届高三数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列夯基提能作业本理
10.7离散型随机变量及其分布列和数字特征课件高三数学一轮复习
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
1.离散型随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_唯__一__的__实__数__X_(_w_)_ 与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机 变量称为离散型随机变量.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例1 (1)随机变量X的分布列如下：
X －1 0 1
P a bc
2 其 中 a，b， c成 等差 数 列 ，则 P(|X|＝ 1) ＝____3____ ，公差 d的 取值 范 围 是 __－__13_，__31_ .
解析 因为a，b，c成等差数列， 所以2b＝a＋c.
i＝1
或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的__平__均__水__平__.
(2)方差
称 D(X) ＝ (x1 － E(X))2p1 ＋ (x2 － E(X))2p2 ＋ … ＋ (xn － E(X))2pn ＝
n
_____i∑＝_1_（__x_i_－__E_（__X_）___）__2p_i_____为随机变量 X 的方差，并称____D_（__X__）___为
X 2X＋1
01234 13579
从而2X＋1的分布列为
2X＋1 P
13579 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
②由①知m＝0.3，列表为
X |X－1|
01234 10123
所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第10章 排列、组合
3.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选， 则不同的选法共有_1_6__种.(用数字填写答案)
解析 方法一 按参加的女生人数可分两类：只有 1 位女生参加有 C12C24 种，有 2 位女生参加有 C22C14种. 故所求选法共有 C12C24＋C22C14＝2×6＋4＝16(种). 方法二 间接法：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，共有 C36种情况，没有 女生参加的情况有 C34种， 故所求选法共有 C36－C34＝20－4＝16(种).
题型突破 核心探究
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一 排列问题
自主演练
1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3
的没有重复数字的五位数，共有
A.96个
√B.78个
C.72个
D.64个
解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大， 则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个， 当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44 ＝24(个)； 当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3， 则符合要求的五位数有 3×(A44－A33)＝54(个)， 因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求.
表示
微思考
1.排列问题和组合问题的区别是什么？ 提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合. 2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何 选择使用？ 提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 CnmAmm＝Anm. (2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.
思维升华
近年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.7离散型随机变量及其分布列学案理
2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.7 离散型随机变量及其分布列学案理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.7 离散型随机变量及其分布列学案理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布10.7 离散型随机变量及其分布列学案理的全部内容。
10.7 离散型随机变量及其分布列［知识梳理]1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质（1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，x i,…，x n，X取每一个值x i（i＝1,2,…,n)的概率P(X＝x i）＝p i，则表Xx 1x2…xi…xnPp 1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i ）＝p i ，i ＝1，2,…,n 表示X 的分布列．(2）离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1,2，…,n ）； ②错误!。
3．常见离散型随机变量的分布列 （1）两点分布若随机变量X 服从两点分布,即其分布列为1p，其中p ＝P （X ＝1)称为成功概率． （2）超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件,其中恰有X 件次品，则P （X ＝k )＝错误!，k ＝0，1,2，…，m ，其中m ＝min ｛M ，n ｝，且n ≤N ,M ≤N ，n ，M ，N ∈N *。
(部编版)2020届高考数学大一轮复习第十章第六节离散型随机变量及其分布列教师用书理54
第六节 离散型随机变量及其分布列☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．随机变量的有关概念如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；若变量的所有值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布列 (1)概念若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2,3，…，n )的概率P (X ＝x i)＝p i ，则称表为离散型随机变量X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列。
(2)性质①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1np i ＝1。
3．常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布为成功概率。
(2)超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *。
微点提醒1．某一变量为离散型随机变量满足的条件：(1)随着试验结果变化而变化；(2)所有取值可以一一列出。
2．离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值范围以及取各个值的概率。
在求离散型随机变量的分布列时，可以用它的两条性质检验分布列的正误：一是p i ≥0(i ＝1,2，…)；二是p 1＋p 2＋…＋p n ＝1。
小|题|快|练一 、走进教材1．(选修2－3P 68A 组T 2改编)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝( ) A.712B.512C.14D.16【解析】 根据概率分布的定义得出：13＋m ＋14＋16＝1，得m ＝14，随机变量X 的概率分布列为所以P (|X －3|＝1)＝P (X ＝4)＋P (X ＝2)＝12。
故选B 。
【答案】 B2．(选修2－3P 47例2改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，则取到次品数X 的分布列为________。
2025年高考数学一轮复习(新高考版)第10章 §10.6 离散型随机变量及其分布列、数字特征
跟踪训练3 某班体育课组织篮球投篮考核，考核分为定点投篮与三步上 篮两个项目.每个学生在每个项目投篮5次，以规范动作投中3次为考核合 格，定点投篮考核合格得4分，否则得0分；三步上篮考核合格得6分，否 则得0分.现将该班学生分为两组，一组先进行定点投篮考核，一组先进 行三步上篮考核，若先考核的项目不合格，则无需进行下一个项目，直 接判定为考核不合格；若先考核的项目合格，则进入下一个项目进行考 核，无论第二个项目考核是否合格都结束考核.已知小明定点投篮考核合 格的概率为0.8，三步上篮考核合格的概率为0.7，且每个项目考核合格的 概率与考核次序无关. (1)若小明先进行定点投篮考核，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
教材改编题
2.已知X的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
1 3
1 6
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为
7
√A.3
B.4
C.－1
D.1
教材改编题
E(X)＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13， E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.
教材改编题
3.若离散型随机变量X的分布列为
X0 1
P
a 2
a2 2
1 则X的方差D(X)＝___4___.
教材改编题
由a2＋a22＝1，得 a＝1 或 a＝－2(舍去).
X0 1
∴X的分布列为 P
1 2
1 2
∴E(X)＝0×12＋1×12＝12， 则 D(X)＝0－122×12＋1－122×12＝14.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 分布列的性质
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.6
高三数学一轮复习：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布.6
|X－1| 0
1
2
3
P
0.1 0.3 0.3 0.3
2019年5月13日
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12
(2)随机变量 ξ 的分布列如下： ξ －1 0 1 P a bc
其中 a，b，c 成等差数列，则 P(|ξ|＝1)＝____________， 公差 d 的取值范围是____________．
解：因为 a，b，c 成等差数列，所以 2b＝a＋c. 又 a＋b＋c＝1，所以 b＝13，所以 P(|ξ|＝1)＝a＋c＝23.
B．0.88
C．0.79
D．0.51
解：P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10)＝0.28＋0.29＋0.22 ＝0.79.故选 C.
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6
在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中
任意选 10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便
2019年5月13日
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(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二 辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0) ＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0) ＝14×2114＋2114×14＝4118.
解：由于随机变量 X 等可能取 1，2，3，…，n.所 以取到每个数的概率均为1n.所以 P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X ＝2)＋P(X＝3)＝3n＝0.3，因此 n＝10.故填 10.
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类型二 求离散型随机变量的分布列
袋子中有 1 个白球和 2 个红球． (1)每次取 1 个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次 数 X 的分布列； (2)每次取 1 个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次 数不超过 5 次，求取球次数 X 的分布列； (3)每次取 1 个球，有放回，共取 5 次，求取到白球次数 X 的分布列．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及其分布10.9离散型随机变量的均值与
第十四页，共30页。
解：(1)记“该生考上大学”为事件 A，其对立事件为 A，
则 P(A)＝C411323323＋234＝26443＋1861＝211423.
(2)设摸得白球的个数为 X，则 X 的取值为 0，1，2， P(X＝0)＝46×35＝25，P(X＝1)＝46×25＋26×45＝185， P(X＝2)＝26×15＝115.
∴X 的分布列为
X0
1
2
2
8
1
P
5
15
15
E(X)＝0×25＋1×185＋2×115＝23，
D(X)＝0－232×25＋1－232×185＋2－232×115＝1465.
∵P(X＝5)＝23×25＝145，∴P(A)＝1－P(X＝5)＝1115. ∴这两人的累计得分 X≤3 的概率为1115. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得 分的数学期望为 E(3X2)．
PM2.5 日均值(微克/立方米) 28 5 32 1 4 3 44 5 63 8 79 86 3 92 5 (1)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据，记 X 表示空气质量达到一级的天数，求 X 的分布列； (2)以这 15 天的 PM2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气 质量达到一级．
第二十二页，共30页。
解：(1)由题意知 N＝15，M＝6，n＝3，X 的可能取值为 0，1，2， 3，其分布列为 P(X＝k)＝Ck6·C31C539－k(k＝0，1，2，3)，
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（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列作业本理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（北京专用）2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率、随机变量及其分布第六节离散型随机变量及其分布列作业本理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第六节离散型随机变量及其分布列A组基础题组1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)=（）A.0B.C.D.2.设随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=a，k=1,2,3,则a的值为( ）A.1 B。
C. D。
3。
某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图表示如下(单位：cm）.应聘者获知：男性身高在区间［174，182],女性身高在区间［164,172]的才能进入招聘的下一环节。
（1）求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数；（2）现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人，记X为抽到的男生人数,求X的分布列.4.某中学有初中学生1 800人,高中学生1 200人。
为了解学生本学期课外阅读时间的情况,现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位:小时)分为5组：[0,10)，［10，20），［20,30),[30，40)，[40,50］，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1）试估计该校所有学生中,阅读时间不小于30个小时的学生人数；（2）从阅读时间不足10个小时的学生样本中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列。
高三数学一轮复习：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布.3
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解：记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人 排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则 事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥．
(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 G＝A＋B＋C，所 以 P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝
2019年5月13日
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解：(1)由于点数最大是 6，和最大是 12，不可能得 13，故此 事件是不可能事件，其概率为 0.
(2)由于点数之和最小是 2，最大是 12，在 2～13 之间，它是 必然事件，其概率为 1.
(3)由(2)知，和是 7 是有可能的，此事件是随机事件．事件“点 数之和是 7”包含的基本事件有{1，6}，{2，5}，{3，4}，{4， 3}，{5，2}，{6，1}共 6 个，因此该事件的概率 P＝6×6 6＝16.
(2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概 率是多少？
(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？ 它的概率是多少？
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解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球， 故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为 0.
(2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球， 也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件， 它的概率是38.
2
2．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否 出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的 ________，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝____________为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事 件 A 发生的____________fn(A)稳定在某个常数上，把这个 ____________记作 P(A)，称为事件 A 的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为__________．
高三数学一轮复习：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布.5
B．1－π4
C．1－π2
D．1－3π4
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解：由函数 f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2 有零点， 可得 Δ＝(2a)2－4(－b2＋π2)≥0，整理得 a2＋b2≥π2. 如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点， 试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}， 其面积 SΩ＝(2π)2＝4π2. 记事件 A 为“函数 f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2 有零点”， 事件 A 构成的区域为 M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}， 即图中阴影部分，其面积为 SM＝4π2－π3， 故 P(A)＝SSMΩ＝4π42π－2π3＝1－π4 .故选 B.
向 M 内随机投一个点，则该点落在 N 内的概率为( )
π
π
π
π
A. 2
B. 4
C. 8
D.16
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解：区域 M 表示的是底为 2 2，高为 2的三角形，面积为12×2 2
× 2＝2，区域 N 表示的是以原点为圆心，半径为 1 的半圆(在 x 轴上 方)，面积为12π×12＝π2 ，且易知圆在三角形内，由几何概型计算公
【点拨】以线段长度为度量的几何概型概率 计算公式：P(A)＝试验的事全件部A对结应果的对线应段的长线段长.
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(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数 k，则 事件“直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9 相交”发生的概率为 ________．
解：由已知得，圆心(5，0)到直线 y＝kx 的距离小于半径，
2019年5月13日
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第六节离散型随机变量及其分布列
A组基础题组
1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)=( )
A.0
B.
C.
D.
2.随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常数,则P的值为( )
A. B. C. D.
3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a,k=1,2,3,则a的值为( )
A.1
B.
C.
D.
4.若随机变量X的分布列为
则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]
B.[1,2]
C.(1,2]
D.(1,2)
5.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率
是.
6.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码,则X的分布列为.
7.某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图表示如下(单位:cm).
应聘者获知:男性身高在区间[174,182],女性身高在区间[164,172]的才能进入招聘的下一环节.
(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数;
(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人,记X为抽到的男生人数,求X的分布列.
8.从集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取三个元素构成子集{a,b,c}.
(1)求a,b,c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率;
(2)记a,b,c三个数中相邻自然数的组数为X(如集合{3,4,5}中3和4相邻,4和5相邻,X=2),求随机变量X的分布列.
B组提升题组
9.为了丰富学生的课余生活,促进校园文化建设,我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙两班)进行经典美文诵读比赛决赛.决赛通过随机抽签方式决定出场顺序.
(1)求甲、乙两班恰好在前两位出场的概率;
(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X,求X的分布列.
10.甲、乙两人为了响应市政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了解,目前市场上销售的主流纯电动汽车按续驶里程数R(单位:公里)可分为A:80≤R<150,B:150≤R<250,C:R≥250三类.甲从A,B,C三类车型中挑选,乙从B,C两类车型中挑选,甲、乙两人选择各类车型的概率如下表:
若甲、乙都选C类车型的概率为.
(1)求p,q的值;
(2)求甲、乙选择不同车型的概率;
(3)该市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表:
设甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X万元,求X的分布列.
答案全解全析
A组基础题组
1.C 设失败率为p,则成功率为2p,∴X的分布列为
由p+2p=1,得p=,即P(X=0)=.
2.D ∵P(X=n)=(n=1,2,3,4),
∴+++=1,∴a=,
∴P=P(X=1)+P(X=2)
=×+×=.
3.D 因为随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a(k=1,2,3),所以根据分布列的性质有
a×+a+a=1,所以a=a×=1,所以a=.
4.C 由随机变量X的分布列知P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,P(X=2)=0.1,则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是(1,2].
5.答案
解析设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
6.答案
解析X的可能取值为3,4,5.P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==.
∴随机变量X的分布列为
7.解析(1)6名男生的平均身高是
=181 cm,
9名女生身高的中位数为168 cm.
(2)能进入下一环节的男生有3人,女生有4人.故X的所有可能取值是0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
8.解析(1)从9个不同的元素中任取3个不同元素,其基本事件总数为n=.
记“a,b,c中任意两数之差的绝对值均不小于2”为事件A.
由题意,得a,b,c均不相邻,可采用插空法.
假设有6个元素排成一列,则6个元素之间和两端共有7个空位,现另取3个元素插入空位,共有种插法,然后将这9个元素从左到右编号,依次为1,2,3,…,9,则插入的这3个元素中任意两者的编号之差的
绝对值均不小于2,所以事件A包含的基本事件数m=.故P(A)==.
所以a,b,c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率为.
(2)X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,P(X=1)==,
P(X=2)==.
所以X的分布列为
B组提升题组
9.解析(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A,则P(A)==.
所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
P(X=4)==.
所以随机变量X的分布列为
10.解析(1)由题意可得
解得p=,q=.
(2)记“甲、乙选择不同车型”为事件D,
则P(D)=+×+×=.
所以甲、乙选择不同车型的概率是.
(3)X的所有可能取值为7,8,9,10.
P(X=7)=×=,
P(X=8)=×+×=, P(X=9)=×+×=,
P(X=10)=×=.
所以X的分布列为。