高一数学向量数量积典型例题【整理】

法则．①中∵ a ⋅ b = a ⋅ b cosθ ，∴由 a ⋅ b = a ⋅ b 及 a 、b 为非零向量可得 cosθ = 1，∴θ = 0 或π ，∴ a // b 且
以上各步均可逆，故命题①是真命题．②中若 a 、 b 反向，则 a 、 b 的夹角为π ，∴ a ⋅ b = a ⋅ b cosπ = − a ⋅ b 且 以上各步均可逆，故命题②是真命题．③中当 a ⊥ b 时，将向量 a 、 b 的起点确定在同一点，则以向量 a 、 b 为邻 边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有 a + b = a −b ．反过来，若
分析：借助向量垂直的充要条件解题，即证明 AD ⋅CE = 0 . 证明：设此等腰直角三角形的直角边长为 a ，则
( ) ( ) AD⋅CE = AC + CD ⋅ CA + AE
= AC ⋅CA + CD ⋅CA + AC ⋅ AE + CD ⋅ AE
= a2 + 0+ a⋅ 2 2 a⋅ 2 + a ⋅ 2 2 a⋅ 2 3 2 23 2
小结：利用向量数量积及有关知识，可以解决许多几何问题，特别是几何图形形状的判断，因为向量积与长度 （模）和角有关．
如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边．如图所示，ΔABC 为等腰三 角形 AB = AC ，D 为底边 BC 的中点．设 AB = a ，AC = b ，a = b ，BC = b − a ，
小结：（1）对于数量积 a ⋅ b = a ⋅ b cosθ ，其中θ 的取值范围是 [0°,180°]；
（2）非零向量 a 和 b ， a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ；（3）非零向量 a 和 b 共线的充要条件是 a ⋅ b = ± a ⋅ b ．
向量数量积的运算
例 1、已知向量 i, j 为相互垂直的单位向量， a + b = 2i − 8 j, a − b = −8i + 16 j ，那么 a ⋅ b = _____ .
∴a + b = −(c + d ) ，即 (a + b)2 = (c + d )2
展开得
2
2
2
2
a + 2a ⋅b + b = c + 2c ⋅ d + d
Qa⋅b = c⋅d ，
2
2
2
2
∴ a + b = c + d (1)
2
2
2
2
同理可得 a + d = b + c (2)
4
2
2
2
2
（1）－（2）得 b = a ⇒ a = c ，
小结：（1）两向量同向时，夹角为 0（或 0° ）；而反向时，夹角为π （或180° ）；两向量垂直时，夹角为 90° ．因 此当两向量共线时，夹角为 0 或π ，反过来若两向量的夹角为 0 或π ，则两向量共线．
（2）对于命题④我们可以改进为： a = b 既不是 a ⋅ c = b ⋅ c 的充分条件也不是必要条件．
利用定义求向量的数量积
例 1．已知 a = 4 ， b = 5 ，当（l） a // b （2） a ⊥ b ，（3） a 与 b 的夹角为 30° 时，分别求 a 与 b 的数量积。
分析：已知 a 与 b ，求 a ⋅ b ，只需确定其夹角θ ，须注意到 a // b 时，有θ = 0° 和θ = 180° 两种可能。 解：（1） a // b ，若 a 与 b 同向，则θ = 0° ， ∴ a ⋅ b = a ⋅ b cos0° = 4×5 = 20 ； 若 a 与 b 反向，则θ = 180° ，
小结：解决本题也可利用向量坐标运算，或 4a ⋅ b = (a + b) 2 − (a − b) 2 求解．
向量的夹角
例 1、已知不共线向量 a ， b ， a = 3 ， b = 2 ，且向量 a + b 与 a − 2b 垂直．
求： a 与 b 的夹角θ 的余弦值．
分析：由向量数量积定义知 cosθ = a ⋅b ，所以需求 a ⋅b 之值．由已知得 (a + b) ⋅ (a − 2b) = 0 ，从中可求得 a ⋅b ab
⊥
λar
+
r b
，∴
3ar
−
r 2b
⋅
λar
+
r b
=0
，
即
3λar 2
+
(3
−
2λ
)ar
⋅
r b
−
r 2b
2
=
0 ，∴ 3λ ar 2
+
(3
−
2λ
)ar
⋅
r b
−
2
r b
2
=
0 ※．把
ar
=
2,
r b
=
3
，
ar
⋅
r b
= 0 代入※式，
得 3λ ⋅ 22 + (3 − 2λ )⋅ 0 − 2 ⋅ 32 = 0,∴ λ = 3 .
ar
r −b
=
4
6
，
∴
ar
−
r b
2
=
ar
−
r b
⋅
ar
−
r b
= ar 2
−
2ar
⋅
r b
+
r b
2
=
ar 2
+
r2 b
−
2ar
⋅
r b
=
4
2
6 ．把
ar
=
6,
r b
=
10,
代入得
ar
⋅
r b
=
20
．由
ar
⋅
r b
=
ar
⋅
r b
⋅ cosθ
，得 20 = 6 ×10 × cosθ , 于是 cosθ = 1 ．
向量垂直
例 1、已知向量 i, j 为相互垂直的单位向量，设 a = (m + 1)i − 3 j, b = i + (m − 1) j,
(a + b) ⊥ (a − b) ，则 m = _____ .
分析：本题考查向量运算，两向量垂直的充要条件．
3
解：由题设可知 a + b = (m + 2)i + (m − 4) j ，
向量性质描述的判断
例 1．已知 a 、 b 、 c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ① a ⋅ b = a ⋅ b ⇔ a // b ；
② a 、 b 反向 ⇔ a ⋅ b = − a ⋅ b
③a ⊥b⇔ a+b = a−b ；
④ a = b ⇔ a⋅c = b⋅c
A．1 B．2 C．3 D．4 分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形
∴ a ⋅ b = a ⋅ b cos180° = 4× 5× (−1) = −20 ，
（2）当 a ⊥ b 时，θ = 90° ， ∴ a ⋅ b = a ⋅ b cos90° = 0 ， （3）当 a 与 b 的夹角为 30° 时，
1
a ⋅ b = a ⋅ b cos 30° = 4× 5× 3 = 10 3 . 2
a + b = a − b ，则以 a 、b 为邻边的四边形为矩形，所以有 a ⊥ b ，因此命题③是真命题．④中当 a = b 但 a 与 c
的夹角和 b 与 c 的夹角不等时，就有 a ⋅ c ≠ b ⋅ c ，反过来由 a ⋅ c = b ⋅ c 也推不出 a = b ．故命题④是假命题．
答案：C
=
7
ar
2
−
15 ar
r b
+
r 8b
2
，把
ar
=
r b 代入上
2
( ) ( ) ( ) ( ) r
式消去 b
得
ar
−
r 4b
⋅
7ar
−
r 2b
= 7 ar 2 − 15 ar ar
+ 8 ar 2
= 0 ．所以
ar
−
r 4b
⊥
7ar
−
r 2b
．
小结：这也是垂直的证明问题，但不是从平面几何的角度，而是直接从数量积的角度给出条件，再运用数量积 的有关知识解决问题．
小结：非零向量 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = a b cosθ = 0 是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段，特别是根据向量数 量积的定义，把研究形的问题，转化为数量问题，如已知 a = 1 b = 2 ，a 与 b 夹角为 60° ，问当 k 取何值时，(k a + b) 与 (3a − 2b) 垂直，Q a ⋅b = a b cos 60° = 1，由 (ka + b) ⋅ (3a − 2b) = 0 可求得 k = 5 ．
AD = 1 (a + b) 2
∴ BC
⋅
AD
=
(b
−
a) ⋅
1
(b
+
a)
=
1
(
b
2
−
a
2
)
=
0
2
2
故 AD ⊥ BC ，命题成立.
利用向量垂直证明平面几何垂直问题
例 1． 如图，已知 ΔABC 中， ∠C 是直角，CA = CB ， D 是 CB 的中点， E 是 AB 上的一点，且 AE = 2EB . 求证： AD ⊥ CE .
a − b = mi + (−m − 2) j ．
由 (a + b) ⋅ (a − b) = 0 ，得
[(m + 2)i + (m − 4) j][mi + (−m − 2) j] = 0 ，
即 (m + 2)m + (m − 4)(−m − 2) = 0 ，得 m = −2 ．
2
2
小结：解决本题时，应注意 i ⋅ j = 0, i = j = 1 ．另外，解本题时，也可利用向量的坐标表示求解，即
2
小结：通过向量垂直两向量的数量积为 0，建立等式将向量问题转化为方程求解．
向量垂直的证明
( ) ( ) ( ) ( ) 例
1．已知非零向量
ar
和
r b
夹角为
60o
，且
ar
+
r 3b
⊥
7ar
−
r 5b
，求证：
ar
−
r 4b
⊥
7ar
−
r 2b
．
分析：欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零．
( ) ( ) 证明：因为
a + b = (m + 2, m − 4), a − b = (m,−m − 2) ，再运用向量垂直的充要条件求出 m 的值．
求向量夹角的余弦
例 1．设
ar
= 6,
r b
= 10,
ar
−
r b
=
4
6
，则
ar
与
r b
的夹角θ
的余弦值为＿＿＿＿＿．
分析：要求夹角需先求出
ar
⋅
r b
的值。
( ) ( ) ( ) 解 ： Q
∴ b = d ， a = c ，即 AB = CD ， BC = DA ， 故四边形 ABCD 是平行四边形. 由此 a = −c ， b = −d
又Q a ⋅b = b ⋅ c ，即 b(a − c) = 0
∴b ⋅ (2a) = 0 即 a ⊥ b ⇒ AB ⊥ BC 故四边形 ABCD 是矩形
7
ar
2
+
8 ar
⋅
r b
r2 − 15 b
=0
，
2
∴
( ) ( ) 7ar
+
r 15 b
⋅
ar
−
r b
=0
，
∴ ar
−
r b
= 0,
即
ar
=
r b
．
因
为
( ) ( ) ar
−
r 4b
⋅
7ar
−
r 2b
=
7ar 2
−
30ar
r ⋅b
+
r 8b
2
= 7 ar 2 − 30 × 1
ar
r b
r2 + 8b
分析：应先求出 a, b ，再计算 a ⋅ b ．
解：由已知 a + b = 2i − 8 j,
①
a − b = −8i +16 j, ②
①＋②得 a = −3i + 4 j.
①－②得 b = 5i −12 j.
故 a ⋅ b = (−3i + 4 j) ⋅ (5i − 12 j) = −15 − 48 = −63.
ar
和
r b
夹角为
60o
，所以
ar
⋅
r b
=
ar
⋅
r b
⋅
cos
60o
=
1
ar
⋅
r b
；又因为
ar
+
r 3b
⊥
7ar
−
r 5b
，所以
2
( ) ( ) ar
+
r 3b
⋅
7ar
−
r 5b
=0
， 即 7ar 2
+
16ar
⋅
r b
−
r 15b
2
= 7 ar 2
+ 16 × 1
ar
⋅
r b
r2 − 15 b
=
3
小结：本题涉及了平面向量的数量积的概念，性质 ar ⋅ Fra Baidu bibliotekr = ar 2 = ar 2 以及有关运算律，体现了较强的综合性．
判断四边形形状
例 1、平面四边形 ABCD 中， AB = a ， BC = b ， CD = c ， DA = d ，且 a ⋅b = b ⋅ c = c ⋅ d = d ⋅ a ，判断四 边形 ABCD 的形状．
分析：在四边形 ABCD 中可知， a + b + c + d = 0 ，故 a + b = −(c + d ) ，两边平方后，根据题设可得四边形 ABCD 边长的关系，由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状．
证明：由四边形 ABCD 可知， a + b + c + d = 0 （首尾相接）
之值．
解：Q(a + b) ⋅ (a − 2b) 垂直，
∴(a + b) ⋅ (a − 2b) = 0
根据向量数量积的运算律得
2
2
a −a⋅b−2b = 0， a =3， b = 2
2
2
∴a⋅b = a −2b =1
Qa ⋅b = a b cosθ
2
∴cosθ = a ⋅b = 1 ，即为所求． ab 6
向量垂直时的参数值
( ) ( ) 例
1．已知
ar
⊥
r b,
ar
=
2,
r b
=3
，当
3ar
−
r 2b
⊥
λar
+
r b
时，求实数 λ 的值．
分析：求一个实数的值，运用方程的思想，建立一个方程，通过解方程使问题得解．
( ) ( ) ( ) ( ) 解
：
Q
ar
⊥
r b
，
∴ ar
⋅
r b
=
0
．Q
3ar
−
r 2b
= −a2 + 2 a2 + 1 a2 = 0 . 33
所以 AD ⊥ DE .