2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考(一模)数学(文)试题(解析版)
2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次模拟数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}10A x x x =+<，112xB x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则B A =ð（ ） A ．(]1,0- B ．()1,0-C ．(],1-∞-D ．(],0-∞【答案】C【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集的运算即可. 【详解】解：(){}10A x x x =+<，112xB x⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∴{}10A x x =-<<，{}0B x x =<， ∴(],1B A =-∞-ð. 故选：C . 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()1,1，则z z的实部与虚部的和是（ ）A． B ．0 C．2D．22i - 【答案】B【解析】先根据复数的几何意义求出z ，z ，代入后根据复数的四则运算可求. 【详解】解：由题意可得，1z i =+，1z i =-，则z z ==∴)()()111zi z i i -===+-，所以z z的实部为2，虚部为2-，故实部和虚部的和为0. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了复数几何意义，复数的模，共轭复数及复数的四则运算及基本概念的应用，属于基础试题．3．若“x R ∃∈，使得sin x x a -=”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．()2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．()(),22,-∞-+∞U【答案】A【解析】存在有解，先求值域，可知a 的值. 【详解】解：若“x R ∃∈，使得sin x x a =，则sin 2sin 3x x x a π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭要有解， ∵[]2sin 2,23x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴[]2,2a ∈-， 故选：A . 【点睛】本题考查三角函数的性质的应用、简易逻辑，属于基础题．4．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B【解析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．已知向量a r ，b r 满足：a =r ，2b =r ，()a b a -⊥r r r ，则a r 在b r方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2CD ．1【答案】D【解析】根据()a b a -⊥r r r 即可得出()0a b a -⋅=r r r，进行数量积的运算即可求出2a b ⋅=r r，从而根据投影的计算公式a b b⋅r r r 即可求出投影的值.【详解】解：∵a =r ，2b =r ，()a b a -⊥r r r，∴()220a b a a a b a b -⋅=-⋅=-⋅=r r r r r r r r，∴2a b ⋅=r r，∴a r 在b r方向上的投影为2cos ,12a b a a b b⋅<>===r rr r r r .故选：D . 【点睛】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，投影的定义及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（ ） A ．79B ．29C ．49D ．59【答案】A【解析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A ，利用对立事件概率计算公式能求出所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率. 【详解】解：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A ，()25210C 2C 9P A ==，∴所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：()()271199P A P A =-=-=. 故选：A . 【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．二项式()31mx -（0m >）展开式的第二项的系数为3-，则0mx e dx ⎰的值为（ ） A ．1e - B ．1e + C ．1e -D ．11e-【答案】A【解析】由题意利用二项展开式的通项公式求得m 的值，再求定积分得到结论． 【详解】解：二项式()31mx -（0m >）展开式的第二项的系数为()123C 13m ⋅-⋅=-，∴1m =，则0011011x x xme dx e dx e e e e⎰=⎰==-=-，故选：A.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求定积分，属于基础题．8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示()(){}()()2222224,11,11x yA x y x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+-≤⋃++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭，设点(),x y A∈，则z x y=+的取值范围是（）A．12,22⎡⎣B．22,22-⎡⎤⎣⎦C．22,12⎡-+⎣D．2,12⎡-⎣【答案】C【解析】结合图形，平移直线z x y=+，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆224x y+=相切时，x y+取最小值；分别求出对应的z值即可.【详解】解：由题意可知：z x y=+与()2211x y+-=相切时，切点在上方时取得最大值，如图：2201111z+-≤+，解得1212z≤≤+z x y=+的最大值为：12当下移与圆224x y+=相切时，x y+取最小值，22z-=，即z的最小值为：22-，所以22,12z⎡∈-⎣.故选：C.【点睛】本题考查线性规划的数据应用，考查转化思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘.某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y （单位：万元）随经营利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）（参考数据：1001.015 4.432≈，lg11 1.041≈）A ．0.04y x =B ． 1.0151x y =-C ．tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()11log 310y x =-【答案】D【解析】根据题意函数需满足当(]6,100x ∈时，是增函数，且3y ≤，且15y x ≤，依此用四个函数逐一检验，只有函数()11log 310x =-满足要求. 【详解】解：对于函数：0.04y x =，当100x =时，43y =>，不符合题意； 对于函数： 1.0151xy =-，当100x =时， 3.4323y =>，不符合题意；对于函数：tan 119x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不满足递增，不符合题意；对于函数：()11log 310y x =-，满足(]6,100x ∈，增函数， 且()111111log 310010log 290log 13313y ≤⨯-=<=，结合图象，15y x =与()11log 310y x =-的图象如图所示： 所以符合题意， 故选：D .【点睛】本题结合现实生活情境，考查了函数模型的应用，解题关键在于弄清题目给定规划，依此用四个函数逐一检验，属于中档题．10．已知1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M ，若120MF MF ⋅>u u u u r u u u u r，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．2) B ．(3,)+∞C ．(1,2)D ．(2,)+∞【答案】D【解析】求出M 点的坐标，根据向量数量积的正负，求得,a b 的关系式，结合离心率求解公式，即可容易求得. 【详解】不妨设过点1(,0)F c -与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为ax y c b=-， 与另一条渐近线b y x a =-的交点为,22c bc M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由120MF MF ⋅>u u u u r u u u u r是3,,02222c bc c bc a a ⎛⎫⎛⎫--⋅-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即有223b a >，又因为2e =>， 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属基础题. 11．已知A 是函数()sin 2020cos 202063f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x ⋅+的最小值为（ ） A ．1010πB ．2020π C ．3030π D ．4040π 【答案】C【解析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x +的最小值，从而可得答案. 【详解】解：()()sin 2020cos 202063f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫==++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112020cos 2020cos 202020202222x x x x =+++， 2sin 20206x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2020cos 2020x x =+∴()max 2A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立， ∴()()2max 2f x f x ==，()()1min 2f x f x ==-，由图象可知122x x +的最小值为函数()f x 的最大负零点0x 的绝对值0x ，又062020x πϕω=-=-，所以12x x +的最小值为622020π⎛⎫ ⎪-⨯ ⎪⎪⎝⎭，∴12min6()2220203030A x x ππ⎛⎫ ⎪⋅+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故最小值为：3030π， 故选：C . 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．12．如图，矩形ABCD 中，22BC AB ==，N 为边BC 的中点，将ABN V 沿AN 翻折成1B AN △（1B ∉平面ABCD ），M 为线段1B D 的中点，则在ABN V 翻折过程中，下列命题：①与平面1B AN 垂直的直线必与直线CM 垂直；②线段CM 的长为3；③异面直线CM 与1NB 所成角的正切值为33；④当三棱锥1D ANB -的体积最大时，三棱锥1D ANB -外接球表面积是4π.正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】①//CM 平面1B AN ，则可判断，②通过线段相等CM NK =，可求出线段NK 的长， ②异面直线CM 与1NB 所成角为1KNB ∠，求出其tan 值即可. ④找出球心，求出半径.【详解】解：取1AB 的中点K ，AD 的中点O ，连接KM ，KN ，1OB ，ON ，显然//CM 平面1B AN ，①对；22115CM NK B N B K ==+=，②错； 1KNB ∠即为异面直线CN 与1NB 所成的角，1111tan 2B K KNB B N ∠==，③错； 当平面1B AN ⊥平面AND 时，三棱锥1B AND -的体积最大，取AN 的中点E 连接DE 、1B E ，依题意可得1B E AN ⊥，又平面1B AN ⊥平面AND ，平面1B AN I 平面AND AN =，1B E ⊂面1B AN ，所以1B E ⊥面AND ，又DE ⊂面AND ，所以1B E DE ⊥，由22BC AB ==，所以221121122B E =+=， ()222221022DE DN EN ⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭，222211210322B D B E DE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22211AB B D AD +=，所以190AB D ∠=︒，又O 为AD 的中点，所以112AO NO DO B O AD ==== 即O 为三棱锥1B AND -外接球球心，且112R OA AD ===，所以244S R ππ==，故④对， 故选：B . 【点睛】本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于难题．二、填空题13．若曲线2ln y x x =+在点()1,1处的切线与直线20x ay -+=平行，则实数a 的值为______. 【答案】13【解析】先对2ln y x x =+求导，然后求出曲线2ln y x x =+在点()1,1处切线的斜率1x k y =='，再根据条件得到关于a 的方程，进一步求出a 的值.【详解】解：由2ln y x x =+，得12y x x'=+， 则曲线2ln y x x =+在点()1,1处切线的斜率13x k y ='==，∵曲线在点()1,1处的切线与直线20x ay -+=平行，∴13a =，∴13a =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程和两直线的位置关系，考查了方程思想，属于基础题．14．在ABC V 中，边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .ABC V 的面积S 满足222b c a =+-，若a =sin sin a c A C -=-______. 【答案】2【解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求A ，然后结合正弦定理可求.【详解】解：由余弦定理可得，222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos b c a bc A +-=， 因为1sin 2S bc A =，又因为2222cos 3S b c a bc A =+-=，所以tan A = 所以13A π=，由正弦定理可得，22sin aR A==， ∴22sin sin a cR A C-==-.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了 正弦定理的合理运用，熟悉公式并能力灵活应用是求解本题的关键，属于中档题．15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限的点(),2M t ，满足()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r（其中O 为坐标原点），则AB =______.【答案】8【解析】设直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得1m =，进而得到t 的值，即可求出AB 【详解】解：由条件得()1,0F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为：1x my =+，m R ∈， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，则2440y my --=，且124y y m +=，124y y =-， 由条件可知1244y y m +==，解得1m =，()12122322m y y x x t +++===， 所以()2318AB =+=， 故答案为：8. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与直线的位置关系，方程思想，属于中档题． 16．已知m 为整数，若对任意()3,x ∈+∞，不等式()ln 31m x x e-≤恒成立，则m 的最大值为______. 【答案】1【解析】构造()()ln 3x f x x-=，然后对()f x 求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求. 【详解】解：令()()ln 3x f x x-=，则()()2ln 33xx x f x x ---'=， 令()()ln 33x t x x x =---，则()()231033t x x x -'=-<--， 所以()t x 在()3,+∞上单调递减， 又()70t >，()80t <， 故存在()07,8x ∈使得()()0000ln 303x t x x x =--=-， 当()03,x x ∈时，()0t x >，即()0f x '>，()f x 单调递增，当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，即()0f x '<，()f x 单调递减，()()()00max00ln 3111,354x f x f x x x -⎛⎫===∈ ⎪-⎝⎭，故114m e ≥，则4m e ≤，即m 的最大值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了函数的单调性及最值问题的求解，考查了导数的应用，体现了转化思想的应用，属于难题．三、解答题17．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，39a =，9135S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭前n 项和为n T ，证明：1163nT ≤<. 【答案】（1）3n a n =，*n N ∈；（2）证明见解析【解析】本题第（1）题先设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据已知条件列出关于首项1a 与公差为d 的方程组，解出1a 与d 的值，即可计算出数列{}n a 的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的通项公式，将通项公式进行转化可发现数列21n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以16为首项，12为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算出前n 项和n T ，再应用放缩法即可证明结论. 【详解】解：（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则3191299891352a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 整理，得1129415a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得133a d =⎧⎨=⎩，∴()3313n a n n =+-=，*n N ∈. （2）证明：由（1），可知232n na =⋅，故12111111323262n n n n a -⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，∴数列21na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以16为首项，12为公比的等比数列.∴111621111132312nnnT⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-<⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，又21na>，所以{}nT为单调递增数列，∴16n nT T≥=，∴1163nT≤<.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算和等比数列的判别．考查了转化与化归思想，放缩法，定义法，逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．18．如图，在多面体ABCDE中，//DE AB，AC BC⊥，平面DAC⊥平面ABC，24BC AC==，2AB DE=，DA DC=.（1）若点F为BC的中点，证明：EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60︒，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】（1）取AC的中点O，连接DO，OF，推导出DO AC⊥，DO⊥平面ABC，//OF AB，且2AB OF=，//DE AB，2AB DE=，则OF DE=，从而四边形DEFO 为平行四边形，进而//EF DO，由此能证明EF⊥平面ABC.（2）以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值. 【详解】解：（1）证明：取AC的中点O，连接DO，OF，∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，得DO ⊥平面ABC ， ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =， 又//DE AB ，2AB DE =，所以OF DE =， ∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC.（2）解：∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ∠=︒， ∴tan 6023DO EF BF ==︒=∴(0,0,23D ，(1,2,23E -，取平面ABC 的法向量()0,0,1m =u r， 设平面DCE 的法向量(),,n x y z =r，(1,0,23CD =u u u r ，(0,2,23CE =u u u r，则30230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，取1z =，得()23,3,1n =-r ， ∴()()22223314n =+-+=r ，1m =u r ，1m n =u r r g∴11cos ,144m n m n m n ⋅===⨯⋅u r ru r r u r r ，∴平面DCE 与平面ABC 所成的角（锐角）的余弦值为14.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22，左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 交于M ，N 两点，1MF N V 的周长为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过M 作与y 轴垂直的直线l ，点3,02K ⎛⎫⎪⎝⎭，试问直线NK 与直线l 交点的横坐标是否为定值？请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）为定值2，理由见解析【解析】（1）由离心率和过焦点的三角形的周长及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得直线MN 的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出NK 的方程令1y y =，求出x 的表达式，将两根之和及两根之积代入可得为定值2， 【详解】解：（1）三角形1MF N 的周长442a =，22ca =，222b a c =-，可得：22a =，21b =， 所以椭圆的方程为：2212x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由（1）得()21,0F ，设直线MN 的直线为：1x my =+，联立直线与椭圆的方程：22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：()222210m y my ++-=， ∴12222my y m -+=+，12212y y m =-+， 直线NK 的方程：223322y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，令1y y =，可得： ()12122122222222223131223222222222m m m y x y my y y y y y m m m x y y y y ⎛⎫⎛⎫----+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++=+====所以直线NK 与直线l 交点的横坐标为定值2. 【点睛】本题考查求椭圆的性质和直线与椭圆的综合应用，及直线过定点的求法，属于中档题． 20．若方程()f x x =有实数根0x ，则称0x 为函数()f x 的一个不动点.已知函数()()ln 1ln x x f x e a x a x -=++-（a R ∈）.（1）若a e =-，求证：()f x 有唯一不动点； （2）若()f x 有两个不动点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）a e <-【解析】（1）依题意，令()ln xe F x ex e x x=-+（0x >），利用导数可知()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且1x =时，()F x 取的最小值0，由此即可得出结论；（2）先证明()20xe x x >>，则()f x 有两个不动点等价于函数()ln ln x xe g x a x x-=+-在()0,∞+上有两个不同的零点，求出()g x 的导数，得到其单调性，得到函数的最小值()()min 1g x g e a ==+，即可得到a 的取值范围，再证明a e <-时，()ln ln x xe g x a x x-=+-有两个零点；【详解】解：（1）证明：当a e =-时，由()f x x =得ln 0x eex e x x-+=，令()ln xe F x ex e x x=-+（0x >）， 则()()()1221x x x e x e x xe e e F x e x x x ----'=-+=，易知1x e x -≥在()0,∞+上恒成立，故当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 在()0,1上单调递减， 当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()min 1ln10F x F e e e ==-+=，∴方程ln 0xe ex e x x-+=有唯一实数根01x =，故()f x 有唯一不动点；（2）先证明()20xe xx >>，令()()20x x e x x ϕ=->，则()2x x e x ϕ'=-，()2x x e ϕ''=-，当()0,ln 2x ∈时，()0x ϕ''<，当()ln 2,+∞时，()0x ϕ''>，从而()()ln 20x ϕϕ''≥>，因此()2x x e x ϕ=-在()0,∞+上单调递增，故()()00ϕϕ>=x ，所以()20x e x x >>，即()2ln 0x x x >>，()f x 有两个不动点等价于函数()ln ln x xe g x a x x -=+-在()0,∞+上有两个不同的零点，()()()()ln 2ln 11ln x x e x x x g x x x x ----'=-易知ln ln 0x x x e e x ->=>，1ln 0x x -->，当()0,1x ∈时，()0g x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，所以有()()min 1g x g e a ==+，所以0e a +<，即a e <-，下面说明a e <-时，()ln ln x x e g x a x x-=+-有两个零点，取()10,1ax e =∈有111ln ln x x x a ->-=-，故()11ln 11111ln 0ln x x e g x a x x a x x -=+>-+>-，取()21,a x e -=∈+∞，且222ln ln x x x a ->=-，故()22ln 22222ln 0ln x x e g x a x x a x x -=+>-+>-，又()10g e a =+<，由零点存在性定理知()f x 在()0,1存在唯一3x ，使得()30g x =，在()1,+∞内存在4x 使()40g x =，综上有a e <-. 【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数与方程以及函数与导数的综合运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：随机抽取某市2020名同一收入层级的IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1:1:1:2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入？【答案】（1）4120；（2）分布列见解析，1830；（3）11个月【解析】（1）由题意能求出旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税.（2）分别求出依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群月缴个税、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的E X.人群月缴个税，由此能求出X的分布列和()（3）在新政策下该收入层的IT从业者2019年月缴个税为1830，该收入层级IT从业者每个月少缴交的个税为2290，列方程能求出经过11个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入.【详解】解：（1）旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税为：⨯+⨯+⨯+⨯=.15000.0330000.145000.2115000.254120（2）依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：240005000100018000--=，X=⨯+⨯+⨯=，月缴个税30000.0390000.160000.22190只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应缴纳税所得额为：---=，2400050001000100017000X=⨯+⨯+⨯=，月缴个税30000.0390000.140000.21990只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为：---=，2400050001000200016000月缴个税30000.0390000.140000.21790X =⨯+⨯+⨯=，既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：24000500010001000200015000----=，月缴个税30000.0390000.140000.21590X =⨯+⨯+⨯=，∴X 的分布列为： X 2190 1990 17901590 P15 15 15 25∴()1112219019901790159018305555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）∵在新政策下该收入层的IT 从业者2019年月缴个税为1830，∴该收入层级IT 从业者每个月少缴交的个税为412018302290-=，设经过x 个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税的总和就超过24000， 则229024000x >，∵x N ∈，∴11x ≥，∴经过11个月，该收入层级的IT 从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入.【点睛】本题考查每月缴个税的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．22．心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状象心形而得名.在极坐标系Ox 中，方程(1sin )(0)a a ρθ=->表示的曲线1C 就是一条心形线，如图，以极轴x O 所在直线为x 轴，极点O 为坐标原点的直角坐标系xOy 中，已知曲线2C 的参数方程为313x t y t ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩(t 为参数）.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 相交于A 、O 、B 三点，求线段AB 的长.【答案】（1）()3θρπ=∈R （2）||2AB a = 【解析】（1）先通过消参将其转化为普通方程，再利用公式求得其极坐标方程； （2）设出,A B 的极坐标系下的极坐标，即可容易求得结果.【详解】（1）由1x y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），消参数t0y -=， 令cos x ρθ=sin y ρθ=cos sin 0θρθ-=化简得tan θ=，即3πθ=即得曲线2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . （2）由已知，不妨设,3A A ρπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,3B B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是1sin 132A a a πρ⎛⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎝⎭，41sin 132B a a πρ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故||2AB a =.【点睛】 本题考查极坐标方程和直角方程之间的转化，以及利用极坐标求弦长，属综合基础题. 23．已知函数()f x =R .（1）求实数m 的取值范围；（2）设t 为m 的最大值，实数,,a b c 满足222a b c t ++=，试证明2221111111a b c ++≥+++. 【答案】（1）6m ≤（2）证明见解析【解析】（1）根据定义域结合绝对值三角不等式，即可容易求得结果；（2）由（1）中所求，结合均值不等式即可容易求得结果.【详解】（1）由题意知，|6|||x x m -+≥恒成立，又|6||||(6)|6x x x x -+≥--=，所以实数m 的取值范围是6m ≤.（2）由（1）可知，2226a b c ++=，所以2221119a b c +++++= 从而()()()22222222211111111111119111a b c a b c a b c ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭222222222222111111113(36)191111119b ac a c b a b a c b c ⎛⎫++++++=++++++≥+= ⎪++++++⎝⎭， 当且仅当2221113a b c +=+=+=，即2222a b c ===时等号成立，证毕.【点睛】本题考查利用绝对值不等式求最值，以及利用均值不等式求最值，属综合基础题.。
湖南省衡阳市2020届高三下学期第一次联考(一模)数学理科试题 含参考答案
A = (x, y) x2 + ( y −1)2 1或x2 + ( y +1)2 1 ，设点 (x, y) A ，则 z = x + y 的取值范
x 0
围是（ ）
A.[1− 2,2 2]
B.[−2 2,2 2] C.[−2 2,1+ 2] D.[−2，1+ 2]
9.衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘. 某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员 工的奖励方案：在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 y（单位：万元）随经营利润 x（单位：万元）的增加二增加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%. 下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）
（参考数据：1.015100 4.432，lg11 1.041）
A. y = 0.04x B. y =1.015x −1
C. y = tan( x −1) 19
D. y = log 11(3x −10)
10.已知 F1，F2 分别为双曲线
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) 的左、右焦点，过点 F1 与双曲线的一
条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M，若 MF1 MF2 0 ，则该双曲线离心
率的取值范围是（ ）
A. (1, 2)
B. ( 3,+)
C. (1,2)
D. (2,+)
2
11.已知
A
是函数
f
(x)
=
sin( 2020
x
+
6
)
+
cos(2020
x
−
) 3
的最大值，若存在实数
2020年湖南省衡阳市高考(理科)数学一模检测试卷 含解析
2020年高考（理科）数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x（x+1）＜0}，B＝{x|＞1}，则∁B A＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，0]2．复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），则的实部与虚部的和是（）A．B．0C．D．﹣i3．若“∃x∈R，使得sin x﹣cos x＝a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）4．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c5．已知向量，满足：||＝，||＝2，（﹣）⊥，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．C．D．16．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A．B．C．D．7．二项式（mx﹣1）3（m＞0）展开式的第二项的系数为﹣3，则e x dx的值为（）A．e﹣1B．e+1C．1﹣e D．1﹣8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示A＝，设点（x，y）∈A，则z＝x+y的取值范围是（）A．[1﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣2，1] 9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（）（参考数据：1.015100≈4.432，lg11≈1.041）A．y＝0.04x B．y＝1.015x﹣1C．y＝tan（﹣1）D．y＝log11（3x﹣10）10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）11．已知A是函数f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1+x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．如图，矩形中ABCD，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成△B1AN （B1∉平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，下列命题：①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥D﹣ANB1的体积最大时，三棱锥D﹣ANB1外接球表面积是4π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题13．若曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线与直线x﹣ay+2＝0平行，则实数a的值为．14．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足S＝b2+c2﹣a2，若a＝，则＝．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点M（t，2），满足＝（+）（其中O为坐标原点），则|AB|＝．16．已知m为整数，若对任意x∈（3，+∞），不等式≤恒成立，则m的最大值为．三、解答题（共5小题）17．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n，a3＝9，S9＝135．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜．18．如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，平面DAC⊥平面ABC，BC＝2AC ＝4，AB＝2DE，DA＝DC．（1）若点F为BC的中点，证明：EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．19．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于M，N两点，△MF1N的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过M作与y轴垂直的直线l，点K （，0），试问直线NK与直线l交点的横坐标是否为定值？请说明理由．20．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（a∈R）．（1）若a＝﹣e，求证：f（x）有唯一不动点；（2）若f（x）有两个不动点，求实数a的取值范围．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收人﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税基数每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除税率（%）1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分3 2超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分10 3超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分20 4超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分25 5超过35000元至55000元的部30超过35000元至55000元的部分30分……………随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1：1：1：2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收人？（二）选做题（共10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x（x+1）＜0}，B＝{x|＞1}，则∁B A＝（）A．（﹣1，0]B．（﹣1，0）C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，0]【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜0}，B＝{x|x＜0}，∴∁B A＝（﹣∞，﹣1]．故选：C．2．复数z在复平面内所对应的点的坐标为（1，1），则的实部与虚部的和是（）A．B．0C．D．﹣i【分析】先根据复数的几何意义求出z，，代入后根据复数的四则运算可求．解：由题意可得，z＝1+i，，则|z|＝，∴＝＝＝，故实部和虚部的和为0．故选：B．3．若“∃x∈R，使得sin x﹣cos x＝a”为真命题，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】存在有解，先求值域，可知a的值．解：若“∃x∈R，使得sin x﹣cos x＝a，则sin x﹣＝2＝a要有解，∵2∈[﹣2，2]，∴a∈[﹣2，2]，故选：A．4．已知函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，且f（﹣x）＝f（x），若a＝f（3），b＝f（2﹣1.2），c＝f（），则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【分析】根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，则b＞c＞a，故选：B．5．已知向量，满足：||＝，||＝2，（﹣）⊥，则在方向上的投影为（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，从而根据投影的计算公式即可求出投影的值．解：∵||＝，||＝2，（﹣）⊥，∴，∴，∴在方向上的投影为．故选：D．6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A．B．C．D．【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，利用对立事件概率计算公式能求出所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率．解：设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著为事件A，P（）＝＝，∴所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为：P（A）＝1﹣P（）＝1﹣＝．故选：A．7．二项式（mx﹣1）3（m＞0）展开式的第二项的系数为﹣3，则e x dx的值为（）A．e﹣1B．e+1C．1﹣e D．1﹣【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得m的值，再求定积分得到结论．解：二项式（mx﹣1）3（m＞0）展开式的第二项的系数为•（﹣1）•m2＝﹣3，∴m＝1，则e x dx＝e x dx＝e x|＝e1﹣e0＝e﹣1，故选：A．8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示A＝，设点（x，y）∈A，则z＝x+y的取值范围是（）A．[1﹣，2]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣2，1]【分析】结合图形，平移直线z＝x+y，当直线与阴影部分在上方相切时取得最大值；当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+y取最小值；分别求出对应的z值即可．解：由题意可知：z＝x+y与x2+（y﹣1）2＝1相切时，切点在上方时取得最大值，如图：可得：≤1，解得1﹣≤z≤1+，z＝x+y的最大值为：1+．当下移与圆x2+y2＝4相切时，x+y取最小值，同理＝2，即z的最小值为：﹣2，所以z∈[﹣2，1+]．故选：C．9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励，且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（）（参考数据：1.015100≈4.432，lg11≈1.041）A．y＝0.04x B．y＝1.015x﹣1C．y＝tan（﹣1）D．y＝log11（3x﹣10）【分析】根据题意函数需满足当x∈（6，100]时，是增函数，且y≤3，且y，依此用四个函数逐一检验，只有y函数＝log11（3x﹣10）满足要求．解：对于函数：y＝0.04x，当x＝100时，y＝4＞3，不符合题意；对于函数：y＝1.015x﹣1，当x＝100时，y＝3.432＞3，不符合题意；对于函数：y＝tan（﹣1），不满足递增，不符合题意；对于函数：y＝log11（3x﹣10），满足x∈（6，100]，增函数，且y≤log11（3×100﹣10）＝log11290＜log111331＝3，结合图象，y＝x与y＝log11（3x﹣10）的图象如图所示：符合题意，故选：D．10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】求出交点坐标，利用向量的数量积转化求解即可．解：设过F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线平行的直线bx＝ay﹣ac，与令一条渐近线方程bx+ay＝0的交点为：M（﹣，），•＝（，）•（，﹣）＞0，可得，所以e＝＞2．故选：D．11．已知A是函数f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣）的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1+x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化f（x）为正弦型函数，由此求出A、T以及|x1+x2|的最小值，从而可得答案．解：f（x）＝f（x）＝sin（2020x+）+cos（2020x﹣），＝sin2020x+cos2020x+cos2020x+sin2020x，＝sin2020x+cos2020x＝2sin（2020x+），∴A＝f（x）max＝2，又存在实数x1，x2，对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，由图象可知||的最小值为函数f（x）的最大负零点x0的绝对值|x0|，则x0＝﹣＝﹣，|x1+x2|的最小值为T＝＝，又A＝2|（﹣）×2|＝，故最小值为：，故选：C．12．如图，矩形中ABCD，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN沿AN翻折成△B1AN （B1∉平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，下列命题：①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥D﹣ANB1的体积最大时，三棱锥D﹣ANB1外接球表面积是4π．正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①CM∥平面B1AN，则可判断，②通过线段相等CM＝NK，可求出线段NK的长，②异面直线CM与NB1所成角为∠KNB1，求出其tan值即可．④找出球心，求出半径．【解答】解：取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM，KN，OB1，ON，显然CM∥平面B1AN，①对；，②错；∠KNB1即为异面直线CN与NB1所成的角，，③错；显然O为三棱锥B1﹣AND外接球球心，且R＝OA＝1，④对，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线与直线x﹣ay+2＝0平行，则实数a的值为．【分析】先对y＝x2+lnx求导，然后求出曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处切线的斜率k＝y'|x＝1，再根据条件得到关于a的方程，进一步求出a的值．解：由y＝x2+lnx，得，则曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处切线的斜率k＝y'|x＝1＝3，∵曲线在点（1，1）处的切线与直线x﹣ay+2＝0平行，∴，∴．故答案为：．14．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C．△ABC的面积S满足S＝b2+c2﹣a2，若a＝，则＝2．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可求A，然后结合正弦定理可求．解：由余弦定理可得，cos A＝，所以b2+c2﹣a2＝2bc cos A，因为S＝，又因为S＝b2+c2﹣a2＝2bc cos A，所以tan A＝，所以A＝，由正弦定理可得，，∴＝2．故答案为：2．15．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限的点M（t，2），满足＝（+）（其中O为坐标原点），则|AB|＝8．【分析】设直线AB方程为：x＝my+1，m∈R，与抛物线方程联立，利用根与系数关系求得m＝1，进而得到t的值，即可求出|AB|解：由条件得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB方程为：x＝my+1，m∈R，联立，则y2﹣4my﹣4＝0，且y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由条件可知y1+y2＝4m＝4，解得m＝1，t＝＝＝3，所以|AB|＝2（3+1）＝8，故答案为：8．16．已知m为整数，若对任意x∈（3，+∞），不等式≤恒成立，则m的最大值为1．【分析】法一：对x进行赋值，令x＝e+3，代入可得m≤1，然后只需验证m＝1时，对任意的x＞3，不等式式≤恒成立，构造函数，结合导数研究函数的性质可求；法二：构造f（x）＝，然后对f（x）求导，结合导数研究函数的单调性，再结合函数的性质可求．【解答】解法一：由对任意x∈（3，+∞），不等式≤恒成立，∴x＝e+3时，即e m≤e+3，m≤1，这是满足题意的一个必要条件，又m为整数，只需验证m＝1时，对任意的x＞3，不等式式≤恒成立，即证，即ln（x﹣3）对任意的x＞3恒成立，令g（x）＝ln（x﹣3）﹣，x＞3，，易得g（x）在（e+3，+∞）上单调递减，在（3，e+3）上单调递增，所以g（x）≤g（e+3）＝﹣＜0，所以ln（x﹣3）对应任意的x＞3时恒成立，故m＝1满足题意，即m的最大值1．故答案为：1．法二：令f（x）＝，则，令t（x）＝，则＜0，所以t（x）在（3，+∞）上单调递减，又t（7）＞0，t（8）＜0，故存在x0∈（7，8）使得t（x0）＝﹣ln（x0﹣3）＝0，当x∈（3，x0）时，t（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，t（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（x）max＝f（x0）＝＝，故，则e m≤4，即m的最大值为1．三、解答题（共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）（一）必做题（共60分）17．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n，a3＝9，S9＝135．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{}前n项和为T n，证明：≤T n＜．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差为d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{}的通项公式，将通项公式进行转化可发现数列{}是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式计算出前n项和T n，再应用放缩法即可证明结论．【解答】（1）解：由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝3+3（n﹣1）＝3n，n∈N*．（2）证明：由（1），可知＝3•2n，故＝＝•（）n＝•（）n﹣1，∴数列{}是以为首项，为公比的等比数列．∴T n＝＝[1﹣（）n]＜，∵T n≥T n＝，∴≤T n＜．18．如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，平面DAC⊥平面ABC，BC＝2AC ＝4，AB＝2DE，DA＝DC．（1）若点F为BC的中点，证明：EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（1）取AC的中点O，连接EF，OF，推导出DO⊥AC，DO⊥平面ABC，OF ∥AB，且AB＝2OF，DE∥AB，AB＝2DE，且OF＝DE，从而四边形DEFO为平等四边形，进而EF∥DO，由此能证明EF⊥平面ABC．（2）以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．解：（1）证明：取AC的中点O，连接EF，OF，∵在△DAC中，DA＝DC，∴DO⊥AC，∴由平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，得DO⊥平面ABC，∵O，F分别为AC，BC的中点，∴OF∥AB，且AB＝2OF，又DE∥AB，AB＝2DE，且OF＝DE，∴四边形DEFO为平等四边形，∴EF∥DO，∴EF⊥平面ABC．（2）解：∵DO⊥平面ABC，AC⊥BC，∴以O为原点，OA为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），B（﹣1，4，0），∵EF⊥平面ABC，∴直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，∴DO＝EF＝BF tan60°＝2，∴D（0，0，2），E（﹣1，2，2），取平面ABC的法向量＝（0，0，1），设平面DCE的法向量＝（x，y，z），＝（1，0，2），＝（0，2，2），则，取z＝1，得＝（2，﹣，1），∴cos＜＞＝＝＝，∴平面DCE与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值为．19．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于M，N两点，△MF1N的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过M作与y轴垂直的直线l，点K（，0），试问直线NK与直线l交点的横坐标是否为定值？请说明理由．【分析】（1）由离心率和过焦点的三角形的周长及a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得直线MN的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出NK的方程令y＝y1，求出x的表达式，将两根之和及两根之积代入可得为定值2，．解：（1）三角形MF1N的周长4a＝4，＝，b2＝a2﹣c2，可得：a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：+y2＝1；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由（1）得F2（1，0），设直线MN的直线为：x＝my+1，联立直线与椭圆的方程：，解得：（2+m2）y2+2my﹣1＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝﹣，直线NK的方程：y＝（x﹣），令y＝y1，可得：x＝+＝＝＝＝2，所以直线NK与直线l交点的横坐标为定值2．20．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（a∈R）．（1）若a＝﹣e，求证：f（x）有唯一不动点；（2）若f（x）有两个不动点，求实数a的取值范围．【分析】（1）依题意，令，利用导数可知F（x）在在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，且x＝1时，F（x）取的最小值0，由此即可得出结论；（2）问题等价于函数在（0，+∞）上有两个不同的零点，令，则问题进一步等价为方程在（e，+∞）上有唯一解，再构造函数，利用导数可知，进而得解．解：（1）证明：当a＝﹣e时，由f（x）＝x得，令，则，易知e x﹣1≥x在（0，+∞）上恒成立，故当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）上单调递增，∴F（x）min＝F（1）＝e﹣e+eln1＝0，∴方程有唯一实数根x0＝1，故f（x）有唯一不动点；（2）f（x ）有两个不动点等价于函数在（0，+∞）上有两个不同的零点，令，则有h（x）＝g（t）＝t+alnt，函数h（x）有两个零点等价于函数g（t）在（e，+∞）上有唯一零点，即方程在（e，+∞）上有唯一解，考虑，因，故h（t）在（e，+∞）上单调递增，且，故，∴a＜﹣e．21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段．2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收人﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等．新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元）缴税基数每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点税率（%）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除税率（%）1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分3 2超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分10 3超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部25超过25000元至35000元的部分25分30超过35000元至55000元的部分305超过35000元至55000元的部分……………随机抽取某市2020名同一收入层级的IT从业者的相关资料，经统计分析，预估他们2019年的人均月收入24000元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是1：1：1：2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等．假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：（1）求在旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税；（2）设该市该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为X元，求X的分布列和期望；（3）根据新旧个税方案，估计从2019年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收人？【分析】（1）由题意能求出旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税．（2）分别求出依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群月缴个税、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群月缴个税、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群月缴个税，由此能求出X的分布列和E（X）．（3）在新政策下该收入层的IT从业者2019年月缴个税为1830，该收入层级IT从业者每个月少缴交的个税为2290，列方程能求出经过11个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入．解：（1）旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税为：1500×0.03+3000×0.1+4500×0.2+11500×0.25＝4120．（2）依据新政策，既不符合子妇教育扣除下不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000＝18000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+6000×0.2＝2190，只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应缴纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000﹣1000＝17000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1990，只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000﹣2000＝16000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1790，既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为：24000﹣5000﹣1000﹣1000﹣2000＝15000，月缴个税X＝3000×0.03+9000×0.1+4000×0.2＝1590，∴X的分布列为：X2190199017901590P∴E（X）＝+1590×＝1830．（3）∵在新政策下该收入层的IT从业者2019年月缴个税为1830，∴该收入层级IT从业者每个月少缴交的个税为4120﹣1830＝2290，设经过x个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过24000，则2290x＞24000，∵x∈N，∴x≥11，∴经过11个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税总和就超过2019年的月收入．（二）选做题（共10分）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C2的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）曲线C1与C2相交于A，O，B三点，所以设A（），B（），所以，解得．，解得，则：|AB|＝|ρA﹣ρB|＝2a．23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．【分析】（1）依题意，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，而由绝对值不等式的性质可知|x﹣6|+|x|≥6，由此求得m的取值范围；（2）由（1）可知（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，再利用柯西不等式直接证明即可．解：（1）由题意知，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，又|x﹣6|+|x|≥|x﹣6﹣x|＝6，∴实数m的取值范围为（﹣∞，6]；（2）证明：由（1）可知，t＝6，故a2+b2+c2＝6，则（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，∴，当且仅当“a2＝b2＝c2＝2”时取等号．。
2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年湖南省衡阳市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2，3，4}，B={y|y=x2,x∈A}，则A∩B=()A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2.复平面内，点(0,−1)表示的复数为()A. −1B. 0C. iD. −i3.已知a=2,b=log132,c=log1215，则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a4.根据一位母亲记录儿子3岁～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程ŷ=7.19x+73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是()A. 身高一定为145.83cmB. 身高大于145.83cmC. 身高小于145.83cmD. 身高在145.83cm左右5.已知a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，若a⃗⊥b⃗ ，则|b⃗ |=()A. √5B. √3C. 1D. 126.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，且直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A. 16 B. 13 C. 12 D. 18. 已知点A (4,3)，点B 为不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0所表示平面区域上的任意一点，则|AB |的最小值为( )A. 5B. 4√55C. √5D. 2√559. 已知命题p ：∀x >0，x <tanx ，命题q ：∃x >0使得ax <lnx ，若p ∨(￢q)为真命题，则实数a 的取值范围是( )A. a ≥1B. a ≥1eC. a <1D. a <1e10. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，过其右焦点F 且与渐近线y =−ba x 平行的直线分别与双曲线的右支和另一条渐近线交于A 、B 两点，且FA⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线的离心率为( ) A. 32B. √2C. √3D. 211. 已知函数f(x)=cos2xcos(x +π3)−sin2xsin(x +π3)，若，则x 可以是( )A. 4π3B. 5π6C. 2π9D. π1812. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE(A 1∉平面ABCD).若M 、O 分别为线段A 1C 、DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是( )A. 与平面A 1DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B. 过E 作EG//BM ，G ∈平面A 1DC ，则∠A 1EG 为定值C. 一定存在某个位置，使DE ⊥MOD. 三棱锥A 1−ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在区间[0,π]上随机取一个实数x ，则sin2x ≥12的概率为______．14. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点F 到准线的距离为4，过点F 和R(m,0)的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点．若RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|PQ|=________． 15. 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2bsin2A =asinB ，且c =2b ，则cos A等于______，ab 等于_____．16. 已知点A(a,a′)，B(b,b′)是圆O ：x 2+y 2=2上的两点，若ab +a′b′=−1，则线段AB 的长为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2B =sin 2A +sin 2C −sinAsinC ．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若b =√3,S △ABC =√32，求a +c 的值．18. 某零售商店近五个月的销售额和利润额资料如下表：(1)用最小二乘法计算利润额y 关于销售额x 的回归直线方程；(2)当销售额为4(千万元)时，利用(2)的结论估计该零售店的利润额(百万元).(参考公式b̂=n i=1i i )−nxy∑x 2n −nx2=n i=1i −x)−(y i −y)∑(n xi−x)2，a ^=y −b ^x19.在图所示的几何体中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC//PD，且PD=AD=2EC=2，N为线段PB的中点．(1)证明：NE⊥平面PBD；(2)求四棱锥B−CEPD的体积．20.椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√53，过点P(0,1)作斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于A，B两点，当直线l垂直于y轴时|AB|=3√3．(1)求椭圆E的方程；(2)若点M的坐标为(512,0)，△AMB是以AB为底边的等腰三角形，求k值．21.已知函数f(x)=(x−2)e x．(1)求函数f(x)的最小值；(2)若∀x∈(12,1)，都有x−lnx+a>f(x)，求证a>−4．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−4|−m的定义域为R．(Ⅰ)求实数m的范围；(Ⅱ)若m的最大值为n，当正数a，b满足4a+5b +13a+2b=n时，求4a+7b的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．先求出集合B，由此能求出交集A∩B.解：由题意得到B={y|y=x2,x∈A}={1,0,4,9,16}，所以A∩B={0,1，4}；故选B．2.答案：D解析：解：在复平面内，点(0,−1)表示的复数的实部为0，虚部为−1，则点(0,−1)表示的复数为纯虚数−i．故选：D．直接由复数在复平面内对于点的坐标得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．4.答案：D解析：本题主要考查了回归分析的初步应用，这种根据回归直线方程预报出结果，是一个估计值，不是确定的值．根据所给身高与年龄的回归模型，可以估计孩子在10岁时可能的身高，这是一个估计值，不是确定的值，在叙述时注意不要出错，属基础题．解：将x=10代入模型中计算可得：y=145.83，由于该模型是3−9岁时的模型，此时虽然变量是正相关的，但是不能确定在10岁时变量还是正相关的，所以身高应该在145.83左右．故选D．5.答案：A解析：解：∵a⃗=(1,−2)，b⃗ =(2,m)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =1×2−2m=0，解得m=1，∴b⃗ =(2,1)，∴|b⃗ |=√22+12=√5故选：A由向量的垂直关系可得m值，代入模长公式计算可得．本题考查平面向量的垂直关系和模长公式，属基础题．6.答案：C解析：解：由于输出结果y=3，根据跳出循环时条件可知：若3=log2(x+1)，解之得x=7，符合题意；若3=x2−1，解之得x=±2，符合题意；所以x可以取7，±2，故选：C．根据程序框图一步一步倒着进行运算．本题考查程序框图，注意每次循环写出当时所有参数的值，不容易出错，属于基础题．7.答案：A解析：解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥， 右图为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，AB ⊥AC ．则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形， 所以这个几何体的体积V =13S △ABC ⋅PA =13×12×1=16， 故选：A ．此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的体积，由于本题中几何体出现了同一点出发的三条棱两两垂直，故体积易求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”，.三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．8.答案：C解析：解：不等式组{y ≥0x −y ≤0x +2y −6≤0的可行域如图：则|AB|的最小值为A 到B 的距离． 由{x −y =0x +2y −6=0解得B(2,2)， |AB|的最小值：√(4−2)2+(3−2)2=√5， 故选：C ．画出约束条件的可行域，利用已知条件求解距离的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查，考查数形结合以及点到直线的距离公式的应用．9.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ． 故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．10.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 确定出A 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率． 解：∵直线AB 与渐近线y =−ba x 平行，设坐标原点为O ， ∴∠BOF =∠BFO ． 设F(c,0)，则B(c 2,bc2a )， ∵FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴A 是BF 的中点，即A(3c 4,bc4a )， 代入双曲线方程可得9c 216a 2−b 2c 216b 2a 2=1， 即916e 2−116e 2=1，e >1， ∴e =√2． 故选：B ．11.答案：D解析：即：cos(3x+π3)=0∴3x+π3=π2+kπ，解得：x=π18+kπ3,k∈Z...12.答案：C解析：解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM//A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM//平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=√2a，A1H=√a2+2a2−2⋅a⋅√2a⋅(−√22)=√5a，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，半径为√22a，即有三棱锥A1−ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM//平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1−ADE外接球球心为O，即可判断D．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，难度中档．13.答案：13解析：本题考查几何概型概率的求法，考查三角不等式的解法，是基础题． 求解三角不等式求得x 的范围，再由测度比为长度比得答案． 解：由sin2x ≥12，因为x ∈[0,π]，所以得π6≤2x ≤5π6，则π12≤x ≤5π12， ∴满足sin2x ≥12的概率为5π12−π12π=13． 故答案为13．14.答案：9解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义和直线与抛物线的位置关系，属于中档题．依题意，抛物线C:x 2=8y ，由RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得P 的坐标，直线l 的方程，与抛物线联立得Q 的坐标，可得|PQ|．解：依题意，抛物线C:x 2=8y ． 因为RP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PF⃗⃗⃗⃗⃗ ，F(0,2)， 故点P 的纵坐标为1，代入抛物线方程，可得点P 的横坐标为±2√2． 不妨设P(−2√2,1)，则k PF =0−(−2√2)=√24， 故直线l 的方程为y =√24x +2，将其代入x 2=8y 得x 2−2√2x −16=0， 可得Q(4√2,4)，故|PQ|=9． 同理，当P(2√2,1)时，PQ|=9． 故答案为9．15.答案：14；2解析：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2bsin2A =asinB 由正弦定理可得4ab ·cos A =ab ，再由余弦定理解得cos A ，可得a 2=4b 2，即可得出．解：由题知，2b ·2sinAcosA =asinB ， 由正弦定理得4ab ·cos A =ab ，即cosA =14，又∵cos A =b 2+c 2−a 22bc=5b 2−a 24b 2=14，∴a 2=4b 2，即a =2b ． 所以ab =2．故答案为14，2．16.答案：√6解析：此题考查平面向量的数量积，考查直线与圆的位置关系，由平面向量的数量积运算可得∠AOB =120°，解直角三角形即可． 解：因为ab +a′b′=−1，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =−1，则√2×√2cos∠AOB=−1，cos∠AOB=−12，所以∠AOB=120°，则AB=2√2sin60°=√6．故答案为√6．17.答案：解：(Ⅰ)∵sin2B=sin2A+sin2C−sinAsinC，∴由正弦定理得b2=a2+c2−ac，即a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，则B=π3；(Ⅱ)由三角形的面积公式得12acsinπ3=12×√32ac=√32，得ac=2，∵b2=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac，∴3═(a+c)2−6，则(a+c)2=9，即a+c=3．解析：(Ⅰ)先由正弦定理进行化简，然后利用余弦定理即可求角B的大小；(Ⅱ)结合三角形的面积公式求出ac的值，结合余弦定理利用配方法进行求解即可．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合三角形的面积公式建立方程关系是解决本题的关键．18.答案：解：(1)由表计算x=6；y=175，∴b̂=5i=1i−x)(y i−y)∑(5x−x)2=1020=12；â=y−b̂x=175−12×6=25．∴回归直线方程是：y=12x+25．(2)当销售额为4(千万元)时，代入回归直线方程得y=12×4+25=2.4(百万元)．解析：本题考查独立性检验及最小二乘法，主要考查了计算能力，属于基础题；(1)利用公式计算求得；(2)根据(1)得方程代入计算，得出估计值．19.答案：证明：(1)连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，∵点N是中点，∴NF//PD且NF=12PD．又∵EC//PD且EC=12PD，∴NF//EC且NF=EC，∴四边形NFCE为平行四边形，∴NE//AC，又∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∴NE⊥平面PBD．解：(2)∵PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD，又∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE，∴BC是四棱锥B−PDCE的高，∵PD=AD=2EC=2，∴S梯形PDCE =12(PD+EC)⋅DC=12×(2+1)×2=3，∴四棱锥B−CEPD的体积V B−CEPD=13S梯形PDCE⋅BC=13×3×2=2．解析：(1)连接AC，BD，令AC与BD交于点F，连接NF，推导出NE//AC，求出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能证明NE⊥平面PBD．(2)四棱锥B−CEPD的体积V B−CEPD=13S梯形PDCE⋅BC.由此能求出四棱锥B−CEPD的体积．本题考查线面垂直的证明，考查柱、锥、台体的体积，考查空间想象能力与计算能力，考查推理论证能力，是中档题．20.答案：解：(1)根据题意，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√53，则e=ca=√53，当直线l垂直于y轴时|AB|=3√3，则椭圆过点(3√32,1)，可得{274a2+1b2=1a2=b2+c2c a =√53解得a2=9,b2=4，所以椭圆的E方程为x29+y24=1;(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，AB 的中点C (x 0,y 0)，由{y =kx +1x 29+y 24=1消去y 得(4+9k 2)x 2+18kx −27=0，显然△>0．所以x 0=x 1+x 22=−9k 4+9k 2,y 0=kx 0+1=44+9k 2，当k ≠0时，设过点C 且与l 垂直的直线方程y =−1k (x +9k4+9k 2)+44+9k 2， 将(512,0)代入得0=−1k (512+9k4+9k 2)+44+9k 2， 化简得9k 2+12k +4=0，解得k =−23， 当k =0时，与题意不符． 综上所述，所求k 的值为−23．解析：本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆方程及性质．(1)由已知可得椭圆过点(3√32,1)，列出方程组{274a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2c a =√53求出a 和b; (2)设AB 的中点C (x 0,y 0)，设出过点C 且与l 垂直的直线方程，把(512,0)代入这个方程，即可求出k 值．21.答案：(1)解：∵f(x)=(x −2)e x ，∴f′(x)=(x −1)e x ，∴当x ∈(−∞,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， ∴当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增， ∴f(x)min =f(1)=−e ，(2)证明：∵∀x ∈(12,1)，都有x −lnx +a >f(x)， ∴a >(x −2)e x −x +lnx ，设g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴g′(x)=(x −1)e x −1+1x =(x −1)e x −x−1x=(x −1)(e x −1x )=(x −1)⋅xe x −1x，令ℎ(x)=xe x −1，x ∈(12,1)，∴ℎ′(x)=(x +1)e x >0， ∴ℎ(x)在(12,1)上单调递增，∵ℎ(1)=e −1>0，ℎ(12)=√e2−1<0，∴存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0， ∴当x ∈(12,x 0)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增， 当x ∈(x 0,1)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减， ∴g(x)max =g(x 0)=(x 0−2)e x 0−x 0+lnx 0=(x 0−2)1x 0−x 0+lnx 0=1−2x 0--x 0+lnx 0，令φ(x)=1−2x --x +lnx ，x ∈(12,1)， ∴φ′(x)=2x 2−1+1x =−x 2+x+2x 2=−(x−2)(x+1)x 2>0，∴φ(x)在(12,1)上单调递增，∴φ(x)<φ(1)=1−2−1+ln1=−2， ∴g(x)<−2， ∴a >−2， ∴a >−4．解析：(1)先求导，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出，(2)分离参数，可得a >(x −2)e x −x +lnx ，构造函数g(x)=(x −2)e x −x +lnx ，x ∈(12,1)，利用导数可以得到存在唯一x 0∈(12,1)使得ℎ(x 0)=x 0e x 0−1=0，且g(x)max =g(x 0)=1−2x 0--x 0+lnx 0，再构造函数，利用导数求出函数最大值即可．本题考查了导数和函数的最值的关系以及不等式的证明，关键是构造函数，考查了运算能力和转化能力，属于难题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρ=2sin (θ+π4)，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)∵函数的定义域为R，|x+2|+|x−4|≥|(x+2)−(x−4)|=6，∴m≤6．(Ⅱ)由(Ⅰ)知n=6，由柯西不等式知，4a+7b=16(4a+7b)(4a+5b+13a+2b)=16[(a+5b)+(3a+2b)](4a+5b +13a+2b)≥32，当且仅当a=126,b=526时取等号，∴4a+7b的最小值为32．解析：(I)利用绝对值不等式的性质即可得出．(II)利用柯西不等式的性质即可得出．本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考(一模)数学(理)试卷及答案
2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考（一模）数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(1)0}A x x x =+<,1|12x B x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,则B A =ð（ ） A ．(1,0]- B ．(1,0)- C ．(,1]-∞- D ．(,0]-∞2．复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1),则||z z的实部与虚部的和是（ ）A B ．0 C ．2 D ．22-3．若“x R ∃∈,使得sin x x a =”为真命题,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2][2,)-∞-⋃+∞D ．(,2)(2,)-∞-⋃+∞4．已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在(,0)-∞上单调递增,若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()1.22b f -=,12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>5．已知向量a r ,b r 满足：||a =r ,||2b =r ,()a b a -⊥r r r ,则a r 在b r 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．2C D ．1 6．我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有5部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为（）A．79B．29C．49D．597．二项式3(1)(0)mx m->展开式的第二项的系数为3-,则mxe dx⎰的值为（）A．1e-B．1e+C．1e-D．11e-8．太极图被称为“中华第一图”,从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫等标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组来表示2222224(,)(1)1(1)1x yA x y x y x yx⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=+-≤++≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或,设点(,)x y A∈,则z x y=+的取值范围是（）A．[12,22]-B．[2,22]-C．[22,12]-+D．[2,12]-+9．衡东土菜辣美鲜香,享誉三湘．某衡东土菜馆为实现100万元年经营利润目标,拟制定员工的奖励方案：在经营利润超过6万元的前提下奖励,且奖金y（单位：万元）随经营利润x（单位：万元）的增加二增加,但奖金总数不超过3万元,同时奖金不能超过利润的20%．下列函数模型中,符合该点要求的是（）（参考数据：1001.015 4.432,lg11 1.041≈≈）A．0.04y x=B． 1.0151xy=-C．tan119xy⎛⎫=-⎪⎝⎭D．11log(310)y x=-10．已知1F,2F分别为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点,过点1F与双曲。
湖南省衡阳市2020届高三第一次联考(一模)(文科)数学试题(含答案)
A.(1, 2)
B.( 3, +)
C. (1,2)
D. (2, +∞)
11.
已知
A
是函数
f
(
x)
=
sin(2020
x
+
6
)
+
cos(2020
x
−
3
)
的最大值，若存在实数
x1
,
x2
使得对任意
实数 x 总有 f (x1) f (x) f (x2) 成立,则 A | x1 − x2 | 的最小值为
题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
3
13.在区间[0,π]上随机地取一个数 x,则事件“ sin x 2 ”发生的概率为____ 2
14.设抛物线 y2 = 4x 的焦点为 F ,过点 F 作直线 l 与抛物线分别交于两点 A、B ,若点 M(2,t)满足 OM = 1 (OA + oB) ，则|AB|=___
的取值范围是
A.[−2, 1] e
B.[1 , 2] e
C.[2, +∞)
D.(-∞,2]
10.
已知
F1,
F2
分别是双曲线
x a
2 2
−
y2 b2
= 1(a 0, b 0) 的左右焦点,过点 F1 与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线的另一条渐近线于点 M,若 MF1 MF2 0 ，则该双曲线离心率的取值范围是
2 15.在△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 2sin Asin B cos C = sin2 C ,则
2020年湖南衡阳市高考一模语文第一次联考试卷答案
2020届高中毕业班联考（一）语文答案一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（9分，每小题3分）1.B（A项“从而建立了一个全球性的信用共识体系”于文无据。
C项“任何运用区块链进行活动的行为都是可以包容试错的”说法绝对。
D项“我国在区块链领域具有国际领先地位”说法错误，将未然说成了已然。
）2.D（文章最后一段没有运用类比论证。
）3.C（否定失当，整合第四自然段的相关信息，可以推断出区块链的颠覆性在于创造信任，保证所有信息数字化并实时共享。
）（二）实用类文本阅读（12分）4.A 张冠李戴，材料一中使全球贸易和收入都呈增长趋势的是“一带一路”。
5.B“可以作为其他国家脱贫的范例”，扩大范围，原文是“可以为其他发展中国家提供有益借鉴”；“尤其是”“要”于文无据。
6.参考答案：①创新模式增加扶贫渠道，极大地丰富了中国的扶贫实践。
比如，土地流转、“扶贫车间”、旅游扶贫、电商扶贫等。
②注重旅游扶贫的可持续性。
中国各地依托旅游业开展扶贫工作，助力脱贫攻坚，为乡村产业兴旺和农业多功能化提供了方向。
③制度供给和资源供给奠定脱贫基础，克服各种结构性制约。
中央实行“第一书记挂帅”的集中统一领导体制，进一步强化政府的主导性。
④建档立卡帮助精准扶贫。
为了准确识别农村贫困人口，政府建档立卡，对已识别的建档立卡农户进行了反复的核查，从而确保了真正穷人的覆盖度。
⑤分类施策保证扶贫效果，避免了扶贫资源使用的偏离。
对贫困户的致贫原因进行了分类并做出了“五个一批”的具体部署。
（每个举措1分，效果1分，答出三点给满分。
）（三）文学类文本阅读（15分）7. D（“直白而浅显”错，是含蓄、细腻）8.①运用了细节描写。
“跑的通红的脸”是外貌神态描写，“走”“拿”“背”等是动作描写。
②内容上刻画了禄儿懂得感恩、急切纯真的性格特点。
③结构上为下文写花篮与留言作好铺垫，推动了情节的发展。
（每点2分）9.①禄儿痛苦的呻吟声，使他睡不着觉，开始想起往事；禄儿给他买绳时的欢天喜地、给他写信的情真意切，加速了这种变化。
2020年湖南省衡阳市高考(文科)数学一模试卷 含解析
2020年高考（文科）数学一模试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0] B．（﹣1，1）C．（0，1）D．∅2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（1，﹣1），则z的实部与虚部的和是（）A．2 B．0 C．1+i D．1﹣i3．已知a＝，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程，现有下列说法：①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；③20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关．上述三种说法中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个5．若，||＝2，且（﹣）⊥，则|﹣|＝（）A．2B．2 C．0 D．6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a的值为8，b的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（）A．4+B．4+C．2+4D．48．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1或}，若点（x，y）∈A，则z＝x+y的最大值是（）A．B．2 C．1+D．29．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p ∨q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，] B．C．[2，+∞）D．（﹣∞，2] 10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）11．已知A是函数f的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．12．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN绕直线AN翻转成△B1AN （B1∈平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长恒为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥B1﹣AND外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（）A．①②④B．①③④C．②③D．①④．二、填空题13．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，t）满足＝（+），则|AB|＝．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则：（1）＝，（2）∠C的最大弧度数为．16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足，若a1＞a2，|AB|＝2，则这样的点A共有个．三、解答题17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+C）＝．（1）求角A的大小；（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B总计50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.05 0.01 0.005 0.001 K0 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC ⊥平面ABC．（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：x＝my+1与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线l2，点K 坐标为，试问直线NK与直线l2交点的横坐标是否为定值，请说明理由．21．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（e为自然对数的底数）a∈R．（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若a＝﹣e，求证f（x）有唯一不动点．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．参考答案一、选择题1．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0] B．（﹣1，1）C．（0，1）D．∅【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＜0}＝（﹣1，1}，B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}＝（0，+∞），∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为（1，﹣1），则z的实部与虚部的和是（）A．2 B．0 C．1+i D．1﹣i【分析】由已知求得z，进一步得到z的实部与虚部，则答案可求．解：由题意，z＝1﹣i，∴z的实部为1，虚部为﹣1，其和是0．故选：B．3．已知a＝，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵，∴a＞c＞b，故选：A．4．研究机构对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得回归方程，现有下列说法：①某人年龄为70岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约40.15%；②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.45%；③20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关．上述三种说法中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意，结合线性回归方程，对选项中的命题判断正误即可．解：对于①，对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）的关系满足回归方程，年龄为70岁时，不能用该回归方程预测他体内脂肪含量，所以①错误；对于②，对20岁至50岁人体脂肪百分比y（%），年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加0.58%，所以②错误；对于③，由回归直线方程知，0.58＞0，所以20岁至50岁人体脂肪百分比y（%）和年龄x（岁）成正相关，③正确；综上知，正确的说法是③，有1种．故选：C．5．若，||＝2，且（﹣）⊥，则|﹣|＝（）A．2B．2 C．0 D．【分析】由向量垂直得（）＝＝＝0，再由|﹣|＝＝，能求出结果．解：∵，||＝2，且（﹣）⊥，∴（）＝＝＝2﹣2cos＜＞＝0，解得cos＜＞＝，∴|﹣|＝＝＝＝．故选：D．6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a的值为8，b的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据框图一步一步进行运算，注意退出时的条件．解：a＝8，b＝6，继续循环；a＝2，b＝6，继续循环；a＝2，b＝4，继续循环；a＝2，b＝2，a＝b，退出循环；故选：B．7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（）A．4+B．4+C．2+4D．4【分析】根据斜二测画法知该几何体的底面积是直角三角形，结合题意画出图形，再计算该几何体的表面积．解：根据斜二测画法知，该几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、，如图所示，由此可计算出该几何体的表面积为S＝S△ABC+S△PAB+S△PBC+S△PAC＝×2×+×2×2+××2+×2×＝4++．故选：A．8．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为A＝{（x，y）|x2+（y﹣1）2≤1或}，若点（x，y）∈A，则z＝x+y的最大值是（）A．B．2 C．1+D．2【分析】平移直线x+y＝0与圆相切，判断不重视的最大值，结合点到直线的距离求解即可．解：作直线x+y＝0，的平行线，与x2+（y﹣1）2＝1的右上方相切时，z＝x+y取得最大值，此时，圆的圆心（0，﹣1）到直线x+y﹣z＝0的距离等于1，解得z的最大值为：1+，故选：C．9．已知命题p：函数的定义域为R，命题q：存在实数x满足ax≤lnx，若p ∨q为真，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，] B．C．[2，+∞）D．（﹣∞，2] 【分析】分别求出p，q为真命题时对应的a的取值范围，进而求得结论．解：当P为真时：x2﹣ax+1≥0恒成立，即△＝a2﹣4≤0，解得：﹣2≤a≤2，当Q为真时：存在实数x满足ax≤lnx，即a≤（）max；令y＝，y'＝，当x∈（0，e），y'＞0，函数单调递增；当x∈（e，+∞），y'＜0，函数单调递减；故当x＝e时，函数有最大值＝；解得a≤；∵p∨q是真命题，故命题是p，q至少一个是真命题，则﹣2≤a≤2或a≤∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]．故选：D．10．已知F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点M，若•＞0，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】求出交点坐标，利用向量的数量积转化求解即可．解：设过F1（﹣c，0）与双曲线的一条渐近线平行的直线bx＝ay﹣ac，与令一条渐近线方程bx+ay＝0的交点为：M（﹣，），•＝（，）•（，﹣）＞0，可得，所以e＝＞2．故选：D．11．已知A是函数f的最大值，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A•|x1﹣x2|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先化简函数，结合题意可得f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，，由此即可得解．解：∵＝＝，∴，又存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，∴f（x2）＝f（x）max＝2，f（x1）＝f（x）min＝﹣2，∴．故选：B．12．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，N为边BC的中点，将△ABN绕直线AN翻转成△B1AN （B1∈平面ABCD），M为线段B1D的中点，则在△ABN翻折过程中，①与平面B1AN垂直的直线必与直线CM垂直；②线段CM的长恒为；③异面直线CM与NB1所成角的正切值为；④当三棱锥的体积最大时，三棱锥B1﹣AND外接球的体积是．上面说法正确的所有序号是（）A．①②④B．①③④C．②③D．①④．【分析】取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM、KN、OB1、ON，结合图形，判断题目中的命题是否正确即可．解：取AB1的中点K，AD的中点O，连接KM、KN、OB1、ON，如图所示；所以CM∥NK，得出CM∥平面B1AN，所以①正确；由CM＝NK＝＝＝，所以②正确；由∠KNB1为异面直线CM与NB1所成的角，且tan∠KNB1＝＝，所以③错误；当三棱锥B1﹣AND的体积最大时，点O为四棱锥B1﹣AND外接球的球心，且R＝OA＝1，所以④正确；综上知，正确的命题序号是①②④．故选：A．二、填空题：共4小题每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“”发生的概率为．【分析】根据几何概型的概率公式进行求解即可．解：∵0≤x≤π，∴由sin x≤得0≤x≤或≤x≤π，则事件“sin x≤”发生的概率P＝＝，故答案为：．14．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于两点A、B，若点M（2，t）满足＝（+），则|AB|＝ 6 ．【分析】抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可知|AB|＝x1+x2+2，由＝（+）可得M（2，t）是AB的中点，所以x1+x2＝4，所以|AB|＝x1+x2+2＝6．解：抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线AB过焦点F（1，0），∴|AB|＝x1+x2+2，又∵＝（+），则M（2，t）是AB的中点，∴x1+x2＝4，∴|AB|＝x1+x2+2＝6，故答案为：6．15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则：（1）＝ 2 ，（2）∠C的最大弧度数为．【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求；然后结合余弦定理及基本不等式即可求解cos C，进而可求C的范围．解：因为2sin A sin B cos C＝sin2C，所以2ab cos C＝c2，所以a2+b2﹣c2＝c2，所以，cos C＝＝，所以0＜C＜π，∴C，当且仅当a＝b时取等号．故答案为：2，．16．己知直线y＝x+1上有两点A（a1，b1）、B（a2，b2），且满足，若a1＞a2，|AB|＝2，则这样的点A共有2 个．【分析】依题意，向量，的夹角为或，作图容易得出结论．解：设向量，的夹角为θ，∵，∴夹角为或，又|AB|＝2，所以△ABO的外接圆半径R＝＝＝2．设其圆心为C，则C点到直线y＝x+1的距离为，所以C点应在直线y＝x+1平行且距离为的两条平行直线y＝x﹣1，y＝x+3上，且C点到原点O的距离为2，而原点O到y＝x+3的距离为＞2，所以y＝x+3上不存在这样的点，而原点O到直线y＝x﹣1的距离为＜2，所以y＝x﹣1上存在两个符合条件的点C，每个C点都确定唯一一个点A，所以这样的点A共有2个．故答案为：2．三、解答题：必做题5个，每题12分，选做题两个只选做一个，10分，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+C）＝．（1）求角A的大小；（2）若三边b，a，c的长成等比数列，△ABC的面积为，求a，b，c的长．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求tan A，进而可求A；（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后结合等比的性质可求a，再由余弦定理代入即可求．解：（1）因为a sin（A+C）＝．所以a sin B＝b sin（A+），故sin A sin B＝sin B sin（A+），所以sin A＝sin（A+）＝，所以tan A＝，∴，（2）由题意可得，＝＝，∴bc＝4，∵a2＝bc＝4，∴a＝2，由余弦定理可得，＝b2+c2﹣bc，∴b2+c2＝8，所以（b﹣c）2＝b2+c2﹣2bc＝0，所以b＝c，故b＝c＝2．18．病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计数据如表：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗20 x A注射疫苗30 y B总计50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为．（1）求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；（2）能否有99.9%把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效？附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥K0）0.05 0.01 0.005 0.001K0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）根据2×2列联表的特征进行计算即可；（2）结合已知数据和K2的公式进行即可得解．解：（1）由已知条件可知：B＝0.4×100＝40，A＝100﹣B＝60，x＝60﹣20＝40，y＝40﹣30＝10．（2）∵＞10.828，∴有99.9%的把握认为注射此种疫苗对预防病毒有效．19．已知在四棱锥C﹣ABED中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝4，AB＝2DE，DA＝DC且平面DAC ⊥平面ABC．（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60°，求四棱锥C﹣ABED的体积．【分析】（1）取AC中点O连结DO，OF，推导出DO⊥AC，DO⊥平面ABC，四边形DEFO 为平行四边形，从而EF∥DO，由此能证明EF⊥平面ABC．（2）推导出直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，E，F到平面DAC的距离相等，四棱锥C﹣ABED的体积为V C﹣ABED＝V E﹣DAC+V E﹣ABC，由此能求出结果．解：（1）证明：取AC中点O连结DO，OF，∵在△DAC中，DA＝DC，∴DO⊥AC，∵平面DAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DO⊥平面ABC，∵O，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥OF，且AB＝2OF，又DE∥AB，AB＝2DE，∴OF∥DE，且OF＝DE，∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO，∴EF⊥平面ABC．（2）解：∵EF⊥平面ABC，∴直线BE与平面ABC所成角为∠EBF＝60°，∵BF＝BC＝2，∴EF＝DO＝2，∵EF∥DO，∴E，F到平面DAC的距离相等，∵平面DAC⊥平面ABC，CF⊥AC，∴CF⊥平面DAC，∴E点到平面DAC的距离为2，∴四棱锥C﹣ABED的体积为：V C﹣ABED＝V E﹣DAC+V E﹣ABC＝＝4．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1、F2，A为椭圆上一点，AF1与y轴交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l1：x＝my+1与椭圆C相交于M、N两点，过M作与y轴垂直的直线l2，点K 坐标为，试问直线NK与直线l2交点的横坐标是否为定值，请说明理由．【分析】（1）连接AF2，由题意得AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|OB|＝＝，又e＝，a2＝b2+c2，可得a，b，c的值，从而求出椭圆C的方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），所以直线NK的方程为：y＝，令y＝y1，则有x＝+＝，联立直线l1与椭圆方程，利用韦达定理代入上式化简即可得到x＝2，故直线NK与直线l2的交点的横坐标为定值2．解：（1）连接AF2，如图所示：，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO为△F1AF2的中位线，又因为BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|OB|＝＝，又e＝，a2＝b2+c2，得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，∴，，∴直线NK的方程为：y＝，令y＝y1，则有x＝+＝＝＝，∴直线NK与直线l2的交点的横坐标为定值2．21．若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+（a+1）x﹣alnx（e为自然对数的底数）a∈R．（1）当a≥0时f（x）是否存在不动点？并证明你的结论；（2）若a＝﹣e，求证f（x）有唯一不动点．【分析】（1）由f（x）＝x可得，，构造函数F（x）＝，x＞0，对其求导，然后结合导数可求函数单调性，进而可求最值，结合最值的范围可判断；（2）把a＝﹣e代入F（x），然后求导，结合导数与单调性的关系，结合最值情况进行判断．解：（1）当a≥0时f（x）不存在不动点，证明：由f（x）＝x可得，，令F（x）＝，x＞0，则F′（x）＝＝，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得最小值F（1）＝a+e＞0故方程，没有实数根，即f（x）不存在不动点；（2）当a＝﹣e时，F（x）＝，则，令g（x）＝e x﹣ex则g′（x）＝e x﹣e，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数单调递增，故g（x）≥g（1）＝0，当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，函数单调递减，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故当x＝1时，函数取得最小值F（1）＝a+e＝0，所以有唯一的实数根1，故f（x）有唯一的不动点．请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系Ox中，方程ρ＝a（1﹣sinθ）（a＞0）表示的曲线C1就是一条心形线．如图，以极轴Ox所在直线为x轴，极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中，已知曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与C2相交于A，O，B三点，求线段AB的长．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）已知曲线C2的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为（ρ∈R）．（2）曲线C1与C2相交于A，O，B三点，所以设A（），B（），所以，解得．，解得，则：|AB|＝|ρA﹣ρB|＝2a．[选修4-5；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）设t为m的最大值，实数a，b，c满足a2+b2+c2＝t．试证明：++≥1．【分析】（1）依题意，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，而由绝对值不等式的性质可知|x﹣6|+|x|≥6，由此求得m的取值范围；（2）由（1）可知（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，再利用柯西不等式直接证明即可．解：（1）由题意知，|x﹣6|+|x|≥m恒成立，又|x﹣6|+|x|≥|x﹣6﹣x|＝6，∴实数m的取值范围为（﹣∞，6]；（2）证明：由（1）可知，t＝6，故a2+b2+c2＝6，则（a2+1）+（b2+1）+（c2+1）＝9，∴，当且仅当“a2＝b2＝c2＝2”时取等号．。
2020年5月湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班高考模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前 炎德·英才大联考湖南师范大学附属中学2020届高三毕业班下学期高考模拟考试数学(文)试题(解析版)2020年5月本试卷共6页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x =+===，则A B =（ ） A. (){}1,1B. (){}2,4-C. ()(){}1,1,2,4-D. ∅ 【答案】C【解析】【分析】 首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得方程组的解，从而得到结果.【详解】首先注意到集合A 与集合B 均为点集，联立22x y y x +=⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，或24x y =-⎧⎨=⎩， 从而集合{(1,1),(2,4)}A B =-，故选C.【点睛】本题考查交集的概念及运算，考查二元方程组的解法，属于基础题.2. 已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z = （ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】 试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.3. 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁 【答案】B【解析】【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人.【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话人为：甲乙丙丁，不合题意；。
2020届高三数学第一次月考试题 文(含解析)新 人教
2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。
湖南省衡阳市2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若直线不平行于平面，且，则（ ）A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交2．过双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左焦点F 作直线交双曲线的两天渐近线于A ,B 两点，若B 为线段FA 的中点，且OB FA ⊥（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．53．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．44．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B 3C 23D 35．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的a 的值为（ ）A ．2-3B ．3-2C ．52D ．256．已知双曲线22214x y b-=（0b >30x y ±=，则b =（ ）A ．23B 3C 3D ．37．已知()21AB =-，，()1,AC λ=，若10cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ） A ．-1B ．7C ．1D ．1或78．已知{}1A x x =<，{}21xB x =<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,-+∞D ．(),1-∞9．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．610．已知随机变量X 的分布列是X12 3P1213a则()2E X a +=（ ） A ．53B ．73C ．72D ．23611．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．1412．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
衡阳市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理,以及线面角的求解，棱锥外接球的求解，对选项进行逐一分析即可.
【详解】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，显然 //平面 ，故①正确；
，故②正确；
即为异面直线 与 所成角， ,故③错误；
当三棱锥 的体积最大时，则平面 平面 ，
∴
∵ ,∴
（2）由 的面积为 得 ，又 ，∴
由余弦定理知： ∴
∴
所以 .
【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形，涉及正弦的和角公式，属综合基础题。
18。2020年1月22日，国新办发布消息：新型冠状病毒在武汉一家海鲜市场非法销售的野生动物上发现.专家通过全基因组比对发现此病毒与2003年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到70％和40%的序列相似性。这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验,得到统计数据如下：
6.程序框图所示的算法来自于《九章算术》。若输入 的值为8， 的值为6，则执行该程序框图输出的结果为（ ）
A. 1B. 2C。 3D。 4
【答案】B
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图，即可容易求得输出结果。
【详解】模拟执行程序框图，如下所示：
，不满足 ，满足 ,
，不满足 ,不满足 ，
，不满足 ，不满足 ,
不妨取 中点为 ，连接 ，则容易知 平面 ，
因为 ，且 ，故可得 ,
又因为 分别为 中点,故可得 ，
故在 中， 。
因为三棱锥 的底面为直角三角形 ，且 为斜边上的中点，