中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义07 不等式(组)(教师版)

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北师大数学中考一轮综合复习方程(组)与不等式(组)

北师大数学中考一轮综合复习方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么bc2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a【典例】例1（2021秋•营口期末）解下列方程：（1）；（2）．例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=−m−22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．（1）求第二个方程的解；（2）求m的值．例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x−b3）＝4x和3x+b4−1−5x8=1有相同的解，求这个解．例4（2021春•绿园区期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：|x﹣5|＝2．解：当x﹣5≥0时，原方程可化为x﹣5＝2，解得x＝7；当x﹣5＜0时，原方程可化为x﹣5＝﹣2，解得x＝3．所以原方程的解是x＝7或x＝3．（1）解方程：|2x+1|＝7．（2）已知关于x的方程|x+3|＝m﹣1．①若方程无解，则m的取值范围是；②若方程只有一个解，则m的值为；③若方程有两个解，则m的取值范围是．例5（2021秋•佳木斯期末）第五中学计划加工一批校服，现有甲、乙两个工厂都想加工这批校服，已知甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件，且单独加工这批服装甲工厂比乙工厂要多用20天．在加工过程中，学校需付甲工厂每天费用80元，需付乙工厂每天费用120元．（1）求这批校服共有多少件；（2）为了尽快完成这批校服，先由甲、乙两个工厂按原生产速度合作一段时间后，甲工厂停工了，而乙工厂每天的生产速度提高25%，乙工厂单独完成剩余部分，且乙工厂的全部工作时间是甲工厂工作时间的2倍还多4天，求乙工厂共加工多少天；（3）经学校研究制定如下方案，方案一：由甲工厂单独完成；方案二：由乙工厂单独完成；方案三：按（2）问的方式完成．请你通过计算帮学校选择一种省钱的加工方案．例6（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折．（1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？【随堂练习】1．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x 的方程x−43=8−x+22的解与方程4x ﹣（3a +1）＝6x +2a ﹣1的解相同，求a 的值．2．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x 的一元一次方程1−x−mx3=0．（1）若该方程的解为x ＝1，求m 的值；（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m 的值．3．（2021秋•鱼台县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x ﹣3|＝2．解：当x ﹣3≥0时，原方程可化为x ﹣3＝2，解得x ＝5；当x ﹣3＜0时，原方程可化为x ﹣3＝﹣2，解得x ＝1．所以原方程的解是x ＝5或x ＝1．（1）解方程：|3x ﹣2|﹣4＝0．（2）解关于x 的方程：|x ﹣2|＝b ．4．（2021秋•牡丹江期末）某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等．（1）求购买每个足球、篮球的单价分别是多少元？（2）由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销．现有两种促销方案可供选择：方案一：买5个篮球赠一个足球．方案二：所购买的商品均打9折．当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用一致？（3）在（2）条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为元．5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．方案一：所有人按全票价的90%购票；方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. （3）<0一元二次方程没有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠21,240)x b ac =-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1（2020秋•合肥期末）用适当的方法解方程（1）2（x +2）2﹣8＝0 （1）2x 2+x −12=0．例2（2021秋•潍坊期中）解下列关于x 的方程：（1）3x 2﹣54＝0；（2）（x ﹣1）（x +2）＝2（x +2）；（3）（x ﹣1）2﹣2（x ﹣1）＝8．例3 （2020秋•兰州期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得x ＝5，所以原方程的解为x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求下列方程：（1）（2x +5）2﹣（2x +5）﹣2＝0；（2）32x ﹣4×3x +3＝0．例4（2021秋•金乡县期中）解方程（x ﹣1）2﹣5（x ﹣1）+4＝0时，我们可以将x ﹣1看成一个整体，设x ﹣1＝y ，则原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4，当y ＝1时，即x ﹣1＝1，解得：x ＝2；当y ＝4时，即x ﹣1＝4，解得：x ＝5，所以原方程的解：x 1＝2，x 2＝5．请利用这种方法求方程（2x +5）2﹣7（2x +5）+12＝0的解．20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x例5（2020秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．例6（2021秋•长安区校级期末）某公司自主研发一款健康的产品﹣﹣燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．（1）求该饮品的售价；（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．【随堂练习】1．（2021秋•江油市期末）解下列一元二次方程：（1）x2+10x+16＝0；（2）x（x+4）＝8x+12．2．（2021秋•博兴县月考）解方程：（1）2x2﹣12x+5＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0（用配方法）．3．（2021秋•呼和浩特期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+2k＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12+x22＝k2+2k，求出k的值．4．（2021秋•振兴区校级月考）华美科技大厦一商户销售一种电子产品，每件进价为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？5．（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1（2021秋•铁岭县期末）解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．例2（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x−3+mxx2−9=3x+3．（1）若该分式方程有增根，则增根为．（2）在（1）的条件下，求出m的值，例3（2021春•平阴县期末）请阅读下面解方程（x2+1）2﹣2（x2+1）﹣3＝0的过程．解：设x2+1＝y，则原方程可变形为y2﹣2y﹣3＝0．解得y1＝3，y2＝﹣1．当y＝3时，x2+1＝3，∴x＝±．当y＝﹣1时，x2+1＝﹣1，x2＝﹣2，此方程无实数解．∴原方程的解为：x1＝，x2＝﹣．我们将上述解方程的方法叫做换元法，请用换元法解方程：（）2﹣2（）﹣8＝0．例4 （2020秋•河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元．（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？例5（2020秋•连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？【随堂练习】1．（2021秋•黔西南州期末）解方程：（1）；（2）．2．（2021秋•攸县期中）已知关于x的方程无解，求m的值．3．（2021秋•庆阳期末）庆阳香包又称“绌绌”，是甘肃庆阳的一种民俗物品．某商店准备用3000元购进A、B两种香包共150个，已知购买A种香包与购买B种香包的费用相同，且A种香包的单价是B种香包单价的2倍．（1）求A、B两种香包的单价各是多少元；（2）若计划用4500元的资金再次购进A、B两种香包共200个，已知A、B两种香包的单价不变，求A，B两种香包各购进多少个．4．（2021秋•铁西区期末）元旦将至，天猫某电商用4400元购入一批玩具盲盒，然后以每个60元的价格出售，很快售完．电商又以9600元的价格再次购入该商品．数量是第一次购入数量的1.6倍，售价每个上调了16元，进价每个也上调了16元．（1）该电商第一次购入的玩具盲盒每个进价是多少元？（2）该电商既要尽快售完第二次购入的玩具盲盒，又要使在这两次销售中获得的总利润不低于4000元．打算将第二次购入的部分盲盒按每个九折出售，最多可将多少个盲盒打折出售？知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1（2021秋•甘州区校级期末）解方程组：（1）；（2）例2（2021•饶平县校级模拟）已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b值．例3（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝2，求实数x，y，m的值．例4（2020秋•太原期末）某景点的门票价格如下表：（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？例5（2020•越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？【随堂练习】1．（2021秋•芗城区校级期中）解下列方程组：（1）；（2）．2．（2021春•沈丘县期末）已知方程组与有相同的解，求m，n的值．3．（2021秋•长丰县月考）已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当方程组的解为时，求a的值．（2）当a＝﹣2时，求方程组的解．（3）小冉同学模仿第（1）问，提出一个新解法：将代入方程x+2y＝a中，即可求出a的值．小冉提出的解法对吗？若对，请完成解答；若不对，请说明理由．4．（2021秋•宝山区校级月考）某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：第一次第二次甲种货车（辆）25乙种货车（辆）36累计运货（吨）1328（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？5．（2021•济宁模拟）某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品件数的2倍比乙商品件数的3倍多20件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（利润＝售价﹣进价）：甲乙进价（元/件） 20 28 售价（元/件）2640（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品的件数分别是多少？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖出后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以同样的进价又购进甲、乙两种商品．其中甲商品件数是第一次的2倍，乙商品的件数不变．甲商品按原价销售，乙商品打折销售．第二次甲、乙两种商品销售完以后获得的利润比第一次获得的利润多560元，则第二次乙商品是按原价打几折销售的？知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜；（2）若＞，＞0则＞（或＞）； a b a c c b a b c ac bc c a cb（3）若＞，＜0则＜（或＜）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案. 7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.a b c ac bc c a cb ax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x【典例】例1（2020秋•肇源县期末）若0＜m ＜1，m 、m 2、1m的大小关系是（）A ．m ＜m 2＜1mB ．m 2＜m ＜1mC ．1m＜m ＜m 2D ．1m＜m 2＜m例2（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上（1）3x +2＞14；（2）1+x 2−2x+13≤1．例3（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式：（1）2x ﹣1＜﹣6；（2）x−12＜4x−53；（3）解不等式组：{x −3(x −2)≥41+2x 3＞x −1，并在数轴上表示它的解集．例4（2020秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？【随堂练习】1．（2020秋•萧山区期中）解下列不等式（1）3x ﹣4≤4+2（x ﹣2）；（2）2+x 3＞2x−15+12．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来． {5x −2＞3(x +1)x−12≤1−1−x 33．（2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？4．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？综合运用1．（2020秋•常熟市期中）若关于x 的方程x+m 3=x −m2与方程3+4x ＝2（3﹣x ）的解互为倒数，求m 的值．2．（2020秋•武都区期末）解方程：（1）x−12=4x 3；（2）5x+13−2x−16=1．3．（2020秋•武汉月考）解不等式组{3−2(x −1)＜3x 1−x−13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．4．（2020秋•白云区期中）已知方程x 2﹣（k +1）x +k ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程．（1）求证：对于任意实数k ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求k 的值及方程的另一个根．5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km 的乡村敬老院．（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：（1）求x，y的值；（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？。

考点07 一元一次不等式(组)及其应用-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点07 一元一次不等式（组）及其应用中考数学中，一元一次不等式（组）的解法及应用时有考察，其中，不等式基本性质和一元一次不等式（组）解法的考察通常是以选择题或填空题的形式出题，还通常难度不大。

而对其简单应用，常会和其他考点（如二元一次方程组、二次函数等）结合考察，此时难度上升，需要小心应对。

对于一元一次不等式中含参数问题，虽然难度系数上升，但是考察几率并不大，复习的时候只需要兼顾即可！一、不等式的基本性质二、一元一次不等式（组）的解法三、求不等式（组）中参数的值或范围四、不等式（组）的应用考向一：不等式的基本性质【易错警示】1．若a ＞b ，则下列不等式中，错误的是（）A ．3a ＞3bB ．﹣＜﹣C ．4a ﹣3＞4b ﹣3D ．ac 2＞bc 2【分析】根据不等式的性质进行一一判断．【解答】解：A 、在不等式a ＞b 的两边同时乘以3，不等式仍成立，即3a ＞3b ，故本选项正确；B 、在不等式a ＞b 的两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即﹣＜﹣，故本选项正确；C 、在不等式a ＞b 的两边同时先乘以4、再减去3，不等式仍成立，4a ﹣3＞4b ﹣3，故本选项正确；D 、当c ＝0时，该不等式不成立，故本选项错误．故选：D ．2．已知x ＜y ，下列式子不成立的是（）A ．x +1＜y +1B ．x ＜y +100C ．﹣2022x ＜﹣2022yD ．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：A 、在不等式x ＝y 的两边同时加上1得x +1＜y +1，原变形成立，故此选项不符合题意；B 、在不等式x ＜y 的两边同时加上100得x +100＜y +100，原变形成立，故此选项不符合题意；C 、在不等式x ＜y的两边同时乘以﹣2022得﹣2022x ＞﹣2022y ，原变形不成立，故此选项符合题意；D 、在不等式x ＜y 的两边同时除以2022得x ＜y ，原变形成立，故此选项不符合题意；故选：C ．3．若x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，求a的取值范围　a＜﹣3　．【分析】根据题意，在不等式x＞y的两边同时乘以（a+3）后不等号改变方向，根据不等式的性质3，得出a+3＜0，解此不等式即可求解．【解答】解：∵x＞y，且（a+3）x＜（a+3）y，∴a+3＜0，则a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．4．已知3x﹣y＝1，且x≤3，则y的取值范围是　y≤8　．【分析】根据3x﹣y＝1求出x＝，根据x≤3得出≤3，再根据不等式的性质求出不等式的解集即可．【解答】解：∵3x﹣y＝1，∴3x＝1+y，∴x＝，∵x≤3，∴≤3，∴1+y≤9，∴y≤8，即y的取值范围是y≤8，故答案为：y≤8．5．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若W＝3a+2b+5c，则W的最大值为　130　．【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．【解答】解：，①+②，得3a+4b+5c＝130，可得出a＝10﹣，c＝20﹣，∵a，b，c为三个非负实数，∴a ＝10﹣≥0，c ＝20﹣≥0，∴0≤b ≤20，∴W ＝3a +2b +5c ＝2b +130﹣4b ＝130﹣2b ，∴当b ＝0时，W ＝130﹣2b 的最大值为130，故答案为：130．考向二：一元一次不等式（组）的解法1. 一元一次不等式的解法2. 一元一次不等式（组）的解法①按照一元一次不等式的解法解出每个不等式的解集②依据数轴取各不等式解集的公共部分一元一次不等式组解法及解集的四种情况无解大大小小则无解1．不等式3（2﹣x）＞x+2的解在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：∵3（2﹣x）＞x+2，∴6﹣3x＞x+2，﹣3x﹣x＞2﹣6，﹣4x＞﹣4，x＜1，故选：C．2．在平面直角坐标系中，点A（a，2）在第二象限内，则a的取值可以是（）A．1B．﹣C．0D．4或﹣4【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵点A（a，2）是第二象限内的点，∴a＜0，四个选项中符合题意的数是，故选：B．3．关于x的方程ax＝2x﹣7的解为负数，则a的取值范围是　a＞2　．【分析】先解方程得到x＝，根据题意得到＜0，所以2﹣a＜0，然后解不等式即可．【解答】解：解方程ax＝2x﹣7的得x＝，∵方程ax＝2x﹣7的解为负数，∴＜0，∴2﹣a＜0，解得a＞2，即a的取值范围为a＞2．故答案为：a＞2．4．已知x＞2是关于x的不等式x﹣3m+1＞0的解集，那么m的值为　1　．【分析】先把m看作常数，求出不等式的解集，再根据不等式解集为x＞2，建立关于m的方程，求解即可．【解答】解：x﹣3m+1＞0x＞3m﹣1，∵x＞2 是关于x的不等式x﹣3m+1＞0 的解集，∴3m﹣1＝2，解得：m＝1，故答案为：1．5．若关于的不等式﹣ax＞bx﹣b（ab≠0）的解集为x＞，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b的解集是　x＞﹣1　．【分析】根据已知不等式的解集，即可确定的值以及a+b的符号，进而求得a＝2b，进一步求得b＜0，从而解不等式即可．【解答】解：移项，得：（a+b）x＜b，根据题意得：a+b＜0且＝，即3b＝a+b，则a＝2b，又a+b＜0，即3b＜0，则b＜0，则关于x的不等式3bx＜ax﹣b化为：3bx＜2bx﹣b，解得x＞﹣1．故答案为：x＞﹣1．6．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．（1）﹣x+19≥2（x+5）；（2）．【分析】（1）先去括号，再移项、合并同类项，把x的系数化为1，再把不等式的解集在数轴上表示出来即可；（2）不等式两边都乘12去分母后，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．【解答】解：（1）﹣x+19≥2（x+5），去括号，得）﹣x+19≥2x+10，移项，得﹣x﹣2x≥10﹣19，合并同类项，得﹣3x≥﹣9，系数化为1，得x≤3．将解集在数轴上表示为：（2），去分母，得3（x+4）﹣12＜4（4x﹣13），去括号，得3x+12﹣12＜16x﹣52，移项，得3x﹣16x＜﹣52﹣12+12，合并同类项，得﹣13x＜﹣52，系数化为1，得x＞4．解集在数轴上表示为：7．关于x的方程5x﹣2k＝6+4k﹣x的解是负数，求字母k的值．【分析】解方程得出x＝k+1，根据方程的解为负数得出关于k的不等式，解之可得．【解答】解：解方程5x﹣2k＝6+4k﹣x得x＝k+1，∵方程的解是负数，∴k+1＜0，∴k＜﹣1．8．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x≥2，故原不等式组的解集是x≥2，其解集在数轴上表示如下：，故选：C．9．对于任意实数x，我们用{x}表示不小于x的最小整数．如：{2.7}＝3，{2022}＝2022，{﹣3.14}＝﹣3，若{2x+3}＝﹣2，则x的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，可得﹣3＜2x+3≤﹣2，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵{2x+3}＝﹣2，∴﹣3＜2x+3≤﹣2，∴﹣6＜2x≤﹣5，∴﹣3＜x≤﹣，故选：D．10．不等式组的解集是　x＜3　．【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤8，解②得：x＜3，∴不等式组的解集为x＜3．故答案为：x＜3．11．解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来：（1）2（x﹣1）+2＜3x；（2）．【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：（1）∵2（x﹣1）+2＜3x，∴2x﹣2+2＜3x，∴2x﹣3x＜2﹣2，∴﹣x＜0，则x＞0，将解集表示在数轴上如下：（2）解不等式3x﹣（x﹣2）≥6，得：x≥2，解不等式x+1＞，得：x＜4，则不等式组的解集为2≤x＜4，将不等式组的解集表示在数轴上如下：考向三：求不等式组中参数的值或范围方法步骤总结：①解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示；②根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间；③由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。

2024年中考数学总复习专题07不等式(组)命题14不等式(组)

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中考命题14 不等式(组)
∴a＝－3，b＝2， ∴(a＋b)2 023＝(－3＋2)2 023＝ (－1)2 023＝－1. 故选 B.
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中考命题14 不等式(组)
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3．[2022 杭州，4，3 分]已知 a，b，c，d 是实数，若
A a>b，c＝d，则( )
∴这 3 个整数解为 2，3，4，∴4<8＋2 a ≤5，解得 0<a≤2.故选 C.
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中考命题14 不等式(组)
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7．[2020 德州，9，4 分]若关于 x 的不等式组
A 2－2 x>2x3－4，的解集是 x<2，则 a 的取值范围是(
)
－3x>－2x－a
A．a≥2 B．a<－2 C．a>2
B －1<x<1，则(a＋b)2 023＝( )
A．0 B．－1
C．1 D．2 023
答案：B 解析：xx－＋a1><2b，，①②
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中考命题14 不等式(组)
解不等式①，得 x>2＋a，解不等式②，得 x<b－1， ∴原不等式组的解集为 2＋a＜x<b－1. ∵不等式组的解集是－1<x<1， ∴2＋a＝－1，b－1＝1，
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中考命题14 不等式(组)
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中考命题14 不等式(组)
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x≥3－2x，① 13．[2021 福建，19，8 分]解不等式组：x－2 1－x－6 3<1Ｗ．②

中考数学总复习考点知识专题练习07 不等式(组)(解析版)

中考数学总复习考点知识专题练习专题07 不等式组一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．（2021·广东中考真题）不等式组23112(2)x x x -≥-⎧⎨-≥-+⎩的解集为（） A ．无解B ．1x ≤C ．1x ≥-D ．11x -≤≤【答案】D【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式2−3x≥−1，得：x≤1，解不等式x−1≥−2（x ＋2），得：x≥−1，则不等式组的解集为−1≤x≤1，故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．（2021·新疆中考真题）不等式组()2222323x x x x ⎧-≤-⎪⎨++>⎪⎩的解集是（）A ．0x 2<≤B ． 0x 6<≤C ． x 0>D ．x 2≤【答案】A【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再取解集的公共部分即可．【详解】解：()2222323x x x x ⎧-≤-⎪⎨++>⎪⎩①② 由①得：242x x -≤-36,x ∴≤2,x ∴≤由②得：3(2)2(3)x x ++＞x ∴＞0,∴不等式组的解集是0 2.x ≤＜故选A ．【点睛】本题考查的是解不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．3．（2021·贵州贵阳市·中考真题）已知a b <，下列式子不一定成立的是（）A ．11a b -<-B ．22a b ->-C ．111122a b +<+D ．ma mb > 【答案】D【分析】根据不等式的性质解答．【详解】解：A 、不等式a ＜b 的两边同时减去1，不等式仍成立，即a−1＜b−1，故本选项不符合题意；B 、不等式a ＜b 的两边同时乘以-2，不等号方向改变，即22a b ->-，故本选项不符合题意；C 、不等式a ＜b 的两边同时乘以12，不等式仍成立，即：1122a b <，再在两边同时加上1，不等式仍成立，即111122a b +<+，故本选项不符合题意； D 、不等式a ＜b 的两边同时乘以m ，当m>0，不等式仍成立，即ma mb <；当m<0，不等号方向改变，即ma mb >；当m=0时，ma mb =；故ma mb >不一定成立，故本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．4．（2021·江苏苏州市·中考真题）不等式213x -≤的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：移项得，2x ≤3+1，合并同类项得，2x ≤4，系数化为1得，x ≤2，在数轴上表示为：故选：C ．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时≥，≤要用实心圆点表示；＜，＞要用空心圆点表示”是解答此题的关键．5．（2021·四川广元市·中考真题）关于x 的不等式0721x m x ->⎧⎨->⎩的整数解只有4个，则m 的取值范围是（）A ．21m -<≤-B ．21m -≤≤-C ．21m -≤<-D ．32m -<≤-【答案】C【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m 的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：3x m x >⎧⎨<⎩，解集为m ＜x ＜3，由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，-1，∴-2≤m<-1，故选：C ．【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到-2≤m<-1是解此题的关键．6．（2021·山东潍坊市·中考真题）若关于x 的不等式组35128x x a -⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则a 的取值范围是（）A ．02a ≤≤B ．02a ≤<C ．02a <≤D ．02a <<【答案】C【分析】先求出不等式组的解集（含有字母a ），利用不等式组有三个整数解，逆推出a 的取值范围即可．【详解】解：解不等式351x -得：2x ≥，解不等式28x a -<得：82a x +<， ∴不等式组的解集为：822a x +≤<， ∵不等式组35128x x a -⎧⎨-<⎩有三个整数解， ∴三个整数解为：2，3，4， ∴8452a +<≤，解得：02a <≤，故选：C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数得出关于a 的不等式组．7．（2021·四川宜宾市·中考真题）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A 型和B 型两种分类垃圾桶，A 型分类垃圾桶500元/个，B 型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B【分析】设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x），然后根据题意列出不等式组，确定不等式组整数解的个数即可．【详解】解：设购买A 型分类垃圾桶x个，则购买B型垃圾桶（6-x）个由题意得：500550631006x xx+-≤⎧⎨≤⎩（），解得4≤x≤6则x可取4、5、6，即有三种不同的购买方式．故答案为B．【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，弄清题意、列出不等式组并确定不等式组的整数解是解答本题的关键．8．（2021·广西中考真题）不等式组1051xx->⎧⎨-≥⎩的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案.【详解】解：解不等式x ﹣1＞0，得：x ＞1，解不等式5﹣x ≥1，得：x ≤4，则不等式组的解集为1＜x ≤4，所以不等式组的整数解有2、3、4这3个，故选：C .【点睛】此题考查求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集得到不等式组的解集是解题的关键.9．（2021·山东聊城市·中考真题）若不等式组11324x x x m+⎧<-⎪⎨⎪<⎩无解，则m 的取值范围为（）A ．2m ≤B ．2m <C ．2m ≥D ．2m >【答案】A【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m 的不等式，解之可得．【详解】解不等式1132x x +<-，得：x ＞8， ∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（2021·四川广安市·中考真题）若m n ＞，下列不等式不一定成立的是（） A ．33m n ++＞B ．33m n ﹣＜﹣C ．33m n >D ．22m n ＞【答案】D【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案．【详解】解：A 、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A 错误；B 、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B 错误；C 、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C 错误；D 、如2223m n m n m n ＝，＝﹣，＞，＜；故D 正确；故选D ．【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是________________.【答案】-114≤a ＜-52【分析】解不等式组求得不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解，进而求出a 的范围．【详解】()2331324x x x x a ①②⎧<-+⎪⎨+>+⎪⎩解不等式①得，x ＞8；解不等式②得，x ＜2-4a ；∴不等式组的解集为8＜x ＜2-4a.∵不等式组有4个整数解，∴12＜2-4a ≤13，∴-114≤a ＜-5212．（2021·四川遂宁市·中考真题）若关于x 的不等式组214322x x x m x--⎧<⎪⎨⎪-≤-⎩有且只有三个整数解，则m 的取值范围是______．【答案】1≤m ＜4【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x ≤23m +，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤23m +＜2，解之可得答案．【详解】解不等式2143x x --<，得：x ＞﹣2，解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤23m+，则不等式组的解集为﹣2＜x≤23m+，∵不等式组有且只有三个整数解，∴1≤23m+＜2，解得：1≤m＜4，故答案为：1≤m＜4．13．（2021·四川绵阳市·中考真题）若不等式52x+＞﹣x﹣72的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．【答案】236≤m≤6【分析】解不等式52x+＞﹣x﹣72得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．【详解】解：解不等式52x+＞﹣x﹣72得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞216mm+-，∵x＞﹣4都能使x＞216mm+-成立，∴﹣4≥216mm+-，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥236，综上所述，m的取值范围是236≤m≤6．故答案为：236≤m≤6．14．（2021·四川攀枝花市·中考真题）世纪公园的门票是每人5元，一次购门票满40张，每张门票可少1元．若少于40人时，一个团队至少要有________人进公园，买40张门反而合算．【答案】33【分析】先求出购买40张票，优惠后需要多少钱，然后再利用5x＞160时，求出买到的张数的取值范围再加上1即可．【详解】解：设x人进公园，若购满40张票则需要：40×（5-1）=40×4=160（元），故5x＞160时，解得：x＞32，∴当有32人时，购买32张票和40张票的价格相同，则再多1人时买40张票较合算；∴32+1=33（人）；则至少要有33人去世纪公园，买40张票反而合算．故答案为：33．15．（2021·宁夏中考真题）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为_____．【答案】6【分析】根据题中给出阅读过《三国演义》的人数，则先代入条件（3）可得出阅读过《西游记》的人数的取值范围，然后再根据条件（1）和（2）再列出两个不等式，得出阅读过《水浒传》的人数的取值范围，即可得出答案.【详解】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b ，（,a b 均为整数）依题意可得：48a b b a >⎧⎪>⎨⎪<⎩且,a b 均为整数可得：47b <<，b ∴最大可以取6；故答案为6.三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，“开心”农场准备用50m 的护栏围成一块靠墙的矩形花园，设矩形花园的长为()a m ，宽为()b m ．（1）当20a =时，求b 的值；（2）受场地条件的限制，a 的取值范围为1826a ≤≤，求b 的取值范围．【答案】（1）b=15；（2）1216b ≤≤【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b 的值；（2）由（1）可得a,b 之间的关系式，用含有b 的式子表示a,再结合1826a ≤≤，列出关于b 的不等式组，接着不等式组即可求出b 的取值范围.【详解】解：（1）由题意，得250a b +=，当20a =时，20250b +=．解得15b =．（2）∵1826a ≤≤，502a b =-，∴5021850226b b -≥⎧⎨-≤⎩解这个不等式组，得1216b ≤≤．答：矩形花园宽的取值范围为1216b ≤≤．【点睛】此题主要考查了列代数式，正确理解题意得出关系式是解题关键．还考查了解不等式组，难度不大.17．（2021·甘肃金昌市·中考真题）解不等式组：3512(21)34x x x x -<+⎧⎨--⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】-2≤x<3，解集在数轴上表示见解析.【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：3512(21)34 x xx x-<+⎧⎨--⎩①②解不等式①，得x<3.解不等式②，得x≥-2.所以原不等式组的解集为-2≤x<3.在数轴上表示如下：【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．18．（2021·贵州贵阳市·中考真题）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？【答案】（1）方程见解析，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；（2）可能是2元或者6元【分析】(1)根据题意列出方程解出答案判断即可;(2)根据题意列出方程得出x 与a 的关系,再由题意中a 的条件即可判断x 的范围,从而得出单价.【详解】解：（1）设单价为6元的钢笔买了x 支，则单价为10元的钢笔买了（100x -）支，根据题意，得610(100)1300378x x +-=-，解得：19.5x =．因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了（2）设笔记本的单价为a 元，根据题意，得610(100)1300378x x a +-+=-，整理，得13942x a =+，因为010a <<，x 随a 的增大而增大，所以19.522x <<，∵x 取整数， ∴20,21x =．当20x 时，420782a =⨯-=，当21x =时，421786a =⨯-=，所以笔记本的单价可能是2元或者6元．【点睛】本题考查方程及不等式的列式和计算,关键在于理解题意找到等量关系.19．（2021·江苏淮安市·中考真题）解不等式31212x x -->．解：去分母，得2(21)31x x ->-．……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A ”或“B ”）A ．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B ．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A ．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．【详解】（1）31212x x --> 去分母，得2(21)31x x ->- 去括号，得4231x x ->-移项，得4312x x ->-+ 合并同类项，得1x >；（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 31212x x -->两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到2(21)31x x ->- 故选：A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．20．（2021·江苏常州市·中考真题）某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．（1）求每千克苹果和每千克梨的售价；（2）如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？【答案】（1）每千克苹果售价8元，每千克梨6千克；（2）最多购买5千克苹果【分析】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意列出x、y的方程组，解之即可；（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由题意列出a的不等式，解之即可解答．【详解】（1）设每千克苹果售价x元，每千克梨y千克，由题意，得：326 222x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：86xy=⎧⎨=⎩，答：每千克苹果售价8元，每千克梨6千克，（2）设购买苹果a千克，则购买梨（15-a）千克，由题意，得：8a+6(15-a)≤100，解得：a≤5，∴a最大值为5，答：最多购买5千克苹果．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答的关键是认真审题，分析相关信息，正确列出方程组和不等式．。

2025年广东省中考数学一轮复习：不等式与不等式组(附答案解析)

第1页（共17页）2025年广东省中考数学一轮复习：不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．不等式x +1≤3的解集在数轴上表示正确的是（）
A ．B
．
C
．D ．
2．已知点P （a +1，2a ﹣3）在第四象限，则a 的取值范围是（）
A ．a ＜﹣1
B ．﹣1＜a ＜32
C ．−32＜a ＜1
D ．a ＞323．不等式组≤23＞−2
的解集在数轴上表示正确的是（）
A
．B ．C ．D ．
4．已知方程3−K4−a =14−，且关于x 的不等式a ＜x ≤b 只有4个整数解，那么b 的取值范围是（）
A ．2＜b ≤3
B ．3＜b ≤4
C ．2≤b ＜3
D ．3≤b ＜45．一元一次不等式组
3+2≥4−54−3＜21的解集为（）A ．x ＞8B ．7≤x ＜8C ．x ≤7D ．x ＜6
6．若关于x 的不等式（a +2020）x ＞a +2020的解为x ＜1，则a 的取值范围是（
）A ．a ＞﹣2020B ．a ＜﹣2020C ．a ＞2020D ．a ＜2020
7．北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品x 件，则能够得到的不等式是（）。

中考数学黄金知识点系列专题：一元一次不等式组、平行线的证明

C．当 c=0 时，若 a b ，则不等式 ac2 bc2 不成立，故本选项正确；
D．在不等式 ac2 bc2 的两边同时除以不为 0 的 c2 ，该不等式仍成立，即 a b ，故本选项错误．
2
故选 C．
考点：不等式的性质．
2.写出一个解为 x 1 的一元一次不等式
．
【答案】 x 1 0 （答案不唯一）.
1
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、不等式的性质
【例 1】（2016 江苏常州第 6 题）若 x＞y，则下列不等式中不一定成立的是（）
A．x+1＞y+1 【答案】D．
B．2x＞2y
xy
C．＞
22
D． x2 y2
【解析】
考点：不等式的性质．
5
整理得：100n+mn≤100m，
故 n≤ 100m ． 100 m
故选：B．【点睛】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，通过解不等式，进而得出 n 的取值．本题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．【举一反三】 1.（2016 内蒙古巴彦淖尔第 18 题）我市为全面推进“十个全覆盖”工作，绿化提质改造工程如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共 600 棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵 100 元，乙种树苗每棵 200 元．（1）若购买两种树苗的总金额为 70000 元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？【答案】（1）购买甲种树苗 500 棵，购买乙种树苗 100 棵；（2）400．【解析】

中考数学不等式和不等式组复习，知识点汇总，典型例题解析！

中考数学不等式和不等式组复习，知识点汇总，典型例题解
析！
中考数学不等式和不等式组复习
知识要点：
知识点1、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

知识点2、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。

知识点3、不等式的解集在数轴上的表示：
（1）x＞a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的右边部分来表示；
（2）x＜a：数轴上表示a的点画成空心圆圈，表示a的点的左边部分来表示；
（3）x≥a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的右边部分来表示；
（4）x≤a：数轴上表示a的点画成实心圆点，表示a的点及表示a的点的左边部分来表示。

2025年湖南中考数学一轮复习考点研析第二章方程(组)与不等式(组)一元一次不等式(组)及其应用

x＜3
(2)不等式②的解集为________;
(3)把不等式组的解集在如图的数轴上表示出来;
解:在数轴上表示不等式组的解集如解图.
1≤x＜3
(4)不等式组的解集为____________;
1,2
(5)不等式组的整数解为________.
解图
解
答
变式2－1
是(
C
－＋3＜5,
(2023·娄底)不等式组ቊ
的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多
可购买这种型号的水基灭火器多少个?
解:设可购买这种型号的水基灭火器x个,则购买这种型
号的干粉灭火器(50－x)个.
根据题意,得540x＋380(50－x)≤21 000,解得x≤12.5.
∵x为整数,∴x的最大值为12.
∴最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
解
1.若a>b,则下列四个选项一定成立的是( A )
A.a＋2>b＋2
B.－3a>－3b

C. ＜
4
4
D.a－1＜b－1
2.(2022·益阳)若x=2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解,则这个不
等式组是( D )
＜1,
A.ቊ
＜－1
＜1,
B.ቊ
> －1
> 1,
C.ቊ
＜－1
> 1,
不等式的解集不等式的解的全体称为不等式的解集
2.不等式的性质
性质
性质1
内容
应用
不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号
b±c
的方向不变,即如果a>b,那么a±c>_______

中考数学不等式组知识点归纳及真题解析

不等式组知识点归纳及真题解析【知识归纳】1．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc c c）；（3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc c c ）. 3．一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是，且不等式的两边都是，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集.5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b <⎧⎨<⎩的解集是，即“小小取小”；x a x b >⎧⎨>⎩的解集是，即“大大取大”； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是，即“大小小大中间找”；x a x b <⎧⎨>⎩的解集是，即“大大小小取不了”. 6．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：；②找：；③设：；④列：；⑤解：；⑥答： . 【知识归纳答案】1．不等式的有关概念：不等号、未知数、未知数、集合、解集、2．不等式的基本性质：（1）、＜（2）＞、＞；（3）＜、＜ 3．一元一次不等式：一个、1，、整式，、ax b >、去括号、合并同类项4．一元一次不等式组：一元一次不等式、公共部分5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：<，、x bx a<<；空集.>；a x b6．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为x；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.真题解析1．若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解：两边都除以3，得x＞﹣y，两边都加y，得x+y＞0，故选：A．2．已知实数a，b满足a+1＞b+1，则下列选项错误的为（）A．a＞b B．a+2＞b+2 C．﹣a＜﹣b D．2a＞3b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+2＞b+2，﹣a＜﹣b．3．关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【考点】C3：不等式的解集．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．【解答】解：≤﹣2，m﹣2x≤﹣6，﹣2x≤﹣m﹣6，x≥m+3，∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，∴m+3=4，解得m=2．故选：D．4．不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B．C．D．【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．【解答】解：∵x＞﹣1，∴在﹣1处是空心圆点且折线向右，∴在2处是空心圆点且折现向左，不等式组的解集在数轴上表示在数轴上表示为：故选B．5．不等式4﹣2x＞0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．【解答】解：移项，得：﹣2x＞﹣4，系数化为1，得：x＜2，故选：D．二．填空题（共5小题）6．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为10元/千克．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1﹣5%），根据题意列出不等式即可．【解答】解：设商家把售价应该定为每千克x元，根据题意得：x（1﹣5%）≥，解得，x≥10，故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克10元．故答案为：10．7．不等式组的解集是4＜x≤5．【考点】CB：解一元一次不等式组．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤5，解不等式②得：x＞4，∴不等式组的解集为4＜x≤5，故答案为：4＜x≤5．8．学完一元一次不等式的解法后，老师布置了如下练习：解不等式：≥7﹣x，并把它的解集在数轴上表示出来．以下是小明的解答过程：第一步：去分母，得15﹣3x≥2（7﹣x），第二步：去括号，得15﹣3x≥14﹣2x，第三步：移项，得﹣3x+2x≥14﹣15，第四步：合并同类项，得﹣x≥﹣1，第五步：系数化为1，得x≥1．第六步：把它的解集在数轴上表示为：请指出从第几步开始出现了错误第五步，你判断的依据是不等式基本性质3（不等式的两边同时乘以或除以一个负数不等号的方向要改变）．【考点】C6：解一元一次不等式；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据不等式的基本性质逐个判断即可．【解答】解：15﹣3x≥2（7﹣x），去括号，得15﹣3x≥14﹣2x，移项，得﹣3x+2x≥14﹣15，合并同类项，得﹣x≥﹣1，系数化为1，得x≤1（不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变）．故答案为：第五步，不等式的基本性质3（不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向要改变）9．不等式1﹣2x≥3的解是x≤﹣1．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】移项，合并菱形，系数化成1即可．【解答】解：1﹣2x≥3，﹣2x≥2，x≤﹣1，故答案为：x≤﹣110．在东安县举办了永州市首届中学生足球比赛，比赛规则是：胜一场积3分，平一场积1分；负一场积0分．某校足球队共比赛11场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于25分，则该校足球队获胜的场次最少是8场．【考点】C9：一元一次不等式的应用．【分析】设该校足球队获胜的场次是x场，根据比赛规则和比赛结果列出不等式并解答．【解答】解：设该校足球队获胜的场次是x场，依题意得：3x+（11﹣x﹣1）≥25，3x+10﹣x≥25，2x≥15，x≥7.5．因为x是正整数，所以x最小值是8，即该校足球队获胜的场次最少是8场．故答案是：8．三．解答题（共10小题）11．已知关于x的不等式＞x﹣1．（1）当m=1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．【考点】C3：不等式的解集．【分析】（1）把m=1代入不等式，求出解集即可；（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．【解答】解：（1）当m=1时，不等式为＞﹣1，去分母得：2﹣x＞x﹣2，解得：x＜2；（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），当m≠﹣1时，不等式有解，当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；当x＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．12．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即可．【解答】解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，合并同类项，得﹣x≤5，两边都除以﹣1，得x≥﹣5．13．对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．14．威丽商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．（1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；（2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B 两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y 元．由售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解就可以了．【解答】解：（1）设每件A种商品售出后所得利润为x元，每件B种商品售出后所得利润为y元．由题意，得，解得：答：每件A种商品售出后所得利润为200元，每件B种商品售出后所得利润为100元．（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得200a+100（34﹣a）≥4000，解得：a≥6答：威丽商场至少需购进6件A种商品．15．某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A，B两种花木共100棵、购进A，B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木棵，根据“B花木的数量不少于A 花木的数量”求得a的范围，再设购买总费用为W，列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据题意，得：，解得：，答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木棵，根据题意，得：100﹣a≥a，解得：a≤50，设购买总费用为W，则W=50a+100=﹣50a+10000，∵W随a的增大而减小，∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．16．小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24．∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，又∵300﹣3x＞0，综上所述，50＜x＜100，150＜3x＜300，∴丙瓷砖单价3x的范围为150＜3x＜300元/m2．17．“春种一粒粟，秋收万颗子”，唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子（去皮后则称为“小米”），被誉为中华民族的哺育作物．我省有着“小杂粮王国”的美誉，谷子作为我省杂粮谷物中的大类，其种植面积已连续三年全国第一．2016年全国谷子种植面积为2000万亩，年总产量为150万吨，我省谷子平均亩产量为160kg，国内其他地区谷子的平均亩产量为60kg，请解答下列问题：（1）求我省2016年谷子的种植面积是多少万亩．（2）2017年，若我省谷子的平均亩产量仍保持160kg不变，要使我省谷子的年总产量不低于52万吨，那么，今年我省至少应再多种植多少万亩的谷子？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）可设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，根据2016年全国谷子年总产量为150万吨列出方程组求解即可；（2）可设我省应种植z万亩的谷子，根据我省谷子的年总产量不低于52万吨列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设我省2016年谷子的种植面积是x万亩，其他地区谷子的种植面积是y万亩，依题意有，解得．答：我省2016年谷子的种植面积是300万亩．（2）设我省应种植z万亩的谷子，依题意有，解得z≥325，325﹣300=25（万亩）．答：今年我省至少应再多种植25万亩的谷子．18．某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动，分别得出等式求出答案；（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300+30，进而得出不等式求出答案．【解答】解：（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，大客车的乘客座位数是y 个，根据题意可得：，解得：，答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，则18a+35（11﹣a）≥300+30，解得：a≤3，符合条件的a最大整数为3，答：租用小客车数量的最大值为3．19．（1）计算：|﹣1|﹣+2sin45°+（）﹣2；（2）解不等式组：．【考点】CB：解一元一次不等式组；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．【分析】（1）原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．（2）分别求得两个不等式的解集，然后取其公共部分即可．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣2+2×+4=﹣1﹣2++4=3；20．解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（1）解不等式①，得x≥1；（2）解不等式②，得x≤3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为1≤x≤3．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集．【解答】解：（1）解不等式①，得：x≥1；（2）解不等式②，得：x≤3；（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为1≤x≤3，故答案为：x≥1，x≤3，1≤x≤3．。

中考数学一轮复习考点不等式与不等式组

2013年中考数学一轮复习考点8：不等式与不等式组考点1：一次不等式（组）的概念考点2：一次不等式（组）的解集考点3：一元一次不等式（组）的解法考点4：一元一次不等式（组）的数学应用1. （2011湖北鄂州，7，3分）若关于x ，y 的二元一次方程组3133x y a x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足2x y +＜，则a 的取值范围为______．考点5：一元一次不等式（组）的实际应用实际应用题1. （2011湖南湘潭市，21，6分）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边长为x 米，求x 的整数解.2. （2011湖南永州，15，3分）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费2.0元，以后每分钟收费1.0元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为5.0元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费4.0元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为（）A ．6.0元B ．7.0元C ．8.0元D ．9.0元3. （2011山东临沂，17，3分）有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg ，每捆材料中20kg ，电梯最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料．4. （2011湖北襄阳，15，3分）我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错（或不答）一题记5-分.小明参加本次竞赛得分要超过100分，他至少要答对道题.5. (2011浙江绍兴，22，12分)筹建中的城南中学需720套担任课桌椅（如图），光明8米厂承担了这项生产任务，该厂生产桌子的必须5人一组，每组每天可生产12张；生产椅子的必须4人一组，每组每天可生产24把.已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务.（1）问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅？（2）先学校筹建组组要求至少提前1天完成这项生产任务，光明厂生产课桌椅的员工增加到84名，试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案.6. （2011浙江温州，23，12分）2011年5月20日是第22个中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如图）．根据信息，解答下列问题．(1)求这份快餐中所含脂肪质量；(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量；(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于．．．85%，求其中所含碳水化．．．合物．．质量的最大值．7. （2011湖南邵阳，22，8分）为庆祝建党90周年，某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛。

2025年中考数学考点分类专题归纳之不等式与不等式组

2025年中考数学考点分类专题归纳不等式与不等式组知识点一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式．2．常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．知识点二、不等式基本性质基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >，并且0c <，那么ac bc <(或a b c c<) 如果a b <，并且0c <，那么ac bc >(或ax b >)不等式的互逆性：如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >．不等式的传递性：如果a b >，b c >，那么a c >．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．知识点三、不等式的解集1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．2．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．3．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．4．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：知识点四、一元一次不等式的解法1．一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b>的形式，其中x是未知数，,a b 是已知数，并且0a≠，这样的不等式叫一元一次不等式．ax b<或ax b>(0a≠)叫做一元一次不等式的标准形式．2．解一元一次不等式：去分母→去括号→移项→合并同类项(化成ax b<或ax b>形式)→系数化一(化成bxa>或bxa<的形式)知识点五、一元一次不等式组的解法1．一元一次不等式组和它的解法一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集2．解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集：②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集注意：①利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点；②若不等式组中各个不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解3．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况有如下四种：1．（2024•广西）若m＞n，则下列不等式正确的是（）A．m﹣2＜n﹣2 B．C．6m＜6n D．﹣8m＞﹣8n2．（2024•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（2024•海南）下列四个不等式组中，解集在数轴上表示如图所示的是（）A．B．C．D．4．（2024•巴彦淖尔）若关于x，y的方程组的解满足x﹣y，则m的最小整数解为（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．05．（2024•济南）关于x的方程3x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（）A．m B．m C．m D．m6．（2024•东莞市）不等式3x﹣1≥x+3的解集是（）A．x≤4 B．x≥4 C．x≤2 D．x≥27．（2024•南充）不等式x+1≥2x﹣1的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．8．（2024•沙坪坝区）若不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0 B．a≤﹣1 C．a＜1 D．a＜﹣19．（2024•荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤710．（2024•毕节市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．11．（2024•益阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．12．（2024•贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥313．（2024•襄阳）不等式组的解集为（）A．x B．x＞1 C．x＜1 D．空集14．（2024•广元）一元一次不等式组的最大整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．215．（2024•娄底）不等式组的最小整数解是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．216．（2024•临沂）不等式组的正整数解的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．217．（2024•泰安）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣518．（2024•眉山）已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a≤1 D．a＜119．（2024•湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是______．20．（2024•本溪）不等式组的解集是________．21．（2024•兰州）不等式组的解集为________.22．（2024•盘锦）不等式组的解集是_______．23．（2024•呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是______．24．（2024•黑龙江）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是_________．25．（2024•攀枝花）关于x的不等式﹣1＜x≤a有3个正整数解，则a的取值范围是_______．26．（2024•沙坪坝区）关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是___．27．（2024•桂林）解不等式x+1，并把它的解集在数轴上表示出来．28．（2024•盐城）解不等式：3x﹣1≥2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．29．（2024•济南）解不等式组：30．（2024•宁夏）解不等式组：31．（2024•怀化）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．32．（2024•永州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．33．（2024•万州区）藏族小伙小游到批发市场购买牛肉，已知牦牛肉和黄牛肉的单价之和为每千克44元，小游准备购买牦牛肉和黄牛肉总共不超过120千克，其中黄牛肉至少购买30千克，牦牛肉的数量不少于黄牛肉的2倍，粗心的小游在做预算时将牦牛肉和黄牛肉的价格弄对换了，结果实际购买两种牛肉的总价比预算多了224元，若牦牛肉、黄牛肉的单价和数量均为整数，则小游实际购买这两种牛肉最多需要花费______元．34．（2024•山西）2024年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为____cm．35．（2024•辽阳）青年志愿者爱心小分队赴山村送温暖，准备为困难村民购买一些米面．已知购买1袋大米、4袋面粉，共需240元；购买2袋大米、1袋面粉，共需165元．（1）求每袋大米和面粉各多少元？（2）如果爱心小分队计划购买这些米面共40袋，总费用不超过2140元，那么至少购买多少袋面粉？36．（2024•广元）某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元（1）求购进甲、乙两种报纸的单价；（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元．销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？37．（2024•锦州）为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共310人参加一次大型公益活动，租用4辆大客车和6辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多15个．（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了40人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆？38．（2024•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．39．（2024•贺州）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？40．（2024•阜新）在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费3000元，且购买一个篮球比购买一个足球多花50元．（1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？（2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过1050元，则最多可购买多少个篮球？41．（2024•资阳）为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？42．（2024•葫芦岛）某爱心企业在政府的支持下投入资金，准备修建一批室外简易的足球场和篮球场，供市民免费使用，修建1个足球场和1个篮球场共需8.5万元，修建2个足球场和4个篮球场共需27万元．（1）求修建一个足球场和一个篮球场各需多少万元？（2）该企业预计修建这样的足球场和篮球场共20个，投入资金不超过90万元，求至少可以修建多少个足球场？43．（2024•苏州）某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机．如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费5900元；如果购买2台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费9400元．（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元？（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机？44．（2024•郴州）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？45．（2024•济宁）“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元A 15 9 57000B 10 16 68000（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？46．（2024•泸州）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？47．（2024•湘潭）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？。

中考数学一轮复习不等式（组）及其应用教案

不等式（组）及其应用教案【课标要求】⒈掌握不等式及其基本性质.⒉掌握一元一次不等式、一元一次不等式组及其解法，用数轴确定解集. ⒊根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），解决简单的问题，解决简单的问题. . 【课时分布】不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要3个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.课时数内容1 不等式的基本性质、不等式（组）的解法 1 不等式（组）的应用1 不等式（组）在实际问题中的应用单元测试与评析【知识回顾】 1、知识脉络2、基础知识不等式的有关概念(1)(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. (2)(2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. (3)(3)不等式的所有的解不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集. (4)(4)求不等式的解集的过程求不等式的解集的过程,叫做解不等式叫做解不等式. . 不等式的基本性质 (1)(1)不等式的性质不等式的性质1不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变不等号的方向不变. . 如果如果>,>,>,那么那么那么+>+,->-. +>+,->-. (2)(2)不等式的性质不等式的性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变不等号的方向不变. . 如果如果>,>,>,并且并且并且>0,>0,>0,那么那么那么>. >. (3)(3)不等式的性质不等式的性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变不等号的方向改变. . 如果如果>,>,>,并且并且并且<0,<0,<0,那么那么那么<. <. 一元一次不等式 (1)(1)只含有一个未知数只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,1,像这样的不像这样的不等式叫做一元一次不等式等式叫做一元一次不等式. .(2)(2)解一元一次不等式与解一元一次方程相类似解一元一次不等式与解一元一次方程相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.1.特别要注意当系数化为特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向必须改变不等号的方向必须改变. .(3)(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:一元一次不等式组(1)(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组. (2)(2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分们的公共部分. .(3)(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下: 若,则①的解集是，如下图： ②的解集是，如下图：③的解集是，如下图： ④无解，如下图：不等式(组)的应用的应用解不等式的应用问题关键是建立不等式模型,会根据题中的不等量关系建立不等式(组),),解决实际应用问题解决实际应用问题解决实际应用问题..具体可以参见“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)解应用题的一般步骤用题的一般步骤. . 3．能力要求例1.1.解下列不等式解下列不等式(组),),并把解集在数轴上表示出来并把解集在数轴上表示出来. (1)(1)≥≥ (2) ≤ ①② 解：解：(1) (1)去分母,得 ≥ 整理整理,,得 ≥ ∴ ≤ 解集在数轴上表示为: (2) 由①得 ≤ 整理得 ≤∴ ≤ 由②得整理得 ∴ 解集在数轴上表示为: ∴ 不等式组的解集为≤例2.2.已知关于、的方程组的解是负数已知关于、的方程组的解是负数,求的取值范围求的取值范围. .【分析】先由方程组求出方程组的解(用含的代数式表示),),再由方程组的解为负数列出再由方程组的解为负数列出不等式组,求的取值范围求的取值范围. . 【解】【解】解方程组得 ∵方程组的解是负数，∴ 即 ∴ ∴【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题的能力【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题的能力..当方程或不等式中含有字母时，一般是先将字母看作已知数进行计算一般是先将字母看作已知数进行计算. .例3.3.现计划把甲种货物现计划把甲种货物1240t 和乙种货物880t 用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元. (1)设运送这批货物的总费用为万元,这列货车挂A 型车厢节,试写出与之间的函数关系式数关系式. . (2)如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35t 和乙种货物15t,15t,每节每节B 型车厢最多可装甲种货物25t 和乙种货物35t,35t,装货时按此要求安排装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数,那么共有几种方案? (3)在(2)(2)的方案中的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用并求出最省费用. . 【分析】题【分析】题(1)(1)(1)中总费用应该是中总费用应该是A 型车厢的费用和B 型车厢的费用的总和型车厢的费用的总和. . 题(2)(2)的要求是的要求是A 型车厢的甲种货物最大装载量与B 型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A 型车厢的乙种货物最大装载量与B 型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨. 【解】【解】 (1) (1) ∵ 用A 型车厢节,则B 型车厢为(40-)(40-)节节,得 (2) 依题意,得 ≥≥解之解之,,得 ≤≤≤≤ ∵取整数， ∴或或∴或或. .∴ 共有三种方案:① 24节A 型车厢和16节B 型车厢; ② 25节A 型车厢和15节B 型车厢; ③ 26节A 型车厢和14节B 型车厢型车厢. .(3) 当时当时,,万元万元; ; 当时当时,,万元; 当时当时,,万元; 故安排方案③,即A 型车厢26节,B 型车厢14节最省,最省费用为26.8万元万元. . 【说明】目前中考越来越注重能力的考查【说明】目前中考越来越注重能力的考查..本题是一道实际生活中的“方案设计问题”，要善于把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决把这类问题转化，抽象为数学问题加以解决. . 例 4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t 运输到外地运输到外地..按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车种大蒜不少于一车. . (1)设用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求与之间的函数关系式,并求自变量的取值范围并求自变量的取值范围. . (2)设此次运输公司的利润为M (单位单位::百元百元),),),求求M 与的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.大蒜规格甲乙丙每辆汽车的满载量/t 8 10 11 运输每吨大蒜获利/百元百元2.22.12【分析】题【分析】题(1)(1)(1)中要全面把握三个条件：共用中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t 100t；每种大蒜不少；每种大蒜不少于一车于一车..由题意可以列出方程和不等式.题(2)(2)中运输公司的利润中运输公司的利润M 是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和. 【解】【解】(1)(1)(1)∵用辆车装运甲种大蒜∵用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜，∴装运丙种大蒜的车辆为(10(10――――――))辆. 根据题意，得――＝100100，，化简，得＝－＋10.∵每种大蒜不少于一车， ∴ ≥1，≥1. 解之得解之得 ≤≤≤≤≤≤. . (2) 根据题意，得M ＝＋＋―― ＝＋－－－＝－＝－∵－∵－∴M 随的增大而减小随的增大而减小. . 又∵≤≤∴当＝时M 有最大值有最大值. . ∴M 最大＝－＝（百元）此时相应的车辆分配方案为：此时相应的车辆分配方案为：用用1辆车装运甲种大蒜,用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜辆车装运丙种大蒜. .【说明】不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力时候，更能反映学生全面思考问题的能力. . 例 5. 我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s 的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s 的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A 、B 两种型号的风力发电机两种型号的风力发电机..根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:日平均风速日发电量A 型发电机 0 ≥36 ≥150B 型发电机≥24≥90根据上面的数据回答： (1)(1)若这个发电场购台若这个发电场购台A 型风力发电机，型风力发电机，则预计这些则预计这些A 型风力发电机一年的发电总量至少为；(2)(2)已知已知A 型风力发电机每台0.3万元万元,,B 型风力发电机每台0.2万元万元..该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元万元,,而建成的风力发电场每年的发【分析】【分析】审题的关键在于将文字与表格中的符号对应起来,如一台A 型发电机一年有60d 的日发电量≥150,150,有有100d 的日发电量≥36,36,则可求出一台则可求出一台A 型发电机的年发电量(最小值).题(2)(2)要求提出符合条件的购机方案要求提出符合条件的购机方案,因此因此,,只要是符合要求的方案均可,实际上购机方案可能不止一套方案可能不止一套. . 【解】【解】(1)12600 (1)12600 (2)设购A 型发电机台，则购B 型发电机－台型发电机－台. . 根据题意，得 ≤≥解之得：≤≤∴可购A 型发电机5台，则购B 型发电机5台；或购A 型发电机6台，则购B型发电机4台.【说明】本题提供的是实际生活中常见的表格，要善于从中找出解题所需要的有效信息，构建相应的数学模型相应的数学模型. . 【复习建议】【复习建议】 1、立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握不等式立足教材，打好基础，查漏补缺，系统复习，熟练掌握不等式((组)的基本知识、基本方法和基本技能和基本技能. .2、多样化题型的适应性训练，重视问题情境的创设和实际问题的解决，强化不等式(组)思想和方法的渗透、总结和方法的渗透、总结..增强学生自觉运用不等式增强学生自觉运用不等式((组)模型解决现实生活中的数学问题的意识和能力能力. .3、注重知识间的联系，将不等式、注重知识间的联系，将不等式((组)知识与函数知识、方程知识与函数知识、方程((组)知识有机结合，强化训练学生综合运用数学知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质生综合运用数学知识的能力，从而把数学知识转化为自身素质. .中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

人教版初中数学中考复习一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题

8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集．解： 1+2（x﹣1）≤3，去括号，得1+2x﹣2≤3．移项、合并同类项，得2x≤4．化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2

中考数学一轮复习专题07不等式组含解析

专题07 不等式（组）考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一不等式的有关概念和性质不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫作不等式.像a≠3这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 【注意】1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系,不旁式表示的是不等关系.2.常用的不等号有“,,,,><≤≥≠”五种.“>”“<”不仅表示左右两边的不等关系,还明确表示左右两边的大小；“≥”“≤”也表示不等关系,前者表示“不小于”(大于或等于）,后者表示“不大于”(小于或等于）；“≠”表示左右两边不相等.3.在不等式a>b 或a<b,a 叫做不等式的左边,b 叫做不等式的右边.4.在列不等式时,一定要注意表示不等关系的关键词. 不等式的解与解集：不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解.不等式的解集：一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.它可以在数轴上直观地表示出来,是数形结合的具体表现.一般来说,不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值. 2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值.3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集,不等式的解集中包括这个不等式的每一个解. 2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右,小于向左,有等号画实心圆点,无等号画空心圆图. 不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式,不等号方向不变,即若a>b,则a+c>b+c,a-c>b-c.基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式,不等号方向不变,即若a>b,c>0,则ac>bc （或ac>bc ）基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式,不等号方向改变,即若a>b,c<0,则ac<bc （或ac <bc ）基本性质4：若a>b,则b<a. 基本性质5：若a>b>c,则a>c.基本性质6：如果a b >,c d >,那么a c b d +>+. 【注意】1、根据不等式的性质,可以将一个不等式变形,尤其要注意性质2和性质3的区别,当不等式两边乘（或除以）同一个负数时,不等号的方向要改变.2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向. 不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子不同点：1、对于等式两边,乘（或除）以同一个正数（或负数）,结果依然成立2、对于不等式两边,乘（或除）以同一个正数,不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数,不等号方向发生改变；解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式. 【典型例题】1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中,是一元一次不等式的是（） A ．x <y B ．220a b +>C ．11x> D ．34x -403<【答案】D 【详解】A 、是二元一次不等式,故错误；B 、是二元二次不等式,故选项错误C 、含有分式,不是一元一次不等式,故选项错误；D 、是一元一次不等式, 故选D.2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中,是一元一次不等式的有（） ①5x <,②(5)5x x -<,③15x <,④25x y y +<+,⑤25a -<,⑥3y x ≤ A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A 【详解】①5x <是一元一次不等式；②(5)5x x -<是一元二次不等式；③15x<是分式；④25x y y +<+是二元一次不等式；⑤25a -<是一元一次不等式；⑥3yx ≤是二元一次不等式,故正确的有两个故选A. 【考查题型】考查题型一不等式性质的应用1．（2019·四川中考真题）若m n ＞,下列不等式不一定成立的是（） A ．33m n ++＞ B ．33m n ﹣＜﹣C ．33m n> D ．22m n ＞【答案】D 【详解】解：A 、不等式的两边都加3,不等号的方向不变,故A 错误； B 、不等式的两边都乘以﹣3,不等号的方向改变,故B 错误； C 、不等式的两边都除以3,不等号的方向不变,故C 错误； D 、如2223m n m n m n ＝，＝﹣，＞，＜；故D 正确；故选：D ．2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数a,b,c,d,若a>b,c>d,则（） A ．a+c>b+d B ．a-c>b-d C ．ac>bd D ．a b c d> 【答案】A 【详解】A. ∵a>b,c>d,∴a+c>b+d,正确；B.如a=3,b=1,c=2,d=-5时, a-c=1,b-d =6,此时a-c<b-d,故不正确；C. 如a=3,b=1,c=-2,d=-5时, ac=-6,bd =-5,此时ac<bd,故不正确；D. 如a=4,b=2,c=-1,d=-2时,4a c =-,1b d =-,此时a bc d< ,故不正确；故选A.3．（2019·上海中考真题）如果m ﹥n ,那么下列结论错误的是（） A ．m ＋2﹥n ＋2 B ．m －2﹥n －2 C ．2m ﹥2n D ．－2m ﹥－2n【答案】D 【详解】A. 两边都加2,不等号的方向不变,故A 正确；B. 两边都减2,不等号的方向不变,故B 正确；C. 两边都乘以2,不等号的方向不变,故C 正确；D. 两边都乘以-2,不等号的方向改变,故D 错误；故选D.4．（2019·江苏中考真题）实数a 、b 、c 满足a ＞b 且ac ＜bc,它们在数轴上的对应点的位置可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【详解】解：因为a ＞b 且ac ＜bc, 所以c ＜0．选项A 符合a ＞b,c ＜0条件,故满足条件的对应点位置可以是A ．选项B 不满足a ＞b,选项C 、D 不满足c ＜0,故满足条件的对应点位置不可以是B 、C 、D ．故选：A ．知识点二解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：0ax b +<或()00ax b a +>≠. 例如,13x +>,402y ->是一元一次不等式,而0x y ->,253x x+≥不是一元一次不等式. 一元一次不等式的解集的表示方法：表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示. 下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：【注意】1、用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点,定方向.2、若符号为“>或<”时,边界点为空心,若符号为“≥或≤”,边界点为实心.3、定方向时要注意“小于向左,大于向右”. 解一元一次不等式的一般步骤：① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：【典型例题】1．（2018·广东中考模拟）不等式2x－5≥－1的解集在数轴上表示正确的是（）. A．B．C ．D．【答案】B【解析】解：不等式2x-5≥-1的解集为x≥2．故选B．2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集,其中正确的是（）A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2【答案】D【详解】解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸,且表示-2的点是空心圆点∴x＞-2故选：D．3．（2019·河北初一期末）已知2a+3x=6,要使x是负数,则a的取值范围是（）A．a>3B．a<3C．a<−3D．−3<a<3【答案】A【详解】 ∵2a +3x =6 ∴x=6−2a 3∵x 是负数, ∴6−2a 3＜0解得a >3 故选A.【考查题型汇总】考查题型二求一元一次不等式的特解的方法1．（2019·江苏中考真题）不等式12x -≤的非负整数解有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【详解】解：12x -≤, 解得：3x ≤,则不等式12x -≤的非负整数解有：0,1,2,3共4个．故选：D ．2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式3（x ﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】解不等式得：3x ﹣3≤5﹣x,4x≤8,x≤2,所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个,故答案选C ． 3．（2017·广东中考模拟）如图,直线y x m =-+与()40y nx n n =+≠的交点的横坐标为2-,则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为（）.A ．1-B ．5-C ．4-D ．3-【答案】D 【详解】当0y =时,对于()40ynx n n =+≠,则4x =-．故40nx n +>的解集为4x >-．y x m =-+与()40y nx n n =+≠的交点的横坐标为2-,观察图象可知4x m nx n -+>+的解集为2x <-．40x m nx n ∴-+>+>的解集为42x -<<-．x 为整数,3x ∴=-．4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式3122x ->-的最小整数解是__．【答案】0 【详解】解3x 122->-的解集为x ＞-1, ∴最小整数解为0考查题型三确定不等式中字母的取值范围的方法1．（2019·黑龙江中考真题）已知x =4是不等式ax -3a -1＜0的解,x =2不是不等式ax -3a -1＜0的解,则实数a 的取值范围是____．【答案】a ≤-1. 【详解】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解, ∴4a-3a-1＜0, 解得：a ＜1,∵x=2不是这个不等式的解,∴2a-3a-1≥0, 解得：a≤-1, ∴a≤-1,故答案为：a≤-1．2．（2019·四川中考真题）关于x 的不等式21x a +≤只有2个正整数解,则a 的取值范围为（） A ．53a -<<- B ．53a -≤<-C ．53a -<≤-D ．53a -≤≤-【答案】C 【详解】解：解不等式2x+a≤1得：12ax-, 不等式有两个正整数解,一定是1和2, 根据题意得：1232a-< 解得：-5＜a≤-3．故选：C ．3．（2012·江苏中考模拟）已知关于x 的不等式x≥a -1的解集如图所示,则a 的值为__.【答案】0 【解析】由图可得1x ≥-,∴11a -=-,0a =考查题型四确定一元一次不等式中待定字母的值的方法 1．（2019·河南中考模拟）若不等式组130x a bx ->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1,则a ＝_____,b ＝_____．【答案】-2 -3 【详解】解：由题意得：130x a bx ->⎧⎨+≥⎩①②解不等式 ①得: x>1+a , 解不等式②得:x≤3b-不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.知识点三解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念：一般地,几个一元一次不等式解集的公共部分,叫做它们所组成的不等式组的解集.不等式组解集的确定方法：【注意】1、在求不等式组的解集的过程中,通常是利用数轴来确定不等式组的解集的.2、利用数轴表示不等式组解集时,要把几个不等式的解集都表示出来,不能仅画公共部分.解一元一次不等式组的一般步骤：1.求出不等式组中各不等式的解集2.将各不等式的解决在数轴上表示出来.3.在数轴上找出各不等式解集的公共部分,这个公共部分就是不等式组的解集.【考查题型汇总】考查题型五一元一次不等式组的解集的确定方法1．（2018·湖南中考真题）不等式组20240x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】解不等式x+2＞0,得：x ＞-2,解不等式2x-4≤0,得：x≤2,则不等式组的解集为-2＜x≤2,将解集表示在数轴上如下：故选C ．2．（2019·山东中考模拟）一元一次不等式组201103x x -≤⎧⎪⎨+>⎪⎩的解集在数轴上表示出来,正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】详解：解不等式组201103x x -≤⎧⎪⎨>⎪⎩＋得－3＜x ≤2,在数轴上表示为：故选D .3．（2019·江苏中考模拟）下列四个不等式组中,解集在数轴上表示如图所示的是（）A ．23x x ≥⎧⎨>-⎩B ．23x x ≤⎧⎨<-⎩C ．23x x ≥⎧⎨<-⎩D ．23x x ≤⎧⎨>-⎩ 【答案】D【详解】由解集在数轴上的表示可知,该不等式组为23x x ≤⎧⎨-⎩, 故选D ． 4．（2019·广东中考模拟）不等式组213312x x +⎧⎨+≥-⎩＜的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】 213312x x +⎧⎨+≥-⎩＜①② ∵解不等式①得：x ＜1,解不等式②得：x≥-1,∴不等式组的解集为-1≤x＜1,在数轴上表示为：,故选A ．考查题型六求一元一次不等式组的整数解的方法1．（2019·台湾中考真题）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼,如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕,花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事,每人至少能拿到一个蛋糕,则阿慧花多少元购买蛋糕？（）A ．2150B ．2250C ．2300D ．2450【答案】D【详解】解：设阿慧购买x 盒桂圆蛋糕,则购买()10x -盒金爽蛋糕,依题意有()()3502001025001261075x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≥⎪⎩, 解得112323x ≤≤, x 是整数,3x ∴=,()3503200103⨯+⨯-10501400=+2450=（元）．答：阿慧花2450元购买蛋糕．故选：D ．2．（2019·四川中考真题）红星商店计划用不超过4200元的资金,购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件,据市场行情,销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元,两种商品均售完．若所获利润大于750元,则该店进货方案有( )A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【答案】C【详解】解：设该店购进甲种商品x 件,则购进乙种商品()50x -件, 根据题意,得：()()60100504200102050750x x x x ⎧+-≤⎪⎨+->⎪⎩,解得：2025x ≤<,∵x 为整数,∴20x 、21、22、23、24,∴该店进货方案有5种,故选：C ．3．（2019·浙江中考模拟）如图,等腰三角形 ABC 的周长为 20cm ,底边 BC 长为 y （cm ）,腰 AB 长为 x （cm ）.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）求 x 的取值范围；（3）腰长 AB=3 时,底边的长．【答案】（1）y ＝20﹣2x ；（2）5＜x ＜10；（3）14．【详解】（1）∵等腰三角形的腰长为 x ,底边长为 y ,周长为 20,∴y ＝20﹣2x ,（2）{2x >20−2x 20−2x >0, 解得：5＜x ＜10．所以x 的取值范围为5＜x ＜10.（3）将x =3代入y ＝20﹣2x 得y =14,所以底边的长为14.考查题型七求一元一次方程组中的待定字母的值1．（2017·内蒙古中考模拟）若不等式组{2x −a <1x −2b >3的解集为﹣1＜x ＜1,那么(a +1)(b ﹣1)的值等于_____．【答案】4【解析】先解不等式组,再对照已知解集−1<x <1,即可求出a 、b 的值．解不等式组,得x <a+12,且x >3+2b 对照已知解集−1<x <1有{a +12=13+2b =−1解得{a =1b =−2∴(a +1)(b −1)=(1+1)(−1−2)=−6 2．（2012·四川中考真题）如果关于x 的不等式组：{3x -a ≥02x -b ≤0,的整数解仅有1,2,那么适合这个不等式组的整数a,b 组成的有序数对（a,b ）共有___________个．【答案】6【详解】{3x -a ≥0①2x -b ≤0②,由①得：x ≥a 3；由②得：x ≤b 2 ．∵不等式组有解,∴不等式组的解集为：a 3≤x ≤b 2 ．∵不等式组整数解仅有1,2,如图所示：,∴0＜a 3≤1,2≤b 2 ＜3,解得：0＜a≤3,4≤b＜6．∴a=1,2,3,b=4,5．∴整数a,b 组成的有序数对（a,b ）共有3×2=6个．3．（2018·四川中考真题）若不等式组{x −a >2b −2x >0的解集为11x -<<,则(a +b)2009=________.【答案】-1【解析】由不等式得x ＞a+2,x ＜12b,∵-1＜x ＜1,∴a+2=-1,12b =1∴a=-3,b=2,∴（a+b ）2009=（-1）2009=-1．故答案为-1．考查题型八求一元一次方程组中的待定字母的取值范围1．（2018·山东省寿光世纪学校中考模拟）若不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是 x ＞3,则m 的取值范围是（）.A ．m ＞3B ．m≥3C ．m≤3D ．m ＜3 【答案】C【解析】详解：841x x x m +<-⎧⎨>⎩①②, 解①得,x>3；解②得,x>m,∵不等式组841x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是x>3, 则m ⩽3.故选：C.2．（2019·四川中考真题）若关于x 的代等式组10233544(1)3x x x a x a+⎧+>⎪⎨⎪++>++⎩恰有三个整数解,则a 的取值范围是（）A ．312a <B ．312a <C ．312a << D ．1a 或32a > 【答案】B【详解】解不等式1023x x ++>,得：25x >-, 解不等式()254413x a x a ++>++,得：2x a <,∵不等式组恰有三个整数解,∴这三个整数解为0、1、2,∴223a <≤,解得312a <≤,故选：B ．3.若关于x 的一元一次不等式组x 2m<0x m>2-⎧⎨+⎩有解,则m 的取值范围为 A ．2m>3- B ．2m 3≤ C ．2m>3 D ．2m 3≤- 【答案】C【详解】解x 2m<0x<2m x m>2x>2m -⎧⎧⇒⎨⎨+-⎩⎩, ∵不等式组有解,∴2m ＞2﹣m. ∴2m>3.故选C. 知识点四列一元一次不等式（组）解应用题列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审：认真审题,分清已知量、未知量及其关系,找出题中不等关系,要抓住题设中的关键“字眼”,如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等.（2）设：设出适当的未知数,并用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量.（3）列：根据题中的不等关系,列出不等式.（4）解：解出所列不等式的解集.（5）验：检验答案是否符合题意.（6）答：写出答案.在以上步骤中,审题是基础,根据题意找出不等关系是关键,而根据不等关系列出不等式又是解题难点.以上过程可简单表述为: −−−→−−−→分析求解抽象检验问题不等式解答. 【考查题型汇总】考查题型九利用一元一次不等式（组）解决实际问题的方法1．（2019·湖北中考真题）某县有A 、B 两个大型蔬菜基地,共有蔬菜700吨.若将A 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B 基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同.从A 、B 两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表:（1）求A 、B 两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？（2）现甲市需要蔬菜260吨,乙市需要蔬菜440吨.设从A 基地运送m 吨蔬菜到甲市,请问怎样调运可使总运费最少？【答案】（1）A 、B 两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨；（2）当A 基地运300吨到乙市,B 基地运260吨到甲市,B 基地运140吨到乙市时,总运费最少为14760元.【详解】（1）设A 、B 两基地的蔬菜总量分别为x 吨、y 吨.根据题意得：7002015x y x y +=⎧⎨=⎩解得：300400x y =⎧⎨=⎩, 答：A 、B 两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨.（2）由题可知：026003000400(260)0m m m m ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪--≥⎩ ∴0260m ≤≤∵()2025(300)15(260)24400260w m m m m ⎡⎤=+-+-+--⎣⎦414760m =+.∵4>0,∴w 随m 的增大而增大,∴min w =14760.答：当A 基地运300吨到乙市,B 基地运260吨到甲市,B 基地运140吨到乙市时,总运费最少为14760元.2．（2019·辽宁中考模拟）某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍,用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．（1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本,且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元,那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？【答案】（1）乙图书每本价格为20元,则甲图书每本价格是50元；（2）该图书馆最多可以购买28本乙图书．【详解】解：（1）设乙图书每本价格为x 元,则甲图书每本价格是2.5x 元, 根据题意可得：800800242.5x x-=, 解得：20x =,经检验得：20x =是原方程的根,则2.550x =,答：乙图书每本价格为20元,则甲图书每本价格是50元；（2）设购买甲图书本数为x ,则购买乙图书的本数为：28x +,故()5020281060x x ++,解得：10x ,故2828x +,答：该图书馆最多可以购买28本乙图书．考查题型十一方程组与不等式组相结合解决实际问题1．（2018·山东中考模拟）今年3月12日植树节期间,学校预购进A,B 两种树苗．若购进A 种树苗3棵,B 种树苗5棵,需2100元；若购进A 种树苗4棵,B 种树苗10棵,需3800元．(1)求购进A,B 两种树苗的单价；(2)若该学校准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵,求A 种树苗至少需购进多少棵．【答案】（1）A 种树苗的单价为200元,B 种树苗的单价为300元；（2）10棵【解析】（1）设B 种树苗的单价为x 元,则A 种树苗的单价为y 元,可得：{3y +5x =21004y +10x =3800, 解得：{x =300y =200, 答：A 种树苗的单价为200元,B 种树苗的单价为300元.（2）设购买A 种树苗a 棵,则B 种树苗为（30﹣a ）棵,可得：200a+300（30﹣a ）≤8000,解得：a≥10,答：A 种树苗至少需购进10棵．2．（2019·湖南中考模拟）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元？【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．【解析】（1）设第一批悠悠球每套的进价是x 元,则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元,根据题意得：9005001.55x x=⨯+, 解得：x=25,经检验,x=25是原分式方程的解．答：第一批悠悠球每套的进价是25元．（2）设每套悠悠球的售价为y 元,根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%,解得：y≥35．答：每套悠悠球的售价至少是35元．考查题型十二利用不等式计算获利问题1．（2014·四川中考真题）某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台,空调的采购单价y 1（元/台）与采购数量x 1（台）满足y 1=﹣20x 1+1500（0＜x 1≤20,x 1为整数）；冰箱的采购单价y 2（元/台）与采购数量x 2（台）满足y 2=﹣10x 2+1300（0＜x 2≤20,x 2为整数）．（1）经商家与厂家协商,采购空调的数量不少于冰箱数量的,且空调采购单价不低于1200元,问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱,且全部售完．在（1）的条件下,问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．【答案】（1）5 （2）采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元．【解析】（1）设空调的采购数量为x 台,则冰箱的采购数量为（20﹣x ）台,由题意得,,解不等式①得,x≥11,解不等式②得,x≤15,所以,不等式组的解集是11≤x≤15,∵x为正整数,∴x可取的值为11、12、13、14、15,所以,该商家共有5种进货方案；（2）设总利润为W元,y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100,则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2,=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x）,=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000,=30x2﹣540x+12000,=30（x﹣9）2+9570,当x＞9时,W随x的增大而增大,∵11≤x≤15,∴当x=15时,W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元）,答：采购空调15台时,获得总利润最大,最大利润值为10650元．2．（2018·四川中考模拟）宜兴某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72000元．【解析】(1)、根据题中条件销售价每降低10元,月销售量就可多售出50台,则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式：y=200+50×400−x 10,化简得：y=-5x+2200；(2)、根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台, 则x≥300且−5x+2200≥450解得：300≤x≤350．所以y 与x 之间的函数关系式为：y=-5x+2200（300≤x≤350）；(3)、W=（x-200）（-5x+2200）, 整理得：W=-5(x −320)2+72000．∵x=320在300≤x≤350内, ∴当x=320时,最大值为72000,即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w 最大,最大利润是72000元．3．（2018·山东中考模拟）今年义乌市准备争创全国卫生城市,某小区积极响应,决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱,若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元,且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱,如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个,且费用不超过10000元,请你列举出所有购买方案,并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？【答案】（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）答案见解析【详解】（1）设温情提示牌的单价为x 元,则垃圾箱的单价为3x 元,根据题意得,2x +3×3x =550,∴x =50,经检验,符合题意,∴3x =150元,即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温情提示牌y 个（y 为正整数）,则垃圾箱为（100﹣y ）个, 根据题意得,意,()100485015010010000.y y y -≥⎧⎨+-≤⎩∴5052y ≤≤，∵y 为正整数,∴y 为50,51,52,共3中方案；有三种方案：①温馨提示牌50个,垃圾箱50个,②温馨提示牌51个,垃圾箱49个,③温馨提示牌52个,垃圾箱48个,设总费用为w 元W=50y +150（100﹣y ）=﹣100y +15000,∵k=-1000<,∴w 随y 的增大而减小∴当y =52时,所需资金最少,最少是9800元．考查题型十三运用一元一次不等式组进行方案设计1．（2018·河南中考模拟）某校计划购买篮球、排球共20个．购买2个篮球,3个排球,共需花费190元；购买3个篮球的费用与购买5个排球的费用相同．（1）篮球和排球的单价各是多少元？（2）若购买篮球不少于8个,所需费用总额不超过800元．请你求出满足要求的所有购买方案,并直接写出其中最省钱的购买方案．【答案】（1）篮球每个50元,排球每个30元. （2）满足题意的方案有三种：①购买篮球8个,排球12个；②购买篮球9,排球11个；③购买篮球10个,排球10个；方案①最省钱【解析】解：（1）设篮球每个x 元,排球每个y 元,依题意,得：2319035x y x y+=⎧⎨=⎩ 解得5030x y =⎧⎨=⎩：．答：篮球每个50元,排球每个30元．（2）设购买篮球m 个,则购买排球（20-m ）个,依题意,得：50m +30（20-m ）≤800．解得：m ≤10．又∵m ≥8,∴8≤m ≤10．∵篮球的个数必须为整数,∴m 只能取8、9、10．∴满足题意的方案有三种：①购买篮球8个,排球12个,费用为760元；②购买篮球9,排球11个,费用为780元；③购买篮球10个,排球10个,费用为800元．以上三个方案中,方案①最省钱．2．（2019·广西中考模拟）某文化商店计划同时购进A、B两种仪器,若购进A种仪器2台和B种仪器3台,共需要资金1700元；若购进A种仪器3台,B种仪器1台,共需要资金1500元．（1）求A、B两种型号的仪器每台进价各是多少元？（2）已知A种仪器的售价为760元/台,B种仪器的售价为540元/台．该经销商决定在成本不超过30000元的前提下购进A、B两种仪器,若B种仪器是A种仪器的3倍还多10台,那么要使总利润不少于21600元,该经销商有哪几种进货方案？【答案】（1）A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）有三种具体方案：①购进A种仪器18台,购进B种仪器64台；②购进A种仪器19台,购进B种仪器67台；③购进A种仪器20台,购进B种仪器70台．【详解】解：（1）设A、B两种型号的仪器每台进价各是x元和y元．由题意得：231700 31500x yx y+=⎧⎨+=⎩,解得：400300 xy=⎧⎨=⎩．答：A、B两种型号的仪器每台进价各是400元、300元；（2）设购进A种仪器a台,则购进A种仪器（3a+10）台．则有：400300(310)30000(760400)(540300)(310)21600a aa a++⎧⎨-+-+⎩,解得710 1720913a≤≤．由于a为整数,∴a可取18或19或20．所以有三种具体方案：①购进A种仪器18台,购进B种仪器64台；②购进A种仪器19台,购进B种仪器67台；③购进A种仪器20台,购进B种仪器70台．3．（2019·贵州中考真题）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A ,B 两种客车可供租用,A 型客车每辆载客量45人,B 型客车每辆载客量30人．若租用4辆A 型客车和3辆B 型客车共需费用10700元；若租用3辆A 型客车和4辆B 型客车共需费用10300元．（1）求租用A ,B 两型客车,每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐,且租车总费用不超过1万元,你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？【答案】（1）租用A ,B 两型客车,每辆费用分别是1700元、1300元；（2）共有三种租车方案,方案一：租用A 型客车2辆,B 型客车5辆,费用为9900元,方案二：租用A 型客车4辆,B 型客车2辆,费用为9400元,方案三：租用A 型客车5辆,B 型客车1辆,费用为9800元,方案二：租用A 型客车4辆,B 型客车2辆最省钱．【详解】（1）设租用A,B 两型客车,每辆费用分别是x 元、y 元,43107003410300x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得,17001300x y =⎧⎨=⎩, 答：租用A,B 两型客车,每辆费用分别是1700元、1300元；（2）设租用A 型客车a 辆,租用B 型客车b 辆,45302401700130010000a b a b +≥⎧⎨+≤⎩, 解得,25a b =⎧⎨=⎩,42a b =⎧⎨=⎩,51a b =⎧⎨=⎩, ∴共有三种租车方案,方案一：租用A 型客车2辆,B 型客车5辆,费用为9900元,方案二：租用A 型客车4辆,B 型客车2辆,费用为9400元,方案三：租用A 型客车5辆,B 型客车1辆,费用为9800元,由上可得,方案二：租用A 型客车4辆,B 型客车2辆最省钱．。

2020年中考数学一轮复习基础考点及题型专题07不等式(组)(解析版)

B． x≤-2
C． x＜ -2
D．x＞-2
【答案】 D
【详解】
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示
-2 的点是空心圆点
∴x＞-2
故选： D．
3．（ 2019 ·河北初一期末）已知 2??+ 3??= 6 ，要使 ??是负数，则 ??的取值范围是（
）
A ． ??> 3
B． ??< 3
C． ??< -3
B． m－ 2﹥ n－ 2
C． 2m﹥ 2n
【答案】 D
） D．－ 2m﹥－ 2n
【详解】
A. 两边都加 2，不等号的方向不变，故 A 正确；
B. 两边都减 2，不等号的方向不变，故 B 正确；
C. 两边都乘以 2，不等号的方向不变，故 C 正确；
D. 两边都乘以 -2，不等号的方向改变，故故选 D.
基本性质 5：若 a>b>c，则 a>c。
基本性质 6：如果 a b ， c d ，那么 a c b d .
【注意】
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1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质
2 和性质 3 的区别，当不等式两边乘（或
除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
3．（ 2017 ·广东中考模拟）如图，直线 y x m 与 y nx 4n n 0 的交点的横坐标为 2 ，则关于 x 的
不等式 x m nx 4n 0 的整数解为（
）.
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A． 1 C． 4
【答案】 D 【详解】
B． 5
D． 3

中考数学一轮复习七下第9章不等式和不等式组

不等式和不等式组1.不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减) 一个数(或式子)，不等号的方向；(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向；(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向 .2.利用不等式的性质，我们可以把一个较复杂的一元一次不等式逐步转化为x ＞a(x ≥a)或x ＜a(x ≤a)，这个过程叫做解一元一次不等式.其步骤如下：(1)去分母；(2)去括号；(3) ；(4)合并；(5)系数化为1.3.a>b)1.若x>y ，则下列式子错误的是( )A.x-3>y-3B.-3x>-3yC.x+3>y+3D.3y 3x > 2.不等式5x-1＞2x+5的解集在数轴上表示正确的是( )3.设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为( )A.■、●、▲B.▲、■、●C.■、▲、●D.●、▲、■4.不等式组⎩⎨⎧-7>1-2≥-x x ,12的解集在数轴上表示正确的是( )5.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+>+2332-,1-x 1)3(x x 的整数解是( ) A.-1，0，1 B.0，1 C.-2，0，1 D.-1，16.我省从2014年起在公众场所实行“禁烟”，为配合“禁烟”行动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题.答对一题记10分，答错(或不答)一题记-5分.小明参加本次竞赛得分要超100分，他至少要答对道题.7.解下列不等式或不等式组：(1)3(x-1)＞2x+2； (2)x-2≥21(x+1)；(3)⎩⎨⎧0<1->+;x 12x x ， (4)⎩⎨⎧<4-+≤+3x.3x 1)2(x x ，8.解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-2+≤+,12312)3(x 52x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解.参考答案知识回顾1.(1)同不变(2)不变(3)改变2.移项同类项达标练习1.B2.A3.C4.D5.A6.147.(1)x＞5.(2)x≥5.(3)-1＜x＜1.(4)-2＜x≤1.8.由①得x≥-1.由②得x＜3.不等式组的解集为：-1≤x＜3.在数轴上表示为：不等式组的非负整数解为2，1，0.。

中考数学一轮复习第7课一元一次不等式(组)导学案

中考数学一轮复习第7课一元一次不等式（组）导学案【考点梳理】：知识点一：不等式的概念1. 不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。

基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）知识点三：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

2.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3．不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程叫做解不等式。

如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

知识点四：一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.3.不等式的解集在数轴上表示：在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。

（性质2、3要倍加小心）2是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1安排顺序。

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不等式（组）考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一不等式的有关概念和性质不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a≠3这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

【注意】1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不旁式表示的是不等关系。

2.常用的不等号有“,,,,><≤≥≠”五种.“>”“<”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“≥”“≤”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“≠”表示左右两边不相等。

3.在不等式a>b或a<b，a叫做不等式的左边，b叫做不等式的右边。

4.在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。

不等式的解与解集：不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解。

不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。

它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。

一般来说，不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：1.不等式的解与不等式的解集的区别与联系：1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。

2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。

3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。

2. 用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。

不等式的性质：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。

基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即若a>b,c>0，则ac>bc（或ac >bc）基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即若a>b,c<0，则ac<bc（或ac <bc）基本性质4：若a>b，则b<a。

基本性质5：若a>b>c，则a>c。

基本性质6：如果a b >，c d >，那么a c b d +>+.【注意】1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。

2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。

不等式性质与等式性质的相同和不同点：相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子不同点：1、对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立2、对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。

【典型例题】1．（2019·阜宁县容山中学初一期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A ．x < yB ．220a b +>C ． 11x >D ．34x - 403< 【答案】D【详解】A 、是二元一次不等式，故错误；B 、是二元二次不等式，故选项错误C 、含有分式，不是一元一次不等式，故选项错误；D 、是一元一次不等式，故选D.2．（2019·重庆市南坪中学校初二期中）下列各式中，是一元一次不等式的有（）①5x <，②(5)5x x -<，③15x <，④25x y y +<+，⑤25a -<，⑥3y x ≤ A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【详解】①5x <是一元一次不等式；②(5)5x x -<是一元二次不等式；③15x <是分式；④25x y y +<+是二元一次不等式；⑤25a -<是一元一次不等式；⑥3y x ≤是二元一次不等式，故正确的有两个故选A.【考查题型】考查题型一不等式性质的应用1．（2019·四川中考真题）若m n ＞，下列不等式不一定成立的是（）A ．33m n ++＞B ．33m n ﹣＜﹣C ．33m n >D ．22m n ＞【答案】D【详解】解：A 、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A 错误；B 、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B 错误；C 、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C 错误；D 、如2223m n m n m n ＝，＝﹣，＞，＜；故D 正确；故选：D ．2.（2019·浙江中考真题）已知四个实数a ，b ，c ，d ，若a>b ，c>d ，则（）A ．a+c>b+dB ．a -c>b -dC ．ac>bdD ．a b c d > 【答案】A【详解】A. ∵a>b ，c>d ，∴ a+c>b+d ，正确；B.如a=3,b=1,c=2，d=-5时， a -c=1，b -d =6，此时a -c<b -d ，故不正确；C. 如a=3,b=1,c=-2，d=-5时， ac=-6，bd =-5，此时ac<bd ，故不正确；D. 如a=4,b=2,c=-1，d=-2时，4a c =-，1b d =-，此时a b c d< ，故不正确；故选A.3．（2019·上海中考真题）如果m ﹥n ，那么下列结论错误的是（）A ．m ＋2﹥n ＋2B ．m －2﹥n －2C ．2m ﹥2nD ．－2m ﹥－2n 【答案】D【详解】A. 两边都加2，不等号的方向不变，故A 正确；B. 两边都减2，不等号的方向不变，故B 正确；C. 两边都乘以2，不等号的方向不变，故C 正确；D. 两边都乘以-2，不等号的方向改变，故D 错误；故选D.4．（2019·江苏中考真题）实数a 、b 、c 满足a ＞b 且ac ＜bc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A【详解】解：因为a ＞b 且ac ＜bc ，所以c ＜0．选项A 符合a ＞b ，c ＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A ．选项B 不满足a ＞b ，选项C 、D 不满足c ＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B 、C 、D ．故选：A ．知识点二解一元一次不等式一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式.一元一次不等式的一般形式为：0ax b +<或()00ax b a +>≠。

例如，13x +>，402y ->是一元一次不等式，而0x y ->，253x x+≥不是一元一次不等式。

一元一次不等式的解集的表示方法：表示的两种形式：①用不等式表示；②用数轴表示。

下面我们讨论用数轴表示一元一次不等式解集的四种情况：【注意】1、用数轴表示不等式解集时要“两定”：定边界点，定方向。

2、若符号为“>或<”时，边界点为空心，若符号为“≥或≤”，边界点为实心。

3、定方向时要注意“小于向左，大于向右”。

解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：【典型例题】1．（2018·广东中考模拟）不等式2x－5≥－1的解集在数轴上表示正确的是（）. A．B．C ．D．【答案】B【解析】解：不等式2x-5≥-1的解集为x≥2．故选B．2．（2019·太原市第五十三中学初二期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（）A．x≥-2B．x≤-2C．x＜-2D．x＞-2【答案】D【详解】解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示-2的点是空心圆点∴x＞-2故选：D．3．（2019·河北初一期末）已知2a+3x=6，要使x是负数，则a的取值范围是（）A ．a >3B ．a <3C ．a <−3D ．−3<a <3 【答案】A【详解】∵2a +3x =6∴x=6−2a 3∵x 是负数，∴6−2a 3＜0解得a >3故选A.【考查题型汇总】考查题型二求一元一次不等式的特解的方法1．（2019·江苏中考真题）不等式12x -≤的非负整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【详解】解：12x -≤，解得：3x ≤，则不等式12x -≤的非负整数解有：0，1，2，3共4个．故选：D ．2．（2019·内蒙古中考模拟）不等式3（x ﹣1）≤5﹣x 的非负整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】解不等式得：3x ﹣3≤5﹣x ，4x≤8，x≤2，所以不等式的非负整数解有0、1、2这3个，故答案选C ． 3．（2017·广东中考模拟）如图，直线y x m =-+与()40ynx n n =+≠的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为（）.A ．1-B ．5-C ．4-D ．3- 【答案】D【详解】当0y =时，对于()40y nx n n =+≠，则4x =-．故40nx n +>的解集为4x >-．y x m =-+与()40y nx n n =+≠的交点的横坐标为2-，观察图象可知4x m nx n -+>+的解集为2x <-．40x m nx n ∴-+>+>的解集为42x -<<-．x 为整数，3x ∴=-．4．（2019·内蒙古中考模拟）不等式3122x ->-的最小整数解是__．【答案】0【详解】解3x 122->-的解集为x ＞-1， ∴最小整数解为0考查题型三确定不等式中字母的取值范围的方法1．（2019·黑龙江中考真题）已知x =4是不等式ax -3a -1＜0的解，x =2不是不等式ax -3a -1＜0的解，则实数a 的取值范围是____．【答案】a ≤-1.【详解】解：∵x=4是不等式ax -3a -1＜0的解，∴4a -3a -1＜0，解得：a ＜1，∵x=2不是这个不等式的解，∴2a -3a -1≥0，解得：a≤-1，∴a≤-1，故答案为：a≤-1．2．（2019·四川中考真题）关于x 的不等式21x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为（） A ．53a -<<-B ．53a -≤<-C ．53a -<≤-D ．53a -≤≤- 【答案】C【详解】解：解不等式2x+a≤1得：12a x -, 不等式有两个正整数解，一定是1和2，根据题意得：1232a -< 解得：-5＜a≤-3．故选：C ．3．（2012·江苏中考模拟）已知关于x 的不等式x≥a -1的解集如图所示,则a 的值为__.【答案】0【解析】由图可得1x ≥-，∴11a -=-,0a =考查题型四确定一元一次不等式中待定字母的值的方法1．（2019·河南中考模拟）若不等式组130x a bx ->⎧⎨+≥⎩的解集是﹣1＜x≤1，则a ＝_____，b ＝_____．【答案】-2 -3【详解】解：由题意得：130x a bx ->⎧⎨+≥⎩①② 解不等式 ① 得: x>1+a ,解不等式②得:x≤3b-不等式组的解集为: 1+a＜x≤3 b -不等式组的解集是﹣1＜x≤1,∴..1+a=-1,3b-=1,解得:a=-2,b=-3故答案为: -2, -3.知识点三解一元一次不等式组一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。