高考数学压轴题冲关系列1

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压轴题01 数列压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题01数列压轴题题型/考向一：等差数列、等比数列性质的综合题型/考向二：以古文化、实际生活等情境综合题型/考向三：数列综合应用一、等差数列、等比数列的基本公式1.等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；2.等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.3.等差数列的求和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；4.等比数列的求和公式：S na 1－a n q1－q ，q ≠1，二、等差数列、等比数列的性质1.通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2.前n 项和的性质(m ，n ∈N *)：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外).三、数列求和的常用方法热点一分组求和与并项求和1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，或c nn ，n 为奇数，n ，n 为偶数，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列的通项公式中有(－1)n 等特征，根据正负号分组求和.热点二裂项相消法求和裂项常见形式：(1)分母两项的差等于常数1（2n －1）（2n ＋1）＝1n （n ＋k ）＝(2)分母两项的差与分子存在一定关系2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1；n ＋1n 2（n ＋2）2＝141n 2－1（n ＋2）2.(3)分母含无理式1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .热点三错位相减法求和如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法.用其法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式.○热○点○题○型一等差数列、等比数列性质的综合1．已知等比数列{}n a 满足123434562,4a a a a a a a a +++=+++=，则11121314a a a a +++=（）A ．32B ．64C ．96D ．128【答案】B【详解】设{}n a 的公比为q ，则()234561234a a a a q a a a a +++=+++，得22q =，所以()()1051112131412341234264a a a a a a a a q a a a a +++=+++⨯=+++⨯=．故选:B2．已知等比数列{}n a 的公比0q >且1q ≠，前n 项积为n T ，若106T T =，则下列结论正确的是（）A ．671a a =B ．781a a =C ．891a a =D ．9101a a =【答案】C3．已知等差数列n 满足15，36，数列n 满足12n n n n ++=⋅⋅．记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则使0n S <的n 的最小值为（）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由1536446a a a a =⎧⎨=+⎩得：111141624206a a da d a d =+⎧⎨+=++⎩，解得：1163a d =⎧⎨=-⎩，()1631319n a n n ∴=--=-+，则当6n ≤时，0n a >；当7n ≥时，0n a <；∴当4n ≤时，0n b >；当5n =时，0n b <；当6n =时，0n b >；当7n ≥时，0n b <；11613102080b =⨯⨯= ，213107910b =⨯⨯=，31074280b =⨯⨯=，474128b =⨯⨯=，()54128b =⨯⨯-=-，()()612510b =⨯-⨯-=，()()()725880b =-⨯-⨯-=-，()()()85811440b =-⨯-⨯-=-，()()()9811141232b =-⨯-⨯-=-，()()()101114172618b =-⨯-⨯-=-，532900S ∴=>，915480S =>，1010700S =-<，100S < ，当10n ≥时，0n b <，∴当10n ≥时，0n S <，则使得0n S <的n 的最小值为10.()()()()()()102120232022k k k k k k k T f a f a f a f a f a f a =-+-++- ，1,2k =，则1T ，2T 的大小关系是（）A ．12T >TB ．12T T <C ．12T T =D ．1T ，2T 的大小无法确定()()101322022...a f a +-)()22023f a -1=125．数列n 满足12，21n n n ++=+∈N ，现求得n 的通项公式为n nn F A B ⎛=⋅+⋅ ⎝⎭⎝⎭，,A B ∈R ，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则812⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）A ．43B ．44C ．45D ．46○热○点○题○型二以古文化、实际生活等情境综合6．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为P ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还（）万元.A ．10MB ．()()1010111MP P P ++-C ．()10110M P +D ．()()99111MP P P ++-7．传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒，规则为：第一个格子放一粒，第二个格子放两粒，第三个格子放四粒，第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为（）吨.（1kg麦子大约20000粒，lg2=0.3）A．105B．107C．1012D．1015次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是（）A．7里B．8里C．9里D．10里【答案】A【详解】设第六天走的路程为1a，第五天走的路程为2a……第一天走的路程记为6a，9．2022年10月16日上午10时，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式，认真聆听习近平总书记向大会所作的报告.已知该报告厅共有10排座位，共有180个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（）A ．23B ．25C ．27D ．2910次差成等差数列的高阶等差数列.现有一个高阶等差数列的前6项分别为4,7,11,16,22,29，则该数列的第18项为（）A ．172B ．183C ．191D ．211【答案】C【详解】设该数列为{}n a ，则11,(2)n n a a n n --=+≥，○热○点○题○型三数列综合应用11．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，则122022111a a a +++= （）A ．20211011B ．40442023C ．20212022D ．2022202312．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()()1133n nn n n n S S S S ++-=+，则2023S =（）A ．202331-B ．202331+C ．2022312+D ．2023312+13．已知一族曲线n ．从点向曲线n 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y 的通项为n yC ．当3n >时，1352111nn nx x x x x x--⋅⋅⋅>+ Dnnxy <故D 正确.故选：B.14．在数列{}n a 中给定1a ，且函数()()311sin 213n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，函数()()()112πcos π2g x x x x =-且()()()12918g a g a g a +++= ，则5a =（）．A ．14B ．13C ．16D ．1915．已知函数()()*ln N f x nx x n =+∈的图象在点,fn n ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为n a ，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和n S 为（）A ．11n +B ．()()235212n nn n +++C ．()41nn +D ．()()235812n nn n +++。

高考数学：20道压轴题全汇总（附解析），拿下它，高考冲刺150！

高考数学：20道压轴题全汇总（附解析），拿下它，高考冲刺150！数学学科是高考最拉分的学科，所以如何在这门学科上取得高分，是很多同学都非常关心的问题。

其实数学想拿高分，就在于压轴大题的突破，高中数学难度虽然较大，但是在高考考试中基础部分题型任然占据了70%左右的分值，因此压轴题成了关键，只要能够把数学压轴题型拿下，那么数学高分肯定不成问题。

可是很多同学对于数学压轴题的第一反应就是，太难了，完全没有解题的思路，如何做拿下呢？其实数学压轴题也没有想象中的那么难了，关键是你要有解决问题的思路。

压轴大题考查的是考生的综合能力，涉及很多知识点，但是中高考都有一定的考查知识点标准。

答题时只有约接近知识点或“踩到”的知识点越多，得分就越多，想要数学大题不丢分，就先要了解阅卷评分准则。

比如：应用题满分套路，应用题一直以来都是难点，很多学生听到应用题估计都会头疼，不知道从何下手，但是做应用题也有一定的方法技巧，只要掌握了这些套路，让你做应用题，也得心应手！推断证明题满分套路，数学推断证明题的考查也是令不少考生头疼，总说掌握不了，看到题目就觉得很难，同学们千万不要被表面吓到！其实大家掌握了技巧，总结证明题的解题经验，你会发现，推断证明一点都不难，完全可以拿满分！所以这一次为了帮助同学们拿下高中数学压轴题难关，老师这次就总结整了了高考数学20道压轴题全汇总（附解析），这20道题是高考数学的高频考点，如果同学们能够拿下它，认真吃透，那么高考数学必定能够取得不错的成绩。

篇幅关系，这里就先整理了高考数学典型题例的部分，有关于2018年各省份的高考数学压轴题，物理压轴大题，各科的真题试卷老师都在整理中，如果家长朋友们觉得有帮助或是需要了解更多，都可以找老师交流，点击下方蓝色字体，查看获取更多优质精彩内容。

暑期将至，近期老师整理不少暑期提升资料，希望可以帮助到大家，篇幅关系资料未能全部呈现，如需完整版本，点击下方蓝色字体找我分享！初中、高中3年各年级各科的学习资料和暑期提升试卷正在整理编辑中，如需其他学科的学习资料都可找我分享。

考数学压轴题系列训练含答案及解析详解

高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解一1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.（Ⅰ）求这三条曲线的方程；（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分）对于椭圆，1222a MF MF =+=+(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：………………………………（4分）对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为：………………………………（6分）（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，DE 中点为H令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分）()1112312322DC AP x CH a x a ∴=+=-=-+()()()2222221112121132344-23246222DH DC CH x y x a a x a aa DH DE DH l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=-+--+⎣⎦⎣⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值; 此时的方程为： …………（12分）2．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点(n n A a 在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上.（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（Ⅱ）若()()()n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）对任意正整数n，不等式1120111111n nn a b b b +-≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立，求正数a 的取值范围. 解：（Ⅰ）将点(n n A a 代入21y x =+中得()11111115:21,21n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）()()()()()()27274275421,42735227145,24k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数，当为奇数时，为偶数，舍去综上，存在唯一的符合条件。

2024年高考数学冲刺真题整理题型三及答案

冲刺2024年高考数学真题重组卷真题重组卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i-B ．iC ．0D ．12.（2023全国乙卷数学（理））设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N⋃ð3.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）A B C D 4.（2023•乙卷（文））正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则(EC ED ⋅= )A B ．3C ．D ．55.（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞6．（2023全国乙卷数学（文））已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．127.（2023全国乙卷数学（文））已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A ．1B ．4C ．1+D ．78.（2023全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB ）A ．πB C ．3πD ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

数学高考压轴题含答案

数学高考压轴题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．(1)求a ；(2)证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2．已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．(1)求l 的斜率；(2)若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．3．已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；(3)设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.5．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．6．如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD 的最小值．7．设函数e()ln (0)2f x x x x=+>．(1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6ea ax x a --+<+<-．（注：e 2.71828= 是自然对数的底数）参考答案：1．(1)1a =(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,∞+，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11lnln a a a a-=-，整理得到1ln 1a a a -=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,∞+上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1aa a-=+的解为1a =.综上，1a =.(2)由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e xS x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0bS b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20bu b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x '<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()ee0bbT --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2xh x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10xs x '=->，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,∞+上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，0311ex <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e xx b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44ex bx -=即()44e0x bx b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.2．(1)1-；(2)9．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．(1)因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．(2)不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=，即tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以103P x -=，P y=53，同理可得，103Q x +=，Q y=53-．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d =，故PAQ △的面积为11623⨯=3．(1)()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)12a ≤(3)见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax xh x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t t t<-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.(1)当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.(2)设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax xg x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.(3)取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有<整理得到：()ln 1ln n n +-()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n +-+-+++- ()ln 1n =+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.4．(1)2213y x -=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.(1)右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b ，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =∴C 的方程为：2213y x -=；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为直线QM ,∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.5．(1)y x=(2)()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；（3）令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，由第二问结论可知()m x 在[0,+∞）上单调递增，即得证.(1)解：因为()e ln(1)x f x x =+，所以()00f =，即切点坐标为()0,0，又1()e (ln(1))1xf x x x=+++'，∴切线斜率(0)1k f '==∴切线方程为：y x =(2)解：因为1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+，所以221()e (ln(1))1(1)xg x x x x =++++'，令221()ln(1)1(1)h x x x x =++-++，则22331221()01(1)(1)(1)x h x x x x x +=-+=>++++'，∴()h x 在[0,)+∞上单调递增，∴()(0)10h x h ≥=>∴()0g x '>在[0,)+∞上恒成立，∴()g x 在[0,)+∞上单调递增.(3)解：原不等式等价于()()()(0)f s t f s f t f +->-，令()()()m x f x t f x =+-，(,0)x t >，即证()(0)m x m >，∵()()()e ln(1)e ln(1)x t x m x f x t f x x t x +=+-=++-+，e e ()e ln(1)e ln(1)()()11x t x x tx m x x t x g x t g x x t x++=++++-=+-++'+，由（2）知1()()e (ln(1))1xg x f x x x=++'=+在[)0,∞+上单调递增，∴()()g x t g x +>，∴()0m x '>∴()m x 在()0,∞+上单调递增，又因为,0x t >，∴()(0)m x m >，所以命题得证.6．(1)11；(2)5．【解析】【分析】（1）设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出2||PQ ，再根据二次函数的性质即可求出；（2）设直线1:2AB y kx =+与椭圆方程联立可得1212,x x x x +，再将直线132y x =-+方程与PA PB 、的方程分别联立，可解得点,C D 的坐标，再根据两点间的距离公式求出CD ，最后代入化简可得231CD k =⋅+，由柯西不等式即可求出最小值．(1)设,sin )Q θθ是椭圆上任意一点,(0,1)P ,则222221144144||12cos (1sin )1311sin 2sin 11sin 111111PQ θθθθθ⎛⎫=+-=--=-+≤⎭+⎪⎝，当且仅当1sin 11θ=-时取等号，故||PQ (2)设直线1:2AB y kx =+,直线AB 方程与椭圆22112x y +=联立,可得22130124k x kx ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,设()()1122,,,A x y B x y ，所以12212211231412k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⎨⎪=-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩，因为直线111:1y PA y x x -=+与直线132y x =-+交于C ,则111114422(21)1C x x x x y k x ==+-+-,同理可得,222224422(21)1D x x x x y k x ==+-+-.则224||(21)1C D x CD x k x =-=+-2=35161656565231555k =⋅=≥=+，当且仅当316k =时取等号，故CD 的最小值为5.【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题．7．(1)()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）31x k x =，1e a m =<，则题设不等式可转化为()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，结合零点满足的方程进一步转化为()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+，利用导数可证该不等式成立.(1)()22e 12e 22xf x x x x -'=-+=，当e02x <<，()0f x ¢<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '-=-，故方程()()()f x b f x x a '-=-有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫----+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=-+-+--+ ⎪⎝⎭()()31e x x a x =---，当0e x <<或x a >时，()0g x ¢<；当e x a <<时，()0g x ¢>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0>g a ，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a >+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫---<-+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =--，则()2e-202au a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <--=，故()1012e a b f a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫----+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫---+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=-+-+，设e t x =，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x+-+-+=即为：2e ln 0e 2ea at t t b +-+++=即为()21ln 02m m t t t b -++++=，记123123e e e ,,,t t t x x x ===则113,,t t t 为()21ln 02m m t t t b -++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22122e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-，即证13e 2e e 26e 6ea at t a --+<+<-，即证：13132166m mt t m --<+<-，即证：131********m m t t t t m --⎛⎫⎛⎫+-+-+< ⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t --++--<+，而()21111ln 02m m t t t b -++++=且()23331ln 02mm t t t b -++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t -+--+-=，故131313ln ln 222t t t t m m t t -+--=-⨯-，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t --+--⨯<-+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +--++>-即证：()()()213121ln 0172m m m k k k --+++>-，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>-，则()()2112ln 01k k k kk ϕ⎛⎫'=--> ⎪⎝⎭-，设()12ln u k k k k =--，则()2122210u k k k k k'=+->-=即()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()()k m ϕϕ>，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m --+--++++>+--，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω---+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω---+-+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m ---++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m --+++>-，故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.。

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备互斥事件及其概率(含解析)

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备互斥事件及其概率（含解析）【考点导读】1.了解互斥事件及对立事件的概念，能判定某两个事件是否是互斥事件，进而判定它们是否是对立.2.了解互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率运算.【基础练习】1.两个事件互斥是这两个事件对立的必要不充分条件（充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要）2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是③ .①至少有1个白球，差不多上红球②至少有1个白球，至多有1个红球③恰有1个白球，恰有2个白球④至多有1个白球，差不多上红球3．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必定事件是④ .①3个差不多上正品②至少有1个是次品③3个差不多上次品④至少有1个是正品4.从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8 g的概率是0.3，质量不小于4.85 g的概率是0.32，那么质量在［4.8，4.85）g范畴内的概率是 0.38 .5.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 50% .【范例解析】例1．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观看正品件数与次品件数，判定下列每件事件是不是互斥事件，假如是，再判定它们是不是对立事件.（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中可不能同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，但它们不是对立事件，同理能够判定：（2）（3）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件.（4）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件点评解决此类问题，应结合互斥事件和对立事件的定义.例2．某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，运算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为P=0.21+0.23=0.44.（2）射中许多于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中许多于7环的事件为对立事件，因此射中少于7环的概率为P=1－0.97=0.03.例3 一盒中装有各色小球共12只，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.现从中随机取出1球，求：（1）取出1球是红球或黑球的概率；（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率.解：记事件A 1={任取一球为红球}，A 2={任取一球为黑球}，A 3={任取一球为白球}， A 4={任取一球为绿球}，则12345421(),(),(),()12121212P A P A P A P A ==== （1）()1212543()()12124P A A P A P A +=+=+= （2）()12312311()()()12P A A A P A P A P A ++=++= （或()12341111()11212P A A A P A ++=-=-=）点评（1）解决此类问题，第一应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件和对立事件，再决定用哪一个公式（2）要注意分类讨论和等价转化数学思想的运用.【反馈演练】1. 一个射手进行一次射击,试判定下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A ：命中环数大于7环；事件B ：命中环数为10环；事件C ：命中环数小于6环；事件D ：命中环数为6、7、8、9、10环.3．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中显现乙级品的概率为03.0,显现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是 96.0 .4.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则56是 ② . ①乙获胜的概率 ②乙不输的概率 ③甲胜的概率 ④甲不输的概率5．假如事件A ，B 互斥，那么 ② . ①A B +是必定事件 ②A B +是必定事件 ③ A B 与互斥 ④A B 与独立6. 在所有的两位数中，任取一个数，则那个数能被2或3整除的概率是 32 7.一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，采取有放回地每次摸出一个球并记下颜色为一次实验，实验共进行3次，则至少摸到一次红球的概率是 78 8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒差不多上黑子的概率是71，从中取出2粒差不多上白子的概率是3512，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 3517 9.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张贺年卡.则至少一人拿到自己所写贺年卡的概率为5810.有三个人，每个人都以相同的可能性被分配到四个房间中的某一间，求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率；（2）至少两个人分配到同一个房间的概率.答案（1）116；（2）58. 11. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为31，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率也是125，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A 、B 、C 、D ，则有P(B+C)=P(B)+P(C)=125；P(C+D)=P(C)+P(D)=125；又P(A)=31, P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1解得P(B)=41,P(C)=61, P(D)=41 答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是41、61、41.。

高三下学期高考压轴卷数学试题 Word版含解析 _1

2020浙江省高考压轴卷数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】 C 【解析】试题分析：由，得，选C .【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2.复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A. 1i -+ B. 1i -C. 1i +D. 1i --【答案】C 【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为211ii=-+,所以其共轭复数是1i+，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3.（2017新课标全国I理科）记n S为等差数列{}n a的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}n a的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.4.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A. 43B. 8C.33D.83【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积.【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h =-=；所以该四棱锥的体积是11434333V Sh ==⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5.若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y -( )A. 有最大值2-，最小值83- B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值2-，无最大值【答案】C 【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．【详解】画出不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线；当直线过点A 时，z 有最大值，由022y x y =⎧⎨-=⎩，得(2,0)A ；所以z 的最大值为3202x y -=-=，且z 无最小值. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题． 6.“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7.函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ，故选A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8.已知a 、b R ∈，且a b >，则（）A. 11a b<B. sin sin a b >C. 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 22a b >【答案】C 【解析】【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误；对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（）A.4,2 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []1,2【答案】B【解析】【分析】设出比例关系,PE PFx yPB PD==，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解. 【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC-中，棱,,SA SB SC上取点111,,A B C则111111S A B CS ABCV SA SB SCV SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB与平面SAC所成角θ，11111111111111sin sin3211sin sin32S A B C B SA CS ABC B SACSA SC ASC SBV V SA SB SCV V SA SB SCSA SC ASC SBθθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕.四棱锥P ABCD-中，设,PE PFx yPB PD==，212343P ABCDV-=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V V VV V V V V V-------------⎛⎫+==+=+⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PFxy xyPA PB PD PB PC PD⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy -= 又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y -=+ 即3,31x x y xy y x +==-，又01,0131xx y x ≤≤≤=≤-，解得112x ≤≤ 所以体积2313,[,1]312x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2t ∈递减，在[1,2]t ∈递增所以函数()V t 最小值4(1)3V =，最大值13(2)()22V V ==，四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10.若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是( )A. 4a ≤B. 46a -≤≤C. 4a ≤或6a ≥D. 6a ≥【答案】D 【解析】【分析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去）故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第II 卷（非选择题)二､填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11.《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.【答案】 (1). 1031(2). 165 【解析】【分析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解. 【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =，所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故答案为：1031，165.【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12.二项式521)x 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________．【答案】 (1). 5 (2). 32 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==，令55022r -=，解得1r =，所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13.设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l的距离为4c ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________. 【答案】(1). 2 (2). y = 【解析】【分析】可设过（a ，0），（0，b ）两点的直线方程为1x ya b+=，结合点到直线距离公式可得24ab =，两式同时平方后，通过222c a b =+代换可转化为关于2e 的一元二次方程，即可求解【详解】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab，则原点到直线的距离ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a a a===b y x a =±=故答案为：2；y =【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14.已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(1). 1 (2). [1,0)- 【解析】【分析】()1根据题意列出关于a 的方程即可；()2在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．【详解】(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-，要使函数()f x 存在最小值，只需2()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故答案为：1[1,0)-. 【点睛】本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题．15.设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________．【答案】101+ 【解析】【分析】令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大．【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦，因为12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析．16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________．【答案】36 【解析】【分析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=，故答案为：36．【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17.已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______．【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】【分析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围.【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m =+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h =，即1m =时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h g m h g <⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是1|112m m m ⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或. 【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．三､解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()23sin 22cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间; (2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域. 【答案】（1）,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）2,3⎡⎤-⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值．【详解】(1) 函数()23sin 22cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-，令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得1AO BD ⊥，由菱形的性质可得CO BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD ⊥平面1A CO ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面11A B C 的一个法向量为m ，OB 的方向向量OB ，由cos ,||||OB mOB m OB m ⋅=即可得解.【详解】（1）证明：由1A O ⊥底面ABCD 可得1AO BD ⊥，又底面ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥，因为1AO CO O ⋂=，所以BD ⊥平面1A CO ，因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面1ACO ⊥平面11BB D D . （2）因为1A O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)B ，3,0)C ，(0,3,0)A ，1(0,0,1)A ，11(1,3,0)A B AB ==，()10,3,1AC =-，设平面11A B C 的一个法向量为(,,)m x y z =，由1110000m A B x m ACz ⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x =得1,13m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又(1,0,0)OB =，所以cos ,7||||2OB mOB m OB m⋅===，所以OB 与平面11A B C 所成角的正弦值为7. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）13n n a = （2）21nn -+【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19．由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13．故数列{a n}的通项公式为a n＝13n．（Ⅱ）b n＝log3a1＋log3a2＋…＋log3a n ＝－（1＋2＋…＋n）＝－()21n n+．故()1211211nb n n n n⎛⎫=-=--⎪++⎝⎭．121111111122122311nnb b b n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为21nn-+考点：等比数列的通项公式；数列的求和21.已知抛物线22y px=（0p>）上的两个动点()11,A x y和()22,B x y，焦点为F.线段AB 的中点为()03,M y，且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值.【答案】（1）24y x=；（2）6439.【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义可得12||||68AF BF x x p p+=++=+=，求出p的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程为：x my n =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得||AB =AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以()21||412S AB d m =⋅=+t 则()244S tt =-⋅，利用导数可得最值.【详解】（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=， ∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =；（2）设直线:AB x my n =+（0m ≠）由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()121224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩，∴12||AB y y =-=设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--，可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=，∴点C 到直线AB的距离d ==，∴()21||412S AB d m =⋅=+令t =223(0m t t =-<<，()244S t t ∴=-⋅令()2()44f t tt =-⋅，∴()2()443f t t'=-，令()0f t '=，则3t =，在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在3⎛ ⎝上()0f t '<，故()f t在⎛ ⎝⎭单调递增，⎝单调递减，∴当t =，即m =max S =. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题. 22.已知函数2()(1)(0)xf x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点）【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）⎫+∞⎪⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(1)先求其导函数，转化为()'0f x ≥，即求()22xx g x e a x+=⋅-的最小值即可； (2())ⅰ结合第一问的结论得()f x不单调，故(122a +⋅>；设()'0f x =有两个根，设为1t ，0t，且1001t t <<-<，可得原函数的单调性，把问题转化为()00f t <，即可求解结论．()ⅱ转化为先证明不等式，若1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠211221.2x x x xlnx lnx -+<<-再把原结论成立转化为证1202x x t +<；构造函数()()()00r x f t x f t x =+--一步步推其成立即可．【详解】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅；由()0g x '，解得1x ≥-，所以()g x在1)上单调递减，在1,)-+∞上单调递增，所以1min ()1)(2=-=⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x 不单调，所以1(22a +⋅>.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t ，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增；又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e =+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<；又因为()()0000220tf t t e at '=+-=；所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >1122+>=a g ；因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是12⎛⎫+⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭.（ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x x nx nx -+<<-. 证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证. 再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩；所以()()2212221211xx x e x e x x ++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++，因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-，只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-；设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--； ()()2000()33t x r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033x y x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增，得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。

高考数学突破客观压轴题练习答案

函数的一个单调区间，区间长度为 ﹣ = ，即函数的周期 T≥2× = ，即 ≥
，则 0＜ω≤3．∵f（0）=f（），∴x=
= 是函数的一条对称轴，
∵﹣f（）=f（），∴x=
= ，即（，0）是函数的一个对称中心，
则
ω+φ= ①， ω+φ=π②，由①②解得 ω=2，φ= ，即 f（x）=Asin（2x+
18
9
2
CF = DF − DC = 1 DC − DC = 1− 9 DC = 1− 9 AB ，
9
9
18
AE = AB + BE = AB + BC
DF C E
A
B
AF = AB + BC + CF = AB + BC + 1− 9 AB = 1+ 9 AB + BC ，
18
18
( ) AE AF =
( ) (3+ cos,sin )( 0, 2 )) 则 OA + OB + OD =
(3 + cos −1)2 + sin +
2
3 ，因
为 cos + 3 sin 的最大值为 2 所以 OA + OB + OD 的最大值为 12 = 2 3 故填 2 3 .
4.【答案】 29 【解析】因为 DF = 1 DC, DC = 1 AB ，
2.【答案】【解析】∵bcosC=（3a﹣c）cosB， ∴利用正弦定理化简得：
（3sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形(含解析)

(高考冲刺押题)2022高考数学三轮基础技能闯关夺分必备解三角形（含解析）【考点导读】1.把握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定明白得斜三角形；2.解三角形的差不多途径：依照所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．【基础练习】1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝. 2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________.3．在ABC△中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB =．4．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形． 5．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为．6．△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边.假如a ，b ，c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 【范例解析】例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2CA =，3cos 4A =．（1）求ca的值；（2）求b 的值．分析：利用2C A =转化为边的关系．解：（1）由sin sin 232cos sin sin 2c C A A a A A ====．（2）由20,3.2a c c a +=⎧⎪⎨=⎪⎩得8,12.a c =⎧⎨=⎩．由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得： 218800b b -+=，解得：8b =或10b =，若8b =，则A B =，得4A π=，即3cos 4A =≠矛盾，故10b =．点评：在解三角形时，应注意多解的情形，往往要分类讨论．例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判定该三角形的形状．3π 2 2331分析一：边化角解法一：由已知得：22[sin()sin()][sin()sin()]aA B A B b A B A B --+=---+，化简得222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正弦定理得：22sin cos sin sin cos sin A A B B B A =，即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=，又,(0,)A B π∈，sinsin 0A B ∴⋅≠，sin 2sin 2A B ∴=．又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．分析二：角化边解法二：同解法一得：222cos sin 2cos sin a A B b B A =，由正余弦定理得：2222222222b c a a c b a b b abc ac+-+-=，整理得：22222()()0ab c a b ---=，即a b =或222c a b =+，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．点评：判定三角形形状要紧利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．例3.如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M ，N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 通过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤）．（1）试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数；（2）求221211y S S =+的最大值与最小值．分析：利用正弦定理建立目标函数．解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，因此AG＝23，∠MAG ＝6π，由正弦定理GM GA sin sin 66πππα＝（－－）得GM 6π＋则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）．（2）221211y S S =+＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋22cos sin αα）因为233ππα≤≤，因此当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240；AB CNMGαD例3当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝216．点评：本题关键是选取变量，建立目标函数，依照目标函数求最值．例4.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=；（2）若AC，求β．分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+，2C B π=-，22πβα∴=+，sin cos 20αβ∴+=（2）解：AC，2sin 2βαββ∴===(0,)2πβ∈，sin β∴=，3πβ∴=.点评：本题重点是从图中查找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】1．在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________． 2．ABC ∆的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cosB =_____．3．已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．若A ∠是钝角，则c 的取值范畴 ___________ ． 4．已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为．5．在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则∆的形状是____等边___三角形．6．若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += ． 7． ABC ∆的三个内角为A B C 、、，则cos 2cos 2B CA ++的最大值为． 8．在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①tan 1tan AB= ；② 1sinsin A B <+≤③ 1cos sin 22=+B A ；④ C B A 222sin cos cos =+．B D CαβA例433- 3425(,)3+∞ 3212．在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆最大边的边长为，求最小边的边长．解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C== 因此，最小边BC =。

高考文科数学压轴大题突破练1

压轴大题突破练压轴大题突破练1对应学生用书P157(满分24分，限时30分钟) 解答题：本大题共2小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．(本小题12分)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，点R (1,2)在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于M ，N 两点，求线段MN 最小时直线AB 的方程．解析 (1)∵点R (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上，∴4＝2p ，解得p ＝2， ∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(3分)(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝m (y －1)＋1，m ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m (y －1)＋1，y 2＝4x ，消去x ，并整理，得：y 2－4my ＋4(m －1)＝0， ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝4(m －1)，(5分)设直线AR 的方程为y ＝k 1(x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)＋2，y ＝2x ＋2，解得点M 的横坐标x M ＝k 1k 1－2，(6分)又k 1＝y 1－2x 1－1＝4y 1＋2，∴x M ＝k 1k 1－2＝－2y 1，同理点N 的横坐标x N ＝－2y 2，(7分) |y 2－y 1|＝(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝4m 2－m ＋1，(8分)∴|MN |＝5|x M －x N | ＝5⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2y 1＋2y 2＝25⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 2－y 1y 2y 1，＝8 5 m 2－m ＋14|m －1|＝2 5 m 2－m ＋1|m －1|，(10分) 令m －1＝t ，t ≠0，则m ＝t ＋1，∴|MN |＝2 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋34≥15，即当t ＝－2，m ＝－1时，|MN |取最小值为15，此时直线AB 的方程为x ＋y －2＝0.(12分)21．(本小题12分)已知函数f (x )＝a ln x －b e xx(a ，b ∈R 且a ≠0，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线f (x )在点(e ，f (e))处的切线斜率为0，且f (x )有极小值，求实数a 的取值范围；(2)当a ＝b ＝1时，证明：xf (x )＋2＜0.解析 (1)f (x )＝a ln x －b e xx(x ＞0)，则f ′(x )＝a (1－ln x )－b e x (x －1)x 2，由f ′(e)＝0，得b ＝0，则f ′(x )＝a (1－ln x )x 2，(2分) 当a ＞0时，f ′(x )在(0，e)内大于0，在(e ，＋∞)内小于0，∴f (x )在(0，e)内为增函数，在(e ，＋∞)内为减函数，∴f (x )有极大值无极小值；(3分)当a ＜0时，同理可得f (x )在(0，e)内为减函数，在(e ，＋∞)内为增函数， ∴f (x )有极小值无极大值．∴实数a 的取值范围为(－∞，0)．(4分)(2)证明：当a ＝b ＝1时，设g (x )＝xf (x )＋2＝ln x －e x ＋2，(5分)则g ′(x )＝1x －e x ，g ″(x )＝－1x 2－e x ，当x ∈(0，＋∞)时，g ″(x )＜0，∴g ′(x )在(0，＋∞)内为减函数，∵g ′(1)＝1－e ＜0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－e ＞0， ∴存在实数x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得g ′(x 0)＝1x 0－e x 0＝0， ∴g (x )在(0，x 0)内为增函数，在(x 0，＋∞)内为减函数，(7分)由g ′(x 0)＝1x 0－e x 0＝0，则x 0＝－ln x 0，(8分) g (x )max ＝g (x 0)＝ln x 0－e x 0＋2＝－x 0－1x 0＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2，(10分) 由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，得－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＜－2， ∴g (x )max ＜0，∴xf (x )＋2＜0.(12分)。

2022高考数学三轮冲刺押题基础技能闯关夺分必备一元二次不等式（含解析）

一元二次不等式【考点导读】1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。

2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题【基础练习】 1解不等式：（1）23440x x -++>解（2）213022x x ++> （3）()()21322x x x x +->-- （4）2232142-<---<-x x 解：（1）原不等式化为23440x x --<，解集为223x -<< （2）原不等式化为2230x x ++>，解集为R （3）原不等式化为210x x ++<，解集为∅（4）由22222134210132224,,1322250222x x x x x x x x x x ⎧++<⎪⎧+->⎪⎪<++<⎨⎨+-<⎪⎩⎪++>⎪⎩得得得11,11x x x ⎧><⎪⎨<<⎪⎩或(1,1)(21,1)x ∴∈-点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程∆的判断、以及对应方程两根大小的比较 2 函数)1(log 221-=x y 的定义域为 )(11,2⎡⎤-⎣⎦3二次函数=a 2bc ∈R 的部分对应值如下表：则不等式a 2bc>0的解集是),3()2,(+∞--∞4若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b =__-2____ c =__-3____5关于x 的不等式ax ax 210-+<的解集是空集，那么a 的取值区间是[0，4]【范例导析】【例1】已知关于的不等式m -2 2-m -1≥0的解集为［ 1, 2］且1≤|1- 2|≤3,求实数m 的取值范围分析： a 应满足三个条件： ①m -2||42a acb -⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥∆<-3||100221x x m ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--+≤≥-+<3|2|)2(410)2(4222m m m m m m ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--≤-≥<⇒233222322m m m m 或23⇒27212327272123⇒232321232323252525212a 232323232123)1(12)1(≠>--a x x a 02)2()1(>----x a x a 1≠a ()02121>-⎪⎭⎫⎝⎛----x a a x a １时，（*）式等价于212----x a a x >０∵11112--=--a a a 12--a a ２ a212----x a a x 12--a a 1-a a 12--a a ２，∴２12--a a 12--a a 12--a a 12--a a 12--a a 12--a a １时，原不等式的解集为（－∞，12--a a ）∪（２，＋∞）。

高考数学压轴题冲关系列1.docx

压轴题冲关系列(一)(时间：45分钟分数：60分)1．(15分)(2015·辽宁沈阳一模)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)若在区间(1，e)上f (x )x －1＞1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝a ln x 的导函数f ′(x )＝ax ， ∵过点A (2，f (2))的切线斜率为2， ∴f ′(2)＝a2＝2，解得a ＝4. (2)证明：令g (x )＝f (x )－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，则函数的导数g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.令g ′(x )＞0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＞0，解得x ＞1，∴g (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增． ∴g (x )最小值为g (1)＝0，故f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 成立．(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝ax －1，令h ′(x )＞0，解得x ＜a .当a ＞e 时，h (x )在(1，e)是增函数，所以h (x )＞h (1)＝0. 当1＜a ≤e 时，h (x )在(1，a )上递增，(a ，e)上递减， ∴只需h (e)≥0，即a ≥e －1.当a ≤1时，h (x )在(1，e)上递减，则需h (e)≥0， ∵h (e)＝a ＋1－e ＜0不合题意．综上，a ≥e －1.2．(14分)(2015·山东潍坊一模)已知点M 是圆心为C 1的圆(x －1)2＋y 2＝8上的动点，点C 2(1,0)，若线段MC 2的中垂线交MC 1于点N .(1)求动点N 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋t 是圆x 2＋y 2＝1的切线且l 与点N 轨迹交于不同的两点P ，Q ，O 为坐标原点，若OP →·OQ →＝μ且23≤u ≤45，求△OPQ 面积的取值范围．解：(1)由题意知，动点N 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b 2＝1，故动点N 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵直线l ：y ＝kx ＋t 是圆x 2＋y 2＝1的切线， ∴|t |1＋k2＝1，∴t 2＝k 2＋1，直线l ：y ＝kx ＋t 代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由Δ＝8k 2＞0可得k ≠0. ∴x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝t 2－2k 21＋2k 2，∵t 2＝k 2＋1，∴x 1x 2＝2k21＋2k 2，y 1y 2＝1－k 21＋2k 2，∴OP →·OQ →＝μ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2， ∵23≤μ≤45， ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤45，∴13≤k 2≤1，∵|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1令λ＝k 4＋k 2，∵13≤k 2≤1，∴λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，2. |PQ |＝2·2λ4λ＋1＝2·12－12(4λ＋1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，2上单调递增，∴425≤|PQ |≤43，∵直线PQ 是圆x 2＋y 2＝1的切线， ∴O 到PQ 的距离为1，∴S △OPQ ＝12|PQ |，即225≤12|PQ |≤23.故△OPQ 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤225，23. 3.(15分)(2015·内蒙古包头一模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)证明：对任意的t >0，方程f (x )－t ＝0关于x 在(1，＋∞)上有唯一解s ，使t ＝f (s )；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1e.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. (2)证明：当0<x ≤1时，f (x )≤0. 当x >1时，设t >0，h (x )＝f (x )－t . 由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)单调递增，又h (1)＝－t <0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)>0，故方程h (x )＝0在(1，＋∞)有唯一零点，即f (x )－t ＝0关于x 有唯一解．因此，存在唯一的s ∈(1，＋∞)使得t ＝f (s )成立． (3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知t ＝f (s )，且s >1，从而ln g (t )ln t ＝ln s ln f (s )＝ln s ln (s 2ln s )＝ln s 2ln s ＋ln (ln s )＝k 2k ＋ln k，其中k ＝ln s ，要使25<ln g (t )ln t <12成立，只需0<ln k <k2. 当t >e 2时，若s ＝g (t )≤e ，则由f (s )在(1，＋∞)上单调递增，有t ＝f (s )≤f (e)＝e 2，这与t >e 2矛盾．所以s >e ，即k >1，从而ln k >0成立．另一方面，令F (k )＝ln k －k 2，k >1，F ′(k )＝1k －12，令F ′(k )＝0，得k ＝2，当1<k <2时，F ′(k )>0；当k >2时，F ′(k )<0，故对k >1，F (k )≤F (2)<0，因此ln k <k2成立．综上，当t >e 2时，有25<ln g (t )ln t <12.4．(16分)(2015·宁夏银川质检)已知直线l ：y ＝x ＋1，圆O ：x 2＋y 2＝32，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >b >0)的短轴长相等，椭圆的离心率e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的直线m 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论直线m 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，圆心O 到直线l ：y ＝x ＋1的距离 d ＝12＝22，则直线l 被圆截得的弦长为 2r 2－d 2＝232－12＝2，所以椭圆C 的短轴长为2，故b ＝1，又有e ＝ca ＝1－b 2a 2＝22，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在定点T (x 0，y 0)满足题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．当直线AB 的斜率不存在时，易知A (0,1)，B (0，－1)，则圆T 1的方程为x 2＋y 2＝1.当直线AB 的斜率为0时，即直线m 的方程为y ＝－13. 代入椭圆方程可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，即圆T 2的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋132＝169，由圆T 1和圆T 2的方程联立可得T (0,1)．下面证明，当直线AB 的斜率存在时也符合题意．设直线AB 的方程为y ＝kx －13，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －13，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2＋649(1＋2k 2)>0，所以，x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1).此时，TA →＝(x 1，y 1－1)，TB →＝(x 2，y 2－1)，故 TA →·TB →＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 1－43⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2－43＝(k 2＋1)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－16(k 2＋1)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169＝0. 即当直线m 的斜率存在时，以AB 为直径的圆也过定点T (0,1)，综上所述，存在定点T (0,1)满足题意．。

高考数学压轴题精编精解汇编卷一

个个高考数学压轴题精编精解精选100题，精心解答{完整版}卷一1．设函数，，其中，记函数的最大值与最小值的差为。

（I ）求函数的解析式；（II ）画出函数的图象并指出的最小值。

2．已知函数,数列满足,; 数列满足, .求证:（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）若则当n ≥2时,.3．已知定义在R 上的函数f (x ) 同时满足：（1）（R ，a 为常数）；（2）；（3）当时，≤2 求：（Ⅰ）函数的解析式；（Ⅱ）常数a 的取值范围．4．设上的两点，满足，椭圆的离心率短轴长为2，0为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ），（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值；（3）试问：△AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5．已知数列中各项为： 12、1122、111222、……、 …… （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n 项之和S n .6、设、分别是椭圆的左、右焦点.()1,121,23x f x x x ≤≤⎧=⎨-<≤⎩()()[],1,3g x f x ax x =-∈a R ∈()g x ()h a ()h a ()y h x =()h x ()()ln 1f x x x =-+{}n a 101a <<()1n n a f a +={}n b 1111,(1)22n n b b n b +=≥+*n N ∈101;n n a a +<<<21;2n n a a +<12,2a =!n n b a n >⋅21212122()()2()cos24sin f x x f x x f x x a x ++-=+12,x x ∈(0)()14f f π==0,4x π∈［］()f x ()f x )0(1),(),,(22222211>>=+b a bx x y y x B y x A 是椭圆0),(),(2211=⋅ay b x a y b x ,23=e {}n a 111n⋅⋅⋅⋅⋅⋅222n⋅⋅⋅⋅⋅⋅1F 2F 22154x y（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.7、已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上. (1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.8、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R 上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。

2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(一)数学(解析版)

山东省新高考高考模拟冲关押题卷（一）数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分．1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －3)<0，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}2．已知z 为复数，若z ·(1＋i)＝i(i 是虚数单位)，则|z |＝( )A ．1 B. 2C. 12D.223．设a ＝133，b ＝13log 2，c ＝1213⎛⎫ ⎪⎝⎭，则( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．c <a <b4．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4B ．2π C.π2D ．π 5．“ln m <ln n ”是“m 2<n 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线C ：y 2＝12x 的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则|AF |＝( )A ．16B ．10C ．12D ．87．已知函数f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ＋1，则曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为( )A ．y ＝－xB ．y ＝－x ＋2C ．y ＝xD ．y ＝x －2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．8．一组数据2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为7，方差为4，记3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值为a ，方差为b ，则( )A ．a ＝7B ．a ＝11C ．b ＝12D ．b ＝99．设m ，n ，l 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下面结论不正确的是( )A ．若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则m ∥nB ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βC ．若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nD ．若m ∥α，n ∥α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α10．在三棱锥D - ABC 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，且AB ⊥BC ，CD ⊥DA ，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是( )A ．AC ⊥BDB ．MN ∥平面ABDC ．三棱锥A - CMN 的体积的最大值为212D ．AD 与BC 一定不垂直11．定义：若函数F (x )在区间[a ，b ]上的值域为[a ，b ]，则称区间[a ，b ]是函数F (x )的“完美区间”．另外，定义区间[a ，b ]的“复区间长度”为2(b －a )，已知函数f (x )＝|x 2－1|，则( )A ．[0,1]是f (x )的一个“完美区间”B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－52，1＋52是f (x )的一个“完美区间” C ．f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3＋ 5D ．f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3＋2 5第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．12．已知向量a ＝(4，－3)，b ＝(－1,2)，a ，b 的夹角为θ，则sin θ＝________.13.⎝⎛⎭⎫2x 3－1x 8的展开式中的常数项为________． 14．左手掷一粒骰子，右手掷一枚硬币，则事件“骰子向上为6点且硬币向上为正面”的概率为________．15．已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴的交点为H ，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且|PH |＝k |PF |，当k 最大时，点P 恰好在以H ，F 为焦点的双曲线上，则k 的最大值为________，此时该双曲线的离心率为________．四、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(15分)现在给出三个条件：①a ＝2；②B ＝π4；③c ＝3b .试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC ，并以此为依据，求△ABC 的面积．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，求△ABC 的面积．(选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分)．17．(12分)已知数列{a n }满足12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n 2a n －5＝n 3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，证明：122≤T n <16.18．(12分)如图，在四棱锥S - ABCD 中，ABCD 是边长为4的正方形，SD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．(1)证明：EF∥平面SAD.(2)若SD＝8，求二面角D -EF -S的正弦值．19.(12分)生男生女都一样，女儿也是传后人．由于某些地区仍然存在封建传统思想，头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿，现随机抽取某地200户家庭进行调查统计．这200户家庭中，头胎为女孩的频率为0.5，生二孩的频率为0.525，其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关；生二孩不生二孩合计头胎为女孩60头胎为男孩合计200(2)在抽取的况，在抽取的7户中再随机抽取4户，求抽到的头胎是女孩的家庭户数X的分布列及数学期望．附：P(K2≥k)0.150.050.010.001k 2.072 3.841 6.63510.828K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)．20．(12分)已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦，直线m ：x ＝4与x 轴交于点A ，直线MF 2与直线AN 的交点为B .(1)证明：点B 恒在椭圆C 上．(2)设直线n 与椭圆C 只有一个公共点P ，直线n 与直线m 相交于点Q ，在平面内是否存在定点T ，使得∠PTQ ＝π2恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由．21．(12分)已知函数f (x )＝x ln x －1，g (x )＝ax 2－(a －2)x .(1)设函数H (x )＝f ′(x )－g (x )，讨论H (x )的单调性；(2)设函数G (x )＝g (x )＋(a －2)x ，若f (x )的图象与G (x )的图象有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两个不同的交点，证明：ln(x 1x 2)>2＋ln 2.高考押题答案1．答案：B解析：由题意可得A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}．故选B.2．答案：D解析：由题意可得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，所以|z |＝ ⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22.故选D. 3．答案：C解析：因为a ＝133>1，b ＝13log 2<0,0<c ＝1213⎛⎫⎪⎝⎭<1，所以b <c <a .4．答案：D解析：因为f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋12＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋12，所以最小正周期为π. 5．答案：A解析：若ln m <ln n ，则0<m <n ，从而m 2<n 2；若m 2<n 2，则|m |<|n |，推不出ln m <ln n .6．答案：C解析：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD ⊥BD .由抛物线定义知|AD |＝|AF |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°.因为F 到准线的距离为6，所以|AF |＝|BF |＝2×6＝12.7．答案：A解析：因为x <0，f (x )＝f (－x )＝－x ln(－x )＋1，f (－1)＝1，f ′(x )＝－ln(－x )－1，f ′(－1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在x ＝－1处的切线方程为y ＝－x .8．答案：BD解析：设x 1，x 2，x 3，…，x n 的平均值为x ，方差为s 2，则2x 1＋1,2x 2＋1,2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均值为2x ＋1＝7，方差为22s 2＝4，所以x ＝3，s 2＝1，故3x 1＋2,3x 2＋2,3x 3＋2，…，3x n ＋2的平均值a ＝3x ＋2＝11，方差b ＝32×1＝9.故选BD.9．答案：ABD解析：A 选项中，m ，n 可能异面；B 选项中，α，β也可能平行或相交；D 选项中，只有m ，n 相交才可推出l ⊥α.故选ABD.10．答案：ABD解析：设AC 的中点为O ，连接OB ，OD (图略)，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为MN ∥BD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A - CMN 最大，最大值为V A - CMN ＝V N - ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．故选ABD.11．答案：AC解析：设f (x )的“完美区间”为[a ，b ]，易知b >a ≥0.当0<b ≤1时，由f (x )的图象知f (x )在[a ，b ]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝1－a 2＝b ，f (b )＝1－b 2＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，此时2(b －a )＝2.当b >1时，①若a ＝0，则f (b )＝b 2－1＝b >1，解得b ＝1＋52，此时2(b －a )＝1＋5；②若0<a ≤1，则最小值为f (1)＝0≠a ，不合题意；③若a >1，则由图象知f (x )在[a ，b ]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝a 2－1＝a ，f (b )＝b 2－1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1＋52，b ＝1＋52(舍去)．综上，函数f (x )的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2＋(1＋5)＝3＋ 5.故选AC. 12．答案：55解析：∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－105×5＝－255， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝ 1－45＝55. 13．答案：112解析：⎝⎛⎭⎫2x 3－1x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(2x 3)8－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r 828－r (－1)r ·x 24－4r 令24－4r ＝0得r ＝6，∴T 7＝C 68·22(－1)6＝112. 14．答案：112解析：骰子向上为6点的概率为16，硬币向上为正面的概率为12，故所求事件的概率为16×12＝112. 15．答案：2 2＋1解析：过P 作准线的垂线交准线于M (图略)，则|PM |＝|PF |，则|PH |＝k |PF |，可得k ＝|PH ||PF |＝|PH ||PM |. 设P ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，则k ＝|PH ||PM |＝⎝⎛⎭⎫y 204＋12＋y 20y 204＋1，令t ＝y 204＋1，则k ＝|PH ||PM |＝t 2＋4(t －1)t＝1＋4t －4t2＝－4⎝⎛⎭⎫1t －122＋2，当t ＝2时，k 取得最大值2，即当t ＝y 204＋1＝2时， k 取得最大值2，此时y 0＝±2.不妨设P (1,2)，又因为双曲线的焦点坐标为(±1,0)，所以可设双曲线的方程为x 2a 2－y 21－a 2＝1，将P (1,2)代入上式，求得a 2＝3－22，所以该双曲线的离心率e ＝13－22＝2＋1. 16．解析：方案一：若选①③因为(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，由正弦定理可得，2sin B cos A ＝3(sin C cos A ＋sin A cos C )＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又因为a ＝2，c ＝3b ，由余弦定理可得，32＝4b 2－423b 2，解得，b ＝2，c ＝23，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×23×12＝ 3. 方案二：若选①②由方案一知cos A ＝32，∴sin A ＝12，即A ＝π6. 又因为a ＝2，B ＝π4，由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝2×2212＝22， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×22×sin 7π12 ＝22×⎝⎛⎭⎫32×22＋12×22 ＝22×6＋24＝3＋1. 方案三：若选②③由方案一知cos A ＝32，∴A ＝π6. 又B ＝π4，c ＝3b ， ∴C ＝π－π4－π6＝7π12，由正弦定理得：sin C ＝3sin B ，∴sin C ＝3×22＝62，这与C ＝7π12矛盾．故△ABC 无解． 17．解析：(1)12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n 2a n －5＝n 3， ① 当n ＝1时，a 1＝4.当n ≥2时，12a 1－5＋22a 2－5＋32a 3－5＋…＋n －12a n －1－5＝n －13， ② 由①－②，得a n ＝3n ＋52(n ≥2)．因为a 1＝4符合上式，所以a n ＝3n ＋52. (2)证明：1a n a n ＋1＝4(3n ＋5)(3n ＋8)＝43⎝⎛⎭⎫13n ＋5－13n ＋8. T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝43×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫18－111＋⎝⎛⎭⎫111－114＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ＋5－13n ＋8＝43×⎝⎛⎭⎫18－13n ＋8. ∵0<13n ＋8≤111，∴122≤T n <16. 18．解析：(1)证明：记SD 的中点为G ，连接GF ，GA .因为E ，F 分别为AB ，SC 的中点，则GF ∥CD ，且GF ＝12CD . 因为AE ∥CD ，且AE ＝12CD ，所以GF ∥AE 且GF ＝AE ，所以四边形GFEA 为平行四边形，则EF ∥AG .又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以EF ∥平面SAD .(2)以D 为原点，分别以DA →，DC →，DS →为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz ，则S (0,0,8)，D (0,0,0)，E (4,2,0)，F (0,2,4)，DE →＝(4,2,0)，DF →＝(0,2,4)，EF →＝(－4,0,4)，ES →＝(－4，－2,8)．设平面DEF 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ DE →·m ＝4x 1＋2y 1＝0，DF →·m ＝2y 1＋4z 1＝0，令x 1＝2，得m ＝(2，－4,2)．设平面SEF 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n ＝－4x 2＋4z 2＝0，ES →·n ＝－4x 2－2y 2＋8z 2＝0，令x 2＝2，得n ＝(2,4,2)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13，设二面角D - EF - S 的平面角为θ，则sin θ＝223，即二面角D - EF - S 的正弦值为223. 19．解析：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5，所以头胎为女孩的总户数为200×0.5＝100.因为生二孩的概率为0.525，所以生二孩的总户数为200×0.525＝105.2×2列联表如下：生二孩不生二孩合计头胎为女孩 60 40 100头胎为男孩 45 55 100合计 105 95 200K 2＝200(60×55－45×40)2105×95×100×100＝600133>3.841，故有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关．(2)在抽取的200户家庭的样本中，按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7户，则这7户家庭中，头胎生女孩的户数为4，头胎生男孩的户数为3，则X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 14·C 33C 47＝435； P (X ＝2)＝C 24·C 23C 47＝1835； P (X ＝3)＝C 34·C 13C 47＝1235； P (X ＝4)＝C 44C 47＝135. X 的分布列为∴E (X )＝1×435＋2×1835＋3×1235＋4×135＝167. 20．解析：(1)证明：由题意知F 2(1,0)，A (4,0)，设M (s ，t )，N (s ，－t )，则s 24＋t 23＝1. 直线MF 2的方程为y ＝t s －1(x －1)，直线AN 的方程为y ＝－t s －4(x －4)，联立可得x B ＝5s －82s －5，y B ＝3t 2s －5，即B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5s －82s －5，3t 2s －5. 因为x 2B 4＋y 2B 3＝(5s －8)2＋12t 24(2s －5)2＝(5s －8)2＋36－9s 24(2s －5)2＝1，所以B 点恒在椭圆C 上．(2)当直线n 的斜率不存在时，不符合题意．不妨设直线n 的方程为y ＝kx ＋b ，由对称性可知，若平面内存在定点T ，使得∠PTQ ＝π2恒成立，则T 一定在x 轴上，故设T (x 0,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 24＋y 23＝1，可得(4k 2＋3)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0. 因为直线n 与椭圆C 只有一个公共点，所以Δ＝64k 2b 2－4(4k 2＋3)(4b 2－12)＝48(4k 2－b 2＋3)＝0，所以x P ＝－4k b ，y P ＝kx P ＋b ＝3b. 又因为Q (4,4k ＋b )，∠PTQ ＝π2，所以TP →·TQ →＝⎝⎛⎭⎫－4k b －x 0，3b ·(4－x 0,4k ＋b )＝0，即⎝⎛⎭⎫x 0＋4k b (x 0－4)＋3(4k ＋b )b＝0. 所以x 20－4x 0＋3＋k b(4x 0－4)＝0对于任意的满足4k 2－b 2＋3＝0的k ，b 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 0－4＝0，x 20－4x 0＋3＝0，解得x 0＝1. 故在平面内存在定点T (1,0)，使得∠PTQ ＝π2恒成立． 21．解析：(1)H (x )＝f ′(x )－g (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ＋1，H ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝－2ax 2＋(a －2)x ＋1x＝(－2x ＋1)(ax ＋1)x. 当a ≥0时，H (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， H (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减．当－2<a <0时，令H ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞∪⎝⎛⎭⎫0，12，所以H (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞，⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增；令H ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫12，－1a ，所以H (x )在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递减．当a ＝－2时，H ′(x )≥0，H (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <－2时，令H ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪⎝⎛⎭⎫0，－1a ，所以H (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a ，⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增；令H ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫－1a ，12，所以H (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递减． (2)证明：G (x )＝g (x )－(a －2)x ＝ax 2，因为函数f (x )的图象与G (x )的图象有两个不同交点，所以关于x 的方程ax 2＝x ln x －1，即ax ＝ln x －1x有两个不同的根．由题知ln x 1－1x 1＝ax 1 ①， ln x 2－1x 2＝ax 2 ②， ①＋②得ln (x 1x 2)－x 1＋x 2x 1x 2＝a (x 1＋x 2) ③， ②－①得ln x 2x 1＋x 2－x 1x 1x 2＝a (x 2－x 1) ④. 由③，④得ln (x 1x 2)－2(x 1＋x 2)x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1，不妨设0<x 1<x 2，记t ＝x 2x 1>1. 令F (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则F ′(t )＝(t －1)2t (t ＋1)>0，所以F (t )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (t )>F (1)＝0，则ln t >2(t －1)t ＋1，即ln x 2x 1>2(x 2－x 1)x 1＋x 2，所以ln (x 1x 2)－2(x 1＋x 2)x 1x 2＝x 1＋x 2x 2－x 1ln x 2x 1>2. 因为ln (x 1x 2)－2(x 1＋x 2)x 1x 2<ln (x 1x 2)－4x 1x 2x 1x 2＝ln (x 1x 2)－4x 1x 2＝2ln x 1x 2－4x 1x 2. 所以2 ln x 1x 2－4x 1x 2>2，即ln x 1x 2－2x 1x 2>1. 令φ(x )＝ln x －2x，则φ(x )在(0，＋∞)上单调递增．又ln(2e)－22e ＝12ln 2＋1－2e <1，所以ln x 1x 2－2x 1x 2>1>ln (2e)－22e，即φ(x 1x 2)>φ(2e)，所以x 1x 2>2e 2.两边同时取对数可得ln (x 1x 2)>2＋ln 2，得证．。