【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业：4.2平面向量基本定理及坐标表示(含答案解析)

课时活页作业（二十五）[基础训练组]1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b[解析] BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a.[答案] A2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b[解析] 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧λ＝12μ＝－32，∴c ＝12a －32b.[答案] B3．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[解析] BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)． [答案] B4．(2015·江苏五市联考)已知向量a ＝(8，12x)，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2[解析] a －2b ＝(8－2x ，12x －2)，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由已知(a －2b)∥(2a ＋b)，显然2a ＋b≠0→，故有(8－2x ，12x －2)＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ 16＋x ，12x －2＝λ x ＋1 ⇒x ＝4(x ＞0)．[答案] A5．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b 等于( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)[解析] 法一：设b ＝(x ，y)，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝35，x －2y5·x 2＋y 2＝－1，整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝45，x －2y ＝－15.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝6，∴b ＝(－3,6)．法二：设b ＝(x ，y)，由已知条件⎩⎨⎧x 2＋y 2＝35，y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－6，(舍去)，∴b ＝(－3,6)． 法三：∵|a|＝5，∴1|a|a ＝(15，－25)，则b ＝－35(1|a|a)＝(－3,6)[答案] A6．(2016·九江模拟)P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q 等于________．[解析] P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m)，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n)．则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n.得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，m ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)． [答案] {(－13，－23)}7．(2015·高考新课标卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.[解析] 由共线向量定理，存在实数k ，使得λa ＋b ＝k(a ＋2b)，即(λ－k)a ＋(1－2k)b ＝0→，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，1－2k ＝0，解得k ＝λ＝12[答案] 128．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)，且p ∥q ，则角C ＝________.[解析] 因为p ∥q ，则(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0， 所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合余弦定理知，cos C ＝12，又0°<C<180°，∴C ＝60°.[答案] 60°9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求： (1)|a ＋3b|；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，所以a ＋3b ＝(7,3)， 故|a ＋3b|＝72＋32＝58.(2)ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)， 因为ka －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时ka －b ＝(k －2，－1)＝(－73，－1)，a ＋3b ＝(7,3)，则a ＋3b ＝－3(ka －b)， 即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反．10．(2016·莱芜一模)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b →.(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解析] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b)－23b ＝2a －53b.(2)如题图，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b)－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.[能力提升组]11．非零不共线向量OA →、OB →，且2OP →＝xOA →＋yOB →，若PA →＝λAB →(λ∈R)，则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0[解析] PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2，故选A. [答案] A12．(2016·朝阳一模)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1[解析] ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.[答案] A13．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，则x 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(0，13)C ．(－12，0)D ．(－13，0)[解析] 依题意，设BO →＝λBC →，其中1<λ<43，则有AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC→－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x)AC →，且AB →，AC →不共线，于是有x ＝1－λ∈(－13，0)，即x 的取值范围是(－13，0)．[答案] D14．(2016·成都市调研)设G 为△ABC 的重心，若△ABC 所在平面内一点P 满足PA →＋2BP →＋2CP →＝0→，则|AP →||AG →|的值等于________．[解析] 根据题意暗示结果能得到定值，因此，可以令三角形为等腰直角三角形(如图)，则根据重心坐标公式得重心G 的坐标为(1,1)，根据PA →＋2BP →＋2CP →＝0→，可设P(x ，y)，则有2(x －3，y)＋2(x ，y －3)＝(4x －6,4y －6)＝(x ，y)，所以x ＝2，y ＝2，所以P(2,2)，所以|AP →||AG →|＝2.[答案] 215．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． [解] (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．。