[推荐学习]福建省长汀一中连城一中等六校2019届高三数学上学期期中联考试题文

“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考2018—2019
学年第一学期半期考高三（文科）数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)
1、已知集合P {}3|->=x x ，Q {}
043|2≤-+=x x x ，则=Q P （ ） A. ),4[+∞- B. ),3(+∞- C. ]1,3(- D. ]1,4[- 2、已知复数i
i
z 215+-=
（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 3、若],2
[,51sin ππ
θθ∈=
，则θtan 的值为（ ） A ．
126
B ．62-
C ．126
-
D ．6
2
4、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297
5、 函数||2sin 2x y x =的图象可能是 ( )
A
B C D
6、下列关于命题的说法错误．．
的是（ ） A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”； B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件； C. 若命题:,21000n p n N ∃∈>，则:,21000n p n N ⌝∀∈>； D. 命题“(),0,23x
x
x ∃∈-∞<”是假命题.
7、如图在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，D 在边AC 上，且3CD DA =，则 ( ) A
D
A 17312GD A
B A
C =
+ B 11
312GD AB AC =-- C 17312GD AB AC =-+
D 11
312
GD AB AC =-+ 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )
A. 3π
B. C. 12π D. 48π 9、若0a >，0b >且24a b +=，则
1
ab
的最小值为（ ） A ． 12 B ． 2 C. 4 D ．14
10、已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()
1
1f x f x +=
，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()0.5log 2a f =， ()2log 4b f =， ()
0.52c f =，则（ ）
A ． a b c >>
B ． a c b >>
C ． b a c >>
D ． b a c >> 11、已知函数)2
0,0)(sin()(π
ϕωϕω<<>+=x x f ,0)(,1)(21==x f x f ， 若12||x x -的最
小值为
1
2
，且21)21(=f ，则()f x 的单调递增区间为（ ）
A. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢
⎥⎣⎦
B. 15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤
-∈⎢⎥⎣⎦
C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
D. 17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
12、已知
定义域为),0(+∞
，
为
的导函数，且满足)()('
x xf x f -<，则不等
式)4()2()2(2
-->+x f x x f 的解集是( )．
A ． )2,0(
B ． ),2(+∞
C ． )3,2(
D ． ),3(+∞
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。

） 13、已知向量(1,1)a =，(2,3)b =-，若ka b -与→
b 垂直，则实数k 等于
14、实数x ，y 满足390303x y x y y --≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则使得2z y x =-取得最大值是____________
15、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，若对任意的*
n N ∈，1
1()23
n S k +⋅≥
恒成立，则实数k 的取值范围是
16、在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，
若
s i n s i 3s i n c o s 0
B A A B =，且1sin sin 22cos =+
C A B ，则=+c
a b
________
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数， 11a =，公比为q ；等差数列{}n b 中， 31=b ，且{}n b 的前n 项和为n S ， 3327a S +=， 2
2
S q a =． （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足n
n S c 23
=，求{}n c 的前n 项和n T ．
18.（本小题满分12
分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+． （1）当]2
,
0[π
∈x ，求函数)(x f 的值域；
（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满
足(
)26
A f π
-=
，且sin sin B C +=bc 的值．
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且,SA SC SA BD =⊥． （1）求证：SO ⊥平面ABCD ；
（2）设60BAD ︒
∠=，2AB SD ==，P 是侧棱SD 上的一点， 且SB ∥平面APC ，求三棱锥A PCD -的体积．
20.（本小题满分12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47
条规定：机动车行经人行
横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”.
（1） 请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让斑马线”的驾驶员人数y 与月份x 之间
的回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让斑马线”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则
称该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”.试根据（1）中的回归直线方程，判断6月份该十字路口“礼让斑马线”情况是否达到“理想状态”？
（3）若从表中3、4月份分别选取4人和2人，再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查，求抽取的两人恰好来自同一月份的概率.
参考公式：1
1
2
2
2
1
1
()()
ˆ()
n n
i i
i
i
i i n
n
i
i
i i x y nx y x x y y b
x
nx x x ====-⋅-⋅-==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-. 21.（本小题满分12分）已知函数()()2
2
1ln ,,,2
f x x mx
g x mx x m R =-=
+∈令()()()F x f x g x =+.
（1）当1
2
m =
时，求函数()f x 的单调区间及极值； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=+=α
α
sin cos 1.
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且15||=AB ，求直线l 的倾斜角α的值.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数|2||1|)(--+=x x x f 的最大值为t .
（1）求t 的值以及此时的x 的取值范围；
（2）若实数b a ,满足222
-=+t b a ，证明：41222≥+b a
“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考
2018—2019学年第一学期半期考 高三（文科）数学试题参考答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1-5 CDCBD 6-10 CBCAB 11-12 AD
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、13 14、 5- 15、 2[,)9+∞ 16、
2
1 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）解：（1）设数列{}n b 的公差为d
则由已知有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩
⎪⎨⎧==+33
61832722
22
33d q q d d q a s q s a 13-=∴n n a n b n 3= ....................6分 （2）由题意得 2)33(n n s n +=
111))1(1(322323+-=+⋅==∴n n n n s c n n 1
111)111()3
12
1()21
1(+=+-=+-
++-+-=∴n n n n n
T n .........12分 18. 解：（1
）2()2sin cos f x x x x =+-2sin 23x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， ]2
,0[π
∈x ]34,3[32πππ∈+∴x
所以]2,3[)3
2sin(2-∈+π
x ?而)(x f 的?域?]2,3[- ...........6分
（2）
由(
)2sin(2())2sin 26263
A A f A πππ
-=-+==，
又∵A ??角，∴3
A π
=
，由正弦定理可
得2sin a R A =
==
，
sin sin 2b c B C R ++=
=，
?13b c +==，由余弦定理可知，
22222()21
cos 222
b c a b c bc a A bc bc +-+--===，
可求得40bc =． .........12分
19.（1）?明： 底面ABCD 是菱形，∴?角?AC BD ⊥，
又A AC SA SA BD =⋂⊥，，⊥∴BD 平面SAC ，⊂SO 平面SAC ，⊥∴BD SO ， 又
O
SC SA ,=?
AC 中点，,O BD AC AC SO =⋂⊥∴，⊥
∴SO 平面
A B C ． …………………6分
（2）? ,PO SB ?平面APC ，SB ⊂平面SBD ，平面SBD ⋂平面APC PO =，
SB ∴?PO ，在三角形SBD 中，O 是BD 的中点，P ∴是SD 的中点．取OD 的中点E ，?PE ，?PE ?SO ，⊥PE 底面ACD ，且SO PE 2
1
=
， 在直角三角形ADO 中，1,302=∴︒=∠=DO DAO AD ，
在直角三角形SDO 中，，，2
3,32=
∴==PE SO SD 3120sin 222
1
=︒⨯⨯⨯=
ACD S 三角形 2
1
23331=⨯⨯==∴--ACD P PCD A V V 三棱锥三棱锥． …………………12分
20（1）依?意3,100x y ==，
5
5
21
1
1420,55i i
i i i x y
x ====∑∑
5
1
5
2
2
1
5142053100ˆ85559
5i i
i i
i x y x y
b
x
x ==-⋅-⨯⨯∴==
=--⨯-∑∑，ˆˆ124a y bx =-=
∴y ?于x 的?性回?方程?：8124y x =-+. …………………5分 （2）由（1）得：?6x =?，76y =. 807645-=<
故6月??十字路口“??斑??”情??到“理想??”. …………………7分
（3）?3月??取的4位???的分???：1234,,,a a a a ，?4月??取的2位???的分??12,B B ??6人中任抽?人包含以下基本事件：{}12,a a 、{}13,a a 、{}14,a a 、{}11,a B 、{}12,a B 、{}23,a a 、
{}24,a a ， {}21,a B 、{}22,a B 、{}34,a a 、{}31,a B 、{}32,a B 、{}41,a B 、{}42,a B 、{}
12,B B 共15?基本事件，其中??恰好?自同一月?的包含7?基本事件，
∴所求?率7
15
p =
. ………………… 12分
21．（1）解：（1）由?得，()()2
1ln 02
f x x x x =-
>，所以()()'10f x x x x =->.
令()'
0,f x =得1x =.
由()'0,f x >得01x <<，所以()f x 的???增???()0,1， 由()'
0,f
x <得1x >，所以()f x 的??????()1,+∞.
所以函?()()1
=12
f x f =-
极大值，无?小?. …………………4分 （2）法一：令()()()()2
11ln 112
G x F x mx x mx m x =--=-+-+，
所以()()()2'
111
1mx m x G x mx m x x
-+-+=-+-=.
?0m ≤?，因?0x >，所以()'
0G x >，所以()G x 在()0,+∞上是?增函?.
又因?()3
1202
G m =-
+>，所以?于x 的不等式()1G x mx ≤-不能恒成立. ?0m >?，()()()2
'1111m x x mx m x m G x x x ⎛
⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-. 令()'0G x =,得
1
x m
=
， 所以?10,
x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭?，()'0G x >；?1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
?，()'
0G x <，
因此函?()G x 在10,
x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函?，在1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
上是?函?. 故函?()G x 的最大??11
ln 2G m m m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
. 令()1ln 2h m m m =-， 因?()1102h =
>，()1
2ln 204
h =-<， 又因?()h m 在()0,m ∈+∞上是?函?， 所以?2m ≥?，()0h m <，
所以整?m 的最小??2. …………………12分
法二：由()1F x mx ≤-恒成立，知()
()2
2ln 102x x m x x x
++≥
>+恒成立. 令()()()22ln 102x x h x x x x ++=
>+，?()()()()
'
22212ln 2x x x h x x x -++=+. 令()2ln x x x ϕ=+， 因?11
ln 4022
ϕ⎛⎫=-<
⎪⎝⎭，()110ϕ=>，且()x ϕ?增函?. 故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()00x ϕ=，?002ln 0x x +=.
?00x x <<?，()'
0h x >，()h x ?增函?，?0x x >?，()'
0h x <，()h x ??函?，
所以()()0002
max 0002ln 2212x x h x h x x x x ++==
=+.而01,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，所以()0
11,2x ∈， 所以整?m 的最小??2. …………………12分
22解：（Ⅰ）由θρcos 4=得θρρcos 42
=. ∵θρθρρsin ,cos ,222===+y x y x
∴曲?C 的直角坐?方程?()420422
22=+-=-+y x x y x 即. …………5分
（Ⅱ）?⎩⎨
⎧=+=α
αsin cos 1t y t x 代入?的方程化?得03cos 22
=--αt t .
?A ,B ?点??的??分??21,t t ，?⎩⎨⎧-==+3
cos 22121t t t t α
.
∴()1512cos 4422
122121=+=-+=
-=αt t t t t t AB
∴2
3cos ,3cos 42
±
==αα则 ∵[)πα，0∈∴656ππα或=. ………10分
23. 解：（1）依?意，得1(2)3,(1)
()+1(2)21(1,3),(12)(+1)(2)3,(2)x x x f x x x x x x x x ----=-≤-⎧⎪
=--=-∈--<<⎨⎪--=≥⎩
所以3=t ，此?),2[+∞∈x ……………………5分
（2）由2
1
02112222
2
2
≤⇒≥-=⇒=+⇒-=+b b a b a t b a ， 所以4
1
2)2(2422
2
2
2
≥--=+-=+b b b b a ……………………10分 （其他?法酌情?分)。