北师大版4.1.3 任意角和弧度制及任意角的三角函数导学案
高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
1.3 弧度制问题导学1．角度制与弧度制的互化活动与探究1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度．迁移与应用把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π5．1．角度与弧度的互化．(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad ． 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度即可．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．2．用弧度表示终边相同的角及区域角活动与探究2已知角α＝2 005°，(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．迁移与应用已知角α的终边与π3的终边相同，求角α3在[0,2π)内的值．(1)用弧度表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．②然后根据区间范围讨论k 的值．③最后把k 的值代入β的一般形式求出．活动与探究3用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．迁移与应用用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．区域角的表示方法(1)要用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角，并注意旋转的方向及两边界角的大小顺序；(2)表达式中角度制与弧度制不能混用；(3)要分清阴影部分是否包括边界，以确定表达式中是否带“等号”．3．弧长公式及扇形面积公式的应用活动与探究4扇形AOB的周长为8 cm，圆心角为α(0＜α＜2π)．(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角α的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小．迁移与应用如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB的长；(2)弓形ACB的面积．(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．当堂检测1．下列说法中，错误的是( )．A．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积为( )．A ．83π B．43C ．2π D．4π33．把－1 485°写成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )．A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π－π4D ．－10π＋7π44．(1)300°化为弧度是________；(2)－5π6化为度是________；(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角α(0＜α＜2π)．课前预习导学 【预习导引】1．(1)1360(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度预习交流1 略预习交流2 30° 45° 120°0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π2 3．正数 负数 0预习交流3 (1)32 (2)π34．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12lr 12|α|r 2预习交流4 (1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆．(2)π2 3π2课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8；(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°. 迁移与应用 (1)3π8rad(2)9π2rad (3)3π5rad (4)3π4rad(5)1 260° (6)－450° (7)1 035° (8)－144°活动与探究2 解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.又π＜41π36＜3π2，所以α与41π36终边相同，是第三象限角．(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π36，k ∈Z .由－5π≤2k π＋41π36＜0，可得－52－4172≤k ＜－4172.∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1.∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.迁移与应用 π9，7π9，13π9活动与探究3 解：(1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－π6<θ<2k π ＋5π12，k ∈Z .(2)图②中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .迁移与应用 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π3≤α≤2k π＋π6，k ∈Z . (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋2π3，k ∈Z. 活动与探究4 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12(8－2r )·r ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2时，S 扇形最大取4，此时l ＝4，α＝lr＝2. 迁移与应用 (1)4π(2)12π－9 3 【当堂检测】 1．A 2．D 3．D4．(1)5π3(2)－150°(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π≤α≤5π4＋2k π，k ∈Z5．1弧度或4弧度。
数学北师大版必修4教学教案-1.3-弧度制-(5)-含答案
《弧度制》教学设计一：教材分析：本节课的教学内容是北师大版数学必修四第一章：三角函数§1.3弧度制，本节课是新概念引入课，也是学习三角函数的基础，因此本节课在三角函数的学习中起到至关重要的作用，本节课主要借助生活情境体会学习弧度制的必要性，借助问题串及小组探究形式，让学生体会类比，以旧知为基础学习新知的迁移转化等重要数学思想的应用。
二：学情分析：从学生知识水平看（1）在学习本节前，学生已经学习了角的概念的推广，认识角分为正角，负角，零角，因此在本节课的教学中在引进弧度数之后，明确了角可以用一个实数来表示，从而顺利得到任何一个角都可以和一个实数一一对应。
（2）初中学生已经学习了用角度制表示一个角，角度制下扇形的弧长与面积公式，因此在本节课教学可以借助这些已有的知识，通过观察，分析，类比，归纳，帮助学生理解弧度制的概念，角度制与弧度制的转化，弧度制下扇形的弧长公式与面积公式；从能力的角度看，学生已经具备了一定的分析问题的能力，思考的能力，探究的能力，计算的能力，数学表达的能力，教学中要借助学生已有的能力，提供实际问题情境，引导学生进行分析，向学生提供问题串及合适的探究材料，引发学生的主动探究，借助小组探讨，合作交流，部分投影展示等活动培养学生的自主学习，合作学习及数学表达能力。
三：设计思想：《弧度制》是角的的一种新的表示，是角问题的延续与拓展。
本节课我的设计理念是：从生活实际出发，以问题串为载体，以学生为主体，创设有效问题情境，努力营造开放，民主，和谐的学习氛围，充分调动学生的兴趣与及积极性，让学生经历“自主，探究，合作”的过程中，体验从生活中感受数学，并通过分析，类比，归纳，探究，展示，交流等一系列思维活动，在教师的适当引导，组织下主动的建构数学知识的过程。
同时渗透“类比”“转化与化归”等重要数学思想方法，让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质，真正做到“授之以鱼不如授之以渔”四：教学目标：（1）知识与能力：a:理解1弧度的角、弧度制的定义，体会弧度是一种度量角的单位b:掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数，c：体会弧度制定义的合理性，并能初步运用弧度制表示弧长公式，解决相关问题。
任意角、弧度制、任意角的三角函数教学设计
高三复习课《任意角、弧度制、任意角的三角函数》教学设计一．教学内容解析：这一节的内容主要有任意角的概念，包括正角、负角、零角，终边相同的角，象限角；弧度制，包括1弧度交的定义，角与弧长、半径的关系，角度与弧度的互换，扇形的面积公式；任意角的三角函数，这是这一节的重点，包括任意角的三角函数的定义，诱导公式一，角的三角函数在象限的符号，三角函数线等。
二. 教学目标设置：1．知识目标：（1）了解任意角的概念，掌握终边相同角的关系以及象限角的范围；（2）了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化，掌握扇形的弧长公式与面积公式；（3）掌握任意角的三角函数的定义，会判断角的三角函数在象限的符号，理解三角函数线的定义，并能简单的运用等。
2．能力目标：（1）培养学生整理知识的能力；（2）培养学生的分析能力、观察能力、理解能力。
（3）培养学生的类比能力、探索能力。
（4）培养学生运用运用数学思想思考问题的能力。
三．学生学情分析：高三学生已经掌握了一定的知识，但知识网络不够完整；能解一些题，但解题方法还有所欠缺。
四．教学策略分析：通过思维导图的形式，展现知识点之间的内在联系；通过对问题的剖析，结合数学思想（化归与转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等）探讨如何解题。
五．教学过程：1.知识的整理：画一个直角三角形，引导学生回忆初中三角函数的定义，举出两个特殊的直角三角形（用途：记住特殊的三角函数值）。
再从特殊到一般，让学生挖掘斜三角形的性质（学生课后整理）。
然后类比到扇形，找出相似点，引出1弧度角的定义，弧长、半径与圆心角的关系，弧度与角度的互化。
再把锐角推广的任意角，坐标角，引出象限角，半角的范围，角与角终边的关系。
再类比直角三角形中角的三角函数的定义，推广任意角的三角函数的定义，利用角与角终边的关系，得到诱导公式。
然后根据任意角的三角函数的定义，得到角的三角函数在象限的符号。
再得到三角函数线的定义及应用。
【设计意图】首先培养建立知识体系的能力。
高中数学 第一章 三角函数 3 弧度制学案 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学学案
3 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．知识点一 角度制与弧度制思考1 在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？思考2 在弧度制中，1弧度的角是如何规定的，如何表示？思考3 “1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？梳理 (1)角度制和弧度制角度制用________作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的1360弧度制在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作________．以________作为单位来度量角的单位制叫作弧度制(2)角的弧度数的计算设r 是圆的半径，l 是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝l r. 知识点二 角度制与弧度制的换算思考 角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？梳理 (1)角度与弧度的互化角度化弧度 弧度化角度 360°＝________ rad 2π rad＝________ 180°＝________ rad π rad＝________1°＝π180rad≈________ rad1 rad ＝180°π≈________＝57°18′(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度 0° 1° 30°60°120°150°180°360°弧度π180π4π23π4π3π22π知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ 梳理α为度数 α为弧度数 扇形的弧长l ＝απr 180°l ＝αr 扇形的面积S ＝απr 2360°S ＝12lr ＝12αr 2类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°π即可． 跟踪训练1 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角 例2 已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．反思与感悟 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．跟踪训练2 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α≤2π； (2)在[0°，720°]内找出与2π5角终边相同的角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为3，则此扇形的面积为( ) A ．π B.5π4 C.3π3 D.23π9(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( ) A ．2 B.2sin 1 C ．2sin 1 D.4sin 1反思与感悟 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 2．时针经过一小时，转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad3．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或45．已知⊙O 的一条弧AE 的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是________．1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度．答案精析问题导学 知识点一思考1 周角的1360等于1度．思考2 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．思考3 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 梳理 (1)度 弧度 弧度 知识点二思考 利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行弧度与角度的换算．梳理 (1)2π 360° π 180° 0.017 45 57．30° (2)45° 90° 135° 270° 0π6 π3 2π3 5π6知识点三思考 设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则S ＝12lr ，l ＝αr .题型探究例1 解 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15π180＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°.(4)－11π5＝－115×180°＝－396°.跟踪训练1 解 (1)112°30′＝⎝⎛⎭⎪⎫2252°＝2252×π180＝5π8.(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.例2 解 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π<7π6<3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－29π6；当k ＝－2时，γ＝－17π6；当k ＝－1时，γ＝－5π6.跟踪训练2 解 (1)∵－1 480°＝－1 480×π180＝－74π9，而－74π9＝－10π＋16π9，且0≤α≤2π，∴α＝16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵2π5＝2π5×(180π)°＝72°，∴终边与2π5角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°.∴在[0°，720°]内与2π5角终边相同的角为72°，432°.例3 (1)A (2)D跟踪训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，∴l ＝4－2R ， 根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad. 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.C 5.－ 3。
任意角和弧度制教案
任意角和弧度制教案教案标题：任意角和弧度制教案教案目标：1. 了解任意角的概念，能够在坐标系中表示和定位任意角。
2. 理解弧度制的概念，能够在弧度制和度数制之间进行转换。
3. 掌握任意角的三角函数值的计算方法。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、笔记本电脑、教学PPT等。
2. 学生准备：纸和铅笔。
教学过程：Step 1: 引入1. 教师通过展示一张钟表图，引导学生思考角度的概念。
提问：你们平时见过哪些角度的度量方式？2. 学生回答后，教师解释度数制的概念，并引出本节课学习的内容：任意角和弧度制。
Step 2: 任意角的表示和定位1. 教师通过示意图和坐标系，解释任意角的表示方法。
提醒学生注意正角、负角和零角的特点。
2. 学生跟随教师的指导，在纸上练习绘制不同角度的示意图，并用坐标系表示和定位这些角。
Step 3: 弧度制的介绍和转换1. 教师给出弧度制的定义：1弧度是半径等于1的圆的弧所对应的角。
2. 教师通过示意图和实际物体（如一根铁丝弯成的圆弧），展示弧度制的概念和计算方法。
3. 教师引导学生进行度数制和弧度制之间的转换练习，提供一些常见的转换例题。
Step 4: 任意角的三角函数值的计算1. 教师复习正弦、余弦和正切的定义，并介绍任意角的三角函数值的计算方法。
2. 教师通过示例演示三角函数值的计算步骤，引导学生进行练习。
Step 5: 拓展应用1. 教师提供一些与任意角和弧度制相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
2. 学生个别或小组合作完成拓展应用题。
Step 6: 总结和归纳1. 教师带领学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。
2. 学生将所学知识进行整理和归纳，完成课堂笔记。
Step 7: 作业布置1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。
2. 学生完成作业，以便巩固所学知识。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 教师检查学生完成的课堂练习和作业，评估学生的掌握情况。
4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数导学案
第9周高三数学（理科）导学案课时：复习课共6课时；讲解大练习2课时§4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课时：1课时 主备课人：马富强；辅备课人：崔长庆、安根堂、李建国、王海伟 导学目标： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．重点：1.弧度制的概念及弧度制与角度值的转化；2.三角函数的定义.难点：终边相同的角及角的象限与符号的判断.一、课前导学设计（一）知识点自主梳理1.任意角(1)角的概念的推广； (2)终边相同的角； (3)弧度制2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义； (2)三角函数在各象限内的符号3.三角函数线（二）基础自测练习1.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x 的值为________. 2.若点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是________. 3.若4π<α<6π且α与－23π终边相同，则α＝________. 4.(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 5.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A.1B.4C.1或4D.2或4 二、课堂教学设计题型一 求与已知角终边相同的角：【例1】； 变式训练1题型二 三角函数的定义：【例2】 变式训练2题型三 三角函数值的符号及判定：【例3】 变式训练3题型四 扇形的弧长、面积公式的应用：【例4】 变式训练4三、课后训练设计课时规范训练：A 组；B 组.。
任意角和弧度制及任意角的三角函数教案
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数(对应学生用书(文)、(理)40～41页)页考情分析考点新知①了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义.②了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化.③理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．①能准确进行角度与弧度的互化.②准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号.1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．答案：四解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限．2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－553. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案：1或44. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－355. (必修4P 15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－513，则sin θ＝____________，tan θ＝____________．答案：－1213 125 解析：cos θ＝－xx 2＋36＝－513，解得x ＝52.sin θ＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋（－6）2＝－1213，tan θ＝125.1. 任意角(1) 角的概念的推广① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k ∈Z )． (3) 弧度制① 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③ 弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ④ 弧长公式：l ＝|α|r ．扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2． 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义设P(x ，y)是角α终边上任一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦．3. 三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线[备课札记]题型1三角函数的定义例1α是第二象限角，P(x，5)为其终边上一点，且cosα＝2 4x，求sinα的值．解：∵ OP ＝x 2＋5，∴ cos α＝x x 2＋5＝24x.又α是第二象限角，∴ x<0，得x ＝－3， ∴ sin α＝5x 2＋5＝104. 变式训练已知角α终边上一点P(－3，y)，且sin α＝24y ，求cos α和tan α的值．解：r 2＝x 2＋y 2＝y 2＋3，由sin α＝y r ＝yy 2＋3＝24y ， ∴ y ＝±5或y ＝0.当y ＝5即α是第二象限角时，cos α＝xr ＝－64，tan α＝－153；当y ＝－5即α是第三象限角时，cos α＝x r ＝－64，tan α＝153；当y ＝0时，P(－3，0)， cos α＝－1，tan α＝0.题型2 三角函数值的符号及判定例2 (1) 如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；(2) 若θ是第二象限角，试判断sin(cos θ)的符号． 解：(1) 因为点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． (2) ∵ 2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，∴ －1<cos θ<0， ∴ sin(cos θ)<0.∴ sin(cos θ)的符号是负号． 备选变式（教师专享）已知点P(tan α，cos α)在第二象限，则角α的终边在第________象限．答案：四解析：由题意，得tan α＜0且cos α＞0，所以角α的终边在第四象限．题型3 弧长公式与扇形面积公式例3 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1) 若α＝60°，R ＝10cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2) 若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓． ∵ α＝60°＝π3，R ＝10，∴ l ＝103π(cm)．S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－12×102·sin60°＝50⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－32 cm 2. (2) ∵ 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴ R ＝C2＋α，∴ S 扇＝12α·R 2＝12α⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫C 2＋α2＝C 22·α4＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216，当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值C 216.备选变式（教师专享）已知2rad 的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．解：如图，∠AOB ＝2rad ，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB ︵于D.∠AOD ＝∠BOD ＝1rad ，且AC ＝12AB ＝1.在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.1. 若α角与8π5角终边相同，则在[0，2π]内终边与α4角终边相同的角是________．答案：2π5，9π10，7π5，19π10解析：由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )．又α4∈[0，2π]，所以k ＝0，1，2，3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.2. 已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos2π3，则α＝__________．答案：11π6解析：将点P 的坐标化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，它是第四象限的点，r ＝|OP|＝1，cos α＝x r ＝32.又0≤α≤2π，所以α＝11π6.3. 已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2.答案：4解析：设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r)＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以S max ＝4(cm 2)．4. 若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α＜0，又P(m ，n)是角α终边上一点，且|OP|＝10，则m －n ＝________．答案：2解析：依题意知⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10.解得m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3. 又sin α＜0，∴ α的终边在第三象限， ∴ n ＜0，∴ m ＝－1，n ＝－3，∴ m －n ＝2.1. 设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝kπ2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－56π，－π3，π6，23π 解析：由－π＜kπ2－π3＜π，得－43＜k ＜83.∵ k ∈Z ，∴ k ＝－1，0，1，2，故M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－56π，－π3，π6，23π. 2. 已知α＝π3，回答下列问题． (1) 写出所有与α终边相同的角；(2) 写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角； (3) 若角β与α终边相同，则β2是第几象限的角？ 解： (1) 所有与α终边相同的角可表示为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪θ＝2kπ＋π3，k ∈Z .(2) 由(1) 令－4π＜2kπ＋π3＜2π(k ∈Z )， 则有－2－16＜k ＜1－16. ∵ k ∈Z ，∴ 取k ＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－11π3、－5π3、π3. (3) 由(1) 有β＝2kπ＋π3(k ∈Z )，则β2＝kπ＋π6(k ∈Z )． ∴ β2是第一、三象限的角．3. 已知角α的终边经过点P(x ，－2)，且cos α＝x3，求sin α和tan α.解：因为r ＝|OP|＝x 2＋（－2）2，所以由cos α＝x3，得xx 2＋（－2）2＝x3，解得x ＝0或x ＝±5. 当x ＝0时，sin α＝－1，tan α不存在；当x ＝5时，sin α＝－23，tan α＝－255；当x ＝－5时，sin α＝－23，tan α＝255.4. 已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1) 求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2) 求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S.解：(1) 由圆O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴ α＝∠AOB ＝π3.(2) 由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴ 弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴ S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴ S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－32.1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．2. 已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1) 用边界值定出角的终边位置．(2) 根据不等式(组)定出角的范围．(3) 求交集，找单位圆中公共的部分．(4) 写出角的表达式．请使用课时训练（B）第1课时（见活页）.[备课札记]。
《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》--教案
一、课堂导入在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？二、1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是________________．2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为________，直角的度数为________．三、知识讲解考点1 角的有关概念考点2 弧度的概念与公式在半径为r的圆中考点3三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线四、例题精析【例题1】【题干】(1)已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为( )A．1 B．－1C．3 D．－3(2)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】(1)选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.(2)选B ∵点P (tan α，cos α)在第三象限， ∴⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0，∴α是第二象限角.【例题2】【题干】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【解析】∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|.当t＞0时，即x>0时，r＝5t，sin α＝yr＝－3t5t＝－35，cos α＝xr＝4t5t＝45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34；当t＜0时，即x<0时，r＝－5t，sin α＝yr＝－3t－5t＝35，cos α＝xr＝4t－5t＝－45，tan α＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x>0部分时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；当角α的终边在直线3x＋4y＝0的x<0部分时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.【例题3】【题干】已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.(1)如图所示，过O 作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝5，在Rt △ACO 中，sin ∠AOC ＝AC AO ＝510＝12，∴∠AOC ＝30°，∴α＝2∠AOC ＝60°.(2)∵60°＝π3，∴l ＝|α|r ＝10π3.S 扇＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3.又S △AOB ＝12×10×10sin π3＝253，∴S 弓形＝S 扇－S △AOB ＝50π3－253＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.【题干】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．【答案】(2－sin 2,1－cos 2)【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以PB ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos 2，CB ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin 2，所以x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝1＋PB ＝1－cos 2，所以OP ＝(2－sin 2，1－cos 2)．五、课堂运用【基础】1．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )A．第一或第三象限B．在第一或第二象限C．第二或第四象限D．在第三或第四象限解析：选A 当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，α的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧ 3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2＜a ≤3.3．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，122π3＝－12，y＝sin2π3＝32.解析：选A 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos【巩固】4．若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.答案：－34 5，则m的值为________．5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－解析：∵r＝64m2＋9，∴cos α＝－8m64m2＋9＝－45，∴m＞0，∴4m264m2＋9＝125，∴m＝±12.∵m＞0，∴m＝1 2 .答案：1 2【拔高】6．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：∵扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216，当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.7．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa ＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tanα·tan β＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.课程小结1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x .（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页 附答案)
【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
高中数学 第1章(三角函数)3弧度制导学案 北师大版必修4 学案
陕西省榆林育才中学高中数学 第1章《三角函数》3弧度制导学案 北师大版必修4【学习目标】1.通过计算弧长与半径的比值理解弧度的定义.2.掌握弧度与角度之间的换算关系，能正确地进行弧度与角度的互化.3.能初步运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式，解决相关问题. 【重点难点】重点：弧度与角度之间的换算. 难点：弧度制的理解. 【自主学习】1. 先选定一个特殊的角，即周角，将它分为360等份，把1等份确定为一个度 量单位，称为__________，这种度量角的方法叫___________.2. 在度量和计算时，同样的圆心角所对的弧长与半径的比是常数，称这个常数 为该角的______________.3. 规定：在单位圆中，单位长度的弧所对的圆心角为______________， 它的 单位符号是________，读作___________.4. =360________rad ； =180________rad ； =1________rad ≈________rad ； 1rad =()≈__________=___________.5. 一般地，任一正角的弧度数都是一个________数；任一负角的弧度数都是一 个______数；零角的弧度数是_________.这种以弧度作为单位来度量角的单位制， 叫作________.注：在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系：即 每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个 实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.6.弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积，即________________.7.在弧度制下，扇形面积公式为：=S _______________.8.把下列各角从度化成弧度.（1）135； （2）90； （3）60.【合作探究】1.把下列各角化成π2~0间的角加上)(2Z k k ∈π的形式，并指出它们是哪个象限的角. （1）672； （2）718π-； （3）1500-； （4）236π.2. 已知一扇形的圆心角为72，半径等于cm 20，求扇形的面积.【课堂检测】1. 与32π终边相同的角是（ ） A. 311π B. 322ππ-k （Z k ∈）C. 3102ππ-k （Z k ∈）D. 32)12(ππ++k （Z k ∈）【课堂小结】【课后训练】1. 下列叙述中错误的是（ ）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的3601，1弧度上的角是周角的π21 C. 1弧度是长度等于半径的弧 D. 根据弧度的定义，180等于π弧度2. 把1485-写成),20(2Z k k ∈<≤+πααπ的形式是__________________.3. 若一扇形弧长为18cm ，半径为12cm ，则扇形的面积为___________.。
2022数学第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数教师文档教案文
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页［基础梳理］1．任意角的概念（1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角:如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2）终边相同角：与α终边相同的角可表示为:｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角．（2）角α的弧度数公式:｜α｜＝错误!．(3）角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝错误!rad，1 rad＝（错误!)°≈57°18′。
(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝错误!l·r＝错误!α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y),则sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α,cos（α＋k·2π)＝cos__α,tan(α＋k·2π）＝tan__α（其中k∈Z），即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P（x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝｜OP｜,则sin α＝错误!，cos α＝错误!,tan α＝错误!.4．四种角的终边关系(1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ,k∈Z。
北师大版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形任意角和弧度制及任意角的三角函数教学案理
一、知识梳理１．角的有关概念（１）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．（２）从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．（３）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝２kπ＋α，k∈Z．２．弧度制（１）定义：在单位圆中，长度为１的弧所对的圆心角称为１弧度角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．（２）角度制和弧度制的互化：１80°＝πrad，１°＝错误!rad，１rad＝错误!°．（３）扇形的弧长公式：l＝|α|r，扇形的面积公式：S＝错误!lr＝错误!|α|r２．３．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么y叫作α的正弦，记作sinαx叫作α的余弦，记作cos α错误!叫作α的正切，记作tan α三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线１．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．２．一个结论若α∈错误!，则tan α>α>sin α.３．三角函数定义的推广设点P（x，y）是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝错误!.４．象限角５．轴线角二、教材衍化１．角—２２５°＝________弧度，这个角在第________象限．答案：—错误!二２．设角θ的终边经过点P（４，—３），那么２cos θ—sin θ＝________．解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝—错误!，cos θ＝错误!，所以２cos θ—sin θ＝２×错误!—错误!＝错误!.答案：错误!３．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）小于90°的角是锐角．（）（２）三角形的内角必是第一、第二象限角．（）（３）不相等的角终边一定不相同．（）答案：（１）×（２）×（３）×二、易错纠偏错误!错误!（１）终边相同的角理解出错；（２）三角函数符号记忆不准；（３）求三角函数值不考虑终边所在象限．１．下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是（）Ａ．２kπ—４５°（k∈Z）Ｂ．k·３60°＋错误!π（k∈Z）Ｃ．k·３60°—３１５°（k∈Z）Ｄ．kπ＋错误!（k∈Z）解析：选Ｃ．与错误!的终边相同的角可以写成２kπ＋错误!（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选Ｃ．２．若sin α<0，且tan α>0，则α是第____象限角．解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．答案：三３．已知角α的终边在直线y＝—x上，且cos α<0，则tan α＝________．解析：如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P（x，y），则y＝—x，由三角函数的定义得tan α＝错误!＝错误!＝—１．答案：—１象限角及终边相同的角（自主练透）１—错误!是第二象限角；２错误!是第三象限角；３—４00°是第四象限角；４—３１５°是第一象限角．其中正确命题的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４解析：选Ｃ．—错误!是第三象限角，故１错误；错误!＝π＋错误!，所以错误!是第三象限角，故２正确；—４00°＝—３60°—４0°，所以—４00°是第四象限角，故３正确；—３１５°＝—３60°＋４５°，所以—３１５°是第一象限角，故４正确，故选Ｃ．２．若角α是第二象限角，则错误!是（）Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角Ｃ．第一或第三象限角Ｄ．第二或第四象限角解析：选Ｃ．因为α是第二象限角，所以错误!＋２kπ<α<π＋２kπ，k∈Z，所以错误!＋kπ<错误!<错误!＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，错误!是第一象限角；当k为奇数时，错误!是第三象限角．所以错误!是第一或第三象限角．３．集合错误!中的角所表示的范围（阴影部分）是（）解析：选Ｃ．当k＝２n（n∈Z）时，２nπ＋错误!≤α≤２nπ＋错误!，此时α表示的范围与错误!≤α≤错误!表示的范围一样；当k＝２n＋１（n∈Z）时，２nπ＋π＋错误!≤α≤２nπ＋π＋错误!，此时α表示的范围与π＋错误!≤α≤π＋错误!表示的范围一样，故选Ｃ．４．在—7２0°～0°范围内所有与４５°终边相同的角为________．解析：所有与４５°终边相同的角可表示为：β＝４５°＋k×３60°（k∈Z），则令—7２0°≤４５°＋k×３60°<0°（k∈Z），得—76５°≤k×３60°<—４５°（k∈Z），解得—错误!≤k<—错误!（k∈Z），从而k＝—２和k＝—１，代入得β＝—67５°和β＝—３１５°.答案：—67５°和—３１５°５．终边在直线y＝错误!x上，且在[—２π，２π）内的角α的集合为________．解析：如图，在坐标系中画出直线y＝错误!x，可以发现它与x轴的夹角是错误!，在[0，２π）内，终边在直线y ＝错误!x上的角有两个：错误!，错误!；在[—２π，0）内满足条件的角有两个：—错误!，—错误!，故满足条件的角α构成的集合为错误!.答案：错误!错误!（１）终边在某直线上角的求法４步骤１数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；２按逆时针方向写出[0，２π]内的角；３再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；４求并集化简集合．（２）判断象限角的２种方法１图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；２转化法：先将已知角化为k·３60°＋α（0°≤α<３60°，k∈Z）的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．（３）确定kα，错误!（k∈N*）的终边位置３步骤１用终边相同角的形式表示出角α的范围；２再写出kα或错误!的范围；３然后根据k的可能取值讨论确定kα或错误!的终边所在的位置．[提醒] 终边在一条直线上的角之间相差１80°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．扇形的弧长及角度公式（师生共研）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.（１）若α＝60°，R＝１0 cm，求扇形的弧长l；（２）已知扇形的周长为１0 cm，面积是４cm２，求扇形的圆心角；（３）若扇形周长为２0 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】（１）α＝60°＝错误!rad，所以l＝α·R＝错误!×１0＝错误!（cm）．（２）由题意得错误!⇒错误!（舍去）或错误!故扇形圆心角为错误!raＤ．（３）由已知得l＋２R＝２0，所以S＝错误!lR＝错误!（２0—２R）R＝１0R—R２＝—（R—５）２＋２５，所以当R＝５cm时，S取得最大值２５cm２，此时l＝１0 cm，α＝２raＤ．错误!弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略（１）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．（２）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．（３）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．１．已知２弧度的圆心角所对的弦长为２，那么这个圆心角所对的弧长是（）Ａ．２Ｂ．sin ２Ｃ．错误!Ｄ．２sin １解析：选Ｃ．如图，∠AOB＝２弧度，过O点作OC⊥AB于点C，并延长OC交错误!于D.则∠AOD＝∠BOD＝１弧度，且AC＝错误!AB＝１，在Rt△AOC中，AO＝错误!＝错误!，即r＝错误!，从而错误!的长为l＝α·r＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·四川乐山、峨眉山二模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝错误!（弦×矢＋矢２），弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为错误!，半径长为４的弧田（如图所示），按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB＝错误!，OA＝４．在Rt△AOD中，易得∠AOD＝错误!，∠DAO＝错误!，OD＝错误!OA＝错误!×４＝２，可得矢＝４—２＝２．由AD＝AO sin 错误!＝４×错误!＝２错误!，可得弦AB＝２AD＝４错误!.所以弧田面积＝错误!（弦×矢＋矢２）＝错误!×（４错误!×２＋２２）＝４错误!＋２．答案：４错误!＋２三角函数的定义（多维探究）角度一利用三角函数的定义求值已知角α的终边上一点P（—错误!，m）（m≠0），且sin α＝错误!，求cos α，tan α的值．【解】设P（x，y）．由题设知x＝—错误!，y＝m，所以r２＝|OP|２＝（—错误!）２＋m２（O为原点），r＝错误!，所以sin α＝错误!＝错误!＝错误!，所以r＝错误!＝２错误!，３＋m２＝8，解得m＝±错误!.当m＝错误!时，r＝２错误!，x＝—错误!，y＝错误!，所以cos α＝错误!＝—错误!，tan α＝—错误!；当m＝—错误!时，r＝２错误!，x＝—错误!，y＝—错误!，所以cos α＝错误!＝—错误!，tan α＝错误!.角度二判断三角函数值的符号（１）sin ２·cos ３·tan ４的值（）Ａ．小于0 Ｂ．大于0Ｃ．等于0 Ｄ．不存在（２）若sin αtan α<0，且错误!<0，则角α是（）Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角Ｃ．第三象限角Ｄ．第四象限角【解析】（１）因为错误!<２<３<π<４<错误!，所以sin ２>0，cos ３<0，tan ４>0．所以sin ２·cos ３·tan ４<0，所以选Ａ．（２）由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由错误!<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．【答案】（１）A （２）C角度三以三角函数定义为背景的创新题如图所示，质点P在半径为２的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（错误!，—错误!），角速度为１，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（）【解析】因为P0（错误!，—错误!），所以∠P0Ox＝—错误!.因为角速度为１，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，所以∠POx＝t—错误!.由三角函数定义，知点P的纵坐标为２sin错误!，因此d＝２错误!.令t＝0，则d＝２错误!＝错误!.当t＝错误!时，d＝0，故选C.【答案】C错误!（１）用定义法求三角函数值的两种情况１已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；２已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．（２）判断三角函数值符号及角位置的方法已知一角的三角函数值（sin α，cos α，tan α）中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况．（３）利用单位圆解三角不等式（组）的一般步骤１用边界值定出角的终边位置；２根据不等式（组）定出角的范围；３求交集，找单位圆中公共的部分；４写出角的表达式．１．（２0２0·江西九江一模）若sin x<0，且sin（cos x）>0，则角x是（）Ａ．第一象限角Ｂ．第二象限角Ｃ．第三象限角Ｄ．第四象限角解析：选Ｄ．因为—１≤cos x≤１，且sin（cos x）>0，所以0<cos x≤１，又sin x<0，所以角x 为第四象限角，故选Ｄ．２．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为错误!，若α＝错误!，则点P的坐标为（）Ａ．（１，错误!）Ｂ．（错误!，１）Ｃ．（错误!，错误!）Ｄ．（１，１）解析：选Ｄ．设点P的坐标为（x，y），则由三角函数的定义得错误!即错误!故点P的坐标为（１，１）．３．已知角α的终边经过点P（—x，—6），且cos α＝—错误!，则错误!＋错误!＝________．解析：因为角α的终边经过点P（—x，—6），且cos α＝—错误!，所以cos α＝错误!＝—错误!，即x＝错误!或x＝—错误!（舍去），所以P错误!，所以sin α＝—错误!，所以tan α＝错误!＝错误!，则错误!＋错误!＝—错误!＋错误!＝—错误!.答案：—错误![基础题组练]１．若角α的终边经过点P（１，错误!），则cos α＋tan α的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为角α的终边经过点P（１，错误!），则x＝１，y＝错误!，r＝|OP|＝２，所以cos α＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!，那么cos α＋tan α＝错误!，故选Ａ．２．若角α与β的终边关于x轴对称，则有（）Ａ．α＋β＝90°Ｂ．α＋β＝90°＋k·３60°，k∈ZＣ．α＋β＝２k·１80°，k∈ZＤ．α＋β＝１80°＋k·３60°，k∈Z解析：选Ｃ．因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝２k·１80°—α，k∈Z，所以α＋β＝２k·１80°，k∈Z.３．已知点P（tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限解析：选B.由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选Ｂ．４．已知点P（sin x—cos x，—３）在第三象限，则x的可能区间是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由点P（sin x—cos x，—３）在第三象限，可得sin x—cos x<0，即sin x<cos x，所以—错误!＋２kπ<x<错误!＋２kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是错误!.５．已知角α＝２kπ—错误!（k∈Z），若角θ与角α的终边相同，则y＝错误!＋错误!＋错误!的值为（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．３Ｄ．—３解析：选Ｂ．由α＝２kπ—错误!（k∈Z）及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0．所以y＝—１＋１—１＝—１．6．已知α是第二象限角，P（x，错误!）为其终边上一点，且cos α＝错误!x，则x＝________．解析：因为cos α＝错误!＝错误!x，所以x＝0或x＝错误!或x＝—错误!，又α是第二象限角，所以x＝—错误!.答案：—错误!7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为２r，所以正方形边长为错误!r，所以圆心角的弧度数是错误!＝错误!.答案：错误!8．已知点P（sin θ，cos θ）是角α终边上的一点，其中θ＝错误!，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝错误!，故P错误!，故α为第四象限角且cos α＝错误!，所以α＝２kπ＋错误!，k ∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为错误!.答案：错误!9．已知错误!＝—错误!，且lg（cos α）有意义．（１）试判断角α所在的象限；（２）若角α的终边上一点M错误!，且|OM|＝１（O为坐标原点），求m的值及sin α的值．解：（１）由错误!＝—错误!，得sin α<0，由lg（cos α）有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．（２）因为|OM|＝１，所以错误!错误!＋m２＝１，解得m＝±错误!.又α为第四象限角，故m<0，从而m＝—错误!，sin α＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.１0．若角θ的终边过点P（—４a，３a）（a≠0）．（１）求sin θ＋cos θ的值；（２）试判断cos（sin θ）·sin（cos θ）的符号．解：（１）因为角θ的终边过点P（—４a，３a）（a≠0），所以x＝—４a，y＝３a，r＝５|a|，当a＞0时，r＝５a，sin θ＋cos θ＝—错误!.当a＜0时，r＝—５a，sin θ＋cos θ＝错误!.（２）当a＞0时，sin θ＝错误!∈错误!，cos θ＝—错误!∈错误!，则cos（sin θ）·sin（cos θ）＝cos 错误!·sin错误!＜0；当a＜0时，sin θ＝—错误!∈错误!，cos θ＝错误!∈错误!，则cos（sin θ）·sin（cos θ）＝cos错误!·sin 错误!＞0．综上，当a＞0时，cos（sin θ）·sin（cos θ）的符号为负；当a＜0时，cos（sin θ）·sin （cos θ）的符号为正．[综合题组练]１．（２0２0·河北唐山第二次模拟）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（２sin α，３）（sin α≠0），则cos α＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ａ．由三角函数定义得tan α＝错误!，即错误!＝错误!，得３cos α＝２sin２α＝２（１—cos ２α），解得cos α＝错误!或cos α＝—２（舍去）．故选Ａ．２．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（）Ａ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βＢ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βＣ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βＤ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析：选Ｄ．由三角函数线可知选Ｄ．３．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB 的面积，且∠AOB＝α弧度，则错误!＝________．解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为错误!αr２，在Rt△POB中，PB＝r tan α，则△POB的面积为错误!r·r tan α，由题意得错误!r·r tan α＝２×错误!αr２，所以tan α＝２α，所以错误!＝错误!.答案：错误!４．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP（如图），则阴影部分面积S１，S２的大小关系是________．解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则错误!＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，所以S１＝错误!tm·r—S扇形AOB，S２＝错误!tm·r—S扇形AOB，所以S１＝S２恒成立．答案：S１＝S２５．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．（１）若点B的横坐标为—错误!，求tan α的值；（２）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；（３）若α∈错误!，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．解：（１）由题意可得B错误!，根据三角函数的定义得tan α＝错误!＝—错误!.（２）若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝错误!，故与角α终边相同的角β的集合为错误!.（３）若α∈错误!，则S扇形＝错误!αr２＝错误!α，而S△AOB＝错误!×１×１×sin α＝错误!sin α，故弓形的面积S＝S扇形—S△AOB＝错误!α—错误!sin α，α∈错误!.6．已知sin α<0，tan α>0．（１）求角α的集合；（２）求错误!终边所在的象限；（３）试判断tan 错误!sin 错误!cos 错误!的符号．解：（１）因为sin α<0且tan α>0，所以α是第三象限角，故角α的集合为错误!.（２）由（１）知２kπ＋π<α<２kπ＋错误!，k∈Z，故kπ＋错误!<错误!<kπ＋错误!，k∈Z，当k＝２n（n∈Z）时，２nπ＋错误!<错误!<２nπ＋错误!，n∈Z，即错误!是第二象限角．当k＝２n＋１（n∈Z）时，２nπ＋错误!<错误!<２nπ＋错误!π，n∈Z，即错误!是第四象限角，综上，错误!的终边在第二或第四象限．（３）法一：当错误!是第二象限角时，tan 错误!<0，sin 错误!>0，cos 错误!<0，故tan 错误!sin 错误!cos 错误!>0，当错误!是第四象限角时，tan 错误!<0，sin 错误!<0，cos 错误!>0，故tan 错误!sin 错误!cos 错误!>0．法二：tan 错误!sin 错误!cos 错误!＝错误!·sin 错误!cos 错误!＝sin２错误!.由于错误!是第二象限角或第四象限角，所以sin２错误!＞0，综上，tan 错误!sin 错误!cos 错误!取正号．。
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教案
第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数核心素养立意下的命题导向1.将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养． 2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显直观想象、数学运算的核心素养．[理清主干知识]1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 4．弧度制定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式 S ＝12lr ＝12|α|r 2三角函数 正弦 余弦 正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ －＋－三 角 函 数 线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(多选·任意角的三角函数)下列说法中正确的是( ) A ．－75°是第四象限角 B ．475°是第二象限角C ．若sin α>0，则α是第一、二象限的角D ．若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2解析：选AB A 选项，－90°<－75°<0°，所以终边落在第四象限，A 正确． B 选项，475°＝115°＋360°，所以终边落在第二象限，B 正确．C 选项，若sin α>0，则角α的终边落在第一、二象限及y 轴正半轴上，所以C 错误．D 选项，cos α＝xx 2＋y 2，所以D 错误．故选A 、B. 2．(象限角)已知α是第二象限角，则180°－α是第________象限角． 答案：一3．(弧长公式)已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．答案：π34．(三角函数的定义)已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________.答案：255二、易错点练清1．(易忽视扇形公式中的α是弧度制)已知60°的圆心角所对的弧长为2，则该弧所在圆的半径为( )A.130°B.6πC.160° D ．3π答案：B2．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P (－8m,6m )(m ≠0)，则sin α＝________. 解析：由题意得x ＝－8m ，y ＝6m ，所以r ＝10|m |. 当m >0时，sin α＝6m 10m ＝35； 当m <0时，sin α＝6m －10m＝－35.答案：35或－353．(忽视轴线角)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，∴－2＜a ≤3. 答案：(－2,3]考点一 象限角及终边相同的角的表示[典例] (1)(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α＞0 B ．cos 2α＜0 C ．sin 2α＞0D ．sin 2α＜0(2)与－2 020°终边相同的最小正角是________． [解析] (1)∵α是第四象限角， ∴－π2＋2k π<α<2k π，k ∈Z ，∴－π＋4k π＜2α＜4k π，k ∈Z .∴角2α的终边在第三、四象限或y 轴非正半轴上，∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．(2)因为－2 020°＝(－6)×360°＋140°，所以140°与－2 020°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有140°与－2 020°终边相同，故与－2 020°终边相同的最小正角是140°. [答案] (1)D (2)140° [方法技巧]1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置． [针对训练]1．设集合M ＝{x|x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z }，N ＝{x|x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 由于M ＝{x|x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝{x|x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z }＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .故选B.2．已知角θ在第二象限，且⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，则角θ2在( ) A ．第一象限或第三象限 B ．第二象限或第四象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ∵角θ是第二象限角， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ， ∴θ2∈⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ， ∴角θ2在第一或第三象限．∵⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，∴sin θ2<0，∴角θ2在第三象限．故选C.3．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________． 解析：如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内，满足条件的角有两个：－23π，－53π.故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π考点二 弧度制及其应用[典例] 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长是20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．[解] (1)因为α＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝|α|R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25.所以当R ＝5时，S 取得最大值， 此时l ＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S 弓形，由题意知l ＝2π3 cm ，所以S 弓形＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝⎛⎭⎫2π3－3cm 2. [方法技巧]应用弧度制解决问题的策略(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． [针对训练]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4D ．2或4解析：选C 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.2．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l 等于( ) A.433π cmB ．833π cm C ．4 3 cmD ．8 3 cm解析：选B 设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.考点三 任意角的三角函数的定义及应用 考法(一) 三角函数的定义[例1] (1)函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin α＋cos α的值为( ) A.75 B.65 C.55D.355(2)我国古代数学家僧一行应用“九服晷(ɡuǐ)影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距θ(0°≤θ≤80°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l ＝h tan θ.已知天顶距θ＝1°时，晷影长l ≈0.14.现测得午中晷影长度l ≈0.42，则天顶距θ为( ) (参考数据：tan 1°≈0.017 5，tan 2°≈0.034 9，tan 3°≈0.052 4，tan 22.8°≈0.420 4) A ．2° B ．3° C ．11°D ．22.8°[解析] (1)因为函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4,2)，且角α的终边过点P ，所以x ＝4，y ＝2，r ＝25，所以sin α＝55，cos α＝255，所以sin α＋cos α＝55＋255＝355. (2)由题意，可得晷影长l ＝h tan θ，且顶距θ＝1°时，晷影长l ＝0.14.所以h ＝1tan θ＝0.140.0175＝8，当晷影长度l ≈0.42，则tan θ＝l h ＝0.42g ＝0.0524，所以θ＝3°. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]三角函数定义应用策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(4)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．考法(二) 三角函数值符号的判断[例2] (1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在 [解析] (1)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． (2)∵1弧度约等于57°，∴π2<2<π，在第二象限，∴sin 2>0， ∵3弧度大于π2，小于π在第二象限，∴cos 3<0，又∵4弧度大于π小于3π2，在第三象限，∴tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.[答案] (1)C (2)A [方法技巧]1．三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况． 2．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正，二正弦，三正切，四余弦． [针对训练]1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.2．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则cos α＝________，tan α＝________.解析：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，即r ＝3＋m 2， 所以sin α＝yr ＝m 3＋m 2＝2m 4＝m22，所以r ＝3＋m 2＝22，即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5， 所以cos α＝x r ＝－322＝－64，tan α＝y x ＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5， 所以cos α＝x r ＝－322＝－64，tan α＝y x ＝153.答案：－64 －153或1533.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P ，Q 两点，P ，Q 的纵坐标分别为35，45.(1)求sin α的值； (2)求α＋β.解：(1)因为点P 为角α的终边与单位圆的交点，且纵坐标为35，将y ＝35代入x 2＋y 2＝1，因为α是锐角，x >0，所以x ＝45，P ⎝⎛⎭⎫45，35. 由三角函数的定义可得：sin α＝35.(2)由sin α＝35，α是锐角，可得cos α＝45，因为锐角β的终边与单位圆相交于Q 点，且纵坐标为45，将y ＝45代入x 2＋y 2＝1，因为β是锐角，x >0，可得x ＝35，Q ⎝⎛⎭⎫35，45， 所以sin β＝45，cos β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×35－35×45＝0. 因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π2.创新考查方式——领悟高考新动向1．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A ．6 m 2B ．9 m 2C ．12 m 2D ．15 m 2解析：选B 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，|OA |＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，|OD |＝12|AO |＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由|AD |＝|AO |·sin π3＝4×32＝23，可得弦长|AB |＝2|AD |＝2×23＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2)．故选B.2．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴．如图，在半圆O 中作出两个扇形OAB 和OCD ，用扇环形ABDC (图中阴影部分)制作折叠扇的扇面．记扇环形ABDC 的面积为S 1，扇形OAB 的面积为S 2，当S 1与S 2的比值为5－12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD 的半径与半圆O 的半径之比为( ) A.5＋14B.5－12C ．3－ 5 D.5－2解析：选B 设∠AOB ＝θ，半圆的半径为r ，扇形OCD 的半径为r 1，依题意，有12θr 2－12θr 2112θr 2＝5－12，即r 2－r 21r 2＝5－12，所以r 21r 2＝3－52＝6－254＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122，从而得r 1r ＝5－12. 3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．解析：如图所示，设滚动后的圆的圆心为C ，过点C 作x 轴的垂线，垂足为A ，过点P 作x 轴的垂线与过点C 所作y 轴的垂线交于点B . 因为圆心移动的距离为2，所以劣弧PA ＝2，即圆心角∠PCA ＝2，则∠PCB ＝2－π2，所以|PB |＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， |CB |＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2， 所以x P ＝2－|CB |＝2－sin 2， y P ＝1＋|PB |＝1－cos 2， 所以OP ―→＝(2－sin 2,1－cos 2)． 答案：(2－sin 2,1－cos 2)4.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P ，Q 从点A (1,0)出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，则P ，Q 两点在第2 019次相遇时，点P 的坐标为________．解析：因为点P 按逆时针方向每秒钟转π6弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转11π6弧度，所以两点相遇1次的路程是单位圆的周长，即2π，所以两点相遇一次用了1秒，因此当两点相遇2 019次时，共用了2 019秒，所以此时点P 所转过的弧度为2 019π6＝673π2＝π2＋336π.由终边相同的角的概念可知，2 019π6与π2的终边相同，所以此时点P 位于y 轴正半轴上，故点P 的坐标为(0,1)． 答案：(0,1) [课时跟踪检测]1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3.2．已知点P (sin(－30°)，cos(－30°))在角θ的终边上，且θ∈[－2π，0)，则角θ的大小为( ) A ．－π3B.2π3 C ．－2π3D ．－4π3解析：选D 因为P (sin(－30°)，cos(－30°))，所以P ⎝⎛⎭⎫－12，32，所以θ是第二象限角，又θ∈[－2π，0)，所以θ＝－4π3.3．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( ) A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315.故选D. 4．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1)解析：选D 设P (x ，y )，则sin α＝y 2＝sin π4，∴y ＝1.又cos α＝x 2＝cos π4，∴x ＝1，∴P (1,1)．5．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.6．(多选)下列结论中正确的是( )A ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45B ．若α是第一象限角，则α2为第一或第三象限角C ．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度D ．若0<α<π2，则sin α<tan α解析：选BCD 当k ＝－1时，P (－3，－4)，则sin α＝－45，故A 错误；∵2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π<α2<k π＋π4，k ∈Z ，∴α2为第一或第三象限角，故B 正确；|α|＝l r ＝6－42＝1，故C 正确；∵0<α<π2，∴sin α<tan α⇔sin α<sin αcos α⇔cos α<1，故D 正确．7．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6D.3π4解析：选B ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴角α的最小正值是11π6. 8．已知α，β是第一象限角，且sin α>sin β，则( ) A ．α>β B ．α<β C ．cos α>cos βD ．tan α>tan β解析：选D 因为α，β是第一象限角，所以sin α>0，sin β>0，又sin α>sin β，所以sin 2α>sin 2β>0，所以1－cos 2α>1－cos 2β，所以cos 2α<cos 2β，所以1cos 2α>1cos 2β>0，所以tan 2α>tan 2β，因为tan α>0，tan β>0，所以tan α>tan β.故选D.9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.解析：由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10， ∴m 2＝1，又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3. ∴m －n ＝2. 答案：211．已知扇形的周长为4，当它的半径为________和圆心角为______弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________．解析：设扇形圆心角为α，半径为r ，则 2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r－2.∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2. 答案：1 2 112.已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， ∴S 1＝S 扇形AOQ －S 扇形AOB ＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝S △AOP －S 扇形AOB ＝12tm ·r －S 扇形AOB ，∴S 1＝S 2恒成立． 答案：S 1＝S 213．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正． 14．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则B ⎝⎛⎭⎫12，32， 可得tan ∠AOB ＝y x ＝3，故∠AOB ＝π3.故与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝π3＋2k π，k ∈Z }.(3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，则S 扇形OAB ＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形AB 的面积S ＝S 扇形OAB －S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3.。
2020年高中数学 三角函数导学案4北师大版必修4
高一年级数学导学案课题：单位圆与诱导公式 时间： 一、学习目标1巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式2能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值二、重难点运用诱导公式求出任意角的三角函数值三、学习过程1、(1)利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：(,)P x y 为角α的终边与单位圆的交点则 sin y α=，cos x α=；2、诱导公式由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．(1)公式一:思考：除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等，那么它们的三角函数有何关系呢？当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的三角函数值之间的关系为： 。
(2)公式二：当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，或是关于原点对称时，α与β的三角函数值之间的关系为：(3)公式三：（4)公式四：说明：①公式中的α指使公式两边有 意义的任意一个角；②若α是角度制，同样成立, 如0sin(180)α+=sin α-，cos(180)α+=-o cos α； ③公式特点：函数名不变，符 号看象限例1例1．求下列三角函数值：（1）sin 960o ； （2）43cos()6π-； （3）tan(1560)-o ．分析：先将不是)0,360⎡⎣o o 范围内角 的三角函数，转化为)0,360⎡⎣o o 范围内的角的三角函数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角的三角函数的值。
【解】【归纳总结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化大于的正角的三角函数)0,360⎡⎣oo 内的三角函数；③化)0,360⎡⎣o o 内的角的三角函数为锐角的三角函数． 可概括为：“负化正，大化小，小化锐”（有时也直接化到锐角求值）．例2判断下列函数的奇偶性：（１）()1cos f x x =- （２）()sin g x x x =-说明:公式二可直接对应三角函数的奇偶性．环节设计四、课堂练习：，求下列各式的值（1）．sin( - )（2）．sin( - ) ．判断下列函数的奇偶性：(1)()sin (2)()sin cos f x x f x x x ==延伸】例3．化简sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．：关键抓住题中的整数n 是表示π的整数倍与公式一中的整数k 有区别，所以必须把n 分五、课堂小结与作业布置 六、教与学反思431π316π。
2024-2025学年高三数学上学期第六周弧度制及任意角的三角函数教学设计
1.题型一：弧度制与角度制的转换
题目：将下列角度转换为弧度制。
答案：
(1) 30° = π/6弧度
(2) 45° = π/4弧度
(3) 60° = π/3弧度
(4) 90° = π/2弧度
(5) 180° = π弧度
2.题型二：任意角的三角函数的定义
题目：求下列角度的三角函数值。
答案：
(1)求θ = π/6的正弦值：sin(θ) = √3/2
5.练习题库：准备一些与本节课内容相关的练习题，包括填空题、选择题和解答题等。这些练习题可以帮助学生巩固所学的知识，并通过解题过程提高解题能力。
6.互动环节：准备一些与教学内容相关的互动环节，如提问、小组讨论、解答疑惑等。这些互动环节可以激发学生的学习兴趣，促进学生之间的交流和合作，提高学生的参与度。
1.讨论主题：学生将围绕“弧度制及任意角的三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以度制的基本概念。弧度制是角度制的另一种表达方式，它是……（详细解释概念）。弧度制在……（解释其重要性或应用）。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了弧度制在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调弧度制与角度制之间的转换方法和任意角的三角函数的定义。对于这些难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
八、作业评价
任意角、弧度制及任意角的三角函数复习学案
第21课 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、目标导引已知半径为r 的圆O 的圆心与原点重合，角α(0360)α≤<oo的始边与x 轴的非负半轴重合，交圆O 于点A ，终边与圆O 交于点B ，请把下列表格填写完整． 角α的度数角α的的弧度数 OB 旋转的方向 »AB 的长点B 的坐标sin αcos αtan α60o56π-逆时针22(,)22r r -顺时针r π1.根据表格内容填写，回答下面知识梳理 二、知识梳理任意角的三角函数知识框架的横向沟通：角与三角函数．提出问题：理解和比较这两个体系中的内容，思考它们之间有什么内在的联系． 引导学生根据数学对象研究的一般套路，思考表格横向项目与纵向项目的确定． 角三角函数概念 分类 表示 关系 应用过程中核心问题推进：问题1：从概念上看，这两者之间有什么区别和联系？问题2：除了概念，我们还能从哪些方面对角与三角函数进行研究呢？请同学们继续思考并在表格中表述出来．问题3：能否举一些例子来进一步说明它们之间的关系？三、问题研讨 问题1（角及其表示）例题1：已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内，则角α用集合可表示为 .问题2（三角函数的概念）例题2：已知角α的终边过点)30sin 6,8(︒--m P ，且54cos -=α. 求αsin ，αtan .问题3：（扇形弧长、面积公式的应用）例题3：已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . （Ⅰ）若︒=60α，cm R 10=，求扇形的弧长l ；（Ⅱ）若扇形的周长为cm 10，面积为24cm ，求扇形的圆心角α；（Ⅲ）若扇形的周长为定值)0(>C C ，当α为多少弧度时，该扇形的面积最大.O300450yx问题4：（三角函数线）例题4：求函数)sin 43lg(2x y -=的定义域.四、总结提升1.回顾刚才的学习过程，想一想，在这些内容的沟通中渗透了哪些数学思想方法？2.提炼复习过程中的方法：回顾本节课的整理的过程，我们经历了怎样的学习过程？五、即时检测1.(三角函数定义）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若(4)P y ，是角θ终边上的一点，且25sin 5θ=-，则y = ． 2.（三角函数定义、弧度、扇形面积公式）已知单位圆（半径为1的圆）的圆心O 为坐标原点，与x 轴的正半轴交于点A ，与角α的终边OB 交于点B ，且点B 在直线3y x =上.（Ⅰ）求α，tan α的值；（Ⅱ）若α为第一象限角，求弧AB 的长及扇形OAB 的面积.校本作业21：任意角、弧度制及任意角的三角函数1．（终边相同的角、象限角的概念）下列说法正确的是（ ） A ．小于︒90的角是锐角 B ．角α是第四象限角，则)(222Z k k k ∈<<-παππC ．第二象限的角大于第一象限的角D ．若角α与角β的终边相同，那么βα=2．（任意角的三角函数的定义）若角α的终边过点(4,3)P -，则cos αtan α的值为（ ） A .35-B .45C .43- D .3-3．（角的象限与三角函数值的正负）如果cos 0θ<，且tan 0θ>，则θ是（ ） A .第一象限的角 B .第二象限的角 C .第三象限的角 D .第四象限的角 4．（三角函数线）设0tan35cos55sin 23a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 5.（新定义；三角函数的概念）在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点00(,)P x y ，且||(0)OP r r =>，定义：00cos y x si rθ-=，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若cos 0si θ=，则sin(2)3πθ-=_________.6．（扇形弧长与面积）若扇形OAB 的面积是2，它的周长是6，则该扇形圆心角的弧度数是 ．7．（任意角的三角函数的定义）已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点)32cos 32(sinππ，P ，则角α的最小正值为 ． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在)10(，，此时圆上一点P 的位置在)00(，，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于)12(，时，点P 的坐标为 ．9．已知A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 坐标为)01(，，︒=∠60BOA .质点A 以s rad /1的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以s rad /1的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(Ⅰ)求经过s 1后，BOA ∠的弧度；(Ⅱ)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间．10．（三角函数的定义）已知角α的终边上一点(3)P m -，，且2sin 4mα=，求cos tan αα，的值．11．（三角函数定义、扇形面积）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．（Ⅰ）若点B 的横坐标为54-，求αtan 的值； （Ⅱ）若AOB ∆为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； （Ⅲ）若]320[πα，∈，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．12．如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点)(00y x B ，，设β=∠BAO . (Ⅰ)用β表示α； (Ⅱ)如果 54sin =β，求点),(00y x B 坐标； (Ⅲ)求00y x -的最小值．BAyxODCBCA提高题：1．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关； ④若βαsin sin =，则α与β的终边相同； ⑤若0cos <θ，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．（三角函数的定义）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sincos )88P ππ，，则)122sin(πα-等于（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．323．如图，将边长为cm 1的正方形ABCD 的四边沿BC 所在直线l 向右滚动(无滑动)，当正方形滚动一周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长度为________cm .4．（三角函数值在各个象限内的符号）已知点)sin (tan θθ，P 在第四象限，则角2θ的终边在第__________象限．5．（弧度数、圆的弧长公式）如图，一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙壁AC 上，060=∠ABC ，若AB 滑动至DE 位置， 且)23(-=AD 米，木棒AB 中点O 所经过的路程为 米．6．（弧长、扇形面积公式）一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，求1c S-的最大值.。
2021高考数学复习第4章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数教学案理北师大版
第4章三角函数、解三角形全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式从高考题型、题量来看,一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题,分值上占17分左右．2.考查内容(1)客观题主要考查三角函数的定义,图像与性质,同角三角函数关系,诱导公式,和、差、倍角公式,正、余弦定理等知识．(2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图像与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见．3.备考策略(1)熟练应用同角三角函数基本关系式与诱导公式求值、化简．(2)重视对三角函数图像和性质的研究,复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固,注意将问题和方法进行归纳、整理．(3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强训练.[最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°,k ∈Z }．(4)象限角：使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad. (2)公式：角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°弧长公式 弧长l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 23(1)定义设角α终边与单位圆交于P (x ,y ),则sin α＝y ,cos α＝x ,tan α＝y x(x ≠0)． 拓展：任意角的三角函数的定义(推广)．设P (x ,y )是角α终边上异于顶点的任一点,其到原点O 的距离为r , 则sin α＝y r ,cos α＝x r ,tan α＝y x(x ≠0)． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正,二正弦,三正切,四余弦． (3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．如图中有向线段MP ,OM ,AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．[常用结论](1)单位圆上任意一点可设为(cos θ,sin θ)(θ∈R )．(2)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,则sin α＜α＜tan α.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角,第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( )(4)若α为第一象限角,则sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编1．若θ满足sin θ＜0,cos θ＞0,则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵sin θ＜0,cos θ＞0,∴θ的终边落在第四象限．] 2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C [∵9π4＝2π＋π4,∴9π4与π4终边相同．又角度制与弧度制不可同时混用,故选C.]3．角－225°＝________弧度,这个角的终边落在第________象限． [答案] －5π4二4．设角θ的终边经过点P (4,－3),那么2cos θ－sin θ＝______. 115 [由已知并结合三角函数的定义,得sin θ＝－35, cos θ＝45,所以2cos θ－sin θ＝2×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝115.]5．一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为________弧度． [答案]π3考点1 象限角及终边相同的角象限角的两种判断方法(1)图像法：在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°,k ∈Z )的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．1.设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ,N⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅B [由于M 中,x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°,2k ＋1是奇数；而N 中,x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°,k ＋1是整数,因此必有M ⊆N ,故选B.]2．设θ是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2,则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [∵θ是第三象限角,∴π＋2k π＜θ＜3π2＋2k π,k ∈Z ,∴π2＋k π＜θ2＜3π4＋k π,k ∈Z ,∴θ2的终边落在第二、四象限, 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2,∴cos θ2＜0,∴θ2是第二象限角．]3．与－2 010°终边相同的最小正角是________．150° [与－2 010°终边相同的角可表示为α＝－2 010°＋k ·360°,k ∈Z , 又当k ＝6时,α＝150°,故与－2 010°终边相同的最小正角为150°.] 4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．{α|α＝k ·180°＋60°,k ∈Z } [终边在y ＝3x 上的角可表示为α＝k ·180°＋60°,k ∈Z .](1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角．(2)确定kα,αk(k ∈Z *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围,然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 考点2 扇形的弧长、面积公式弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式,在使用公式时,要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量,然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解,或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．已知一扇形的圆心角为α,半径为R ,弧长为l .(1)若α＝60°,R ＝10 cm,求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm,面积是4 cm 2,求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大？ [解] (1)α＝60°＝π3rad,所以l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rα＝10，12α·R 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12rad.(3)由已知得l ＋2R ＝20,所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25,所以当R ＝5 cm 时,S 取得最大值25 cm 2, 此时l ＝10 cm,α＝2 rad.求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题．1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )A.π6B.π3C.3D. 3D [如图,等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形,则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3, 作OM ⊥AB ,垂足为M ,在Rt △AOM 中,AO ＝r ,∠AOM ＝π3,∴AM ＝32r ,AB ＝3r , ∴l ＝3r ,由弧长公式得α＝l r＝3rr＝ 3.]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2C ．2sin 1D ．2sin 1C [如图,∠AOB ＝2弧度,过O 点作OC ⊥AB 于C ,并延长OC 交AB ︵于D . 则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度, 且AC ＝12AB ＝1,在Rt △AOC 中,AO ＝ACsin ∠AOC＝1sin 1, 即r ＝1sin 1, 从而AB ︵ 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.故选C.]3．已知扇形弧长为20 cm,圆心角为100°,则该扇形的面积为________cm 2. 360π [由弧长公式l ＝|α|r , 得r ＝20100π180＝36π, 所以S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π.]考点3 三角函数的概念及应用三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标,可求角α的三角函数值：先求点P 到原点的距离,再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值,求角α终边上一点P 的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α,cosα,tan α)中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角终边的位置,注意终边在坐标轴上的特殊情况．三角函数定义的应用(1)在平面直角坐标系中,以x 轴的非负半轴为角的始边,角α,β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin(α＋β)＝( )A ．－3665B.4865 C ．－313D.3365(2)角α终边上一点P (4m ,－3m )(m ≠0),则2sin α＋cos α＝________. (3)角α的终边在直线y ＝－43x ,求sin α,cos α,tan α.(1)D (2)±25 [(1)由题意可知cos α＝1213,sin α＝513.cos β＝－35,sin β＝45,∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝－1565＋4865 ＝3365.(2)r ＝16m 2＋9m 2＝5|m |,当m ＞0时,r ＝5m ,sin α＝－3m 5m ＝－35,cos α＝4m 5m ＝45,∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.当m ＜0时,r ＝－5m ,sin α＝－3m －5m ＝35,cos α＝4m －5m ＝－45,∴2sin α＋cos α＝2×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝25,∴2sin α＋cos α＝±25.](3)[解] 由题意tan α＝－43,当角α终边落在第二象限,设角α终边上一点P (－3,4),r ＝5,∴sin α＝45,cos α＝－35, 当角α终边落在第四象限,设角α终边上一点P (3,－4),r ＝5,sin α＝－45,cos α＝35. 充分利用三角函数的定义解题是解答此类问题的关键,对于含字母的方程求解要注意字母的范围．三角函数值的符号判断 (1)若tan α＞0,则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0(2)若sin αtan α＜0,且cos αtan α＜0,则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(1)C (2)C [(1)由tan α＞0,可得α的终边在第一象限或第三象限,此时sin α与cos α同号,故sin 2α＝2sin αcos α＞0,故选C.(2)由sin αtan α＜0可知sin α,tan α异号, 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α,tan α异号,则α为第三象限角或第四象限角．综上可知,α为第三象限角．]判断三角函数值的符号,关键是确定角的终边所在的象限,然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号,特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．三角函数线的应用[一题多解]函数y ＝sin x －cos x 的定义域为_______．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) [法一：要使函数有意义,必须使sin x －cos x ≥0.利用图像,在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像,如图所示．在[0,2π]内,满足sin x ＝cos x 的x 为π4,5π4,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .法二：利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)． 所以定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .]利用三角函数线比较大小或解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说sin x ≥b ,cos x ≥a ,只需作直线y ＝b ,x ＝a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的x 的范围．1.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [∵tan α＜0,cos α＜0,∴α在第二象限．]2．(2019·枣庄模拟)已知角α的终边过点P (－8m ,－6sin 30°),且cos α＝－45,则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32B [∵r ＝64m 2＋9,∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45, ∴m ＞0,∴4m 264m 2＋9＝125,即m ＝12.]3．若－3π4＜α＜－π2,从单位圆中的三角函数线观察sin α,cos α,tan α的大小是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．cos α＜sin α＜tan αC ．sin α＜cos α＜tan αD ．tan α＜sin α＜cos αC [如图,作出角α的正弦线MP ,余弦线OM ,正切线AT ,观察可知sin α＜cos α＜tan α.]。
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【导学释疑】
1.已知sin = ,cos = ,若 是第二象限角，求实数a的值. .
2.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
3.设 为第三象限角，试判断 的符号. ＜0.
4.角 终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角 终边上的点Q与A关于直线y=x对称，
A.-3B.3或
C.- D.-3或-
答案C
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
4、掌握三角函数在各个象限的符号
5.会做出某角的三角函数线
三、教学过程
【温故知新】
一、选择题
1.已知cos ·tan ＜0,那么角 是（）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
2.若0＜x＜ ，则下列命题中正确的是（）
A.sinx< B. sinx> C. sinx< D. sinx>
答案D
3.与610°角终边相同的角表示为
A.k·360°+230°(k∈Z)B.k·360°+250°(k∈Z)
C.k·360°+70°(k∈Z)D.k·360°+270°(k∈Z)
答案B
4.已知（ ）sin2 ＜1,则 所在象限为
A.第一或第二象限B.第二或第四象限
C.第二或第三象限D.第一或第三象限
求sin ·cos +sin ·cos +tan ·tan 的值.-1.
【检测反馈】
5.已知点P（tan ，cos ）在第三象限，则角 的终边在第几象限（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
答案B
6.已知 ∈ 且sin +cos =a，其中a∈(0，1），则关于tan 的值，以下四个答案中，可能正确的是
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第23课时
备课组长签字包级领导签字：学生：上课时间：2013.9
集体备课
个人空间
一、课题：4.1.3任意角和弧度制及任意角的三角函数
二、学习目标
1.了解任意角的概念
2.了解弧度制概念能进行弧度与角度互化
3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）定义