1.2充分条件必要条件
1.2 充分条件与必要条件
1．2 充分条件与必要条件1．充分条件和必要条件“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件(1)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说：如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．[温馨提示] (1)从逻辑关系上看①如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；②如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；③如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充要条件；④如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)从集合间的关系上看①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；②若A ⊇B ，则A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；④若A B 且B A ，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．(3)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即p ⇒q ⇔q ⇐p .②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”或“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”．充分、必要条件及充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＞B ，q ：BC ＞AC ；(2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4；(3)p ：|a ·b |＝a ·b ，q ：a ·b >0；(4)p ：a >b ，c >0，q ：ac >bc .充要条件的证明已知⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，求证：d ＝r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件、充要条件的应用如果p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，求实数m的取值范围．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A．a＜0B．a＞0C．a＜－1 D．a＜13．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知x，y为两个正整数，p：x≠2或y≠3，q：x＋y≠5，则p是q的________条件．(3)已知M＝{x|(x－a)2＜1}，N＝{x|x2－5x－24＜0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围．已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．1．若本例中“若p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”其他条件不变，求实数m的取值范围．2．若p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)不变，若綈p是綈q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？3．本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件．A组训练1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．在下列三个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③6．“lg x >lg y ”是“x >y ”的__________条件．7．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．8．下列不等式：①x ＜1；②0＜x ＜1；③－1＜x ＜0；④－1＜x ＜1.其中，可以为x 2＜1的一个充分条件的所有序号为________．9．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件．(1)p ：f (x )是周期函数，q ：f (x )是正弦函数；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形是矩形，q ：四边形的对角线互相平分；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.10．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．B 组训练1．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 2．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．3．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．4．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．1．2 充分条件与必要条件参考答案1．充分条件和必要条件“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，记作p ⇒q ，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．2．充要条件(1)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说：如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．[温馨提示] (1)从逻辑关系上看①如果p ⇒q ，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件；②如果p q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件；③如果p ⇒q ，且q ⇒p ，那么称p 是q 的充要条件；④如果p q ，且q p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件．(2)从集合间的关系上看①若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件；②若A ⊇B ，则A 是B 的必要条件；③若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；④若A B 且B A ，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．(3)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即p ⇒q ⇔q ⇐p .②传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件，即“p ⇒q 且q ⇒r ”⇒“p ⇒r ”或“p ⇐q 且q ⇐r ”⇒“p ⇐r ”．充分、必要条件及充要条件的判断判断下列各题中p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：A ＞B ，q ：BC ＞AC ；(2)p ：x ＞1，q ：x 2＞1；(3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3；(4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1. (链接教材P 9例1、P 10例2及P 11例3)[解] (1)由三角形中大角对大边可知，若A ＞B ，则BC ＞AC ；反之，若BC ＞AC ，则A ＞B .因此，p 是q 的充要条件．(2)由x ＞1可以推出x 2＞1；由x 2＞1得x ＜－1或x ＞1，不一定有x ＞1.因此p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b ＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1；当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ；当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b .因此p 是q 的既不充分也不必要条件．方法归纳(1)如果命题“若p ，则q ”为真命题，即p ⇒q ，那么p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件．如果命题“若p ，则q ”为假命题，即p q ，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件．(2)若原命题“若p ，则q ”为真命题，且逆命题“若q ，则p ”也为真命题，即p ⇔q ，那么p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件．1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4；(3)p ：|a ·b |＝a ·b ，q ：a ·b >0；(4)p ：a >b ，c >0，q ：ac >bc .解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)令A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}，B＝{x|x＝－2或x＝4}＝{－2,4}．∵A＝B，∴p⇔q，即p是q的充要条件．(3)∵若a·b>0，则|a·b|＝a·b成立，∴q⇒p，当a＝0时，虽有|a·b|＝a·b，但没有a·b>0，∴p q，∴p是q的必要不充分条件．(4)∵p⇒q，但q p(当c<0时，有a<b)，故p是q的充分不必要条件．充要条件的证明已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．(链接教材P11例4)[证明]如图所示，作OP⊥l于点P，则OP＝d.(1)充分性：若d＝r，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ，在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r.所以除点P外，直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P，因此直线l与⊙O相切．(2)必要性：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l，因此d＝OP＝r.所以d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．方法归纳要证明充要条件，就是要证明两个，一个是充分条件，另一个是必要条件；要证明必要不充分条件，就是要证明一个是必要条件，另一个是不充分条件；要证明充分不必要条件，就是要证明一个是充分条件，另一个是不必要条件．2．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.证明：充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有两不等实根．设为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ca<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.充分条件、必要条件、充要条件的应用如果p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，求实数m的取值范围．[解] p ：x (x －3)<0，即0<x <3，q ：2x －3<m ，则x <m ＋32.由题意知p ⇒q ，q p ，则在数轴上表示不等式如图所示，则m ＋32≥3，解得m ≥3.即实数m 的取值范围为[3，＋∞)．方法归纳根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．一元二次方程ax ＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1[解析] ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，x 1x 2＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a ＞01a＜0⇔a ＜0， 由于{a |a ＜－1}{a |a ＜0}，故答案应为C.[答案] C[错因与防范] (1)本题极易错选A ，错因是求的一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，而不是充分不必要条件．(2)解答此类问题要正确区分各种条件的关系是解题的关键．如若要证“p 是q 的充要条件”则p 是条件，q 是结论；若要证“p 的充要条件是q ”，则q 是条件，p 是结论，这是易错点．3．(2013·高考山东卷)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴q ⇒綈p ，但綈pq ，其逆否命题为p ⇒綈q ，但綈qp ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．1.定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要条件．其基本步骤是：(1)(2013·高考福建卷)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若x ＝2且y ＝－1，则x ＋y －1＝0；反之，若x ＋y －1＝0，x ，y 有无数组解，如x ＝3，y ＝－2等，不一定有x ＝2且y ＝－1，故选A.[答案] A2．等价转化法等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：(2)已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 綈p ：x ＝2且x ＝3，綈q ：x ＋y ＝5.可知綈p ⇒綈q ，而綈q 綈p .所以綈q 是綈p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：(3)已知M ＝{x |(x －a )2＜1}，N ＝{x |x 2－5x －24＜0}，若N 是M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] 由(x －a )2＜1，得a －1＜x ＜a ＋1.由x 2－5x －24＜0，得－3＜x ＜8.∵N 是M 的必要条件，∴M ⊆N .于是⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，从而可得－2≤a ≤7. 故a 的取值范围为[－2,7]．已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．[解] p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－21＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－21＋m ≤10， 解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}．[拓展探究] 根据一个命题是另一个命题的充分条件、必要条件、充要条件确定某个参数的取值范围时，一般利用集合间的包含关系进行求解．1．若本例中“若p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”其他条件不变，求实数m 的取值范围．解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ，所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－21＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10. 解不等式组得m ＞9或m ≥9，所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9. 2．若p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件．以下解法同衍变1.(略)3．本例中p 、q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件．解：因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)．若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m 10＝1＋m ，m 不存在． 故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件．单独成册[学业水平训练]1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |.2．(2013·高考福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件，选A.3．在数列{a n}中，“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若“{a n}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，a n＝2a n－1成立．当a n＝0，n＝1,2,3,4，…时满足a n＝2a n－1，n＝2,3,4，但此时{a n}不是等比数列，∴“a n＝2a n－1，n＝2,3,4，…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．4．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由已知p：x＜－1或x＞1，则q⇒p，q p，∴q是p的充分不必要条件．由互为逆否命题的两个命题同真假得綈p是綈q的充分不必要条件．5．在下列三个结论中，正确的有()①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：选C.对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x＞2或x＜－2⇒x3＞8或x3＜－8，不一定有x3＜－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故③正确．6．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．解析：由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y.而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y lg x>lg y.答案：充分不必要7．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分8．下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2＜1，即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵f (x )是周期函数f (x )是正弦函数，但由f (x )是正弦函数⇒f (x )是周期函数， ∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形，△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形，∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，四边形的对角线互相平分四边形是矩形，∴p 是q 的充分不必要条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即r ＝|c |a 2＋b2， ∴c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来，若c 2＝(a 2＋b 2)r 2，则|c |a 2＋b2＝r 成立， 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，故p 是q 的充要条件．10．已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，∵x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，即Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1，a ＋4≥3， 解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．[高考水平训练]1．已知p ：x 2－x ＜0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( )A ．0＜x ＜1B ．－1＜x ＜1C.12＜x ＜23D.12＜x ＜2 解析：选B.x 2－x ＜0⇔0＜x ＜1，运用集合的知识易知．A 中0＜x ＜1是p 的充要条件；B 中－1＜x ＜1是p 的必要条件；C 中12＜x ＜23是p 的充分条件； D 中12＜x ＜2是p 的既不充分也不必要条件．应选B. 2．不等式(a ＋x )(1＋x )＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x ＜－1，则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )＜0}，故有a ＞2.答案：(2，＋∞)3．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意． 当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1＞0，当a ＞0时，若Δ＝4－4a ≥0，则a ≤1，即0＜a ≤1.当a ＜0时，∵f (0)＝1，Δ＝4－4a ＞0恒成立，∴方程恒有负实数根．综上所述，a ≤1为所求．4．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716， 因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2. 所以A ＝{y |716≤y ≤2}． 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)．。
1.2充分条件与必要条件
3．条件p：“直线l在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍”，
条件q：“直线l的斜率为－2”，则p是q的充__分__而__不__必__要___ 条件。
4．“cos 3”是“ 2k 5 , k Z”的必__要__而__不__充__分_
条件。
2
6
5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的__充__分___条件， r是t的___充__要___条件。
分析: p : d r , q : 直线 l 与⊙O 相切.
要证 p 是 q 的充要条件,就是要证明两个命题成
立: ⑴充分性( p q ) ; ⑵必要性( p q )
分别证明,各个击破即可!
例4、 已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d. 求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
证明：如图，作 OP l 于点P，则OP=d。
所以，d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.
求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要
条件是a+b+c=0。
课堂小结
1.充分条件、必要条件、充要条件的概念.
2.判断“若p，则q”命题中，条件p是q的什么条
件3..充要条件判断：
如果p q，那么p与q互为充要条件。
4.充要条件的证明：（1）充分性；(2)必要性
充分 必要 充分
ab 0
a0
( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2
充分 必要
必要 充分
作业：
1．设集合M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是 “a∈N”的__必__要__而__不__充__分________条件。
1.2 充分条件与必要条件
取值范围时，可以先把 p, q 等价转化，利用充分
条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，
建立关于参数的不等式(组)进行求解．
变式训练：
x－1 4．集合 A＝{x| <0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是 x＋1 “A∩B”≠ ∅ ”的充分条件，则实数 b 的取值范围是 ( C ) A．[－2,0) C．(－2,2) B．(0,2] D．[－2,2]
(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出
B，由B能否推出A，对于否定性命题，注意利用等价命题来 判断．
变式训练
( A )
1． 下列命题中， p 是 q 的充分条件的是 A．p：a＝0，q：ab＝0 B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0 且 b≥0 C．p：x2>1，q：x>1 D．p：a>b，q： a> b
必要条件：如果结论B能推出条件A，则称条件A是结 论B成立的 “ 必要条件 ” 充要条件：如果条件A既是结论B成立的充分条件也
是结论B成立的必要条件，则称条件A是结论B成
立的充要条件
1.p是q的充分条件是指“p成立可充分保证q成立，但是
如果没有p，q也可能成立”． 2.p是q的必要条件是指“要使q成立必须要有p成立”， 或者说“若p不成立，则q一定不成立”；但即使有p成立，q 未必会成立．
(2)对于实数x，y，p：x ＋ y ≠8，q：x≠2或y≠6.
(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－ 1)· (y－2)＝0. [思路点拨] 首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定
义下结论，也可用等价命题判断．
【精品课件】1.2充分与必要条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3、已知A是B的充分条件，则 ┒A是┒B的 ┒B是┒A的 必要 充分 条件； 条件。
当难判断原命题真假时，可以先判断逆否 命题。
①若┒A是B 的必要不充分条件，则A是┒B 的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 ②条件p：x>2，或y>3；是q：x+y>5 的 必要不充分条件 条件。
复习
命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句称为命题。 原命题 若 A则 B 互逆 互为 逆否 互逆 逆命题 若 B则 A 互 否 逆否命题 若┐B则┐A
互 否
否命题 若┐A则┐B
我们对每一个命题的四种命题的 真假情况进行归纳，得出： ①互为逆否的两个命题同真假； ②互否或互逆的两个命题的真假性无关。 举例：判断下列命题的四种命题的真假。
新授课
1、充分条件与必要条件：一般地，如果已 知 p q那么就说，p 是q 的充分条件，q 是p 的 必要条件．
x 1 x 1 2 x 1是x 1的充分条件 2 x 1是x 1的必要条件
2
典型例题
例1 ．指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是 p的什么条件：
2 2 p : x y ; q : x y （1）
①复数x+yi (x,y∈R)为纯虚数的充要条件 是 。
1、已知集合A={x|x>1}，B={x|x>2}， 则x∈A是x∈B的 必要不充分 条件。
方法二、用命题的等价转化判断两条件 的关系
2、已知条件p：x+y≠2， 条件q：x，y不都是1，则p是q的( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
课件1：1.2.1 充分条件与必要条件 1.2.2 充要条件
必要性：当 n＝1 时，a1＝S1＝p＋q， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)． ∵p≠0 且 p≠1， ∴aan＋n 1＝ppn－n1pp－－11＝p.
又∵{an}为等比数列，∴aa21＝aan＋n 1＝p， ∴ppp＋－q1＝p，∴q＝－1. 综上可知，{an}是等比数列的充要条件是 q＝－1.
(3)等价法： 将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题． 判定充分条件、必要条件时，可以与四种命题的关系结 合起来．把 p 与 q 分别记作原命题的条件与结论，则原命题 与逆命题的真假同 p 与 q 之间的关系如下：
①如果原命题为真，逆命题为假，那么 p 是 q 的充分不 必要条件；
②如果原命题为假，逆命题为真，那么 p 是 q 的必要不 充分条件；
【变式训练】 本例中的“x＜a”改为“x＞a”，其他条件不变，则 a 的最小值为多少？ 【解】 ∵x2＞1，∴x＜－1 或 x＞1， ∵“x2＞1”是“x＞a”的必要不充分条件， ∴x＞a⇒x2＞1，但 x2＞1⇒/x＞a.
如图示： ∴a≥1， ∴a 的最小值为 1.
题目类型三、充要条件的证明 例 3、 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝pn＋q(p≠0 且 p≠1)． 求证：{an}为等比数列的充要条件是 q＝－1.
由①②知，命题得证.
忽略隐含条件致误 已知关于 x 的方程 x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两 个大于 1 的实根的充要条件． 【错解】 由方程 x2－mx＋2m－3＝0 的根都大于 1，可 设方程的两根分别为 x1，x2， 故有xx11＋x2＞x2＞1，2， 即m2m＞－2， 3＞1， 解得 m＞2， 即使方程有两个大于 1 的实根的充要条件为 m＞2.
2 ． “x ＞ － 2” 是 “x ＞ 3” 的 必 要 条 件 中 ， 条 件 是 ________，结论是________．
1.2充分条件与必要条件
1.2充分条件与必要条件[提出问题在物理中，我们经常遇到这样的电路图：问题1：图中A 开关闭合时B 灯一定亮吗？ 提示：一定亮． 问题2：B 灯亮时A 开关一定闭合吗？提示：不一定，还可能是C 开关闭合．[导入新知]充分条件与必要条件 q[注意]1．p 是q 的充分条件是指“p 成立可充分保证q 成立，但是如果没有p ，q 也可能成立”．2．q 是p 的必要条件是指“要使p 成立必须要有q 成立”，或者说“若q 不成立，则p 一定不成立”；但即使有q 成立，p 未必会成立.[提出问题]如图是一物理电路图．问题1：图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？提示：一定闭合．问题2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q之间的推出关系吗？提示：p⇔q.[导入新知]充要条件如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件．[注意]1、p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则这两个命题是等价命题．2、充分、必要、充要条件的判断方法判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．3、充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．4、“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”这两种说法的含义相同吗？【答案】两种说法的含义不相同．“A是B的充分不必要条件”是指：A⇒B，且B≠〉A；而“A的充分不必要条件是B”是指：B⇒A，且A≠〉B，在进行充分必要条件的推理判断时，一定要注意区分以上两种不同的说法.5．从命题的真假角度认识充要条件设有命题①“若p则q”和命题②“若q则p”，若命题①是真命题，而命题②是假命题，则p是q的充分不必要条件；若命题②是真命题，而命题①是假命题，则p是q的必要不充分条件；若两个命题都是真命题，则p是q的充分必要条件；若两个命题都是假命题，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．6．用集合的包含关系来分析充分条件、必要条件与充要条件设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}．(1)若A⊆B，即A中的任何一个元素都是B中的元素，所以由p可推出q，即p⇒q.∴当A⊆B时，p是q的充分条件．如：“张三是辽宁人”是“张三是中国人”的充分条件．∵{辽宁人}⊆{中国人}，特别地当A⊂B时，p是q的充分不必要条件．(2)若A⊇B即B是A的子集，所以由q能推出p，此时p是q成立的必要条件．特别地当A⊃B时，p是q的必要不充分条件．对于(1)与(2)通俗地讲就是“小充分，大必要”．(3)若A＝B，则p是q成立的充要条件，所以“不大不小是充要”．(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q成立的既不充分也不必要条件．[例(1)在△ABC中，p：A＞B，q：BC＞AC；(2)p：x＞1，q：x2＞1；(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(4)p：a＜b，q：ab＜1.[解](1)由三角形中大角对大边可知，若A＞B，则BC＞AC；反之，若BC ＞AC，则A＞B.因此，p是q的充要条件．(2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1，得x＜－1，或x＞1，不一定有x＞1.因此，p是q的充分不必要条件．(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2，或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．(4)由于a＜b，当b＜0时，ab＞1；当b＞0时，ab＜1，故若a＜b，不一定有ab＜1；当a＞0，b＞0，ab＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，ab＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．[活学活用]指出下列各组命题中p是q的什么条件．(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等，∴p是q的既不充分也不必要条件．(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0⇒x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，而(x－1)(y－2)＝0(x－1)2＋(y－2)2＝0，∴p是q的充分不必要条件.[例2]是ac＜0.[解](1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac ＞0，x 1x 2＝c a ＜0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac ＜0.(2)充分性：由ac ＜0可推得Δ＝b 2－4ac ＞0及x 1x 2＝c a ＜0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac ＜0.[活学活用]已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.证明：(1)必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy ＜0，又由x ＞y ，得y －x ＜0，所以xy ＞0.(2)充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy ，即1x ＜1y .综上所述，1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.[例3] 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．[解] 因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 但q ⇒/ p ，即{}x |－2≤x ≤10是{}x |1－m ≤x ≤1＋m 的真子集，所以⎩⎨⎧ 1－m ＜－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10，解得m ≥9. 所以实数m 的取值范围为{}m |m ≥9.[类题通法]应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解，注意数形结合思想的应用．[活学活用]已知P ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：由题意知，Q ＝{x |1＜x ＜3}，Q ⊆P ，所以⎩⎨⎧a －4≤1，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.故实数a 的取值范围是[－1,5]．1.诠释充分条件与必要条件的判断有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法．1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．其基本步骤是：[例1] (广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B＝2R (R 为三角形外接圆半径)，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B .故a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B .[答案] A[活学活用]1．“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由cos 2α＝12可得sin 2α＝14，即sin α＝±12，故sin α＝12是cos 2α＝12的充分不必要条件． 2．等价转化法等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．其基本步骤为：[例2] 已知x ，y 为两个正整数，p ：x ≠2或y ≠3，q ：x ＋y ≠5，则p 是q 的________条件．[解析] 非p ：x ＝2且x ＝3，非q ：x ＋y ＝5.可知非p ⇒非q ，而非q 非p .所以非q 是非p 的必要不充分条件，故p 是q 的必要不充分条件．[答案] 必要不充分[活学活用]2．“m ≠3”是“|m |≠3”的________条件．答案：必要不充分3．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．其解决的一般步骤是：[例3] 指出下列命题中p 是q 的什么条件．(1)p ：(x －1)(x ＋2)≤0，q ：x ＜2；(2)p ：x 2－2x －8＝0，q ：x ＝－2或x ＝4. [解] (1)令A ＝{x |(x －1)(x ＋2)≤0}＝{x |－2≤x ≤1}，集合B ＝{x |x ＜2}． 显然，A ⊂B ，所以p ⇒q ，但q p ，即p 是q 的充分不必要条件．(2)令A ＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}，B ＝{x |x ＝－2或x ＝4}＝{－2,4}．∵A ＝B ，∴p ⇔q ，即p 是q 的充要条件．[活学活用]3．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＜1解析：选C ∵一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一正根和一负根．∴⎩⎨⎧ Δ＞0，x 1x 2＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a ＞0，1a ＜0，解得a ＜0.由于{a |a ＜－1}⊂{a |a ＜0}，故选C.。
1.2 充分条件与必要条件
1.2 充分条件与必要条件1. 充分条件的定义如果p成立时，q必然成立，即p⇒q，我们就说，p是q成立的充分条件．（即为使q成立，只需条件p就够了）2. 必要条件的定义如果B成立时，A必然成立，即q⇒p，我们就说，q是p成立的必要条件．（即为使q成立，就必须条件p成立）3. (1)若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件。
说明：①充要条件是互为的；②“p是q的充要条件”也说成“p与q等价” 、③p当且仅当q”等.p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；p⇒q，但q⇒p，则p是q的充分而不必要条件；q⇒p，但p⇒q，则p是q的必要而不充分条件；p⇒q，且q⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.当堂训练一、选择题1．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥12．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的 ( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．“a>0”是“|a|>0”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( ) A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”5．已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的 ( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： ①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条相交直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； ④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题．．．的序号__________(写出所有真命题的序号)． 7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：① s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不 是充分条件；④綈p 是綈s 的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必 要条件．则正确命题序号是________．8．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 9．已知p ：⎩⎪⎨⎪⎧x |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋2≥0x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，若q 是p 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是____________． 三、解答题10．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．11.求证：关于x 的一元二次不等式ax 2－ax ＋1>0对于一切实数x 都成立的充要条件 是0<a <4.12．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －3a ＋1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．同步提升 一、选择题： 1. “()24x k k Z ππ=+∈”是“tan 1x =”成立的（ ）（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充分条件. （D ）既不充分也不必要条件. 2. “)(26Z k k ∈+=ππα”是“212cos =α”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.在ABC ∆中，“6A π>”是“1sin 2A >”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设a 、b 是非零实数，那么“a >b ”是“lg(a -b )>0”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6.下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是( ) （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞7．已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ＞0的解集是R ，q ：－1＜a ＜0，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 8. “|x |＜2”是“260x x --<”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 9．若p ：|x ＋1|＞2，q ：x ＞2，，则┐p 是┐q 成立的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10.(设集合}21|{<-=x x M ，{|(3)0}N x x x =-<，那么“M a ∈”是“N a ∈”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件11.“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线4(3)90x a y --+=互相垂直”的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件13．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要条件是( )A ．l 1⊥m ，l 1⊥nB ．m ⊥l 1，m ⊥l 2C ．m ⊥l 1，n ⊥l 2D ．m ∥n ，l 1⊥n14．已知E ，F ，G ，H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ， H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．已知,a b 为非零向量，函数()()()f x xa b a xb =+⋅-，则使()f x 的图象为关于y 轴对称的抛物线的一个必要不充分条件是( )A ．a b ⊥B ．//a bC ．||||a b =D ．a b =16．已知数列{a n }，“对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝3x ＋2上”是“{a n }为等差数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 17.等比数列{a n }中，“a 1<a 3”是“a 5<a 7”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分与不必要条件18．命题甲：x ）（21，x-12，22x 成等比数列；命题乙：lg x ，lg(x ＋1)，lg(x ＋3)成等差数列，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 19． 设{}n a 是等比数列，则“123a <a <a ”是数列{}n a 是递增数列的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20.若实数,a b 满足0,0a b ≥≥，且0ab =，则称a 与b 互补，记(,),a b a b ϕ-那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题：1．设集合U 是全集，A ⊆U ，B ⊆U ，则“A ∪B ＝U ”是“B ＝∁U A ”的________条件． 2、设计如图所示的四个电路图，条件A ：“开关S 1闭合”；条件B ：“灯泡L 亮”， 图甲：A 是B 的________条件．图乙：A 是B 的________条件． 图丙：A 是B 的________条件．图丁：A 是B 的________条件．3．已知集合A ＝{x |x >5}，集合B ＝{x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．4．已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =<，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 ． 三、解答题：1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0，且q ≠1)，求数列{a n }成等比数列的充要条件．2. 已知函数12cos 32)4(sin 4)(2--+=x x x f π，且给定条件p:“24ππ≤≤x ”,（1）求)(x f 的最大值及最小值 （2）若又给条件"2|)(|:"<-m x f q 且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围。
原创1：1.2.1 充分条件与必要条件
【典例训练】 1.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为 ________． 2.已知命题p：对数loga（-2t2+7t-5）(a>0,a≠1)有意义；q： 关于实数t的不等式t2-（a+3）t+（a+2）<0. （1）若命题p为真，求实数t的取值范围； （2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范 围．
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必 要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充 分条件； ③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件； ④若A / B，且B / A，则p是q的既不充分也不必要条件．
【典例训练】 1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分 条件？ （1）若A= ，则A⊆B； （2）若函数的定义域关于原点对称，则函数是奇函数； （3）若loga5>1，则a>1； （4）若两条直线平行，则两条直线的斜率相等.
【即时训练】已知条件p：x≤1，条件q：1 ＜1，则 p是q的 x
________条件.
【解析】因为p：x≤1，所以 p：x>1.由x>1⇒ 1<1，所以 1
x
x
＜1，即 p⇒q.而 ＜11⇒ x
>x0⇒1 x<0或x>1 x>1，即q x
p.所以 p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
1.下列所给的p，q中，p是q的充分条件的个数是( ) ①p:函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），q：函数f（x）的图 象关于直线x=a对称； ②p：x∈{x|0<x<1}，q：函数f（x）=x2的值域为（0,1）； ③p:已知函数f(x)，f(0)=0，q:函数f(x)是R上的奇函数; ④p：函数f（x）=ax+b，q：函数f（x）为一次函数. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
第一章 1.2 充分条件与必要条件
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二、充分必要条件 一般地，如果既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q .此时，我们说，p 是 q 的充 分必要条件，简称 充分必要条件 ．显然，如果 p 是 q 的充分必要条件，那么 q 也是 p 的充分必要条件．概括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充分必要条件．
答案：必要不充分
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探究一 充分条件、必要条件、充分必要条件的判断 [典例 1] 指出下列各题中，p 是 q 的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不 充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC 中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)对于实数 x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2 或 y≠6； (3)在△ABC 中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知 x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.
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[解析] (1)在△ABC 中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以 p 是 q 的充分必要条件． (2)因为 x＝2 且 y＝6⇒x＋y＝8，即綈 q⇒綈 p，但綈 p 綈 q，所以 p 是 q 的充
分不必要条件． (3)取 A＝120°，B＝30°，p q，又取 A＝30°，B＝120°，q p，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件． (4)因为 p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1 或 y＝2}，A B，所以 p 是 q 的充分 不必要条件．
所以a－2≥－12， a<2
1.2命题及其关系充分条件与必要条件
解答：(1)∵x2＋x＋1＝
，∴命题为真命题．
(2)真命题．
(3)∵α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0， ∴sin(α＋β)＝sin α＋sinβ，∴命题为真命题． (4)∵x＝y＝10时，3x－2y＝10，∴命题为真命题． (5)∵a＝0，b＝1时，ax＋b＝1≠0，∴a＝0，b＝1时，ax＋b＝0无解， ∴命题为假命题．
是s的必要条件．
现有下列命题：
①s是q的充要条件；②p是q的充分条件，而不是必要条件；③r是q的必要条
件， 而不是充分条件；④綈p是綈s的必要条件， 而不是充分条件；⑤r是s的 充分条件，而不是必要条件． 则正确命题的序号是( A．①④⑤ ) C．②③⑤ ，则s⇔q；p D．②④⑤ q；又p s，
B．①②④
1.3
逻辑联结词全称量词与存在量词
（了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义/理解全称量词与存在量词的意 义/能正确地对含有一个量词的命题进行否定 ）
1．命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词． 2．用来判断复合命题的真假的真值表
真 假 假 假
3. 全称量词与存在量词 (1) 常 见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、 “所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”、“ 至少 有一个”、“有些”、“有一 个”、“某个”、“有的”等． (3)全称量词用符号“ ∀ ”表示；存在量词用符号“∃”表示．
) B．綈p：∀x∈R，sin x≥1 D．綈p：∀x∈R，sin x>1
解析：命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题． 答案：C
2．设p、q是两个命题，则复合命题“p∨q为真，p∧q为假”的充要条件是(
A．p、q中至少有一个为真 C．p、q中有且只有一个为真 答案：C B．p、q中至少有一个为假 D．p为真、q为假
第1章1.2 充分条件与必要条件
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 对于 A，x>2 且 y>3⇒x＋y>5，但 x＋y>5 未必能 推出 x>2 且 y>3，如 x＝0 且 y＝6 满足 x＋y>5 但不满足 x>2，故 A 假．
对于 B，A∩B≠∅未必能推出 A B，如 A＝{1，2}，B＝ {2，3}，故 B 为假．
要点 3 充分必要条件 若 A⇔B，则称 A 是 B 的充要条件，同理也称 B 是 A 的充 要条件． 要点 4 “p 是 q 的充要条件”中，p 是条件，q 是2-1
1．命题 A 和 B 的条件关系通常有几类？ 答：四类． (1)A 是 B 的充分不必要条件：A⇒B 且 B⇒/ A. (2)A 是 B 的必要不充分条件：A⇒/ B 且 B⇒A. (3)A 是 B 的充要条件：A⇒B 且 B⇒A. (4)A 是 B 的既不充分也不必要条件：A⇒/ B 且 B⇒/ A.
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(4)若方程 x2－x－m＝0 无实根，则 Δ＝1＋4m<0， 即 m<－14. ∵m<－1⇒m<－14；m<－14⇒m<－1， ∴p 是 q 的充分不必要条件．
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题型二 充分、必要、充要条件及相互关系 例 2 已知 p，q 都是 r 的必要条件，s 是 r 的充分条件，q 是 s 的充分条件，那么 (1)s 是 q 的什么条件？ (2)r 是 q 的什么条件？ (3)p 是 q 的什么条件？
【思路分析】 本题考查充分条件、必要条件、充要条件之间 的关系．
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高中数学选修2-1课件1.2充分条件与必要条件
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的
（Ａ ）条件
A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
练习4、
1.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，
则┐p是┐q的( A )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
请同学们判断下列命题的真假，并 说明条件和结论有什么关系？
• （1）若x＝y，则x2＝y2
• （2）若ab = 0，则a = 0 • （3）若x2>1，则x>1 • （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
推断符号“ ”的含义
• 如果命题“若p则q”为真，则记作p q （或q p）。
如果命题“若p则q”为假，则记作p q （或q p）。
• a= 0
＞ ab=0。
要使结论ab=0成立，只要有条件a =0就足够了， “足够”就是“充分”的意思，因此称a =0是
ab=0的充分条件。另一方面如果ab≠0，也不可
能有a =0，也就是要使a =0，必须具备ab=0的条
件，因此我们称ab=0是a =0的必要条件。
充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立，
例2：指出下列各组命题中，p是q的什么条件， q是p的什么条件：
（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0. （2） p：两条直线平行；q：内错角相等. （3） p：a>b；q：a2>b2 （4） p：四边形的四条边相等；
q：四边形是正四边形.
复习
充分条件，必要条件的定义:
若 p q，则p是q成立的＿充＿分＿＿条件
1.2充分条件与必要条件
【导例】若p ：李璐是茂名人，q ：李璐是
广东人，则p是q什么条件？ 充分不必要
归纳：小范围可推出大范围。
从集合的观点看待充分条件,必要条件
(1)若A B, 则A是B的充分不必要条件
(2)若A B, 则A是B的必要不充分条件
(3)若A B, 则A是B的充要条件; (4)若A B且B A,
[定义2] “若p,则q”为假命题,即由条件p,不能通过推理得
到q成立. 记作：p q
就说p不是q 的充分条件,或q不是p 的必要条件. 说p是q 的非充分条件,或q是p的非必要条件.
1.2 充分条件与必要条件(1)
[例1] 下列“若p，则q”形式的命题中，
哪些命题中的p是q的充分条件?
⑴ 若x=1，则x2-4x+3=0
记作: p q,q p
就说p是q的必要不充分条件. [定义3]一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记 作p⇔q，称p是q的充分必要条件，简称充要条件.
[引申3]一般地，如果 p q,q p ，
称p是q的既不充分也不必要条件。 .
[例3]指出下列各组命题中，p是q 的什么条件? （在① 充分而不必要条件② 必要而不充分条件
P10 3，4
（真）
⑵ 三角若形两的个面三积角相形等全等，则这两个（真）P11思考
⑶ 若a>b，则ac>bc
（假）
所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件 (3)中“a>b ”是“ ac>bc”的非必要条件
记法：箭头的起点是终点的充分条件，箭头 终点是起点的必要条件。
[定义]一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记 作p⇔q，称p是q的充分必要条件，简称充要条件.
1.2充分条件与必要条件
2、若A是B的充要条件，B是C和D的必 要条件，E是D的充分条件，E是A的充要 条件，
充要条件 则E是B的＿＿＿＿＿＿＿条件， E 充分不必要 C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿条件， C 充要 A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿条件， A 必要不充分 D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件. C C A B E D
B A D D
5 、 a＞b
＞ a+c＞b+c； ＞ a=b； 6 、 a2－2ab+b2=0
＞ 它是正方形。
7 、四边相等的四边形
定义：一般地，如果 p ＞ q， 那么我们称p是q的充分条件，q是p的 必要条件。 例如：x＞0 ＞ x2＞0
则“x＞0”是 “x2＞0”的充分条件， “x2＞0”是 “x＞0”的必要条件； ＞ 两个三角形的面积相等 则“两个三角形全等” 是“两个三角形 的面积相等”的充分条件，“两个三角形的 面积相等”是“两个三角形全等”的必要条 件。 两个三角形全等
充分性：若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0有一 个根-1，
【解题回顾】充要条件的证明一般分两步：证 充分性即证A =>B，证必要性即证B=>A一定要 使题目与证明中的叙述一致
P13 B 2
4. 求一元二次方程 2(k 1) x 2 4kx 3k 2 0 有两个负 实根的一个充要条件.
解：要原方程有两个负实根的充要条件为 2( k 1) 0 k 1 0 k 1 2 ≥ 0 2 ≤ k ≤ 1 k k 2 ≤ 0 x1 x2 0 4k 0 k 0或k 1 . 2(k 1) x1 x2 0 2
定义：一般地，
如果既有p
1.2 充分条件与必要条件
充分条件与必要条件预习课本P9～11，思考并完成以下问题1．什么是充分条件、必要条件？2．什么是充要条件？[新知初探]1．充分条件与必要条件2．充要条件(1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的()(2)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件()(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()答案：(1)×(2)√(3)√2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的() A．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C3．“x ＝3”是“x 2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：充分4．“ab >0”是“a >0，b >0”的________条件(填“充分”或“必要”)． 答案：必要充分条件、必要条件、充要条件的判断[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，选A. (2)构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a >b ⇔f (a )>f (b )⇔a |a |>b |b |.选C.[答案] (1)A (2)C充要条件的判断方法判断p 是q 的什么条件，其实质是判断“若p ，则q ”及其逆命题“若q ，则p ”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p 是q 的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p 是q 的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p 是q 的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．[活学活用]指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件．(1)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形；(2)p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解：(1)∵四边形的对角线相等⇒/ 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形⇒/ 四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分也不必要条件．(2)∵(x －1)2＋(y －2)2＝0⇒x ＝1且y ＝2⇒(x －1)·(y －2)＝0， 而(x －1)(y －2)＝0⇒/ (x －1)2＋(y －2)2＝0， ∴p 是q 的充分不必要条件.[典例] 已知p ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若綈p 是綈q 的必要条件，求实数a 的取值范围．[解] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ， 所以p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }． 由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－23，0. [一题多变]1．[变条件]本例中条件“a <0”改为“a >0”，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a >0得a <x <3a ， 所以p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． 由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，所以q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为綈p ⇒綈q ，所以q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥3，a ≤－2，⇒a ∈∅.a >02．[变条件]将“q ：实数x 满足x 2－x －6≤0”改为“q ：实数x 满足x 2＋3x ≤0”其他条件不变，求实数a 的取值范围．解：由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a . 所以p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }． 由x 2＋3x ≤0得－3≤x ≤0，所以q ：－3≤x ≤0，即集合B ＝{x |－3≤x ≤0}． 因为綈q ⇒綈p ，所以p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－3，a ≤0，a <0⇒－1≤a <0.所以a 的取值范围是[－1,0)．充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．充要条件的证明[典例] ac <0. [证明] (1)必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0.(2)充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号， 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q ；若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．[活学活用]已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0. 证明：(1)必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0，又由x >y ，得y －x <0，所以xy >0. (2)充分性：由xy >0及x >y ， 得x xy >y xy ，即1x <1y. 综上所述，1x <1y的充要条件是xy >0.层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当数列{a n }的首项a 1＜0时，若q ＞1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1＜0时，要使数列{a n }为递增数列，则0＜q ＜1，所以“q ＞1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙 丙，如图． 综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|解析：选C对于A，当a＝－b时，a|a|≠b|b|；对于B，注意当a∥b时，a|a|与b|b|可能不相等；对于C，当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时a|a|≠b|b|.综上所述，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是a＝2b.4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选Aφ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是()A．x≥0 B．x2≥－xC．log2(x＋1)>0 D．2x<1解析：选B∵|x|＝x⇔x≥0，∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，∴x≥0或x≤－1.故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A⇒/ B.又因否命题为真，所以逆命题为真，即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但q p，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：(－∞，1)8．下列命题：①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为______________．解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则a1＝21，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．综上可知，真命题是④.答案：④9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要不充分条件．(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，∴p是q的既不充分也不必要条件．(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，∴p是q的必要不充分条件．(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则|c|a2＋b2＝r成立，说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ， 即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切， 故p 是q 的充要条件．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：(1)充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立．于是a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．(2)必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1， ∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p (p －1)p ＋q ，∴q ＝－1.即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.层级二 应试能力达标1．“0<a <b ”是“⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0<a <b 时，⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 成立，所以是充分条件；当⎝⎛⎭⎫13a >⎝⎛⎭⎫13b 时，有a <b ，不能推出0<a <b ，所以不是必要条件，故选A.2．已知直线l ，m ，平面α，且m ⊂α，则( ) A ．“l ⊥α”是“l ⊥m ”的必要条件 B ．“l ⊥m ”是“l ⊥α”的必要条件 C ．l ∥m ⇒l ∥α D ．l ∥α⇒l ∥m解析：选B 很明显l ⊥α⇒l ⊥m ，l ⊥m l ⊥α，l ∥ml ∥α，l ∥αl ∥m ，故选B.3．下列说法正确的是( ) A ．“x >0”是“x >1”的必要条件B ．已知向量m ，n ，则“m ∥n ”是“m ＝n ”的充分条件C ．“a 4>b 4”是“a >b ”的必要条件D ．在△ABC 中，“a >b ”不是“A >B ”的充分条件解析：选A A 中，当x >1时，有x >0，所以A 正确；B 中，当m ∥n 时，m ＝n 不一定成立，所以B 不正确；C 中，当a >b 时，a 4>b 4不一定成立，所以C 不正确；D 中，当a >b 时，有A >B ，所以“a >b ”是“A >B ”的充分条件，所以D 不正确．故选A.4．设p ：12≤x ≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎦⎤0，12 解析：选B ∵q ：a ≤x ≤a ＋1，p 是q 的充分不必要条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故选B.5．已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0(a ∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．解析：方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则方程有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇔1<a ≤2或a ≥10.答案：(1,2]∪[10，＋∞)6．已知“－1<k <m ”是“方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：当方程x 2＋y 2＋kx ＋3y ＋k 2＝0表示圆时， k 2＋3－4k 2>0，解得－1<k <1， 所以－1<m ≤1，即实数m 的取值范围是(－1,1]． 答案：(－1,1]7．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为 A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为 B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}． 依题意p ⇒q ，所以A ⊆B . 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a ≤10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．8．求二次函数y ＝－x 2＋mx －1的图象与两端点为A (0,3)，B (3,0)的线段AB 有两个不同的交点的充要条件．解：线段AB 的方程为x ＋y ＝3，由题意得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3(0≤x ≤3)， ①y ＝－x 2＋mx －1， ②在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x 2－(m ＋1)x ＋4＝0(0≤x ≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f (x )＝x 2－(m ＋1)x ＋4，则二次函数f (x )在x ∈[0,3]上有两个实根，故有：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m ＋1)2－16>0，0<m ＋12<3，f (0)＝4>0，f (3)＝9－3(m ＋1)＋4≥0，解得3<m ≤103，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤3，103.简单的逻辑联结词预习课本P14～17，思考并完成以下问题1．课本提到的简单的逻辑联结词有哪些？2．命题p∧q、p∨q以及綈p的真假是如何确定的？[新知初探]1．逻辑联结词，“且”“或”“非”2．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断[点睛](1)“或”含义的理解对“或”的理解，可联想集合中“并集”的概念，“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的，即“x∈A，且x∉B”，也可以“x∉A，且x∈B”，也可以“x∈A，且x∈B”．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．(2)命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆①对于“p∧q”，简称为“一假即假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；②对于“p∨q”，简称为“一真即真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题()(2)当p是真命题时，“p∨q”为真命题()(3)若綈p为假命题，则p为真命题()答案：(1)×(2)√(3)√2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是()A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“綈p”形式的命题D．以上说法都不对答案：A3．命题“2 016≥2 015”使用的逻辑联结词是________．答案：或4．“p∨q”为真是“p∧q”为真的________条件．(填“充分”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)答案：必要不充分用逻辑联结词联结新命题[典例](1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．綈p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．[活学活用]指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；(2)12能被3或4整除．解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.含有逻辑联结词的命题的真假判断[典例](1)已知命题p：若x>y，则－x<－y：命题q：若x>y，则x22p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④(2)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．綈p∧綈qC．綈p∧q D．p∧綈q[解析](1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.(2)依题意，命题p是真命题．由x>2⇒x>1，而x>1⇒/x>2，因为此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.[答案](1)C(2)D1．命题结构的两种类型及判断方法(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．2．判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；(2)对命题p和q的真假作出判断；(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．[活学活用]分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假． (1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边； (2)1或－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根； (3)A (A ∪B )．解：(1)这个命题是“p ∧q ”的形式，其中p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p 真，q 真，则“p ∧q ”真，所以该命题是真命题．(2)这个命题是“p ∨q ”的形式，其中p ：1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，q ：－1是方程x 2＋3x ＋2＝0的根，因为p 假，q 真，则“p ∨q ”真，所以该命题是真命题．(3)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 真，则“綈p ”假，所以该命题是假命题.[典例] 已知：p ：方程x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．[解] p ：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2.q ：Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3.∵p 或q 为真，p 且q 为假．∴p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.故m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)． [一题多变]1．[变条件]本例中将“p ∨q 为真，p ∧q 为假”改为“p ∧q 为真”，求实数m 的取值范围．解：∵“p ∧q ”为真命题， ∴p 为真且q 为真．p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇔m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根 ⇔Δ＝16(m －2)2－16<0⇔1<m <3. ∴实数m 的取值范围为(2,3)．2．[变条件]本例中将“q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根”改为“q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0有两个不等的实数根”，求实数m 的取值范围．解：p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0⇔m >2.q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0有两个不等的实根 ⇔Δ＝16(m －2)2－16>0 ⇔m >3或m <1.∵p ∨q 为真命题．p ∧q 为假命题， ∴p ，q 为一真一假． ①当p 为真q 为假时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1≤m ≤3，解得，2<m ≤3. ②当p 为假q 为真时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m >3或m <1，解得m <1. 综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．解决此类问题的方法，一般是先假设p ，q 分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p ，q 中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p 与p ，綈q 与q 不能同真同假的特点，先求綈p ，綈q 中参数的范围．层级一 学业水平达标1．“xy ≠0”是指( ) A ．x ≠0且y ≠0 B ．x ≠0或y ≠0 C ．x ，y 至少一个不为0D ．x ，y 不都是0解析：选A xy ≠0是指x ，y 均不能为0，故选A. 2．若命题“p 且q ”为假，且綈p 为假，则( ) A ．p 或q 为假B ．q 假C．q真D．p假解析：选B綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．3．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“綈p”是()A.3∉AB.3∈(∁U A)∩(∁U B)C.3∈∁U BD.3∉(A∩B)解析：选B由p：3∈(A∪B)，可知綈p：3∉(A∪B)，即3∈∁U(A∪B)，而∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，故选B.4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A q⇒綈p等价于p⇒綈q，綈p q等价于綈q p，故p是綈q的充分而不必要条件．5．设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是()A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)解析：选A对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b ∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，p∨(綈q)是假命题，故选A.6．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题是________________，命题的否定是________________________．解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．答案：若a≥b，则2a≥2b若a<b，则2a≥2b7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．故⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈Z.因此，x 的值可以是－1,0,1,2. 答案：{－1,0,1,2}8．已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知綈p ⇒綈q ，但綈q 綈p .由一个命题与它的逆否命题等价，可知q ⇒p 但p q ．又p ：x >1或x <－3，可知{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)若x ∈{x |x <1或x >2}，则x 是不等式(x －1)·(x －2)>0的解．解：(1)“p 且q ”形式的命题，其中p ：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q ：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“p 或q ”形式的命题，其中p ：若x ∈{x |x <1}，则x 是不等式(x －1)(x －2)>0的解，q ：若x ∈{x |x >2}，则x 是不等式(x －1)(x －2)>0的解．10．命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的取值范围：(1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题． 解：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0， 即a >13或a <－1，①乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.②(1)甲、乙至少有一个是真命题，即为a <－12或a >13，∴甲、乙至少有一个是真命题时，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞.(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，当甲假乙真时，－1≤a <－12.∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤13，1.层级二 应试能力达标1．已知p ：x ＋1>2，q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 设集合A ＝{x |x ＋1≤2}＝{x |x ≤1}，B ＝{x |5x －6≤x 2}＝{x |x ≤2或x ≥3}，由于A B ，所以綈p 是綈q 的充分不必要条件，故选A.2．已知p ：函数y ＝sin 12x 的最小正周期是π，q ：函数y ＝tan x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 很明显p 和q 均是假命题，所以綈q 为真，p ∧q 为假，p ∨q 为假，故选C.3．已知命题p ：所有的有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )A ．(綈p )∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D 由题意，得p 是真命题，q 是假命题，所以(綈p )∨q ，p ∧q ，(綈p )∧(綈q )都是假命题，(綈p )∨(綈q )是真命题，故选D.4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A 綈p ：甲没有降落在指定范围；綈q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p 或綈q 发生．5．已知p ：若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋m ，则数列{a n }是等差数列，当綈p 是假命题时，则实数m 的值为________．解析：由于綈p 是假命题，所以p 是真命题．由S n ＝n 2＋m ，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ，n ＝1，2n －1，n >1，所以1＋m ＝2×1－1，解得m ＝0.答案：06．已知p ：点M (1,2)在不等式x －y ＋m <0表示的区域内，q ：直线2x －y ＋m ＝0与直线mx ＋y －1＝0相交，若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：当p 是真命题时，有1－2＋m <0，即m <1； 当q 是真命题时，有2＋m ≠0，，即m ≠－2. 又p ∧q 为真命题，所以p 是真命题且q 是真命题， 所以m <1且m ≠－2，所以实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)． 答案：(－∞，－2)∪(－2,1)7．已知p ：－1<log 2x <2，q ：⎝⎛⎭⎫23x ＋a>1，綈q 是綈p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：由－1<log 2x <2，得12<x <4，所以綈p ：x ≤12或x ≥4，设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12或x ≥4； 由⎝⎛⎭⎫23x ＋a>1，得x ＋a <0，解得x <－a ， 所以綈q ：x ≥－a ， 设集合B ＝{x |x ≥－a }．又綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以B A ， 所以－a ≥4，解得a ≤－4，所以实数a 的取值范围是(－∞，－4]．8．已知命题p ：x 1和x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立；命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解．若p ∧q 是假命题，綈p 也是假命题．求实数a 的取值范围．解：∵p ∧q 是假命题，綈p 是假命题， ∴命题p 是真命题，命题q 是假命题．∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8， ∴当m ＝[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3.由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立，可得a 2－5a －3≥3， ∴a ≥6或a ≤－1，∴当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.① 命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解， ①当a >0时，显然有解； ②当a ＝0时，2x －1>0有解； ③当a <0时，∵ax 2＋2x －1>0有解， ∴Δ＝4＋4a >0， ∴－1<a <0.从而命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解时，a >－1. 又∵命题q 是假命题，∴a ≤－1.②由①②得，所求a 的取值范围为(－∞，－1]．全称量词与存在量词预习课本P21～25，思考并完成以下问题 1．全称量词、全称命题的定义是什么？2．存在量词、特称命题的定义是什么？3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？[新知初探]1．全称量词与全称命题2．存在量词与特称命题(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)；全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)；特称命题的否定是全称命题．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略()(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题()(3)“三角形内角和是180°”是全称命题()答案：(1)×(2)√(3)√2．下列全称命题为真命题的是()A．所有的质数是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥1C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数D ．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5 答案：B3．命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p ：______________.答案：特称命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0全称命题与特称命题[典例] (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1； (4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．[解] (1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题． (5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．[活学活用]用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x 2＋x ＋1>0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数；(3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立； (4)方程3x －2y ＝10有整数解．解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1>0成立． (2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数．(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.全称命题、特称命题的真假判断[典例] (1)(全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3(2)若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,3]B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(－∞，－1)∪[3，＋∞)[解析] (1)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.(2)由题意知∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0， 解得－1≤a ≤3.故选A. [答案] (1)C (2)A(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x 0，使得p (x 0)不成立即可．(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个x 0使p (x 0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．[活学活用]判断下列命题的真假． (1)p ：所有的单位向量都相等； (2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0； (3)p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3≤0.解：(1)p 是全称命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同，虽然有|e 1|＝|e 2|＝1，但e 1≠e 2. (2)p 是全称命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n＝1,2,3，…)．(3)p 是特称命题，是假命题．因为对于綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0是真命题，这是因为x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0恒成立.全称命题与特称命题的否定[典例] (1)>2，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n(2)(浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2[解析] (1)因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n ”，故选C.(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．[答案] (1)C (2)D(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．[活学活用]判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定．。
1.2充分条件和必要条件(新)
P12 T1、T2 、
2 x 2 − 5 x − 3 ≥ 0 成立的一个 1、不等式
充分不必要条件是( )
• A • C x<0 x ∈ {−1,3,5}
0
B x ≥ 0 D x ≤ − 1 或x ≥ 3
a ⋅ b = 0 ⇒a = 0 a = 0 ⇒a ⋅ b = 0
二、新课讲授
p 1、一般地：若p则q为真，记作： ⇒ q 或 q ⇐ p 、一般地： 为真， 则 为真 记作： p 为假， 若p则q为假，记作： ⇒ q 则 为假 记作：
例 如
（1）如果两个三形全等，那么两三角形面 积相等。
两个三形全等
（2）“若 2 = 1 x
2
⇒ 两三角形面积相等
则 x =1 ”为假命题
x =1 ⇒ x =1
练习一 用符号“ 用符号“⇒ ”或“ ⇒
（1）
”填空
x > a 2 + b2
（2）两个角相等 两个角相等
⇒ x > 2ab ⇒ 两个角是对顶角 ⇒ ⇒ ⇒
两个角相等
（3）两个角是对顶角 两个角是对顶角 （4） x ≤ 1
2
2、在 ∆ABC 、 的？
1 中，" A > 30 "是 "sin A > "的 ？ 2
条件
是三个集合， 设A、B、C是三个集合，则 “A ∩ B = A ∩ C "是 " B = C "的 、 、 是三个集合 条件 ； 至少有一个负根的充要条件是？ 方程 ax 2 + 2 x + 1 = 0至少有一个负根的充要条件是？ 它有一正根和一负根的充要条件是？ 它有一正根和一负根的充要条件是？
1.2充分条件与必要条件
第一章 ) (3) (4)
结论 充分不必要条件 必要不充分条件 不充分不必要条件 充分必要条件
定义
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
1．a＞b是a＞|b|的( A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
)
D．既不充分也不必要条件 解析： 出a＞b. 答案： B
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
2．(2011·湖南卷，3)“x＞1”是“|x|＞1”的( A．充分不必要条件 C．充分必要条件 解析： B．必要不充分条件
)
D．既不充分又不必要条件
当 x>1 时 ， |x|>1 ， 即 x>1⇒|x|>1 ， 所 以 “ x>1” 是 ⇒
“|x|>1”的充分条件，排除B，D；当|x|>1时，则x>1或x<－1，所 以不一定会有x<－1，即|x|>1⇒/ x>1，所以“x>1”不是“|x|>1”的 ⇒ 必要条件，故选A. 答案： A
答案： 3或4
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
(12 分)求证：方程 mx2－2x＋3＝0(m≠0)有两个同 1 号且不相等的实根的充要条件是 0<m< . 3
解答本题首先应分清条件和结论，再证明充分性和必要 性．
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
[证明过程]
1 (1)充分性：若 0<m< ，则 ∆＝4－12m>0， 3
q⇒p 而 p q p⇒q 而 q p
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第一章 常用逻辑用语
栏目导引
1.给出下列四组命题： (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等． (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根． (4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．试分 别指出p是q的什么条件．
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P23 互动演练
知识小 1、定义： 结
(1)若p (2)若q q，则p是q的充分条件。（p可能会多余浪费） p,则p是q的必要条件（p可能还不足以使q成立）
(3)若p
q,则p是q的充要条件。（p不多不少，恰到好处）
2、判别步骤： （1）找出p、q； （3）根据定义下结论。 3、判别技巧： （1）简化命题。 （2）否定命题时举反例。 （3）利用等价的逆否命题来判断。
（1）有志者事竟成
p ：少壮不努力；
q ：老大徒伤悲
（2）不入虎穴，焉得虎子 （3）A single spark can start a prairie fire. 星星之火，可以燎原。 （4）名师出高徒
p
q
（答：必要不充分条件）
p
（4）“ a2>b2 ”是“ a>b ”的什么条件？
q
（答：充要条件）
（答：非充分非必要条件）
p
找p、q
q
判断p q，与 q p的真假
根据定义 下结论
第二组题：
（1）下列条件中哪些是a+b>0的充分不必要条件？
① a>0，b>0 ② a<0,b<0 ③ a>0，b<0且|a|>|b|
（２）判断p
q与q
p的真假。
第四组题
1.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必 要条件，q是s的必要条件，那么p是q的什 么条件？ 2.求证：方程x2+ax+1=0(a∈R)的两实根的平 方和大于3的必要条件是︱a︱>√3.
第五组题
探讨下列生活中的常用语本身是否存在 充要关系，如果有请找出。 范例：少壮不努力，老大徒伤悲
”的
结论：
⑴ “ ⑵“
pq
”即 Q
P
x P x Q
则
P、 Q
PQ
，用图 ，
PQ
形可以表示为：
pq
或
”即
x P x Q
P、 Q
x Q x P
且
则
，用图形可以表示为：
.
第三组题
1.命题p：“x>3”是命题q：“︱x-2︱>2”的 条件 2.命题p：“x=1”是命题q：“x2-3x+2=0”的 条件
事例一
音乐欣赏《我是一只鱼》 提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就 无法生存，但只有水，够吗？ 探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”． 判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．
ab 0
练习：
①写出命题“若 x a 2 b 2 ，则 2ab ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判 x 断它们的真假； a ②写出命题“若 ab 0 ，则0 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判 断它们的真假．
问题：能否改变②的条件，使原命题变成真命题？
2013-8-20
事例二：
有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母 亲带女儿去商店买布，母亲问营业员： “要做一件衬衫，应该买多少布料？”营 业员回答：“买三米足够了！”
引导分析：
p:有3米布料 q:做一件衬衫
定义:
1. 若p 2. 若q 3.若p q,则p是q的充分条件. p,则p是q的必要条件. q,则p是q的充要条件.
或说：“q的充分条件是P”
或说：“q的必要条件是P”
例题：
p
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
第一组题：
目的
q
（答：充分不必要条件）
（1）“a>0，b>0”是“ab>0”的什么条件？ （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的什么条件？ （3）在 ABC中，|BC|=|AC|是 A= B的什么条件？
④ a=3,b=-2 ⑤ a>-b
特点：先给多个p，进行选择，通过选择， 感知p的不唯一性。
第二组题
（2）写出x=1的一个必要不充分条 件。 特点：答案不唯一。
思考
能否从集合的角度来理解充分
条
件、必要条件和充要条件？
问题探究：
如果p表示某元素x属于合间的关系理解“ 含义？