2015年北京市六城区一模试卷、答案汇总

东城区2014—2015学年第二学期初三综合练习（一） 数学试题 2015.5
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．与2-的和为0的数是 A ．2- B ．1
2
-
C ．
12
D ．2
2．2015年元旦期间，北京各大公园接待游客达245 000万人次。

其中， “冰雪乐园”吸引了大批游客亲身感受冰雪带来的快乐，一起为北京申办2022年冬奥会助力加油.用科学记数法表示245 000 ，正确的是 A ．4
24.510⨯ B ．5
2.4510⨯
C ．6
2.4510⨯ D ．6
0.24510⨯
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是 A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ． 棱柱
4．在某校初三年级古诗词比赛中,初三(1)班42名学生的成绩统计如下,则该班学生成绩的
中位数和众数分别是
分数 50 60 70 80 90 100 人数 1
2
8
13
14
4
A ． 70,80
B ． 70,90
C ． 80,90
D ． 80,100
5． 在六张卡片上分别写有1
π,
, 1.5,3,0,23
-六个数,从中任意抽取一张,卡片上的数为无理数
的概率是 A ．
16
B ．
13
C ． 12
D ． 23
6．正五边形的每个外角等于
A. 36︒
B. 60︒
C. 72︒
D. 108︒ 7．如图，AB 是
O 的直径，点C 在O 上，过点C 作O 的切线交AB 的 延长线于点D ，连接OC ，
AC . 若50D ∠=︒，则A ∠的度数是
A. 20︒ B ．25︒ C ．40︒ D ．50︒
8．小李驾驶汽车以50千米/小时的速度匀速行驶1小时后，途中靠边停车接了半小时电话，然后继续匀速行驶.已知行驶路程y （单位：千米）与行驶时间t （单位：小时）的函数图象大致如图所示，则接电话后小李的行驶速度为
A. 43.5
B. 50
C. 56
D. 58
9. 如图，已知∠MON =60°，OP 是∠MON 的角平分线 ，点A 是OP 上一点，过点A 作ON 的平行线交OM 于点B,AB=4.则直线AB 与ON 之间的距离是 A.
3 B.2 C.23 D.4
10. 如图1， ABC △和DEF △都是等腰直角三角形，其中90C EDF ∠=∠=︒，点A 与点D 重合，
点E 在AB 上，4AB =，2DE =.如图2，ABC △保持不动，DEF △沿着线段AB 从点A 向点B 移动， 当点D 与点B 重合时停止移动.设AD x =，DEF △与ABC △重叠部分的面积为S ，则S 关于x 的函数图象大致是
A B C D
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
图1 图2
4
1.5
2.24
D
C
11．分解因式：224mx my -= ． 12．计算8272+3+-的结果为 ．
13. 关于x 的一元二次方程2
30x x m +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围 是 ．
14. 北京的水资源非常匮乏，为促进市民节水，从2014年5月1日起北京市居民用水实行阶梯水价，实施细则如下表:
北京市居民用水阶梯水价表 单位: 元/立方米
分档水量
户年用水量
（立方米）
水价
其中
自来水费 水资源费
污水
处理费 第一阶梯 0-180（含） 5.00 2.07 1.57
1.36
第二阶梯 181-260（含） 7.00 4.07 第三阶梯
260以上
9.00 6.07
某户居民从2015年1月1日至4月30日,累积用水190立方米,则这户居民4个月共需缴纳水费 元.
15．已知女排赛场球网的高度是2.24米，某排球运动员在一次扣球时，球恰好擦网而过，落在对方场地距
离球网4米的位置上，此时该运动员距离球网1.5米，假设此次排球的运行路线是直线，则该运动员击球的高度是 米．
16．在平面直角坐标系xOy 中，记直线1y x =+为l .点1A 是直线l 与y 轴的交点，以1AO 为
边做正方形111AOC B ,使点1C 落在在x 轴正半轴上，作射线11C B 交直线l 于点2A ，以
21A C 为边作正方形2122A C C B ,使点2C 落在在x 轴正半轴上，依次作下去，得到如图
所示的图形.则点4B 的坐标是 ，点n B 的坐标是 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
第15题图 第16题图
17．如图，AC 与BD 交于点O ，OA OC =，OB OD =． 求证：DC AB ∥．
18. 计算：()1
133tan 6043-⎛⎫
--︒+-+- ⎪⎝⎭
π.
19．解不等式组：()2131,5 4.2
x x x x --⎧⎪⎨-+⎪⎩＞＜
20．先化简，再求值：222442111
a a a a a a -+-+÷+--，其中21a =-． 21．列方程或方程组解应用题：
2015年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗
所需费用相同.每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元？ 22．在平面直角坐标系xOy 中，过点()4,2A -向x 轴作垂线，垂足为B ，连接AO .双曲线 k
y x
=经过斜边AO 的中点C ，与边AB 交于点D ． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△BOD 的面积． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23． 如图，ABC △中，90BCA ∠=︒,CD 是边AB 上的中线，分别过点C ，D 作BA ，BC
的平行线交于点E ，且DE 交AC 于点O ，连接AE . （1）求证：四边形ADCE 是菱形； （2）若2AC DE =，求sin CDB ∠的值．
24．为弘扬中华传统文化,某学校决定开设民族器乐选修课.为了更贴合学生的兴趣，对学生最喜爱的一种
民族乐器进行随机抽样调查，收集整理数据后，绘制出以下两幅未完成的统计图，请根据图1和图2提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查
名学生；（2）请把条形图（图1）补充完整； （3）求扇形统计图（图2）中，二胡部分所对应的圆心角的度数； 共有学生1500名，（4）如果该校请你估计最喜爱古琴的学生人数．
F
25. 如图,在⊙O 中，AB 为直径，OC AB ⊥，弦CD 与OB 交于点F ，过点,D A 分别作⊙O 的切线交于点G ，且GD 与AB 的延长线交于点E ． （1）求证：12∠=∠;
（2）已知：:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3，求AG 的长．
26. 在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是OC 上任意一点，AG BE ⊥于点G ，交BD 于点F ．
(1)如图1,若四边形ABCD 是正方形,判断AF 与BE 的数量关系;
明明发现，AF 与BE 分别在AOF △和BOE △中，可以通过证明AOF △和BOE △全等,得到AF 与BE 的数量关系;
请回答：AF 与BE 的数量关系是 .
(2) 如图2,若四边形ABCD 是菱形, 120ABC ∠=︒,请参考明明思考问题的方法，求
AF
BE
的值. G B
F E
O D
C
A
图1 图2
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线()2
10y ax bx a =++≠的函数表达式；
（2）若点D 在抛物线()2
10y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;
（3）在抛物线()2
10y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,
使ACP △成为以AC 为直角边的直角
三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
B
A
C
28. 已知：Rt △A′BC′和 Rt △ABC 重合，∠A′C′B =∠ACB =90°，∠BA′C ′=∠BAC =30°，现将Rt △A′BC′ 绕点B 按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线C′C 和线段AA′相交于点D ,连接BD ． （1）当α=60°时，A ’B 过点C ，如图1所示，判断BD 和A′A 之间的位置关系，不必证明； （2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明； （3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.
29．定义符号{}min a b ,的含义为：当a b ≥时, {}min a b b =,；当a b ＜时, {}min a b a =,．如：
{}min 122-=-,，{}min 121-=-,．
(1)求{}
2
min x -1,-2;
(2)已知2
min{2,3}3x x k -+-=-, 求实数k 的取值范围;
(3) 已知当23x -≤≤时，2
2
min{215,(1)}215x x m x x x --+=--.直接写出实数m 的取值范围.
图1 图2 图3
O
D
B
C
A
东城区2014-2015学年第二学期初三综合练习（一）
数学试题参考答案及评分标准 2015.5
一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
A
C
B
C
A
D
C
B
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号
11
12
13
14 15
16
答案
()()
22m x y x y +-
2+43
9-4
m ＞
970
3.08
4(15,8)B ；
1(21,2)n n n B --
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明：∵在ODC △和OBA △中，
∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ODC OBA △≌△. …………3分 ∴C A ∠=∠. …………4分 ∴DC AB ∥． …………5分
()()1
118.33tan 604
31333441
5-⎛⎫
--︒+-+- ⎪⎝⎭
=-⨯+-+=-解：π分分
19． ()2131,8x x x x --⎧⎪⎨
-+⎪⎩①
②
＞解：5＜2，
2x 由①得，＜， …………2分 1x -由②得，＞， …………4分
所以，不等式组的解集为12x -＜＜. …………5分
()()()222
2442
111
2211112
221131a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+÷
+----=+
⋅++---=
+
++=
+20.解：分
当21a =
- 时，2-12-12
==1-22-112
=
+原式．…………5分 21．解：设每棵柏树苗的进价是x 元，则每棵枣树苗的进价是()25x -元. …………1分
根据题意，列方程得：200=120(25)x x -，
…………3分 解得： 15x =. …………5分 答：每棵柏树苗的进价是15元. 22． 解：（1）过点C 向x 轴作垂线，垂足为E .
∵CE x ⊥轴，AB x ⊥轴，()4,2A
-，
∴CE AB ∥，()4,0B -. ∴
1
2
OE OC CE OB OA AB ===. ∵4OB =，2AB =， ∴2OE =，1CE =.
∴()2,1C -. …………2分 ∵双曲线k
y x
=经过点C ， ∴2k =-.
∴反比例函数的解析式为2
y x
=-. …………3分 （2）∵点D 在AB 上，
∴点D 的横坐标为4-. ∵点D 在双曲线2
y x
=-上， ∴点D 的纵坐标为
1
2
. …………4分
∴BOD S △111
41222
OB BD =
⋅⋅=⨯⨯=.…………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.（1）证明：∵DE BC ∥,CE AB ∥， ∴四边形DBCE 是平行四边形. ∴CE BD =.
又∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD AD =. ∴CE DA =. 又∵CE DA ∥，
∴四边形ADCE 是平行四边形.
∵90BCA ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线， ∴AD CD =.
∴四边形ADCE 是菱形. …………3分
（2）解：作CF AB ⊥于点F .
由(1) 可知, .BC DE =设BC x =,则2AC x =. 在Rt ABC △中,根据勾股定理可求得5AB x =.
∵
11
22
AB CF AC BC ⋅=⋅, ∴25
5
AC BC CF x AB ⋅=
=.
∵1522
CD AB x =
=, ∴4
sin 5
CF CDB CD ∠=
=.…………5分 24.解：（1）20÷10%=200（名），…………1分 答：一共调查了200名学生； （2）最喜欢古筝的人数：200×25%=50（名）， 最喜欢琵琶的人数：200×20%=40（名）； 补全条形图如图； …………3分 （3）二胡部分所对应的圆心角的度数为：
60
200
×360°=108°； …………4分 （4）1500×30
200
=225（名）． …………5分
答：1500名学生中估计最喜欢古琴的学生人数为225． 25.（1）证明：连结OD ，如图.
∵DE 为⊙O 的切线，OD 为半径， ∴OD DE ⊥.
∴90ODE ∠=︒，即290ODC ∠+∠=︒.
∵OC OD =， ∴C ODC ∠=∠.
F
∴290C ∠+∠=︒. 而OC OB ⊥，
∴390C ∠+∠=︒. ∴23∠=∠.
∵13∠=∠， ∴12∠=∠. …………2分
（2）解：∵:1:3OF OB =，⊙O 的半径为3， ∴1OF =. ∵12∠=∠， ∴EF ED =.
在Rt ODE △中，3OD =,设DE x =，则EF x =，1OE x =+. ∵222
OD DE OE +=，
∴()2
22
31x x +=+，解得4x =.
∴4DE =，5OE =.
∵AG 为⊙O 的切线，OA 为半径，GD 为⊙O 的切线， ∴AG AE ⊥，GA GD =. ∴90GAE ∠=︒.
在Rt AGE △中,设DG t =，则4GE t =+. ∵222
AG AE GE +=.
∴()2
22
84t t +=+，解得，6t =.
∴6AG =. -------------------5分
26. 解：（1）AF =BE ； …………1分
（2）
3AF
BE
=． …………2分 理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒, ∴AC BD ⊥,60ABO ∠=︒. ∴90FAO AFO ∠+∠=︒. ∵AG BE ⊥，
∴90EAG BEA ∠+∠=︒． ∴AFO BEA ∠=∠.
又∵90AOF BOE ∠=∠=︒，
∴AOF BOE △∽△. …………3分
∴AF AO
BE OB
= . ∵60ABO ∠=︒，AC BD ⊥，
∴tan 603AO
OB
=︒=.
∴
3AF
BE
=. …………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．解：（1）∵抛物线
()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，
∴10,
1 1.a b a b -+=⎧⎨
++=⎩
∴1,21.2
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴抛物线的函数关系式为211
122
y x x =-
++. …………2分 （2）∵1
22
b x a =-
=，()0,1C ∴抛物线211
122
y x x =-
++的对称轴为直线12x =.
设点E 为点A 关于直线1
2
x =
的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线1
2
x =
于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，
则2m 0,
1.
k m +=⎧⎨
=⎩
解得1,21.
k m ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
所以，直线EC 的函数表达式为1
12
y x =-
+. 当12x =
时，34
y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
. …………4分
（3）存在.
①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥， ∴90AOM CAM ∠=∠=︒. ∵()0,1C ，()1,0A -， ∴1OA OC ==. ∴45CAO ∠=︒.
∴45OAM OMA ∠=∠=︒. ∴1OA OM ==.
∴点M 的坐标为()0,1-.
设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标， 则1110,
1.k b b -+=⎧⎨
=-⎩
解得111,
1.
k b =-⎧⎨
=-⎩
所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--.
令12x =
，则32
y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭
. …………5分 ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点
N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形， ∴1OC ON ==. ∴点N 的坐标为()1,0. ∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥， ∴21CP AP ∥.
∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+.
令12x =
，则12
y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
. …………6分 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．…………7分 28.解:(1)
当60α=︒时, BD A A '⊥. ------------1分
（2）补全图形如图1，
B D A A '⊥仍然成立；------------3分
（3）猜想BD A A '⊥仍然成立.
证明：作AE C C '⊥，A F C C ''⊥，垂足分别为点,E F ，
如图2，
则90AEC A FC ''∠=∠=︒.
∵BC BC '=，
∴BCC BC C ''∠=∠. ∵90ACB A C B ''∠=∠=︒，
∴90ACE BCC '∠+∠=︒，'90A C F BC C ''∠+∠=︒. ∴ACE A C F ''∠=∠. 在AEC △和A FC ''△中，
90,
,,AEC A FC ACE A C F AC A C ''∠=∠=︒⎧⎪
''∠=∠⎨⎪''=⎩
∴AEC A FC ''△≌△. ∴AE A F '=.
在AED △和A FD '△中，
图2
图1
90,,,AEC A FD ADE A DF AE A F '∠=∠=︒⎧⎪
'∠=∠⎨⎪'=⎩
∴AED A FD '△≌△. ∴AD A D '=. ∵AB A B '=，
∴'ABA △为等腰三角形. ∴BD A A '⊥------------7分
29．解：（1）∵2
0x ≥， ∴2
x -1≥-1. ∴2
-x -1＞2.
∴{}
2
min 2x =--1,-2. ┉┉2分
(2) ∵()2
2
11x x k x k -+=-+-2,
∴()2
11
1x k k -+--≥. ∵2min{2,3}3x x k -+-=-，
∴1
3k --≥. ∴2k -≥. ┉┉5分
(3) 37m -≤≤. ┉┉8分
北京市西城区2015年初三一模试卷
数 学 2015. 4
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．13
的相反数是
A.
13 B.1
3
- C.3 D.3-
2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹 约196 000箱，同比下降了32%．将196 000用科学记数法表示应为
A.51.9610⨯
B.41.9610⨯
C.419.610⨯
D. 60.19610⨯ 3．下列运算正确的是
A. 336a b ab
+=
B.32a a a -=
C.()
3
2
6a a = D.632a a a ÷=
4．如图是一个几何体的直观图，则其主视图是
5．甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机 抽签的方式决定各自的跑道．若甲首先抽签，则甲抽到1号跑道的概率是
A. 1
B.
12 C. 13 D.1
4
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
7．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，如果∠BOC =70°， 那么∠BAD 等于
A. 20°
B. 30°
C. 35°
D.70°
8．在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点P 在反比例函数的图象上，如果点P 的纵坐
标是3，OP=5，那么该函数的表达式为
A.
12y x =
B. 12y x =-
C. 15y x =
D. 15y x =-
9．为了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住在该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据的众数和中位数分别是 A. 6，4 B. 6，6 C. 4，4
D. 4，6
10．如图，过半径为6的⊙O 上一点A 作⊙O 的切线l ，P 为⊙O 上
的一个动点，作PH ⊥l 于点H ，连接P A ．如果P A =x ，AH=y ， 那么下列图象中，能大致表示y 与x 的函数关系的是
二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11．如果分式
1
5
x -有意义，那么x 的取值范围是 ．
12．半径为4cm ，圆心角为60°的扇形的面积为 cm 2． 13．分解因式：2123m -= ．
14．如图，△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 在BC 边上，当 时， △ABD ≌△ACE ．（添加一个适当的条件即可）
15．如图是跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，以O
为横板AB 的中点．．
，AB 绕点O 上下转动，横板AB 的B 端最大高度h 是否会随横板长度的变化而变化 呢？一位同学做了如下研究：他先设AB=2 m ， OC=0.5 m ，通过计算得到此时的h 1，再将横板AB
换成横板A ′B ′，O 为横板A ′B ′的中点，且A ′B ′=3m ，此时B ′点的最大高度为h 2，由此得 到h 1与h 2的大小关系是：h 1 h 2（填“＞”、“＝”或“＜”）．可进一步得出，h 随横板的长度的变化而 （填“不变”或“改变”）．
16．如图，数轴上，点A 的初始位置表示的数为1，现点A 做如下移动：第1次点A 向左
移动3个单位长度至点1A ，第2次从点1A 向右移动6个单位长度至点2A ，第3次从点
2A 向左移动9个单位长度至点3A ，…，按照这种移动方式进行下去，点4A 表示的数
是 ，如果点n A 与原点的距离不小于20，那么n 的最小值是 ．
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
17．计算：()0
1112π2008()6tan302
-+-+-︒． 18．如图，∠C =∠E ，∠EAC =∠DAB ，AB=AD ．
求证：BC=DE ．
19．解不等式组 ()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨+>-⎪⎩
，
20．先化简，再求值：22331
2111
a a a a a a a ++÷-++++，其中2a =．
21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行
驶路程是520千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比 乘坐普通列车少用3小时．求高铁的平均速度是多少千米/时． 22．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）若2x =-是此方程的一个根，求实数m 的值． 四、解答题(本题共20分，每小题5分)
23．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ， E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；
（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．
24．在北京，乘坐地铁是市民出行时经常采用的一种交通方式．据调查，新票价改革政策的
实施给北京市轨道交通客流带来很大变化．根据2015年1月公布的调价后市民当时乘 坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图．
根据以上信息解答下列问题： （1）补全扇形图；
（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是 ，调价后 里程x （千米）在 范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降 反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线 路的日均客流量将达到 万人次；（精确到0.1）
（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问 调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出 元．（不 考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）
25．如图，AB 为⊙O 的直径，M 为⊙O 外一点，连接MA 与⊙O
交于点C ，连接MB 并延长交⊙O 于点D ，经过点M 的直线l 与MA 所在直线关于直线MD 对称．作BE ⊥l 于点E ，连接 AD ，DE ．
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED 相等 的角，并加以证明．
26．阅读下面的材料：
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且1tan 2α=
，1
tan 3
β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得ABD α∠=， CBE β∠=，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ，可证得△ABC 是等腰直角三角形，因此可求得αβ+=
∠ABC = °.
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果α，β都为锐角，当tan 4α=，3
tan 5
β=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.
五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．
已知二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．
（1）求1C 对应的函数表达式；
（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数表达式记为
22y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；
（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．
28． △ABC 中，AB=AC ．取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交
于点H ． （1）如图1，如果90BAC ∠=︒，那么AHB ∠= ︒，AF
BE
= ； （2）如图2，如果60BAC ∠=︒，猜想AHB ∠的度数和AF
BE
的值，并证明你的结论； （3）如果BAC α∠=，那么
AF
BE
= ．
（用含α的表达式表示）
29．
给出如下规定：两个图形G 1和G 2，点P 为G 1上任一点，点Q 为G 2上任一点，如果
线段PQ 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G 1和G 2之间的距离． 在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点．
（1）点A 的坐标为(1,0)A ，则点(2,3)B 和射线OA 之间的距离为________，点(2,3)C - 和射线OA 之间的距离为________； （2）如果直线y =x 和双曲线k
y x
=之间的距离为2，那么k = ；（可在图1中进 行研究）
（3）点E 的坐标为(1,3)，将射线OE 绕原点O 逆时针旋转60︒，得到射线OF ，在坐
标平面内所有和射线OE ，OF 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M ． ① 请在图2中画出图形M ，并描述图形M 的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影
表示） ② 将射线OE ，OF 组成的图形记为图形W ，抛物线22-=x y 与图形M 的 公共部分记为图形N ，请直接写出图形W 和图形N 之间的距离．
北京市西城区2015年初三一模试卷
数学试卷参考答案及评分标准 2015. 4
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
A
C
C
D
A
C
A
B
C
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11 12 13 14 15 16
5x ≠
38π ()()32121m m +-
BD =CE ，∠BAD =∠CAE ，∠ADB =∠AEC ，BE =CD ，∠BAE =∠CAD ，∠ADE =∠AED ，AE =AD （只填一个即可）
=，
不变
7，13 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．解：()0
1112π2008()6tan302
-+-+-︒
=3
3
62132⨯-++………………………………………………………… 4分 =32332-+
=3．…………………………………………………………………………………… 5分 18．证明：如图1．
∵ ∠EAC =∠DAB ，
∴ 11EAC DAB ∠+∠=∠+∠．
即 ∠BAC =∠DAE ． …………………… 1分 在△ABC 和△ADE 中，
,,,C E BAC DAE AB AD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
………………………3分
∴ △ABC ≌△ADE ．…………………………………………………………… 4分 ∴ BC = DE ．…………………………………………………………………… 5分
19．解：()2035148.x x x -≤⎧⎪⎨
+>-⎪⎩， 由①，得2x ≥． (2)
分 由②，得 15348x x +>-．
移项，合并，得 1111x >-．
系数化1，得 1x >-． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式组的解集为2x ≥．…………………………………………………5分
20．解： 22331
a a a ++÷-
①
②
图1
=
()
()
2
331
11
1a a a a a a ++÷
-
+++……………………………………………………………2分 ()()
2
311
311a a a a a a ++=
⋅-+++ =1
1
1+-
+a a a …………………………………………………………………………3分 =
1
1
a a -+．………………………………………………………………………………4分 当2=a 时，原式=
3
1
1212=+-．………………………………………………………5分 21．解：设普通列车的平均速度为x 千米/时．…………………………………………… 1分 则高铁的平均速度是2.5x 千米/时． 依题意，得
400520
32.5x x
+=
．…………………………………………………… 2分 解得 120=x ．……………………………………………………………………3分 经检验，120=x 是原方程的解，且符合题意．……………………………… 4分 所以 30052=x .．
答：高铁的平均速度是300千米/时.………………………………………………… 5分 22．（1）证明： []
2
2(1)4(2
)m m m ∆=--++ 2248448m m m m =-+++
284m =+．……………………………………………………………………1分 ∵ 28m ≥0，
∴ 284m +＞0．………………………………………………………………2分 ∴ 方程总有两个不相等的实数根． ……………………………………… 3分
（2）解：∵ 2x =-是此方程的一个根，
∴ 2(2)2(2)(1)(2)0m m m --⨯---+=．
整理得 220m m -=．
解得 10m =，22m =．……………………………………………………… 5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．（1）证明：∵ ADE BAD ∠=∠，
∴ AB ∥ED ．…………………………………………………………… 1分 ∵ BD 垂直平分AC ，垂足为F ， ∴ BD AC ⊥，AF=FC ．
又∵ AE AC ⊥，
∴ 90EAC DFC ∠=∠=︒． ∴AE ∥BD ．
∴ 四边形ABDE 是平行四边形．…………………………………………2分
（2）解：如图2，连接BE 交AD 于点O ． ∵ DA 平分∠BDE ，
∴ ∠ADE=∠1．
∴ ∠1=∠BAD ．
∴ AB= BD ．………………………………3分 ∴
ABDE 是菱形． ∵ AB=5，AD=6，
∴ BD=AB=5，AD BE ⊥，1
32
OA AD =
=． 在Rt △OAB 中，224OB AB OA =-=．
∵ 11
22
ABD S AD OB BD AF =
⋅=⋅V ， ∴ 645AF ⨯=．
解得 4.8AF =． …………………………4分 ∵ BD 垂直平分AC ，
∴
29.6AC AF ==．……………………5分 注：其他解法相应给分． 24．解：（1）补全扇形图如图3所示．…………………1分 （2）2号线，52＜x ≤72 ，22.2．（各1分）
………………………………………… 4分 （3）30．……………………………………… 5分 25．解：（1）依题意，补全图形如图4．……………… 1分 （2）BAD ∠．…………………………………… 2分 证明：如图5，连接BC ，CD ．
∵ 直线l 与直线MA 关于直线MD 对称， ∴ 12∠=∠．………………………3分 ∵ AB 为⊙O 的直径，
∴ 90ACB ∠=︒，即BC MA ⊥． 又∵ BE l ⊥，
∵ cos 1MC MB =⋅∠，cos 2ME MB =⋅∠， ∴ MC=ME ． 又∵ C ，E 两点分别在直线MA 与直线l 上， 可得C ，E 两点关于直线MD 对称．
∴ 3BED ∠=∠． ………………… 4分 又∵ 3BAD ∠=∠，
∴ BAD BED ∠=∠． ……………… 5分
26．解：45． …………………………………………………1分
画图见图6． ………………………………………3分 45．………………………………………………… 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 27．解：（1）∵ 二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点，
∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩
………………………………1分
图3
图4
图5
图6
图2
解得2,
3.b c =-⎧⎨=-⎩
………………………………… 2分
∴ 抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． …………………………………… 3分 （2）∵ 22123=(1)4y x x x =----，
∴ 抛物线1C 的顶点为(1,4)-．……………………………………………… 4分 ∴ 平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．… 5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分
28．解：（1）90，
1
2
．……………………………………………………………………… 2分
（2）结论：90AHB ∠=︒，3
2
AF BE =． 证明：如图8，连接AD ．
∵ AB =AC ，∠BAC =60°， ∴ △ABC 是等边三角形． ∵ D 为BC 的中点， ∴ AD ⊥BC ． ∴ ∠1+∠2=90°． 又∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠DEC =90°． ∴ ∠2+∠C =90°． ∴ ∠1=∠C =60°． 设AB =BC=k （0k >），
则1
24
k
CE CD ==
，34DE k =． ∵ F 为DE 的中点，
∴ 1328DF DE k =
=，33
22AD AB k ==． ∴32AD BC =，3
2DF CE =． ∴ =
BC AD CE DF ．…………………………………………………………3分 又∵ ∠1=∠C ，
∴ △ADF ∽△BCE ．………………………………………………… 4分
∴
3
2AF AD BE BC ==，………………………………………………… 5分 ∠3=∠4． 又∵ ∠4+∠5=90°，∠5=∠6， ∴ ∠3+∠6=90°．
∴ 90AHB ∠=︒．………………………………………………………6分
图7
图8
（3）1tan 902
2
α
︒-（）．………………………………………………………………7分
注：写1cos 2sin α
α
+或其他答案相应给分．
29．解：（1）3，13．（每空各1分）…………………………………………………… 2分
（2）-1．…………………………………………………………………………… 4分
（3）①如图9，过点O 分别作射线OE 、OF 的垂线OG 、OH ，则图形M 为：y 轴
正半轴，∠GOH 的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．
……………………………………………………………………………… 7分
说明：（画图2分，描述1分）（图形M 也可描述为：y 轴正半轴，直线x y 3
3
=
下方与直线x y 3
3
-
=下方重叠的部分（含边界）
） ②
3
4
．…………………………………………………………………………8分 图9
海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学 2015．5
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为
A ． 50.1510⨯
B ．41.510⨯
C ．51.510⨯
D ．31510⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是
A. 三棱柱
B. 三棱锥
C. 长方体
D.正方体
3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为 A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2
4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为
A ．
12 B ．45 C ．49 D ．59
5．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于
A ． 40°
B ．50°
C ．60°
D ．140°
6．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：
（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ．
（2）分别以D ，E 为圆心，大于1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内
部相交于点C ． （3）画射线OC ．
根据上述作图步骤，下列结论正确的是
A ．射线OC 是AO
B ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段O
C C ．点O 和点C 关于直线DE 对称
D ．O
E =CE b
a 2
1B
A
C
E
O
D
2
A
0B
7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是 A ．98，95 B ．98，98 C ．95，98 D ．95，95
8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于 A ．1.2 B ．2 C ．2.4 D ．6
9．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=︒，AC =3，则CD 的长为 A ． 6 B ．23 C ．3 D ．3
10．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32a ab -=____________．
12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1
y x
=的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．
A B C
D
63
S /千米
t /分钟
O
E D
C
B
O
A
13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：
从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1） 14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若D A A B
⊥，
1AD =，17BD =，则BC 的长为__________．
15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：
―四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形‖．经过思考，小明说―添加AD =BC ‖，小红说―添加AB =DC ‖ ．你同意 的观点， 理由是 ．
16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：2022cos6012(3.14π)--+-+-o ．
18．解不等式组：345214
.33x x x x +>-⎧⎪
⎨-⎪⎩
，≥
19．已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．
20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ．
求证： BE=CD ．
摸球的次数n 100 200 300 400 500
600 摸到白球的次数m
58
118
189
237
302
359
摸到白球的频率
n
m
0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.598 C
B
D
A
F
E
21.已知关于x 的方程22
0 (0)kx x k k
--
=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．
22．列方程或方程组解应用题:
为了响应学校提出的―节能减排，低碳生活‖的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行―双面打印，节约用纸‖．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°．
（1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．
24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出扇形统计图中m 的值；
（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿；
F
B
C
A
E
D
该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有 万人．
25．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径. （1） 求证：OD ⊥CE ；
（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．
26．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．
小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
A
D
E B C
A
D
E
B F
C G
E
C A
B
D
F
图1 图2 图3
请回答：BC +DE 的值为_______．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．
A
E
B
D
C
F
O
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
212
y x x =
-+与y 轴交于点A ，
顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；
E
D
C
B A
E
D
C
B
A
备用图
（2）求证：EG BC =；
（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．
29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：
若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩
，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变
点的坐标是()2,5--．
（1）①点
(
)
3,1的限变点的坐标是___________；
x
y
O –5
–4
–3
–2
–11
2
3
4
5
–7
–6–5–4–3–2–1
123
4567
②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2
y x
=
图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；
（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；
（3）若点P 在关于x 的二次函数22
2y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或b n '<，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．
海淀区九年级第二学期期中练习
数学试卷答案及评分参考
2015．5
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
题号
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 答案 B A C D B A C B D B
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
题号
11
12
13
14
15 16
答案 a (a ＋b )(a －b )
()
0y kx k =>如，y x =
0.6
178
小明（1分）；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（2分）
30°或150°（只答对一个2分，全对3分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. (本小题满分5分) 解：原式=
11
223142-⨯++ ………………………………………………………4分 1
234
=+． ………………………………………………………………5分 x
y
–6
–5
–4
–3
–2
–1123456
–6
–5–4–3–2–11
2
3456O。