,则,B两点测得塔顶C的仰角分别为和,,,在中,,,由余弦定理可得,整理得:,故选:C.先利用锐角三角函数定义确定AD,BD的长,再利用余弦定理,即可求得塔的高度.此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.9.在中,,,点D为BC边上一点,且,则A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】解:在中,所以,故选:D.先用和表示,再利用数量积定义计算可得本题考查了向量加法的三角形法则、数量积公式,属于基础题10.已知,顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形,则A. B. C. D.【答案】B【解析】解:如图所示,由时,在函数与的图象交点中,,,;又,即,解得故选:B.根据题意画出图形,结合图形求出函数与的图象交点中,线段AB、AC的大小,利用等边三角形边长相等列方程求出的值.本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了两点间的距离应用问题,是基础题.11.已知函数,若,则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】由于,则,故函数为偶函数.时,函数是增函数,故原不等式,,即,解得,故选:A.利用函数的奇偶性将函数转化为的形式,再利用单调性脱去对应法则f,转化为代数不等式求解即可.这类题目常用到函数的奇偶性和单调性,给定解析式的作用是让我们利用解析式判断奇偶性和单调性,有些题目可能不给定显性的解析式,却以抽象函数的形式给出,其解法思路都是一样的本题目有个难点是利用导数判断单调性时,有些学生可能不能有效的利用均值不等式判断恒成立,从而不能顺利解题.12.已知函数,若且满足,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解:函数,若且满足,则且由得又令,则令,则当时,,为减函数,故选:A.由已知可得且由得,则,令,,利用导数法,可得函数的值域.本题考查的知识点是利用导数分析函数的单调性,函数的值域,难度中档.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知向量,,且,则实数m的值为______.【答案】3【解析】解:向量,,,,.解得.实数m的值为3.故答案为:3.利用向量坐标运算法则得到,再由,能求出实数m的值.本题考查实数值的求法,考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.14.若,则______.【答案】【解析】解:,则,故答案为:.由条件利用诱导公式、二倍角的余弦公式,求得的值.本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.15.定义在R上的奇函数,当时,若实数m满足,则m的值是______.【答案】,【解析】解:定义在R上的奇函数,当时,.故当时,.若,即,则,解得:舍去;,即,则,解得:,或;若,则,解得:舍去综上可得:,或.故答案为:,.当时,分类讨论不同情况下满足的m的值,综合可得答案.本题考查的知识点,函数的奇偶性,分类讨论思想,难度中档.16.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,若函数在区间上有7个零点互不相同,则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】解:是定义在R上且周期为3的函数,当时,,若函数在区间上有7个零点互不相同,在同一坐标系中画出函数与的图象如图:由图象可知,若函数在区间上有7个零点互不相同,则实数a的取值范围是.故答案为:.在同一坐标系中画出函数的图象与直线的图象,利用数形结合判断a的范围.本题考查函数的图象以函数的零点的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.Ⅰ求角A的值;Ⅱ若,的面积为,求的值.【答案】解:Ⅰ,可得:,可得:,可得:,,,可得:,,.Ⅱ,,的面积为,可得:,由余弦定理,可得:,可得:.【解析】Ⅰ利用两角和与差的正弦函数公式,三角形内角和定理,诱导公式化简已知可得,由于,可得:,结合范围,利用特殊角的三角函数值可求A的值.Ⅱ利用三角形面积公式可求,进而根据余弦定理可求的值.本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式,三角形内角和定理,诱导公式,特殊角的三角函数值,三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了转化思想,属于基础题.18.已知函数.Ⅰ求不等式的解集;Ⅱ若关于x的不等式的解集不是空集,求实数a的取值范围.【答案】解:Ⅰ函数不等式,或解得:或.不等式的解集为或;Ⅱ由题意,不等式,可得,要使不等式的解集不是空集.则,即.解得:可得实数a的取值范围是【解析】Ⅰ利用零点分段取绝对值,即可求解的解集;Ⅱ由题意,不等式,可得,求解的最小值大于,可得实数a的取值范围.本题考查了零点分段和不等式的解法属于基础题.19.设函数为常数,且,,的部分图象如图所示.Ⅰ求A,,的值;Ⅱ若存在,使得等式成立,求实数m的取值范围.【答案】解:Ⅰ根据函数为常数,且,,的部分图象,可得,,.结合五点法作图可得,,求得,函数Ⅱ若存在,即存在,即存在,使得等式成立,即成立,即存在,使得和的图象有交点.由于,,即实数m的范围为【解析】Ⅰ由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值.Ⅱ即存在,使得和的图象有交点,由二次函数的性质求得的值域,可得m的范围.本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值函数的能成立问题,二次函数的性质,属于中档题.20.在直角坐标系xoy中,直线l过点且斜率为,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为.Ⅰ求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程;Ⅱ若直线l与曲线C的交点为A,B,求的值.【答案】解:Ⅰ直线l过点且斜率为,转化为参数方程为:为参数.曲线C的极坐标方程为.转换为直角坐标方程为:.Ⅱ把直线的参数方程为参数,代入的方程,得到:和为A、B对应的参数,所以:,,.【解析】Ⅰ首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.Ⅱ利用直线和曲线的位置关系,建立方程组,利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.21.在如图所示的直角坐标系xOy中,点A,B是单位圆上的点,且,现有一动点C在单位圆的劣弧上运动,设.Ⅰ若,求的值;Ⅱ若,其中x,,求的取值范围.【答案】解:Ⅰ且,,;Ⅱ,,又,由,得得,,得,,,.【解析】Ⅰ利用三角函数的定义及向量数量积可求得;Ⅱ利用向量的坐标运算可将x和y用表示,从而转化为三角函数求值域可求得.本题考察了三角函数的定义、向量数量积、向量坐标运算、三角函数性质属中档题.22.已知函数,其中.试讨论函数的单调性;若,且函数有两个零点,求实数a的最小值.【答案】解:,则,当时,,所以函数在上单调递增;当时,若,则,若,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增;综上可知,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递减,在上单调递增;函数有两个零点等价于有两个零点,由可知,当时,函数在上单调递增,最多一个零点,不符合题意所以,又当时,函数在上单调递减,在上单调递增;故F,要使有两个零点,则有,设,,则,所以函数在上单调递减,又,,所以存在,当时,,即存在,当时,,即,又因为,所以实数a的最小值等于2.此时,当时,,当时,,有两个零点,故实数a的最小值等于2.【解析】求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;根据函数的单调性求出的最小值是,要使有两个零点,则有,设,,根据函数的单调性求出a的最小值即可.本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转化思想,是一道综合题.。

福建省龙岩高中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题附答案解析

福建省龙岩高中2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题附答案解析

2018-2019学年福建省龙岩高中高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知集合2,,,则等于A. B.C. 1,2,D. 0,1,2,【答案】C【解析】由得:,故,故选C.点睛:合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中,要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍.2.下列四个命题,真命题的个数是若,则的充分不必要条件是命题“,”的否定为“,”A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【分析】讨论、和时,对应的取值范围即可;判断充分性与必要性是否成立即可;根据特称命题的否定为全称命题,判断即可.【详解】对于,当时,,时,无意义,时,,错误;对于,时,不能得出,即充分性不成立;时,能得出,即必要性成立;是必要不充分条件,错误;对于,命题“,”的否定为“,”,正确.综上,正确的命题序号是.故选:B.【点睛】本题利用命题真假的判断考查了简易逻辑的应用问题,熟记基本不等式的应用条件,充要条件判定,全称与特称命题是关键,是基础题.3.已知命题p:对,总有;命题q:“”是“”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指数函数的性质可得p为真命题,由充分必要条件的判定方法可知q为假命题,再由复合命题的真假判断得答案.【详解】命题p:对,总有为真命题;由,不能得到,由,能够得到,“”是“”的必要不充分条件,故q为假命题.为假命题,为假命题,为假命题,为真命题.故选:D.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,考查复合命题的真假判断,是基础题.4.一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南方向直线航行,30分钟后到达B处在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B、C两点间的距离是A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】如图,在中,,,则;由正弦定理得,得,即B、C两点间的距离是10n mile.考点:解三角形.5.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B【解析】由面积公式得:,解得,所以或,当时,由余弦定理得:=1,所以,又因为AB=1,BC=,所以此时为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以,由余弦定理得:=5,所以,故选B. 考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识.6.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】由a1+a3+a5=21得 a3+a5+a7=,选B.7.已知等差数列的前5项和为15,,则数列的前100项和为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根据已知条件求出数列的通项公式,进一步利用裂项相消法求出数列的和.【详解】等差数列的前5项和为15,,设首项为,公差为d,则:,解得:,所以:.所以:,则:,,所以:,故选:D.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.8.设x,y满足约束条件,则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析:作出约束条件的可行域,如图,平移直线,当直线经过点时有最大值,由得,将代入得,即的最大值为,故选B.考点:1、可行域的画法;2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.从椭圆上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且是坐标原点,则该椭圆的离心率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意,可求得点P的坐标,由,从而可得答案.【详解】依题意,设,则,,,又,,,,即,.设该椭圆的离心率为e,则,椭圆的离心率.故选:C.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,求得点P的坐标是关键,考查分析与运算能力,属于中档题.10.设,是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且丨丨:丨丨:1,则的面积为A. 4B. 6C.D.【答案】A【解析】设丨PF2丨=x,则丨PF1丨=2x,依题意,丨PF1丨+丨PF2丨=x+2x=3x=2a=6,∴x=2,2x=4,即丨PF2丨=2,丨PF1丨=4,又|F1F2丨=2=2,∴+=,∴△PF1F2为直角三角形,∴△PF1F2的面积为S=丨PF1丨丨PF2丨=×2×4=4.故选A.11.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A,B两点,若,则该双曲线曲离心率为A. 8B.C. 3D.【答案】C【解析】试题分析:双曲线的一条渐近线方程为,∵圆心为,半径为3,可知圆心到直线AB的距离为,∴,解得,∴,∴.考点:双曲线的离心率.12.已知双曲线C:,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形,则|MN|=A. B. 3 C. D. 4【答案】B【解析】分析:首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到,根据直角三角形的条件,可以确定直线的倾斜角为或,根据相关图形的对称性,得知两种情况求得的结果是相等的,从而设其倾斜角为,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程联立,求得,利用两点间距离同时求得的值.详解:根据题意,可知其渐近线的斜率为,且右焦点为,从而得到,所以直线的倾斜角为或,根据双曲线的对称性,设其倾斜角为,可以得出直线的方程为,分别与两条渐近线和联立,求得,所以,故选B.点睛:该题考查的是有关线段长度的问题,在解题的过程中,需要先确定哪两个点之间的距离,再分析点是怎么来的,从而得到是直线的交点,这样需要先求直线的方程,利用双曲线的方程,可以确定其渐近线方程,利用直角三角形的条件得到直线的斜率,结合过右焦点的条件,利用点斜式方程写出直线的方程,之后联立求得对应点的坐标,之后应用两点间距离公式求得结果.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.在中,,,,则B等于______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理即可求得,再由知,从而可得答案.【详解】在中,,,,由正弦定理得:,又,,.故答案为:.【点睛】本题考查正弦定理,熟记正弦定理,在中,知是关键,属于基础题.14.已知数列的前n项和,则数列的通项______.【答案】【解析】当n=1时,S1=1当n时,S n∴15.已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,则的方程是_________.【答案】【解析】试题分析:由题意得,斜率存在,设为 k,则直线l的方程为 y-2=k(x-4),即 kx-y+2-4k=0,代入椭圆的方程化简得(1+4k2)x2+(16k-32 k2)x+64 k2-64k-20=0,∴,解得 k=-,故直线l的方程为 x+2y-8=0考点:直线与圆锥曲线的关系16.函数,若对任意,存在,使得,则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】先分别求出和的值域,再根据列式可解得.【详解】时,是减函数,所以,即,所以的值域为;时,是增函数,所以,即,所以值域为,根据题意可得所以,故实数m的取值范围是【点睛】本题考查了指数函数、二次函数的单调性、最值将转化为是关键,属中档题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.设p:,q:,且是的必要不充分条件,求实数a的取值范围.【答案】【解析】【分析】求解绝对值的不等式化简p,由是的必要不充分条件,可得,但q p,则是不等式的解集的真子集,由此列关于a的不等式组求解.【详解】由p:,得,即;若是的必要不充分条件,则,,即,但q p.是不等式的解集的真子集.由,得.,解得.实数a的取值范围是.【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用,熟练求解命题p,q是关键,考查数学转化思想方法,是中档题.18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.(1)求角C;(2)若,,求的周长.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:(1)根据正弦定理把化成,利用和角公式可得从而求的角;(2)根据三角形的面积和角的值求得,由余弦定理求得边得到的周长.试题解析:(1)由已知可得(2)又,的周长为考点:正余弦定理解三角形.19.已知数列的前n项和为,且,,求数列的通项公式;设,求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】通过,得,,两式相减即得数列是首项为2,公比为2的等比数列,计算即可;由得,计算出、,两式相减即可.【详解】,,,即,,两式相减,得,即,又,,即数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以;设,则,,,两式相减,得:.【点睛】本题考查数列的递推关系,通项公式,前n项和,错位相减法,利用错位相减法是解决本题的关键,属于中档题.20.设x,y满足约束条件,目标函数的最大值为2.作出可行域;求的值;若不等式对任意恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域即可;由图形知目标函数过直线与的交点时,z取得最大值,由此求得的值;由题意求得的最小值,把命题转化为关于x的一元二次不等式恒成立问题,利用判别式求出m的取值范围.【详解】画出约束条件表示的平面区域,如图阴影部分所示;由图形知,当直线过直线与的交点时,目标函数取得最大2,即;由题意,;当且仅当时等号成立,所以的最小值是;不等式对任意恒成立,等价于对任意恒成立;即,,解得实数m的取值范围是.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,也考查了利用基本不等式求最值的应用问题,熟记线性规划方法,熟练运用基本不等式,及不等式恒成立问题的转化是关键,是中档题.21.已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为,过点.求双曲线C的标准方程;是否存在被点平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)直线l不存在.详见解析【解析】【分析】设出双曲线方程,利用双曲线经过P,求解即可.假设直线l存在由已知条件利用点差法求出直线l的方程为,联立方程组,得,由,推导出直线l不存在.【详解】双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为,设双曲线方程为:,过点.可得,所求双曲线方程为:.假设直线l存在.设是弦MN的中点,且,,则,.,N在双曲线上,,,,,直线l的方程为,即,联立方程组,得,直线l与双曲线无交点,直线l不存在.【点睛】本题考查双曲线与直线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意点差法和根的判别式的合理运用.22.如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆的离心率为,过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与当直线AB斜率为0时,弦AB长4.求椭圆的方程;若求直线AB的方程.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】,,又,解得:,即可求出椭圆的方程;分类讨论,将直线AB,CD方程代入椭圆方程中,求出,,利用,求出k,即可求直线AB的方程.【详解】由题意知,,又,解得:,所以椭圆方程为:当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,由题意知,不满足条件;当两弦斜率均存在且不为0时,设直线AB的方程为,则直线CD的方程为.将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得,则,所以.同理,.所以解得,所以直线AB方程为或【点睛】本题考查椭圆方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,熟练计算弦长公式是关键,属于中档题.。

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2018-2019龙岩二中高三数学期中考试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数iiz -+=13,则=z ( ) A.1 B.2 C.5 D.5 2.集合{}{}02|,1|2≤--=-==x x x B x y y A ,则=⋂B A ( )A.[)∞+,2 B.[]0,1 C.[]2,1 D.[]2,0 3.已知312cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα,则 α2cos 的值等于 ( ) A.97 B.97- C.98 D.98-4.执行如图所示的程序框图,如果输入n 的值为4,则输出的S 的值为( )A.15B.6C.-10D.-215.下列命题中正确的是( )A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p ∧q ”为真命题B .命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x ≠0”C .“”是“”的充分不必要条件D .命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“020≤X ”6、圆(x -1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( )(A )1 (B )2 (C(D )7.已知直线l 1:y=xsin α和直线l 2:y=2x+c,则直线l 1与l 2 ( ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直C. 通过绕l 1上某点旋转可以重合D. 可能与x 轴围成等腰直角三角形 8、已知b>0,log 5b=a,lg b=c,5d =10,则下列等式一定成立的是( )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c 9. 如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面 ABCD 的中心,M ,N 分别是棱DD 1,D 1C 1的中点,则直线OM( ) A .与AC ,MN 均垂直相交 B .与AC 垂直,与MN 不垂直 C .与MN 垂直,与AC 不垂直 D .与AC ,MN 均不垂直10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为( ) A .B .C .D .311、将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的1x ,2x ,有6-min21π=x x ,则ϕ=( )A.512π B.3π C.4π D.6π12.已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2<- x f xf x 的解集为( ).A . (0,1)B .(1,2)C .(1,)+∞D .(2,)+∞二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=+,0,,0,232x x x x f x ,则()[]=-1f f . 14.已知向量,的夹角为3132==π= . 15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球体积是 。

16.设函数 1)1x (sin )(f 22++-=x x x 的最大值为M ,最小值为m ,则M+m =____ 三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 满足224=-a a ,且731,,a a a 成等比数列. (I )求}{n a 的通项公式;(II )设112-=n n a b ,求数列}{n b 的前项和. 18. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足(2)cos cos b c A a C -=. (I )求角A 的大小(II)若3a =,求ABC ∆的周长最大值.19.(本小题满分12分)如图,己知三棱锥P -ABC ,底面是边长为2的正三角形,平面P AB ⊥平面ABC ,P A =PB =2,D 为BC 中点. (Ⅰ)求证:AB ⊥PC ;(Ⅱ)求点B 到平面P AD 的距离.20.(本小题满分12分)某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产甲产品1吨需A 原料3吨、B 原料1吨;生产乙产品1吨需A 原料2吨、B 原料2吨;及每天消耗A 、B 原料分别不超过12吨、8吨;如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元,求该企业每天可获得最大利润多少?21. (本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2R a x a x x x f ∈+-=. (Ⅰ)当2=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程;(Ⅱ)当0>a 时,若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <,不等式21)(mx x f ≥恒成立,求实数m 的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题作答。

注意:只能做所选定的题目。

如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22. (本小题满分10分)(选修4-4:坐标系与参数方程)已知曲线C 1:4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数), C 2:8cos ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)。

(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为2t π=,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线 332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)距离的最小值。

23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数3)(-=x x f (I )求不等式12)(++<x x f 的解集;(II )已知*,R n m ∈且mn nm 211=+,求证:6)(-)(≥+m nf n mf .PBDCA2018-2019龙岩二中高三数学期中考试卷选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数iiz -+=13,则=z ( C ) A.1 B.2 C.5 D.5 3.集合{}{}02|,1|2≤--=-==x x x B x y y A ,则=B A ( D )A.[)∞+,2 B.[]0,1 C.[]2,1 D.[]2,0 3.已知312cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα,则 α2cos 的值等于 ( A )A.97 B.97- C.98 D.98- 4.执行如图所示的程序框图,如果输入n 的值为4,则输出的S 的值为( C )A.15B.6C.-10D.-215.下列命题中正确的是( D )A .若命题p 为真命题,命题q 为假命题,则命题“p ∧q ”为真命题B .命题“若xy=0,则x=0”的否命题为:“若xy=0,则x ≠0”C .“”是“”的充分不必要条件D .命题“∀x ∈R ,2x >0”的否定是“020≤X ”6、圆(x -1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( D )(A )1 (B )2 (C(D )7. 已知直线l 1:y=xsin α和直线l 2:y=2x+c,则直线l 1与l 2 ( C ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直C. 通过绕l 1上某点旋转可以重合D. 可能与x 轴围成等腰直角三角形8、已知b>0,log 5b=a,lg b=c,5d =10,则下列等式一定成立的是( B )A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c9.如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,M ,N 分别是棱DD 1,D 1C 1的中点,则直线OM( A ) A .与AC ,MN 均垂直相交 B .与AC 垂直,与MN 不垂直 C .与MN 垂直,与AC 不垂直 D .与AC ,MN 均不垂直10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为( B )A .B .C .D .311、将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像,若对满足12()()2f x g x -=的1x ,2x ,有6-min21π=x x ,则ϕ=( B )A.512π B.3π C.4π D.6π12.已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2<- x f xf x 的解集为( A ).A . (0,1)B .(1,2)C .(1,)+∞D .(2,)+∞第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题--第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22题--第24题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=+,0,,0,232x x x x f x ,则()[]=-1f f . 814.已知向量,的夹角为3132==π=.15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球体积是 。

π326416.设函数 1)1x (sin )(f 22++-=x x x 的最大值为M ,最小值为m ,则M+m =____-2三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 满足224=-a a ,且731,,a a a 成等比数列. (I )求}{n a 的通项公式; (II )设112-=n n a b ,求数列}{n b 的前项和.17.解:(Ⅰ)设公差为d由已知可得:231722d a a a =⎧⎨=⎩即21111(2)(6)d a d a a d =⎧⎨+=+⎩ ………………………2分 解得:1=21a d =, …………………………………4分所以1n a n =+ ………………………………6分 (Ⅱ)()()21111122211n b n n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭+-…………………8分所以1111111112324352n S n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭ ………………10分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()32342(1)2n n n +=-++ …………………12分18. (本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,满足(2)cos cos b c A a C -=. (I )求角A 的大小(II)若3a =,求ABC ∆的周长最大值. 18.(本小题满分12分)(I )解: 法一:由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理,得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=…………………………………………3分 2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+2sin cos sin()sin B A C A B ∴=+= (0,)B π∈ sin 0B ∴≠(0,)A π∈1cos 2A =3A π∴=…………………………………………6分法二:由(2)cos cos b c A a C -=及余弦定理,得222222(2)22b c a b a c b c a bc ba+-+--=……………………………………3分整理,得222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π∴=.………………………………………6分(II)解:由(I )得3A π∴=,由正弦定理得sin sin sin b c a B C A ====所以;b B c C ==ABC ∆的周长3)3l π=+++ …………………………………9分3cosBsin )33ππ=+++ 33cosB =++PBDCAEF36sin(B )6π=++2(0,3B π∈当3B π=时,ABC ∆的周长取得最大值为9.…………………………………12分19.(本小题满分12分)如图,己知三棱锥P -ABC ,底面是边长为2的正三角形,平面P AB ⊥平面ABC ,P A =PB =2,D 为BC 中点. (Ⅰ)求证:AB ⊥PC ;(Ⅱ)求点B 到平面P AD 的距离. (19)(I )证明:取AB 中点E ,连接PE 、CE , PB =P A ,∴AB ⊥PEAC =BC ,∴AB ⊥CE …………2分又 PE ⋂CE =E ,∴AB ⊥平面PEC …………4分又 PC ⊂平面PEC ,∴AB ⊥PC …………6分 (II )解法一:过E 作EF ⊥AD 于F ,连接PF ,∵平面PAB ⊥平面ABC 且PE ⊥AB ,∴PE ⊥平面ABC∴PE ⊥AD 又EF ⊥AD PE ⋂EF =E ∴ AD ⊥平面PEF∴PF ⊥ADD 为正三角形ABC 边BC 的中点,∴AD ⊥BC . 又EF ⊥AD ∴EF ∥BC ∴EF =21BD =41BC =21在∆PAB 中,AB =2,PB =PA =2,∴PE =1∴PF =411+=25 ∴S PAD ∆=PF AD ∙21=25321⨯⨯=415…………9分 设B 到平面PAD 的距离为h ,PAD B V -=PAD hS ∆31=h 41531⨯=h 1215三棱锥P -ABD 的体积ABD P V -=ABD S PE ∆∙31=3121131⨯⨯⨯⨯=63…………11分PAD B V -=ABD P V -,∴631215=h ∴h =552…………12分 解法二:∵平面PAB ⊥平面ABC 且PE ⊥AB ,∴PE ⊥平面ABC 三棱锥P -ABD 的体积ABD P V -=ABD S PE ∆∙31=3121131⨯⨯⨯⨯=63…………8分 连接DE ,则112DE AC == 在∆PAB 中, AB =2,PB =PA =2,∴PE =1在直角三角形PDE 中, PD =取AD的中点F,连接,∵PA PD PF AD = ∴⊥Q2PF ∴==∴S PAD ∆=PF AD ∙21=25321⨯⨯=415…………11分 设B 到平面PAD 的距离为h ,PAD B V -=PAD hS ∆31=h 41531⨯=h 1215 PAD B V -=ABD P V -,∴631215=h ∴h =552…………12分20.(本小题满分12分)某企业生产甲乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产甲产品1吨需A 原料3吨、B 原料1吨;生产乙产品1吨需A 原料2吨、B 原料2吨;及每天消耗A 、B 原料分别不超过12吨、8吨;如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元,求该企业每天可获得最大利润是多少万元? 20.解:设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ,y 吨,则利润34z x y =+PBDCAPB D CA E F由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩,其表示如图阴影部分区域:当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时,z 取得最大值324318z =⨯+⨯=,22. (本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2R a x a x x x f ∈+-=. (Ⅰ)当2=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程;(Ⅱ)当0>a 时,若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <,不等式21)(mx x f ≥恒成立,求实数m 的取值范围.21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)当2=a 时,x x x x f ln 22)(2+-=;xx x f 222)(+-=' 则1)1(-=f ,2)1(='f 所以切线方程为)1(21-=+x y ,即为32-=x y .………………………………………4分 (Ⅱ))0(22)(>+-='x xax x f 令022)(=+-='x ax x f ,则0222=+-a x x 当084≤-=∆a ,21≥a 时,0)(≥'x f ,函数)(x f 在),0(+∞上单调递增,无极值点;…………………6分 (1)当84>-=∆a 且>a ,210<<a 时,由222=+-a x x 得221148422,1aa x -±=-±=当x 变化时,)(x f '与)(x f 的变化情况如下表:当20<<a 时,函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <,则121=+x x , 22111a x --=,22112ax -+=………………………………………8分 由210<<a 可得2101<<x ,1212<<x 21)(x x f 21121ln 2x x a x x +-=21211121ln )22(2x x x x x x -+-=112111211ln )22(2x x x x x x --+-=1111ln 2111x x x x +---=令)210(ln 2111)(<<+---=x x x x x x h ………………………………………10分 x x x h ln 2)1(11)(2+--='因为210<<x ,所以2111-<-<-x ,1)1(412<-<x 0ln 2)1(11)(2<+--='x x x h ,即)(x h 在)21,0(递减, 即有2ln 23)21()(--=>h x h ,所以实数m 的取值范围为]2ln 23,(---∞.………………………………………12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。

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