北师大初二上数学第一章勾股定理培优练习题(含答案解析)
2019年北师大版八年级上册数学第1章《勾股定理》培优专题训练含答案
2019年北师大版八年级上册第1章《勾股定理》培优专题训练一．选择题1．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，若AB＝10，AO＝6，则OB长为（）A．5 B．6 C．8 D．102．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．6 B．9 C．18 D．363．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝6：8：10C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c24．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为8cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（）c m．A．8 B．9 C．10 D．125．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CD＝2，则AB长为（）A．6 B．C． +2 D． +26．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S37．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（）A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）A．AB＝5 B．∠C＝90°C．AC＝2D．∠A＝30°9．如图，在△ABC中，点M是AC边上一个动点．若AB＝AC＝10，BC＝12，则BM的最小值为（）A．8 B． 9.6 C．10 D．4 510．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，连结AD，若AC＝6，BC＝8，则CD的长为．12．禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入元．13．如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为cm．14．如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为cm．15．在△ABC中，如果AB＝5cm，AC＝4cm，BC边上的高线AD＝3cm，那么BC的长为cm．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，则△ABD的面积为．17．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为4、3、9，则正方形A的面积为．18．如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝，∠ABC＝°．三．解答题19．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5．（1）求证：AD⊥BC；（2）求CD的长．20．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？21．小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A、B、D三点在同一直线上，EF∥AD，∠CAB＝∠EDF＝90°，∠C＝45°，∠E＝60°，量得DE＝8．（1）试求点F到AD的距离．（2）试求BD的长．22．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，1小时后，甲船到达C岛，乙船达到B岛，若C、B两岛相距50海里，请你求出乙船的航行方向．23．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q从点B 出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．那么运动几秒时，它们相距15cm？25．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．[定理表述]请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．参考答案一．选择题1．解：∵在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，AB ＝10，AO ＝6，∴OB ＝，故选：C ．2．解：∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝∠ACB ，∠ACF ＝∠ACD ，即∠ECF ＝（∠ACB +∠ACD ）＝90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB ＝∠MEC ＝∠ECM ，∠DCF ＝∠CFM ＝∠MCF ， ∴CM ＝EM ＝MF ＝3，EF ＝6，由勾股定理可知CE 2+CF 2＝EF 2＝36， 故选：D ．3．解：A 、∵∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5，∴∠C ＝，所以不是直角三角形，正确；B 、∵（6x ）2+（8x ）2＝（10x ）2，∴是直角三角形，错误；C 、∵∠C ＝∠A ﹣∠B ， ∴∠C +∠B ＝∠A ，∴∠A ＝90°，是直角三角形，故本选项错误； D 、∵b 2＝a 2﹣c 2，∴是直角三角形，错误； 故选：A ．4．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A 、B 的最短距离为线段AB 的长． 在RT △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8cm ，AC 为底面半圆弧长，AC ＝2π＝6cm ，所以AB ＝＝10cm ．故选：C ．5．解：在Rt △ACD 中，∠A ＝45°，CD ＝2， 则AD ＝CD ＝2，在Rt △CDB 中，∠B ＝30°，CD ＝2，则BD ＝2，故AB ＝AD +BD ＝2+2． 故选：D ．6．解：设直角三角形的三边从小到大是a ，b ，c ．则S 1＝b 2，S 2＝a 2，S 3＝c 2．又a 2+b 2＝c 2， 则S 1+S 2＝S 3． 故选：D ．7．解：∵AB ＝1.5，BC ＝0.9，AC ＝1.2，∴AB 2＝1.52＝2.25，BC 2+AC 2＝0.92+1.22＝2.25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠ACB ＝90°，∵CD 是AB 边上的高，∴S △ABC ＝，1.5CD ＝1.2×0.9， CD ＝0.72， 故选：A ．8．解：A 、由勾股定理得：AB ＝＝5，故此选项正确；B 、∵AC 2＝22+42＝20，BC 2＝12+22＝5，AB 2＝52＝25， ∴AB 2＝BC 2+AC 2， ∴∠C ＝90°，故此选项正确；C 、AC ＝＝2，故此选项正确；D 、∵BC ＝，AB ＝5， ∴∠A ≠30°， 故此选项不正确； 本题选择错误的结论， 故选：D ．9．解：作AD ⊥BC 于D ，如图所示：则∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝6，由勾股定理得：AD ＝＝8，当BM ⊥AC 时，BM 最小， 此时，∠BMC ＝90°，∵△ABC 的面积＝AC •BM ＝BC •AD ，即×10×BM ＝×12×8，解得：BM ＝9.6， 故选：B ．10．解：设每个小直角三角形的面积为m ，则S 1＝4m +S 2，S 3＝S 2﹣4m ， 因为S 1+S 2+S 3＝60，所以4m +S 2+S 2+S 2﹣4m ＝60， 即3S 2＝60， 解得S 2＝20． 故选：C ．二．填空题（共8小题）11．解：∵DE 是AB 的中垂线，∴DA ＝DB ，设AD ＝x ，则DB ＝x ，CD ＝BC ﹣BD ＝8﹣x ， 在Rt △ACD 中，∵AC 2+CD 2＝AD 2， ∴62+（8﹣x ）2＝x 2，解得x ＝，∴CD ＝8﹣x ＝，故答案为：．12．解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2+BC 2＝32+42＝52， ∴AC ＝5．在△DAC 中，CD 2＝132，AD 2＝122， 而122+52＝132， 即AC 2+AD 2＝CD 2， ∴∠DAC ＝90°，S 四边形ABCD ＝S △BAC +S △DAC ＝•BC •AB +DC •AC ，＝×4×3+×12×5＝36．所以需费用：36×300＝10800（元）． 故答案为：10800．13．解：如图，将正方体展开， 则线段AB 即为最短的路线， 设这个正方体的棱长为xcm ，∴AB ＝＝x ＝20，∴x ＝4，∴这个正方体的棱长为4cm ，故答案为：4．14．解：如图，在Rt △ABC 中，AB ＝4cm ，BC ＝4cm ，由勾股定理知，AC ＝＝＝4．设AC 边上的高的长度为hcm ，则AB •BC ＝AC •h ，∴h ＝＝＝2（cm ）．故答案是：2．15．解：（1）如图1，当点D 落在BC 上时，∵AB ＝5，AD ＝3，AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD +CD ＝4+；（2）如图2，当点D 落在BC 延长线上时，∵AB ＝5，AD ＝3， AC ＝4，∴BD ＝＝＝4，CD ＝＝＝，则BC ＝BD ﹣CD ＝4﹣；综上，BC 的长的为（4+）或（4﹣）cm ．16．解：作DE ⊥AB 于E ，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝＝13，由基本作图可知，AD 是∠CAB 的平分线， 在△ACD 和△AED 中，，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AE ＝AC ＝12，DE ＝DC ，∴BE ＝AB ﹣AE ＝1，BD ＝5﹣CD ＝5﹣DE ，在Rt △DEB 中，DE 2+BE 2＝BD 2，即DE 2+12＝（5﹣DE ）2，解得，DE ＝，∴△ABD 的面积＝×AB ×DE ＝，故答案为：．17．解：由题意：S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形E ， S 正方形D ﹣S 正方形C ＝S 正方形E ，∴S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形D ﹣S 正方形C∵正方形B ，C ，D 的面积依次为4，3，9∴S 正方形A +4＝9﹣3，∴S 正方形A ＝2故答案为2．18．解：连接AC ．根据勾股定理可以得到：AB 2＝12+32＝10，AC 2＝BC 2＝12+22＝5，∵5+5＝10，即AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°．故答案为：10，45．三．解答题（共7小题）19．解：（1）在△ABD 中，∵AD 2+BD 2＝122+52＝169，AB 2＝132＝169，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴△ABD 是直角三角形，其中∠ADB ＝90°，∴AD ⊥BC ；（2）∵AD⊥BC，∴∠AD C＝90°，在Rt△ACD中，AD2+CD2＝AC2，即122+CD2＝152，解得：CD＝9或CD＝﹣9（舍）．20．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，梯子距离地面的高度AE＝＝24米．答：此时梯子顶端离地面24米；（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝DE＝＝＝15，∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．答：梯子底端将向左滑动了8米．21．解：（1）如图，过点F作FM⊥AD于点M，在△EDF中，∠EDF＝90°，∠E＝60°，DE＝8，则∠DFE＝30°，故EF＝2DE＝16，DF＝＝＝8，∵AB∥EF，∴∠FDM＝∠DFE＝30°，在Rt△FMD中，MF＝DF＝8×＝4，即点F与AD之间的距离为：4；（2）在Rt△FMD中，DM＝＝＝12，∵∠C＝45°，∠CAB＝90°，∴∠CBA＝45°，又∵∠FMB＝90°，△FMB是等腰直角三角形，∴MB＝FM＝4，∴BD＝MD﹣FM＝12﹣4．22．解：根据题意得；AC ＝30海里，AB ＝40海里，BC ＝50海里；∵302+402＝502，∴△ABC 是直角三角形，∠BAC ＝90°，∴180°﹣90°﹣35°＝55°，∴乙船的航行方向为南偏东55°．23．解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC ＝CA ．设AC 为x ，则OC ＝9﹣x ，由勾股定理得：OB 2+OC 2＝BC 2，又∵OA ＝9，OB ＝3，∴32+（9﹣x ）2＝x 2，解方程得出x ＝5．∴机器人行走的路程BC 是5cm ．24．解：设运动x 秒时，它们相距15cm ，则CP ＝xcm ，CQ ＝（21﹣x ）cm ，依题意有x 2+（21﹣x ）2＝152，解得x 1＝9，x 2＝12．故运动9秒或12秒时，它们相距15cm ．25．定理表述：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．证明：∵S 四边形ABCD ＝S △ABE +S △AED +S △CDE ，＝×2+，又∵S 四边形ABCD ＝＝，∴＝×2+， ∴（a +b ）2＝2ab +c 2，∴a 2+2ab +b 2＝2ab +c 2，∴a 2+b 2＝c 2．。
北师大版八年级第一章勾股定理练习题【带答案解析】
北师⼤版⼋年级第⼀章勾股定理练习题【带答案解析】第⼀章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理⼀、求边长问题. ★★★题型⼀：已知直⾓三⾓形的两边，求第三边.1、【基础题】求出下列两个直⾓三⾓形中x和y边的长度.、【基础题】（1）求斜边长为17 cm，⼀条直⾓边长为15 cm的直⾓三⾓形的⾯积.（2）已知⼀个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平⽅是________.、【综合Ⅰ】已知⼀个等腰三⾓形的两腰长为5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三⾓形的⾯积.、【综合Ⅰ】如图，有两棵树，⼀棵⾼10⽶，另⼀棵⾼4⽶，两树相距8⽶，⼀只⼩鸟从⼀棵树的树梢飞到另⼀棵树的树梢，问⼩鸟⾄少飞⾏（）A．8⽶ B．10⽶C．12⽶D．14⽶、【综合Ⅰ】强⼤的台风使得⼀根旗杆在离地⾯9⽶处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12⽶处，求旗杆折断之前有多⾼？、【综合Ⅱ】如图，某储藏室⼊⼝的截⾯是⼀个半径为 m的半圆形，⼀个长、宽、⾼分别是 m、1 m、 m的箱⼦能放进储藏室吗？题型⼆：⽤“勾股定理 + ⽅程”来求边长.2、【综合Ⅱ】⼀个直⾓三⾓形的斜边为20 cm，且两直⾓边的长度⽐为3∶4，求两直⾓边的长.【综合Ⅱ】如图，⼩明想知道学校旗杆的⾼，他发现旗杆顶端的绳⼦垂到地⾯还多1⽶，当他把绳⼦的下端拉开5⽶后，下端刚好接触地⾯，求旗杆AC的⾼度.、【综合Ⅱ】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了⼀个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有⼀个边长是10尺的正⽅形⽔池，在⽔池正中央有⼀根芦苇，它⾼出⽔⾯1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的⽔⾯，请问这个⽔池的深度和这根芦苇的长度各是多少？【综合Ⅲ】如右上图，有⼀块直⾓三⾓形纸⽚，两直⾓边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直⾓边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．【提⾼题】（2011年北京市竞赛题）两张⼤⼩相同的纸⽚，每张都分成7个⼤⼩相同的矩形，放置如图所⽰，重合的顶点记作A，顶点C在另⼀张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长是 ______ ．类型三：“⽅程＋等⾯积”求直⾓三⾓形斜边上的⾼.3、直⾓三⾓形两直⾓边分别为5、12，则这个直⾓三⾓形斜边上的⾼为（）.（A）6 （B）（C）（D）⼆、⾯积问题. ★4、【基础题】求出左下图中A、B字母所代表的正⽅形的⾯积.、【综合Ⅰ】如右上图，所有的四边形都是正⽅形，所有的三⾓形都是直⾓三⾓形，请在图中找出若⼲图形，使它们的⾯积之和等于最⼤正⽅形1的⾯积，尝试给出两种⽅案.则正⽅形A ，B ，C ，D 的⾯积之和为___________cm 2.、【综合题】如右上图2，以Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直⾓三⾓形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的⾯积为（）.（A ）9 （B ）3 （C ）（D ）5、【综合Ⅲ】如图，在直线l 上依次摆放着七个正⽅形，已知斜放置的三个正⽅形的⾯积分别是1、2、3，正放置的四个正⽅形的⾯积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则1S ＋2S ＋3S ＋4S ＝________三、证明问题 6、【综合Ⅲ】1876年，美国总统加菲尔德利⽤右图验证了勾股定理，你能利⽤左下图验证勾股定理吗？说⼀说这个⽅法和本节的探索⽅法的联系.7、【提⾼题】如右上图，在Rt △ABC 中，∠A ＝ 90，D 为斜边BC 的中点，DE ⊥DF ，求证：222CF BE EF ＋＝.8、【提⾼题】如图，AD 是△ABC 的中线，证明：）＋（＝＋22222CD AD AC AB的尺⼨如图所⽰，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD 的⾯积. 、【综合Ⅰ】如左下图，6个三⾓形分别标号，哪些三⾓形是直⾓三⾓形，哪些不是，请说明理由.、【综合Ⅰ】如右上图，在正⽅形ABCD 中，4＝AB ，2＝AE ，1＝DF ，图中有⼏个直⾓三⾓形，说明理由. 10、【基础题】下列各组中，不能构成直⾓三⾓形三边长度的是（）（A ）9，12，15 （B ）15，32，39 （C ）16，30，34 （D ）9，40，41 、【基础题】（1）如果将直⾓三⾓形的三条边长同时扩⼤⼀个相同的倍数，得到的三⾓形还是直⾓三⾓形吗？（2）下表中第⼀列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意、【综合Ⅰ】如图，直⾓三⾓形ABC 的周长为24，AB 是斜边且AB ：BC=5：3，则AC ＝（）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12第三节勾股定理的应⽤11、【综合Ⅰ】如左下图，有⼀个圆柱，⾼是12 cm，底⾯半径是3 cm，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想吃到上底⾯与A点相对的B点处的⾷物，那么它沿圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（的值取3）、【综合Ⅰ】如右上图，有⼀圆柱形油罐，底⾯周长为24 m，⾼为10 m，从A处环绕油罐建梯⼦，梯⼦的顶端正好到达A点的正上⽅B点，问所建梯⼦最短需多长？12、【综合Ⅰ】如左下图，⼀个⽆盖的长⽅体盒⼦的长、宽、⾼分别为8 cm、8 cm、12cm，⼀只蚂蚁想从盒底的A点沿长⽅体的表⾯爬到盒顶的B点，请问蚂蚁爬⾏的最短路程是多少？、【综合Ⅱ】如右上图，长⽅体的长为15，宽为10，⾼为20，点B离点C的距离是5，⼀只蚂蚁如果要沿着长⽅体的表⾯从点A 爬到点B，需要爬⾏的最短路程是多少？13、【基础题】⼀艘帆船由于风向的原因先向正东⽅向航⾏了160千⽶，然后向正北⽅向航⾏了120千⽶，这时它离出发点有多远？、【基础题】甲、⼄两位探险者到沙漠进⾏探险，某⽇早晨8：00甲先出发，他以6 km／h 的速度向正东⾏⾛，1⼩时后⼄出发，他以5 km／h的速度向正北⾏⾛，上午10：00时，甲⼄⼆⼈相距多远？14、【基础题】如左下图，⼀座城墙⾼⽶，墙外有⼀条宽为9⽶的护城河，那么⼀个长为15⽶的云梯能否到达墙的顶端？、【综合Ⅰ】如右上图，⼀架云梯长25⽶，如图斜靠在⼀⾯墙上，梯⼦底端离墙7⽶.（1）这个梯⼦的顶端距地⾯有多⾼？（2）如果梯⼦的顶端下滑了4⽶，那么梯⼦的底部在⽔平⽅向也滑动了4⽶吗？、【综合Ⅰ】如右上图，在四边形ABCD 中，AD ＝4 cm ，CD ＝3 cm ，AD ⊥CD ，AB ＝12 cm ，BC ＝13 cm ，求四边形ABCD 的⾯积. 16、【综合Ⅲ】如图，Rt△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（） A.35 B. 25C. 4D. 517、【综合Ⅰ】将⼀根长24 cm 的筷⼦置于底⾯直径为5 cm 、⾼为12 cm 的圆柱形⽔杯中，那么筷⼦露在⽔杯外⾯的长度 h （cm ）的取值范围是、【提⾼题】装修⼯⼈购买了⼀根装饰⽤的⽊条，乘电梯到⼩明家安装，如果电梯的长、宽、⾼分别是 m 、 m 、 m ，那么能放⼊电梯内的⽊条的最⼤长度⼤约是多少⽶？你能估计出装修⼯⼈买的⽊条⾄少是多少⽶吗？、【综合Ⅰ】如图，⼩⽅格是边长为1的正⽅形，求ABCD的⾯积.19、【提⾼题】如右上图，是由5个边长相同的⼩正⽅形组成的⼗字，A、B、C均在顶点上，则∠BAC＝．⼀、求边长问题. ★★★题型⼀：已知直⾓三⾓形的两边，求第三边. 1、【答案】 x ＝10，y ＝12 【总结】知道直⾓三⾓形的两边，可以求出第三边，这是勾股定理最常见的应⽤，也是基本的题型。
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理专项练习(含答案)
北师大版数学八年级上册第一章勾股定理专项练习（含答案）练习一1. 如图字母B 所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 1942.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远 的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和 岸边的水平刚好相齐,河水的深度为( ). A.2m B.2.5cm C.2.25m D.3m3.△ABC 中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△A BC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42或32 D.37或334、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一 个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、155. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )A. ab=h 2B. a 2+b 2=2h 2C. a 1+b 1=h 1D. 21a +21b =21h6.已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ） A.512=+PF PE ； B. 512＜PF PE +＜513； C. 5=+PF PE D. 3＜PF PE +＜47．（1）在Rt△ABC 中，∠C=90°．①若AB=41，AC=9，则BC=_______；②若AC=1.5，BC=2，则AB=______，△ABC 的面积为________．8.在布置新年联欢会的会场时,小虎准备把同学们做的拉花用上,•他搬来了一架高为2.5米的梯子,要想把拉花挂在高2.4米的墙上,•小虎应把梯子的底端放在距离墙________米处.9.在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的 速度沿CA-AB-BC 的路径再回到C 点，需要______分的时间.10.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ， A 和B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的 食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点的最短路程是_________B16925第6题11.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0， 则第三边长为＿＿＿＿＿＿.12.如图7所示,Rt△ABC 中,BC 是斜边,将△A BP 绕点A 逆时针旋转后,能与 △ACP′重合,如果AP=3,你能求出PP′的长吗?13.如图4为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的 长度至少需要多少米?14.如图2，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面 用塑料布遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积15．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD 的面积．CBA D16.如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,•则这条小路的面积是多少?5米3米317、4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中 的道理吗？请试一试．b18. 如图3,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M 在CH 上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?19．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h ．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m 处，过了2s •后，测得小汽车 与车速检测仪间距离为50m ．这辆小汽车超速了吗？小汽车观察点小汽车C A20．如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，长BC 为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想 一想，此时EC 有多长？BCB EF21.有一块三角形的花圃ABC,现可直接测得∠A=30,AC=40m,BC=25m,请你求出这 块花圃的面积.22.如图所示,△AB C 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D,且AB+BC=18cm,若要求出CD •和AC 的长,还需要添加什么条件?DCA23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．⑴记正方形ABCD 的边长为11 a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵根据 以上规律写出n a 的表达式．24.已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BC 长为3 p ，BB l 是∠ABC 的平分线交AC 于点B 1，过B 1作B 1B 2⊥AB 于点B 2，过B 2作B 2B 3∥BC 交AC 于点B 3，过B 3作B 3B 4⊥AB 于点B 4，过B 4作B 4B 5∥BC 交AC 于点B 5，过B 5作B 5 B 6⊥AB 于点B 6，…，无限重复以上操作．设b 0=BB l ，b 1=B 1B 2，b 2=B 2B 3，b 3=B 3B 4，b 4=B 4B 5，…，bn=BnBn +1，…．(1)求b 0，b 3的长；(2)求bn 的表达式(用含p 与n 的式子表示，其中n 是正整数)25、已知：在Rt△ABC 中，∠C＝900，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l ． ⑴填表：⑵如果a ＋b －c ＝m ，观察上表猜想：S l＝__________(用含有m 的代数式表示)． ⑶证明⑵中的结论．26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA图（一） 图（二）练习二1. 有五组数：①25，7，24；②16，20，12；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52， 以各组数为边长，能组成直角三角形的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.42.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( ) A.6 B.4.5 C.2.4 D.83.下列各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成 直角三角形的有（ ）A 、5组；B 、4组；C 、3组；D 、2组4.在同一平面上把三边BC=3，AC=4、AB=5的三角形沿最长边AB 翻折后得到 △ABC′，则CC′的长等于（ ） A 、125 ； B 、135 ； C 、56 ； D 、2455、下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形6、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能 构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CD 、GHD. AB 、CD 、EF7.如图4所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D 的面积的和是_______cm 2.7cmDCB A8．已知2条线段的长分别为3cm 和4cm ，当第三条线段的长为_______cm 时，这3条线段能组成一个直角三角形．9、在△ABC 中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．（第6题）10. 传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________11．小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=262……(1)你能发现上式中的规律吗?(2)请你接着写出第五个式子.13．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41……这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究．如果132=b+c，则b、c的值可能是多少14．如图，是一块由边长为20cm的正方形地砖铺设的广场，一只鸽子落在点A 处，它想先后吃到小朋友撒在B、C处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？15．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，点D 在BC 上，AD=12，BD=5，试问AD 平分∠BAC 吗？为什么？CAB16．如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3cm ，BC=12cm ，CD=13cm ，AD=4cm ，东东由此认为这个四边形中∠A 恰好是直角， 你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果 你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断∠A 是直角？DCA B17. 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a 2+b 2=c 2, 或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验!(1)画出任意一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm. 比较a 2+b 2=______c 2(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是a=______mm;b=_______mm;较长的一条边长c=_______mm.比较a 2+b 2=______c 2(填写’’>’’ , ”<’’, 或’’=’’); (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题,你猜想的结论是:_________________. 对你猜想22a b 与2c 的两个关系，利用勾股定理证明你的结论．(1)B A(2)CB A(3)CBA18.如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？ （2）试比较立体图中BAC ∠与平面展开图中B A C '''∠的大小关系？AC B 第17题图(1) 第17题图(2) A ' C 'B ' 第17题图(1)A ' C 'B 'D ' 第17题图(2) A ' C 'B '练习一答案1.C2.A3.C4.C5.D6.A7．（1）①40；②2.5；1.58.0.7 9. 12 10.25dm11.22或13或5 12.PP′=3. 13. 7米 14. 100平方米 15．12.516.=∴EC=84-80=4(m),∴S 阴=4×60=240(m 2).17．由图可知，边长为a 、b 的正方形的面积之和等于边长为c 的正方形的面积18. 25cm19．超速，经计算的小汽车的速度为72km/h20．由条件可以推得FC=4，利用勾股定理可以得到EC=3cm ．21.提示:分锐角、钝角三角形两种情况:(1)S △ABC 2;(2)S △ABC 2.22.提示:可给特殊角∠A=∠BCD=30°,也可给出边的关系,如BC:AB=1:2等等. 23解：⑴11=a ;211222=+=a ()()222223=+=a ;2222224=+=a⑵12-=n n a∵12111==-a ;22122==-a ;22133==-a222144==-a ∴12-=n n a24．(1)b0=2p在Rt△B 1B 2中，b 1=P ．同理．b 2=3 p/2b 3=3p/4(2)同(1)得：b 4=(3 /2)2p ．∴bn=(3 /2)n-1(n 是正整数)．25、⑴填表：⑵S l ＝m 4⑶证明：∵a＋b －c ＝m ，∴a＋b ＝m ＋c ， ∴a 2＋2ab ＋b 2＝m 2＋c 2＋2mc ．∵a 2＋b 2＝c 2，∴2ab＝m 2＋2mc∴ab 2＝14m(m ＋2c) ∴S l ＝12ab a ＋b ＋c ＝14m(m ＋2c)m ＋c ＋c ＝m 426解：（1）方法一：S ＝12×6×4 ＝12方法二：S ＝4×6－12×2×1－12×4×1－12×3×4－12×2×3＝12 （2）（只要画出一种即可）练习二答案1.C2.D3.B4.D5.B6.B7.49 8．5cmcm 9. 108 10. 6,6,10 勾股定理的逆定理11．方法不惟一．如：•分别测量三角形三边的长a 、b 、c （a≤b≤c），然后计算是否有a 2+b 2=c 2，确定其形状12.(1)(n 2-1)2+(2n)2=(n 2+1)2(n>1).(2)352+122=372.13．•其中的一个规律为（2n+1）=2n （n+1）+[2n （n+1）+1]．当n=6时，2n （n+1）、[2n （n+1）+1]的值分别是84、•8514．AB=5cm ，BC=13cm ．•所以其最短路程为18cm15．AD 平分∠BAC．因为BD 2+AD 2=AB 2，所以AD⊥BC，又AB=AC ，所以结论成立16．不正确．增加的条件如：连接BD ，测得BD=5cm ．17.解：若△ABC 是锐角三角形，则有222a b c +>若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<．当△ABC 是锐角三角形时，a cb DC BA证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x -根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==--即222222b x c a ax x -=-+-．∴2222a b c ax +=+∵0,0a x >>，∴20ax >．∴222a b c +>．当△ABC 是钝角三角形时，a cb D C BA证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D ．设CD 为x ，则有222BD a x =-根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=．即2222a b bx c ++=．∵0,0b x >>，∴20bx >，∴222a b c +<．18解：（1如图（1）中的A C ''，在A C D '''Rt △中13C D A D ''''==，，由勾股定理得：A C ''∴==答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）．（2）立体图中BAC ∠为平面等腰直角三角形的一锐角， 45BAC ∴∠=．在平面展开图中，连接线段B C ''，由勾股定理可得：A B B C ''''==又222A B B C A C ''''''+=，由勾股定理的逆定理可得A B C '''△为直角三角形． 又A B B C ''''=，A B C '''∴△为等腰直角三角形．45B A C '''∴∠=． 所以BAC ∠与B A C '''∠相等． D '。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题(带解析)北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题（带解析） 考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 分卷I 分卷I 注释 一、单选题(注释) 1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 A ．b 2=c 2－a 2…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○……………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○学校：___________姓名：___________班级：___________考号：_________…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○A ．b 2=c 2－a 2 B ．a∶b∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A－∠B D ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 更多功能介绍/zt/ 6、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则可知最长边上的高是 A ．48cm B ．4.8cm C ．0.48cm D ．5cm 分卷II 分卷II 注释 评卷人 得分 二、填空题(注释) 7、如图：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA="50" m,CB="40" m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.8、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.9、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米.10、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC 的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC 的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状. 12、若△ABC 的三边长为a,b,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状. （1）a 2+b 2+c 2+200=12a+16b+20c （2）a 3－a 2b+ab 2－ac 2+bc 2－b 3=0 13、等边三角形ABC 内一点P ，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB 的度数. 14、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？ 15、设三角形的三边分别等于下列各组数： ①7，8，10 ②7，24，25 ③12，…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………35，37 ④13，11，10 请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？ 16、作一个三角形，使三边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，哪条边所对的角是直角？为什么？ 17、如图：△ABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且满足关系：a 2+b 2=c 2. 请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b. （1）△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？ （2）∠C′是否等于∠C？ （3）由以上你能判定△ABC 是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………cm,BC="10" cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 19、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 20、在△ABC 中，∠C="90°,AC=2.1" cm,BC="2.8" cm （1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长； （2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长. 21、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积. 22、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………两条直角边的边长分别为a 、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a+b 的正方形内. ①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？ 23、请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………于42+72？ 24、如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离. 25、如下图所示，△ABC 中，AB="15" cm ，AC="24" cm ，∠A=60°，求BC 的长.试卷答案1.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 2.【解析】∵（m2-1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 3.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．4.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………A 、，B 、，D 、，均不能组成直角三角形； C 、，能组成直角三角形，本选项正确. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 5.【解析】 试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理依次分析各项即可. A 、由b 2=c 2-a 2得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； B 、由a ：b ：c=3：4：5得c 2=a 2+b 2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形； C 、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A -∠B 解得∠A=90°，故是故是直角三角形； D 、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形． 故选D ．…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………形的内角和定理 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 6.【解析】 试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解． ： ∵AB 2+AC 2=62+82=100，BC 2=102=100， ∴三角形是直角三角形． 根据面积法求解： 即 解得 故选B. 考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式 点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………7.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可求得结果. 由题意得 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 8.【解析】 试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果. 因为东南和东北方向互相垂直， 根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18， 根据勾股定理得，两船相距海里. 考点：本题考查的是勾股定理的应用 点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 9.【解析】 试题分析：根据勾股定理即可得到结果。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题（附答案详解）1．直角三角形两直角边长为a ，b ，斜边上高为h ，则下列各式总能成立的是（ ） A ．ab=h 2 B ．a 2+b 2=2h 2 C ．111a b h += D ．222111a b h += 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB=5，AD=3，则 BC 的长为（ ）A ．5B ．4C ．10D ．83．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，AB 边如图所示，则使△ABC 是直角三角形的点C 有( )A ．12个B ．10个C ．8个D ．6个4．如图，△ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）A ．222AC DC AD +=B ．222AD DE AE -=C ．222AD DE AC =+ D ．22214BD BE BC -= 5．有以下三角形：①三角形三边之比为2：3：2；②三角形的三边为3，4，5；③三角形三个角分别为20°，70°，90°；④三角形三个角的比为1：2：3．其中不是直角三角形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．46．如图，一只蚂蚁从A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B 点处，如果圆柱的高为8cm ，圆柱的半径为6πcm，那么最短路径AB的长为（）A．8cm B．6cm C．10πcm D．10cm7．如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方差，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断8．将6个边长是1的正方形无缝隙铺成一个矩形，则这个矩形的对角线长等于（）A．37B．13C．37或者13D．37或者1379．在△ABC中，a、b、c分别为三边，给出下列各组条件：①∠A:∠B:∠C=3:4:5；②a:b:c=3:4:5；③a=16，b=63，c=65；④1123A B C ∠=∠=∠；其中，能判定△ABC是直角三角形的有_______个。
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理测试卷(附答案)
13.在
中， ∠ , ∠ , ∠ 的对边分别是 、 、 ，若 2 + 2 = 25, 2 − 2 = 7 ，又 = 5 ，则
最大边上的高为________.
14.如图，H 是△ABC 内一点，BH⊥CH，AH＝6，CH＝3，BH=4，D、E、F、G 分别是 AB、AC、CH、BH 的 中点，则四边形 DEFG 的周长是________.
理由如下：连接 OD． ∵OA=OD ∴∠ODA=∠A 又∵∠BDE=∠A ∴∠ODA=∠BDE ∵AB 是⊙O 直径 ∴∠ADB=90° 即∠ODA+∠ODB=90° ∴∠BDE+∠ODB=90° ∴∠ODE=90° ∴OD⊥DE ∴DE 与⊙O 相切； （2）∵R=5， ∴AB=10， 在 Rt△ABC 中
BC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的⊙O 与 AC 边交于点 D，过点 D 的直线交 BC 边于点 E， ∠BDE=∠A． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O 的半径 R=5，tanA=34 ， 求线段 CD 的长．
15.已知 △
，
延长线于 G，连接
= ， ⊥ ，点 F 在 上，作 ⊥ ， ∠ = 2∠ ， = = 2 ，则
，直线 交 于 E，交 的长为________．
三、解答题（共 7 题；共 55 分）
16.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanC=
1 2
，AC=3
5 ，AB=4，求△ABC 的周长．
19.如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动 后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.2 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
1.1、【基础题】 (1)求斜边长为17 cm , —条直角边长为15 cm 的直角三角形的面积(2)已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是1.2、【综合I 】已知一个等腰三角形的两腰长为 5 cm ,底边长6 cm ，求这个等腰三角形的面积1.3、【综合I 】 如图，有两棵树，一棵高 10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )A . 8 米B . 10 米C . 12 米D . 14 米1.4、【综合I 】强大的台风使得一根旗杆在离地面 9米处折断倒下,之前有多高?1.5、【综合n 】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 m 的箱子能放进储藏室吗？1.2 m 的半圆形，一个长、宽、高分别是 1.2 m 、1 m 、0.8题型二：用“勾股定理 +方程”来求边长2、【综合n 】 一个直角三角形的斜边为 20 cm ，且两直角边的长度比为 3 : 4,求两直角边的长2.1【综合n 】 如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC 的高度.第一章勾股定理分节练习 第1节探索勾股定理一、求边长问题.★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边1、【基础题】 求出下列两个直角三角形中 x 和y 边的长度.1米，当他把绳子的下端2.2、【综合n 】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是 10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？2.3【综合川】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6 cm , BC = 8 cm ,现将直角边 AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与AE 重合，求CD 的长.2.4【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示,重合的顶点记作 A ，顶点C 在另一张纸的分隔线上，若BC^/28，则AB 的长是 ___________ .13二、面积问题. ★4、【基础题】求出左下图中 A 、B 字母所代表的正方形的面积4.1、【综合I 】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使 它们的面积之和等于最大正方形1的面积，尝试给出两种方案.类型三:“方程+等面积”求直角三角形斜边上的高3、直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为(A ) 6 (B ) 8.5（C ）20134.2、【综合I 】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm ，则正方形 A , B ，C , D 的面积之和为 ______________________ cm 2.Si A$2 ◊A Si三、证明问题6、【综合川】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗？说一说这个 方法和本节的探索方法的联系 •8、【提高题】 如图，AD 是厶ABC 的中线，证明： AB 2+ AC 2=2( AD 2+ CD 2)4.3、【综合题】如右上图 2，以Rt A ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边 则图中阴影部分的面积为()•99(A ) 9( B ) 3(C )( D -4 2AB = 3，5、【综合川】如图，在直线 I 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、 S 3、S 4，则 S i + S 2 + S 3 + S 4 = _____________7、【提高题】 如右上图，在 Rt A ABC 中，/ A = 90 ，D 为斜边BC 的中点，DE 丄DF ，求证:EF 2= BE 2+ CFA第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示， 按规定这个零件中/ A 和/ DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边 的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗？并求出四边形ABCD 的面积.10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）(A) 9, 12, 15 (B ) 15, 32, 39 (C ) 16, 30, 3410.1、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？ （2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的 2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗？任意正整数倍呢？说说你的理由。
北师大版数学八年级上册第一章《勾股定理》单元培优练习题卷(解析版)
《勾股定理》单元培优练习卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12．AC＝16，则AB的长为（）A．26 B．18 C．20 D．212．若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比可以为（）A．2：3：4 B．7：24：25 C．5：12：14 D．4：6：103．已知直角三角形的两直角边长分别为3和4，则斜边上的高为（）A．5 B．3 C．1.2 D．2.44．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝5cm，BC＝13cm，BD是AC边上的中线，则△BCD的面积是（）A．15cm2B．30cm2C．60cm2D．65cm25．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE＝a，HG＝b，则斜边BD的长是（）A．B．C．a+b D．a﹣b6．在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝9，则这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7．如图，△ABC中，∠ACB＝135°，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝6，BD＝20，则CD的长为（）A．B．C．D．48．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2B．（a﹣b）2＝c2C．a2+b2＝c2D．a2﹣b2＝c29．一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（）A．8 B．10 C．24 D．4810．如图，公园里有一块草坪，已知AB＝3米，BC＝4米， CD＝12米，DA＝13米，且AB ⊥BC，这块草坪的面积是（）A．24平方米B．36平方米C．48平方米D．72平方米二．填空题11．△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝10，则b＝．12．如图，一棵大树在离地面4米高的B处折断，树顶A落在离树底端C的5米远处，则大树折断前的高度是米．（结果保留根号）13．如图，△A BC中，AC＝6cm，AB＝8cm，BC＝10cm，DE是边AB的垂直平分线，则△ADC 的周长为cm．14．如图所示：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S 3表示，若S1＝25，S3＝9，则BC的长为．15．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．16．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这条边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，一条直角边为3，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”的长等于．三．解答题17．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．（1）求证：△ADC是直角三角形；（2）求BC的长18．小东拿着一根长竹竿进一个宽为5米的矩形城门，他先横着拿但进不去；又竖起来拿，结果竹竿比城门还高1米，当他把竹竿左右斜着拿时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？19．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）20．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）△ABC的周长；（2）请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；（3）△ABC的面积；（4）点C到AB边的距离．21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，求BD 及CD的长．22．为了积极响应国家新农村建设，长沙市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝30cm，点P 从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当∠PQC＝150°时，求t的值；（2）当PQ＝CD时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12．AC＝16，∴AB＝＝＝20，故选：C．2．解：A、（2x）2+（3x）2＝13x2，（4x）2＝16x2，（2x）2+（3x）2≠（4x）2，不能组成直角三角形；B、（7x）2+（24x）2＝625x2，（25x）2＝625x2，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，能组成直角三角形；C、（5x）2+（12x）2＝169x2，（14x）2＝196x2，（5x）2+（12x）2≠（14x）2，不能组成直角三角形；D、4+6＝10，不能组成三角形；故选：B．3．解：设斜边上的高为h，由勾股定理得，三角形的斜边长＝＝5，则×3×4＝×5×h，解得，h＝2.4，故选：D．4．解：由勾股定理得，AC＝＝12，∵BD是AC边上的中线，∴CD＝AD＝6，∴△BCD的面积＝×5×6＝15（cm2），故选：A．5．解：设CD＝x，则DE＝a﹣x，∵HG＝b，∴AH＝CD＝AG﹣HG＝DE﹣HG＝a﹣x﹣b＝x，∴x＝，∴BC＝DE＝a﹣＝，∴BD2＝BC2+CD2＝（）2+（）2＝，∴BD＝，故选：B．6．解：∵72+82＞92，∴这个三角形是锐角三角形，故选：A．7．解：作BH⊥AC交AC的延长线于H，设BH＝x，∵∠ACB＝135°，∴∠HCB＝45°，∴CH＝x，由勾股定理得，BC＝x∴CD＝＝，AH＝＝，∵∠ADC＝∠AHB，∠A＝∠A，∴△ADC∽△AHB，∴＝，即＝，解得，x＝4，∴CD＝＝4，故选：D．8．解：根据题意得：S＝（a+b）（a+b），S＝ab+ab+c2，∴（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，即（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，整理得：a 2+b 2＝c 2．故选：C ．9．解：设另一直角边长为x ，则斜边长为（x +2），由勾股定理得，x 2+62＝（x +2）2， 解得，x ＝8，∴该三角形的面积＝×6×8＝24，故选：C ．10．解：则由勾股定理得AC ＝5米，因为AC 2+DC 2＝AD 2，所以∠ACD ＝90°． 这块草坪的面积＝S Rt △ABC +S Rt △ACD ＝AB •BC +AC •DC ＝（3×4+5×12）＝36米2． 故选：B ．二．填空题11．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，c ＝10，∴b ＝＝＝6，故答案是：6．12．解：设这棵大树在折断之前的高度为x 米，根据题意得，42+52＝（x ﹣4）2，∴x ＝4+或x ＝4﹣＜0（舍）∴这棵大树在折断之前的高度为（4+）米， 故答案为：（4+）．13．解：∵DE 是边AB 的垂直平分线，BC ＝10cm ，AC ＝6cm ，∴AD ＝BD ，∴△ADC 的周长＝AD +DC +AC ＝BD +DC +AC ＝BC +AC ＝16cm ；故答案为：16．14．解：设Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，∴S 1＝a 2＝25，S 1＝b 2，S 3＝c 2＝9，∵△ABC 是直角三角形，∴c 2+b 2＝a 2，即S 3+S 2＝S 1，∴S2＝S1﹣S3＝25﹣9＝16，∴BC＝4，故答案为：4．15．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：BC＝＝5，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．16．解：“有趣中线”有三种情况：若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，不合题意；若直角边BC为3，“有趣中线”为AC边上的中线，有趣中线”的长＝3；若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线，BC＝3，如图所示：设BD＝2x，则CD＝x，在Rt△CBD中，根据勾股定理得：BD2＝BC2+CD2，即（2x）2＝32+x2，解得：x＝，则△ABC的“有趣中线”的长＝2；综上所述，这个三角形“有趣中线”的长等于3或2．三．解答题（共7小题）17．（1）证明：∵AB＝13c cm，BD＝8cm，∴AD＝AB﹣BD＝5cm，∴AC＝13cm，CD＝12cm，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形；（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm），即BC的长是4cm．18．解：设竹竿长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得：x2＝（x﹣1）2+52，解得：x＝13答：竹竿长13米．19．解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝15（米），∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10（米），∴AD＝＝＝6（米），∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米．20．解：（1）根据勾股定理知，BC＝＝，AC＝＝，AB＝＝，故△ABC的周长＝AB+BC+AC＝++；（2）△ABC不是直角三角形，理由如下：由（1）可知，BC＝，AC＝，AB＝，AC＜BC＜AB，∵A C2+BC2＝AB2，∴△ABC不是直角三角形；（3）如图，S△ABC ＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF＝3×3﹣×1×3﹣×1×2﹣×2×3＝；（3）设点C到AB的距离是h．由（3）知，三角形ABC的面积是，则AB•h＝，即×h＝，解得，h＝，即点C到AB的距离为．21．解：作DE⊥BC于E，在Rt△ABD中，BD＝＝＝2，在Rt△DEB中，∠CBD＝30°，∴DE＝BD＝1，在Rt△EDC中，∠C＝45°，∴EC＝DE＝1，由勾股定理得，CD＝＝＝．22．解：（1）村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，∴村庄能听到宣传；（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，∴BP＝BQ＝＝600米，∴PQ＝1200米，∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4分钟，∴村庄总共能听到4分钟的宣传．23．解：（1）作PE⊥BC于E，由题意得，AP＝t，QC＝3t，则BE＝AP＝t，∴QE＝30﹣4t，∵∠PQC＝150°，∴∠PQE＝30°，∴QE＝PE，即30﹣4t＝8，解得，t＝﹣2；（2）∵当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，则PQ＝CD，∴24﹣t＝3t，解得，t＝6（s）；当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD．设运动时间为t秒，则有AP＝tcm，CQ＝3tcm，∴BQ＝30﹣3t，作PM⊥BC于M，DN⊥BC于N，则NC＝BC﹣AD＝30﹣24＝6．∵梯形PQCD为等腰梯形，∴NC＝QM＝6，∴BM＝（30﹣3t）+6＝36﹣3t，∴当AP＝BM，即t＝36﹣3t，解得t＝9，∴t＝9s时，四边形PQCD为等腰梯形．综上所述t＝6s或9s时，PQ＝CD．。
北师大版八年级(上册)数学第一章勾股定理练习题(带解析)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理练习题（带解析）考试围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1. 答题前填写好自己的、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上分卷I分卷I 注释 一、单选题(注释)1、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A ．b 2=c 2－a 2B ．a∶b∶c=3∶4∶5C ．∠C=∠A－∠BD ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶152、如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2m ，m 2+1(m ＞1)那么A ．△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1 B ．△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC ．△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D ．△ABC 不是直角三角形3、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是A ．42B ．52C ．7D ．52或74、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是 A ．5，6，7 B ．1，4，9 C ．5，12，13 D ．5，11，125、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是A ．b 2=c 2－a 2B ．a∶b∶c=3∶4∶5C ．∠C=∠A－∠BD ．∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15 更多功能介绍www.ykw18./zt/6、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB=8cm ，AC=6cm ，BC=10cm ，则可知最长边上的高是 A ．48cm B ．4.8cm C ．0.48cm D ．5cm分卷II分卷II 注释评卷人得分二、填空题(注释)7、如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC 方向上任取一点C，若测得CA="50" m,CB="40" m，那么A、B两点间的距离是_________.8、有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距________海里.9、某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取________米.10、阅读下列解题过程：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判定△ABC的形状.解：∵a2c2－b2c2=a4－b4①∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2) ②∴c2=a2+b2 ③∴△ABC是直角三角形问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_________；错误的原因为_________；本题正确的结论是_________.11、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.12、若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c（2）a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=013、等边三角形ABC一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.14、一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？15、设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？16、作一个三角形，使三边长分别为3cm，4cm，5cm，哪条边所对的角是直角？为什么？17、如图：△ABC的三个角∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，且满足关系：a2+b2=c2.请作一个三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b.（1）△A′B′C′是否全等于△ABC？为什么？（2）∠C′是否等于∠C？（3）由以上你能判定△ABC是直角三角形吗？请你想一想，三角形三条边长满足什么关系，这个三角形一定是直角三角形？18、如图，已知长方形ABCD中AB="8" cm,BC="10" cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.19、如图：要修建一个育苗棚，棚高h="1.8" m,棚宽a="2.4" m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？20、在△ABC中，∠C="90°,AC=2.1" cm,BC="2.8" cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长；（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.21、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.22、下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？23、请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？24、如下图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点.求B点到入射点的距离.25、如下图所示，△ABC中，AB="15" cm，AC="24" cm，∠A=60°，求BC的长.试卷答案1.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.2.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理即可判断.∵（m2-1）2+（2 m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，故选A.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.3.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理列出方程解即可．根据勾股定理的逆定理列出方程解则可，有42是斜边或者x2是斜边两种情况．当42是斜边时，32+x2=42，x2=42-32=7；当x2是斜边时，x2=32+42=52，故选D．考点：本题考查了勾股定理的逆定理点评：在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行计算．注意本题有两种情况．4.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理依次分析各项即可.A、，B、，D、，均不能组成直角三角形；C、，能组成直角三角形，本选项正确.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.5.【解析】试题分析：根据勾股定理的逆定理及三角形的角和定理依次分析各项即可.A、由b2=c2-a2得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；B、由a：b：c=3：4：5得c2=a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；C、由三角形三个角度数和是180°及∠C=∠A-∠B解得∠A=90°，故是故是直角三角形；D、由∠A：∠B：∠C=12：13：15，及∠A+∠B+∠C=180°得∠A=54°，∠B=58.5°，∠C=67.5°，没有90°角，故不是直角三角形．故选D．考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形的角和定理点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.6.【解析】试题分析：先根据勾股定理的逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据面积法求解．：∵AB2+AC2=62+82=100，BC2=102=100，∴三角形是直角三角形．根据面积法求解：即解得故选B.考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形的面积公式点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.7.【解析】试题分析：根据勾股定理即可求得结果.由题意得考点：本题考查的是勾股定理的应用点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.8.【解析】试题分析：首先根据方位角知该三角形是一个直角三角形．再根据路程=速度×时间．分别计算两条直角边是16×1.5=24，12×1.5=18．再根据勾股定理即可求得结果.因为东南和东北方向互相垂直，根据题意两条直角边为16×1.5=24，12×1.5=18，根据勾股定理得，两船相距海里.考点：本题考查的是勾股定理的应用点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：即任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.9.【解析】试题分析：根据勾股定理即可得到结果。
北师大版八年级(上)第一章勾股定理练习题(分节练习)【带答案解析】
第一章勾股定理分节练习第1节探索勾股定理一、求边长问题•★★★题型一：已知直角三角形的两边，求第三边1、【基础题】求出下列两个直角三角形中x和y边的长度.8、【基础题】（1）求斜边长为17 cm , —条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.（2）已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是______________、【综合I】已知一个等腰三角形的两腰长为 5 cm，底边长6 cm，求这个等腰三角形的面积、【综合I】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米,只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A. 8 米B . 10 米 C. 12 米D. 14 米、【综合I】强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，求旗杆折断之前有多咼、【综合n】如图，某储藏室入口的截面是一个半径为别是m、1 m、m的箱子能放进储藏室吗题型二：用“勾股定理+方程”来求边长2、【综合n】一个直角三角形的斜边为20 cm ,且两直角边的长度比为 3 : 4,求两直角边的长m的半圆形，一个长、宽、高分【综合n】如图，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面，求旗杆AC的高度.、【综合n】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问趣，这个问题的意思是：如左下图，有一个边长是10尺的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边中点的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少1尺，如果把这根芦苇【综合川】如右上图，有一块直角三角形纸片，两直角边它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的AC= 6 cm BC= 8 cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使【提高题】（2011年北京市竞赛题）两张大小相同的纸片，每张都分成7个大小相同的矩形，放置如图所示, 重合的顶点记作A,顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC= J28，则AB的长是__________类型三: “方程+等面积”求直角三角形斜边上的高3、直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为(A) 6(B)(C)田13(D)6013、面积问题•★4、【基础题】求出左下图中A、B字母所代表的正方形的面积U、【综合I 】如右上图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干图形，使它们的面积之和等于最大正方形 1的面积，尝试给出两种方案•、【综合I 】如左下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm,2 则正方形 A , B, C , D 的面积之和为 ______________ cm.、【综合题】如右上图 2，以Rt △ ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB= 3,则图中阴影部分的面积为( )• 99 (A ) 9 ( B ) 3 (C ) ( D -42三、证明问题5、【综合川】如图，在直线I 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置 的四个正方形的面积依次是 S 3、S 4，则 S i + S 2 + S 3 + S 4 = ____________6、【综合川】1876年，美国总统加菲尔德利用右图验证了勾股定理，你能利用左下图验证勾股定理吗说一说这个方 法和本节的探索方法的联系&【提高题】 如图，AD 是厶ABC 的中线，证明： AB 2+ AC 2=2(AD 2+ CD 2)7、【提高题】如右上图，在 Rt △ ABC 中，/ A = 90 , D 为斜边BC 的中点，DE ± DF,求证:EF 2= BE 2+ CF第2节 一定是直角三角形吗9、【基础题】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中/A 和/ DBC 都应为 直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图所示，这个零件符合要求吗并求出四边形ABCD 勺面积. 、【综合I 】如左下图，6个三角形分别标号，哪些三角形是直角三角形，哪些不是，请说明理由、【综合I】如右上图，在正方形ABCD中，AB = 4, AE = 2 , DF =1，图中有几个直角三角形，说明理由10、【基础题】下列各组中，不能构成直角三角形三边长度的是（）（A）9，12，15 （B）15，32，39 （C）16，30，34、【基础题】（1）如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗（2）下表中第一列每组数都是勾股数，补全下表，这些勾股数的2倍、3倍、4倍、10倍还是勾股数吗任意正整数倍呢说说你的理由。
北师大版数学八年级上册 第一章 《勾股定理》 培优测试试题(含答案)
《勾股定理》培优测试题一．选择题1．下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．1，2，B．1，2，C．3，4，5 D．6，8，122．下列四组数据中是勾股数的有（）①5、7、8 ②、3③9、12、15 ④n2+1，n2﹣1 2n（n＞1）A．1组B．2组C．3组D．4组3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则AB＝（）A．B．5 C．D．34．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（）A．B．C．D．5．如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（）A．144 B．194 C．12 D．136．如图，一架梯子斜靠在墙上，设梯子AB的中点为O，AB＝6米，BC＝2米，若梯子B端沿地面向右滑行1米，则点O到点C的距离（）A．减小1米B．增大1米C．始终是2米D．始终是3米7．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm8．如图，某小区有一块直角三角形的绿地，量得两直角边AC＝4m，BC＝3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一直角边的直角三角形，则扩充方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种9．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m10．如图所示的是一扇高为2m，宽为1.5m的长方形门框，光头强有一些薄木板要通过门框搬进屋内，在不能破坏门框，也不能锯短木板的情况下，能通过门框的木板最大的宽度为（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m二．填空题11．△ABC中，∠C＝90°，a＝8，c＝10，则b＝．12．如图所示的一块地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，这块地的面积为．13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32＝4+5；列举：5、12、13，猜想：52＝12+13；列举：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列举：13、b、c，猜想：132＝b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝，c＝．14．一架5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙脚3m，若梯子的顶端下滑1m，则梯足将滑动．15．如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为cm．16．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线DE垂直平分BF，垂足为D．当△ACF是直角三角形时，BD的长为．三．解答题17．已知：四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，CD＝12，DA＝9；（1）求AC的长；（2）求四边形ABCD的面积．18．计算：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，求c（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．19．如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b，利用这个图试说明勾股定理．20．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过60千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方30米C处，过了2秒后到达B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，请问这辆小汽车超速了吗？为什么？若超速，则超速了多少？21．如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为多少厘米？22．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．（1）填表：三边a、b、c a+b﹣c3、4、5 25、12、13 48、15、17 6（2）如果a+b﹣c＝m，观察上表猜想：＝（用含有m的代数式表示）．（3）证明（2）中的结论．23．如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在这条路上通行吗？参考答案一．选择题1． D．2． A．3． A．4． C．5． A．6． D．7． B．8． B．9． A．10． C．二．填空题11． 6．12． 24（m2）．13．解：在32＝4+5中，4＝，5＝；在52＝12+13中，12＝，13＝；…则在13、b、c中，b＝＝84，c＝＝85．14． 1m．15．+．16．2或．三．解答题17．解：（1）∵AC⊥BC，AB＝17，BC＝8，∴AC＝＝＝15；（2）∵122+92＝152，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠D＝90°，∴四边形ABCD的面积为：×8×15+12×9＝60+54＝114．18．解：（1）利用勾股定理，得c＝＝＝17，即c＝17；（2）利用勾股定理，得c＝＝＝5，即c＝5；（3）5cm是直角边时，第三边＝＝cm，5cm是斜边时，第三边＝＝4cm，所以，第三边长为或4．19．解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（a﹣b）2，所以c2＝4×ab+（a﹣b）2，即c2＝a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．20．解：根据题意，得AC＝30m，AB＝50m，∠C＝90°，在Rt△ACB中，根据勾股定理，BC2＝AB2﹣AC2＝502﹣302＝402，所以BC＝40，小汽车2秒行驶40米，则1小时行驶20×3600＝72000（米），即小汽车行驶速度为72千米/时，因为 72＞60，所以小汽车超速行驶．21．解：如图所示，在Rt△ABD中，BD＝6，AD＝8，∴AB＝＝10∵BC＝24，∴AC＝24﹣10＝14cm，∴筷子露在杯子外面的长度至少为24﹣10＝14cm．22．解（1）三边a、b、c a+b﹣c3、4、5 25、12、13 4 18、15、17 6故答案为：，1；；（2）．故答案为：．（3）证明：在Rt△ABC中，∵a2+b2＝c2，∴2ab＝（a+b）2﹣c2即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c），＝ab＝S，∵S△ABC∴2ab＝4S，∵a+b+c＝l a+b﹣c＝m 2ab＝4S 2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c），∴4S＝l×m，∴．23．解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，∵由题意得AC＝9，AB＝AD＝41，AC⊥BD，∴Rt△ACB中，BC＝，Rt△ACD中，DC＝，∴BD＝80，∴80÷4＝20（s），∴受影响时间为20s；∵20＜25，∴可以通行．。
北师大版八年级勾股定理练习题集(含答案解析)
北师大版八年级数学上勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定 6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 33 7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d（C ）2d （D ）d8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3B ：4C ：5D ：79．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形 11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿. 13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形． 15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．17．若三角形的三个角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是 ．ACB二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？AECDB5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？A小汽车小汽车BC 观测点答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3． 解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长. 答案：C ．4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解. 答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角． 8． 解析：由三角形的角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3． 9． 解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5． 答案：cm 5． 二、综合发展11． 解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm13．解析：透最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解. 答案：6.5s ． 15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ． 答案：这辆小汽车超速了．。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题1(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合培优测试题1（附答案详解）1．如图，在一个高为6米，长为10米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少是（ ）A ．6米B ．10米C ．14米D ．16米2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，6D ．1，3，2 3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，则下列结论正确的是( )A ．AB=AC+BCB ．AB=AC·BC C ．AB 2=AC 2+ BC 2D ．AC 2=AB 2+BC 2 4．如图，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为3，如果用一根无弹力的细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短的是( )A ．3B ．4C ．5D ．85．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,3，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 的坐标为（ ）A ．()1,0B ．()1,0-C ．()5,0-D ．()5,06．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A ．5B ．4C ．4. 25D ．154 7．Rt ABC ∆中两条边的长分别为1a =，2b =，则第三边c 的长为（ ）A ．5B ．3C ．5或3D ．无法确定 8．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．6，8，10B ．9，12，15C ．4，5，6D ．9，40，41 9．如图，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若AM ＝3，MN ＝5，则BN 的长为______________．10．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形，证明了勾股定理．如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为_．11．已知，如图所示，Rt △ABC 的周长为4+23，斜边AB 的长为23，则Rt △ABC 的面积为_____．12．如图，某港口P 位于南北延伸的海岸线上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同时离开港口P ，各自沿固定方向航行，“远洋”号每小时航行12n mile ，“长峰”号每小时航行16n mile ，它们离开港东口1小时后，分别到达A ，B 两个位置，且AB=20n mile ，已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，那么“长峰”号航行的方向是________.13．河堤的横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3，则AB的长是（）A．53B．5 C．103D．1014．在平面直角坐标系中,以A(2,4)为一个顶点画两边长分别为1,3的长方形，使它的两边分别与坐标轴平行，若其中一个顶点到原点的距离为50，写出该顶点的坐标____. 15．一个直角三角形的两边分别是22，23，且第三边长是整数，则它的第三边长是__________；16．小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要________分钟.17．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1.线段AB，AE分别是图中两个1×3的长方形的对角线，请你说明：AB⊥AE.18．定义：有一组对边相等而另一组对边不相等．．．．．．．．的凸四边形叫做“等对边四边形”.的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上.在图（1）己知：图①、图②是55①、图②中，按要求以AB、BC为边各画一个等对边四边形ABCD.要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等.（2）如图③，在Rt△BCP中，∠C=90°，点A是BP的中点，BP=13，BC=5，点D在边CP 上运动，设CD=x ，直接写出四边形ABCD 为等对边四边形时x 的值为_____________.19．如图，一根直立的旗杆高8m ,因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着地且离旗杆底部A4m .（1）求旗杆距地面多高处折断；（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C 的下方1.25m 的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D 处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 20．为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测， C 处地下有水，为此C 处需要爆破，已知C 处与公路上的停靠站A 的距离为300m ，与公路上的另一停靠站B 的距离为400m ，且CA CB ⊥，如图所示，为了安全，爆破点C 周围250m 的范围内禁止进入，向在进行爆破时，公路AB 段某部分是否有危险而需要暂时封锁？21．如图，所是一块草坪已知：AD=12m ，CD=9m ，∠ADC=90°，AB=39m ， BC=36m ，求这块草坪的面积.22．如图所示，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，点,D E 在AB 上，且45DCE ∠=，2BE =，3AD =．将BCE ∆绕点C 逆时针旋转90，画出旋转后的图形，并求DE 的长．23．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长度．24．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问霞长几何.注释：今有正方形水池边长1丈，芦苇生长在中央，长出水面1尺.将芦苇向池岸牵引，恰好与水岸齐，问芦苇的长度（一丈等于10尺）.解决下列问题：（1）示意图中，线段AF的长为______尺，线段EF的长为______尺；（2）求芦苇的长度.参考答案1．C【解析】【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度，地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是米．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．2．D【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．【详解】解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；B、22+32=13≠42，故不符合题意；C、32+42=25≠62，故不符合题意；D、12+23=4=22，符合题意.故选D.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．3．C【解析】【分析】在△ABC中，∠C=90°，是直角三角形．根据勾股定理即可得出结论【详解】解：∵∠C=90°所对的边是AB是斜边,根据勾股定理∴AB2=AC2+ BC2故选C【点睛】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．4．C【解析】【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图所示，22．43故选C．【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题关键．5．B【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，由于AB=AC，可求出AC的长，再根据点C在x轴的负半轴上即可得出结论．【详解】解：∵点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(0，3)，∴OA=4，OB=3，∴，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴AC=5，∴OC=1，∴点C的坐标为(-1，0).故选B.【点睛】本题考查的是勾股定理在直角坐标系中的运用，根据题意利用勾股定理求出AC的长是解答此题的关键．6．D【解析】【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【详解】解：由折叠的性质可得AE=A1E，∵△ABC为等腰直角三角形，BC=6，∴AB=6，∵A1为BC的中点，∴A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【点睛】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．7．C【解析】【分析】分b是直角边、b是斜边两种情况，根据勾股定理计算．【详解】解：当b是直角边时，斜边当b是斜边时，直角边则第三边c故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A．∵62+82=102，∴三边为6、8、10能组成直角三角形，故本选项错误；B．∵92+122=152，∴三边为9、12、15能组成直角三角形，故本选项错误；C．∵42+52≠62，∴三边为4、5、6不能组成直角三角形，故本选项正确；D．∵92+402=412，∴三边为9、40、41能组成直角三角形，故本选项错误，故选C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．9．4【解析】【分析】分两种情况，（1）当MN是最大线段时，利用勾股定理求出BN，（2）BN是最大线段时，利用勾股定理求出BN即可.【详解】（1）当MN是最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN=22-=4，53-= 22MN AM（2）（1）当BN是最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN=22+=34，53+= 22MN AM故BN的长为4或34【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论.10．24【解析】【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可；设小正方形的边长为x，已知a=3，b=4，得AB=3+4=7，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3+x)2+(x+4)2=72；整理得x2+7x-12=0，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积.【详解】如图.设小正方形的边长为x，∵a=3，b=4，∴AB=3+4=7.在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(3+x)2+(x+4)2=72，整理得，x 2+7x-12=0，解得x =x =，∴该矩形的面积773424)().22(--+=++= 故答案为24.【点睛】考查勾股定理，设出正方形的边长，根据勾股定理列出方程是解题的关键.11．1.【解析】【分析】设AC=a ，BC=b ，根据题意列出关于a 、b 的方程组，然后解方程得到ab 的值，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】设AC=a ，BC=b ，由题意得(2224a b a b ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩， ∴22412a b a b +=⎧⎨+=⎩， ∴（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=12+2ab=16，∴ab=2，则Rt △ABC 的面积为12ab=1. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程组，然后求得ab 的值. 12．南偏东30°【解析】【分析】直接得出AP=12 n mile ，PB=16 n mile ，AB=20 n mile ，利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案.【详解】如图，由题意可得：AP=12 n mile，PB=16 n mile，AB=20 n mile，∵122+162=202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB=90°，∵“远洋”号沿着北偏东60°方向航行，∴∠BPQ=30°，∴“长峰”号沿南偏东30°方向航行；故答案为南偏东30°.【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．13．D【解析】【分析】结合已知, 根据坡比的定义可得BC:AC=1: 3再结合BC的长, 即可求出AC的长,由勾股定理可得AB的长.【详解】解:河坝横断面迎水坡AB的坡比是1: 3BC:AC=1: 3又堤高BC=5米,∴AC=53米. 可得AB=22AC BC +=225(53)+=10米故选D.【点睛】 此题考查坡度坡角问题及勾股定理, 掌握坡度的概念是解题的关键.14．(1,7)或(5，5)【解析】【分析】根据题意画出图形，根据2222501755=+=+找出相应点.【详解】已知如图所示，因为2222501755=+=+所以，结合图可得该顶点的坐标是(1,7)或(5，5).故答案为：(1,7)或(5，5)【点睛】考核知识点：勾股定理.根据题意画出图形是关键.15．2【解析】【分析】直接利用勾股定理结合整数的定义分析得出答案． 【详解】 ∵直角三角形中，如果有两条边长分别为22，23，且第三条边长为整数，∴当第三边为斜边则长度为：()()22222325+=（不合题意舍去） ， 当23为斜边，则第三边长为：()()2223222-= ， 故答案为：2．【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理的定义是解题关键．16．2.05【解析】【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可．【详解】如图：AC=40米，BC=9米，根据勾股定理得：22409+=41(米)，41÷20=2.05.故答案为2.05；【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于画出图形.17．△ABE 是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE【解析】【分析】由勾股定理分别求得AE 、AB 、BE 的值，再证明AE 2+AB 2=BE 2，即可证明AB ⊥EA ．【详解】如图，连接BE.因为AE2=12＋32=10，AB2=12＋32=10，BE2=22＋42=20，所以AE2＋AB2=BE2，所以△ABE是直角三角形，且∠BAE=90°，即AB⊥AE.【点睛】本题考查在网格中运用勾股定理及其逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．18．（1）见解析；（2）132或6+6+53或6-53．【解析】【分析】（1）根据对等四边形的定义，进行画图即可；（2）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=132；②若AD=BC，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=5；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答．【详解】（1）如图①②所示，四边形ABCD即为所求；（2）如图③所示，当AB=CD 时，此时点D 位于D 1位置，CD 1=AB=12BP=132； 当BC=AD=5时，此时点D 位于D 2、D 3位置，过点A 作AE ⊥PC ，则AE 为△PBC 的中位线，∴AE=12BC=52，CE=12PC=6，∴，∴或，故答案为132或6+2或6-2． 【点睛】主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对边四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用．19．（1）旗杆距地面3m 处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【解析】【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB 2+AC 2=BC 2，又因为AB=4米，即可求得AC 的长；（2）易求D 点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB 2+AC 2=BC 2，又∵AB=4米，∴AC=3米，BC=5米，∴旗杆距地面3m 处折断；（2）如图，∵D 点距地面AD=3-1.25=1.75米，∴BD=8-1.75=6.25米，∴AB=22BD AD -=6米，∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．20．有危险.【解析】【分析】如图，本题需要判断点C 到AB 的距离是否小于250米，如果小于等于则有危险，大于则没有危，因此过C 作CD ⊥AB 于D ，利用三角形的面积公式即可求出CD ，然后和250米比较大小即可判断需要暂时封锁.【详解】因为CA CB ⊥，400m BC =，300m AC =，由勾股定理，得500m AB =.如图，过点C 向AB 作垂线，交AB 于点D .由直角三角形面积公式，得BC AC AB CD ⋅=⋅，即400300500CD ⨯=，所以240m 250m CD =<.所以公路AB 段某部分有危险需要暂时封锁.本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.21．324m 2【解析】【分析】连接AC ，根据直角△ACD 可以求得斜边AC 的长度，根据AC ，BC ，AB 可以判定△ABC 为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC 与△ACD 的面积之和即可．【详解】解：连接AC ，已知，在直角△ACD 中，CD=9m ，AD=12m ，根据AD 2+CD 2=AC 2，可以求得AC=15m ，在△ABC 中，AB=39m ，BC=36m ，AC=15m ，∴存在AC 2+CB 2=AB 2，∴△ABC 为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC 和△ACD 的面积之差即可，S=S △ABC +S △ACD1122AC BC CD AD =⋅+⋅， 11153691222=⨯⨯+⨯⨯， =270+54，=324（m 2），答：这块地的面积为324m 2．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中正确的判定△ABC 是直角三角形是解题的关键．2213【分析】 将△CEB 绕点C 逆时针旋转90°，得到△ACE′，连结DE′，根据旋转的性质可得CE ＝C E′，AE′＝BE ，再求出△ADE′是直角三角形，然后勾股定理得出22222313DE AE AD ''=+=+=，再根据∠ACE′＝∠BCE ，∠CAE′＝∠B ＝45°，然后求出∠DCE′＝45°，从而得到∠DCE ＝∠DCE′，再利用“边角边”证明△E′CD ≌△DCE ，根据全等三角形对应边相等可得DE= DE′=13，【详解】解：如图，由旋转性质知CAE B '∠=∠，∴90B BAC CAE BAC '∠+∠=∠+∠=︒，即90DAE '∠=︒，∴2AE BE '==，在Rt ADE '∆中，22222313DE AE AD ''=+=+=，∵45DCE ∠=，∠ECB=∠E′CA ，∴∠ECB+∠DCA=∠E′CA+ ∠DCA=∠E′CD=45°=∠DCE ，又∵E′C=CE ，CD=CD∴△E′CD ≌△DCE ，∴DE= DE′=13.【点睛】本题考查了作图−旋转变换，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，难度适中．准确作出旋转后的图形是解题的关键．23．(1)如图见解析，蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A 1C 1′和AC 1；(2)最短路径的长是l 289【解析】【分析】（1）先在备用图中画出柜子的展开图，再找出最快到达目的地的可能路径（2）根据已知结合勾股定理求出蚂蚁爬过的最短路径长.【详解】(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC 1D 1和ACC 1A 1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC 1′和AC 1.(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A 1B 1到'1C ，爬过的路径的长是l 1()22445++97蚂蚁沿着木柜表面经线段BB 1到C 1，爬过的路径的长是l 2()22445++89l 1＞l 2，最短路径的长是l 289【点睛】此题重点考察学生对勾股定理中最短路线的理解，熟练勾股定理是解题的关键.24．（1）5，1；（2）芦苇的长度为13尺.【解析】【分析】（1）直接利用题意结合图形得出各线段长；（2）利用勾股定理得出AG 的长进而得出答案．【详解】(1)线段AF 的长为5尺，线段EF 的长为1尺；故答案为：5，1；(2)设芦苇的长度x 尺，则图中AG=x ，GF=x−1，AF=5，在Rt △AGF 中,∠AFC=90∘，由勾股定理得AF2+FG2=AG2.所以52+(x−1) 2=x2，解得x=13，答：芦苇的长度为13尺.【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于得出AG的长.。
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勾股定理培优练习题
一、单选题
1. 如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则
DN+MN的最小值为（）．
A、3
B、4
C、5
D、
2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD＝CD＝4，AB=1，F为AD的中点，则F到BC的距离是（）．
A、1
B、2
C、4
D、8
3. 一块木板如图所示，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，AD＝13，∠B＝90°，木板的面积为（）
A、60
B、30
C、24
D、12
4. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）
A、3
B、4
C、5
D、6
5. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
6. 下列结沦中，错误的有（）①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c ，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy ．
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
7. △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
二、填空题
8. 若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h ，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b ，c+h ，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以, , 的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为．
9. 如图，正方形ABCD，AC、BD交于点O，点E、F分别在AB、BC上，且∠EOF=90°，则下
列结论①AE=BF，②OE=OF，③BE+BF=AD，④AE2+CF2=2OE2中正确的有（只写序
号）．
三、综合题
10. 根据直角三角形的判定的知识解决下列问题
转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
(2). 如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP 绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
11. 请完成下列题目：
转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°.
(2).
如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B 点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明
12. 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
(1). 出发2秒后，求△ABP的周长．
(2). 问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？
(3). 另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度
为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点
时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分
成相等的两部分？
13. 完成题目：
(1). 如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2). 如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；
(3). 运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，
AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．
14. 如图①，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点
B、C分别在AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
(1). 如图②，
i）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，线段BD与线段CF的数量关系是；直
线BD与直线CF的位置关系是．
ii）请利用图②证明上述结论．
(2). 如图③，当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，延长DB交CF于点H，若AB= ，AD=3时，求线段FC的长．
参考答案1 C
2、B
4、D
5、C
7、C 8、
14。