第四讲(事件的独立性)

将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 R 红色 设事件 W 白色 Y 黄色
则
3 1 P( RW ) , P(WY ) P( RY ) 8 8 1 P( RWY ) P( R) P(W ) P(Y )
8
4 1 P( R) P(W ) P(Y ) 8 2
3 注：n个事件相互独立共有 Cn2 Cn Cnn 2n n 1
个等式要满足 .
例5 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 B C 也相互独立 证
P( B) P(C ) P( BC )
PA ( B C ) P( B C ) P A( B C )
前面我们看到独立与互斥的区别和联系， 再请你做个小练习. 设A、B为互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是： 1. P(B|A)>0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B) 设A、B为独立事件，且P(A)>0,P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
100 i 1 100
P( A) 1 1 P( Ai ) 1 (1 0.004)
i 1
100
0.33
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝 炎病毒，则
P( Bn ) 1 (1 ) ,
n
0 1
lim P( Bn ) 1
n
n 1,2,
P( A2 A1 ) 3 / 8 ,
P( A2 A1 ) P( A2 ) P( A2 A1 )
事件 A1 发Baidu Nhomakorabea与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A2关于A1 是独立的。
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A1 ) P( A2 ) (3 / 8)
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=0
两事件相互独立的性质
四对事件
A, B; A, B ; A , B; A , B
任何一对相互独立,则其它三对也相互独立 试证其一 A, B 独立 A, B 独立 事实上
P( AB) P( A AB) P( A) P( AB)
P( A) P( B) P(C ) 1 / 2 P( AB) P( BC ) P(CA) 1 / 4 P( A) P( B) P( B) P(C ) P(C ) P( A) 但 P( ABC ) 0 1 / 8 P( A) P( B) P(C )
则 本例说明 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P( Ai Aj ) P( Ai ) P( Aj ), 1 i j n
P( Ai Aj Ak ) P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ), 1 i j k n
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 ) P( An )
2 2
P ( S2 ) P[( A1 B1 ) ( A2 B2 )]
P ( Ai Bi )
i 1 2
2 p p
2 2
2 2
p (2 p) p (2 p )
2 2
P( S 2 ) P( S1 )
说明系统 S2 比系统 S1 有效。
A1
A2 B2 A2 B2
S1:
B1
A1
S2:
B1
A1
A2 B2
S1:
B1
P ( S1 ) P ( A1 A2 B1 B2 )
P ( A1 A2 ) P ( B1 B2 ) P ( A1 A2 B1 B2 )
2 p p p (2 p )
2 4 2 2
P ( Ai Bi ) P ( Ai ) P ( Bi ) P ( Ai Bi ) p p p 2p p
说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立. 在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立.
0.4 0.01
n
故至少需要 6门炮才能以 0.99 的把握击中飞机。
例8
系统的可靠性问题
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性 系统由元件组成,常见的元件连接方式： 串联
1 1
2
并联
2
设
两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.
—— 不能忽视小概率事件, 小概率事件迟早要发生 小概率事件
若P(A) 0.01 , 则称A为小概率事件.
例7 设每门炮射击一飞机的命中率为 0.6 , 现有若干 门炮同时独立地对飞机进行一次射击， 问需要多少门
炮才能以 0.99 的把握击中一飞机。
解
Ak “第 k 门炮击中飞机” k 1, 2,, n. P( B) P( A 1 A2 A n ) 0.99
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立.
反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0, 则A 、B不互斥.
问：能否在样本空间S中找两个事件,它们 既相互独立又互斥?
这两个事件就是 S和
S
s P( S) =P( )P(S)=0
与S独立且互斥
不难发现， 与任何事件都独立.
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
利用独立事件的性质 计算其并事件的概率 若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
P ( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
n
n
P( Ai ) P( A1 A2 An )
i 1
n
1 P( A1 A2 An ) n 1 P( A1 A2 An ) 1 P( Ai )
P( A) P( A) P( B)
P ( A)[1 P ( B )] P ( A) P ( B )
二、多个事件的独立性
定义 三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立： P ( AB ) P ( A) P ( B ) (1) P ( AC ) P ( A) P (C ) P ( BC ) P ( B ) P (C )
定义
设 A , B 为两事件，若
P( AB) P( A) P( B)
则称事件 A 与事件 B 相互独立
例2 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？ 解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2 P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
设需要 n 门炮。
B “飞机被击落”
P( B) 1 P( A 1 A2 A n ) 1 P( A 1 A2 A n )
1 P( A 1) P( A2 ) P( A n ) 1 0.4n 0.99
lg 0.01 n 5.06 lg 0.04
在实际应用中,往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立. 例如 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的 概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响.
若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.
请问：如图的两个事件是独立的吗？ 我们来计算： P(AB)=0
A
B
而P(A) ≠0, P(B) ≠0 即 P(AB) ≠ P(A)P(B) 故 A、B不独立
(2)
P( ABC ) P( A) P( B) P(C )
注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出
2) 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立 A, B, C 两两独立
例3 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W Y Y Y 6 7 8
定义 设 A , B 为两事件，若 P ( B | A) P ( B ) (1)
2
则称事件 B 关于事件 A 是独立的 定理 设A,B是 两个随机事件，若P(A)>0， 则事件B关于事件A独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B) (2)
推论 若 P( A) 0, P( B) 0, 则“事件 A 关于 事件 B 独立”当且仅当 “事件 A 关于 事件 B 独立” 由以上推论可知 两事件 A 与 B 间的独立 性是相互的，此时我们说A与B 是相互独 立的。 注:“事件 A 与 事件 B 相互独立”和“事 件 A 与 事件 B 互不相容”是两个不同的
1 (1 P( Ai ))
n
i 1
若设n个独立事件 A1 , A2 ,„, An 发生的概率 分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,„, An 至少有一个发生”的概率为 P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出：
“ A1 , A2 ,„, An 至少有一个不发生”的概率为
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
例6 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率 为0.4%, 求来自不同地区的100个人的 血清混合液中含有肝炎病毒的概率 解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎 病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有 肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100 则 A Ai
P( AB) P( AC ) P( ABC )
P( A )P( B) P(C ) P( BC )
P( A ) P( B C )
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这
n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.
2.(2)式比(1)式更优:
(i)不必用到条件概率的概念;
(ii)在形式上关于A,B是对称的;
(iii)当P(A)=0或P(B)=0时,(2)式仍然成立.
因为当P(A)=0或P(B)=0时,右边=P(A)P(B)=0,
0 左边 P( AB) min{P( A), P( B)} 0 左边 0
但
P( RW ) P( R) P(W )
P (WY ) P (W ) P (Y ) P ( RY ) P ( R ) P (Y )
本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)
例4 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数
第四讲
事件的独立性
1
一、两个事件的独立性
例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次，设第 i 次取得白球为 事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求 P( A1 ) , P( A2 ) , P( A2 A1 ) , P( A2 A1 ) , 解 P( A1 ) 3 / 8 P( A2 ) , P( A2 A1 ) 3 / 8 ,