一种证明B2×B2上全纯自同构群的新方法
单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类
单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类(摘要)本文主要介绍了单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类.我们说两个变换f:X→X和g:Y→Y是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:X→Y使得h∘f=g∘h,这里∘是映射的复合.单连通区域主要包括:复平面,扩充复平面,单位圆盘和上半平面.关于复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,Budnitska得到了更一般的结论,即有限维向量空间上仿射算子的拓扑共轭分类.具体地讲,如果仿射算子f(x)=Ax+b有一个不动点,那么f拓扑共轭于它的线性部分A;如果仿射算子f:U→U无不动点,我们证明f拓扑共轭于一个仿射算子g:U→U,这里U是g 的不变子空间V和W的正交直和,g在V上的限制g|V是一个拥有如下形式的V的标准正交基底的仿射算子(x1,x2,...,x n)→(x1+1,x2,...,x n−1,εx n),ε=±1,它是由f唯一确定的,g在W上的限制g|W是一个通过幂零Jordan矩阵给出的W的标准正交基底的线性算子,是由f唯一确定的.对于扩充复平面上的分式线性变换的拓扑共轭分类问题, Rybalkina和S ergeichuk已经给出了相应的结果.我们在此整理并总结了复平面和扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,关于单位圆盘和上半平面上全纯自同构的拓扑共轭之前没有得到完全的分类,本文将就这一问题给出答案.我们通过旋转理论及构造同胚的方法,证明了:上半平面上（单位圆盘）所有无不动点的全纯自同构之间都是拓扑共轭的;两个有不动点的全纯自同构f和g是拓扑共轭的当且仅当ρ(f)=±ρ(g),mod Z;无不动点的全纯自同构与有不动点的全纯自同构之间是不拓扑共轭的.关键词:拓扑共轭,全纯自同构,单位圆盘,上半平面,复平面,扩充复平面.Topologically conjugate classifications of the holomorphic isomorphisms on simple connected domains(Abstract)In this paper,we are interested in the topologically conjugate classifications of the holo-morphic isomorphisms on simple connected domains.We said that two transformations f: X→X and g:Y→Y are topologically conjugate if there exists a homeomorphism h:X→Y such that h∘f=g∘h,where∘is the composition of mappings.Simple connected do-mains includes:complex plane,extended complex plane,unit disk and upper half plane. For the problem of topologically conjugate classifications of the holomorphic isomorphisms on complex plane,Budnitska gave more general result.He obtained the topologically conjugate classifications of affine operators onfinite dimensional vector space.Specifically speaking if the affine operator f(x)=Ax+b has afixed point,then f is topologically conjugate to its linear part A.If the affine operator f:U→U has nofixed point,f is topologically conjugate to an affine operator g:U→U,where U is an orthogonal direct sum of g-invariant subapaces V and W,the restriction g|V is an affine operator with the form(x1,x2,...,x n)→(x1+1,x2,...,x n−1,εx n) under the orthogonal basis of V,ε=±1,and it is uniquely determined by f.The restriction g|W is a linear operator with a nilpotent Jordon form under the orthogonal basis of W,and it is uniquely determined by f.For the problem of topologically conjugate classifications of the holomorphic isomorphisms on extended complex plane,Rybalkina and Sergeichuk have given the answer.It is not known of the completely classifications for the holomorphic isomorphisms on unit disk or upper half plane before.Now we will solve the problem.By rotation theory and some constructions of homeomorphisms,we prove that all holomorphic automorphisms on upper half plane(or unit disk)having nofixed points are topologically conjugate;two holo-morphic automorphisms f and g havingfixed points are topologically conjugate if and only if ρ(f)=±ρ(g),mod Z;a holomorphic automorphism with nofixed points and a holomorphic automorphism withfixed points are not topologically conjugate.Key Words:topological conjugacy,holomorphic automorphism,unit disk,upper half plane, complex plane,extended complex plane.目录摘要 (i)Abstract (ii)第1章引言 (1)第2章复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (5)2.1有不动点的仿射算子 (6)2.2无不动点的仿射算子 (8)第3章扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (13)3.1线性算子的拓扑分类 (13)3.2定理3.1的证明 (16)3.3推论3.2的证明 (17)第4章单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (18)4.1单位圆盘与上半平面上的全纯自同构 (18)4.2上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 (20)第5章结论 (23)参考文献 (24)作者简介及在学期间所取得的科研成果 (26)致谢 (27)第1章引言拓扑动力系统是指一个偶对(X,f),这里X是一个完备度量空间,f:X→X是X上的一个连续映射.我们关心空间中点在迭代作用f n下轨道的渐进性态,这里f n= f∘f∘···∘f,∘是映射复合.其中,拓扑共轭分类问题是该系统领域中的核心问题.定义1.1设X,Y是两个完备度量空间,f:X→X和g:Y→Y分别是X和Y上的连续（全纯,线性）自映射.如果存在（全纯,线性）同胚映射h:X→Y使得h∘f=g∘h.则称f和g是拓扑（全纯,线性）共轭的.一般而言,完全的拓扑共轭分类很难获得,但对于一些特殊的系统,我们已知如下结果:Poincare给出了圆周上旋转映射的拓扑共轭分类[1];Walters考察了n维环面T n和紧交换拓扑群上仿射变换的拓扑共轭分类[2,3];Robbin和Kuiper研究了有限维向量空间上线性自同态的拓扑共轭分类[4,5].本文我们将给出单连通区域上全纯自同构的拓扑共轭分类.记C为复平面,ˆC C∪{∞}为扩充复平面,H为上半平面,D为单位开圆盘.进而用Aut(C),Aut(ˆC),Aut(H)和Aut(D)分别表示复平面,扩充复平面,上半平面和单位开圆盘上的所有全纯自同构构成的集合.本文我们将给出在复平面,扩充复平面,单位圆盘和上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类.对于复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,Budnitska[6]给出了更一般的形式,即有限维向量空间上仿射算子的拓扑共轭分类问题.一个仿射算子f:V→V是一个形如f(x)=Ax+b的映射,这里A:V→V是一个线性算子并且b∈V.为了简便我们通常令V=F n,其中F=C或R,那么f:F n→F n有如下形式:f(x)=Ax+b,A∈M n×n(F), b∈F n.这里M n×n(F)是数域F上的n×n阶矩阵.两个仿射算子f,g:F n→F n是共轭的,如果存在一个双射h:F n→F n使得g=h−1f h,(1)我们说(a)如果h在(1)中是一个线性算子,那么它是线性共轭.(b)如果h是一个仿射算子,那么它是仿射共轭.(c)如果h是一个双射,那么它是双正则共轭,这意味着h和h−1有如下形式(x1,...,x n)→(ϕ1(x1,...,x n),...ϕn(x1,...,x n))(2)在这里所有的ϕi都是F上的多项式.(d)如果h是一个同胚,那么它是拓扑共轭,这意味着h和h−1是连续的双射.线性共轭蕴含着仿射共轭蕴含着双正则共轭蕴含着拓扑共轭.下面简单介绍一下(a)−(d)仿射算子共轭分类的结果.在(a)中一个线性共轭y=Ax+b的变换相当于一个在F n上的基底的变换,形式为(A,b)→(S−1AS,S−1b),S∈F n×n是非奇异(3)关于这些变换的仿射算子的规范形式是很容易构造的:如果F=C,我们令A是Jordan标准形式,然后通过(3)中的变换来化简b,因此S随着Jordan矩阵A变换,它的形式在[7]中给出.在(b)中一个仿射共轭的变换相当于一个在F n上的基底的仿射变换.我们说仿射算子x→Ax+b是非奇异的如果它的矩阵A是非奇异的.Blanc[8]证明了非奇异的仿射算子x→Ax+b和x→Cx+d在特征值为0的代数闭域上是仿射共轭的,当且仅当它们的矩阵A和C是相似的,即对于一些非奇异的S有S−1AS=C.在(c)中Blanc[8]也给出了特征值为0的代数闭域K上非奇异仿射算子的双正则共轭分类.两个K上有不动点的非奇异仿射算子是双正则共轭的,当且仅当它们的矩阵是相似的.一个无不动点的非奇异仿射算子f:K n→K n双正则共轭于一个对角的仿射算子.(x1,x2,...,x n)→(x1+1,λ2x2,...,λn x n)(4)在这里1,λ2,...,λn∈K∖0是矩阵的特征值,仿射算子(4)是由f唯一确定的.在(d)中R2上的仿射算子的拓扑共轭分类由E phramowitsch[9]给出.在本文中我们将给出R n和C n上的仿射算子的分类.对于扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类问题,我们主要考虑Mobius变换[10]. Mobius变换是一个在扩充复平面上的如下形式的线性分式变换:f(z)=az+bcz+d,ad−bc 0,a,b,c,d∈C(5)Mobius变换的理论基础可参见[11]和[12].a,b,c,d同时乘以任意一个非零的数,f不变,变换(5)可以写成矩阵的形式M f:=1√ad−bc⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.(6)它的行列式为1并且是由f唯一确定的至多差一个-1的乘子.变换的复合相当于矩阵的乘积M f g=M f M g(7)矩阵A的迹记做tr A.两个Mobius变换f和g是共轭的,如果存在一个Mobius变换h使得g=h−1f h:两个Mobius变换f和g是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:ˆC→ˆC,使得g=h−1f h.如果两个Mobius变换是共轭的,那么它们是拓扑共轭,因为每一个Mobius变换都是一个同胚.共轭的标准形式很容易从[11]中获得,不同的Mobius变换f和g是共轭的当且仅当tr M f=±tr M g,因此共轭的Mobius变换是由相似矩阵给出的至多差一个-1的乘子.我们给出变换矩阵M h使得M g是M h的Jordan形式.由于det M f=det M g=1,M g=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ001/λ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(λ ±1,0)或者M g=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ10λ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(λ=±1)(8)矩阵M g是由f唯一确定的至多差一个-1的乘子和(8)中第一个矩阵对角元素λ和1/λ的交换.因此f共轭于z→λ2z,或者z→(1/λ2)z,或者z→z+1,我们从[11]中获得了规范形式.每个Mobius变换恰好共轭于如下形式mµ(z)=µz(µ 0,1)或者m1(z)=z+1(9)在这里µ是由1/µ确定的.µ1=µ和µ1=1/µ被叫做f的乘子.它们是由Riemann面上的全纯映射决定的[13];对于不同的Mobius变换f它们能通过下面的公式计算µi=f′(z i z i ∞,i=1,2µi=limz→∞1f′(z),z i=∞,i=1,2这里z1和z2是f的不动点.第2章复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类本章我们将介绍复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,Budnitska[6]给出两种不同形式的仿射算子:（1）有不动点并且没有以1的根为特征值的仿射算子.有不动点的仿射算子的拓扑共轭分类问题是所有线性算子的拓扑共轭分类问题.实际上每一个线性算子x→Ax可以看作是一个有不动点x=0的仿射算子x→Ax+0.相反的,如果仿射算子是拓扑共轭的,那么每一个有不动点的x→Ax+b都能被它的线性部分x→Ax代替,因为有下面的引理2.1我们证明它们是拓扑共轭的.Kuiper和Robbin[5,4]给出了在R上的没有以1的根为特征值的线性算子的标准形式,在定理2.2中我们将标准扩展到C上，给出在R和C上的没有以1的根为特征值的线性算子的标准形式.为了简便我们不考虑以1的根为特征值的线性算子;像这种算子的拓扑分类问题已经由Kuiper和Robbin[5,4],Cappell和Shaneson [14,15,16,17,18],Hsiang和Pardon[19],Madsen和Rothenberg[20],和Schultz[21]给出.（2）无不动点的仿射算子.在定理2.3中我们证明了在F=C或R上的无不动点的仿射算子恰好共轭于一个如下形式的仿射算子x→(I k⊕J0)x+[1,0,...,0]T,如果当F=R时,x→(I k⊕[−1]⊕J0)x+[1,0,...,0]T,在这里k≥1并且J0是一个幂零的Jordan矩阵由f唯一确定.对任意一个F∈{C,R}上的方阵A,都有一个非奇异的矩阵A*和一个F上的幂零矩阵A0,使得A相似于A*⊕A0(10)在下面的定理中我们总结了仿射算子拓扑共轭的条件.定理2.1令f(X)=Ax+b和g(X)=Cx+d是F=C或R上的仿射算子.（1）假设f和g有不动点,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当x→Ax和x→Cx是拓扑共轭的.（2）假设f有一个不动点,g无不动点,那么f和g不拓扑共轭.（3）假设f和g无不动点:如果F=C,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0.如果F=R,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A*和C*的行列式有相同的迹并且A0相似于B0.2.1有不动点的仿射算子在这一部分我们将给出一个有不动点的仿射算子f(X)=Ax+b拓扑共轭的标准形式,这里矩阵A没有相同的特征值.我们可以仅仅考虑线性算子,因为在下面的引理中我们把有不动点仿射算子的分类问题化简为线性算子的分类问题.引理2.1一个C或R上的仿射算子f(X)=Ax+b拓扑共轭于它的线性部分f lin(X)= Ax,当且仅当f有一个不动点.如果p是f的一个不动点,那么f lin=h−1f h,h(x):=x+p.证明.如果f(p)=p,那么Ap+b=p并且(h−1f h)(x)=(h−1f)(x+p)=h−1(A(x+p)+b)= h−1(Ax+(p−b)+b)=h−1(Ax+p)=Ax=f lin(x).相反的,如果f和f lin是拓扑共轭的,那么f和f lin有相同的不动点,因为f lin(0)=0,f也有一个不动点.对任意的λ∈C,我们记J n(λ):=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ 01λ···... ............ 0···1λ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦对于每一个n×n复矩阵A=[a kl+b kl i],a kl,b kl∈R,我们记¯A=[akl−b kl i](11)并且通过A的实化A R来表示:通过用块⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a kl−b klb kl a kl⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(12)来代替每一个元素a kl+b kl i,由A得到了一个2n×2n的实矩阵.每一个在F∈{C,R}的方阵A相似于A0⊕A01⊕A1⊕A1∞,(13)在这里所有A0（A01A1,A1∞)的特征值λ都满足λ=0(0<|λ|<1,|λ|=1,|λ|>1).A0和(10)中的一样,A01⊕A1⊕A1∞和(10)中的A*相似.定理2.2(a)令f(x)=Ax和g(x)=Bx是F=C或R上没有以1的根为特征值的线性算子,令A0,...,A1∞和B0,...,B1∞像(13)中的一样,分别对应A和B的分解.（i）如果F=R,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,这里size是矩阵维数的意思,det(A01B01)>0,A1相似于B1，size A1∞=size B1∞，det(A1∞B1∞)>0,(14)（ii）如果F=C,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,A1⊕¯A1相似于B1⊕¯B1,size A1∞=size B1∞,(15)(b)每一个F=C或R上没有以1的根为特征值的线性算子拓扑共轭于一个线性算子,它的矩阵是一个由直和项的置换唯一确定的直和.（i）当F=R直和项的数字为J k(0),[1/2],J k(λ)R,[2](16)在这里λ是一个系数为1的复数,是由¯λ的置换确定的,显然它没有相同的特征值.至多一个1×1的直和项[-1/2]至多一个1×1的直和项[-2]（ii）当F=CJ k(0),[1/2],J k(λ),[2](17)在这里λ是一个系数为1的复数,是由¯λ的置换确定的,显然它没有相同的特征值.证明.（a）结论（i）已经由Kuiper和Robbin[5,4]证明,下面我们来证明（ii）关于加法的阿贝尔交换群V=C n可看做是C上的n维矢量空间V C和R上的2n维矢量空间V R.进一步的,我们可以将V C看做一个有标准正交基底的酉空间e1=[1,0,...,0]T,e2=[0,1,...,0]T,...,e n=[0,0,...,1]T,(18)将V R看做一个有标准正交基底的欧式空间e1,ie1,e2,ie2,...,e n,ie n(19)对每一个v=(α1+β1i)e1+...+(αn+βn i)e n∈V,αkβk∈R它在V C和V R的长度是相同的:+β21+...+α2n+β2n)1/2|v|=(α21因此映射h:V→V是V C的一个同胚当且仅当h是V R的一个同胚.(20)每一个线性算子f:V C→C定义一个线性算子f R:V R→R两个线性算子f,g:V C→C是拓扑共轭的当且仅当f R,g R:V R→R是拓扑共轭的.(21)令f(x)=Ax和g(x)=Bx是V C上没有相同特征值的线性算子,显然A和B是它们的有正交基底的矩阵.考虑f和g在V R上的线性算子f R和g R,我们发现f R和g R的基底是A和B 的实化A R和B R.因为S−1AS=A0⊕A01⊕A1⊕A1∞对于一些非奇异的S,我们有(S R)−1A R S R=A R0⊕A R01⊕A R1⊕A R1∞类似的B R相似于B R0⊕B R01⊕B R1⊕B R1∞通过(21)和定理2.2（a）的结论（i）f和g是拓扑共轭的当且仅当f R和g R是拓扑共轭的当且仅当A R 0相似于B R,size A R01=size B R01,det(A R01B R01)>0,A R 1相似于B R1,size A R1∞=size B R1∞,det(A R1∞B R1∞)>0,(22)对于每一个复矩阵M,它的实化M R相似于M⊕¯M,因为⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11−i i⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦−1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a−bb a⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11−i i⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣a+bi00a−bi⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦因为A0的Jordan标准形式是一个幂零的Jordan矩阵,¯A0相似于A0.因此条件A R相似于B R0,等价于条件A0⊕¯A0相似于B0⊕¯B0等价于条件A0相似于B0.条件size A R01=B R01等价于条件size A01=B01.条件det(A R01B R01)>0保持不变,因为det(A R01B R01)=det(A01B01)R=det(A01B01⊕A01B01)>0类似的我们考虑(22)中剩下的三个条件,得到(22)等价于(15),这就证明了（ii）结论.2.2无不动点的仿射算子在这一部分,我们将证明下面的定理,它给出了拓扑共轭的标准,并且给出了无不动点的仿射算子的拓扑共轭的标准形式.定理2.3(a)令f (x )=Ax +b 和g (x )=Cx +d 是F =C 或R 上的无不动点的仿射算子,令A *,A 0和C *,C 0像（10）中那样,分别对应A 和C 的分解.（b ）每一个F =C 或R 上的无不动点的仿射算子f 拓扑共轭于一个如下形式的仿射算子x →(I k ⊕J 0)x +[1,0,...,0]T(23)或者当F =R 时x →(I k ⊕[−1]⊕J 0)x +[1,0,...,0]T(24)在这里k ≥1并且J 0是一个由f 唯一确定的幂零Jordan 矩阵.我们通过对(A ,b )给出一个仿射算子f (x )=Ax +b ，写成f =(A ,b ).对于两个仿射算子f :F m →F m 和g :F n →F n ,我们通过(f ⊕g )⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦:=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣f (x )g (y )⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦定义f ⊕g :F m +n →F m +n 因此(A ,b )⊕(C ,d )=(⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣A 00C ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣b d ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦)当f 和g 在F 上拓扑共轭时,我们记做f ∼F g 进一步我们有f ∼F f ′和g ∼F g ′=⇒f ⊕g ∼F f ′⊕g′(25)在这一部分,我们将继续通过拓扑共轭变换把F =C 或R 上的无不动点的仿射算子化简为(23)或者(24)的形式.第一步:将y =Ax +b 化简为如下的形式:p ⨁︁i =1(J m i (1),a i )⊕r ⨁︁i =p +1(J m i (1),a i )⊕(J 0,s )⊕(B ,c )(26)在这里J 0是A 0的Jordan 标准形式,1和0不是B 的特征值,每一个a 1,...,a p 都有一个非零的第一坐标,每一个a p +1,...,a r 都有一个零的第一坐标.我们是通过F 上的(3)中的线性共轭的变换来化简的.第二步:把(26)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(J mi(1),a i)⊕r⨁︁i=p+1(J mi(1),0)⊕(J0,0)⊕(B,0)(27)在这里每一个a i都有一个非零的第一坐标,我们是通过(25)来进行化简的,共轭是(J m(1),a)∼F(J m(1),0),(J0,s)∼F(J0,0),(B,c)∼F(B,0)(28)在这里a的第一坐标是0,共轭(28)通过引理2.1保持不变,因为(J0,s)和(B,c)有不动点.记p≥1因为(27)是一个有不动点为0的线性算子,但是f没有不动点.第三步:把(27)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(J mi(1),e1)⊕(C,0)⊕(J0,0)(29)在这里e1=[1,0,...,0]T和C:=⨁︀ri=p+1J mi(1)⨁︀B是非奇异的.我们用的共轭是(J m(1),a)∼F(J m(1),e1)(30)在这里a的第一坐标是0,a被下面的形式代替a=b[1,a2,...,a n]T,b 0,这个共轭是线性的,它保持不变因为(S J m(1)S−1,S e1)=(J m(1)a)S=b ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1 0a21······...a3a21···... ...............a n...a3a21⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦第四步:把(29)化简成如下的形式:p⨁︁i=1(I mi,e1)⊕(C,0)⊕(J0,0)(31)我们用的共轭是(J m(1),e1)∼F(I m,e1)(32)第五步:把(31)化简成如下的形式:(I 1,[1])⊕(D ,0)⊕(J 0,0)(33)在这里D :=I ⊕C 是非奇异的.我们用的共轭是p ⨁︁i =1(I m i ,e 1)∼F (I p ,[1,...,1]T )⊕(I q ,0)∼F (I 1,[1])⊕(J q +p −1,0)最后的共轭保持不变,因为(I 2,[1,1]T )∼F (I 2,e 1),它有如下的形式(S −1I 2S ,S −1⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣11⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦)=(I 2,e 1),S :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1011⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦第六步:我们把（33）化简到（23）,（24）的形式,在这里我们分两方面来考虑.当F =R ,我们有共轭f ∼Fg ,f :=(I 1,[1])⊕(εF ,0),g :=(I 1,[1])⊕(εI m ,0)(34)实际上,g =h −1f h 对于映射h :R m +1→R m +1是由h :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x ∈R ,y ∈R m 决定的.因为hg ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=h ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x +1εy ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x +1ε2F x +1y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=f ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=f h ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦映射h 是连续的,因为级数F x=exG=1+xG +(xG )22!+(xG )33!+...(35)收敛半径是无穷的,这里G 是实矩阵使得F =e G.逆映射h :⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣x εF −x y ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x ∈R ,y ∈R m 也是连续的.这就证明了(34).应用线性共轭(3)到(33)的变换,我们化简D 到P ⊕(−Q )的形式,这里P 是一个非奇异的实的没有负的实特征值的p ×p 矩阵,Q 是一个非奇异的实的有正的实特征值的q ×q 矩阵.这里线性算子(33)有如下形式(I 1,[1]⊕(P ,0)⊕(−Q ,0)⊕(J 0,0);它拓扑共轭于(I 1,[1]⊕(I p ,0)⊕(−I q ,0)⊕(J 0,0)(36)在(34)中令ε=1,F=−I2,我们得到(I1,[1]⊕(−I2,0)∼R(I3,e1)应用这个共轭多次,我们把(36)化简为(23),(24)的形式,我们证明了在R上的无不动点的仿射算子拓扑共轭于(23)或(24).当F=C,让我们证明f∼C g,f:=(I1,[1])⊕(D,0),g:=(I1,[1])⊕(I m,0)(37)在这里D是一个非奇异的m×m复矩阵,实际上,g=h−1f h,这里h:C m+1→C m+1是由h:⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣xy⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦→⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣xD x y⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,x∈C,y∈C m决定的.映射h是一个同胚因为D x被(35)中的F:=D代替了.这就证明了(37),用它我们把(33)化简为(23),我们证明了在C上的无不动点的仿射算子拓扑共轭于(23).第3章扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类本章我们将介绍扩充复平面上全纯自同构的拓扑共轭分类,关于Mobius变换的拓扑共轭分类由Rybalkina在[10]中给出.定理3.1对于任意的非奇异的Mobius变换f,g:ˆC→ˆC,下面的四条是等价的.（i）f和g是拓扑共轭的;（ii）M f的迹和M g的迹不属于[-2;2],或者trM f=±trM g;（iii）如果λ是M f的任意特征值,λ′是M g的任意特征值,那么|λ|,|λ′| 1,或者λ=±λ′,或者λ=±¯λ′;（iv）如果µ是f的任意乘子,ν是g的任意乘子,那么|µ|,|ν| 1,或者µ=ν,或者µ=¯ν;（9）中的标准形式被用到下面的定义中:一个非奇异的Mobius变换被叫做双曲如果它解析共轭于z→µz同时1 µ∈R;斜驶如果它解析共轭于z→µz同时µ R并且|µ| 1;椭圆如果它解析共轭于z→µz同时|µ|=1并且µ 1;抛物如果它解析共轭于z→z+1.一个Mobius变换的拓扑共轭的标准形式很容易从定理3.1中（i）到（iv）的等价形式中获得:推论3.1（a）每一个双曲或斜驶的Mobius变换拓扑共轭于z→2z.（b）每一个椭圆的Mobius变换拓扑共轭于z→µz,它是由µ通过¯µ的替换唯一确定的.（c）每一个抛物的Mobius变换拓扑共轭于z→z+1.两个线性算子A,B:C2→C2是拓扑共轭的,如果存在一个同胚h:C2→C2使得B=h−1Ah.Mobius变换的线性算子x→M f x(x∈C2)是由-1的乘子决定的,我们得到了一个ˆC上的Mobius变换和C2上的行列式值为1的线性算子的一一对应.推论3.2下面的两个条件对于Mobius变换f和g是等价的（i）f和g是拓扑共轭的;（ii）在C2上的线性算子x→M f x拓扑共轭于x→M g x或−x→M g x.3.1线性算子的拓扑分类在本小节我们将给出一些关于线性算子的拓扑分类[5,4].对于每一个复方阵A=[a i j],我们定义矩阵¯A=[¯a i j]是矩阵A的复共轭,利用矩阵的直和构造一个A的分解S−1AS=A0⊕A01⊕A1⊕A1∞(S是非奇异的矩阵）(38)在这里所有A0的特征值λ满足λ=0分别的A01,A1,A1∞的特征值λ满足0<|λ|<1,|λ|= 1,|λ|>1.两个线性算子f,g:R n→R n是共轭的,如果存在一个同胚h:R n→R n使得g=h−1f h.算子f具有周期性,如果对于一些自然数k有f k是恒等映射.Kuiper和Robbin[5]证明了如果假设两个周期的线性算子是拓扑共轭的当且仅当它们是线性共轭的.定理3.2令f(x)=Ax和g(x)=Bx是V=R m或C m上的线性算子,令A0,A01,A1,A1∞和B0,B01,B1,B1∞像（38）中一样,分别对应A和B的分解.（i）如果V=R m同时m≤5,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,det(A01B01)>0,A1相似于B1,size A1∞=size B1∞,det(A1∞B1∞)>0,（ii）如果V=C m同时m≤2,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当A0相似于B0,size A01=size B01,A1⊕¯A1相似于B1⊕¯B1,size A1∞=size B1∞,(39)推论3.3令f(x)=Ax和g(x)=Bx是C2上的两个非奇异的线性算子,矩阵A和B的行列式为1并且是对角矩阵.令λ和λ′是A和B的特征值,那么f和g是拓扑共轭的,当且仅当|λ|,|λ′| 1,或者λ=λ′或者λ=¯λ′.证明.线性算子的共轭意味着它们拓扑共轭,因此我们假设f(x)=Ax和g(x)=Bx的矩阵由它们的Jordan形式给出:A=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ′00λ′−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,λ,λ′ ±1,0下面我们分四种情况来讨论:第一种:|λ| 1并且|λ′| 1.那么在（38）中A01⊕A1∞=[λ]⊕[λ−1],B01⊕B1∞=[λ′]⊕[λ′−1]通过定理3.2的（ii）f和g是拓扑共轭的.第二种:|λ|=|λ′|=1,那么A1⊕¯A1=[λ]⊕[¯λ],B1⊕¯B1=[λ′]⊕[¯λ′]通过定理3.2的（ii）f和g是拓扑共轭的,当且仅当λ=λ′或者λ=¯λ′第三种:|λ|=1并且|λ′| 1,那么A1⊕¯A1=[λ]⊕[¯λ],B01⊕B1∞=[λ′]⊕[λ′−1]通过定理3.2的（ii）f和g不是拓扑共轭的.第四种:|λ| 1并且|λ′|=1,那么f和g不是拓扑共轭的.引理3.1Mobius变换f(z)=az和g(z)=bz是拓扑共轭的当且仅当|a|,|b| 1或a=b或a=¯b(40)证明.⇐=.假设f和g满足(40)如果f和g满足|a|,|b|<1或|a|,|b|>1或a=b或a=¯b(41)那么通过定理3.2的（ii）在C上的线性映射z→az和z→bz通过同胚η:C→C是拓扑共轭的,因此f和g通过同胚h:ˆC→ˆC是拓扑共轭的,定义成如下形式h(z):=η(z)如果z∈C并且h(∞):=∞.如果f和g不满足(41)（但是满足(40)）,那么|a|<1并且|b|>1或者|a|>1并且|b|<1.假设|a|<1并且|b|>1.那么|1/b|<1并且通过(41)f拓扑共轭于g−1z=(1/b)z,通过ˆC上的同胚z→1/z拓扑共轭于g.=⇒.令ˆC上的Mobius变换f(z)=az和g(z)=bz是拓扑共轭的,那么存在着一个同胚h:ˆC→ˆC,使得hg(z)=f h(z)z∈ˆC.(42)因为h把所有g的不动点转换成f的不动点,他们的不动点是0和∞,下面我们分两种情形来讨论.第一种情形:h(∞)=∞并且h(0)=0.通过(42)线性算子z→az和z→bz在C上是拓扑共轭的,通过h到C上的限制同胚.定理3.2的（ii）确定|a|,|b|<1或|a|,|b|>1或a=b或a=¯b(43)第二种情形:h(∞)=0并且h(0)=∞.Mobius变换f−1(z)=(1/a)z和g(z)=bz是拓扑共轭的,通过同胚h1:=ϕh在这里ϕ(z):=1/z.因为h1(∞)=∞,我们有(43),在这里a被1/a代替.上面的两种情形a和b都满足(40).3.2定理3.1的证明我们记f和g是两个非恒等映射的Mobius变换,记λ和λ′分别为M f和M g的任一特征值,记n(f)和n(g)为f和g的不动点个数.(44)另外,注意到任意非恒等映射的Mobius变换的不动点个数为1或2.（i）⇐⇒（iv）.假设（i）存在,那么n(f)=n(g).因为f和g不是恒等的,下面我们分两种情形来讨论.第一种情形:n(f)=n(g)=1,通过(9)f和g共轭于m1(z)=z+1,它的乘子是1,这就确定了（iv）.第二种情形:n(f)=n(g)=2,令µ,ν 0,1是f和g的乘子,通过(9)f和g共轭于mµ(z)=µz和mν(z)=νz,他们的不动点是0或者∞.引理3.1确定了（iv）.因此推出（i）=⇒（iv）,相反的讨论我们得出（i）⇐=（iv）.（iii）⇐⇒（iv）.通过(9)和(6),如果µ是f的乘子,那么f共轭于mµ(z)=µz(µ 0,1)或者m1(z)=z+1(µ=1),因此M f相似于M mµ=±1√µ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣µ001⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=±⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣√µ001/√µ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(µ 0,1)或者M mµ=±⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(µ=1)因此矩阵M f有一个特征值λ等于√µ或−√µ(µ 0)(45)类似的,如果ν是g的乘子,那么M g有一个特征值λ′等于√νor−√ν(ν 0),这就证明了（iii）和（iv）是等价的.（ii）⇐⇒（iii）.让我们证明|λ|=1⇐⇒trM f=±trM mµ∈[−2;2].(46)等式trM f=±trM mµ成立是因为M f和M mµ是相似的.如果|λ|=1,那么通过(8)trM mµ=λ+λ−1=λ+¯λ∈[−2;2].如果|λ| 1,那么λ−1=¯λ并且trM mµ=λ+λ−1 [−2;2],这就证明了(46).下面我们分三种情形来讨论.第一种情形:|λ| 1并且|λ′| 1,那么（iii ）存在,并且通过(46),（ii)也存在.第二种情形:|λ|=1并且|λ′| 1,或者|λ| 1并且|λ′|=1,那么（ii ）和（iii ）都不存在.第三种情形:|λ|=|λ′|=1.条件trM f =±trM g 等价于trM m µ=±trM m ν等价于λ+¯λ=±(λ′+¯λ′)等价于λ=±λ′或者λ=±¯λ′.3.3推论3.2的证明对于任意的Mobius 变换f 和g 我们将分以下四种情形分别讨论.第一种情形:n (f ) n (g ),那么推论3.2的断言（i ）不存在,让我们证明（ii ）也不存在.假设n (f )<n (g ).如果n (g )=∞,那么g 是恒等的,n (f )∈1,2,并且（ii ）是不存在的.假设n (g )<∞,那么n (f )=1并且n (g )=2.通过（9）和（45）,f 共轭于m 1(z )=z +1并且g 共轭于m µ(z )=λ2z .线性算子x →M f x 和x →M g x 共轭于x →±M m 1x 和x →±M m µx ,在这里M m 1=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,M m µ=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(λ 0,1)矢量[0,0]T 是线性算子x →±M m µx 的唯一不动点.所有的矢量[a ,0]T (a ∈C )是x →±M m 1x 的不动点.因此断言（ii ）不存在.第二种情形:n (f )=n (g )=1,通过（9）f 和g 共轭于z =z +1,通过（8）矩阵M f 和M g 相似于⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1101⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦或者⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣−110−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦因此M f 相似于M g 或者−M g ,因此x →M f x 共轭于x →M g x ,因此它们拓扑共轭.第三种情形:n (f )=n (g )=2,通过（9）和（45）f 共轭于z →λ2z 并且g 共轭于z →λ′2z ,在这里λ和λ′是M f 和M g 的特征值.M f 和M g 的Jordan 形式是±J f 和±J g ,在这里J f :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ00λ−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,J g :=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ′00λ′−1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,λ,λ′ {0,±1}.通过定理3.1（iii ）,f 和g 共轭当且仅当|λ|,|λ′| 1,或者λ=±λ′,或者λ=±¯λ′,当且仅当线性算子x →J f x 和x →±J g x 拓扑共轭,当且仅当线性算子x →M f x 和x →±M g x 拓扑共轭.第四种情形:n (f )=n (g )>2，断言（i ）和（ii ）存在因为f 和g 是恒等映射并且M f =±M g =±I 2,在这里I 2是恒等矩阵.第4章单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类4.1单位圆盘与上半平面上的全纯自同构众所周知,存在从单位圆盘到上半平面的解析双射,所以Aut(H)和Aut(D)是全纯同构的.那么当我们明确了上半平面上的全纯自同构的拓扑共轭分类时,也就可以给出单位圆盘上全纯自同构的拓扑共轭分类.现在我们从Aut(H)入手,上半平面上的全纯自同构必具有如下形式f(z)=az+bcz+d,这里a,b,c,d∈R且ad−bc=1.记PSL(2,R) SL(2,R)/{I2,−I2}为实数域上的2阶射影特殊线性群,这里I2表示2阶单位矩阵.注意到Aut(H) PSL(2,R),那么我们可以根据Jordon标准型对上半平面上的全纯自同构进行分类,而且具有相同Jordon标准型的全纯自同构是全纯共轭的（这个全纯共轭是由相似变换诱导的）.Type I.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝λ100λ2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠这里λ1 λ2.则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于某个g(z)=λz,λ>1.Type II.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝1101⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠或⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝−110−1⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠.则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于g(z)=z+1.Type III.若⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝a bc d⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠≃⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝cosθ−sinθsinθcosθ⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠这里θ∈[0,2π).则f(z)=az+bcz+d全纯共轭于某个g(z),g(z)=cosθz−sinθsinθz+cosθ,这里θ∈[−π2,π2 ).上半平面上的全纯自同构必为Type I―III中的一种.另外,注意到Type I和Type II的全纯自同构是没有不动点的,称之为NFP-型全纯自同构;Type III的全纯自同构必有不动点,称之为EFP-型全纯自同构.由于具有不动点这一性质是拓扑共轭不变性,所以NFP-型全纯自同构与EFP-型全纯自同构之间是不拓扑共轭的.另外,通过上半平面到单位圆盘的解析双射,Type III型的全纯自同构对应了（全纯共轭）单位圆盘上的旋转映射.引理4.1令f(z):H→H为上半平面上的全纯自同构f(z)=cosθz−sinθsinθz+cosθ,令g(ω):D→D为单位圆盘上的全纯自同构g(ω)=e i2θω,这里θ∈[−π2,π2).则f与g全纯共轭(拓扑共轭).证明.定义映射h:H→D为,对任意的z∈C,h(z)=z−i z+i.则h是一个全纯同构(同胚).往证下面图表是交换的.H f−→Hh↓↓hD g−→D令ω=h(z)=z−iz+i ,则z=h−1(ω)=ω+11−ωi.那么f h−1(ω)=cosθω+11−ωi−sinθsinθω+11−ωi+cosθ=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ,进而h f h−1(ω)=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ−i ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθωi sinθ+i sinθ+cosθ−ωcosθ+i=ωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθ+ωsinθ+sinθ−i cosθ+iωcosθωi cosθ+i cosθ−sinθ+ωsinθ−ωsinθ−sinθ+i cosθ−iωcosθ=2ωi cosθ+2ωsinθ2i cosθ−2sinθ=i cosθ+sinθi cosθ−sinθω=(i cosθ+sinθ)(i cosθ+sinθ)−cosθ·cosθ−sinθ·sinθω=−(−cosθ·cosθ+2i sinθcosθ+sinθ·sinθ)ω=(cos2θ−i sin2θ)ω=e i2θω=g(ω).至此,我们可以称Type III的全纯自同构为上半平面上的旋转,若其对应θ∈[−π2,π2 ),则称θπ为这个旋转的旋转数,记做ρ(f).4.2上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类现在我们将进一步讨论Type I-III型全纯自同构,进而给出上半平面上全纯自同构拓扑共轭分类.如不作特殊说明,本节中的映射均指上半平面上的连续自映射.首先对于Type I的全纯自同构,我们可以证明它们都是拓扑共轭的.命题4.1设g(z)=2z.那么对每个f(z)=az,a>1,f(z)拓扑共轭于g(z).证明.对任意的a>1,令α=log2a−1.定义映射h:H→H为h(z)=z|z|α,对任意z∈H.则h是一个同胚.一方面,h∘g(z)=h(2z)=2z|2z|α=2α+1z|z|α=az|z|α,另一方面,f∘h(z)=f(z|z|α)=az|z|α,故h∘g(z)=f∘h(z),因此f拓扑共轭于g.。
黎曼曲面讲义
3.5 Abel-Jacobi 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
第四章 曲面与上同调
121
4.1 全纯线丛的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
f 的实部和虚部分别为 u, v, 则 f 为全纯函数的充分必要条件是 u, v 满足如下的
Cauchy-Riemann 方程:
$ & ux “ vy,
% uy “ ´vx.
全纯函数的定义还有许多其他的等价形式.
平均值公式:
若函数
f
在圆盘
tz
P
C
ˇ ˇ
|z
´ a|
ă
Ru
内全纯并连续到边界,
则
f paq “
本书主要内容如下：第一章基本上是关于复变函数的简单复习，我们给出了 单值化定理的简单情形，即 Riemann 映照定理的证明。这一章也得到了调和函数 的梯度估计以及 Harnack 原理，这里采用的方法可以推广到一般的黎曼流形上。 第二章引入了抽象黎曼曲面的定义，并给出了单连通黎曼曲面的分类（单值化定 理），其中，黎曼环面作为一类重要的紧致黎曼曲面也加以了分类。证明单值化定 理的方法是通过调和函数（可能带有奇点）来构造特殊的全纯映射。而调和函数 的存在性是通过经典的 Perron 方法获得的。第三章是本书核心内容之一，我们给 出了 Riemann-Roch 公式的证明，并选择了若干有意思的应用加以介绍。我们选 择的 Riemann-Roch 公式的这个证明也是经典的，它也涉及某些给定奇性的亚纯 微分的存在性，这种亚纯微分的存在性是通过 Hodge 定理获得的，为了尽快的介 绍 Riemann-Roch 公式的应用，我们把重要的 Hodge 定理的证明放在本书第二个 附录中了。通过 Riemann-Roch 公式我们知道了紧致黎曼曲面上亚纯函数的丰富 性，我们也证明了亚纯函数域是一个一元代数函数域，并且它惟一地决定了黎曼曲 面本身。作为例子我们简单介绍了黎曼环面上的亚纯函数，它们就是经典的椭圆 函数。通过适当地挑选亚纯函数，我们把黎曼曲面全纯地嵌入到了复投影空间中， 因此可以从代数曲线的角度来研究它们。我们还介绍了计算总分歧数的 RiemannHurwitz 公式，并利用它简单研究了超椭圆型的黎曼曲面。接下来我们介绍了曲面 上的 Weierstrass 点，得到了 Weierstrass 点的个数估计。这些结果又被应用于曲面 的全纯自同构群，特别地，我们证明了亏格大于 1 的紧致黎曼曲面全纯自同构群 的阶的估计。作为第二章的结束，我们还介绍了重要的双线性关系、Jacobi 簇，证
同态与同构
离散结构同态与同构教学目标基本要求（1）掌握同态映射与同构映射的定义（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点（1）同态映射的证明同态映射定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) 如果f是单射，则称为单同态(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2，则称作自同态实例例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解：(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数实例例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n，f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令f: R→R*，f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射，f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a (x)=ax，f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态；为自同构；当a=±1时，称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。
自同构和直积-概述说明以及解释
自同构和直积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:自同构和直积是群论和代数学中重要的概念。
自同构指的是一个群与其自身之间存在一一对应的同构映射关系，直积则是将两个群的元素按照一定规则组合在一起得到一个新的群。
自同构和直积的研究在代数学和离散数学中具有重要的地位，它们不仅有着理论上的意义，也在实际中有着广泛的应用。
在本文中，我们将对自同构和直积这两个概念进行详细的介绍，并探讨它们之间的关系。
通过对这些概念的深入理解，我们可以更好地理解群论和代数结构中的各种问题，从而为进一步的研究和应用提供坚实的基础。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括本文的主要章节和内容概述。
在这里，我们可以简要介绍本文将分为引言、正文和结论三个部分。
在引言中将概述自同构和直积的概念，同时阐明本文的目的和意义。
在正文部分将详细介绍自同构和直积的定义、性质和相关定理，以及它们之间的关系。
最后在结论部分将总结自同构和直积在数学领域的重要性，并展望未来可能的研究方向。
整篇文章将围绕这些内容展开，希望可以为读者提供清晰的理解和启发。
1.3 目的本文旨在探讨自同构和直积在数学领域中的重要性和应用。
通过对自同构和直积的定义、性质和特点进行详细分析，我们希望读者能够深入了解这两个概念在代数学、几何学、拓扑学等领域中的重要作用。
通过对自同构和直积的关系进行讨论，我们将展示它们之间的联系和相互影响。
最终，我们将总结自同构和直积的重要性，并探讨它们在未来研究方向中的潜力应用，以期为数学领域的进一步发展提供启示。
2.正文2.1 自同构自同构是指一个结构与自身的同构映射。
在数学领域中，自同构通常指的是一个映射，它将一个结构映射到自身并保持结构的基本特征不变。
自同构在代数、拓扑、几何等领域都有重要应用。
在代数学中，自同构常常用来研究群、环、域等代数结构的性质。
一个群的自同构映射可以帮助我们理解群的对称性质，而一个环的自同构映射则可以揭示环的结构特征。
同构第二定理
同构第二定理同构第二定理是代数学中的一个重要定理，它与同态定理、同构定理一起被称为群论的三大基本定理。
同构第二定理是描述群的核与像之间的关系的定理，它可以帮助我们更好地理解群的结构和性质。
在群论中，同态是一种保持群结构的映射，即一个函数 f：G→H，其中 G 和 H 都是群，如果对于所有的 g1, g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)，那么称f 是一个同态。
同态定理告诉我们，同态映射可以将群 G 的子群映射到 H 的子群上，这为我们研究群的结构和性质提供了有力的工具。
同构是一种保持群结构和元素间关系的映射，即一个函数 f：G→H，其中 G 和 H 都是群，如果 f 是双射且对于所有的 g1,g2∈G，都有 f(g1g2)=f(g1)f(g2)，那么称 f 是一个同构。
同构定理告诉我们，同构映射可以将G 的子群映射到H 的子群上，并且保持它们之间的结构和性质不变。
同构第二定理是描述群的核与像之间关系的重要定理。
在同态f：G→H 中，f 的核 ker(f) 是 G 的一个子群，它包含了 G 中所有被 f 映射到 H 的单位元上的元素。
同时，f 的像 im(f) 是 H的一个子群，它包含了所有被 f 映射到 H 上的元素。
同构第二定理告诉我们，ker(f) 是 G 的一个正规子群，并且 G/ker(f)同构于 im(f)。
具体地说，同构第二定理可以表示为：如果 f：G→H 是一个群的同态，那么 ker(f) 是 G 的正规子群，而且 G/ker(f) 同构于im(f)。
这个定理的证明需要用到同态基本定理和同构基本定理，它们是群论中非常重要的两个基本定理。
同构第二定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在密码学中，同构第二定理可以用来证明 Diffie-Hellman 密钥交换协议的安全性；在物理学中，同构第二定理可以用来描述粒子对称性；在计算机科学中，同构第二定理可以用来研究算法的复杂度等问题。
群论中的群的自同构和外自同构
群论是数学中一个重要的研究领域，研究的是群的结构和性质。
而群的自同构和外自同构正是群论中具有重要意义的概念。
群的自同构指的是一个群与自身之间存在的一种一对一的双射映射，该映射保持了群的运算结构。
也就是说，对于一个群G，如果存在一个映射φ: G → G，满足：(1) φ(g1 * g2) = φ(g1) * φ(g2)，对于任意的g1, g2∈G；(2) φ是一对一映射。
那么称φ为群G的自同构。
群的自同构不仅仅是一种简单的映射，它同时还是保持了群的运算结构，既有映射的特点，又保持了群的性质，具有重要的意义。
群的自同构可以让我们更深入地研究一个群的结构。
通过找到群的自同构，我们可以发现群的一些性质和特征。
例如，通过研究循环群的自同构，我们可以得到其全部自同构的形式，从而推导出一些关于该循环群的重要结论。
群的自同构还可以用来研究同构群的问题，例如，如果两个群存在自同构，则它们的结构相似，这为研究群的性质和分类提供了便利。
除了群的自同构，还存在一种概念叫做群的外自同构。
群的外自同构是指一个群与另一个群之间存在的一种一对一的双射映射，该映射仅保持了群的基本运算性质，但不一定保持了具体的元素和运算结果。
也就是说，对于两个群G和H，如果存在一个映射φ: G → H，满足：(1) φ(g1 * g2) = φ(g1) * φ(g2)，对于任意的g1, g2∈G；(2) φ是一对一映射。
那么称φ为群G与群H之间的一个外自同构。
群的外自同构与群的自同构的不同之处在于，外自同构研究的是群与其他群之间的对应关系，而不是群内部的运算结构。
外自同构可以让我们研究不同的群之间的关系，从而更好地理解和比较不同的群。
总之，群的自同构和外自同构是群论中重要的概念。
群的自同构保持了群的完整性与结构，而群的外自同构则研究了不同群之间的对应关系。
通过研究群的自同构和外自同构，我们可以更深入地了解群的性质和结构，为群论的研究提供了基础。
单位圆盘的全纯自同构的推广
㊀[收稿日期]２０１７Ｇ０７Ｇ１９;㊀[修改日期]２０１７Ｇ０９Ｇ２０㊀[基金项目]教育部 基础学科拔尖学生培养试验计划 研究课题(２０１７０１１７);国家自然科学基金面上项目(１１６７１３０６)㊀[作者简介]涂振汉(１９６３－),男,博士,教授,从事复分析和复几何的研究．E m a i l :z h h t u ．m a t h ＠w h u ．e d u ．c n第３４卷第１期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３４,ɴ．１２０１８年２月C O L L E G E MA T H E MA T I C SF e b ．２０１８单位圆盘的全纯自同构的推广涂振汉(武汉大学数学与统计学院,武汉４３００７２)㊀㊀[摘㊀要]单位圆盘的全纯自同构是«复变函数»课程中重要的内容之一,本文给出了单位圆盘的全纯自逆紧映照,其为单位圆盘的全纯自同构的一种推广,可供讲授«复变函数»课程的教师参考．[关键词]全纯函数;逆紧映照;单位圆盘[中图分类号]O １７４．５６㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０１Ｇ００７７Ｇ０３在«复变函数»课程中,单位圆盘的全纯自同构是一个重要内容[１－６]．单位圆盘的全纯自逆紧映照是单位圆盘的全纯自同构的一种自然推广．国内各种流行版本的«复变函数»教材,限于篇幅和课时,基本上没有涉及全纯逆紧映照．鉴于全纯逆紧映照在现代复分析中的重要地位[２],本文整理介绍了单位圆盘的全纯自逆紧映照,供讲授«复变函数»课程的教师参考．本文中,始终用D 表示复平面ℂ中的单位圆盘．定义㊀设U ,V 是复平面ℂ中的两个区域．假如映照f ʒU ңV 对任意紧子集E ⊂V 都有f －１(E )＝ә{z ɪU |f (z )ɪE }是U 中的紧子集．则f ʒU ңV 称为逆紧映照．显然同胚映照f ʒU ңV 一定是逆紧映照．全纯的逆紧映照f :D ңD 也称为单位圆盘的全纯自逆紧映照．这样单位圆盘的全纯自同构一定是单位圆盘的全纯自逆紧映照．但是,反之不然．例如:f (z )＝z ２(z ɪD )是单位圆盘的全纯自逆紧映照,但不是单位圆盘的全纯自同构．性质㊀设U ,V 是复平面ℂ中的两个有界区域,f ʒU ңV 为全纯的逆紧映照．则有(i )对U 中的离散序列{z n },其像{f (z n )}也是V 中的离散序列;(i i )对任一v ɪV ,都有f －１(v )是有限集;(i i i )f (U )＝V ．证㊀(i )否则,存在U 中的离散序列{ζn }使得f (ζn )ңλ(n ңɕ),其中λɪV ．则集合E ʒ＝{λ,f (ζ１), ,f (ζn ), }是V 中的紧子集．由于{ζn }⊆f －１(E ),故f －１(E )不是U 中的紧子集．与f ʒU ңV 是全纯自逆紧映照矛盾．(i i )反证．假设存在一v ０ɪV ,使得f －１(v ０)是无限集．由定义f －１(v ０)是U 中的紧子集,这样f －１(v ０)在U 中有聚点．据全纯函数唯一性定理得f (z )ʉv ０于U 上,与性质(i )矛盾．(i i i )由性质(i )知全纯函数f ʒU ңV 是非常值的,这样由开映射定理知f (U )是V 中开子集．反证．假设f (U )ʂV ．由于f (U )⊆V ,故存在v ０ɪV 使v ０∉f (U )但v ０ɪ∂f (U )(这里∂f (U )表示８７大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷集合f(U)的边界)．因此存在U中的序列z n{}使得f(z n)ңv０(nңɕ)．由集合Eʒ＝{v０,f(z１), ,f(z n), }是V中的紧子集,故{z n}⊆f－１(E)在U中有聚点．设z n kңu０(kңɕ),其中u０ɪU．因此f(u０)＝l i m kңɕf(z n k)．又l i m kңɕf(z n k)＝v０,即得f(u０)＝v０．与v０∉f(U)矛盾．假如hʒDңD是全纯自同构．则存在点αɪD和实数θ使得h(z)＝e iθz－α１－ αz㊀(zɪD)．作为单位圆盘的全纯自同构的一种推广,单位圆盘的全纯自逆紧映照有如下具体形式．定理㊀设fʒDңD是全纯自逆紧映照．则存在有限多个α１, ,αnɪD和实数θ使得f(z)＝e iθᵑn k＝１z－αk１－αk z(即单位圆盘的全纯自逆紧映照必为有限的B l a s c h k e乘积)．证㊀由本文性质(i i),(i i i)得全纯自逆紧映照fʒDңD有且仅有有限多个零点．设f:DңD的零点为α１, ,αnɪD(这里计重数)．定义D上的全纯函数F(z)ʒ＝f(z)ᵑn k＝１１－αk z z－αk㊀(zɪD)．则由本文性质(i)得l i m|z|ң１|f(z)|＝１．因此仍然有l i m|z|ң１|F(z)|＝１．故由全纯函数最大模原理可得|F(z)|ɤ１㊀(zɪD)．由于F(z)(zɪD)无任何零点,应用到全纯函数１F(z)(zɪD)同样可得|１F(z)|ɤ１㊀(zɪD)．综合即得|F(z)|ʉ１(zɪD)．因此全纯函数F(z)(zɪD)为某常值e iθ,其中θ为实数．故有f(z)＝e iθᵑn k＝１z－αk１－αk z．即单位圆盘的全纯自逆紧映照必为有限的B l a s c h k e乘积．本文介绍了复平面上单位圆盘的全纯自逆紧映照．在多复变量中,全纯自逆紧映照也得到了广泛的研究．与单变量情形不同,多复变量空间中的单位球B上的全纯自逆紧映照一定是单射映照,而且其全体即为B的全纯自同构群．限于篇幅,这里就不再介绍了．«复变函数»课程教学研究是多方面的,有兴趣的读者还可参考论文[７－９]．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀A h l f o r sL V．C o m p l e xa n a l y s i s(T h i r dE d i t i o n)[M]．N e w Y o r k:M c G r a w－H i l l C o m p a n y,１９７９．[２]㊀R u d i n W．F u n c t i o nT h e o r y i n t h eU n i tB a l l o fC n[M]．B e r l i n:S p r i n g e r－V e r l a g,２００８．[３]㊀龚升．简明复分析[M]．北京:北京大学出版社,１９９９．[４]㊀史济怀,刘太顺．复变函数[M]．合肥:中国科学技术大学出版社,１９９８．[５]㊀谭小江,伍胜键．复变函数简明教程[M]．北京:北京大学出版社,２００７．[６]㊀余家荣．复变函数[M]．３版．北京:高等教育出版社,２０００．[７]㊀刘太顺,唐笑敏．边界型S c h w a r z引理[J]．大学数学,２００９,２５(４):１７７－１７９．[８]㊀唐笑敏,刘太顺,胡璋剑．高师院校复变函数课程教学改革的探索[J]．大学数学,２０１１,２７(１):１２－１５．[９]㊀黄华平．S c h w a r z引理的推广及其应用[J]．大学数学,２０１４,３０(６):１２－１６．AG e n e r a l i z a t i o no fH o l o m o r p h i cA u t o m o r ph i s mo n t h eU n i tD i s c T UZ h e n Ｇh a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,W u h a nU n i v e r s i t y,W u h a n４３００７２,C h i n a )A b s t r a c t :T h eh o l o m o r p h i c a u t o m o r p h i s ma b o u t t h eu n i t d i s c i s a n i m po r t a n t c o n t e n t o f t h e c o u r s e f u n c t i o n s o f o n e c o m p l e xv a r i a b l e ．I nt h i s p a p e r ,w e g i v eh o l o m o r p h i c p r o p e rs e l f Ｇm a p o nt h eu n i td i s c ,w h i c hi sa g e n e r a l i z a t i o no f h o l o m o r p h i c a u t o m o r ph i s mo n t h e u n i t d i s c ．T h i s c a n s e r v e a s a r e f e r e n c e f o r t e a c h e r sw h o t e a c h t h e c o u r s e f u n c t i o n s o f o n e c o m pl e xv a r i a b l e ．K e y wo r d s :h o l o m o r p h i c f u n c t i o n ;p r o p e rm a p ;u n i t d i s c ９７第１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀涂振汉:单位圆盘的全纯自同构的推广。
一类乘积域的全纯自同构群
一类乘积域的全纯自同构群
随着科学技术的高速发展，研究者们着手探索地球以外的宇宙生命，乘积域的全纯自同构群便提供了有效的框架来进行探究。
乘积域的全纯自同构群属于代数学的一个专业，它涉及到数字的叠加和因式的乘积，旨在找到内容一致的数字序列，以便注入科学实验室中，进行宇宙生命的探索和模拟。
研究发现，乘积域的全纯自同构群具有宇宙序列的可解且可预测性，在宇宙旋转的自然界中，它提供了一个稳定的数据结构，据此，我们可以将人类的本性与宇宙的特点放在一起作比对，从而开展对外太空的探究。
通过运用乘积域的全纯自同构群，可大幅提升宇宙调查领域的解决能力，有效帮助研究者发掘并模拟宇宙生命的形态特征。
另外，它在制订太空游戏活动中也有着重要作用，如太空探索类游戏、科学教育、和太空探究行程。
总之，乘积域的全纯自同构群在宇宙研究上具有重要价值，今后将为我们宣告全新的外太空广袤的生物world，令我们的生活因科技而更加神奇多彩。
上半平面的全纯自同构群
上半平面的全纯自同构群全纯函数是复平面上的复数域到复数域的映射，且在其定义域内处处可导。
全纯自同构群是指上半平面到其自身的保全全纯映射构成的群。
本文将探讨上半平面的全纯自同构群的一些性质和特征。
首先，我们需要明确上半平面的定义。
上半平面是由复平面上的虚部大于0的点构成的区域。
在复平面中，上半平面可以表示为{x+ yi|x∈R,y>0}。
我们将研究映射这个区域到自身的全纯函数。
其次，全纯自同构群的定义是指保全全纯映射组成的群。
具体来说，如果存在一个全纯函数f，能够把上半平面的任意点映射到上半平面的另一个点，且f的逆函数也是全纯的，则f属于上半平面的全纯自同构群。
全纯自同构群中的全纯函数可以是线性的，也可以是非线性的。
上半平面的全纯自同构群具有一些重要的特征。
首先，全纯自同构群是群的结构，即对于任意两个全纯函数f和g，其复合函数f∘g 和逆函数f^{-1}也是全纯的。
其次，全纯自同构群是可数无穷的，即其中的全纯函数个数是可数的。
这是因为全纯函数的性质决定了它们是解析的，而解析函数是由其泰勒级数展开得到的，而泰勒级数是可数的。
因此，全纯自同构群的元素个数是可数无穷的。
此外，上半平面的全纯自同构群还具有一些重要的应用。
它在数学和物理学上都有广泛的应用，特别是在复变函数论、Riemann几何、共形映射等领域。
全纯自同构群的研究不仅有助于深入理解复平面上的映射性质，还对于解决一些数学问题和物理问题具有重要的意义。
总的来说，上半平面的全纯自同构群是由保全全纯映射构成的群。
它具有群的结构和可数无穷个元素，且在数学和物理学上有广泛的应用。
通过对其性质和特征的研究，我们可以更加深入地理解上半平面和全纯函数的关系，以及它们在数学和物理学中的重要性。
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上半平面的全纯自同构群
上半平面的全纯自同构群摘要：一、上半平面的全纯自同构群简介1.全纯自同构群的定义2.上半平面的概念3.两个重要的上半平面全纯自同构群：PSL(2,R) 和PGL(2,R)二、PSL(2,R) 的性质1.PSL(2,R) 的元素和运算2.PSL(2,R) 的表示3.PSL(2,R) 的子群和正规子群三、PGL(2,R) 的性质1.PGL(2,R) 的元素和运算2.PGL(2,R) 的表示3.PGL(2,R) 的子群和正规子群四、上半平面全纯自同构群的应用1.复分析中的全纯函数2.数论中的模形式3.量子场论中的共形场论正文：一、上半平面的全纯自同构群简介全纯自同构群是数学中一个重要的概念，它涉及到复分析、数论和量子场论等多个领域。
首先，我们需要了解全纯自同构群的定义。
全纯自同构群是指在复分析中，具有全纯映射的群。
接下来，我们引入上半平面的概念。
上半平面是指复平面中实部大于零的部分。
在数学中，我们可以通过上半平面来研究复分析中的全纯函数。
最后，我们介绍两个重要的上半平面全纯自同构群：PSL(2,R) 和PGL(2,R)。
二、PSL(2,R) 的性质PSL(2,R) 是上半平面全纯自同构群的一个重要子群，具有丰富的性质。
首先，我们介绍PSL(2,R) 的元素和运算。
PSL(2,R) 的元素由2×2 的实矩阵组成，满足某种特定的条件。
在运算方面，PSL(2,R) 遵循矩阵乘法的规则。
接下来，我们探讨PSL(2,R) 的表示。
PSL(2,R) 可以表示为复平面上的双曲函数，这种表示有助于我们更好地理解PSL(2,R) 的性质。
此外，我们还可以研究PSL(2,R) 的子群和正规子群，深入了解PSL(2,R) 的结构。
三、PGL(2,R) 的性质与PSL(2,R) 类似，PGL(2,R) 也是上半平面全纯自同构群的一个重要子群，具有独特的性质。
首先，我们介绍PGL(2,R) 的元素和运算。
PGL(2,R) 的元素同样由2×2 的实矩阵组成，但在运算方面，PGL(2,R) 遵循矩阵除法的规则。
上半平面的全纯自同构群
上半平面的全纯自同构群（原创实用版）目录1.引言2.上半平面的全纯自同构群的定义3.上半平面的全纯自同构群的性质4.上半平面的全纯自同构群的例子5.上半平面的全纯自同构群的应用6.结论正文【引言】在数学领域，自同构群是一种重要的代数结构，它具有广泛的应用。
全纯自同构群是自同构群中的一种特殊类型，其性质和应用引起了许多数学家的关注。
本文将介绍上半平面的全纯自同构群，包括其定义、性质、例子以及应用。
【上半平面的全纯自同构群的定义】上半平面的全纯自同构群是指在上半平面上具有全纯变换的自同构群。
全纯变换是指复变函数在某一区域内的解析映射，保持原点不变，且变换后的函数仍为解析函数。
【上半平面的全纯自同构群的性质】上半平面的全纯自同构群具有以下性质：1.封闭性：全纯自同构群中的元素所构成的集合在复数域中是闭集。
2.解析性：全纯自同构群中的元素变换后的函数仍为解析函数。
3.齐次性：全纯自同构群中的元素满足齐次性条件，即对任意复数 z，变换后的函数为原始函数的常数倍。
【上半平面的全纯自同构群的例子】一个典型的上半平面的全纯自同构群的例子是 Mobius 变换。
Mobius 变换是指在复数域中，将复数平面上的点 (z, w) 变换为 (w, z) 的变换。
显然，Mobius 变换保持原点不变，且变换后的函数仍为解析函数。
【上半平面的全纯自同构群的应用】上半平面的全纯自同构群在复分析、数论、代数几何等领域都有广泛应用。
例如，在复分析中，全纯自同构群可以用来研究复变函数的性质；在数论中，全纯自同构群可以用来研究整数环的性质；在代数几何中，全纯自同构群可以用来研究代数曲线的性质。
【结论】综上所述，上半平面的全纯自同构群作为一种特殊的自同构群，具有丰富的性质和应用。
完全图的完全扩容图的自同构群
完全图的完全扩容图的自同构群张超;常建【摘要】It is very difficult to determine the automorphism group of complete expansion graph.By the special relationship between the automorphism group of the complete expansion graph of the complete graph and the automorphism group of the complete graph,we can deduce the automorphism group of com-plete expansion graph of Kn is a imprimitive group,based on which we can further confirm the automor-phism group of complete expansion graph.%确定一个图的扩容图的自同构群是一个比较困难的问题。
通过完全图的完全扩容图的自同构群与完全图的自同构群之间的特殊关系，推导出完全图的完全扩容图的自同构群是一个非本原群，在此基础上进一步确定了完全图的完全扩容图的自同构群。
【期刊名称】《内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版）》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】4页(P596-599)【关键词】完全图;完全扩容图;非本原群;自同构群【作者】张超;常建【作者单位】内蒙古化工职业学院基础教学部，内蒙古呼和浩特 010070;内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特 010022【正文语种】中文【中图分类】O157.5近年来,有限群的自同构群的研究主要包括给定群求其自同构群和给定自同构群求原群两个方面,而对图的自同构群的研究较少.图的自同构群的构造是代数图论中的基本问题之一,但是确定它的自同构群比较困难,本文主要研究完全图的完全扩容图的自同构群.每两个不同的顶点之间有一条边相连的简单图称为完全图,在同构意义下,n个顶点的完全图仅有一个,用Kn表示.一个图的剖分图的线图是这个图的完全扩容图[1],由完全扩容图的定义可知,完全图的完全扩容图ϑ(Kn)的顶点数为n(n-1).由于图的容量很大,直接讨论完全图的完全扩容图的自同构群相当困难,但是完全图的自同构群是n次对称群,利用对称群的自同构群的特性和扩容图的特殊结构,可以使自同构群的讨论相对容易一些.文中涉及的图均为有限、无向简单图.两个图G和G′之间的一个同构是顶点集V(G)到V(G′)之间保持关联的一个双射,即G中顶点u和v关联当且仅当它们的像f(u)和f(v)在G′中关联.图G自身的同构称为G上的一个自同构.显然,图G所有的自同构集合构成一个群,称之为G的自同构群,记作Aut(G).∀u∈V(Kn),用ϑ(u)表示ϑ(Kn)中阶数为n-1的团.如果图G的边集为E且E′⊂E,则G-E′表示从图G中把E′中的边删除掉所得到的子图,所以∀x∈V(ϑ(u)),dϑ(Kn)-E(ϑ(u))(x)=1.对于u,v∈V(Kn),用ϑ(u)～ϑ(v)表示在ϑ(Kn)中∃x∈V(ϑ(u)),y∈V(ϑ(v)),使得x～y.未加定义的符号和术语见文献 [2-3].引入几个重要的定义和结论.定义1[4] G是Ω={α1,α2,…,αn}上的一个置换群.如果对任一αi(i=1,2,…,n)都有G 中一个元素gi使,那么G就称为Ω上的传递群.定义2[4] G是Ω上的一个置换群.如果G对于Ω中任一个点α的稳定子群都是单位子群,则称G是半正则群,传递的半正则群称为正则群.定义3[4] G是Ω上的一个传递群.如果Ω可以分成一些两两互不相交的子集Ω=π1∪π2∪…∪πs(1<s<n),πi∩πj=Φ (i≠j),使得G中每个置换将每个πi仍变为某个πj,那么G称为一个非本原群.πi(i=1,2,…,s)称为G的非本原集.定义4[4] 设M是一个有代数运算的集合(不必是群),则M的全体自同关于变换的乘法做成一个群,称为M的自同构群.记作Aut(G).引理1[4] 若图G′是图G的子图,则在同构意义下ϑ(G′)是ϑ(G)的子图.引理2[4] 设δ(G)≥2,则ϑ为图G的一个完全扩容变换的充分必要条件为ϑ(G)是图G的剖分线图.引理3[4] ∀图G,χ(ϑ(G))=Δ(G).引理4[4] ∀k∈N,Δ(ϑk(G))=Δ(G),∀G.引理5[4] 设G上k-正则图,则ϑ(G)也是k-正则图.定理1[4] G是Ω上的一个传递群.如果Gα(α∈Ω)还保持Ω中另一个点β不变,那么G或者是非本原的,或者是素数次正则群.定理2[4] 设G=(V(G),E(G))是有n个顶点m条边的简单图,那么图G的完全扩容图ϑ(G),都有(ϑ(G)(ϑ(u)(ϑ(G)(ϑ(u).直接确定Aut(ϑ(Kn))比较困难,可以根据Aut(ϑ(Kn))与Aut(Kn)的关系来确定Aut(ϑ(Kn)).先证明Aut(ϑ(Kn))是一个非本原群.引理1 ∀σ∈Aut(ϑ(Kn))(n≥4),∀u,v∈V(Kn)且x∈V(ϑ(u)),若xσ∈V(ϑ(v)),则(V(ϑ(u)))σ=V(ϑ(v)).证明由完全扩容图的定义可知,ϑϑ,即(ϑ(u)(ϑ(v),所以只需证明(V(ϑ(u)))σ⊆V(ϑ(v)). 反证.若∃x′∈V(ϑ(u)),使得(x′)σ∈V(ϑ(v′))(v′≠v).因为在ϑ(u)中x～x′且σ是一个自同构,所以xσ～(x′)σ.又因为n≥4,根据完全扩容图的定义,ϑ,所以存在x″∈V(ϑ(u)) (x″≠x,x′),使得x″～x且x″～x′.因为σ是一个自同构,所以(x″)σ～xσ且(x″)σ～(x′)σ.不妨设(x″)σ∈V(ϑ(w)),若w≠v,v′,因为xσ,(x′)σ分别属于不同的两个团,所以dϑ(Kn)-E(ϑ(w))((x″)σ)≥2,与∀x∈V(ϑ(u)),dϑ(Kn)-E(ϑ(u))(x)=1矛盾; 若w=v(或v′),因为σ是一个自同构,所以(x″)σ≠xσ(或(x″)σ≠(x′)σ),那么dϑ(Kn)-E(ϑ(v′))((x′)σ)≥2(或dϑ(Kn)-E(ϑ(v))(xσ)≥2),也与∀x∈V(ϑ(u)),dϑ(Kn)-E(ϑ(u))(x)=1矛盾.所以假设不成立,故命题成立.引理2 Aut(ϑ(Kn))是V(ϑ(Kn))上的一个传递群.证明根据文献 [3],因为Kn是弧传递的,所以ϑ(Kn)是点传递的.这样就得出Aut(ϑ(Kn))是一个传递群.引理3 Aut(ϑ(Kn))是V(ϑ(Kn))上的非正则群.证明由引理2得,Aut(ϑ(Kn))是一个传递群,再根据正则群的定义,只需证明Aut(ϑ(Kn))不是半正则群即可.∀x∈V(ϑ(Kn)),不妨令x∈V(ϑ(u)),u∈V(Kn).将Aut(ϑ(Kn))G.下面主要证明Gx≠{e}.为了叙述方便,先引进图ϑ(Kn)的如下表示方法: 令V(Kn)={1,…,n},V(ϑ(i))={i1,…,in}/ii,则V(ϑ(Kn))={i1,…,in}/ii (i=1,…,n),并且ϑ(i1)～ϑ(i2)当且仅当i1i2～i2i1(i1,i2∈V(Kn),i1i2∈V(ϑ(i1)),i2i1∈V(ϑ(i2)),如图1所示.令x=12,那么u=1.取V(ϑ(Kn))上的一个置换σ,其具体形式为下面证明σ∈G=Aut(ϑ(Kn)),也就是,对于不同的两点p q,st∈V(ϑ(Kn))(p,q,s,t∈{1,…,n}; p≠q,s≠t),若p q～s t,则(p q)σ～(s t)σ.情况1 当p,q,s,t中每一个数都不等于3或4时,由置换σ可知,(p q)σ=p q,且(s t)σ=s t,所以(p q)σ～(s t)σ.情况2 当p,q,s,t中至少存在一个等于3时.(1) p=3时,因为3q～s t,由上述ϑ(Kn)的表示法,可分为2种情况:① s=3时,即3q～3t (q,t≠3; q≠t),由置换σ可知,(3q)σ,(3t)σ∈V(ϑ(4)),所以(3q)σ～(3t)σ;② t=3且s=q时,即3q～q3(q≠3).由置换σ可知,(3q)σ=4q (q≠4)或(34)σ=43,而(q3)σ=q4(q≠4)或(43)σ=34,因为4q～q4且43～34,所以(3q)σ～(q3)σ.(2) q=3时,因为p3～s t(p≠3),根据上述ϑ(Kn)的表示法,可分为2种情况:① s=3且t=p时,即p3～3p,这与p=3时,t=3且s=q的情况相同;② s=p且t≠3时,即p3～pt.由置换σ可知,(p3)σ,(pt)σ∈V(ϑ(p)) (p≠4),而(43)σ,(4t)σ∈V(ϑ(3)),所以(p3)σ～(pt)σ.(3) s=3时,因为p q～s t,根据上述ϑ(Kn)的表示法可知,p=3或q=3,这种情况包含在(1)和(2)的讨论中; t=3时也一样.情况3 当p,q,s,t中至少存在一个等于4时,与情况2类似.结合上述的3种情况可知,σ∈G,且σ∈G12,但σ≠e,这样就得出G是一个非正则群.证毕.定理1 Aut(ϑ(Kn))(n≥4)是V(ϑ(Kn))上的一个非本原群.证明将Aut(ϑ(Kn))G.∀x∈V(ϑ(Kn)),不妨令x∈V(ϑ(u)),u∈V(Kn),根据引理2和引理3知,G是一个传递的非正则群,再由文献 [4]的定理1,只要能证明Gx还保持另一个点不变就可以了.根据完全扩容图的定义,存在唯一的x′∈V [Nϑ(Kn)(x)/V(ϑ(u))],使x′～x.不妨设x′∈V(ϑ(u′)),接下来证明Gx一定保持x′不变,否则对于σ∈Gx,因为σ是ϑ(Kn)的一个自同构,所以(x′)σ∈V(ϑ(u)).再由引理1可得,(V(ϑ(u′)))σ=V(ϑ(u)),同理,由于xσ=x∈V(ϑ(u)),则(V(ϑ(u)))σ=V(ϑ(u)),这与σ是ϑ(Kn)的一个自同构相矛盾,所以Gx还保持另一个点x′不变.因此根据文献[4]的定理1,G是一个非本原群.证毕.根据上面得出的结论,考虑Aut(ϑ(Kn))与Aut(Kn)的关系,由二者的关系可以确定Kn的完全扩容图的自同构群.先引入两个群是置换同构的概念.定义5[4] G是Ω上的一个置换群,G′是Ω′上的一个置换群.如果存在Ω到Ω′上的一个一一对应σ,以及G到G′的一个一一对应φ,使得对任一α∈Ω都有(αg)σ=(ασ)gφ(g在映射φ下所对应的置换为gφ),则称G与G′是置换同构的,记作G≅G′.定理2 Aut(ϑ(Kn))≅Aut(Kn)(n≠3).证明用数学归纳法来证明.当n=1,2时,显然成立.当n=3时,由完全扩容图的定义知,ϑ(K3)为C6,由文献 [5]可知,,而！=6,显然Aut(ϑ(K3))与Aut(K3)不同构.当n≥4时,Aut(ϑ(Kn))是V(ϑ(Kn))上的一个置换群,Aut(Kn)也是V(Kn)上的一个置换群,而由定理1可知,Aut(ϑ(Kn))是一个非本原群,又根据定理1的证明,πi=V(ϑ(i)) (i=1,…,n)是Aut(ϑ(Kn))的非本原集,所以可以将Aut(ϑ(Kn))看成是V′上的置换群).(1) 作V′到V(Kn)上的一个一一对应i.(2) 由(1)中的σ,可得Aut(ϑ(Kn))到Aut(Kn)的一个一一对应φ.事实上,∀g∈Aut(ϑ,则gφ∈Aut(Kn).(3) ∀πi∈V′都有,而,所以.综上可得,Aut(ϑ(Kn))≅Aut(Kn)(n≥4).证毕.从定理2可知,g,gφ只是表示方法不同,其作用是相同的,所以这样两个置换群可以看成是相同的,即Aut(ϑ(Kn))≅Aut(Kn)(n≠3),从而确定了Aut(ϑ(Kn)),即Aut(ϑ(Kn))就是Aut(Kn).把复杂问题简单化是数学中常用的方法.确定一个图的自同构群是一个很困难的问题,而要确定一个图的扩容图的自同构群更是相当困难的问题,本文通过Aut(ϑ(Kn))与Aut(Kn)的关系,确定了一个完全图的完全扩容图的自同构群.【相关文献】[1] 阿勇嘎,斯钦. 扩容图及其谱性质 [J]. 宝鸡文理学院学报,2009,29(1):1-3.[2] Bondy J A,Murty U S R. Graph Theory with Applications [M]. New York:American Elsevier,1976.[3] Chris Godsil,Gordon Royle. Algebraic Graph Theory [M]. Springer Verlag,2004.[4] BAGGA J S. Old and generalizations of line graph [J]. Int J Math Sci,2004(29-32):171-173.[5] 黄平安,关于一类自同构群 [J]. 数学杂志,2000,20(3):345-349.[6] 周仲礼,齐丽丽,文建伟. 圈Cn的自同构群 [J]. 成都理工大学学报,2007,34(6).[7] 徐明耀. 有限群导引:上册. [M]. 北京:科学出版社,1990.[8] 张远达. 有限群的构造:上册. [M]. 北京:科学出版社,1982.[9] 张选迪,李正良. 图论及其应用 [M]. 北京:高等教育出版社,2005.。
群的自同构群
§8 群的自同构群给定一个群，可以有各种方式产生新的群。
比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。
本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。
1. 自同构群的定义：定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。
证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ∀∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。
这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。
又因为x M ∀∈有11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=⋅==即1σ-也是M 的一个自同构。
群的定义的第3条成立。
另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。
所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。
定理1表明M 的自同构群是()S M 的一个子群。
推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。
这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。
由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。
例1 求Klein 四元群{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c ==的自同构群。
解 4Aut K σ∀∈。
由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。
又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。
单位圆盘的全纯自同构的推广
单位圆盘的全纯自同构的推广
涂振汉
【期刊名称】《大学数学》
【年(卷),期】2018(034)001
【摘要】单位圆盘的全纯自同构是《复变函数》课程中重要的内容之一,本文给出了单位圆盘的全纯自逆紧映照,其为单位圆盘的全纯自同构的一种推广,可供讲授《复变函数》课程的教师参考.
【总页数】3页(P77-79)
【作者】涂振汉
【作者单位】武汉大学数学与统计学院,武汉 430072
【正文语种】中文
【中图分类】O174.56
【相关文献】
1.单位圆盘上全纯映照模的精细Schwarz引理 [J], 张宇芳;徐庆华
2.Banach空间单位球的全纯自同构群 [J], 洪毅
3.单位圆盘与上半平面上全纯自同构的拓扑共轭分类 [J], 常伟;侯秉喆
4.单位圆上全纯自同构群作用下的不变量 [J], 刘芝秀;吕凤姣;
5.关于单位球的乘积B<sup>m</sup>×B<sup>n</sup> 的全纯自同构群的注记 [J], 付欢;陈谍;张永红;冯志明;;;;
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关于单位球的乘积Bm×Bn的全纯自同构群的注记
1. 引言
设 m, n 为正整数， m 维复欧氏空间 C m 的单位球 B m 和单位球 B m 与 B n 的乘积分别定义为
Bm = z= ( z1 , , zm ) ∈ C m : z
{
2
= ∑ j =1 z j < 1 ,
m
2
}
(1.1) (1.2)
B m × B n = z = ( z , w ) ∈ C m+ n : z ∈ B m , w ∈ B n ,
) (1 − zA
2 1+ n
12
+ wA22
2 1+ n
)
.
(2.5)
现对等式(2.5)分三种情形讨论。 i) 设 A11 ≠ 0 ，令 w = 0 ，则
(1 − z )
2
2 1+ m
= 1 − zA11
2
(
2 1+ m
) (1 − zA )
12
。
因 1 − z 是不可约实多项式， 而 1 − zA11 为非平凡多项式， 以及实数域上多项式环为唯一因子整环，
G : ( z, w) ∈ B m × B n
(ϕ u ( z ) , ϕ v ( w ) ) ∈ B m × B n ,
D ( 0, 0 ) ，这表明 H 是把 = B m × B n 的原点映为
则 G 为 B m × B n 的自同构，且 G ( u , v ) = ( 0, 0 ) 。
1 定义 H = F G −1 ， 则H = = 0) F ( 0， ( u, v ) ( 0, 0 ) F G −=
对单位球的乘积的自同构群有许多研究， 如[3]和[4]， 在本文中我们使用[5]和[6]的方法， 即用 Bergman 核和 Bergman 度量方阵在全纯自同构下的变换公式重新证明了以下定理 1.2， 在证明中还使用了实多项式
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题(九大题型)(原卷版)-高中数学
导数中的朗博同构、双元同构、指对同构与二次同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围． （3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： （1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） （3）（4） ()0f a =()0f b =,a b ()0f x =()x f x x e =×()xf x e x =±x ()()1122,,,A x y B x y ,A B AB (),n a n ()1,1n a n --)1();0(1=³=+³x ex e x x e x x )(ln );1(1ln 11e x exx x x x x =£=-££-x x x x tan sin ,2,0<<÷øöçèæÎp 0a >噍1,0a x ¹>log a x a x =0a >1a ¹log xa a x =0 x >()ln ee ;ln ln e xx x x x x x x +=+=ln :ln lnx x x xe e e x x x x-=-=（5）（6） 再结合常用的切线不等式lnx x -1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）；7、同构式问题中通常构造亲戚函数与，常见模型有： ①； ②； ③8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘同构，如； （2）加法同构，即加同构，如， （3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；()22ln 2e e ;2ln ln e xx x x xx x x +=+=2ln 2ln 22,x xx x x x e e e e x x--==£ln ,e 1,e e exx x x x x £³+³ln ee ln 1xx x x x x +=³++()ln ln e e 1x x x x x x +=£-ln e e e(ln )x x xx x x +=³+()1ln ln x xx xe x x xe xe e-+=£=x xe ln x x 1ln ln ln ln log ln ln ln ln ln ln xx ax a x e a xa x e x a e x x x e x a x a e a>Þ>Þ×>=×Þ>Þ>ln ln 1ln ln ln ln x x x x x xee x x e x x x e x e x x el l l l l l l l l l >Þ>Þ×>Þ×>×Þ>Þ>()()()()ln 1ln 11ln 1ln 1x ax e ax x x e x ax x ++>+++=++Þ>+x ln ln ln ln ln ln ln x a x a x a e x x a e x e ×>Û×>×x log log log log a x x x a a a a x a x x x a x >Û+>+=+x xe ln x x x xe ln x x题型一：同构法的理解【典例1-1】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)； (7)； (8)．【典例1-2】关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .【变式1-1】（2024·内蒙古·三模）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求的取值范围.2log 20kx x k -׳21e0xl l-³2ln e 0mx x x m -³()æö+³+ç÷èø1e 12ln ax a x x x ()()ln 1212e xa x x ax -+-³+ln e (1)x a x a x x x -++³>e 2ln 0x x x ---=2e ln 0x x x +=x e 2ln 2ln 2ax a x -£a ()22ln f x x ax x =-+()f x ()0,e axa f x >£a题型二：利用同构比较大小【典例2-1】已知，且，，，则（ ） A ． B ． C ．D ．【典例2-2】已知．且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式2-1】已知a ，b ，，且，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．B ．C ．D ．【变式2-2】已知，，，则，，的大小顺序是（ ） A ． B ． C ．D ．题型三：方程同构【典例3-1】（江苏省常州市前黄高级中学2023-2024学年高三期初数学试题）已知实数满足，，则 ．【典例3-2】（江苏省泰州市泰兴中学2023-2024学年高三期中数学试题）已知实数a ，b 满足，则ab ＝ ．【变式3-1】设x ，y 为实数，且满足，则（ ）A ．2B ．5C ．10D ．2018【变式3-2】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ．【变式3-3】（2024·高三·辽宁大连·期中）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b 的方程可化为同构方程，则的值为（ ）A ．B ．eC ．D ．11,,,e a b c æöÎ+¥ç÷èøln55ln a a =-ln33ln b b =-ln 22ln c c =-b<c<a c b a <<a c b <<a b c <<,,(1,)a b c Î+¥2ln 22ln 12a a --=212ln 1eb b --=2ln π2ln 1πc c --=b a c >>b c a >>a b c >>c a b >>(0,1)c Î5ln ln 5a a -=-4ln ln 4b b -=-3ln ln 3c c -=-b<c<a a c b <<a b c <<c b a <<0.5ln 2a =()0.4ln5ln 2b =-()8ln 3ln 29c =-a b c a b c <<b a c <<c b a <<a c b <<,a b 2024a a e -=3ln 2021ln b b e -+=ab =20210a e a --=2ln ln 20190,b e b ---=()()3(1)2018153(1)201815x x y y -+-=-ìï-+-=íïîx y +=()e x f x x =+()ln ln ln e ln xf x x x x =+=+e x x +ln x x +12,x x 11e 6xx +=23522x =123x x +=a 24e e a a -=()31(ln 2),b b a b l -+-=Îe R ab 8e ln 6题型四：零点同构【典例4-1】（2024·高三·天津西青·期末）已知函数和．(1)若曲线数与在处切线的斜率相等，求的值； (2)若函数与有相同的最小值． ①求的值；②证明：存在直线，其与两条曲线与共有三个不同的交点，并且从左到右三个交点的横坐标成等差数列．【典例4-2】（2024·江西南昌·模拟预测）已知函数和有相同的最小值．(1)求；(2)是否存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列？说明理由．【变式4-1】（2024·上海嘉定·一模）已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点；(3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列．()e x f x ax =-()ln g x ax x =-()y f x =()y g x =1x =a ()f x ()g x a y b =()y f x =()y g x =()e x f x ax =-()ln g x ax x =-a y b =()y f x =()y g x =ln (),()e x x xf xg x x==()()y f x y g x ==キ()()y f x y g x ==キ10,e a æöÎç÷èøy a =()()y f x y g x ==キ()()()123,,,x a x a x a キキ123x x x <<123x x x キキ【变式4-2】已知函数和有相同的最大值. (1)求；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型五：双元同构【典例5-1】已知函数． 当时，求函数的单调增区间；若函数在上是增函数，求实数a 的取值范围；若，且对任意，，，都有，求实数a 的最小值．【典例5-2】（河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学试题）已知对任意的，都有恒成立，则实数的值为（ ）A ．B ．1C ．0D ．【变式5-1】（四川省成都市第七中学2023-2024学年高三阶段性考试数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．【变式5-2】（山西省太原市2024届高三期中数学试题）已知，对任意都有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．()e x ax f x =()ln xg x ax=b ,a b y m =()y f x =()y g x =()()21ln 112f x a x x a x =++++()11a =-()f x ()2()f x ()0,+¥()30a >1x ()20,x Î+¥12x x ¹()()12122f x f x x x ->-a b ÎR()b ab b a e be a l ---³-l e e -x y 24ln 2ln 44x y x y +³+-xy =x y +=21x y +=31x y =21()e (1)2x f x ax a x =-++12,(0,)x x Î+¥()()1212f x f x a x x -<-a (,0]-¥(0,1)(,1]-¥[1,)+¥【变式5-3】对于任意，，当时，恒有成立；则实数的取值范围是 A ． B ． C ．D ．【变式5-4】（多选题）（重庆市2024届高三冲刺押题联考（二）数学试题）若实数，满足，则（ ）A ．B ．C ．D ．题型六：朗博同构【典例6-1】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .【典例6-2】（2024·陕西·模拟预测）当时，恒成立，则实数最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．8【变式6-1】不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）A ．B ．C ．1D ．2【变式6-2】对任意，若不等式恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．题型七：利用同构解决不等式恒成立问题【典例7-1】（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 .【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-1】已知函数，若对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．1x 2[1,)x Î+¥21x x >2211ln2()x a x x x <-a (,0]-¥(,1]-¥(,2]-¥(,3]-¥x y ()24ln 2ln 284x y x y +³+-xy =x y +=122x y +=21x y =()ln 2(0)f x a x x a =->()2e 31a xx f x -³+0x >a 0x >24e 2ln 1x x x ax ×-³+a 4e24e 2e 2ln210x x ax x ---³a 14120x >2e ln (0)x ax ax x a £+>(0,2e](1,)+¥(0,1](]0,e ()log ,(0,1)(1,)xa f x a x a =-ÎÈ+¥()f x a ()211ln e x x a x -<+()1,x Î+¥a [)1,+¥3,2éö+¥÷êëø[)2,+¥[)4,+¥()1e ln 1axf x a x +=-+()()e,,0x f x Î+¥³a 210,eæöç÷èø1,e ¥éö+÷êëø[)e,+¥21,e éö+¥÷êëø【变式7-2】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式7-3】（2024·江西赣州·二模）已知函数，.若，则k 的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式7-4】已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．题型八：利用同构求最值【典例8-1】“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将化成，的变形技巧.已知函数，，若，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【典例8-2】已知函数，若，则的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-1】（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数，，若，的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【变式8-2】已知函数，若，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【变式8-3】已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．5D ．11()1n22xf x ae ax =+-+()0f x >a 0e a <<2e a >e a >2e a >()e 1kxf x =+()11lng x x x æö=+ç÷èø()()kf x g x ³(]0,e [)e,+¥1,e ¥éö+÷êëø10,e æùçúèû22e ln ln x x l l +³()0,x Î+¥l 1,e ¥éö+÷êëø21,e éö+¥÷êëø1,2e éö+¥÷êëø2,eéö+¥÷êëøx ln e x x =()ln e0xx x =>()e xf x x =×()ln xg x x=-()()120f x g x t ==>12e t x x 21e 1e1e ()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=()2122ln -x x x t 1e-12e-21e 2e()()ln 1f x x x =+-()ln g x x x =()112ln f x t =+()22g x t =ln t 21e 1e-12e -2e()ln(1),()ln f x x x g x x x =+-=()()21212ln ,f x t g x t =+=122ln tx x x -12e1e12e e a b 22ln ()e na b b a<n题型九：利用同构证明不等式【典例9-1】已知函数． （1）讨论函数的单调性；（2）当时，求证：在上恒成立；（3）求证：当时，．【典例9-2】已知函数． （1）讨论函数的零点的个数；（2）证明：．【变式9-1】已知函数． （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，求证：．【变式9-2】已知函数，函数，，． （1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．（3）证明：当时，．2()2()1a f x lnx a R x =+-Î+()f x 2a =()0f x >(1,)+¥0x >2(1)1x x ln x e +>-21()x f x e x=-()fx 220x xe lnx x -->()1()f x ax lnx a R =--Î2a =()f x ()f x 1x =(0,)x "Î+¥()2f x bx -b 1x y e >>-(1)(1)x y ln x e ln y -+>+()2(1)sin 1f x ln x x =+++()1(g x ax blnx a =--b R Î0)ab ¹()g x 0x ()31f x x +1x >-2sin ()(22)x f x x x e <++1．若对任意的，且，则m 的最小值是（ ） A． B ． C ． D ． 2．对于任意，当 时，恒有成立,则实数的取值范围是 3．若，则实数a 的取值范围为4．已知，对任意都有，则实数的取值范围是 . 5．已知当，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 . 6．当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 7．已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是 ． 8．已知函数，． (1)求函数在区间上的最大值；(2)若，恒成立，求实数a 的取值范围．9．（2024·云南·模拟预测）已知函数 (1)若函数在处的切线也与函数的图象相切，求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.12,(,)x x m ¥Î+12211221ln ln ,2x x x x x x x x -<<-2e 1e 21e e 412,(2,)x x Î+¥12x x <2211ln 2()0x a x x x --<a e ln()x ax x ax -³-+1a >()1,x Î+¥11e 1e ln e ln 0x a a x x xæö--£ç÷èøa (]0,e x Î2eln 2x x a a +³-0x >2e ln e xx x a a ³a e x ³11e ln a x x a x x+-³a ()ln 1f x x ax =-+R a Î()f x []1,20x ">()2e 2x f x x ax £-()e ,()ln .x f x a g x x =+=()g x 1x =l ()f x a ()()f x a g x +³a10．已知函数 (1)若求曲线在点处的切线方程．(2)若证明：在上单调递增．(3)当时，恒成立，求的取值范围．11．已知函数. (1)求的最小值；(2)求证：；(3)当时，不等式恒成立，求正数的取值范围.12．（2024·广东佛山·一模）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，，求的取值范围.13．（2024·广东深圳·二模）已知函数的图象在处的切线经过点. (1)求的值及函数的单调区间；(2)设，若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.()()e 1ln ,.x a f x x ax x a =+-ÎR 0,a =()y f x =(1,(1))f 1,a =()f x (0,)+¥1x >()ln f x a x ³a ()()e 0xf x x x>=()f x ()ln 3f x x x >-+1x ³()e ln 2x a ax ax +Ｌa ()e x f x a =()()F x f x x =+2x >()2ln2x f x a->-a ()2e 1x a f x x-=()()1,1f ()22,2e a ()f x ()21ln ax g x x-=x ()2e 1x xg x l l £-()1,+¥l14．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数，其中，.(1)当时，求函数的零点；(2)若函数恒成立，求的取值范围.15．（2024·广东佛山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．16．（2024·广东汕头·三模）设，，(1)证明：；(2)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.()()e ln 11x f x a ax =-+-0a >0x ³1a =()f x ()0f x ³a ()ln ln (1)2(0)f x x a a x a =++-+>()f x 2e ()x f x -³a ()e x f x =()ln g x x =()()1xf x x g x ³++y t =()xy f x =()g x y x =()1,A x t ()2,B x t ()3,C x t ()123x x x <<1x 2x 3x17．（2024·江西宜春·一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)对任意的，恒成立，求的取值范围.18．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知函数，，直线为曲线与的一条公切线.(1)求；(2)若直线与曲线，直线，曲线分别交于三点，其中，且成等差数列，证明：满足条件的有且只有一个.()()ln 1f x x a x =+-a ÎR ()f x 0x >()2e ln 41x f x x x x £---a ()x f x e =ln()()n x g x =+:l y x m =+()y f x =()y g x =,m n ():01l y s s ¢=<<()y f x =l ()y g x =112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 123x x x <<123,,x x x s。
云南省文山壮族苗族自治州2024高三冲刺(高考数学)人教版考试(强化卷)完整试卷
云南省文山壮族苗族自治州2024高三冲刺（高考数学）人教版考试(强化卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题随着2022年卡塔尔世界杯的举办，中国足球也需要重视足球教育．某市为提升学生的足球水平，特地在当地选拔出几所学校作为足球特色学校，开设了“5人制”“7人制”“9人制”“11人制”四类足球体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件“甲乙两人所选课程恰有一门相同”，事件“甲乙两人所选课程完全不同”，事件“甲乙两人均未选择‘5人制’课程”，则（）A．A与为对立事件B．A与互斥C．A与相互独立D．与相互独立第(2)题已知函数的图象经过点，若函数在区间上有3个极值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(3)题已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（ ）A．B．C．D．第(4)题设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：；对任意，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A．B．C．D．第(5)题若不等式|ax+2|＜6的解集为（﹣1，2），则实数a等于（）A．8B．2C．﹣4D．﹣8第(6)题下列三图中的多边形均为正多边形，分别为正三角形、正四边形、正六边形，、是多边形的顶点，椭圆过且均以图中的为焦点，设图①、②、③中椭圆的离心率分别为，则（）A．B．C．D．第(7)题如图1所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l//l1与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点，设弧FG的x(0<x<),y=EB+BC+CD,若l从l1平行移动到l2，则函数y=f(x)图象大致是图1A．B．C．D．第(8)题已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设、为复数，且，下列命题中正确的是（）A．若，则B．若为纯虚数，则为实数C ．若，则的实部与的虚部互为相反数D．若，则、在复平面内对应的点不可能在同一象限第(2)题设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是（）A．0<q<1B．a7a9<1C．T n的最大值为T7D．S n的最大值为S7第(3)题在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析.下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知等差数列的公差，首项，是与的等比中项，记为数列的前项和，则______第(2)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上异于左、右顶点的一点，外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则的最小值为______.第(3)题已知曲线在某点处的切线的斜率为，则该切线的方程为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，SC＝3，AC⊥BC，CE＝2EB＝2，，CD＝ED．(1)求证：DE⊥平面SCD；(2)求二面角的余弦值；(3)求点A到平面SCD的距离．第(2)题设数列是公差大于零的等差数列，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求.第(3)题已知抛物线，直线是它的一条切线.（1）求的值；（2）若，过点作动直线交抛物线于，两点，直线与直线的斜率之和为常数，求实数的值.第(4)题已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的极值点；（2）若，恒成立，求的取值范围.第(5)题已知椭圆E：（），它的上，下顶点分别为A，B，左，右焦点分别为，，若四边形为正方形，且面积为2.（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设存在斜率不为零且平行的两条直线，，它们与椭圆E分别交于点C，D，M，N，且四边形是菱形，求出该菱形周长的最大值.。
自同构和直积
自同构和直积全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：自同构和直积是群论中两个重要的概念，它们在研究群的结构和性质方面起着非常重要的作用。
本文将介绍自同构和直积的定义、性质和应用，并探讨它们在群论中的重要性。
一、自同构在群论中，自同构是指一个群和其自身之间的同态映射。
具体地说，设G是一个群，如果存在一个映射φ: G → G，使得对于所有的a, b ∈ G，有φ(ab) = φ(a)φ(b)，且φ是双射，则称φ是一个自同构。
如果存在一个自同构φ，使得φ是恒等映射，则称这个自同构是平凡的。
否则，该自同构被称为非平凡的。
自同构在群论中的研究具有重要的意义。
通过对自同构的研究，我们可以了解群的结构和性质。
自同构可以帮助我们研究群的不变性质，比如正规子群和共轭类等。
自同构还可以帮助我们刻画不同群之间的关系，比如同构和同态等。
二、直积直积是群论中的另一个重要概念。
设G和H是两个群，它们的直积G × H定义为一个新的群，其元素是所有形式为(g, h)的有序对，其中g ∈ G，h ∈ H。
直积的群运算定义为：(g1, h1) * (g2, h2) = (g1*g2, h1*h2)，其中*是G和H中的运算符。
直积在群论中的应用广泛。
通过直积，我们可以将两个群的结构和性质相结合，得到一个新的群。
直积还可以帮助我们研究群的子群和同态。
通过对直积的研究，我们可以了解不同群之间的关系，并且探索它们之间的关系。
三、自同构和直积的关系自同构和直积在群论中有着广泛的应用。
它们不仅帮助我们研究群的结构和性质，还可以应用于其他数学领域。
自同构和直积的理论在密码学、代数几何和物理等领域都有着重要的应用。
在密码学中，自同构和直积的概念可以帮助我们设计安全的加密算法。
通过对群的自同构和直积的研究，我们可以设计出不易破解的密码系统，从而保护通信的安全性。
在代数几何中，自同构和直积的理论可以帮助我们研究拓扑空间和代数结构。
自同构和直积的概念可以帮助我们理解复杂的几何结构，揭示其内在的对称性和性质。
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第34卷第12期Vol. 34 No. 12新乡学学报..Journal of Xinxiang University2017年12月Dec.2017一种证明床X52上全纯自同构群的新方法金帅(广东科技学院公共基础部，广东东莞523〇83)摘要：通过上的全纯自同构将零截面映为零截面这一性廣导出了一种证明52XB2上全纯自同构群的新方法，通 过计算得到了52>必的Bergman核函数及自同构Jacobi行列式。
关键词：全纯自同构群;Bergman核函数;Jacobi行列式中图分类号：0174.56 文献标识码：A 文章编号：2095-7726(2017)12-0001-03对于复流形来说，它的全纯自同构群就是所有的 双全纯映射在结合律下构成的集合,复流形M上的全 纯自同构群用Aut(M)表示。
对于C"(«22)上的域，准 确描述其e同构群确实不牛容易的事。
对于有界域 的情形，H.Alexander^证明了任何一个从F1到的逆紧全纯映射只能是全纯自同构,T.Sunada[2]解零截面，即/把尽x{0}映为52x{0}或{0}x52。
证明：S2x B2可以看作是特殊的Cartan-Hartgos 型域，由文献[4]中的引理3.2可知，对于任意的/e A ut〇B2x52)，/总可以把 52x{0}映为52x{0} 或{0}x52。
弓I理 3:若/eA Ut(52x52)，且有/(0) = 0 ,则有决了包含原点的有界Reinhardt域的全纯等价问题，S.ShimiZ U W基于文献[2]的结论给出了更一般的不含 原点的有界Reinhardt域的全纯自同构群,H.Ahn等[4]描述了一类有界对称域上的Hartgos型域的全纯自同 构群，潘利双等[5]给出了一类以有界对称域为底的Bergman-Hartogs型域的全纯自同构群，肖金秀等[6]研 究了乘积域尽x52(52c C2为单位球)上的全纯自同 构群Aut〇82x^)和它的Bergman核函数。
在此基础 上，笔者借助52x庆上的全纯自同构将零截面映为零 截面这一性质导出了一种证明艮乂艮上全纯自同构 群的新方法，避免了文献[6]中六种情形的讨论，简化 了证明过程，通过计算得到了 B2xB2的Bergman核函 数及自同构Jacobi行列式。
1引理为了证明本文的结论，给出以下引理。
引理1^ (Cartan定理）:设是C"中包含原点 的有界圆形域，如果F e Aut(/3)，且有尸(0) = 0，则尸一定是线性映射。
引理2:若/e A u t(足 ><尽），则/把零截面映为/(Z)= C/Z，其中 Z= (Z l5Z2)T e52x尽,1/ =或D，而B和D为二阶酉矩阵。
证明：易知是C4中包含原点的有界圆形 域，/e Aut(52x52),且/(0) = 0,则由引理1可知，/ 是线性映射。
记/= (乂,/2,/3,/4)，则乂 (Z)= + a,.2z2+ ai3z3+ ai4z4(f= 1，2,3,4),或K Z) =an ai2ai3ai4)ra2i a22a23aiA z2a3l^32a33a34z3_«41aA2a43«44_人=AZ〇现在根据引理2,采用与文献[6]不同的方法证明 引理3。
记b2x s2的零截面为52x{0}或{0}x_e2。
由于/ 是庆xB2上的全纯自同构，故由引理2可知,/将零截 面映为零截面,即全纯自同构/将尽x{0}映为52x{0} 或{0} x52。
由于/同时为线性映射，则当/将52x{<?}映 为 52x{0}时，便将{0} x52映为{0} x52,当 /将52x{0}收稿日期：2017-06-06基金项目：广东科技学院青年项目（GKY-2017KYQN-4);广东科技学院科研项目（GKY-2016KYYB-15)作者简介：金帅（1989-),男（回族），河南三门峡人，领士，研究方向：复分析与复几何。
• 2 •新乡学院学指■映为{0} x52时，便将{0} x52映为52x{0}。
下面证明t/为酉矩阵。
1)当全纯自同构/将零截面尽x{0}映为万2x W时，便将零截面W x方2映为{0} x 52。
令z(1)= (1- 1/f，〇,〇,〇),则当 <4神时，z(1)的极限点在丨上。
因为全纯自同构/将零截面52x{0}映为52x{0}，所以/(z(1))的极限点在丨上,即/(z(1))— (a u,a21,a31，a41)T e x{0},从而得到a31=a41 =0，且有|a… |2+|a2112= 1。
同理，若分别令z(2) =(0,1 - 1/f, 0, 0)，z(3) =(0, 0,1 -1/，，0), z(4)=(0,0,0,1- 1/a 则当 ^4+①时，Z(2U(3U(4)的极限点分别在352x{0}，{0} x352,{0} x352上，又由全纯自同构/将零截面52x{0}和分别映为足x{0}和{0} x五2可知/(?2)),/(巧)，/(2(4))的极限点分别在卻2x{0}，{0} x552，{0} x552上，从而得到:f l32 = f l42 = 〇,I f l12|2 + I f l22 |2= 1;f l13 = f l23 = 〇,I f l33 |2 ++ I f l43P= 1;f l14= f l24= 〇,I f l34P+ I f l44|2= 1。
以下证明S和D为二阶酉矩阵。
取Z = (Zl，z2，0,0),其中(Zl，z2)e尽，则有Z e马x{0}，从而有/(Z)—(“11之1 + 〇i2，“21之1 + “22之2，〇，〇)G X {沙}，由此可得| “11^1+fli2^2 |+|〇21^1+七2七| < 1，经过化简，可得丨A丨2+I Z2丨2+(a…耳2+〇21馬2>而+(高而2+泛21〇22)為z2< 1。
令 auS"12+ a21S"22 =丨+ a21S"22 丨exp(i0),zi = ;^exP(警)，z2 = ;^exp(-+),贝!J上式变为|+ 〇21泛22f0 ,即=0,这说明%为二阶酉矩阵。
同理，取Z= (0,(U3,Z4)e_a21a21_{0} X52时，有 /(z)= (0,0, a33z3 +〇34:4，f l43z3+ G44Z4)Te{0} x_S2,因而有 I a33z3+ a34z4p+|a43z3+ a44z4p幺1。
令=|〇33^4 +a43^4|ejq)(U)，z3 =士6^号)，;^exP(-+)，于是有丨a33S"34 +〜心4〇,即z4a33a34+。
43。
44= 〇，这说明 综合可得£/ =「：：为二阶酉矩阵。
a33a34_a43 a44_，其中B和Z)为二阶酉矩阵c2)当全纯自同构/将零截面52x{0}映为 W x^时，便将零截面{0} x圮映为52x {0}。
令 Z^G-l/^OAO),则当神时，zd)的极限点 在％x{0}上。
因为全纯自同构/将零截面52x{<?}映为W x52 ,所以/(Z(1))的极限点在{0}x册2上,即 /U P))—(《21，a31，a41)T e{0}x552，从而可得 a… = a21 = 0，且 |a31 |2+ |a4112= 1。
同理，分别令 z(2) = (0,1 - 1A，0,0)，z(3) =(0, 0,1 -1/，，0)，z(4)= (0,0,0,1 - 1/f)，则当 f— +«时，z(2)，z(3),z(4)的极 限点分别在部2x{0}, {0}x552,{0} x紐2上。
由于全 纯自同构/将零截面52x{0}，{0}X尽分别映为{0}x尽，尽 x{0},则 /(，)),/(，)),/(，)）的极限点 分别在{0}x a s2,as2x{0},as2x{0}上，因而得到：“12 =心2 = 〇,|®32 |2 + I“42 |2= 1;“33 = ®43 = 〇，I%P+ I〇23|2= ：*;〇34= «44= 〇,|〇!4P+ |fl24P= 1。
仿照1)中同样的方法，可得f/ =0 ，其中B和Z)为2主要结论及证明定理1:若屮⑷e Aut〇S2><五2)，且识⑷=0 ,其中 = (fll，“2)e52X52,则有《p(Z)= /。
A(Z)，其中/(z)=u z,z = (z u z2y g b2x b2,u =以=^3 ,而B和D为二阶酉矩阵。
D或证明：当/(0) = 0时，尽x尽的全纯自同构群只 存在两种情况。
由于/(Z)= t/Z，且有 Z=(界，Z2)T e S2x52,BU =D或t/:D，其中B和D为二阶酉矩阵，则由文献[7]中定理2.3.9的结论可知，对任意的 a =(“卜a2)e52x52,且 a 矣fl ,有<p(〇2= f l。
记 h{Z)e(^(Z,),/^(Z,)),sf =1-1a,.|2,pt =^, ^at =0，只==J1.72+ (1_ )开，则 &«■) = Y~— L j为全纯映射D 显然 A(Z) e A ut(52X52),且 A(<i) = 0。
令广1= A。
(T1,则有广1e Aut(52 x 52)，且有广1 (0) =A⑷=0，于是由引理3可知广1是52x52上保持原点的全纯自同构，故/-1一定是线性映射且只有两种情形，则/也是线性映射且只有两种情形。
由广1以。
^1可知*P(Z)= /。
A(Z)，且有(p{Z)g Aut(52x B2)〇定理2:设_g2x_S2的Bergman核函数是^F)=^(w w-2若免⑷e Aut(52x爲)，则丨det«p，(Z)丨=丨丨6。
金帅：一种证明5'艮上全纯自同构群的新方法证明：由文献[7]中的命题3.3.5可知，乘积域的核函数等于每个域的核函数的乘积，又由文献[7]中的例3.3.7可得52x52的核函数是对于自同构A(Z),其Jacobi行列式为|det q>'(Z)|=K(Z,Z)K(sp{Z),<p{Z))H y(z)|2|6i-|z p13结束语在本文中,笔者通过利用52x52上的全纯自同构 将零截面映为零截面这一性质导出了一种证明52x禺 上全纯自同构群的新方法，计算尽x尽的Bergman核 函数及其自同构的Jacobi行列式。
该方法为求其他高 维乘积空间上全纯自同构群及Bergman核函数提供了 一种简便算法。
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