27.1.2圆的对称性

B
练一练
O
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是2 3cm . 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm . 3．半径为2cm的圆中，过半径OC中点E且 垂直于这条半径的弦AB长是 2 3cm .
A A
E
O
B
A
E O E
C
B
B
问题2 平分弦的直径有什么特点？
OD=OC－CD=R－7.2 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
1 1 AD AB 37.4 18.7,A 2 2
D B
R O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
检测题
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 弦AB的距离（弦心距）为3cm，求⊙O的半径． 解： 过点O做OE ⊥AB于E,连结OA
∴AE－CE＝BE－DE
∴ AC＝BD
讲解
3 已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两 条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm， 求弦AB与CD之间的距离。
A
C
20 E
25 25 24
15 . O 7
B D
A
C
E
F . O
B
D
EF有两解：15+7=22cm
15-7=8cm
请你谈谈这节课 的收获和体会。
华师大九年级数学下册
27.1.2.圆的对称性
学习目标
理解并掌握垂径定理：垂直于弦 的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。
赵州桥主桥拱的半径是多少？
A
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？.(精确 到0.1米)
推论1：
C
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
（不是直径） 平分弦 的直径垂直于这条弦,并 且平分弦所对的两条弧;
问题3：平分弧的直径有什么特点？
由 ① CD是直径
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
②CD⊥AB, ③ AP=BP ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
推论2：
A
C
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。
●
O
P B
问题4：弦的垂直平分线有什么特点？
求赵州桥桥拱半径的问题
驶向胜利 的彼岸
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的 桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
求赵州桥桥拱半径的问题
AB
如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O， 半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与弧AB 相交于点C，根据前面的结论，D 是AB 的 中点，C是弧AB的中点，CD 就是拱高． C 在图中 AB=37.4，CD=7.2，
推论3： 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对
练一练
挑战自我
1、判断：
驶向胜利 的彼岸
(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧。
√ （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对 的另一条弧。 （3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。
√（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。 √（5）平行弦所夹的弧相等。 （6）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。
由②CD⊥AB
D 可推得
③ AP=BP
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
① CD是直径
●
O B
A
●
P
D
推论3： 弦的垂直平分线经过圆心并且 平分弦所对的两条弧。
理解 记忆
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 推论1： 平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 推论2： 并且平分弦所对的另一条弧。 的两条弧。
A
E
B
1 1 则AE AB 8 4 2 2
O
·
在RT△AOE中
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
检测
2 已知：如图，在以O为 圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C， A D两点。试说明：AC＝ BD。
O
C E D B
.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则 AE＝BE，CE＝DE
③AP=BP,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
D
如图,理由是:
连结OA,OB, 则OA=OB.
⌒ ⌒ ∴AD =BD,
A
C
垂直于弦的直径平分这条弦 , 并且平分弦所对D⊥AB ∴AP=BP ∠AOC= ∠BOC ⌒ ⌒ ∴ AC = BC,
P B
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分
B
动手操作，观察猜想. CD是⊙O的直径，过直径上任一点P 作弦AB⊥CD，将⊙O沿CD对折，比 较图中的线段和弧，你有什么发现？
D
线段： AP=BP
·
P
A C B
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ , AD=BD. 弧： AC=BC
问题1. 垂直于弦的直径有什么

由 ① CD是直径
② CD⊥AB
特点？
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
如图在⊙O中，直径CD交弦AB于点P，AP=BP
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
D
●
O
P
A
┗
●
你能发现直径CD与弦AB有什么关系？图 中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法 和理由. 发现图中有: ②CD⊥AB, 由 ① CD是直径 可推得 ⌒ ⌒ B ④AC=BC, ③ AP=BP
弦所对的两条弧。 题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦 平分弦所对的劣弧 判断题： (1)过圆心的直线平分弦 错 (2)垂直于弦的直线平分弦错 (3)⊙O中，OE⊥弦AB于E， 则AE=BE 对
A D (1) E C C
结论
平分弦 平分弦所对的优弧
•o
B A D (2) E •o B •
A
O
E (3)