直线及其方程
直线的参数方程(最全)
则 t 的几何意义：t=M0M
t>0
M 在 M0 的上方
t=0 M 与 M0 重合
t<0
M 在 M0 的下方
非标准形式 一般说来，t 不具有上述 几何意义
x x0 at
y
y0
bt
(t 为参数)
表示过定点（x0，y0），斜率
为 b 的直线的参数方程
a
例1
已知直线 L 过点 M0（4，0），倾为
(t为参数）
b （ a2 b2 t）
a2 b2
设: a = cos; b sin; a2 b2t t,则
a2 b2
a2 b2
x y
x0 y0
tcos（t为参数） tsin
当b 0时，t有上述的几何意义。
基础训练
1
直线
x y
2t 1
sin 200 t cos 200
直线的参数方程
2020/7/4
请同学们回忆:
直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0) y kx b
两点式: y y1 x x1
y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
法线式： Ax By C 0 （直线l的法向量（A,B））
t cos t sin
（t为参数）
思考
由M0M te,你能得到直线l的参数方程中
参数t的几何意义吗？
解: M0M te M0M te
y M
又 e是单位向量， e 1
M0M t e t
M0
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直
线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间直线及其方程
z
Π1
Π2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件 • 由两个平面确定一条直线； • 由空间的两点确定一条直线； • 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r 如果一非零向量 s 平行于 r 一条已知直线L，向量 s 称为直
线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ⇐⇒ ( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
x −1 y z +1 例 5 设直线 L : = = ，平面 2 −1 2 Π : x − y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角. r r 解 n = {1,−1, 2}, s = {2,−1, 2},
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ⇒ , y0 − 3 z 0 − 6 = 0
解得 y0 = 0,
r s = {m , n, p}, r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π sin ϕ = cos( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
高中数学-直线的方程
直线的方程1.直线的点斜式方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程和截距式方程4.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.5.直线的一般式方程6.直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系直线的点斜式方程知识点1 求直线的点斜式方程【例1-1】（南京校级模拟）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A (－4，3)，斜率k ＝2； (2)经过点B (－1，4)，倾斜角为45°； (3)过点C (－1，2)，且与x 轴平行； (4)过点D (2，1)和E (3，－4)．【变式训练1-1】（蜀山区校级月考）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2，5)，斜率是4； (2)经过点B (2，3)，倾斜角是135°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．知识点2 直线的斜截式方程【例2-1】（菏泽调研）根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2，在y轴上的截距是-5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－8；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为8.【变式训练2-1】（宁波校级月考）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3；(2)直线倾斜角是45°，在y轴上的截距是5；(3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.知识点3 点斜式、斜截式方程的综合应用(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式训练3-1】求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【变式训练3-2】（赤峰期末）是否存在过点(－5，－4)的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5?课堂练习1．过点()3,2，斜率是23的直线方程是（ ） A ．243y x =+ B ．223y x =+ C ．230x y -=D ．320x y -=2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B 直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为13．直线y ＝3(x －3)的斜率与在y 轴上的截距分别是( )A ．3，3B ．3，－3C ．3，3D ．－3，－3 4．直线y ＝kx ＋b 经过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0D ．k <0，b <05．过点()2,0且与直线25y x =+垂直的直线l 的方程是（ ）A ．24y x =-B ．24y x =-+C ．112y x =- D ．112y x =-+ 6．已知直线l 过点()2,0，且与直线21y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ）A ．24y x =-B ．24y x =+C ．24y x =-+D ．24y x =--7．直线y ＝2x －5在y 轴上的截距是________．8．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是________．9．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________．10．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．11．写出下列直线的斜截式方程：(1)直线的倾斜角为45°且在y 轴上的截距是1； (2)直线过点A (3，1)且在y 轴上的截距是－1.12．(1)求经过点(1，1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的点斜式方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5平行的直线的斜截式方程．直线的两点式方程知识点1 直线的两点式方程【例1-1】已知三角形的顶点是A (1，3)，B (－2，－1)，C (1，－2)，求这个三角形三边所在直线的方程．【变式训练1-1】（开江县校级开学考）过(1，1)，(2，－1)两点的直线方程为 ( ) A ．2x －y －1＝0 B ．x －2y ＋3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0知识点2 直线的截距式方程【例2-1】（诸暨市校级期中）求过点A (3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程．【变式训练2-1】若将例2-1中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？知识点3 直线的综合应用【例3-1】（沭阳县校级期中）已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．【变式训练3-1】（天心区校级期末）求过点A(4，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l的方程．课堂练习1．（锡山区校级期中）过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－22．（红桥区期中）经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A.x4＋y3＝1 B.x3＋y4＝1C.x4－y3＝1 D.x3－y4＝13．（江宁区校级月考）过点P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条4．（临泉县校级月考）经过两点(5，0)，(2，－5)的直线方程为()A．5x＋3y－25＝0 B．5x－3y－25＝0C．3x－5y－25＝0 D．5x－3y＋25＝05．（朝阳区校级月考）已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是() A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或16．（庐江县校级期末）点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则()A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝57．（海淀区校级期末）已知A(2，－1)，B(6，1)，则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为________．8．（红岗区校级期末）过点P(3，2)，且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是________．9．（兴庆区校级期末）求经过点A(－2，3)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．10．（城关区校级期末）求经过点A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式．能力提升1．（鼓楼区校级期末）两条直线l1：xa－yb＝1和l2：xb－ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是()2.（秦州区校级期末）直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞3．（金湖县校级期中）垂直于直线3x －4y －7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x 轴上的截距是________．4．（启东市校级月考）已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________． 5．（杨浦区校级期末）在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．直线的一般式方程知识点1 直线的一般式方程与其他形式的转化【例1-1】（水富市校级期末）(1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )A ．3x ＋4y ＋7＝0B ．4x ＋3y ＋7＝0C ．4x ＋3y －42＝0D ．3x ＋4y －42＝0(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3B ．－5C.95D ．－33【变式训练1-1】（包河区校级期末）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是3，且经过点A (5，3)； (2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点； (4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.知识点2 直线的一般式方程的应用【例2-1】（上虞区期末）(1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． (2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.【例2-2】（柳南区校级期末）已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)过点(－1，3)，且与l 垂直．【变式训练2-1】（佛山校级月考）已知直线l 经过点P (2，1)，且与直线2x －y ＋2＝0平行，那么直线l 的方程是( ) A ．2x －y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．2x －y －4＝0D ．x －2y －4＝0【变式训练2-2】（西湖区校级月考）设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________．课堂练习1．（芜湖校级月考）已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限2．（南岸区校级期末）过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．（辽源期末）若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m 等于( ) A ．－1B ．1C.12D ．－124．（宜兴县校级期中）直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是( )5．（城关区校级期末）直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角45°，则m 的值为( ) A ．－2B ．2C ．－3D ．36．（金凤区校级期末）若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相平行，那么a 的值等于________． 7．（越秀区校级期末）已知过点A (－2，m )，B (m ，4)的直线与直线2x ＋y －1＝0互相垂直，则m ＝________． 8．（凯里市校级期末）已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2，3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．9．（和平区校级期中）若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．(1)求实数m需满足的条件；(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．10．（如东县期中）(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？能力提升1．（昌江区校级期末）若三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3能构成三角形，则a满足的条件是________．2．（河南校级月考）已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．3．（镜湖区校级期中）已知平面内两点A(8，－6)，B(2，2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－1)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．11/ 11。
直线及其方程参考课件
4分
课堂互动讲练
(1)当点在BC上时，S最大＝ 210×240＝50400(m2).5分
(2)当点在AE上时，S最大＝ 180×300＝54000(m2).6分
(3)设 P 点坐标为(x,60－23x)， 其中 0≤x≤90，
所以所开发部分的面积为 S＝ (300－x)(240－y)．
课堂互动讲练
(2)截距式：设 l 的方程为xa＋by＝1，将点 (2,1)代入得出a与b的关系，建立目标函数， 求最小值及最值成立的条件．
(3)根据题意，设出一个角，建立目标函 数，利用三角函数的有关知识解决．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：设 l 的方程
为 y－1＝k(x－2)(k＜0)，
则 A(2－1k，0)，B(0,1－2k)，
y＝kx＋b
k为斜率，b 是直线在y轴
上的截距
不包括垂直 于x轴的直线
基础知识梳理
名称 方程的形式
已知条件
局限性
两点式
yy2－－yy11＝
x－x1 x2－x1
(x1≠x2 且 y1≠y2)
截距式 xa＋by＝1
一般式
Ax＋By＋C＝ 0(A2＋B2≠0)
(x1，y1)，(x2， y2)是直线上两定
【规律总结】 用待定系数法求直线方 程的步骤：
(1)设所求直线方程的某种形式． (2)由条件建立所求参数的方程(组)． (3)解这个方程(组)求参数． (4)把所求的参数值代入所设直线方程．
课堂互动讲练
考点三 直线方程几种形式的灵活运用
利用直线方程解决问题，可灵活 选用直线的形式，以便简化运算．一 般地，已知一点通常选择点斜式；已 知斜率选择斜截式或点斜式；已知截 距或两点选择截距式或两点式．
5.5 空间直线及其方程
y ≡ −2 表示直线上的动点在变动时， 这里， 这里， 表示直线上的动点在变动时，y 坐标始终 等于-2, 即直线与 y 轴是垂直的, 方向向量在 y 轴上投影为0.
(2) s = AB = (1 , 2 , −3), 所求直线方程为:
x +1 y − 3 z − 2 = = . 1 2 −3
x −1 y − 3 z + 2 = = . 3 −2 4
d s
平面束方程： 平面束方程： 设直线 L 的一般方程为
则直线外一点 P 1 到直线 L 的距离 可看作为以 s 和 P0 P 为邻边的平行四边形 s×P 0P 1 d= 在边 s 上的高. 于是由前面的结果知:
cos ϕ =
即
ϕ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
π
3
1 1 = , 2 2 2
.
直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角： 直线与平面的夹角定义为直线与平面法线夹角的余角 (不取钝角). 若直线的方向向量为 s = ( m, n, p ) , 平面的法向为 n = ( A, B, C ) , 直线与平面的夹角为 ϕ θ = ( s , n ), 0 ≤ θ ≤ π ，则 2
L1
s1
s1 ⋅ s2 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = . 2 2 2 2 s1 ⋅ s2 m1 + n12 + p12 m2 + n2 + p2
π 0 ≤ ϕ ≤ 2
例8 求直线 特别， 特别，两直线垂直 ⇔ s1 ⊥ s2
x + 2y + z =1 x − y − z = 1 与 的夹角. x − 2y + z = 3 x − y + 2z =1
高等数学7.3直线及其方程
4
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
平面束
例 12 求过点 (1,2,4) 且与平面 2x 3 y z 4 0 垂直的直线方程. 解 x1 y2 z4 .
2 3 1
例 13 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1平行的
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
— 两直线的夹角公式
s1
s2
8
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
即 1 2(2 2 ) 1 0 , 解得 2 ,
由此得到所求平面方程为
3x 2y z 6 0 .
18
平面束
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
例19
求直线
L:
x
x
y y
z z
1 1
0 0
在平面
x 2 y z 0 的平面方程.
解 设平面方程为 x+2 y-z 6 ( x 2 y+z) 0 ,
即 (1 )x 2(1 ) y ( 1)z 6 0 ,
由于所求平面与平面 x 2 y z 0 垂直，所以
{1 , 2 2, 1} {1, 2, 1} 0 ,
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
直线与平面方程
直线与平面方程直线和平面是几何学中最基本的概念之一，它们在解决空间几何问题中起着重要的作用。
本文将介绍直线和平面的概念，并讨论它们的方程及其应用。
一、直线的方程直线是在平面上延伸至无穷远的一条连续曲线。
在平面直角坐标系中，一条直线可以由斜率和截距来确定。
设直线的斜率为m，截距为b，则直线的方程可以表示为y = mx + b，其中x和y分别表示直线上的一点的坐标。
例子：考虑一条直线过点(1, 2)且斜率为2的情况，我们可以用直线的点斜式方程来表示，即y - 2 = 2(x - 1)。
展开得到y = 2x。
二、平面的方程平面是一个无限延伸的二维几何对象，具有无限多个点。
在三维空间中，平面可以由它上面的三个点或法向量加点的形式确定。
以下是两种常见的平面方程形式。
1. 一般形式一般形式的平面方程可以表示为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是实数常数，且A、B和C不同时为0。
例子：考虑一个平面过点(1, 2, 3)且法向量为(2, -1, 3)的情况。
我们可以利用平面的一般方程形式来表示，即2x - y + 3z + D = 0，将点(1, 2, 3)代入得到2(1) - 2 + 9 + D = 0，解得D = -9。
所以该平面的方程为2x - y +3z - 9 = 0。
2. 点法式点法式的平面方程可以表示为A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0，其中(x₀, y₀, z₀)是平面上的一点，(A, B, C)是平面的法向量。
例子：考虑一个平面过点(1, 2, 3)且法向量为(2, -1, 3)的情况。
我们可以利用平面的点法式方程来表示，即2(x - 1) - (y - 2) + 3(z-3) = 0，展开得到2x - y + 3z - 9 = 0，与一般形式的方程相同。
三、直线与平面的关系直线与平面之间存在着一定的关系。
当直线与平面相交时，它们有且仅有一个公共点；当直线包含于平面中时，直线上的所有点都在平面上；当直线与平面平行时，它们没有交点。
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题(含答案)
直线与方程问题（含答案）
本文将介绍直线与方程问题的基本概念和解题方法，并提供一些示例问题及其答案。
以下是内容的简要概述：
直线与方程的基本概念
- 直线：直线是由一组无限延伸的点组成的，可以用线段来表示。
直线有无限多个点，无限延伸的长度和方向。
- 方程：方程是数学表达式中的等式，其中包含一个或多个未知数。
方程描述了两个对象之间的关系。
直线与方程问题的解题方法
- 求两点间的斜率：通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值来得到直线的斜率。
- 根据斜率和一点求直线的方程：使用斜率和已知点的坐标来确定直线的方程。
- 点斜式方程：通过已知直线上的一点和该直线的斜率来写出直线的方程。
- 一般式方程：将直线的方程转化为一般的标准形式，即Ax + By + C = 0。
示例问题及答案
1. 求经过点A(2, 3)和点B(5, 7)的直线的斜率。
解答：斜率 = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3
2. 已知直线上的一点为P(4, 2)，斜率为2/5，求该直线的方程。
解答：使用点斜式方程，直线的方程为 y - 2 = (2/5)(x - 4)
3. 将直线的方程2x + 3y - 6 = 0转化为一般式方程。
解答：将方程重新排列为3y = -2x + 6，然后将其化简为Ax + By + C = 0的形式，即2x + 3y - 6 = 0。
以上是关于直线与方程问题的基本概念、解题方法和示例问题
的介绍。
希望对您有所帮助！。
直线方程公式大全
直线方程公式大全直线是数学中最基本的几何图形之一，研究直线在平面上的性质和表示方法对于解决许多实际问题具有重要意义。
直线方程公式是表示直线的数学表达式，可以根据直线的特征和已知条件求解直线方程。
在本文中，我们将介绍常见的直线方程公式，包括点斜式、两点式、截距式和一般式。
1. 点斜式点斜式是直线方程表示的一种常用形式，它利用直线上的一点及其斜率来表示直线。
假设直线上有一点P(x₁, y₁)，直线的斜率为k，则直线的点斜式为：y - y₁ = k(x - x₁)其中，(x, y)为直线上的任意一点。
2. 两点式两点式是直线方程表示的另一种常见形式，它利用直线上的两个点来表示直线。
假设直线上有两个点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，则直线的两点式为：(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)3. 截距式截距式是直线方程表示的一种常用形式，它利用直线在x轴和y轴上的截距表示直线。
假设直线与x轴交点为A(a, 0)，与y轴交点为B(0, b)，则直线的截距式为：x/a + y/b = 14. 一般式一般式是直线方程表示的一种标准形式，它利用直线的一般方程来表示直线。
假设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数且A和B不同时为0，则直线的一般式为：Ax + By + C = 05. 总结这些直线方程公式是数学中常见的描述直线的方式。
根据已知的线段、斜率、截距等条件，我们可以使用这些方程公式来表示和求解直线。
•点斜式：利用直线上的一点及其斜率来表示直线。
•两点式：利用直线上的两个点来表示直线。
•截距式：利用直线在x轴和y轴上的截距表示直线。
•一般式：利用直线的一般方程来表示直线。
根据不同的问题和已知条件，选择合适的直线方程公式可以简化问题的求解过程，并帮助我们更好地理解和应用直线的性质。
希望本文介绍的直线方程公式对您有所帮助！。
直线的一般方程
直线的一般方程直线是平面几何中的基本概念之一。
在代数几何中，可以使用一般方程来表示直线。
本文将探讨直线的一般方程的定义、推导方法以及应用。
一、直线的一般方程定义直线的一般方程通常可以表示为Ax + By = C，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
这个方程表达了直线上所有点的特性，是直线的一种数学描述方式。
二、直线的一般方程的推导方法直线的一般方程可以通过点斜式方程或两点式方程进行推导。
1. 点斜式方程：点斜式方程是直线方程的常用形式，可以通过已知直线上一点的坐标和直线的斜率来求解。
设直线上一点为(x₁, y₁)，直线的斜率为k，则点斜式方程可以表示为：y - y₁ = k(x - x₁)。
将点斜式方程展开并整理可得：y = kx - kx₁ + y₁。
进一步整理，得到-kx + y - y₁ = 0。
通过调整系数符号，可以得到形如Ax + By + C = 0的一般方程。
2. 两点式方程：两点式方程可以通过已知直线上两个点的坐标来求解。
设直线上两点分别为P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)，则两点式方程可以表示为：(y -y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。
将两点式方程展开并整理可得：(y₂ - y₁)x - (x₂ - x₁)y - (x₂y₁ - x₁y₂) = 0。
通过调整系数符号，可以得到形如Ax + By + C = 0的一般方程。
三、直线的一般方程的应用直线的一般方程在几何学和代数学中都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用情况：1. 直线的位置关系：通过一般方程，可以判断直线与坐标轴的交点、直线的斜率、直线的截距，并进一步分析直线与坐标轴的相对位置关系。
2. 直线的图像绘制：将一般方程代入坐标系中，可以绘制出直线的几何图像。
根据一般方程的系数，可以判断直线的斜率和方向，从而准确绘制直线。
3. 直线的方程求解：可以通过一般方程来解决与直线相关的问题。
3直线方程
直线方程知识回顾1、点斜式方程：设直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线的方程为y －y 0=k (x －x 0)，2、斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直 线在纵轴上的截距。
3、直线的两点式方程：若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为112121y y x x y y x x --=--， 这种形式的方程叫做直线的两点式方程.4、直线的截距式方程：若直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程 为1x y a b+=，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。
截距式方程的应用：（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a |+|b；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S=1||2ab ； （3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k =－1或直线过原点，常设此方程为x +y =a 或y =kx .5、直线方程的一般形式：方程Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）叫做直线的一般式方程.其斜率为B A k -=,截距为：BC b -= 五、经典例题1、直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 2、过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是______________．3、过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 ( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝04、直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则（ ）(A) A ·B>0,A ·C>0 (B) A ·B>0,A ·C<0 (C) A ·B<0,A ·C>0 (D) A ·B<0,A ·C<05、过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程是________________．6、在y 轴上的截距为–3，倾斜角的正弦为513的直线的方程是 . 7、若直线0=++C By Ax 通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 满足条件（ ）(A)AB<0 C<0 (B)AC>0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<08、ΔABC 的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-5,4)，求BC 边上的中线所在的直线方程.9、过点P(1，2)的直线l 分别交x 轴、y 轴于A 、B ，若P 是线段AB 的中点，求l 的方程．10、已知l 平行于直线3x+4y －5=0, 且l 和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l 的方程是A 、3x+4y －122=0B 、 3x+4y+122=0C 、 3x+4y －24=0D 、 3x+4y ＋24=011、已知△ABC 的顶点A (5，－2)，B (7,3)且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求顶点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．12、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程13、已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)求证：直线l 过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围．14、一直线经过点A(2,-3),它的倾斜角等于直线y x =的倾斜角的两倍，求该直线方程.15、过点A(0,1)做一直线l ,使它夹在直线1l :x-3y+10=0和2l :2x+y-8=0间的线段被A 点平分,试求直线l 的方程16、不论m 为何值,直线(m －1)x －y+2m+1=0恒过定点( )A 、(1,21-) B 、(－2,0) C 、(2,3) D 、(2,3) 17、△ABC 的重心为G(613,－2),边AB 的中点为D(45-,－1),边BC 的中点为E(411,－4),那么三个顶点的坐标 是18、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A 、 (－a,－b)B 、 (a,－b)C 、 (b,a)D 、 (－b,－a)19、△ABC 的顶点坐标分别为A (-3,0)、B (9,5)、C (3,9),直线l 过点C 且把三角形的面积分为1：2的两部分,求l 的方程20、求证：不论m 取何值，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －m ＋11＝0恒过一定点．(2,3)．课后练习1、一条直线经过点M(－2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程。
直线的方程及性质
直线的方程及性质直线是平面几何中最基本的图形之一，研究直线的方程及性质对于理解和解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍直线的方程及其性质，帮助读者深入理解这一概念。
一、直线的方程分类在平面几何中，常见的直线方程有斜率截距、点斜式和两点式等多种表示形式。
下面将逐一介绍这些方程的特点。
1. 斜率截距式斜率截距式是最常见的直线方程形式，通常以y = kx + b的形式表示，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜率的数值可以表示直线的倾斜方向和程度，而截距则表示直线与y轴的交点。
例如，y = 2x + 3就是一条斜率为2，截距为3的直线。
2. 点斜式点斜式直线方程常以y - y1 = k(x - x1)的形式表示，其中(x1, y1)为直线上已知的一点，k为斜率。
点斜式方程可直接由直线上已知的一点和斜率得出。
例如，给定直线上一点A(2, 3)，斜率为2，则直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
3. 两点式两点式直线方程常以(y - y1)/(x - x1) = (y - y2)/(x - x2)的形式表示，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上已知的两点。
两点式方程可以通过直线上的两个不同点来确定直线的位置和特性。
例如，给定直线上两点A(1, 2)和B(3, 4)，则直线的两点式方程为(y - 2)/(x - 1) = (y - 4)/(x - 3)。
二、直线的性质直线作为平面几何中最基本的图形之一，具有一些重要的性质和特点。
1. 斜率直线的斜率是直线方程中一个重要的参数，用于表示直线的倾斜程度和方向。
斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线平行于x轴。
2. 垂直与平行两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
而两条直线垂直的条件是斜率乘积为-1，即两条直线的斜率互为倒数。
3. 截距直线的截距是直线方程中的常数项，表示直线与y轴的交点坐标。
截距为正表示直线与y轴的交点位于y轴上方，截距为负表示交点位于y轴下方。
第二节空间直线及其方程
设直线 L的方向向量 s={m,n,p} 设平面π的法线向量 n ={A,B,C} 则定义s 与n 的夹角为直线 L与平 面π的夹角.记作φ.
直线与平面的夹角（图示）
这是平面π与 直线L的交角
s={m,n,p}
n={A,B,C}
φθ
这是直线L与其在平 面π上投影的交角
L
L:xx0 yy0 zz0
1i017jk
四.两直线的夹角 两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的
夹角（锐角）叫作两直线的夹角.
s2={m2,n2,p2} φ
s1={m1,n1,p1}
L2 L1
两直线的夹角的余弦公式 设直线 L1的方向向量s1={m1,n1,p1}, 设直线 L2的方向向量s2={m2,n2,p2}, 则直线 L1与直线L2的夹角的余弦公式为：
即为所要求的一般方程.
3.将直线的一般方程L化 为标准方程
（即对称式方程）.
x y z y ,
解 先求点Mo，不妨令y=0, 则有 x=1,z=-2，即
Mo(1,0,-2); 再求 s, 由 n {,,}
n {,,},
s nn
i jk
i j k
x1 y z2 4 1 3
• 方向向量:
– 如果一个非零向量s平行于一 条已知直线，这个向量s就叫 做该直线的方向向量。
对称式方程的建立
直线上任一向 量都与s平行.
s
L
M(x,y,z)
依据：
M(x,y,z)
过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直 线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向 量s，则直线位置完全可以确定下来。
续上
1. 求点P(0,-1,1)到直线 y+2=0 x+2z-7=0 的距离.
什么叫直线系方程
什么叫直线系方程直线是几何中最基本的图形之一，它由无数个无穷小的点组成。
直线系方程是研究直线性质和直线之间关系的重要工具。
直线系方程描述了直线上所有点的几何特征和数学关系，它具有简洁明了、易于计算的特点。
本文将介绍什么是直线系方程、常见的直线系方程及其特点。
一、什么是直线系方程直线系方程是代数中的一种函数关系，用于描述直线上的点与坐标之间的关系。
直线系方程通常采用x和y两个变量表示，可以写成一般形式或标准形式。
一般形式的直线系方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为零。
标准形式的直线系方程为y=mx+b，其中m和b分别代表直线的斜率和截距。
二、常见的直线系方程及其特点1.一般形式的直线系方程一般形式的直线系方程Ax+By+C=0是最一般的直线方程形式，其中A、B、C可分别表示为直线的斜率、截距和常数项。
与标准形式相比，一般形式的直线系方程具有更广泛的适用性，可以描述任意斜率和截距的直线。
然而，一般形式的方程不够简洁，不方便直接判断直线的性质和计算直线上的点。
2.标准形式的直线系方程标准形式的直线系方程y=mx+b是较为常见且常用的直线方程形式。
这种形式的方程由直线的斜率m和截距b所确定，斜率m代表直线的倾斜程度，而截距b代表直线与y轴的交点。
标准形式的直线系方程可以直观地展示直线的几何特征，方便计算直线上的点和与其他直线的关系。
3.直线的斜截式方程直线的斜截式方程y=mx+b是标准形式的一种特例，其中m代表直线的斜率，b代表直线与y轴的截距。
斜截式方程更加直观且易于理解，可以直接通过斜率和截距来判断直线的性质。
斜截式方程在计算和图形表示上具有一定的优势，常用于解决与直线相关的问题。
4.直线的点斜式方程直线的点斜式方程y-y₁=m(x-x₁)是一种用直线上的一点和直线的斜率来表示的方程形式，其中m代表直线的斜率，(x₁,y₁)代表直线上的一点。
点斜式方程适用于已知直线上一点和斜率，求直线方程的场景，可以直观地展示出直线与指定点的关系。
第1节 坐标法、直线及其方程
第1节 坐标法、直线及其方程知识梳理1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点间的距离公式如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)中点坐标公式若M (x ，y )是线段AB 的中点，则AM→＝MB →，从而可以得到x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22. 2.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x 轴相交，将x 轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π). (2)斜率公式①一般地，如果直线l 的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k ＝tan__θ为直线l 的斜率；当θ＝90°时，称直线l 的斜率不存在.②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则当x 1≠x 2时，直线l 的斜率为k ＝y 2－y 1x 2－x 1；当x 1＝x 2时，直线l 的斜率不存在.3.直线的方向向量、法向量 (1)直线的方向向量的定义一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l . (2)直线方向向量的有关结论①如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量.②如果直线l 的斜率为k ，则(1，k )是直线l 的一个方向向量. ③若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x . (3)直线的法向量的定义一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .一条直线的方向向量与法向量互相垂直. 4.直线方程的五种形式5.通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题.这种解决问题的方法称为坐标法.1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：2.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．2．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________．答案12x－y－18＝0解析由题意得3m－61＋m＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，整理得12x －y －18＝0.3．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________． 答案 A ≠0且B ≠0解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0.4．(2020·衡水模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 D解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，又α∈[0，π)，所以α＝5π6.5．(多选题)(2021·烟台调研)下列说法正确的是( ) A ．有的直线斜率不存在B ．若直线l 的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k ＝tan αC ．若直线l 的斜率为1，则它的倾斜角为3π4 D ．截距可以为负值 答案 ABD6．(2020·武汉调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______． 答案 4x －y ＋16＝0解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为xa ＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍)．故所求直线的方程为4x－y＋16＝0.考点一直线的倾斜角与斜率【例1】(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．答案(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析法一设P A与PB的倾斜角分别为α，β，直线P A的斜率是k AP＝1，直线PB的斜率是k BP＝－3，当直线l由P A变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3]．故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，∴(2k－1－k)(－3－k)≤0，即(k－1)(k＋3)≥0，解得k≥1或k≤－ 3.即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【迁移】若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3. 即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.感悟升华 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的． 2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在．【训练1】 (1)(2021·新高考8省联考)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为__________.(2)过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数图像的切线，则切线倾斜角的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案 (1)13，－3 (2)B解析 (1)正方形两条相邻边与对角线的夹角为 π4， 设正方形的边所在直线的斜率为k ，则由夹角公式得tan π4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －21＋2k ⇒k ＝13或k ＝－3. (2)∵f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴斜率k ＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，故选B.考点二 直线方程的求法【例2】 (1)已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)．求BC 边上的中线AD 所在直线的方程．(2)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2)．解 (1)由题意得线段BC 的中点D (0，2)，可得BC 边上的中线AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0. ②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a ＝1，所以a ＝5. 所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k ＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1. 则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)， 即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)， 即2x ＋3y －5＝0.感悟升华 (1)求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程． ②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．【训练2】 (1)已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －3y －2＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y －6＝0(2)过点(2，1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________________．答案 (1)D (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0解析 (1)设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝k ＝2，直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k ′＝tan(α＋45°)＝2＋11－2×1＝－3，又点M (2，0)，所以y ＝－3(x －2)，即3x ＋y －6＝0. (2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1.则⎩⎨⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2. 故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【例3】已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程． (1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0， 令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)解 由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程， 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.感悟升华 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，则直线过定点(1，2)．2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．【训练3】 (1)已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： ①若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； ②若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； ③若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________．(2)曲线xy－x＋2y－5＝0在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A．9 B.496 C.92 D.113答案(1)①(0，3)②(－3，0)③(3，0)(2)B解析(1)①当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3)．②直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0)．③当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0)．(2)由xy－x＋2y－5＝0，得y＝f(x)＝x＋5 x＋2，∴f′(x)＝－3（x＋2）2，∴f′(1)＝－13，∴曲线在点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－13(x－1)．令x＝0，得y＝73；令y＝0得x＝7.∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝12×73×7＝496.A级基础巩固一、选择题1．(多选题)(2021·惠州调研)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )A ．k 1＜k 3＜k 2B ．k 3＜k 2＜k 1C ．α1＜α3＜α2D ．α3＜α2＜α1 答案 AD解析 如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k 2＞k 3＞0，k 1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选AD. 2．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B.2－52或0 C.2±52 D.2＋52或0 答案 A解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a＝1± 2.3．如果A ·B >0，B ·C <0，那么直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D解析 因为直线在x 轴、y 轴上的截距分别为C A <0，－CB >0，所以直线Ax －By －C ＝0不经过的象限是第四象限．故选D.4．(多选题)(2020·临沂质检)设直线l 经过点A (2，1)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为( ) A ．x －2y ＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x ＋2y ＝0 答案 AB解析 当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为y ＝kx ，则2k ＝1，k ＝12，所以直线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0；当截距都不为零，则设直线方程为x ＋y ＝a (a ≠0)，则2＋1＝a (a ≠0)，所以直线方程为x ＋y ＝3，即x ＋y －3＝0，综上直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －3＝0. 5．(2021·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合． 6．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 答案 D解析 令x ＝0，y ＝2＋a ， 令y ＝0，x ＝2＋a a ，则2＋a ＝2＋aa . 即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝－2或a ＝1.7．直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3.8．(2020·安阳模拟)已知点A (1，3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ≥12 B ．k ≤－2C ．k ≥12或k ≤－2D ．－2≤k ≤12 答案 D解析 直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)， ∵k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交， ∴－2≤k ≤12. 二、填空题9．把直线x －y ＋3－1＝0绕点(1，3)逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是________． 答案 y ＝3x解析 已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .10．(2020·沈阳模拟)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________． 答案 x ＋4y －2＝0解析 因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，可设直线方程为xa ＋ay ＝1， 因为x a ＋ay ＝1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，所以1a ＋14a ＝1，解得a ＝2，所以，所求直线方程为12x ＋2y ＝1，化为x ＋4y －2＝0.11．(2021·重庆质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________． 答案 －13解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.12．在平面直角坐标系xOy 中，经过点P (1，1)的直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B .若＝－2，则直线l 的方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 设A (a ，0)，B (0，b )，由＝－2，可得a －1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b －1)，则a ＝3，b ＝32，由截距式可得直线l 的方程为x 3＋y32＝1，即x ＋2y －3＝0.B 级 能力提升13．(2021·东北三省三校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1，0] C ．[0，1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1， 故－1≤x 0≤－12.14．已知A ，B 是x 轴上的不同两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x －y －1＝0 答案 B解析 因为点P 的横坐标为2，且点P 在直线x －y ＋1＝0上，所以点P 的纵坐标为3，所以P (2，3)．又因为|P A |＝|PB |，所以直线P A ，PB 的斜率互为相反数，所以直线PB 的斜率为－1，则直线PB 的方程是y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.故选B.15．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________． 答案 12解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小．16．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为________． 答案 3以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0，4)，B(3，0)，直线AB的方程为x3＋y4＝1.设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为x3＋y4≥2x3·y4，当且仅当x3＝y4＝12时取等号，所以xy≤3，所以xy的最大值为3.。
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一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z 1
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
二、空间直线的对称式方程与参数 方程
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 求经过 M1( x1, y1, z1), M2( x2 , y2 , z2 ) 两点的直线方程
解 因为直线过 M1, M2 两点
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
L : x x0 y y0 z z0 , s {m, n, p},
m
n
p
: Ax By Cz D 0, n { A, B, C},
(s^,n)
2
(s^,n)
2
sin
cos
2
cos
2
.
所求交点的坐标为 x 1, y 2, z 2
即交点为 M(1,2,2)
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
因此可取 M1M2 作为直线的方向向量
s M1M2
x2 x1, y2
y1, z2 z1
由点向式即得所求直线的方程为
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
——直线的两点式方程
例2 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 2x y 3z 4
( x 2) 13( y 1) 10(z 2) 0
即 x 13 y 10z 5 0
例5 求直线 x 2 y 3 z 4 1 12
与平面 2x y z 6 0 的交点
解 所给直线的参数方程为
x 2t y 3 t z 4 2t 代入平面方程，得 2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0 解得 t 1 将 t 1 代入直线的参数方程，即得
解三
由
x y z 1 0 2x y 3z 4
. 0
两式相加得 3x 4z 5 0
x 1 (4z 5)
3
代入方程组得 y 1 (z 2)
x
1
(4z
3 5)
即
3 y 1 (z 2)
——称为投影方程
3
实际上这就是所求直线的参数方程
对称式方程
x5 y2 3 3
z
4 1 3
[分析] 过所给直线作一平面与已知平面垂直， 两平面的交线即位所求
解 过所给直线的平面束方程为
( x y z 1) ( x y z 1) 0
即
(1 )x (1 ) y (1 )z (1 ) 0
这平面与已知平面垂直的条件是
(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 0 1
所求直线的方程 x 3 y 2 z 5 .
4
3
1
例 7 求过点M (2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程.
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
直线 L2 :
s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例 6 求过点(3, 2, 5) 且与两平面x 4z 3和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解
设所求直线的方向向量为
s
{m,
n,
p},
根据题意知
s n1 ,
s n2 ,
取
s n1 n2 {4,3,1},
. 0
解一 用点向式
在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
取
x0
1
y0 y0
z0 2 0 , 3z0 6 0
解得 y0 0, z0 2
点坐标(1,0,2),
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 {4,1,3},
对称式方程 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
（注意直线与平面的位置关系）
思考题
在直线方程 x 4 y z 2 中，m 、 2m n 6 p
n、 p各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、 yoz 都平行.
思考题解答
s {2m, n, 6 p},
且有
s
0.
s
k
0,
s
i
0,
s
6 2m 0,
p0 0 n
0,
p
6,
而考虑缺 1 或 2 的平面束
( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 ( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
例9
求直线
x y z1 0
x
y
z
1
0
在平面 x y z 0 上的投影直线的方程
例 3 一直线过点 A(2,3,4)，且和 y轴垂直相
交，求其方程.
解 因为直线和 y轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取
s
BA
{2, 0, 4},
所求直线方程 x 2 y 3 z 4 .
2
0
4
由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：
两定——定点、定向
例4 求过点A ( 1 , 2 ,－2 ) ,且通过直线 L
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
解二 用两点式 已求出一点 (1,0,2) 再求出一点
令 y 1 得
xz0 2x 3z 5
解得 x 5, z 5
点坐标(5,1,5),
所求直线方程为 x 1 y 0 z 2 , 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
从而
( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0
表示一个平面 若一点 P 在 L 上 则点 P 的坐标必同时
满足 1 和 2的方程 则点 P 的坐标也满足
因而
表示过 L的平面
对于 , 的不同值 表示过 L的所有平面
——过 的平面束
一般在具体应用时，常取 1或 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
77 7
77 7
所求直线方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
四、直线与平面的夹角
L: A2 x B2 y C2z D2 0 (2 )
考虑
( A1x B1 y C1z D1) ( A2 x B2 y C2z D2 ) 0 其中 2 2 0
因 A1, B1,C1与A2 , B2 ,C2 不成比例 故
A1 A2 ,B1 B2 ,C1 C2 不全为 0
sin
| Am Bn Cp | A2 B2 C 2 m2 n2 p2
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1)
L
A B C. mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例 8 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
所求平面方程为 y z 1 0
这就是过已知直线且垂直于平面 x y z 0 的平面的方程
它与已知平面 x y z 0 的交线： yz1 0 x yz0
即为所求的投影直线的方程
六、小结
空间直线的一般方程. 空间直线的对称式方程与参数方程. 两直线的夹角. （注意两直线的位置关系） 直线与平面的夹角.
解
n {1,1, 2},
s {2,1, 2},
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
| 1 2 (1) (1) 2 2 | 7 .
6 9
36
arcsin 7 为所求夹角．
36
五、平面束
设有直线 A1 x B1 y C1z D1 0 (1 )
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6时结论成立．
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
z
s