二次根式和一元一次方程练习

二次根式

一、选择题

1( )．

A B C ． D ．

2( )．

A ．

B

C

D 3．下列运算正确的是( )．

A ．

B ．－

C ．a D

4．已知n n 的最小值是( )．

A ．3

B ．5

C ．15

D ．25

5( )． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D ．9到10之间

6．若x ，y 4y ＝，则xy 的值为( )．

A ．0

B ．

1

2 C ．2 D ．不能确定

7．计算21－，，41－，，…，根据你发现的规律，判断

P 与Q (n 为大于1的整数)的值的大小关系为( )．

A ．P ＜Q

B ．P ＝Q

C ．P ＞Q

D ．与n 的取值有关 二、填空题

80

1

1(

)2

－＋＝__________.

9．已知a ，b 为两个连续的整数，且a b ，则a ＋b ＝__________.

10．比较大小：－－

11．有下列计算：①(m 2)3＝m 621a －，③m 6÷m 2＝m 3，

15，⑤_________．

三、计算题 12．计算：

12－； (2)÷

(3)

；

13．已知2x ＝2y ＝11()()x y y x

＋＋的值．

145x ＋3y 的值．

15．对题目“化简求值：1a ，其中15

a ＝”，甲乙两人的解答不同：

甲的解答是：1

1112495

a a a a a a a ＋－＝－＝.

乙的解答是：111115

a a a a a a ＋－＝＝. 谁的解答是错误的？为什么？

一元二次方程

1．一元二次方程

(1)定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． (2)一元二次方程必须满足的三个条件：①是整式方程，等号两边都是整式，即分母中不含未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.

【例1】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是__________．

①k 2x ＋5k ＋6＝0；②x 2－43x －21＝0；③3x 2＋x 1

－2＝0；④3x 2＋2－2＝0；⑤(3－x )2＝－1；⑥(2x －1)2＝(x －1)(4x ＋3)．

2．一元二次方程的形式

我们把ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式(又叫做标准形式)，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数．例如，在一元二次方程2x －13x ＋11＝0中，2x 是二次项，－13x 是一次项，11是常数项，二次项系数和一次项系数分别为2和－13.

【例2－1】把方程3x (x －1)＝2(x ＋2)＋8化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．

【例2－2】关于x 的方程(m －1)x 2＋(m ＋1)x ＋3m ＋2＝0. (1)当m ＝__________时，为一元一次方程； (2)当m __________时，为一元二次方程．

【练习】已知关于x 的方程

.

(1)m 为何值时，它是一元二次方程？ (2)m 为何值时，它是一元一次方程？

3．一元二次方程的根

(1)定义：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根．例如：x ＝2，x ＝3都是方程x 2－5x ＋6＝0的根．

(2)方程根的定义在解题时的应用

①判断一个值是否是一元二次方程的根． ②求一元二次方程中字母系数的值．

【例3－1】判断x ＝0，x ＝－1，x ＝23

是不是方程2x 2－x ＝3的根． 【例3－2】若2是方程x 2－c ＝0的一个根，则c 的值是( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 4．根据实际情境列出一元二次方程 (1)面积问题

根据图形的面积列方程的等量关系一般为图形的面积公式．①若是矩形的面积问题，只需用未知数表示出矩形的长和宽，即可列出方程；②若是直角三角形的面积问题，只需用未知数表示出三角形的两条直角边，即可列出方程等．

(2)数字问题

解决有关数字的问题，关键是会表示所涉及的数字．常用的数字的表示方法：①三个连续整数，设中间的一个为x ，则前后两个分别为x －1，x ＋1；②三个连续偶数(或奇数)，设中间的一个为x ，则前后两个分别为x －2，x ＋2；③两位数＝十位上的数字×10＋个位上的数字；④三位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字．

【例4】根据题意列出方程：

(1)三个连续奇数的平方和是251，求这三个数．

(2)一个长方形花坛，长20 m ，宽8 m ，在它的四周有等宽的鹅卵石路，形成一个大长方形，其面积是花坛面积的1.8倍，求路的宽度．

一元二次方程的解法（1）

1．直接开平方法解一元二次方程

(1)定义：我们知道，若x 2＝25，则x ＝±，即x ＝±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．

(2)理论依据：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义．由平方根的定义可知，正数有两个平方根，且它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．

(3)用直接开平方法解一元二次方程的基本步骤是：

①将方程转化成(x ＋m )2＝n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数； ②当n ≥0时，两边开平方便可求出它的根；当n ＜0时，方程无实数根． 【例1】用直接开平方法解下列方程：

(1)(x －2)2＝5； (2)81(x －2)2＝16； （3）21

(3y －1)2－8＝0.

2．用直接开平方法解两边都是含有未知数的代数式的平方的一元二次方程

当一元二次方程两边都是含有未知数的代数式的平方的形式时，也可用直接开平方法．

例如，关于x 的方程(ax ＋b )2＝(cx ＋d )2

，直接开平方，得ax ＋b ＝±(cx ＋d )，然后可化为两个一元一次方程进行求解．

【例2】解方程：x 2－6x ＋9＝(5－2x )2. 3．配方法解一元二次方程

(1)定义：先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法．

(2)配方法解一元二次方程的依据：以完全平方公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2与直接开平方法为依据，将方程加以变形，从而获得其解的一种方法，这种方法适合于解任何类型的一元二次方程．