2009年中考试题专题根的判别式及根与系数关系试题
中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》
专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
九级数学一元二次方程根的判别式及根与系数关系探究(一元二次方程)基础练习-4页精选文档
九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数关系探究（一元二次方程）基础练习试卷简介:全卷共4个选择题，9个填空题，1个证明题，6个解答题，分值120，测试时间60分钟。
本套试卷在课本的基础上，对题目稍做一定难度的拔高，主要考察了学生对元二次方程根的判别式及根与系数的关系的灵活运用。
各个题目难度类似，但考察方式不同。
学生在做题过程中要立足课本，对题目考虑全面，做到认真细心。
学习建议:本章主要内容是二元一次方程根的判别式及根与系数的关系，不仅是中考重点考察的内容之一，更是整个数学学科的重要内容之一。
本章题目要求同学们在做题时要考虑全面，千万不能粗心马虎，否则很容易遗漏某些条件或忘记舍去不合适的结果。
一、单选题(共4道，每道3分)1.方程x2-kx-1=0的根的情况是（）A.方程有两个不相等的实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程没有实数根D.根的情况与k的取值有关2.已知方程2x2+4x=3，则下列说中，正确的是（）A.方程两根和是-4B.方程两根积是2C.方程两根和是-2D.方程两根积是两根和的2倍3.若一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根之比为2：3，那么a、b、c间的关系应当是（）A.3b2＝8acB.C.6b2＝25acD.不能确定4.若c为实数，方程x2－3x+c＝0的一个根的相反数是方程x2+3x－c＝0的一个根，那么方程x2－3x+c＝0的根是（）A.1，2B.-1，-2C.0，3D.0，-3二、填空题(共9道，每道4分)1.分别以x2+3x-2=0的两根和与两根积为根的一元二次方程是______2.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)有一个正根和一个负根，则这个方程的判别式b2-4ac______0，常数项c______03.已知关于x的方程x2+m2x+m=0的两个实数根是x1、x2，y1、y2是方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1- y1=2，x2- y2=2，则m= ______．4.关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m=______时，两根互为倒数；当m=______时，两根互为相反数.5.如果把一元二次方程 x2-3x-1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根，那么这个新一元二次方程是______6.已知a2=1－a，b2=1－b，且a≠b，则(a－1)(b－1)=______7.若p2–3p–5=0，q2－3q–5=0，且p≠q，则______8.设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根，则______ ;______9.若方程kx2–6x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是______三、解答题(共6道，每道11分)1.已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形形状，说明理由2.如果关于x的方程kx2-(2k+1)x+(k+2)=0有实数根，求k的取值范围3.已知关于x的方程 3 x2-10 x + k = 0有实数根，求满足下列条件的k 的值：（1）有两个实数根，（2）有两个正数根，（3）有一个正数根和一个负数根4.已知x1，x2是关于x的方程x2-2(m+2)x+2m2-1=0的两个实根，且满足，求m值．5.设x 1，x 2是方程2x 2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．（1）（x 1+ 1）（x 2+ 1）； （2）x 12x 2+ x 1x 22；（3）； （4）(x 1-x 2)2．6.已知关于x 的方程x 2+2（m -2）x+m 2+4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 值并解此方程四、证明题(共1道，每道6分)1.求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k-3)=0一定有两个不相等的实数根九年级数学暑期预习领先班（九年级上、下册知识一网打尽+全面系统、夯实基础） 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B 室 电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B 座405室 电话：68856662希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
中考复习-------根的判别式及根与系数关系试题及答案
2009年中考试题专题之9-根的判别式及根与系数关系试题及答案
一、选择题
1. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2
-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则b
a
=？ A.-5 B.-4 C.1 D. 3
2. （2009年株洲市）定义：如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2
0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A 2x ，
A -4 12．（2009年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）． A ．0122=--x x
B ．0322
=+-x x
C ．3322
-=x x D ．0442
=+-x x
二、填空题
1.(2009年上海市)9．如果关于x 的方程2
0x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．
2.（2009泰安）关于x 的一元二次方程02)12(2
2
=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
3.（2009年长沙）已知关于x 的方程2
60x kx --=的一个根为，则实数k 的值为（ ）答案：A
12．（2009年黄石市）已知关于x 的函数2
1y ax x =++（a 为常数） （1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．。
根与系数关系及判别式带答案
A.m> B．m< C．m＝ D．m<－
8、已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a的值是()
A．4B．－4C．1D．－1
9、一元二次方程x2－2x＋m＝0总有实数根，则m应满足的条件是()
7、若关于x的一元二次方程x2－4(m＋1)x＋4m－1＝0两根互为相反数，则m的值是()
A．m＝－ B．m> C．m>－ 且m≠0 D．m＝－1
8、已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是_______。
9、已知关于x的方程x2－mx＋n＝0的两个实根是0和－3，则m＝_______，n＝________。
(4)x12－3x1x2＋x22(5)(x1－2)(x2－2)．
【自检自测】
1、若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()
A．k>－1 B．k<1且k≠0 C．k≥－1且k≠0 D．k>－1且k≠0
2、关于x的一元二次方程x2－mx＋(m－2)＝0的根的情况是()
2、若方程x2－4x＋m＝0的根的判别式的值为4，则m＝_____，方程的根为__________。
考点2：一元二次方程根的情况
3、一元二次方程x2－4x＋5＝0的根的情况是()
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
4、下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是()
5、不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x＋ ＝0 (2)3x2－2x－1＝0 (3)2x2＋3＝7x2＋x(4)5x－5＝6x2－4
一元二次方程(根的判别式根与系数的关系)专项训练题
一元二次方程（根的判别式，根与系数的关系）专项训练题一.选择题1.关于x的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2.已知反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（）A.有两个正根B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根4．设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，且＜0，－3＜0，则（）A． B． C． D．5.已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（）A．B．C．D．7. 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根8.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B.＞且C.＜D.且9.关于方程式49x2－98x－1=0的解，下列叙述何者正确？( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根13.若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A、a＜3B、a＞3C、a＜-3D、a＞-3二、填空题3．）设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，．4.已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是5．已知一元二次方程的一个根为，则．6．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．7．已知为方程的二实根，则．9.、关于X的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是--------------10、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是．11、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．12、关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .13、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．三、简答题1.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？2．设是关于的一元二次方程的两实根，当为何值时，有最小值？最小值是多少？3．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．5.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且——=115(1)求k的值；（2）求++8的值。
根的判别式及根与系数关系
根的判别式及根与系数关系一、选择题1.若a 、b 为方程式x 2-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则ba =（ ） A.-5 B.-4 C.1 D. 32.定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==3.若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.1k >-B.1k >-且0k ≠C.1k <D. 1k <且0k ≠4.设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20095．已知关于x 的一元二次方程的两个根是1和-2，则这个方程是（ ）（A ）022=--x x （B ）022=-+x x （C ）0122=--x x （D ）0122=-+x x6.关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=， 则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．257.设方程x 2－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )．A ．－4B ．－1C ．1D ． 08.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．0122=--x xB ．0322=+-x xC ．3322-=x xD ．0442=+-x x9．不解方程，判断方程073122=-+x x 的两个根的符号（ ）（A ） 同号（B ）异号（C ）两个正根（D ）不能确定10．若等于，则的根是n m n n mx x n +≠=++)0(02（ ）（A ）21- （B ）1- （C ）21 （D ）1 11．一元二次方程02=++c bx ax 中，若000<<>c b a ，，，则方程有（ ）（A ）两个正根 （B ）两个负根（C ）一正一负且正根的绝对值大 （D ）一正一负，负根的绝对值大12．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根是另一个根的2倍，则a 、b 、c 之间的关系是（ ）（A ）c b 942= （B ）ac b 922= （C ）a b 922= （D ）082=-ac b二、填空题1.如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．2.关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
根与系数的关系及应用题(自己整理)
一元二次方程根的判别式，根与系数关系◆回顾归纳1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，常用符号“△”表示，即△=•______；△>0时，方程_____；△=0时，方程______；△<0时，方程______．2．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，则x1+x2=____，x1x2=____．◆课堂测控1．（1）一元二次方程3x2+4x+1=0中，△=_____，因此该方程_____实数根．（2）一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则a=_____．2．若方程x2－2x－1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=______．3．一元二次方程x2+x－2=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．有一个实数根4．设一元二次方程x2－6x+4=0的两实根分别为x1和x2，则x1+x2=_____，x1·x2=______．5．等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC的长是关于x的方程x2－10x+m=0的两根，求m的值．解：当AB或AC的长为8时，64－10×8+m=0，∴m=_____；当AB=AC时，方程x2－10x+m=0有两个相等的实数根，则△=0，即______，∴m=____．测试点2 一元二次方程根与系数的关系6．一元二次方程x2－5x+6=0的一个实数根x1=2，则另一个实数根x2=（•）A．3 B．－3 C．6 D．－67．设一元二次方程x2－2x－4=0的两个实数为x1和x2，则下列结论正确的是（）A．x1+x2=2 B．x1+x2=－4 C．x1x2=－2 D．x1x2=48．已知x=－1是一元二次方程x2+mx+1=0的一个根，那么m的值是（）A．0 B．1 C．2 D．－29．已知x1，x2是方程x2+3x=4的两根，则（）A．x1+x2=－3，x1·x2=－4 B．x1+x2=3，x1·x2=4C．x1+x2=－3，x1·x2=4 D．x1+x2=3，x1·x2=－410．阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2=－b a ，x 1·x 2=c a．根据该材料填空： （1）已知x 1，x 2是方程x 2+6x+3=0的两实数根，则2112x x x x 的值为_____． （2）已知x 1，x 2是方程x 2－9x+18=0的两个根，那么x 1－x 2=_______．◆课后测控1．若关于x 的一元二次方程x 2+2x －k=0没有实数根，则k 的取值范围是_____．2．在解方程x 2+bx+c=0时，甲看错了b ，解得两根为－1和6；乙看错了c ，•解得两根为－3与4，那么正确的方程是______．3．已知一个等腰三角形两边长为方程x 2－6x+8=0的两根，•则此等腰三角形的周长为_____．4．若关于x 的方程x 2－（m+2）x+m=0的根的判别式△=5，则m=_____．5．方程x （x+1）=3（x+1）的解情况是______．6．关于x 的一元二次方程kx 2－6x+1=0有两个不相等的实数根，•则k•的取值范围是_____．7．已知关于x 的方程x 2－2ax+a 2－2a+2=0的两个实数根x 1，x 2，满足x 12+x 22=2，•则a•的值是_____．8．已知一元二次方程x 2+3x+1=0的两根为x 1和x 2，那么（1+x 1）（1+x 2）的值为______．9．如果一元二次方程3x 2－2x=0的两个根是x 1和x 2，那么x 1·x 2等于（ ）A ．2B ．0C ．23D ．－2310．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+5x+6=0B ．x 2－5x+6=0C ．x 2－5x －6=0D ．x 2+5x －6=011．如果关于x 的方程2x 2－7x+m=0的两实数根互为倒数，那么m 的值为（ ）A ．12B ．－12C ．2D ．－2 12．若关于x 的方程kx 2+2x －1=0有两个不相等的实数根，则k•的取值范围是（ ）A ．k>－1B ．k<－1C ．k≥－1且k≠0D ．k>－1且k≠013．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx+2m －1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是（ ）A ．5B ．－1C ．5或－1D ．－5或114．关于x 的一元二次方程x 2－5x+p 2－2p+5=0的一个根为1，则实数p•的值是（ ）A ．4B ．0或2C ．1D ．－115．已知关于x 的方程x 2－m=2x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m－3）x+m2=0•的两个不相等的实数根α、β满足11αβ+=1，求m的值．17．若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．18．若关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m+4=0两实根的平方和为2，求m的值．解：设方程的两个实根为x1，x2，那么x1+x2=m+1，x1x2=m+4．∴x12+x22=（x1+x2）2－2x1x2=（m+1）2－2（m+4）=m2－7=2．即m2=9，解得m=3．答：错误或不完整之处有：__________．◆拓展创新实数k取何值时，一元二次方程x2－（2k－3）x+2k－4=0．（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大；（3）一根大于3，一根小于3．一元二次方程应用题（一）传染问题与循环问题1.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
专题训练 三 根与系数的关系与根的判别式
组题训练 三 根与系数的关系与根的判别式1：已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝22，求m 的值和此时方程的两根．2：已知21x x 、是一元二次方程(a-6)x 2+2ax+a=0的两个实数根. （1）是否存在实数a ，使22114x x x x +=+-成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使)1)(121++x x （为负整数的实数a 的整数值.3、已知关于x 的方程047)1(222=--+-+a a x a x 的两根为21x x 、，且满足02332121=---⋅x x x x .求aa a 2)4412+⋅-+（的值.4、已知：y 关于x 的函数22)1(2++--=k kx x k y 的图象与x 轴有交点.（1）求k 的取值范围.（2）若21x x 、是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足21221422)1(x x k kx x k =+++-.①求k 的值.②当2+≤≤k x k 时，请结合函数图象确定y 的最大值和最小值.5、已知：关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋2＝0(m>0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2(其中x1<x2)．若y是关于m的函数，且y＝x2－2x1，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m.6、已知：关于x的一元二次方程mx2－(2m＋2)x＋m－1＝0.(1)若此方程有实根，求m的取值范围；(2)在(1)的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；(3)在(2)的前提下，二次函数y＝mx2－(2m＋2)x＋m－1的图象与x轴有两个交点，联结这两点，并以联结这两点的线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y＝x＋b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．。
专题根与系数的关系含答案
专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m-2=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若x1、x2为方程的两个不等实数根，且满足x12+x22-x1x2=2，求m的值．例2.已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＜x2．若2x1=x2+1，求?m的值．例3．已知关于x的方程mx2+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；m，且点B（m，n）（2）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＜x2），若n=x2-x1-12在x轴上，求m的值．.例4.已知关于x的一元二次方程：x2-2（m+1）x+m2+5=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若原方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．例5.已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-12）=0．（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．训练1.已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β，满足1α+1α=1，求m的值．2.已知一元二次方程x2-2x+m=0（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1和x2，且x1+3x2=3，求m的值．（3）若方程的两个实数根为x1和x2，且x12-x22=0，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（m-3）x-m（2m-3）=0（1）证明：无论m为何值方程都有两个实数根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m的值；若不存在，请说明理由．4.已知关于x的一元二次方程x2-6x-k2=0（k为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2为方程的两个实数根，且2x1+x2=14，试求出方程的两个实数根和k的值．5.已知关于x的方程x2-（2k-3）x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=2|x1x2|-3，求k的值．6.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x+1m-3=02（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1+x2=m+1，求m的值．7.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个等腰三角形（底和腰不相等）的三边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．8.设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，当a为何值时，x12+x22有最小值？最小值是多少？专题：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例1.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，例2.∴△=b2-4ac=[-（2m-1）]2-4m（m-2）=4m+1＞0，，∵二次项系数≠0，∴m≠0，例3.解得：m＞-14例4.∴当m＞-1且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；4例5.（2）∵x1、x2为方程的两个不等实数根，例6. ∴x 1+x 2=2m−1m ，x 1x 2=m−2m ，例7. ∴x 12+x 22-x 1x 2=（x 1+x 2）2-3x 1x 2=（2m−1m ）2-3(m−2)m =2，例8. 解得：m 1=√2+1，m 2=-√2+1（舍去）；∴m =√2+1．例9.例10. 解：（1）∵△=（-4m ）2-4（4m 2-9）=36＞0，例11. ∴此方程有两个不相等的实数根；例12. （2）∵x =4m±√362=2m ±3，例13. ∴x 1=2m -3，x 2=2m +3，例14. ∵2x 1=x 2+1，∴2（2m -3）=2m +3+1，例15. ∴m =5．例16.例17. 解：（1）∵△=（4-3m ）2-4m （2m -8），例18. =m 2+8m +16=（m +4）2例19. 又∵m ＞0∴（m +4）2＞0即△＞0例20. ∴方程有两个不相等的实数根；例21. （2）∵方程的两个根分别为x 1、x 2（x 1＜x 2），例22. ∴x 1+x 2=-4−3m m ，x 1?x 2=2m−8m ， 例23. n =x 2-x 1-12m ，且点B （m ，n ）在x 轴上，例24. ∴x 2-x 1-12m =√(x 1+x 2)2−4x 2x 1-12m =√(4−3m m )2−4×2m−8m -12m =0，例25. 解得：m =-2，m =4，例26. ∵m ＞0，∴m =4．例27. .解：（1）∵方程x 2-2（m +1）x +m 2+5=0有两个不相等的实数根， 例28. ∴△=[-2（m +1）]2-4（m 2+5）=8m -16＞0，解得：m ＞2．例29. （2）∵原方程的两个实数根为x 1、x 2，例30. ∴x 1+x 2=2（m +1），x 1?x 2=m 2+5．例31. ∵m ＞2，例32. ∴x 1+x 2=2（m +1）＞0，x 1?x 2=m 2+5＞0，例33. ∴x 1＞0、x 2＞0．例34. ∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1?x 2=|x 1|+|x 2|+2x 1?x 2，例35. ∴4（m +1）2-2（m 2+5）=2（m +1）+2（m 2+5），即6m -18=0，例36. 解得：m =3．例37.例38. 证明：（1）∵△=（2k +1）2-16（k -12）=（2k -3）2≥0， 例39. ∴方程总有实根；例40. 解：（2）∵两实数根互为相反数，例41. ∴x 1+x 2=2k +1=0，解得k =-0.5；例42. （3）①当b =c 时，则△=0，例43. 即（2k -3）2=0，∴k =32， 例44. 方程可化为x 2-4x +4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b +c =4=a 不适合题意舍去； 例45. ②当b =a =4，则42-4（2k +1）+4（k -12）=0， 例46. ∴k =52， 例47. 方程化为x 2-6x +8=0，解得x 1=4，x 2=2，例48. ∴c =2，C △ABC =10，例49. 当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，例50. 综上所述，△ABC 的周长为10．例51.训练1.（1）证明：∵方程mx 2-（m +2）x +2=0（m ≠0）是一元二次方程，∴△=（m +2）2-8m =m 2+4m +4-8m =m 2-4m +4=（m -2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵方程有两个不相等的实数根α，β，∴由根与系数的关系可得α+β=m+2m ，αβ=2m ， ∵1α+1β=1，∴m+2m 2m =m+22=1，解得m =0，∵m ≠0，∴m 无解．2.解：（1）∵方程x 2-2x +m =0有两个实数根，∴△=（-2）2-4m ≥0，解得m ≤1；（2）由两根关系可知，x 1+x 2=2，x 1?x 2=m ，解方程组{x 1+x 2=2x 1+3x 2=3， 解得{x 1=32x 2=12，∴m =x 1?x 2=32×12=34；（3）∵x 12-x 22=0，∴（x 1+x 2）（x 1-x 2）=0，∵x 1+x 2=2≠0，∴x 1-x 2=0，∴方程x 2-2x +m =0有两个相等的实数根，∴△=（-2）2-4m =0，解得m =1．3.（1）证明：∵关于x 的方程x 2+（m -3）x -m （2m -3）=0的判别式△=（m -3）2+4m （2m -3）=9（m -1）2≥0，∴无论m 为何值方程都有两个实数根；（2）解：设方程的两个实数根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-（m -3），x 1×x 2=-m （2m -3），令x 12+x 22=26，得：（x 1+x 2）2-2x 1x 2=（m -3）2+2m （2m -3）=26，整理，得5m 2-12m -17=0，解这个方程得，m =175或m =-1， 所以存在正数m =175，使得方程的两个实数根的平方和等于26． 4.（1）证明：在方程x 2-6x -k 2=0中，△=（-6）2-4×1×（-k 2）=4k 2+36≥36， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵x 1、x 2为方程的两个实数根，∴x 1+x 2=6①，x 1?x 2=-k 2，∵2x 1+x 2=14②，联立①②成方程组{x 1+x 2=62x 1+x 2=14， 解之得：{x 1=8x 2=−2， ∴x 1?x 2=-k 2=-16，。
根的判别式、根与系数关系训练
《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》专题训练编制人：王咸文学习目标：1、掌握一元二次方程根的判别式规律、根与系数的关系规律。
2、能准确运用两规律解决相关问题。
3、展示分类思想、培养学习数学的情趣。
学习重难点：求根的判别式是重点；多角度思考、分类讨论是难点。
知识点扫描：1、关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程的条件为（）。
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0。
⑴当（）时该方程有两个不相等的实数根。
⑵当（）时该方程有两个相等的实数根。
⑶当（）时该方程有两个实数根。
⑷当（）时该方程没有实数根。
3、设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)，当Δ时有两根为x1和x2，则X1+x2= x1•x2=基础知识检测：（2012上海）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0 4、（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是5、下列说法正确的是（）A X2-4x+4=0只有一个实数根B 方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根C 方程x2+x+1=0的两根之和等于-1，两根之积等于1D 方程x2=23x-3有两个相等的实数根6、（2010安徽芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 7、（ 2011重庆江津）已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )A.a<2 B、a>2 C.a<2且a≠1 D.a<－28、（2011江西南昌）已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是（）A.1B.2C.-2D.-19、（2011江苏南通）已知3是关于x的方程x2－5x＋c＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A.－2B. 2C. 5D. 6小组讨论 共同提高：10、（2010江苏苏州）下列四个说法中，正确的是（ ）A ．一元二次方程22452x x ++=有实数根； B ．一元二次方程23452x x ++=有实数根； C ．一元二次方程25453x x ++=有实数根；D ．一元二次方程x 2+4x+5=a(a ≥1)有实数根． 11、（2011山东潍坊）关于x的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是（ ）A . k 为任何实数，方程都没有实数根B . k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C . k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种12、（2010湖北孝感）已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2.（1）求k 的取值范围；（2）若12121x x x x +=-，求k 的值.课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？。
根的判别式,根与系数的关系专项训练题
根的判别式，根与系数的关系一、选择题1.若x1，x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根，且x12+x22=7，则b的值为()A. 1B. −7C. 1或−7D. 7或−12.关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足()A. a≥1B. a>1且a≠5C. a≥1且a≠5D. a≠53.已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根，则a的取值范围是()A. a≤2B. a>2C. a≤2且a≠1D. a<−24.关于x的方程m2x2−8mx+12=0至少有一个正整数解，且m是整数，则满足条件的m的值的个数是()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，则m的值是()A. 7B. 3C. −1或7D. 任意实数二、填空题6.已知关于x的方程x2+2(a−1)x+a2−7a−4=0的两根为x1、x2，且满足，则a的值为．7.设x1、x2是关于x的方程2x2−4mx+2m2+3m+2=0的两个实根，当m=________时，x12+x22有最小值为________.8.已知实数m，n满足等式m2+2m−1=0，n2+2n−1=0，那么求nm +mn的值是___．9.若关于x的一元二次方程kx2−4x−1=0有实数根，则k的取值范围是．10.已知一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根为x1，x2，则代数式2x1x2+3x1−x12的值为________．11.已知：m2−2m−1=0，n2+2n−1=0且mn≠1，则mn+n+1n的值为____．12.x2−x−2017=0两根为x1，x2，则x13+2018x2−2017=。
13.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m=___________．14.已知m，n是方程x2+2x−5=0的两个实数根，则m2−mn+3m+n=_________．15.关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0的两个实数根x1、x2满足x1+x2=1−x1x2，则k的值为________________．三、解答题16.已知关于x的 一元二次方程x2−(m−3)x−m=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为a、b，且a2+b2=14，求m的值．17.已知关于x的一元二次方程x2−4x+2k−1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求k的取值范围．(2)若x1−x2=2，求k的值．18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+k−1=0有实数根．(1)求k的取值范围；(2)若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．19.已知关于x的一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0．(1)求证：无论取何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？20.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0．(1)证明：不论m为何值时，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．21.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根．(1)若(x1−1)(x2−1)=28，求m的值;(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC的另外两边的长，求这个三角形的周长．22.已知x1，x2是关于x的方程x2−kx+5(k−5)=0的两个正实数根，且满足2x1+x2=7，求实数k的值．。
初三数学一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系填空题（满分8分，每小题2分）5．若方程2x 2+ax-4=0的一根为2，则另一根为 。
6．方程3(m+1)x 2-5mx+3m=2两根互为相反数，则m 的值为 。
7．若方程mx 2-2(m-1)x+m=0有二不相等的实根，则方程(m-1)x 2-2mx+m-2=0实根的情况是 。
8．关于x 的方程x 2-6x+p=0两根为α、β,且2α+3β=20，则p= 。
解答题（满分20分，每小题10分）。
9．求证关于x 的一元二次方程x 2+2ax+a-4=0在实数范围内一定可以分解因式。
10．若方程x 2+6x+k=0的一根是另一根的二倍，求k 的值。
A 组练习题 选择题：1．关于x 的方程x 2-2mx-m-1=0实根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．没有实数根；D ．不能确定。
2．关于x 的方程ax 2-2x+1=0中，a<0。
方程实根的情况是（ ）。
A ．有两个相等的实数根； B ．有两个不相等的实数根； C ．没有实数根； D ．不能确定。
3．关于x 的方程3x 2-2x+m=0的一个根为-1，则m 的值为（ ） A ．5； B ．-5； C ．1； D ．-14．如果x 1,x 2为方程2x 2-4x+1=0的两根，那么 的值为（ ）A ．B ．3；C ．4；D ．6。
5．如果x 1,x 2是两个不相等的实数，且满足x 12-2x 1=1,x 22-2x 2=1,则x 1·x 2为（ ）A．2； B．-2； C．1； D．-1；6．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0两根之和为m，两根平方和为n，则的值为（）A．0； B．m2+n2; C．m2; D．n2解答题：7．关于x的方程x2+(2m-3)x+m2+6=0两根之积是两根之和的二倍，求m、n的值。
8．关于x的一元二次方程x2+2(m-2)x+m2+4=0的实根的平方和比两根之积大84。
根的判别式和根与系数的关系能力提高训练题
根的判别式和根与系数的关系能力提高训练题1．（2012•资阳）关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是---------．2．若关于x的方程x2-k|x|+4=0有四个不同的解，则k的取值范围是--------．3．关于x的一元二次方程mx2-（3m-1）x+2m-1=0，其根的判别式的值为1，m=----．2．（2014•抚州）关于x的一元二次方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数为------．3．（2014•镇江）若关于x的一元二次方程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则m=-------．4．（2014•上海）如果关于x的方程x2-2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是---------．5．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3kx+8=0，则△ABC的周长是------6．（2013•兰州）若|b−1|+(a-2)平方＝0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是-----．7．（2013•张家界）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是-----------．8．（2011•盘锦）关于x的方程（k-2）x2-4x+1=0有实数根，则k满足的条件是-------------．9．（2006•曲靖）已知关于x的方程x2+（3-m）x+m/4=0有两个不相等的实数根，那么m的最大整数值是-------．10．（2006•辽宁）已知一元二次方程x2-（4k-2）x+4k2=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值为----------．11．（2000•甘肃）在一元二次方程x2+bx+c=0中（b≠c），若系数b、c可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是--------．12．（1997•河北）a、b、c是一三角形的三边长，若方程组x2−ax−y+b2+ac＝0ax−y+bc＝0只有一组解，则这个三角形一定是--------三角形．1．（2014•北京）已知关于x的方程mx2-（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．2．（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．3．（（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．4．（2012•绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．5．（2012•临沂）已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．6．（2011•厦门）已知关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．7．（2010•南充）关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．8．（2009•资阳）已知关于x的一元二次方程x2+kx-3=0．（1）求证：不论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k=2时，用配方法解此一元二次方程．9．（2009•江津区）已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．10．（2005•黑龙江）已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m-1=0．求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．11．（2005•桂林）已知关于x的一元二次方程x2-6x+k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k取符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-6x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求常数m的值．12．（2004•东城区）如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，试判断关于x的方程（m-5）x2-2（m-1）x+m=0的根的情况．13．（2004•茂名）已知：△ABC的两边AB、BC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+2）x+k2+2k=0的两个实数根，第三边长为10．问当k为何值时，△ABC是等腰三角形？14．（2003•肇庆）已知关于x的方程（k2+2）x2+（2k-3）x+1=0，其中k为常数，试分析此方程的根的情况．15．（2002•黑龙江）是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2-（2m-1）x+1=0有两个实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由16．（2002•海南）对关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．（1）当a、c异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程，然后解这个方程．17．（2001•杭州）（1）若方程x2+2px-q=0（p，q是实数）没有实数根，求证：p+q＜1/4；18．（2000•天津）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由．（2000•东城区）已知关于x的一元二次方程x2-2mx-3m2+8m-4=0．（1）求证：当m＞2时，原方程永远有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m的取值范围．19．（1997•山东）已知关于x的方程（m-2）x2-2（m-1）x+m+1=0．当m为何非负整数时．（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程有两个不相等的实数根？20．（2010•东台市模拟）已知一元二次方程（m-3）x2+2mx+m+1=0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数．（1）求m的取值范围；（2）当m在取值范围内取最小正偶数时，求方程的根．21．（2010•嘉定区二模）已知关于x的方程mx2-（2m-1）x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求方程的两个根．22．已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长．23．一元二次方程ax2-bx+c=0在（0，1）中有两个不同的实数根，其中a，b，c 是整数．求证：具有这种性质的a的最小正整数值存在．1．（2014•扬州）已知a，b是方程x2-x-3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值为---------2．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k-2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=----．3．（2014•德州）方程x2+2kx+k2-2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k 的值为-------．4．（2014•雅安）关于x的方程x2-（2m-1）x+m2-1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=-----．5．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1和x2，且（x1-2）（x1-x2）=0，则k的值是-----．6．（2014•巴中）菱形的两条对角线长分别是方程x2-14x+48=0的两实根，则菱形的面积为--------．7．（2013•黔东南州）若两个不等实数m、n满足条件：m2-2m-1=0，n2-2n-1=0，则m2+n2的值是-------．8．（2013•眉山）已知关于x的一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=------．9．（2013•南昌）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程------．10．（2013•自贡）已知关于x的方程x2-（a+b）x+ab-1=0，x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③x12+x22＜a2+b2．则正确结论的序号是-------------．（填上你认为正确结论的所有序号）11．（2011•泸州）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为------．12．（2010•凉山州）已知三角形两边长是方程x2-5x+6=0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是----13．（2006•株洲）已知a、b是关于x的方程x2-（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是------．14．（2004•嘉兴）如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x2-10x+20=0的两个根，那么这个矩形的周长是-------------15．（2004•芜湖）关于x的方程m2x2+（2m+3）x+1=0有两个乘积为1的实数根，方程x2+（2a+m）x+1-m2=0有一个大于0且小于4的实数根，则a的整数值是--------16．（2004•宁波）等腰三角形ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值为----------．17．（2003•成都）已知关于x的一元二次方程8x2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m的取值范围是-----------．18．（2003•金华）CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程x2-6x+4=0的两根，则△ABC的面积为-------------．19．（2002•黄冈）如果a，b是方程x2+x-1=0的两个根，那么代数式a3+a2b+ab2+b3的值是--------9．已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+k+1=0的两个实数根分别是x 1和x 2，若x 1+x 2-x 1x 2＜-1，且k 为整数，求k 的值．10．已知关于x 的方程kx 2-2x+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，则当k 为何值时，方程两根之比为1：3？11．已知斜边为5的直角三角形的两条直角边a 、b 的长是方程x 2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两个根，求m 的值．12．实数k 为何值时，方程x 2+（2k-1）x+1+k 2=0的两实数根的平方和最小，并求出这两个实数根．13．已知关于x 的方程x 2+﹙2m+1﹚x+m 2-2=0的两个实根的平方和为11，m 为实数，试分解因式x 2+﹙2m+1﹚x+m 2-2．16．实数a ，b ，c 满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k ，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．18．已知：关于x 的两个方程x 2+（m+1）x+m-5=0…①与mx 2+（n-1）x+m-4=0…②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．（1）求证方程②的两根符号相同；（2）设方程②的两根分别为α、β，若α：β=1：3，且n 为整数，求m 的最小整数值．19．已知关于x 的方程x 2+（2k-1）x-2k=0的两个实数根x 1、x 2满足x 1-x 2=2，试求k 的值．20．已知：关于x的方程x2+（8-4m）x+4m2=0．（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出这时方程的根．（2）问：是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由．。
判别式及根与系数关系练习题
一元二次方程根的判别式1.如果关于x的一元二次方程2x(ax－4)－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是2.已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式∆=4，则这个方程的根为。
3.若关于x的方程x2－2(k+1)x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是()A.k≥－1B.k＞－1C.k≤－1D.k＜-14.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：(k2+1)x2－2kx+(k2+4)=05.已知：a>0,b>a+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况。
6.m为何值时，方程2(m+1)x2+4mx+2m－1=0。
(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个实数根；(3)有两个相等的实数根；(4)无实数根。
7.已知关于x的一元二次方程)0(05622≠=+-pqpxx(p≠0)有两个相等的实数根，试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。
根与系数的关系1.方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m =，n =.2.若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为.3.以23+和23-为根的一元二次方程是.4.若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是.5.若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k =，若两根互为倒数，则k =.6.下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（）（A）0322=-+x x （B）0322=+-x x （C）0322=--x x （D）0322=++x x 7.若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（）(A)5或－2(B)5(C)－2(D)－5或28.已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值:（1）2212x x +=；（2）2111x x +=；（3）=-221)(x x ；（4）)1)(1(21++x x =.（5）那么=++1221221x x x x （）9.关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根，且这两根平方和比两根积大21.求m 的值.10.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7，求m 的值.11.若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9.求m 的值.12.已知方程m x x 322+-=0，若两根之差为－4，求m 的值.13.已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数，求m 的值.14.关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和，求m 的值.15.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值．。
根与系数的关系 (2)
《根与系数的关系》考题聚焦根与系数的关系是指:如果21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的两个实数根,则有a b x x -=+21,ac x x =⋅21,它在一元二次方程的解题中有着重要的作用.现就09年中考试题精选几例析解如下,供同学们参考:一、求参数k 的值例1已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12x x ，，且2212x x +=24，则k 的值是（ ）A ．8B ．7-C ．6D ．5 分析:由()2122122212x x x x x x -+=+,根据根与系数的关系得1,62121+==+k x x x x ，代入得到()241262=+-k , 解得5=k解:选D.点评:本例考查的是根与系数的关系,关键是要将代数式2221x x +用21x x +和21x x ⋅的形式表示出来.二、求代数式的值例2关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．13 D ．25分析:根据根与系数的关系得12,2121-==+m x x m x x ，又22127x x +=，即()7221221=-+x x x x , 代入得到()71222=--m m ,即0542=--m m ，解之得不合题意，舍去）(5,121=-=m m则关于x 的一元二次方程为:032=-+x x ，根据根与系数的关系得3,12121-=-=+x x x x ，所以()()()()133414221221221=-⨯--=-+=-x x x x x x . 解:选C.点评:本例主要考查的是根与系数的关系和代数式的求值.同样需将代数式用两根之和及两根之积的形式表示.在求得m 的值后需代入原方程检验,当m =5时,原方程为0952=+-x x ,这时判别式△=()1191452-=⨯⨯--＜0,原方程无实数根,故应将m =5舍去.三、求最值例3．已知m 、n 是关于x 的一元二次方程024222=-+++a a ax x 的两实根，那么22n m +的最小值是 。
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2009年中考试题专题根的判别式及根与系数关系试题
一、选择题
1. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2
-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则b
a
=？ A.-5 B.-4 C.1 D. 3
2. （2009年株洲市）定义：如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知2
0(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是
A ．a c =
B ．a b =
C ．b c =
D ． a b c ==
3.(2009成都)若关于x 的一元二次方程2
210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
A.1k >-
B.1k >-且0k ≠
C.1k <
D. 1k <且0k ≠
6.（2009烟台市）设a b ，是方程2
20090x x +-=的两个实数根，则2
2a a b ++的值为（ ）
A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009 【关键词】根与系数的关系，根的定义 【答案】C
7. （2009年烟台市）设a b ，是方程2
20090x x +-=的两个实数根，则2
2a a b ++的值为（ ） A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
8.（2009年包头）关于x 的一元二次方程2
210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则2
12()x x -的值是（ ） A ．1
B ．12
C ．13
D ．25
9. （2009年台湾）若a 、b 为方程式x 2
-4(x +1)=1的两根，且a >b ，则
b
a
=？ (A) -5 (B) -4 (C) 1 (D) 3 。
11．（09湖北宜昌）设方程x 2
－4x －1=0的两个根为x 1与x 2，则x 1x 2的值是( )．
A ．－4
B ．－1
C ．1
D ． 0 12．（2009年湖北十堰市）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）． A ．0122=--x x B ．0322
=+-x x
C ．3322
-=x x D ．0442
=+-x x
二、填空题
1.(2009年上海市)9．如果关于x 的方程2
0x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．
2.（2009泰安）关于x 的一元二次方程02)12(2
2=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 。
3.（2009年长沙）已知关于x 的方程2
60x kx --=的一个根为，则实数k 的值为（ ）答案：A
5. （2009贺州）已知关于x 的一元二次方程02
=--m x x 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题
1. （2009年重庆市江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042
=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。
2.（2009年淄博市） 已知12x x ，是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=
（1）求12x x ，及a 的值； （2）求32111232x x x x -++的值．
4. （2009年重庆市江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042
=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状。
12．（2009年黄石市）已知关于x 的函数2
1y ax x =++（a 为常数） （1）若函数的图象与x 轴恰有一个交点，求a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．。