2019-2020学年度高三4月月考卷数学试题(7)(带答案解析)
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二、填空题
13． 的展开式中，含 项的系数为___________.
14．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围为______.
15．已知过点 的直线交抛物线 于 、 两点，直线 、 （ 为坐标原点）分别交直线 于点 、 ，则以 为直径的圆截 轴所得的弦长为______.
16．已知函数 ，若方程 有四个不等实根，则实数 的取值范围为__________.
表 负离子浓度与空气质量对应标准：
负离子浓度
等级
和健康的关系
级
不利
级
正常
级
较有利
级
有利
级
相当有利
级
很有利
级
极有利
图 空气负离子浓度
某地连续 天监测了该地空气负离子浓度，并绘制了如图 所示的折线图.根据折线图，下列说法错误的是( )
A．这 天的空气负离子浓度总体越来越高
B．这 天中空气负离子浓度的中位数约 个
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
8．数列 的前 项和为 ，则 （）
A． B． C． D．
9．已知命题 是 的充分条件；命题 若 ，则 ，则下列命题为假命题的是（）
A． B． C． D．
10．设 、 、 、 是同一个直径为 的球的球面上四点， 过球心，已知 与 都是等边三角形，则三棱锥 的体积是( )
【详解】
对于A选项，从折线图来看，这 天的空气负离子浓度总体越来越高，A选项正确；
对于B选项，从折线图来看，这 天中空气负离子浓度的中位数应为 月和 月负离子浓度的平均数，约为 个 ，B选项正确；
对于C选项，后 天比前 天空气负离子浓度高，则后 天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前 天，C选项正确；
2019-2020学年度高三4月月考卷
数学试题（7）
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合 , ，则 （）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （）
A． B． C． D．
3．保护环境就是保护人类健康.空气中负离子浓度（单位：个/ ）可以作为衡量空气质量的一个指标，也对人的健康有一定的影响.根据我国部分省市区气象部门公布的数据，目前对空气负离子浓度的等级标准如下表 .
因此，向量 、 方向相反.
故选：C.
【点睛】
本题考查两向量位置关系的判断，根据向量的数量积求出两向量的夹角是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
设 的公差为 ，根据 成等比数列，可得 ，化简求得 的关系再求解.
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在 时，要保持二级警戒，每小时降雨量在 时，要保持一级警戒.
（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；
（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支上，点 为 的中点， 为坐标原点， , , 的面积为 ，则该双曲线的方程为（）
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，函数 ，若方程 恰好有4个实数根，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且 在椭圆 上运动，当点 恰好在直线l: 上时， 的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）作与 平行的直线 ，与椭圆交于 两点，且线段 的中点为 ，若 的斜率分别为 ，求 的取值范围.
21．已知函数 ， .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求函数 的极值；
23．已知函数 的最小值等于 .
（1）求 的值；
（2）若正数 、 、 满足 ，求 的最大值.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
分别求出集合 、 的值，由补集和并集的概念可得 的值，可得答案.
【详解】
解：依题意， , ，故 ，故 ，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.
三Байду номын сангаас解答题
17．在 中， 、 、 是角 、 、 所对的边，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求 边上的高.
18．如图， 是正方形， 平面 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
19．2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
对于D选项，从折线图来看，前 天空气质量波动程度大于后 天，D选项错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图的应用，考查学生的数据处理和分析能力，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
设向量 与 的夹角为 ，根据平面向量数量积的运算求出 的值，进而可得出结论.
【详解】
设向量 与 的夹角为 ，则 ，
即 ，得 ， ， .
2．C
【解析】
【分析】
利用复数的模长公式和复数的除法运算可求得复数 的值.
【详解】
，则 ，所以， .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数模长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据折线图的走势可判断A选项的正误；根据折线图估算这 天中空气负离子浓度的中位数，可判断B选项的正误；根据前 天和后 天负离子浓度的大小关系可判断C选项的正误；根据折线图的波动情况可判断D选项的正误.综合可得出结论.
C．后 天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前 天
D．前 天空气质量波动程度小于后 天
4．已知向量 、 满足 ，且 ， ，则向量 、 的关系是（）
A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成 角
5．公差不为零的等差数列 中， 成等比数列，则 （）
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
（2）若函数 的图象恒在直线 的下方.
①求 的取值范围；
②求证：对任意正整数 ，都有 .
22．平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）射线 与曲线 、直线 分别交于 、 两点（ 异于极点 ），求 的最大值.
13． 的展开式中，含 项的系数为___________.
14．已知实数 、 满足 ，则 的取值范围为______.
15．已知过点 的直线交抛物线 于 、 两点，直线 、 （ 为坐标原点）分别交直线 于点 、 ，则以 为直径的圆截 轴所得的弦长为______.
16．已知函数 ，若方程 有四个不等实根，则实数 的取值范围为__________.
表 负离子浓度与空气质量对应标准：
负离子浓度
等级
和健康的关系
级
不利
级
正常
级
较有利
级
有利
级
相当有利
级
很有利
级
极有利
图 空气负离子浓度
某地连续 天监测了该地空气负离子浓度，并绘制了如图 所示的折线图.根据折线图，下列说法错误的是( )
A．这 天的空气负离子浓度总体越来越高
B．这 天中空气负离子浓度的中位数约 个
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
8．数列 的前 项和为 ，则 （）
A． B． C． D．
9．已知命题 是 的充分条件；命题 若 ，则 ，则下列命题为假命题的是（）
A． B． C． D．
10．设 、 、 、 是同一个直径为 的球的球面上四点， 过球心，已知 与 都是等边三角形，则三棱锥 的体积是( )
【详解】
对于A选项，从折线图来看，这 天的空气负离子浓度总体越来越高，A选项正确；
对于B选项，从折线图来看，这 天中空气负离子浓度的中位数应为 月和 月负离子浓度的平均数，约为 个 ，B选项正确；
对于C选项，后 天比前 天空气负离子浓度高，则后 天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前 天，C选项正确；
2019-2020学年度高三4月月考卷
数学试题（7）
第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合 , ，则 （）
A． B． C． D．
2．若复数 ，则 （）
A． B． C． D．
3．保护环境就是保护人类健康.空气中负离子浓度（单位：个/ ）可以作为衡量空气质量的一个指标，也对人的健康有一定的影响.根据我国部分省市区气象部门公布的数据，目前对空气负离子浓度的等级标准如下表 .
因此，向量 、 方向相反.
故选：C.
【点睛】
本题考查两向量位置关系的判断，根据向量的数量积求出两向量的夹角是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
5．B
【解析】
【分析】
设 的公差为 ，根据 成等比数列，可得 ，化简求得 的关系再求解.
若根据往年防汛经验，每小时降雨量在 时，要保持二级警戒，每小时降雨量在 时，要保持一级警戒.
（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量；
（2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.
A． B． C． D．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线的右支上，点 为 的中点， 为坐标原点， , , 的面积为 ，则该双曲线的方程为（）
A． B．
C． D．
12．已知函数 ，函数 ，若方程 恰好有4个实数根，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
20．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且 在椭圆 上运动，当点 恰好在直线l: 上时， 的面积为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）作与 平行的直线 ，与椭圆交于 两点，且线段 的中点为 ，若 的斜率分别为 ，求 的取值范围.
21．已知函数 ， .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求函数 的极值；
23．已知函数 的最小值等于 .
（1）求 的值；
（2）若正数 、 、 满足 ，求 的最大值.
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
分别求出集合 、 的值，由补集和并集的概念可得 的值，可得答案.
【详解】
解：依题意， , ，故 ，故 ，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.
三Байду номын сангаас解答题
17．在 中， 、 、 是角 、 、 所对的边，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ， ，求 边上的高.
18．如图， 是正方形， 平面 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
19．2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：
对于D选项，从折线图来看，前 天空气质量波动程度大于后 天，D选项错误.
故选：D.
【点睛】
本题考查折线图的应用，考查学生的数据处理和分析能力，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
设向量 与 的夹角为 ，根据平面向量数量积的运算求出 的值，进而可得出结论.
【详解】
设向量 与 的夹角为 ，则 ，
即 ，得 ， ， .
2．C
【解析】
【分析】
利用复数的模长公式和复数的除法运算可求得复数 的值.
【详解】
，则 ，所以， .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数模长公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
根据折线图的走势可判断A选项的正误；根据折线图估算这 天中空气负离子浓度的中位数，可判断B选项的正误；根据前 天和后 天负离子浓度的大小关系可判断C选项的正误；根据折线图的波动情况可判断D选项的正误.综合可得出结论.
C．后 天的空气质量对身体健康的有利程度明显好于前 天
D．前 天空气质量波动程度小于后 天
4．已知向量 、 满足 ，且 ， ，则向量 、 的关系是（）
A．互相垂直B．方向相同C．方向相反D．成 角
5．公差不为零的等差数列 中， 成等比数列，则 （）
A． B． C． D．
6．已知 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
（2）若函数 的图象恒在直线 的下方.
①求 的取值范围；
②求证：对任意正整数 ，都有 .
22．平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）射线 与曲线 、直线 分别交于 、 两点（ 异于极点 ），求 的最大值.