重庆市高二上学期期末考试理科数学试卷(5) 有答案
重庆市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．双曲线的渐近线方程为（ ）22135x y -=A ． B ．C ．D ．53y x =±y =y =35y x =±【答案】B【分析】确定双曲线的即可得渐近线. ,a b 【详解】由已知a b ==则双曲线的渐近线方程为，即22135x y -=y =y x =故选：B.2．空间向量，，且向量与共线，则的值为（ ）()2,1,3a =-r ()4,,b m n =r a bm n +A ．－8 B ．8 C ．－4 D ．4【答案】A【分析】存在实数使，代入坐标计算可得答案.λa b λ=【详解】向量与共线,a b则存在实数使，即λa b λ=()()2,1,34,,m n λ-=，可得 4213m n λλλ=-⎧⎪∴=⎨⎪=⎩8m n +=-故选：A.3．若直线与直线关于点对称，则直线恒过的定点为（ ） ()12:l y k x =+2l ()1,22l A ． B ． C ． D ．()4,0()4,2()2,4()4,4【答案】D【分析】求出直线恒过的定点，并求出其关于点对称点即可. 1l ()1,2【详解】直线恒过定点， ()12:l y k x =+()2,0-又关于点对称点为 ()2,0-()1,2()4,4所以直线恒过的定点为 2l ()4,4故选：D.4．已知圆，直线（其中为自然对数的底数），则直线()()22:122C x m y m -++-+=:e 0l x y -+=e与圆的位置关系为（ ） l C A ．相切 B ．相离 C ．相交 D ．无法确定【答案】C【分析】通过判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来得答案.【详解】圆C ：的圆心为()()22122x m y m -++-+=()1,2--m m 则圆心到直线 l， 0=<所以直线与圆的位置关系为相交 l C 故选：C. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若点满足，则实数a22184x y +=1F 2F (1,)P a 1290F PF ∠≥︒的取值范围是（ ）A ．[]B ．[－，]C ．[] D ．[7272【答案】D【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，利用向量数量积建立不等式求解. 【详解】因为椭圆的焦点，，22184x y +=12(2,0),(2,0)F F -(1,)P a 所以，，1(3,)PFa →=--2(1,)PF a →=-因为，1290F PF ∠≥所以，解得 21230PF PF a →→⋅=-+≤a ≤≤故选：D6．已知等比数列的前n 项和为，且，，则（ ）{}n a n S 610S =2523a a +=-32S a =A ．－20 B ．－15C ．－10D ．－5【答案】B【分析】利用，代入可得的值，再变形得到()()()6142536S a a a a a a =+++++25a a +1q q+可得答案. 12332211a a q a S a a q ==++++【详解】设等比数列的公比为，{}n a q则， ()()()614253622210333S a a a a a q a q =+++++--==-则， 116q q +=- 2332211116115q a a a S a a q∴==+++-+=+=-故选：B.7．设是过抛物线的焦点F 的一条弦（与y 轴不垂直），其垂直平分线交y 轴于点G ，则AB 24x y =＝（ ） ||FG AB A ．B ．C ．D ．2342312【答案】C【分析】联立直线与抛物线方程，求出点坐标以及直线的方程，可得，利用定义求AB E EG ||FG 出弦长，可得比值．||AB 【详解】因为抛物线的焦点为，设，，，24x y =()0,1F ():10AB y tx t =+≠()11,A x y ()22,B x y AB 的中点为，()00,E x y 联立方程组，消去得，214y tx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x tx --=所以，，，即， 124x x t +=12022x x x t +==2021y t =+()22,21E t t +所以的方程为. EG ()21212y t x t t--=--令，得，. 0x =223y t =+()20,23G t +因此.()2||21FG t =+又，12||2AB y y =++=()()2122241t x t x +++=+所以. ||1||2FG AB =故选：.C 8．已知数列满足，且，则的最小值为{}n a 114a =4*1)2(2,N n n n a a n n --=+≥∈()()()11322n n a a a a a a +⋅⋅⋅⋅（ ） A ．B ．C ．D ．116181412【答案】A【分析】利用累加法，得到，然后得到，进而得到32n n a -=2512n n n a a -+=，最后根据二次函数和指数函数的性质，()()()1()122432n n n n a a a a a a -+⋅⋅⋅⋅⋅=得到时，的最小值.2n =()()()11322n n a a a a a a +⋅⋅⋅⋅【详解】，4*1)2(2,N n n n a a n n --=+≥∈，根据累加法，得到，得到∴41512221222n n n n n n a a a a a a ------⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 23214312212222124n n n n a a --------=+++==-- ，32n n a -=*(2,N )n n ≥∈检验，当时，满足，， 1n =1a n a 32n n a -∴=*()N n ∈32251222n n n n n a a ---+∴=⋅=，明显地，∴()()()(325)(4)23113(5)122231222n n n n n nn a a a a a a --++++-+-⋅⋅--+⋅⋅==⋅⋅=L 根据指数函数和二次函数的性质，当且仅当时，有最小值，此时，最小值为2n =(4)2n n ⋅- 2(24)412216⋅--==故选：A二、多选题9．关于直线，则下列结论正确的是（ ）310l y --=A ．倾斜角为B 60C ．在y 轴上的截距为D ．与直线垂直13-0x -=【答案】BC【分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断. 【详解】直线变形得，310l y --=13y =-直线斜率，故倾斜角为，A 错误，B 正确；k =)0,180⎡⎣ 30令，，即直线在y 轴上的截距为，C 正确0x =13y =-l 13-又直线，与直线不垂直，D 错误 0x -=310l y --=故选：BC.10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘以3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）如：取正整数，根据上述运算法则得出6m =6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m 为正整数），，若n a 1a m =1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时61a =，则m 所有可能的取值为（ ） A ．4 B ．5C ．17D ．32【答案】ABD【分析】根据运算规则逆向寻找结果即可. 【详解】若，则, 61a =52a =则，则或 44a =38a =31a =当时，或5 38a =216,a =132a =当时，， 31a =22a =14a =综上可能的取值为. m 4,5,32故选：ABD11．如图，已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为2，E 是的中点，则1111ABCD A B C D -1DD 下列结论错误的是（ ）A ．B ．三棱锥的体积为11B E A B ⊥11C B CE -13C ．三棱锥的外接球的表面积为8πD ．平面平面 11C B CD -1//B CE 1A BD 【答案】ACD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求得位置关系判断选项A ；求得平面11B E A B 、1B CE与平面位置关系判断选项D ；求得三棱锥的体积判断选项B ；求得三棱锥1A BD 11C B CE -11C B CD -的外接球的表面积判断选项D.【详解】以A 为原点分别以AB 、AD 、所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系： 1AA 则,,,,,,,(0,0,0)A (1,0,0)B (1,1,0)C (0,1,0)D (0,1,1)E 1(0,0,2)A 1(1,0,2)B 选项A ：由. 11(1,1,1),(1,0,2)B E A B =--=-可得，11(1,1,1)(1,0,2)1210B E A B ⋅=--⋅-=-+=≠则两向量、不互相垂直，则与不互相垂直.判断错误； 1B E 1A B u u u r1B E 1A B 选项B ：三棱锥的体积11C B CE -.判断正确；11111111111211=3323=C B CE B C CE C CE V V S B C --==⋅⨯⨯⨯⨯△选项C ：三棱锥的外接球即长方体的外接球， 11C B CD -1111ABCD A B C D -长方体1111ABCD A B C D -则三棱锥的外接球的表面积为.判断错误；11C B CD -24π=6π⨯选项D ：11(0,1,2),(1,1,1),B C B E =-=--设为平面的一个法向量，111(,,)n x y z =1B CE 则，令，则，，则11111200y z x y z -=⎧⎨-+-=⎩11z =12y =11x =(1,2,1)n =11(1,0,2),(0,1,2),A B A D =-=-设为平面的一个法向量， 222(,,)m x y z =1A BD 则，令，则，，则22222020x z y z -=⎧⎨-=⎩21z =22y =22x =(2,2,1)m =由，可得向量与向量不互相平行， 121221≠=m n 则平面与平面不互相平行.判断错误.1B CE 1A BD故选：ACD12．已知抛物线上三点，，，F 为抛物线的焦点，则下列22(0)y px p =>()11,A x y 2,4B （）()22,C x y 结论正确的是（ ）A ．抛物线的准线l 的方程为4x =-B ．若F 为的重心，则成等差数列ABC ||,||,||FA FB FC u u r u u r u u u rC ．若直线AC 过焦点F ，过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线l 于点D ，则直线DC 平行于抛物线的对称轴D ．若直线AC 过焦点F ，准线l 上存在一点M 满足为等边三角形，则直线AC 的斜率为±MAC △【答案】BCD【分析】由条件求，由此可得抛物线方程，求其准线方程判断A ，由重心性质确定的关p 12,2,x x 系，结合抛物线定义判断B ，联立直线的方程与抛物线方程，利用设而不求法确定关系，AC 12,y y 求点的纵坐标，由此判断C ，结合设而不求法与条件列方程求斜率，判断D.D AC 【详解】因为点在抛物线上，所以，所以，2,4B （）22y px =164p =4p =故抛物线的方程为，其准线方程为，焦点坐标为，A 错误，28y x =2x =-()2,0因为F 为的重心，所以，ABC 0FA FB FC ++=又点的坐标为，，，，F ()2,0()11,A x y 2,4B （）()22,C x y 所以，所以，故， 122020x x -++-=124x x +=12||||228FA FC x x +=+++=u u r u u u r，所以，B 正确；()2||2228FB =⨯+=u u r ||||2||FA FC FB +=u u r u u u r u u r过点，斜率为0的直线与抛物线有且只有一个交点，与已知矛盾，F故设直线的方程为，联立，消得，，AC 2x my =+282y xx my ⎧=⎨=+⎩x 28160y my --=方程的判别式，又，， 28160y my --=264640m ∆=+>()11,A x y ()22,C x y 所以，，即， 128y y m +=1216y y =-2116y y =-又直线的斜率为，所以直线的方程为，与直线联立可得AD 1118y x y =AD 18y x y =2x =-，故点的坐标为，即，故直线与轴平行，C 对， 116y y =-D 1162,y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()22,y -CD x 设点的坐标为，线段的中点为，因为为等边三角形，所以M ()42,y -AC ()55,N x yMAC △ MN AC ⊥因为，所以，因为在直线上，所以，即128y y m +=12542y y y m +==()55,N x y AC 2542x m =+，所以直线的斜率为，()242,4N m m +MN 424422m y m -++当时，直线的斜率为，所以， 0m ≠AC 1m 42411422m y m m-⋅=-++化简可得，3448y m m =+点到直线，M AC212488x m ++=+，288m +)2288m+=AC 的斜率为 =m =当时，直线的方程为，点在直线上，与已知矛盾，D 正确， 0m =AC2x =B AC 故选：BCD.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的常用方法为设而不求法.三、填空题13．若椭圆经过点，且焦点坐标为，则椭圆的离心率为___． B 12(0,1),(0,1)F F -【分析】根据条件可得，则离心率可求.,a c【详解】设椭圆方程为，()222210y x a b a b +=>>则由已知得，1a c ==所以椭圆的离心率为c e a ==14．已知等差数列的首项为－1，前n 项和为，若，则公差为___． {}n a n S 10510S S -=-【答案】17-【分析】直接根据等差数列的求和公式列方程求解. 【详解】由得， 10510S S -=-109541051022d d ⨯⨯⎛⎫-+--+=- ⎪⎝⎭解得17d =-故答案为：17-15．已知空间三点，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为()()()0,1,2,4,1,8,2,5,6A B C ---_____． 【答案】【分析】利用空间向量的坐标运算求出及，再利用面积公式求解即可. AC AB ，sin ,AC AB【详解】由已知， ()()2,6,44,2,6AC AB =-=--，==，又 1cos ,2AC ABAC AB AC AB ⋅∴===[],0,πAC AB∈则，sin ,AC AB == 以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为∴122S =⨯=故答案为：四、双空题16．如图，在棱长为2的正方体中，G 是棱AB 上的一点，则点到平面的1111ABCD A B C D -1B 1BC G距离d ＝___．若E ，F 分别是的中点，当∥平面DEF 时，则___．111,AA C D 1CG 1C G =【答案】【分析】证明平面，可知为点到平面的距离得解，利用向量法求出点坐1B C ⊥1BC G 1B O 1B 1BC G G 标，即可得解.【详解】连接，设，以D 为原点，为轴的正方向建立空11,BC B C 11BC B C O = 1,,DA DC DD →→→,,x y z 间直角坐标系，如图，则，，，，， (0,0,0)D (2,0,1)E (0,1,2)F 1(2,2,2)B (0,2,0)C 因为平面，平面，AB ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 所以，又，，平面， 1AB B C ⊥11B C BC ⊥1AB BC B =I 1,AB BC ⊂1BC G 所以平面，即为点到平面的距离，， 1B C ⊥1BCG 1B O 1B 1BC G 1112d B O B C ===又，，， (2,0,1)DE =(0,1,2)DF = 1(2,2,2)DB = 设平面DEF 的一个法向量为，(,,)n x y z =则，令，则，所以， 2020n DE x z n DF y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 2z =1,4x y =-=-(1,4,2)n =-- 设，则，AG a =1(2,,0),(0,2,2)G a C1(2,2,2)GC a ∴=-- 当∥平面DEF 时，则，1C G 1GC n ⊥ ，解得， 2(2)(4)40a ∴+-⨯-+=12a =即，所以， 13(2,,2)2GC=- 1C G==五、解答题17．已知数列的前n 项和． {}n a ()1*33N 2n n S n +-=∈(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设数列的前n 项和为，若，求n 的值． n T 9n T =【答案】(1) 3n n a =(2)99【分析】（1）利用可求得数列的通项公式；1n n n a S S -=-{}n a （2，然后利用裂项相消法可得，然后解方程可=n T 9n T =得n 的值．【详解】（1）当时，， 2n ≥113333322n n n n n n a S S +---=-=-=由时，符合上式， 1n =2113332a S -===数列的通项公式为；∴{}n a 3n n a =（2）由（1===，1n T ∴ 则，解得.19n T -=99n =18．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，第一象限内的点P 在双曲线上，点2213y x -=1F 2F M 是线段的中点，O 为坐标原点．1PF(1)若点M 在y 轴上，求点P 的坐标；(2)若OM 与垂直，求直线的方程．1PF 1PF 【答案】(1)()2,3(2)(4380x y -+-=【分析】（1）利用M 是线段的中点可得点横坐标，进而可得点P 的坐标；1PF P （2）设，由点P 在双曲线上以及OM 与垂直可列方程组求出点P 的坐标，进而可得直(),P m n 1PF 线的方程．1PF 【详解】（1）若点M 在y 轴上，且点M 是线段的中点，1PF ()()122,0,2,0F F -则点横坐标为，P 2c =又当时，，得 2x =2413y -=29y =故点P 的坐标为；()2,3（2）设，则① (),P m n 2213n m -=又OM 与垂直， 1PF ()122,0,,22m n F M -⎛⎫- ⎪⎝⎭则② 121222OM PF n n k k m m =⨯=--+由①②得， 32m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩32P ⎫⎪⎪⎭所以直线的方程为， 1PF )2y x =+整理得直线的方程为，1PF y x=即为.(4380x y -+-=19．已知数列的首项，且满足． {}n a 11a =-()*1N 32n n n a a n a +=∈+(1)求证：数列为等比数列； 13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭(2)设，求数列的前n 项和． 31n n n na b a =+n b n A 【答案】(1)证明见解析(2) 222n n n A +=-【分析】（1）将条件两边同时取倒数，然后两边同时加3，可证明等比数列. 132n n n a a a +=+（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由得，即， 132n n n a a a +=+132123n n n n a a a a ++==+111323n n a a +⎛⎫ ⎪⎝++⎭=又，， 1132a +=113213n na a ++∴=+数列为以2为首相，2为公比的等比数列； ∴13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭（2）由（1）得， 11322=2n n na -+=⨯12133n n n n nna n n b a a ∴===++， 231232222n n n A =+++∴+ 231122212122n n n n n A +=++-++∴2311111211122222212211121212nn n n n n n n n A +++∴⎛⎫- ⎪⎝++-=-=--⎭=+++ 222n nn A +∴=-20．如图，在直三棱柱中，，．111ABC A B C -12AA AB ==90ABC ∠=(1)求证：平面⊥平面；1A BC 11ABB A (2)若AC 与平面所成的角为，点E 为线段的中点，求平面AEB 与平面CEB 夹角的大1A BC π61AC 小．【答案】(1)证明见解析；(2). π3【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理得证；BC ⊥11ABB A （2）利用线面角求出边长，再建立空间直角坐标系，利用向量法求夹角.【详解】（1）在直三棱柱中，，111ABC A B C -1A A BC ⊥又，，平面，AB BC ⊥1A A AB A = 1,A A AB ⊂11ABB A 所以平面，又平面，BC ⊥11ABB A BC ⊂1A BC 所以平面⊥平面.1A BC 11ABB A （2）设，连接，如图， 11A B AB M = CM则中点为M ，且，1A B 1AM A B ⊥∵平面平面且交线为，平面，1A BC ⊥11ABB A 1A B AM ⊂11ABB A ∴平面，AM ⊥1A BC 所以直线与平面所成的角为， AC 1A BC π6ACM ∠=又，则12AA AB ==2AM AC BC ====以B 为原点，分别为x ，y ，z 轴正方向建立坐标系，1,,BA BC BB 则，(2,0,0),(0,2,0),(1,1,1)A C E 设平面的法向量为AEB (,,)n x y z = ，令，则，故， 200n BA x n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 1y =0,1x z ==-(0,1,1)n =- 设平面的法向量为，CEB ()111,,m x y z = ，令，则，，故， 1111200m BC y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ 11x =10y =11z =-(1,0,1)m =- 设平面与平面的夹角为，AEB CEB θ∴，又，. 1cos 2||||n m n m θ⋅==⋅ π02θ<≤π3θ∴=21．已知点（2，1）在不过原点的直线l 上，直线l 在两条坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 是半径为1的圆C 的一条对称轴，点A 的坐标为（0，3），O 为坐标原点．(1)若直线也是圆C 的一条对称轴，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；:220m x y +-=(2)若在圆C 上存在点M 满足，求圆心C 的横坐标的取值范围．2MAOM =【答案】(1)或；0x =4390x y +-=(2)或. ⎡⎢⎣【分析】（1）先求得圆C 的圆心坐标进而求得圆C 的方程，再利用几何法即可求得圆C 的切线方程；（2）先求得点M 的轨迹方程，再利用两圆有公共点即可求得圆心C 的横坐标的取值范围．【详解】（1）不过原点的直线l 在两条坐标轴上的截距互为相反数，则直线l 可设为，又点（2，1）在直线l 上，y x t =+则，则，则直线l 的方程为，12t =+1t =-1y x =-由，可得，则圆C 的圆心坐标为， 1220y x x y =-⎧⎨+-=⎩10x y =⎧⎨=⎩()1,0又圆C 的半径为1，则圆C 的方程为，()2211x y -+=过点A （0，3）的直线斜率不存在时，其方程为，与圆C 相切，符合题意；0x =过点A （0，3）的直线斜率存在时，其方程可设为，3y kx =+，解之得， 143k =-则切线方程为即， 433y x =-+4390x y +-=综上，所求切线方程为或．0x =4390x y +-=（2）圆心C 在直线l 上，则可设，(,1)C a a -则圆C 的方程为22()(1)1x a y a -+-+=设圆C 上点M 满足，(,)x y 2MAOM =2=整理得22230x y y ++-=则点M 的轨迹为以为圆心以2为半径的圆； (,)x y (0,1)D -则点M 为圆D 与圆C 的公共点，(,)x y 则，即，2121CD -≤≤+13CD ≤≤则，解之得13≤≤a ≤≤a ≤≤则圆心C 的横坐标的取值范围为或. ⎡⎢⎣22．如图，某市决定在夹角为的两条笔直道路边沿EB ，EF 之间建造一个不影响道路45BEF ∠=o 的半椭圆形状主题公园．已知点A 在线段EB 上，O 为AB 的中点，千米，椭圆的短轴长3OE =千米，OD 为椭圆的长半轴．同时，在半椭圆形区域内再建造一个游乐园，其中点2AB =OMN 在半椭圆上，交于点，且．,M N MN OD G 45MGD ∠=o(1)求的取值范围；OD (2)若游乐园面积的最大值为1平方千米，求的值．OMN OG【答案】(1)(1,【分析】（1）建立平面直角坐标系，设椭圆的标准方程，根据已知条件求出直线的方程，根据EF 题意直线与椭圆最多只有一个交点，联立直线与椭圆方程，由及椭圆定义，即可求出EF EF 0∆≤的取值范围.OD （2）设，则，因为，设直线的方程与椭圆方程联立，写出韦0OG m =>(),0G m 45MGD ∠=o MN 达定理，求出，在利用圆心到直线的距离求出的高，表示出的面积，根据MN MN OMN OMN 已知条件，利用基本不等式性质求最值，根据最值条件即可求出的值.OG 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， O ,OD OE ,x y 如图所示：设椭圆的标准方程为：， 22221(0)x y a b a b+=>>则，OD a =由椭圆的短轴长，知，2AB =1b =所以椭圆的标准方程为：， 2221(1)x y a a+=>因为，45BEF OEF ∠=∠=o 所以直线的倾斜角为，斜率为， EF 135 tan1351k ==- 又，所以直线过点， 3OE =EF ()0,3E 所以直线的方程为：，EF 3y x =-+联立，消元整理得： 22231y x x y a=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，()22221680a x a x a +-+=由题意知直线与半椭圆最多一个交点， EF 所以， ()()2222064180a a a ∆≤⇔--⨯+⨯≤即28a a ≤⇒-≤≤因为，所以，1a >1a <≤即的取值范围为：. OD (1,（2）设，则， 0OG m =>(),0G m 因为，45MGD ∠=o 所以直线的斜率为， MN tan 451= 所以直线的方程为：， MN y x m =+联立，消元整理得： 2221y x m x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩， ()222222120a x ma x a m a +++-=设，()()1122,,,M x y N x y 则， 22221212222,11ma a m a x x x x a a -+=-=++=由到直线的距离为：()0,0O MN ，d 所以 12OMN SMN d =⋅⋅△12===由题意知：，所以， 0m a <<2210a m -+>所以OMN S=≤， ()()221221a a a a +=⋅=+当且仅当，即时，等号成立， 2221a m m -+=2212a m +=所以，122a a =⇒=所以 222215m m =+=⇒=。
2021-2022学年重庆市部分区高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2021-2022学年重庆市部分区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )A. B. C. D.2.，是椭圆的焦点，点P在椭圆上，点P到的距离为1，则P到的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 63.已知是直线l的方向向量，为平面的法向量，若，则y的值为( )A. B. C. 4 D.4.某工厂去年的电力消耗为m千瓦，由于设备更新，该工厂计划每年比上一年的电力消耗减少，则从今年起，该工厂第5年消耗的电力为( )A. 千瓦B. 千瓦C. 千瓦D. 千瓦5.在正方体中，，则( )A. B. C. D.6.等差数列中，为其前n项和，，则的值为( )A. 13B. 16C. 104D. 2087.直线平分圆C：的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则( )A. 5B.C. 3D.8.如图，过拋物线的焦点F的直线与拋物线交于两点，与其准线l交于点点B位于之间且于点D且，则等于( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.在四面体中，，，，，则以下选项正确的有( )A. B.C. D.10.对于直线以下说法正确的有( )A.的充要条件是 B. 当时，C. 直线一定经过点D. 点到直线的距离的最大值为511.椭圆的离心率为，短轴长为，则( )A. 椭圆的方程为B. 椭圆与双曲线的焦点相同C. 椭圆过点D. 直线与椭圆恒有两个交点12.若数列满足，，的前n项和为，下列结论正确的( )A. B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知点，，则线段MN的垂直平分线的一般式方程为__________.14.已知数列的前n项和，则该数列的首项__________，通项公式__________.15.双曲线的左顶点为A，虚轴的一个端点为B，右焦点F到直线AB的距离为，则双曲线E的离心率为__________.16.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为矩形，分别为的中点，连接，则点F到平面PCE的距离为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
重庆市部分区县上学期高二期末试题(数学理).doc
重庆市部分区县上学期高二期末试题（数学理）注意事项：1、本试题分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间1。
2、第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔书写作答．3、答题前请将答题卡上密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题。
第Ⅰ卷 (选择题 共50分)一、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、直线350x y -+=的斜率为（ ）A.13B.3C.1arctan3 D.arctan3 答案：A2、若0b a <<，则下列结论不正确的是（ ）A ．22a b < B ．2ab b <C ．11()()22b a< D ．2a bb a +>答案：C3、已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A.0 B.-8 C.2 D.10答案：依题意有224-=+-m m，解得8-=m ，故选（B ）.4、“|1|2x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B5、椭圆的两个焦点分别是)0,4(),0,4(21F F -且椭圆上一点到两焦点的距离之和为12，则此椭圆的方程为（ ）18121203611281441362022222222=+=+=+=+y x D y x C y x B y x A 、、、、答案：C6、设变量x 、y 满足约束条件121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2 B.3 C.4 D.5 答案：D7、若10<<a ，则不等式()01>⎪⎭⎫⎝⎛--a x x a 的解集是（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>a x a x x 或1 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x a x x 或1 答案：A8．圆)(022044222R x t y tx y x y x ∈=---=-+-+与直线 的位置关系（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．以上都有可能答案：C9、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F1、F2，P 是准线上一点，且PF1⊥PF2，124PF PF ab=g ，则双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ． 2D ．3答案：B10、定点(1,0)N 、动点A 、B 分别在右图中抛物线24y x =及椭圆22143x y +=的实线部分上运动，且//AB x 轴，则NAB V 的周长l 的取值范围是（ ）A ．2(,2)3 B.10(,4)3 C.51(,4)16 D.(2,4)答案:B1A AN x =+,122B BN x =-,b A AB x x =-,132B l x ∴=+,又223B x <<,1043l ∴<<第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、 填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11、焦点在x 轴上的椭圆1422=-+m y m x 的离心率为63，则m 的值为 ．答案：312、已知圆042:22=+-+y x y x C ，则过原点O 且与圆C 相切的直线方程为 ． 答案：x y 21=13、已知关于x 的不等式11+-x ax ＜0的解集}211|{->-<x x x 或，则实数=a ． 答案：－214、函数29()12f x x x =+-（1(0,)2x ∈）的最小值为 ．答案：2515、把椭圆92522y x +=1的长轴AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半部分交于C 、D 、E 、G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则FGFE FD FC +++的值是 ．答案：、解答题(本大题共6小题，75分，解答应写出必须的文字说明、证明过程或演算步骤) 16、已知直线0325:=++y x l ，经过点)1,2(P 的直线l '到l 的角等于45︒，求直线l '的一般方程． 答案：直线l '：01137=--y x 和01373=-+y x17、已知集合}.02|{},,116|{2<--=∈≥+=m x x x B R x x x A（1）当m =3时，求()R A C B I ；（2）若{|14}A B x x =-<<I ，求实数m 的值.答案：由,015,116≤+-≥+x x x 得51≤<-∴x}51|{≤<-=∴x x A ，（1）当m=3时，}31|{<<-=x x B ，则}31|{≥-≤=x x x B C R 或}53|{)(≤≤=⋂∴x x B C A R（2）{|15},{|14},A x x A B x x =-<≤=-<<Q I8,04242==-⨯-∴m m 解得有，此时}42|{<<-=x x B ，符合题意，故实数m 的值为8.18、已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=r e 的直线与，相交于点M 、N.（1）求实数k 的取值范围；（2）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=u u u u r u u u r求的值. 答案：（1）(1,),l a k =rQ 直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为1,<得4433k -+<<1122(2)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k∴⋅=+=++++=+=+u u u u r u u u r 4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时19、已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料克，配料的价格为8.1元/千克，每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下: 7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付.(Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(Ⅱ）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少? 答案：(Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P=70+)21(20003.0+⨯⨯=88(元) (Ⅱ）（1）当x ≤7时y=360x+10x+236=370x+236 (2）当 x>7时y=360x+236+70+6[(7-x )+(6-x )+……+2+1]=43232132++x x∴⎩⎨⎧>++≤+=7,43232137,2363702x x x x x y ∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f(x)元⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤+=7,43232137236370)(2x x x x x x x x f ，当x ≤7时x x f 236370)(+= 当且仅当x=7时f(x)有最小值40472826≈（元）当x ＞7时x x x x f 4323213)(2++==321)144(3++x x ≥393当且仅当x=12时取等号 ∵393<404∴当x=12时 f(x)有最小值393元答：（Ⅰ）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P 为88元； 已知抛物线 y 2 = – x 与直线 y = k ( x + 1 )相交于A 、B 两点, 点O 是坐标原点.（1）求证: OA ⊥OB;（2）当△OAB 的面积等于10时, 求k 的值.21、已知两点M 和N 分别在直线y mx =和(0)y mx m =->上运动，且||2MN =，动点满足：2(OP OM ON O =+u u u r u u u u r u u u r为坐标原点），点的轨迹记为曲线C（1）求曲线C 的方程，并讨论曲线C 的类型；（2）过点（0，1）作直线l 与曲线。
重庆市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线的斜率为，且，则直线的倾斜角为（ ） l k 23k =l A ．或 B ．或 C ．或 D ．或30 150 45 135 60 120 90 180 【答案】C【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， l α0180α≤< 因为，所以，23k=k =当； k tanα=60α= 当， k =tan α=120α= 所以直线的倾斜角为或. l 60 120 故选：C.2．已知点在坐标平面内的射影为点，则（ ）()2,1,3A -Oxz B OB =A BCD【答案】C【分析】根据已知条件及向量的模公式即可求解.【详解】因为点在坐标平面内的射影为点, ()2,1,3A -Oxz B 所以，()2,0,3B -所以，()2,0,3OB =- 所以.OB == 故选：C.3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）22131x y m m +=+-m A ． B ．C ．D ．()3,1-()1,1-()3,1--()()3,11,1--- 【答案】D【分析】根据方程表示椭圆的条件即可求解.【详解】因为方程表示椭圆，22131x y m m+=+-所以，解得且，301031m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩31m -<<1m ≠-所以实数的取值范围为. m ()()3,11,1--- 故选：D.4．大衍数列0，2，4，8，12，18，…来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其通项公式为，则（ ）221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数100101a a -=A ． B ．C ．100D ．101101-100-【答案】B【分析】根据通项公式直接计算得到答案.【详解】，故.221,2,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数221001*********10022a a --=-=-故选：B5．如图，在棱长为的1正方体中，点是线段的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 11A C 1AE D B ⋅=A ．1B ．0C ．D ．12-1-【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，()()()1111,0,0,,,1,1,1,0,0,0,122A E B D ⎛⎫⎪⎝⎭所以，，()111,,1,1,1,122A B E D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，.1111122AE D B ⋅=-+-=- 故选：D6．已知圆，直线与圆相交于，两点，则的22:2410C x y x y +---=:210l ax y a --+=C A B AB 最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】C【分析】由题意得直线过定点且点在圆内，由结合弦长公式可得结果． ()2,1D D d CD ≤=【详解】圆：的圆心，半径C ()()22126x y -+-=()1,2C r =直线即，则直线经过定点 :210l ax y a --+=(2)10a x y --+=l ()2,1D由,得点在圆内CD r =<D设圆心到直线的距离为，则，（当时取等号） C l d d CD ≤=CD l ⊥则，（当时取等号） 4AB ==≥=CD l ⊥则的最小值为4. AB 故选：C.7．已知，则方程表示的曲线可能是（ ）0a ≠(()20ax x ay a -+=A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.【详解】方程，得或，(()20ax x ay a -+=0ax =20x ay a -+=当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a >22y a x =()0,0x y ≥≥1y x a a=+0,0x y ≥≥部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A ，B ，D 不符合，C 符合； y 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的0a <22y a x =()0,0x y ≤≥1y x a a=+0,0x y ≤≥部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A ，B ，C ，D 均不符合， y综上，方程表示的曲线可能是C.(()20ax x ay a -+=故选：C.8．双曲线的左右焦点分别为，，若双曲线的右支上存在一点，()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F C P 使得为钝角等腰三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） 12PF F △CA ．B ．C ．D ．(()1)+∞)1,+∞【答案】B【分析】当时，．因为为钝角等腰三角形，则，且212PF F F ⊥22b PF a=12PF F △2122PF F F c ==为钝角，所以，结合的关系求解即可．21PF F ∠22b c a>,,,a b c e 【详解】当时，． 212PF F F ⊥22b PF a=因为为钝角等腰三角形，则，且为钝角，所以，12PF F △2122PF F F c ==21PF F ∠22bc a>即，所以，结合，解得． 2222ac b c a >=-2210e e --<1e >11e <<故选：B.二、多选题9．已知数列的通项公式为，则（ ） {}n a 316n na n =-A ．数列为递增数列 B ． {}n a 4862+=a a a C ．为最小项 D ．为最大项5a 6a 【答案】CD【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的{}n a 11616393n a n =+⎛⎫- ⎪⎝⎭*N n ∈性质即可判断A 、C 、D ；求得即可判断B ．486,a a a +【详解】， 11616316393n n a n n ==+-⎛⎫- ⎪⎝⎭当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 5n >*N n ∈0n a >5n ≤*N n ∈0n a <则为最小项，为最大项，故C 、D 正确，A 错误；5a 6a ，，则，故B 错误，4803414863816a a +=⨯-⨯-+=6336616a ⨯==-4862a a a +≠故选：CD ．10．椭圆上一点和圆上一点，则的值可能是（ ）22143x y +=P ()22114x y -+=Q PQ A ． B ．1 C ．3 D ．414【答案】BC【分析】先转化为椭圆上一点到圆心的距离，利用二次函数单调性求出范围，再由圆上点的几何性质，求出的取值范围.PQ 【详解】设圆心为，，()1,0C 00(,)P x y 则，其中， ()222200001||1244PC x y x x =-+=-+[]02,2x ∈-由对称轴为知，时，函数单调递减，04x =[]02,2x ∈-则，所以，[]2||1,9PC ∈[]||1,3PC ∈则有，． 17||||22PQ PC ≤+≤11||||22PQ PC ≥-≥故选：BC11．若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） {},,AB AC ADA ．存在，使得,x y ∈R AB x AC y AD =+B ．也构成空间的一个基底{},,BC CD AB C ．若，则直线与异面AP AB AC AD =++AP BD D ．若，则，，，四点共面AP AB AC AD =-+P B C D 【答案】BCD【分析】根据空间向量基本定理判断A,B 选项，再由共线向量基本性质及为一组基底{},,AB AC AD判断出C 、D.【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误；,,AB AC ADA 若三向量共面，则有，,,BC CD AB()()AB xBC yCD x AC AB y AD AC =+=-+- 化简有：，因为不共面，()()10x AB x y AC y AD --+-+= ,,AB AC AD则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B 正确； 1000x x y y --=⎧⎪-=⎨⎪=⎩,,BC CD AB 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故AP BDAP mAB nAD =+ ()()110m AB AC n AD -++-= C 正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D 正确． AP AB AC AD =-+ AP AB AC AD -=-+ BP CD =故选：BCD12．设圆与圆的公共点为，，点在圆上运221:6260C x y x y +-+-=222:60C x y y +-=A B M 1C 动，则（ ）A ．直线的方程为B ． AB 3430x y -+=125=AB C ．的面积的最大值为 D ．圆，在公共点的切线互相垂直MAB △432251C 2C 【答案】ACD【分析】由题意可判断两圆相交，两圆方程相减可得直线的方程，即可判断A ；求出圆心到AB 1C 直线的距离，然后用弦长公式求得，即可判断B ；设为点到直线的距离，则有AB AB M h M AB，从而可得的面积的范围，即可判断C ；由勾股定理可得，即可11365M h d r ≤+=MAB △12C A C A ⊥判断D ．【详解】圆，圆心，半径，()()221:3116C x y -++=()13,1C -14r =圆，圆心，半径，()2223:9x y C +-=()2C 0,323r =因为，则两圆相交.1212125r C r r C r -<=<+两圆方程相减得，即得，故A 正确；()()222206266x x y x y y y ++----=+:3430AB x y -+=圆心到直线的距离，则，故B 错误； 1C AB 1165d 245AB ==设为点到直线的距离，则有，所以的面积，M h M AB 11365M h d r ≤+=MAB △1432225M S AB h =⋅≤故C 正确；因为，，，则，所以，所以两圆在处14C A =23C A =125C C =2221212C A C A C C +=12C A C A ⊥A 的切线互相垂直，故D 正确． 故选：ACD.三、填空题13．若两直线与互相垂直，则实数的值为______．10x my +-=()2220m m x y -++=m 【答案】0或3【分析】利用直线的一般式方程中，直线相互垂直的系数关系列方程即可得出.【详解】因为直线与直线互相垂直，10x my +-=()2220m m x y -++=则，解得：或，()220m m m -+=0m =3m =故答案为：0或3.14．与椭圆有公共的焦点且离心率为2的双曲线的标准方程为______．22126x y +=【答案】2213x y -=【分析】根据椭圆的焦点坐标求出双曲线的焦点坐标，再由双曲线的离心率求出，即可得解.,a b 【详解】椭圆的焦点为，22126x y +=(0,2),(0,2)-即双曲线的焦点为，故，(0,2),(0,2)-2c =又离心率为，解得，故， 22c e a a===1a =2223b c a =-=所以双曲线的方程为.2213x y -=故答案为：.2213x y -=15．已知等差数列的前项和为，，，则______． {}n a n n S 11a =63236S S -=9S =【答案】153【分析】根据等差数列的前n 项和公式求出公差，据此求出，即可得出. 5a 9S 【详解】由有，，， ()112n n n S a n d -=+61615S a d =+3133S a d =+则有，解得， 632936S S d -==4d =所以，所以．51417a a d =+=()1995991532a a S a +===故答案为：15316．与平面解析几何类似，在空间直角坐标系中，平面与直线可以用关于，，的三元O xyz -x y z 方程来表示，过点且一个法向量为的平面的方程为()000,,P x y z (),,n a b c =α；过点且一个方向向量为的直线()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z (),,v r s t =()0rst ≠l的方程为．已知平面的方程为，直线的方程为000x x y y z z r s t---==α2350x y z +-+=l ，若直线在平面内，则经过原点且与直线垂直的平面的方程为______． 12x p y zp q--==l αO l β【答案】20x y z -+=【分析】由题意列出关于的方程组，求得的值，进而得出答案.,p q ,p q 【详解】由题意有，解得，26023050p q p +-=⎧⎨+-+=⎩42p q =-⎧⎨=-⎩所以经过原点且与直线垂直的平面的方程为， O l β()()()()4020200x y z -⨯-+-+-⨯-=即． 20x y z -+=故答案为：．20x y z -+=四、解答题17．已知等差数列和等比数列满足，，． {}n a {}n b 113a b ==222a b =-73a b =(1)求数列和的通项公式；{}n a {}n b(2)在数列中，去掉与数列相同的项后，将剩下的所有项按原来顺序排列构成一个新数列{}n a {}n b ，求数列的前20项和．{}n c {}n c 【答案】(1)，41n a n =-3nn b =(2)960【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式列方程求解即可；（2）找出数列前20项中与相同的项只有2项，故只需求前22项和去掉相同项即可{}n a {}n b {}n a 得解.【详解】（1）设的公差为d ，的公比为q ，{}n a {}n b 由题意知，，()113n a a n d nd d =+-=+-13n n b q -=⋅故得，222733,3,36,3a d b q a d b q =+==+=所以，所以解得，代入则有，2332,363d q d q +=-+=35d q =-2690q q -+=所以，．所以，．3q =4d =41n a n =-3nn b =（2）因为，令，解得，则有，2079a =379n ≤3n ≤1233,9,27b b b ===的前20项中只有两项与相同，即3和27，{}n a {}n b 又均不在数列， 212283,87a a =={}n b 故的前20项和为． {}n c 2227872721279602a a ++⋅⋅⋅+-=⨯-=18．设双曲线，点，是双曲线的左右顶点，点在双曲线上．()2222:10,0x y C a b a b-=>>1A 2A C P C(1)若，点，求双曲线的方程；124A A b =()1P -C (2)当异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的渐近线方程．P 1A 2A 1PA 2PA C 【答案】(1)2214x y -=(2) y =【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求解即可；,a b（2）设点，根据点在双曲线上及，求得的值，即可得出答案. ()00,P x y P C 122PA PA k k ⋅=ba【详解】（1）由题意有：，解得，所以双曲线的方程为．2224811a b a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=（2）设点，则，即，又()00,P x y 2200221x y a b-=2202220y b x a a =-()()12,0,,0A a A a -则有，所以12220002220002PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--ba=所以渐近线方程为．y =19．已知四棱锥中，平面，，，点在棱P ABCD -PA ⊥ABCD AB DC A 2PA AD DC AB ===E 上，平面．PC BE A PAD(1)证明：；BE PD ⊥(2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 90PDC ∠= BE PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）过作的平行线交于点，结合线面平行的性质得，可得，分E DC PD F BE AF ∥E F 别为，的中点，结合得，又即可证得；PC PA AP AD =AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）由已知条件证得面，得．建空间直角坐标系，求出面的法向量，然AB ⊥PAD AB AD ⊥PBD 后利用向量夹角公式求得结果.【详解】（1）过作的平行线交于点，连接， E DC PD F AF 又，则，则四点共面，AB DC A EF AB ∥,,,B E F A∵面，面，面面，BE A PAD BE ⊂BEFA BEFA ⋂PAD AF =∴，故为平行四边形，从而， BE AF ∥BEFA 12EF AB DC ==∴，分别为，的中点，又，E F PC PA AP AD =∴，又，∴．AF PD ⊥BE AF ∥BE PD ⊥（2）因为，，所以，DC PD ⊥AB DC A AB PD ⊥由平面，平面，得，PA ⊥ABCD AB ⊂ABCD PA AB ⊥又，面，所以面，又面，所以． PA PD P = ,PA PD ⊂PAD AB ⊥PAD AD ⊂PAD AB AD ⊥所以，以为原点，为轴建空间直角坐标系，设， A ,,AB AD AP ,,x y z 1AB =则有． ()()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,1,1A B C D P E 所以，， ()1,2,0BD =- ()1,0,2BP =- 设面的法向量为，则，令，所以． PBD (),,n x y z =r 2020n BD x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 2x =()2,1,1n = 又有，记为与平面所成角，()0,1,1BE = αBE PBD 则sin cos ,BE nBE n BE nα⋅==== 所以与平面 BE PBD 20．已知直线与圆交于，两点，．210x y -+=22:420C x y x y a +-+-=A B CA CB ⊥(1)求实数的值；a (2)若点在圆上运动，为坐标原点，动点满足，求动点的轨迹方程．P C O M 2OP CM = M 【答案】(1)5a =(2) ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，求解即可； CAB d =（2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的00(,)P x y (,)M x y 2OP CM = 002422x x y y =-⎧⎨=+⎩P C M 轨迹方程．【详解】（1）将圆化为标准方程为，，()()22215x y a -++=+50a +>则圆心，半径(2,1)C -r =记为圆心到直线的距离，d C AB 因为，所以，又因为， CA CB ⊥d=d． =5a =（2）设，，00(,)P x y (,)M x y 因为，即，解得， 2OP CM = 00(,)2(2,1)x y x y =-+002422x x y y =-⎧⎨=+⎩又点在圆上，则，从而得，P C ()()22002110x y -++=()()22262310x y -++=所以动点的轨迹方程为． M ()2235322x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭21．如图，是以为直径的圆上异于，的一点，平面平面，是边长C AB OA B PAC ⊥ABC PAC △为2的等边三角形，，是的中点．3BC =E PC(1)求证：；AE PB ⊥(2)过直线与直线平行的平面交棱于点，线段上是否存在一点，使得二面角AEBC PB F AF Q ？若存在，求的值；否则，说明理由． A CQ B --AQ QF 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 2AQ QF=【分析】（1）取中点，可得面，以为原点，，分别为，轴建立空间AC D PD ⊥ABC C CA CB x y 直角坐标系，利用数量积的运算证明即可；0AE PB ⋅= （2）设，则有，分别求出面与面的法向AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ACQ BCQ 量，利用向量夹角公式求解即可.【详解】（1）取中点，连接，则有，AC D PD PD AC ⊥又因为面面，面，面面，所以面， PAC ⊥ABC PD ⊂PAC PAC ABC AC =PD ⊥ABC 又，以为原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图，BC AC ⊥C CA CB x y 则有：，，，， ()2,0,0A ()0,3,0B ()0,0,0C (1,P 12E ⎛ ⎝所以，，所以，32AE ⎛=- ⎝(1,3,PB =- 330022AE PB ⋅=+-= 所以．AE PB⊥（2）因为面，面，面面，所以．BC ∥AEF BC ⊂PBC AEF ⋂PBC EF =EF BC ∥又因为点是线段的中点，所以点为线段的中点，，， E PC FPB 13,22F ⎛ ⎝33,22AF ⎛=- ⎝ 设，则有，且，．AQ AF λ=332,22CQ CA AQ λλ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0CA = ()0,3,0CB = 设为面的法向量，则有，令，解得()1111,,n x y z =ACQ 11111120332022n CA x n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩1y =．(10,1,n = 同理，设为面的法向量，则有，令()2222,,n x y z =BCQ 22222230332022n CB y n CQ x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⎛⎫⋅=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得．2x =23,0,22n λ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由题意有，解得，所以． 13cos ,4n = 640λ-=23λ=所以． 2AQ QF=22．椭圆的焦距为2，左、右顶点分别为，，点是椭圆上异于左()2222:10x y C a b a b+=>>1A 2A P C 右顶点的点，直线与直线的斜率之积为． 1PA 2PA 34-(1)求椭圆的方程；C (2)直线与椭圆相切于点，直线与平行且与圆相切，直线交椭圆于，两1l C M 2l 1l 221x y +=2l C A B 点，坐标原点位于直线，之间，记，的面积分别为，，求的取值范O 1l 2l MAB △OAB A 1S 2S 12S S 围． 【答案】(1) 22143x y +=(2)1,3⎤⎦【分析】（1）设为椭圆上一点，根据直线与直线的斜率之积为可得，00(,)P x y 1PA 2PA 34-2234a b =即可得解；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，直线斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由根1l 与系数关系得出，分别求出，的面积，作商后由函数性质求值域，当斜率不存,M M x y MAB △OAB A 在时，验证即可.【详解】（1）由题意知：，设为椭圆上一点，所以 22c =00(,)P x y 2200221x y a b +=则有， 122200022200034PA PA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==-=-+--所以，又，所以2234a b =2221a b c -==224,3a b ==所以椭圆C 的方程． 22143x y +=（2）①当斜率存在时，设直线，则有， 11:l y kx m =+1223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩解得，()222113484120k x km x m +++-=且有， ()()22222211164434431612390k m k m k m ⎡⎤∆=-+⋅-=-+=⎣⎦所以．22143m k =+且有，． 1214434M km k x k m -==-+211143M k y m m m =-+=设（与异号），则有圆心到直线的距离为，22:l y kx m =+2m 1m 2l 11d ==解得． 2221m k =+设两条直线的距离为，则有，且，所以． 2d 1212S AB d =⋅212S AB =122S d S =所以，1211S S=+记，其中，所以， ()1f k =[)211,k +∈+∞[)2143,41k -+∈+所以． )121,3S S ∈②当斜率不存在时，不妨设，，此时， 1:2l x =-2:1l x =3AB =所以，，所以． 1132S AB =⨯212S AB =123S S =综上，的范围为． 12S S 1,3⎤⎦。
重庆高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．直线的倾斜角为（ ） tan 392023y x =-︒⋅+A ． B ．C ．D ．51︒129︒141︒149︒【答案】C【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合三角函数诱导公式可得倾斜角. 【详解】斜率， ()tan 39tan 18039tan141k =-=-=︒︒︒︒故选：C ．2．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M ，N 两点，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为( )A ．B ．22143x y +=22143y x +=C ．D ．2211615x y +=2211615y x +=【答案】A【分析】由题得c=1,再根据△MF 2N 的周长＝4a ＝8得a ＝2，进而求出b 的值得解.【详解】∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆的两个焦点，∴c ＝1，又根据椭圆的定义，△MF 2N 的周长＝4a＝8，得a ＝2，进而得b .22143x y +=故答案为A【点睛】本题主要考查椭圆的定义和椭圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3．若平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则实数α()1,2,1m =-β()2,4,n k =-- αβ⊥（ ）k =A ．2 B ． C ． D ．1010-2-【答案】B【分析】直接利用数量积为零计算即可.【详解】若，则 αβ⊥m n ⊥则， ()()2,4,2801,2,1k k -=----⋅-=解得： 10k =-故选：B.4．在四面体中分别是的中点，P 是的三等分点（靠近点N ），若OABC ,M N ,OA BC MN ，则（ ）,,OA a OB b OC c === OP =A ．B ．111366a b c ++ 111633a b c ++C ．D ．111263a b c ++ 111623a b c ++ 【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理求解. 【详解】如图所示：，23OP OM OM MP MN =+=+， ()12121112323222OA ON OM OA OB OC OA ⎛⎫=+-=++- ⎪⎝⎭.111633OA OB OC =++111633a b c =++ 故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 5．在等差数列中，为前项和，，则 {}n a n S n 7825a a =+11S =A ． B ． C ． D ．55115060【答案】A【详解】由. 111786116()1125,511552a a a a a S a +⋅=+====，故选：A.6．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1700万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要A ．3233万元B ．4706万元C ．4709万元D ．4808万元【答案】C【分析】设备费为万元，根据等比数列的性质可得，由此可求出；设每个实验n a 527442,168,a a a a -=⎧⎨-=⎩10a 室的装修费用为万元，由题意可知，即，再根据等比数列前 项和，即可x 15361700x +≤164x ≤n 求出结果.【详解】设每个实验室的装修费用为万元，设备费为万元，x n a ()1,2,3,,10n = 则所以解得故. 527442,168,a a a a -=⎧⎨-=⎩411631142,168,a q a q a q a q ⎧-=⎨-=⎩13,2.a q =⎧⎨=⎩91011536a a q ==依题意，即. 15361700x +≤164x ≤所以总费用为.()1012103121010103069470912x a a a x x -++++=+=+≤- 故选：C.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的前和公式的应用，属于基础题.n 7．平面直角坐标系xOy 中，P 为圆C 1：上的动点，过点P 引圆：()2231x y +-=2C ()2231x y ++=的切线，切点为TP 有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】C【分析】设点的坐标为，根据切线长的性质求，由条件列方程求点的坐标即可. P (),a b PT P 【详解】设点的坐标为，则①，P (),a b ()2231a b -=+由已知圆的圆心的坐标为，半径为1，()2231x y ++=2C()3,0-所以， ()22223133a b a b ++-=+化简可得②，22340a b a +--=联立①②可得，或，02a b =⎧⎨=⎩45125a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点的坐标为或，P ()0,2412,55⎛⎫⎪⎝⎭P 有2个， 故选：C.8．如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆1C x ()24，,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值222:430C x y x +-+=2C l ,,,P Q M N 4PN QM +为A ．23B ．42C ．12D ．52【答案】A【详解】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为28y x =，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又22(2)1x y -+=1121F 2PF Q P +===4PN QM +(1)(44)45PF QF PF QF =+++=++112(4)()5FPF QF PF Q +++，当且仅当时等号成立．选A. 42(5)523QF PFPF QF=+++≥2PF QF =【点睛】当抛物线方程为，过焦点的直线与抛物线交于，则有，22(p>0)y px =，l ,P Q 112F PF Q P+=抛物线的极坐标方程为，所以，1cos pρθ=-1PF ρ==1cos pθ-，所以，即证． 21cos()1cos p p QF ρθπθ===-++112F PF Q P +=二、多选题9．空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（ ） O xyz -()()1,2,2,0,1,1A B -A ．B ．若，则 (1,1,3)AB =--()2,1,1m = ⊥ m ABC ．点A 关于平面对称的点的坐标为D ．xOy ()1,2,2-||AB =【答案】AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果.【详解】，()()1,2,2,0,1,1A B -∴(1,AB =--A 正确,D 错误.若，则,则,B 正确， ()2,1,1m = ()()=211113=0m AB ⋅⨯-+⨯-+⨯ ⊥ m AB 点A 关于平面对称的点的坐标为，故C 错误， xOy ()1,2,2故选：AB.10．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ） 1l 0x ay a +-=2l ()2310ax a y ---=A ．始终过定点2l 21,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．若，则或-3 12l l //1a =C ．若，则或212l l ⊥0a =D ．当时，始终不过第三象限 0a >1l 【答案】ACD【分析】将直线化为可判断A ；将或-3代入直线方程可判断B ；根据(2)310a x y y -+-=1a =可判断C ；将直线化为，即可求解.12120A A B B +=11y x a =-+【详解】：过点，A 正确；2l (2)310a x y y -+-=21,33⎛⎫⎪⎝⎭当时，，重合，故B 错误；1a =1l 2l 由，得或2，故C 正确；1(32)0a a a ⨯+⨯-=0a =：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D 正确.1l 11y x a =-+()0,1故选：ACD【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11．椭圆的离心率为，短轴长为 ）22221(0)x y a b a b+=>>12A ．椭圆的方程为22143x y +=B ．椭圆与双曲线的焦点相同22221y x -=C ．椭圆过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．直线与椭圆恒有两个交点 ()1y k x =+【答案】ACD【分析】根据椭圆离心率公式、短轴长定义，结合双曲线焦点公式、代入法、直线点斜式方程的性质逐一判断即可.【详解】因为椭圆的短轴长为，2223b b a c ==⇒-=而椭圆的离心率为，所以， 12221242c a c a c a =⇒=⇒=所以可得：..2221,4,3c a b ===A ：因为，所以该椭圆的标准方程为：，因此本选项正确；224,3a b ==22143x y +=B ：由 ，该双曲线的焦点在纵轴上， 222222111122y x y x -=⇒-=而椭圆的焦点在横轴，所以本选项说法不正确；22143x y +=C ：因为，所以点在该椭圆上，因此本选项说法正确； 223()12143-+=31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ：直线恒过点，而，所以点在椭圆内部，因此直线()1y k x =+(1,0)-22(1)0143-+<(1,0)-与椭圆恒有两个交点，所以本选项说法正确， ()1y k x =+故选：ACD12．已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是n S {}n a n 121a a ==()1223n n n a a a n --=+≥（ ）A ．数列为等比数列B ．数列为等比数列 {}1n n a a ++{}12n n a a +-C ．D ． ()1213nn n a ++-=()10202413S =-【答案】ABD【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB ．求出数列前几项，验证后判断C ，求出前{}n a 20项和可判断D ，【详解】因为，所以，()1223n n n a a a n --=+≥11212222()n n n n n n a a a a a a -----+=+=+又，所以是等比数列，A 正确；1220a a +=≠1{}n n a a ++同理，而， 112112122222(2)n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---------=+-=-+=--2121a a -=-所以是等比数列，B 正确；1{2}n n a a +-若，则，但，C 错；12(1)3n n n a ++-=3222(1)33a +-==213a =≠由A 是等比数列，且公比为2，1{}n n a a -+因此数列仍然是等比数列，公比为4，123456,,,a a a a a a +++ 所以，D 正确．101020123419202(14)2()()()(41)143S a a a a a a -=++++++==-- 故选：ABD ．【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验．三、填空题13．直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的l ()2,3P -x y A B P AB l 方程为__________. 【答案】32120x y -+=【分析】根据题意设出点，的坐标，利用中点坐标公式求出，，再写出直线的方程即可. A B A B l 【详解】设点､，(),0A x ()0,B y 由中点坐标公式得：，22032x y +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得：，， 4x =-6y =由直线过点､，l ()4,0A -()0,6直线的方程为：， ∴l 146x y-+=即.32120x y -+=故答案为：.32120x y -+=四、双空题14．设数列满足，且，则______，数列前10项的和为{}n a 11a =()*11n n a a n n N +-=+∈n a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭______.【答案】## 22n n+20119111【详解】因为，()*11n n a a n n N +-=+∈所以，，，…，， 1n n a a n --=121n n a a n ---=-232n n a a n ---=-212a a -=左右分别相加得，即()()1122342n n n a a n -+-=++++=2(2)2nn n an +=≥又也满足此式，所以，故，11a =22n n n a +=2121121n a n n n n æöç÷==-ç÷++èø所以数列前10项的和. 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭101111111120221223*********S ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：；.22n n +2011五、填空题15．已知双曲线C ：的左焦点为F ，过F 且与C 的一条渐近线垂直的直线()2222100x y a b a b-=>>，l 与C 的右支交于点P ，若A 为PF 的中点，且为坐标原点，则C的离心率为3(2bOA a O =-)________. 【解析】设双曲线的右焦点为，设直线l 与渐近线交于，可求出，，1F by x a=-B ||BF b =||OB a =，由椭圆定义可得，，在直角三角形中，132PF b a =-||3PF b =||2bAB =ABO ，即可求出，得出离心率. 222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32b a =【详解】如图所示，设双曲线的右焦点为，不妨设直线l 与渐近线交于， 1F by x a=-B 在直角三角形中，由点到直线的距离可得， BOF |bca BFbc a=，，||OF c = ||OB a ∴==为的中位线，，， OA 1PFF A 3||2bOA a =-132PF b a ∴=-，，1||2PF PF a -= ||3PF b ∴=， 3||,||||||22b b AF AB AF BF ∴==-=则在直角三角形中，，化简得，ABO 222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32b a =c e a ∴===.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是正确利用直角三角形的性质和椭圆的定义表示出各线段长度，得到.222322b b a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF //AE ，AB ＝2，CF ＝3．若直线OF 与平面BED 所成的角为45°，则AE ＝________．【答案】2【分析】设AE ＝a ，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量的线面角公式求出a 即可.【详解】设AE ＝a ，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，则△ABC 为正三角形，又AB =2，易得OA =1，OB如图，以O 为坐标原点，以OA ，OB 所在直线分别为x 轴、y轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系．则，()()()(),0,,1,0,3,1,0,B D F E a -所以，设平面BED的法向量为，则()()()1,0,3,0,,OF DB EB a →→→=-==--(),,n x y z →=，令z =1则，，00n DB n EB x az ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ (),0,1n a →=-因为直线OF 与平面BED 所成角的大小为45°，所以，|cos ,|||||||n OFn OF n OF →→→→→→⋅<>===易知a >0，解得：a =2，所以AE ＝2． 故答案为：2.六、解答题17．设为等差数列的前n 项和，. n S {}n a 9238S a a +＝81，＝（1）求的通项公式；{}n a （2）若成等比数列，求. 314m S a S ，，2m S 【答案】（1）（2）32421n a n -＝【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，列出关于和的方程组，解方程组即可求1a d 解；（2）由题意，写出数列前n 项和公式，根据等比中项公式列方程，求解值，即可求解.m【详解】（1）为等差数列的前项和，.n S Q {}n a n 9238S a a +＝81，＝∴， ()95123199481238S a a d a a a d ⎧==+=⎨+=+=⎩解得，112a d ＝，＝. ()11221n a n n ∴+-⨯-＝＝（2）由（1）知，.()21212n n n S n +-==成等比数列，， 314m S a S ，，2314m S S a ∴=即解得， 22927m ＝9m ＝2218324m S =∴=【点睛】本题考查（1）等差数列基本量的求解（2）等比中项概念，属于基础题.18．已知圆，定点.()22:()(21)4C x a y a a -+-+=∈R ()1,2M -(1)过点作圆的切线，切点是A ，若线段的标准方程；M C MA C (2)过点且斜率为1的直线，若圆上有且仅有4个点到的距离为1，求的取值范围. M l C l a 【答案】(1)或 22(3)(5)4x y -+-=22(1)(3)4x y +++=(2) (44【分析】（1）由题可知，圆心，，由勾股定理有，根据两点间距离(),21C a a -2r =222MC MA r =+公式计算即可求出a 的值，进而得出圆的方程；（2）因为圆上有且仅有4个点到的距离为1，圆的半径为2，因此需圆心到直线的距离C l C C l 小于1，设直线的方程为：，根据点到直线的距离公式列出不等式，即可求出的l ()211y x -=+a 取值范围.【详解】（1）解：由题可知，圆心，(),21C a a -2r =由勾股定理有，则222MC MA r =+222(1)(23)225a a ++-=+=即，解得：或，2510150a a --=3a =1a =-所以圆的标准方程为：或. C 22(3)(5)4x y -+-=22(1)(3)4x y +++=（2）解：设直线的方程为：，即，l ()211y x -=+30x y -+=由题，只需圆心到直线的距离小于1即可， C l 所以，所以1d4a -<44a <<所以的取值范围为.a (4419．双曲线 4.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(1)求的值及双曲线的渐近线方程；,a b C (2)直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.2y kx =-C k 【答案】(1)，，双曲线的渐近线方程为和； 1a =2b =C 0x y -=0x y +=(2). (2)(2,2)(2,--⋃-⋃【分析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可； （2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.【详解】（1）因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>所以有，ca =5⇒c 2=5a 2⇒a 2+b 2=5a 2⇒b 2=4a 2而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以， 242b b =⇒=1a =因此双曲线的浙近线方程为：或； C y =±x⇒x−y =00x y +=（2）由（1）可知：，，1a =2b =所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：2214y x -=2y kx =-，因为直线与双曲线相交于互异两点， 22221(4)48042y x k x kx y kx ⎧-=⎪⇒-+-=⎨⎪=-⎩2y kx =-C 所以有：且， ()()2222408Δ164480k k k k ⎧-≠⎪⇒<⎨=--⋅->⎪⎩24k ≠所以的取值范围为：.k (2)(2,2)(2,--⋃-⋃20．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PA AB ==E 的中点．PB （Ⅰ）求直线与平面的距离；AD PBC （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值．AD =A EC D --【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）证明直线平面，建立空间直角坐标系，求直线与平面的距离，转//AD PBC AD PBC 化为点到平面的距离；A PBC （Ⅱ）若，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角3AD =AEC DEC 的平面角的余弦值．A EC D --【详解】（Ⅰ）证明：在矩形中，， ABCD //AD BC 又平面，平面， AD ⊂PBC BC ⊂PBC 所以平面//AD PBC 如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标A AB AD AP x y z 系．A xyz -设，，，则 0，，，，，，0，，0． (0D a 0)B 0)C a 0)(0P E因此0，，，，0，． AE =(0BC = a 0)PC = 则，，0AE BC = A 0AE PC =A 因为， BC PC C = 所以平面．⊥AE PBC 又由，知平面，//AD BC //AD PBC故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为AD PBC A PBC ||AE =（Ⅲ）解：因为，． ||AD =(0D 0)C 0)设平面的法向量，，，则，．AEC 11(n x = 1y 1)z 10n AC =A 10n AE =A 又，，0，故AC =0)AE =110110==所以，．11y =11z x =-可取2．1x =1(n =设平面的法向量，，，则，，DEC 22(n x =2y 2)z 20n DC =A 20n DE =A 又，0，，，，故DC =0)DE = 222200x x =⎧=所以，，可取，则，1．20x=22z =21y =2(0n =故，1cos n < 12212||||n n n n n ⋅>=【点睛】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．21．已知数列满足a 1＝1，an ＋1＝{}n a 2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数(1)从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列的通项公式； {}n b ①bn ＝a 2n －1＋3；②bn ＝a 2n ＋1－a 2n －1． (2)求数列的前n 项和为Sn ．{}n a 【答案】(1)所选条件见解析，；； 124,8b b ==12n n b +=(2). 7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数【分析】（1）分为奇数和为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.n n （2）分为奇数和为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果.n n【详解】（1）当为奇数时，，则，且，则n 21323n n n a a a ++=+=+()2323n n a a ++=+134a +=，即，12342n n a ++=⋅3223n na +=-当为偶数时，，则，且，n ()2122326n n n n a a a a ++==+=+()2626n n a a ++=+2122a a ==268a +=，则，即，12682n na ++=⋅4226n na +=-若选①，则，则；213122132332n n n n b a -++-=+=-+=124,8b b ==若选②，则，则，2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭124,8b b ==（2）当为偶数时，n 12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++ 24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅--4622922122n n n ++=+--当为奇数时，n 12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++ 33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅--72921222n n +=--. 7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数22．已知椭圆：在上.C22221(0)xy a b a b +=>>P C （1）求椭圆的标准方程；C （2）设为坐标原点，，试判断在椭圆上是否存在三个不同点(其中的纵O 1(0,2H -C ,,Q M N ,M N坐标不相等)，满足，且直线与直线倾斜角互补？若存在，求出直线12OM ON OQ +=HM HN MN的方程，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在，方程为或.2214x y +=2y x=-2y =-【解析】（1）由离心率及过的点的坐标，及，，之间的关系可得，的值，进而可得椭圆的a b c a b 方程；（2）设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由题意可得，可MN 12OM ON OQ +=得的坐标，由题意可得，进而求出参数的值，求出直线的方程． Q 0HM HN k k +=【详解】解：（1）由题意知可得，，解得， c a =222a c b -=2281133a b +=2a =1b =则椭圆的方程为；C 2214x y +=（2）由题意，直线的斜率存在且不为0，设直线方程为， MN MN y kx m =+设点，1122(,),(,)M x y N x y 联立，得，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=所以，，122814km x x k -+=+21224441m x x k -=+，121222()214my y k x x m k +=++=+因为，12OM ON OQ += 所以， 22164(,)1414km mQ k k -++因为在椭圆上，所以， Q 222216()414(1414km m k k -++=+化简得， 221614m k =+满足，0∆>又因为直线与直线倾斜角互补， HM HN 所以，0HE HF k k +=所以， 121211220y y x x +++=所以，121211220kx m kx m x x +++++=所以，121212()02kx x m x x +++=所以，24(2)014k m k +=+因为，所以，代入得， 0k ≠2m =-221614m k =+k =所以存在满足条件的三个点，此时直线的方程为或. MN 2y =-2y =-【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
(完整版)高二理科数学(上)期末试卷包含答案,推荐文档
20、（本题满分 10 分）如图所示，在直角梯形 ABCD 中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝ 3，
4 /8
高二理科数学(上)期末试卷包含答案 曲线段 DE 上任一点到 A、B 两点的距离之和都相等． （1）建立适当的直角坐标系，求曲线段 DE 的方程； （2）过 C 能否作一条直线与曲线段 DE 相交，且所
D． 2 a 2 b 1 c 3 32
6、抛物线 y 4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标为（ ）
17
A．
16
15
B．
16
7
C．
8
D．0
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x＋2y－3＝0，则该双曲线的
离心率为（
）
A.5 或 5 4
B. 5 或 5 2
和为 3，判断命题“ p ”、“ q ”、“ p q ”、“ p q ”为假命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
3、“a＞b＞0”是“ab＜ a 2 b2 ”的 （
）
2
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
x2
4、椭圆
y2
1的焦距为 2，则 m 的值等于 （
18、（本题满分 8 分） （1）已知双曲线的一条渐近线方程是，
y
3 2
x 焦距为 2
13 ，求此双曲线的
标准方程；
（2）求以双曲线 y2 x2 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。 16 9
19．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) x3 ax 2 4(a R), f '(x) 是 f (x) 的导函数。 （1）当 a=2 时，对于任意的 m [1,1], n [1,1],求f (m) f '(n) 的最小值； （2）若存在 x0 (0,) ，使 f (x0 ) 0, 求 a 的取值范围。
重庆高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线l 的方向向量是，则直线l 的倾斜角为（ ）(e = A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是得直线(e = l设直线的倾斜角是， ()π0πtan 3αααα≤<=⇒=，故选：B.2．设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一,,OA OB OCP OP xOA yOB zOC =++ ,,,A B C P 组数对是（ ） (),,x y z A ．B ．C ．D ．111,,432⎛⎫ ⎪⎝⎭111,,436⎛⎫- ⎪⎝⎭131,,442⎛⎫- ⎪⎝⎭121,,332⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】利用空间共面向量定理的推论即可验证得到答案.【详解】空间一点满足，若四点共面，则P OP xOA yOB zOC =++,,,A B C P 1x y z ++=选项A ：.判断错误； 11113143212x y z =++++=≠选项B ：.判断错误；111114364x y z =++=+-+≠选项C ：.判断正确；1311442x y z =-+++=+选项D ：.判断错误.121513326x y z =++=+-+≠故选：C3．设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（ ） ,αβαβ∥A ．内有无数条直线与平行 B ．垂直于同一条直线 αβ,αβC ．平行于同一条直线 D ．垂直于同一个平面,αβ,αβ【答案】B【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案. 【详解】对于A ，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A 错； αβ,αβ∥对于B ，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂,αβαβ∥αβ∥αβ直于该条直线，正确；对于C ，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误； ,αβ对于D ，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误； 故选：B ．4．在等比数列中，，则（ ） {}n a 2481,16a a a =⋅=4a =A ．2 B ． C ．4 D ．2-4-【答案】A【分析】根据给定条件，求出等比数列公比的平方即可计算作答.【详解】设等比数列的公比，则，而，，{}n a q 264282,a a q a a q ==21a =4816a a ⋅=于是得，即，解得，所以.2616q q ⋅=24()16q =22q =2422a a q =⋅=故选：A5．已知直线与圆交于两点，且，则实数的值为0(0)x y m m ++=>22:1O x y +=,A B 23AOB π∠=m （ ）A ．BCD ．112【答案】B【分析】利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值. m m 【详解】圆的圆心，半径， 22:1O x y +=(0,0)O 1r =由，可得圆心到直线的距离为，23AOB π∠=O 0(0)x y m m ++=>1122r =，解之得或（舍） 12=m =m =故选：B6．椭圆的左顶点为，点均在上，且关于轴对称．若直线2222:1(0)x y C a b a b+=>>A ,P Q C y 的斜率之积为，则的离心率为（ ）,AP AQ 13CA ．B C ．D 1323【答案】D【分析】设出，得到，根据斜率之积列出方程，得到，结合(),P m n (),Q m n -2223n a m =-，求出，求出离心率.222222b m a n a b +=2213b a =【详解】由题意得：，设，，故，(),0A a -(),P m n (),Q m n -222222b m a n a b +=，故， ,AP AQ n nk k m a m a ==+-+13n n m a m a ⋅=+-+解得：，2223n a m =-由，得到，即，22222a n m a b =-22223a n n b=2213b a =离心率e =故选：D7．如图，教室里悬挂着日光灯管，灯线，将灯管绕着过中点的,120cm AB AB =AC BD =AB AB O 铅垂线顺时针旋转至，且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了，则的OO '60 A B ''20cm AC 长为（ ）A ．B ．C ．D ．70cm 80cm 90cm 100cm 【答案】D【分析】设与交于点，过点作于，连接，在中求出，A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M MN A MN '△A M '在中根据勾股定理求解.R t A MC A ¢【详解】设与交于点，过点作于，连 A B ''OO 'N A 'A M AC '⊥M 接，如图所示，则中，， MN 20,CM AC A MN ='-A 1602A N AB ='=，所以，在中，由勾 60,60MN A NM ∠'== 60A M '=R t A MC A ¢股定理得，，解得．222(20)60AC AC -+=()100cm AC =故选：D8．已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两2:4E y x =F l x C m C E ,A B 点，在线段上，若，则（ ） B AC AB BF ⊥AF =A ．B ．C ．D ．2+3【答案】C【分析】根据和抛物线的方程可求得，再联立直线与抛物线的方程根据韦达AB BF⊥22x =m 定理可得，即可求，根据抛物线的定义即可得结果. 121=xx 12x =【详解】由题意可得：，()()1,0,1,0F C -设，则有，()()1122,,,A x y B x y 2222,11BC BF y yk k x x ==+-∵，则，可得，AB BF ⊥222222221111BC BF y y y k k x x x ===-+--22221x y +=又∵在抛物线上，则，B 2:4E y x =2224y x =联立，解得或（舍去），222222214x y y x⎧+=⎨=⎩22x =-22x =-设直线，联立方程，消去y 得，():1m y k x =+()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩()2222220k x k xk +-+=则，即， 121=xx 1212x x ==故132pAF x =+=+故选：C ．二、多选题9．有一组样本数据，由这组数据得到新的样本数据，则（ ） 12,,,n x x x ⋯123,3,,3n x x x ⋯A ．新样本数据的极差是原样本数据极差的3倍 B ．新样本数据的方差是原样本数据方差的3倍 C ．新样本数据的中位数是原样本数据中位数的3倍 D ．新样本数据的平均数是原样本数据平均数的3倍 【答案】ACD【分析】根据平均数、极差、方差、中位数的定义及性质判断即可. 【详解】设样本数据，，…，的最大值为，最小值为， 1x 2x n x max x min x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为，x x 2S max min x x -所以新的样本数据，，…，的最大值为，最小值为，13x 23x 3n x max 3x min 3x 平均数为，中位数为，方差为，则极差为， 3x 3x 22239S S =()max min max min 333x x x x -=-即新样本数据的极差是原样本数据极差的倍，新样本数据的方差是原样本数据方差的倍， 39新样本数据的中位数是原样本数据中位数的倍，新样本数据的平均数是原样本数据平均数的倍. 33故选：ACD10．记为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） n S {}n a n A ．若对，有，则数列是等差数列*2,n n N ∀≥∈112n n n a a a -+=+{}n a B ．若对，有，则数列是等比数列 *2,n n N ∀≥∈211n n n a a a -+=⋅{}n a C ．已知，则是等差数列()2,n S pn qn p q =+∈R {}n a D ．已知，则是等比数列()0nn S a m a a =⋅-≠{}n a 【答案】AC【分析】利用等差和等比数列的定义及性质，以及等差和等比数列前项和的形式，可逐一判断. n 【详解】对A ，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A 正确；112n n n a a a -+=+{}n a 对B ，若，满足，，但不为等比数列，故B 错误；0n a =211n n n a a a -+=⋅2n ≥{}n a 对C ，当时，，当时，，时符合该式，易知1n =11a S p q ==+2n ≥12n n n a S S pn p q -=-=-+1n =是以为首项，为公差的等差数列，故C 正确；{}n a 1a p q =+2p 对D ，当时，，1n =11(1)a S m a ==-时，，2n ≥111(1)n n n n n n a S S a m a a m a a m m ---=-=⋅--⋅+=⋅-时符合该式，1n =当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 1m ≠{}n a 1(1)a m a =-m 当时，则是等于零的常数列，故D 错误. 1m ={}n a 故选：AC.11．如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）．则下列结论1111ABCD A B C D -P 11B D 正确的是（ ）A ．当点为中点时，P 11B D 1A P BD ⊥B ．当点在线段上运动时，点到平面的距离为定值 P 11B D P 1A BD C ．当点为中点时，二面角的余弦值为P 11B D 1B A P D --13D ．过点平行于平面的平面截正方体截得多边形的周长为P 1A BD α1111ABCD A B C D -【答案】ABC【分析】求得位置关系判断选项A ；求得点到平面的距离变化情况判断选项B ；1A P BD 、P 1A BD 求得二面角的余弦值判断选项C ；求得截面多边形的周长判断选项D. 1B A P D --【详解】对于，当点为中点时，由于为正方形，所以， A P 11B D 1111D C B A 111A P B D ⊥又，所以，故A 正确；11//BD B D 1A P BD ⊥对于，由于，平面，平面 B 11//B D BD 11B D ⊄1A BD BD ⊂1A BD 则 平面，又，11B D //1A BD 11P B D ∈所以在任何位置时到平面的距离为定值，故B 正确；P 1A BD 对于，易得平面，平面，所以， C 1D D ⊥11BB D D 1A P ⊂11BB D D 11D D A P ⊥因为，平面，1BD D D D ⋂=1,BD D D ⊂11BB D D 所以平面，由平面可得，1A P ⊥11BB D D ,BP DP ⊂11BB D D 11,BP A P DP A P ⊥⊥则为二面角的平面角， ，故C BPD ∠1B A P D --2221cos 23BP DP BD BPD BP DP ∠+-===⋅正确；对于，连接.D 11B C D C 、因为，所以四边形是平行四边形， 1111,A B //CD A B =CD 11A B CD 所以，又平面，平面 11//A D B C 1B C ⊄1A BD 1A D ⊂1A BD 则 平面，又平面，1B C //1A BD 11B D //1A BD ，平面，平面， 1111B C B D B ⋂=1B C ⊂11B CD 11B D ⊂11B CD 则平面平面，则截面为， 11B CD //1A BD 11B CD A所以截面周长为错误. D 故选：ABC ．12．已知为双曲线上的动点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为M 22:13x C y -=M C ,P Q，设直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） ,MP MQ 12,k k A ． B ． 23PMQ π∠=123k k =C ．D ． 38MP MQ ⋅=- 32PQ ≥【答案】ACD【分析】求出双曲线的渐近线即可判断选项A ；根据渐近线的方程即可判断选项B ；根据条件得出C ；利用余弦定理和基本不等式即可判断选项D.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，，，故正y x =0x =π3POQ ∠∴=2π3PMQ ∠=A 确；分别与两条渐近线垂直，，故B 错误；MP MQ ､(123k k ∴==-设，则，即，00(,)P x y 220013x y -=220033x y -=MQ，故C 正确；2200313cos 428x y MP MQ MP MQ PMQ ∠-⎛⎫∴⋅==⋅-=- ⎪⎝⎭222222π9||||||2||||cos||||||||3||||34PQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ MP MQ =+-=++≥=当且仅当时等号成立，，故D 正确． MP MQ =32PQ ∴≥故选：．ACD三、填空题13．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生13加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好14有一个一等品的概率为__________． 【答案】512【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，1111344⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，1111436⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.1156412+=故答案为：. 51214．写出与圆和都相切的一条直线的方程221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=__________．【答案】######0x =4y =-430x y -=34100x y ++=【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得或为公切线，0x =4y =-设切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于方程组，求解. y kx b =+,k b 【详解】因为圆的圆心为，半径 1C ()11,3C --11r =圆的圆心为，半径2C ()23,1C -23r =又因为 14C C =>所以圆与圆相离，所以有4条公切线.1C 2C易得或是圆和的公切线:0a x =:4n y =-221:(1)(3)1C x y +++=222:(3)(1)9C x y -++=设另两条公切线方程为： y kx b =+圆到直线1C y kx b =+圆到直线2C y kx b =+所以3133k b b k ++=-+所以或 31339k b b k ++=-+31339k b b k ++=-+-或34k b =+52b =-当52b =-1所以，切线方程为34k =-34100x y ++=当34k b =+3=所以 ()()225249b b +=++所以 240b b +=所以或 0b =4b =-当时，切线方程为 0b =43k =430x y -=当时，切线方程为4b =-0k =4y =-故答案为：或或或0x =4y =-430x y -=34100x y ++=15．已知是各项为整数的递增数列，且，若，则的最大值为{}n a 13a ≥12350n a a a a +++⋯+=n ____．【分析】先由题意确定数列是公差为1的等差数列，进而求得的最大值. {}n a n 【详解】数列是递增的整数数列， {}n a 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，n ∴假设递增的幅度为， 11,3,2n a a n =∴=+ 则， ()232522nn n n n S +++==数列为递增数列，252n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭， 74250S =<， 85250S =>即为最大值． 7n =故答案为：716．已知正三棱柱的所有棱长为111ABC A B C -1A 11BCC B 的交线长为__________． 【答案】4π3【分析】根据题意结合正三棱柱的性质和球的性质即可求解.【详解】设的中点为，易知，又因为面面，且面11B C M 111A M B C ⊥111A B C ⊥11BCC B 11B C =111A B C Ç面，所以面，所以题中所求交线即为以为圆心，11BCC B 1A M ⊥11BCC B M为半径的一段圆弧．设该圆弧与的交点分别为，球与侧2==11,BB CC ,P Q面的交线如图所示，则 11BCC B 12,PM B M ==易知， 11π6PMB QMC ∠∠==所以该圆弧所对的圆心角为， 2π3PMQ ∠=故所求弧长为， 2π4π233⨯=故答案为：. 4π3四、解答题17．已知是公差为的等差数列，是数列的前项和，是公比为的等比数列，且{}n a d n S {}n a n {}n b q ． 73447,2S b b a ==(1)求；q (2)若，证明：． 684b a =11a b =【答案】(1)2； (2)证明见解析.【分析】（1）由,，得，再根据，得到即可.747S a =737S b =43a b =442b a =432b b =（2）由两式相除得，再将和代入，得，再由得68444,2b a b a ==842a a =1a d 1n a na =442b a =即可.11824b a =⋅【详解】（1）由等差数列得,{}n a ()1774772a a S a +==又， 737Sb =得， 43a b =又， 442b a =得， 432b b =因此.2q =（2）证明：由两式相除得， 68444,2b a b a ==842a a =即， ()11723a d a d +=+则，因此．1a d =1n a na =再由得，即．442b a =11824b a =⋅11a b =18．已知两点及圆为经过点的一条动直线． ()()4,2,5,0D M 22:(2)(1)5,C x y l -+-=M (1)若直线经过点，求证：直线与圆相切；l D l C (2)若直线与圆相交于两点，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求的面积．l C ,A B ABD △条件①：直线平分圆；条件②：直线的斜率为．l C l 13-【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与半径比较得l l 出结论；(2) 选择条件①可得直线过圆心，直线的方程为，利用点到直线的距离和三l ()2,1C l 350x y +-=角形面积公式即可求解；若选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=利用点到直线的距离和三角形面积公式即可求解；【详解】（1）若直线经过点，则直线的方程为，即． l D l ()25y x =--2100x y +-=由题意，圆的圆心为，半径， C ()2,1C r =则圆心到直线，所以直线与圆相切．()2,1C l r =l C （2）选择条件①：若直线平分圆，l C 则直线过圆心，直线的方程为．l ()2,1C l 350x y +-=到直线的距离 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△选择条件②：若直线的斜率为，则直线的方程为，l 13-l 350x y +-=此时圆心在直线上，则，点到直线的距离 ()2,1C l 2AB r ==()4,2D l h =所以． 1122ABD S AB h =⨯=⨯=△19．已知数列的前项和． {}n a n 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，求{}n b n n T 322115314,,,T a b a b a b =+++．n T 【答案】(1)； 21n a n =+(2).41162n n T -=-【分析】（1）利用数列通项与前项和的关系即可求得数列的通项公式；n {}n a （2）先利用题给条件求得等比数列的首项与公比的值，再利用公式即可求得等比数列的{}n b {}n b 前项和.n n T 【详解】（1）当时，；1n =112123S a ==+=当时，，2n ≥2212(1)2221n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦满足，故数列的通项公式． 13a =21n a n =+{}n a 21n a n =+（2）设等比数列的公比为， {}n b (0)q q >因为成等差数列，221153,,a b a b a b +++所以，即．()1225132a b a b a b +=+++()211123511b b q b q +=+++因为，所以．314T =211114b b q b q ++=联立，解之得或（舍）． ()21112111231614b b q b q b b q b q ⎧+=++⎨++=⎩1812b q =⎧⎪⎨=⎪⎩1832b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以． 418121161212n n n T -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫- ⎪⎝⎭20．如图，已知四边形和四边形都是直角梯形，，，，ABCDCDEF //AB DC //DC EF 5AB =，，．设分别为的中点．3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠= ,M N ,AE BC(1)证明：；FN AD ⊥(2)求直线与平面所成角的正弦值． BM ADE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）依题意可得平面，即可得到，再判断是等边三角形，得到CD ⊥CBF CD FN ⊥BCF △，即可得到平面，从而得到，即可得到平面，从而得CB FN ⊥DC ⊥FCB DC FN ⊥FN⊥ABCD 证；（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：由于，，平面， ,CD CB CD CF ⊥⊥CB CF C = ,CB CF ⊂CBF 则平面，又平面，所以． CD ⊥CBF FN ⊂CBF CD FN ⊥又，，，， 5AB =3DC =1EF =60BAD CDE CBF ∠=∠=∠=所以))CF CD EF CB AB CD =-==-=则是等边三角形，则，BCF △CB FN ⊥因为平面平面， ,,,DC FC DC BC FC BC C FC ⊥⊥⋂=⊂,FCB BC ⊂FCB 所以平面，因为平面，所以， DC ⊥FCB FN ⊂FCB DC FN ⊥又因为平面平面， ,DC CB C DC ⋂=⊂,ABCD CB ⊂ABCD 所以平面，因为平面，故； FN⊥ABCD AD ⊂ABCD FN AD⊥（2）解：由于平面，如图建立空间直角坐标系，FN ⊥ABCD于是，()()()()()0,,5,,0,0,3,1,0,3,B A F E D 则，，33,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()()3,2,,2,2BM DA DE ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面的法向量，ADE (),,n x y z =r则，，令00n DA n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20230x x z ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩x =1,y z ==平面的法向量，∴ADE n =设与平面所成角为，则BM ADE θsin θ所以直线与平面 BM ADE 21．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组[)75,85[)85,95[)95,105 [)105,115 []115,125 频数 62638228(1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图；(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知在这些数据中，质量指标值落在区间内的产品的质量指标值的平均数为94，方差为[)75,10540，所有这100件产品的质量指标值的平均数为100，方差为202，求质量指标值在区间[]105,125内的产品的质量指标值的方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)平均数为100，方差为104.(3)300【分析】（1）计算每组频率，从而画出频率分布直方图；（2）由频率分布直方图中的数据结合平均数，方差的求法求解即可； （3）先计算区间内的平均数以及，再由方差公式求解.[)105,125y 3021i i y =∑【详解】（1）由题意可知，分组，，，，，对应的频率[)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[]115,125分别为. 0.06,0.26,0.38,0.22,0.08则频率分布直方图如下图所示：（2）质量指标值的样本平均数为．800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=质量指标值的样本方差为2222(10080)0.06(10090)0.26(100100)0.38s =-⨯+-⨯+-⨯22(100110)0.22(100120)0.08+-⨯+-⨯104=（3）由题，质量指标值落在区间内的产品有70件，[)75,105设质量指标值分别为，则平均数为，方差为，1270,,,x x x 94x =240x s =质量指标值落在区间内的产品有30件，[)105,125设质量指标值分别为，则平均数为，方差为， 1230,,,y y y y 2y s 设这100件产品的质量指标值的平均数为，100z =方差为，则，2202z s =1007030z x y =+所以，又因为，则， 114y =702221170xi i s x x ==-∑7021621320i i x ==∑又因为，则， 7030222111100zi i i i s x y z ==⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑∑3021398880i i y ==∑所以302221130030yi i s y y ==-=∑22．已知抛物线的焦点为，直线，点，点在抛物线上，2:4C y x =F :250l x y -+=()1,1P ,M N C 直线与直线交于点，线段的中点为． l MN Q MN D (1)求的最小值； 2PD MF NF ++(2)若，求的值．,QM aMP QN bNP ==a b +【答案】(1)4 (2)2【分析】（1）求出抛物线的准线方程，设点和点到准线的距离为，， C D P l 1d 2d 由抛物线定义得到，求出； 12MF NF d +=2224PD MF NF d ++≥=（2）设点，由向量比例关系求出，代入抛物线()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y 0011,11x a y ax y a a++==++方程，结合点在直线上，化简得到，同理得到()00,Q x y :250l x y -+=22003640a a x y -+-=，故是关于的方程，求出两根之和.22003640b b x y -+-=,a b x 22003640x x x y -+-=【详解】（1）依题意，抛物线的准线方程为． C :1l x =-设点到准线的距离为，点到准线的距离为 D l 1d P l 2d 由抛物线的定义可知，，12MF NF d +=，()112222242PD MF NF PD d PD d d ++=++≥==故的最小值为4．2PD MF NF ++（2）设点，且，()()()001122,,,,,Q x y M x y N x y ()1,1P 则， ()()101011,,1,1QM x x y y MP x y =--=-- 因为，所以，QM aMP =()()101011,1,1x x y y a x y --=--因此，即， ()()1011011,1x x a x y y a y -=--=-0011,11x a y ax y a a++==++又在抛物线上，所以， ()11,M x y 2:4C y x =()200411x a y a a a ++⎛⎫= ⎪++⎝⎭故①．()220000322240a x y a x y ++-+-=由于点在直线上，()00,Q x y :250l x y -+=所以，把此式代入①式并化简得：②，00223x y +-=-22003640a a x y -+-=同理由可得③，QN bNP = 22003640b b x y -+-=由②③得是关于的方程的两根，此时判别式大于0，,a b x 22003640x x x y -+-=由根与系数的关系，得．2a b +=【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为（）A．B．C．D．3.抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．4.下面图形中是正方体展开图的是（）5.若点在圆外，则的取值范围是（）A．B．C．D．6.设长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．7.下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若，则”的逆否命题为真命题．B．“” 是“”的必要不充分条件．C．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．D．命题“使得”的否定是：“均有”．8.若为两个不同的平面，为不同直线，下列推理:①若；②若直线；③若直线，；④若平面直线；其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．49.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距长），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10.设，，若中含有两个元素，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.抛物线上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离是2.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是3.已知，，在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是4.某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为5.已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为三、解答题1.（本小题13分）第（1）小题5分，第（2）题8分（1）已知直线过点且与直线垂直，求直线的方程．（2）已知直线经过直线与直线的交点，且平行于直线．求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；2.（本小题13分）第（1）小题6分，第（2）题7分如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点。
（1）求证：；（2）求证：；3.（本小题13分）已知命题：方程有两个不相等的实根，命题：关于的不等式，对任意的实数恒成立，若“”为真，“”为假，求实数的取值范围。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的斜率为（）A．B．C．D．2.命题“，”的否定是（）A．“，”B．“，”C．“，”D．“，”3.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．4.过点且平行于：的直线的方程为（）A．B．C．D．5.下列说法错误的是（）A．若为假命题，则，均为假命题B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“没有实根，则”是真命题6.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．7.已知是以，为焦点的椭圆上的一点，若，且，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.设函数，则（）A．为的极小值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极大值点9.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面10.若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.圆的圆心坐标为．2.函数在区间上的最小值为．3.如图，网格纸的各小格都是边长为的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是．4.设、满足约束条件，则的最大值为．5.在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是_____________．三、解答题1.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调递减区间．2.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．3.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．4.（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知函数在处达到极值，（1）求的值；（2）若对恒成立，求的取值范围．5.（本小题满分12分，（1）小问6分，（2）小问6分）如图，四边形是矩形，平面，平面，且．（1）求多面体的体积；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．6.（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点，满足．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．重庆高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】直线的斜率【考点】直线一般方程2.命题“，”的否定是（）A．“，”B．“，”C．“，”D．“，”【解析】特称命题的否定是全称命题，并对结论否定，的否定是，因此原命题的否定为，【考点】全称命题与特称命题3.抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线中，准线【考点】抛物线方程及性质4.过点且平行于：的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】直线斜率，所以所求直线斜率也是，点斜式方程为化简得【考点】直线方程5.下列说法错误的是（）A．若为假命题，则，均为假命题B．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“没有实根，则”是真命题【答案】A【解析】A中为假命题，则，至少有一个为假命题，B中逆否命题是将条件和结论交换并否定，因此正确，C中或，所以“”是“”的充分不必要条件，D中没有实根，则【考点】1．四种命题；2．充分条件与必要条件6.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与双曲线有共同的渐近线的方程可设为代入点得方程为【考点】双曲线方程及性质7.已知是以，为焦点的椭圆上的一点，若，且，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解析】，【考点】1．椭圆定义；2．椭圆离心率8.设函数，则（）A．为的极小值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极大值点【答案】B【解析】定义域，，令，增区间为减区间为，为的极小值点【考点】函数单调性与极值9.如图，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面【答案】C【解析】，，是的中点平面，因此有平面平面，且平面平面，C正确【考点】线面垂直，面面垂直的判定10.若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的中点的轨迹为与直线平行的直线，表示以为圆心，半径为的圆及内部，所以轨迹为直线与相交的弦，可看作到距离的平方，结合图形可知取值范围是【考点】1．点的轨迹；2．圆的方程3．两点间距离公式二、填空题1.圆的圆心坐标为．【答案】【解析】圆的一般方程中为圆心，此题中，圆心为【考点】圆的一般方程2.函数在区间上的最小值为．【答案】【解析】，当时，所以增区间为，减区间为，所以最小值为【考点】函数导数与最值3.如图，网格纸的各小格都是边长为的正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是．【答案】【解析】由三视图可知该几何体为直三棱柱，底面为边长为6的直角三角形，高为4，所以体积为【考点】三视图及棱柱体积4.设、满足约束条件，则的最大值为．【答案】5【解析】约束条件对应的可行域为由直线围成的三角形及内部，当过直线交点时取得最大值5【考点】线性规划问题5.在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是_____________．【答案】【解析】设方程为，令得，与垂直的直线为当时取得最大值【考点】1．导数的几何意义；2．直线方程；3．函数求最值三、解答题1.（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分）已知函数，（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数的单调递减区间．【答案】（1）（2）【解析】（1）首先利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，然后写出点斜式方程并整理（2）首先求出函数的导数，令，解不等式求得减区间试题解析：（1）∵，∴ 4分∴过点的切线方程为：，即 7分，令，解得 11分∴单调递减区间为 13分【考点】1．导数的几何意义；2．导数与单调性2.（本小题满分13分，（1）小问6分，（2）小问7分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）中首先利用三角形中位线得到，进而由，利用两线平行推出线面平行的判定定理得到平面（2）中由等腰得到，利用平面得到，所以平面，试题解析：（1）∵、分别为、的中点，∴， 2分又∵，∴． 4分又∵平面，平面，∴平面 6分（2）∵为等腰底边上的中线，∴．∵平面，平面，∴．又∵，且，∴平面．又平面，∴． 10分∵，，且，∴平面．又平面，∴。
高二上学期期末数学试卷（理科）含答案
高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解 由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。
(完整版)重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学理试题
重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3 D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。
重庆高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若直线与直线平行，则实数a 的值为（ ）1:20l x y -+=2:230l x ay +-=A ． B ． C ．2 D ．12-1-【答案】A【分析】解方程即得解.1(1)20a ⨯--⨯=【详解】解：由题得1(1)20, 2.a a ⨯--⨯=∴=-经检验，当时，满足题意.2a =-故选：A2．已知双曲线的实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的渐近线方程为（）()222210,0y x a b a b -=>>A． B ．y x =32y x =±C ． D ．23y x =±y =【答案】C 【分析】根据双曲线几何性质解决即可.【详解】由题知双曲线中，()222210,0y x a b a b -=>>24,26a b ==所以，双曲线焦点在轴上，2,3a b ==y 所以双曲线的渐近线方程为，23y x ab x =±=±故选：C.3．记等差数列的前n 项和为，已知，，则（ ）{}n a n S 515S =735S =1a =A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-【答案】D【分析】利用题给条件列出关于首项公差d 的方程组，解之即可求得的值.1a 1a 【详解】设等差数列的首项为，公差为d ， {}n a 1a 则，解之得11545152767352a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩121d a =⎧⎨=-⎩故选：D4．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为（ ）()1,1P 224x y +=AB AB A ． B ． C ． D ．20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=【答案】A【分析】根据圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，求出弦所在直线的斜率，再代入点斜式化为一般式即可.【详解】的圆心为,半径，224x y +=(0,0)O 2r =因为为圆的弦的中点，()1,1P 224x y +=AB 所以圆心与点确定的直线斜率为， O P 01101PO k -==-因为圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直，所以弦所在直线的斜率为，AB 1AB k =-所以弦所在直线的方程为：，AB ()1(1)1y x -=-⋅-即.20x y +-=故选：A.5．圆与圆的位置关系为（ ）()221:11O x y -+=()222:39O x y -+=A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】D【分析】求出两个圆的圆心与半径, 通过圆心距与两圆的半径和与差的关系, 判断两个圆的位置关系.【详解】因为圆 的圆心, 半径为,()221:11O x y -+=(1,0)11r =圆 的圆心, 半径为，,()222:39O x y -+=(3,0)23r =,而，2=122r r -=则圆 与圆 的位置关系为内切.1O 2O 故选: D.6．已知数列的前n 项和，满足，则＝（ ）{}n a n S 23n n S a =-6a A ．72B ．96C ．108D ．126 【答案】B 【分析】根据得到数列是以3为首项，2为公比的等比数列，从而求出通11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩{}n a 项公式，得到的值.6a 【详解】当时，，解得：，1n =11123S a a ==-13a =由题意可得，①23n n S a =-当时，，②2n ≥1123n n S a --=-①﹣②得，，即，1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=故数列是以3为首项，2为公比的等比数列，{}n a 所以，132n n a -=⨯故.563296a =⨯=故选：B.7．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为2222:1(0)x y C a b a b+=>>，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与2222x y a b +=+222:116x y C a +=M M C 该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（ ） ,P Q MPQ A CA ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出PQ 22216x y a +=+，再利用基本不等式即可求即解.222216)4(MP MQ PQ a ++==【详解】椭圆C 因为，所以为蒙日圆的直径，MP MQ ⊥PQ所以，所以. PQ =222216)4(MP MQ PQ a ++==因为，当22216)2(2MP MQMP MQ a ≤++⋅=MP MQ ==所以面积的最大值为：. MPQ A 26121MP MQ a =+⋅由面积的最大值为34，得，得，MPQ A 23416a +=a =故椭圆的长轴长为C 故选：C8．设，分别为双曲线：的左､右焦点，为双曲线的左顶点，以1F 2F C ()222210,0x y a b a b-=>>A 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的12F F M N 135MAN ∠=︒离心率为（ ）ABC ．2 D【答案】D【分析】联立与求出，进而的正切可求，得出的关系，从222x y c +=b y x a =(),M a b MAO ∠a b 与而进一步解出答案.【详解】依题意得, 以线段 为直径的圆的方程为 ,12F F 222x y c +=双曲线 的一条渐近线的方程为 . C b y x a =由 以及 222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩222,a b c +=解得 或 ,x a y b =⎧⎨=⎩,.x a y b =-⎧⎨=-⎩不妨取 , 则 .(),M a b (),N a b --因为 ,(),0,135A a MAN ∠-= 所以 ,45MAO ∠= 又 , tan 2b MAO a ∠=所以 , 12b a=所以,2b a =所以该双曲线的离心率 e ==故选：D.二、多选题9．过点的直线l 与直线平行，则下列说法正确的是（ ）(2,0)P -1:20+-=l x y A ．直线l 的倾斜角为45︒B ．直线l 的方程为：20x y ++=C ．直线l 与直线间的距离为1l D ．过点P 且与直线l 垂直的直线为：20x y -+=【答案】BCD【分析】由直线的斜率可求得倾斜角即可判断选项A ，由直线平行和垂直的斜率关系设出所求方程点代入求得直线方程即可判断B 、D ，由平行直线间的距离公式计算即可判断C 选项.P 【详解】过点的直线l 与直线平行，(2,0)P -1:20+-=l x y 设直线l 方程为，代入可得，解得：,所以直线l 的方程1:0l x y m ++=(2,0)P -200m -++=2m =为：，B 正确，20x y ++=直线l 的斜率，直线l 的倾斜角为，则A 错误，1k =-135︒l 与直线的距离为C 正确，1l d 过点P 且与直线l 垂直的直线可设为：，代入可得，解得：,0x y n -+=(2,0)P -200n --+=2n =则过点P 且与直线l 垂直的直线为：，D 正确.20x y -+=故选：BCD.10．已知等差数列的前n 项和为，公差为，且，则下列说法正确的是（ ） {}n a n S d 151416S S S <<A ．B ． 0d >0d <C ．D ．当时，取得最小值 300S >15n =n S 【答案】ACD【分析】根据题干条件利用可得到，，，然后即可根()12n n n a S S n -=-≥150a <15160a a +>160a >据三个结论依次判断四个选项的正误.【详解】因为，所以，，. 151416S S S <<1515140a S S =-<1616150a S S =->151616140a a S S +=->对于A 、B 选项，因为，，所以，故选项A 正确，选项B 错误； 150a <160a >16150d a a =->对于C ，因为，所以，故选项C 正确； 15160a a +>()()130301516301502a a S a a +==+>对于D ，因为，，可知，，等差数列为递增数列，150a <160a >10a <0d >{}n a当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故D 选项正确. 15n ≤0n a <16n ≥0n a >15n =n S 故选：ACD.11．如图，在正方体中，为的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -E 1AAA ．平面11//A D BEC B ．平面1AB ⊥BEC C ．平面平面11AA B B ⊥BECD ．直线与平面1DD BEC 【答案】ACD【分析】对于ABC ，由正方体特征判断即可；对于D ，取的中点，连接，得AB F 1B F 1B F BE ⊥，由，得平面，因为，所以与平面所成角即为与平面1BC B F ⊥1B F ⊥BEC 11//DD BB 1DD BEC 1BB 所成角，大小为，即可判断.BEC 1B BE ∠【详解】由题知，A 选项：因为，平面，平面，11//A D BC BC ⊂BEC 11A D ⊄BEC 所以平面，故A 正确；11//A D BEC B 选项：显然与不垂直，故B 错误；1AB BE C 选项：因为平面，平面，BC ⊥11AA B B BC ⊂BEC 所以平面平面，故C 正确；11AA B B ⊥BEC D 选项：如图，取的中点，连接，易证，AB F 1B F 1B BF BAE △≌△所以，1BB F ABE ∠=∠因为，1190BB F B FB ∠+∠=︒所以，即，190ABE B FB ∠+∠=︒1B F BE ⊥因为平面，平面，BC ⊥11AA B B 1B F ⊂11AA B B 所以，1BC B F ⊥因为，平面BE BC B = ,BE BC ⊂BEC 所以平面，1B F ⊥BEC 因为，11//DD BB 所以与平面所成角即为与平面所成角，大小为，1DD BEC 1BB BEC 1B BE ∠所以，故D 正确， 11cos sin B BE BB F ∠=∠故选：ACD.12．已知点F 是抛物线的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且，直线AB 的斜率为24y x =AB CD ⊥k ，且，C ，A 两点在x 轴上方，则（ ）0k >A ． B ．四边形ABCD 面积最小值为643OC OD ⋅=-C ．D ．若，则直线CD 的斜率为1114AB CD +=16AF BF ⋅=【答案】ACD【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根F AB 之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长，同理可得的值，由均值不等式可得四边形||AB ||CD 的面积的最小值，经过判断可得命题的真假．【详解】由抛物线的方程可得焦点，，由题意可得直线，的斜率存在且不为0， (1F 0)AB CD 设直线 的方程为：，设，，，，CD 1(0)x my m =+<1(C x 1)y 2(D x 2)y 联立，整理可得：， 214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=显然，，，0∆>124y y m +=124y y =-，， 21212()242x x m y y m +=++=+21212()116y y x x ==所以，所以A 正确；12121(4)3OC OD x x y y ⋅=+=+-=- 由于 , , 21244CD x x p m =++=+1AB CDk k =-所以将中的换成代入中得 , CD m 1m -CD 2144AB m =+，当且仅当时()()22222411114182823222ACBD m S AB CD m m m m +⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯+⋅=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭四边形…1m =-等号成立，所以四边形的最小面积为，所以B 不正确；32设,，,，3(A x 3)y 4(B x 4)y 若，即，||||16AF BF ⋅=343434(1)(1)116x x x x x x ++=+++=整理可得，4343()116x x x x +++=即，解得，即的斜率， 21411126m ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭213m =m =CD 10k m =<所以直线的斜率为D 正确；CD 可得弦长,， ()2||41CD m =+21||41AB m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以，所以C 正确； 2221111||||4(1)4(1)4m AB CD m m +=+=++故选：ACD三、填空题13．已知空间向量，若，则实数的值为__________.()()2,1,3,4,2,a b x =-=- a c ⊥ x 【答案】 103【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为，所以，解得， a c ⊥ 2(4)(1)230a b x ⋅=⨯-+-⨯+= 103x =故答案为: . 10314．“二十四节气”已经被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气的日影长依次成等差数列．若冬至的日影子长为15.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和是___________尺．【答案】40【分析】把对应的十二节气分别对应成等差数列的前项，相当于已知，求解1211215.5, 4.5a a ==.5678a a a a +++【详解】设从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长以此成等差数列，设公差为，则所以{}n a d 11215.5, 4.5a a ==，则，所以雨水、惊蛰、春分、清明的日影长的和为15.511 4.5d +=1d =-567811.510.59.58.540a a a a +++=+++=故答案为：4015．已知点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，则的最小值(5,2)A F 24y x =P ||||PA PF +为__．【答案】6【分析】作出图形，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可知，当点、P =1x -E A P 、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，即可求解.E AP =1x -||||PA PF +【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，24y x =(1,0)F =1x -过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，P =1x -E PF PE =，||||||||PA PF PA PE +=+当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，A P E AP =1x -取得最小值，且最小值为．||||PA PF +516+=故答案为：.6四、双空题16．我们初中分别把反比例函数图象和二次函数图象称为“双曲线”和“抛物线”，事实上，它们就是圆锥曲线中的双曲线和抛物线，只是对称轴不是坐标轴，但满足基本的定义，也有相对应的焦点、准线、离心率等.已知反比例函数解析式为，其图象所表示的双曲线的焦距为______；已知二4y x=次函数解析式为，其图象所表示的抛物线焦点坐标为______.223y x x =--【答案】 81,34⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】结合反比例函数图象的对称轴求得焦距；根据图象变换的知识求得抛物线的焦点坐标.【详解】的图象关于直线对称，即是双曲线的实轴， 4y x =y x =y x =4y x=由解得或， 4y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩1122x y =⎧⎨=⎩2222x y =-⎧⎨=-⎩设，所以双曲线的实轴长为()()2,2,2,2A B --=4y x =由于轴和轴是双曲线的渐近线，所以双曲线是等轴双曲线， x y 4y x =4y x =所以双曲线的虚轴长为 4y x =所以双曲线. 4y x=8=二次函数， 2212523248y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎭-⎝可看作的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到. 22y x =14258即，其焦点坐标为， 22y x =212x y =10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到， 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭142531,34⎛⎫- ⎪⎝⎭即抛物线的焦点坐标为. 223y x x =--1,34⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：； 81,34⎛⎫- ⎪⎝⎭五、解答题17．在等差数列中，已知 且．{}n a 12318a a a ++=45654a a a =++(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．14n n n b a a +=⋅{}n b n n S 【答案】(1) 42n a n =-(2) 21n n S n =+ 【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列的公差为，则,， 解得{}n a d 13318a d +=131254a d +=,12a =4d =,；∴24(1)42n a n n =+-=-*n ∈N （2）解：，()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭ . 111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，P ABCD -ABCD PB ⊥ABCD 3AB BC ==3BP =，，． 13CF CP =13DE DA =(1)证明：平面；EF P ABP (2)求直线与平面所成角的正弦值．PC ADF 【答案】(1)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线EF ABP 面角即可.【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分BC BA BP B BC BA BP 别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,,x y z B xyz -则，，，， ()0,0,0B ()3,0,0C ()2,3,0E ()2,0,1F所以，．()3,0,0BC = ()0,3,1EF =- 底面，底面，PB ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PB BC ∴⊥又，，BC BA ⊥ PB BA B = 且平面,,PB BA ⊂ABP 平面，BC ∴⊥ABP 所以是平面的一个法向量．()3,0,0BC = ABP 因为，()()3,0,00,3,10BC EF ⋅=⋅-= 所以．BC EF ⊥ 又平面，所以平面．EF ⊄ABP EF P ABP （2）因为，，，，，()0,3,0A ()3,0,0C ()3,3,0D ()0,0,3P ()2,0,1F 所以，，，()3,0,0AD = ()2,3,1AF =- ()3,0,3PC =- 设平面的法向量为，则ADF (),,n x y z = 由，解得，令， 30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 03x z y =⎧⎨=⎩1y =得平面的一个法向量为．ADF ()0,1,3n = 设直线与平面所成的角为，PC ADF θ则sin cos<,PCθ= 故：直线与平面． PC ADF 19．已知圆经过和两点，且圆心在直线上．C ()3,0A ()2,1B 240x y +-=(1)求圆的方程；C(2)从点向圆C 作切线，求切线方程．()3,2【答案】(1)22(2)1x y -+=(2)或3x =3410x y --=【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】（1）由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 10123AB k -==--AB 又因为的中点为， AB 51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段的中垂线的直线方程为， AB 1522y x -=-即， 20x y --=联立 解得 ，所以圆心 240,20x y x y +-=⎧⎨--=⎩20x y =⎧⎨=⎩(2,0)C 又因为半径等于,所以圆的方程为.1AC =C 22(2)1x y -+=（2）设圆的半径为，则，C r 1r =若直线的斜率不存在，因为直线过点，()3,2所以直线方程为，3x =此时圆心到直线的距离，满足题意;(2,0)C 3x =1d r ==若直线的斜率存在，设斜率为，k 则切线方程为，即，2(3)y k x -=-230kx y k -+-=因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， d 解得， 34k =所以切线方程为，即. 392044x y -+-=3410x y --=所以切线方程为或.3x =3410x y --=20．已知椭圆经过． 2222:1x y E a b +=1(0,1),2⎫⎪⎭(1)求椭圆的方程；E (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．:10l x y --=E A B O OAB A【答案】(1) 2214x y +=(2) 45【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程；a b （2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标l x 1y ，，设直线与轴交于点，利用进行求解． 2y l x P 1212S OP y y =-【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得2222:1x y E a b +=1(0,1),2⎫⎪⎭22213114b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：，， 2a =1b =即椭圆的方程为； E 2214x y +=（2）记，，可设的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y AB 1x y =+由，消去得，解得， 22441x y x y ⎧+=⎨=+⎩x 25230y y +-=1231,5y y =-=直线与轴交于点，则 . l x (1,0)P 12118412255S OP y y =-=⨯⨯=21．已知数列的前n 项和为，且. {}n a n S 2n n S n a +=(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若恒成立.求实数的最大值.1n na S n n λ-≤-λ【答案】(1)；21n n a =-(2).23【分析】（1）根据给定条件，利用“当时，”探求数列相邻两项的关系，再构2n ≥1n n n S S a --={}n a 造数列求解作答.（2）由已知结合（1）的结论分离参数，再构造新数列，借助单调性求解作答.【详解】（1）依题意，，当时，，解得，2n n S a n =-1n =1121a a =-11a =当时，，，两式相减得，2n ≥2n n S a n =-1121n n S a n --=-+1221n n n a a a -=--因此，则， 121n n a a -=+()1121n n a a -+=+则是以为首项，2为公比的等比数列，有，显然满足上式， {}1n a +11a +12nn a +=11a =所以数列的通项公式为.{}n a 21n n a =-（2）由（1）可知，，因，整理得：， 1222n n n S a n n +=-=--1n na S n n λ-≤-2221n n λ≤--令，则， 2221n n n b =--222111(1)[(1)2]2(21)2121(21)(21)n n n n n n n n n n n b b ++++--⋅++-=-=----显然，当时，，即，因此当时，数列是递增的， 210b b -<2n ≥10n n b b +->1n n b b +>2n ≥{}n b 于是得，依题意，恒成立，即有， min 22()3n b b ==2221n n λ≤--23λ≤所以实数的最大值为.λ2322．已知抛物线，为坐标原点，过焦点的直线与抛物线交于不同两点.2:4C y x =O F l C ,A B (1)记和的面积分别为，若，求直线的方程；AFO A BFO A 12,S S 212S S =l (2)判断在轴上是否存在点，使得四边形为矩形，并说明理由.x M OAMB【答案】(1)；440x -=(2)不存在，理由见详解.【分析】（1）设直线方程为，，利用韦达定理及计算可得答l 1x ty =+()()1122,,,A x y B x y 212y y =-案；（2）假设存在点，使得四边形为矩形，根据抛物线的性质推出不成立，则可得M OAMB OA OB ⊥不存在点，使得四边形为矩形.M OAMB 【详解】（1）设直线方程为，l 1x ty =+()()1122,,,A x y B x y 联立，消去得， 241y x x ty ⎧=⎨=+⎩x 2440y ty --=得①，②，124y y t +=124y y =-又因为，则③212S S =212y y =-由①②③解得 t =即直线的方程为，即 l 1x y =+440x -=（2）假设存在点，使得四边形为矩形，M OAMB则互相平分 ,OM AB 所以线段的中点在上，则轴， AB x AB x ⊥此时 ()()1,2,1,2A B - 41OA OB k k ∴=-≠-则不成立.OA OB ⊥故在轴上不存在点，使得四边形为矩形 x M OAMB。
高二上学期期末考试数学(理)试卷及参考答案(共3套)
绝密★启用前第一学期期末考试高二年级(理科数学)试题卷 本试卷共22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生先检查试卷与答题卷是否整洁无缺损，并用黑色字迹的签字笔在答题卷指定位置填写自己的班级、姓名、学号和座位号。
2．选择题每小题选出答案后，请将答案填写在答题卷上对应的题目序号后，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的，答案无效。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．下列说法正确的是(A) 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”(B) 若命题2:,210p x x x ∃∈-->R ，则命题2:,210p x x x ⌝∀∈--<R (C) 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 (D) “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件2．已知向量(1,1,0)=a ，(1,0,2)=-b ，且(R)k k +∈a b 与2-a b 互相垂直，则k 等于(A) 1 (B)15 (C) 35 (D)753．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若3a =，3b =π3A =，则B =(A)π6 (B) 5π6 (C) π6或5π6(D)2π34．若公差为2的等差数列{}n a 的前9项和为81，则9a =(A) 1(B) 9(C) 17(D)195．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是(A)(B) (C) 2 16．已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a (2)n a +等于(A) 2)12(-n(B))12(31-n (C) 14-n (D))14(31-n 7．不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -等于(A) 10- (B) 10 (C) 14- (D)148．已知0,0>>b a ，且132=+b a ，则23a b+的最小值为(A) 24(B) 25 (C) 26(D)279．若中心在原点，焦点在y(A) y x =± (B) 2y x =±(C) y = (D)12y x =± 10．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 (A) 30m -<< (B) 32m -<< (C) 34m -<< (D)13m -<<11．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为(A)13(B)3(C)(D)2312．已知点P 是抛物线22y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27A ，则|||PA PM +的最小值是(A)211 (B) 4 (C)29 (D)5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量1(8,,),(,1,2)2a x xb x ==，其中0x >，若b a //，则x 的值为__________．14．过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________． 15．已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =__________．16．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。
重庆高二高中数学期末考试带答案解析
重庆高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A．(2，0)B．(1，0)C．(0，－4)D．(－2，0)2.命题“”的否定是（）A．B．C．D．3.复数等于（）A．B．C．D．4.已知直线与直线，若，则的值为（）A．1B．2C．6D．1或25.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．6.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则7.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为6 cm，深2 cm的空穴，则该球表面积为( )cm².A．B．C．D．8.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）B．24πA．C．D．12π9.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )A．B．C．D．10.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．二、填空题1.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 _.2.设双曲线的渐近线方程为，则的值为_____________.3.若在不等式组所确定的平面区域内任取一点，则点的坐标满足的概率是_____________.4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.5.双曲线的离心率为_________．三、解答题1.已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围．2.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围;（2）过作圆的弦，求最小弦长？3.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地第6年的粮食需求量．4.如图，菱形的边长为2，为正三角形，现将沿向上折起，折起后的点记为，且，连接．（1）若为的中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积．5.已知过点的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个顶点，若线段的中点恰为点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.6.如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点.（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；（ⅱ）求的最小值.重庆高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.抛物线的焦点坐标为（）A．(2，0)B．(1，0)C．(0，－4)D．(－2，0)【答案】B【解析】由抛物线方程，∴，∴抛物线的焦点坐标为，故选B．【考点】抛物线的性质．2.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为命题“”是全称命题，否定应为特称命题，其否定为“”，故选D．【考点】全称命题的否定．3.复数等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C．【考点】复数的运算．4.已知直线与直线，若，则的值为（）A．1B．2C．6D．1或2【答案】D【解析】由题意，得，解得，故选D．【考点】直线垂直的条件．5.双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，，，因为，所以，故选C．【考点】双曲线的离心率．6.设为直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）A．若,,则B．若,,则C．若,,则D．若,,则【答案】B【解析】若，，则平面可能相交，此时交线与平行，故A错误；若，，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若，，则存在直线，使，则，故此时，故C错误；若，，则与可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误，故选B 【考点】空间直线、平面平行与垂直辨析．7.湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为6 cm，深2 cm的空穴，则该球表面积为( )cm².A．B．C．D．【答案】A【解析】如图，设球心为，是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为，为小圆的一条直径，设球的半径为，则，∴中，，，．根据勾股定理，得，即，解之得，∴该球表面积为，故选A．【考点】球的截面性质与表面积．8.右图是某几何体的三视图，其中正视图是正方形，侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积等于（）B．24πA．C．D．12π【答案】A【解析】由题意可得，直观图为底面直径为4，高为4的圆柱的一半，所以该几何体的表面积是正方形面积+圆柱侧面积的一半+圆的面积，即，故选A．【考点】由三视图求表面积．9.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设三男分别记为，设三女分别记为，从三男三女6名学生中任选2名学生有共，，，，共种选法，其中选出的2名都是女同学的有3种选法，∴2名都是女同学的概率为，故选C．【考点】古典概型的概率．10.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将点代入：，得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，，设，得，解得，∴．∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，解得，故选C．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的性质．二、填空题1.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 _.【答案】【解析】由频率分布直方图得合格的频率＝，合格的人数＝．【考点】频率分布直方图的计算问题．2.设双曲线的渐近线方程为，则的值为_____________.【答案】【解析】双曲线的渐近线为，因为与重合，所以．【考点】双曲线的渐近线．3.若在不等式组所确定的平面区域内任取一点，则点的坐标满足的概率是_____________.【答案】【解析】满足约束条件区域为内部（含边界），如图与圆的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在圆内的概率概率为＝＝．【考点】1、线性规划；2、几何概型．4.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB//CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.【答案】【解析】由题意可知直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4．【考点】1、平面的基本性质；2、直线与平面平行的判定与性质．5.双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】双曲线的中心为原点，对称轴是和，渐近线为和，顶点是双曲线与的交点，．是等轴双曲线，根据双曲线中的几何意义可知，，，所以．或解：将双曲线逆时针旋转，可得到等轴双曲线，其离心率为．【考点】等轴双曲线的性质．三、解答题1.已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求出，的等价条件．然后利用是的充分条件，确定实数的取值范围．试题解析：，，∵是的充分条件，∴，∴，解得．综上：的取值范围为．【考点】1、必要条件、充分条件；2、一元二次不等式的解法．2.已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.（1）求的取值范围;（2）过作圆的弦，求最小弦长？【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）根据直线与圆相交，得到圆心到直线的距离小于半径，即可求出的取值范围；（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，利用两点间的距离公式求出弦心距，由垂径定理及勾股定理求出最小弦长即可．试题解析：（1）圆心到直线的距离，解得或．（2）当圆心与连线为弦心距时，弦长最小，∵圆心到的距离为，半径，根据题意得：最小弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．3.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地第6年的粮食需求量．【答案】（1）；（2）万吨．【解析】（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，做出平均数，利用最小二乘法做出，写出线性回归方程．（2）把所给的的值代入线性回归方程，求出变化以后的预报值，得到结果．试题解析：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程：，，∴，∴，∴所求的回归直线方程为．（2）可预测第6年的粮食需求量为（万吨）.【考点】回归分析．4.如图，菱形的边长为2，为正三角形，现将沿向上折起，折起后的点记为，且，连接．（1）若为的中点，证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，交于点，连接、，可得，再由线面平行的判定定理证明平面；（2）在内，过作于，可证平面，求得，根据体积公式计算可得答案．试题解析：（1）如图，连接，交于点，连接、，∵为菱形，∴为中点又∵为的中点，∴，又平面，平面，∴平面.（2）在内，过作于，在菱形中，，又沿折起, ∴．∵∴平面，∴，又，∴平面．∵，∴，∴＝＝．【考点】1、棱锥的体积；2、直线与平面平行的判定．5.已知过点的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个顶点，若线段的中点恰为点.（1）求直线的方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由点差法可求得斜率，进而求得直线方程组；（2）联立圆与直线方程，利用弦长公式求得的长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，再利用三角形面积公式即可求得结果．试题解析：（1）由点差法，可得直线．（2）联立，，点到直线的距离，．【考点】1、直线与椭圆的位置关系；2、到直线的距离；3、点差法的应用．6.如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点.（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；（ⅱ）求的最小值.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．【解析】（1）利用离心率可得，关系．由两个顶点距离可得，距离，由此结合可求得，的值，从而求得椭圆的标准方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况求解．当直线的斜率不存在时，情况特殊，易求解；当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程，然后结合韦达定理与，以及点到直线的距离公式求解；（3）在中，利用＝与，结合基本不等式求解．试题解析：（1）由，得，由顶点的距离为，得，又由，解得，所以椭圆C的方程为．（2）解：（ⅰ）点到直线的距离为定值．设,①当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线：，将代入，解得，所以点到直线的距离为；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆：，联立消去得，，．因为，所以，，即，所以，整理得，所以点到直线的距离＝．综上可知点到直线的距离为定值．（ⅱ）在中，因为＝又因为≤，所以≥，所以≥，当时取等号，即的最小值是．【考点】1、椭圆的性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、点到直线的距离．。
2021-2022学年重庆市高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年重庆市高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.直线3x+√3y+1=0的倾斜角是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.直线y=kx+1与圆x2+y2+2y−5=0的位置关系是()A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交或相切3.设a为实数，则曲线C：x2−y21−a2=1不可能是()A. 抛物线B. 双曲线C. 圆D. 椭圆4.我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几何？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是()A. 4031B. 2031C. 1031D. 5315.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值为()A. √24B. √23C. √104D. √636.双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与y轴交于点A、与双曲线右支交于点B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √67.已知空间中四点A(−1,1,0)，B(2,2,1)，C(1,1,1)，D(0,2,3)，则点D到平面ABC的距离为()A. √6B. √63C. √66D. 08.已知数列{a n}的首项为a1，且(1+1n)a n+1−a n=1(n∈N∗)，若a n⩾a4，则a1的取值范围是()A. [92,252] B. [498,818] C. [6,10] D. [254,9]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若向量{a⃗,b⃗ ,c⃗ }构成空间的一个基底，则下列向量共面的是()A. a⃗+b⃗ ，a⃗−b⃗ ，a⃗+2b⃗B. a⃗−b⃗ ，a⃗+c⃗，b⃗ +c⃗C. a⃗−b⃗ ，c⃗，a⃗+b⃗ +c⃗D. a⃗−2b⃗ ，b⃗ +c⃗，a⃗+c⃗−b⃗10.已知数列{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，设c n=a n+b n，d n=a n b n，则关于数列{c n}和{d n}，下列说法中正确的是()A. 数列{c n}一定是等差数列B. 数列{d n}一定不是等差数列C. 给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式D. 给定d1，d2可求出数列{d n}的通项公式11.设圆O：x2+y2=1与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是()A. 若∠ABO=30°，则点B的坐标为(√3,1)B. 若|OB|=2，则0°⩽∠OBC⩽30°C. 若∠OBC=30°，则|OB|=2D. 若∠ABC=60°，则|OB|⩽212.已知曲线C的方程为x|x|4+y2=1，点A(1,0)，则()A. 曲线C上的点到A点的最近距离为1B. 以A为圆心、1为半径的圆与曲线C有三个公共点C. 存在无数条过点A的直线与曲线C有唯一公共点D. 存在过点A的直线与曲线C有四个公共点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知直线mx−2y−1=0与x+(1−m)y+2=0平行，则实数m的值为______．14.写出一个数列{a n}的通项公式a n=______，使它同时满足下列条件：①a n<a n+1，②S n⩽a n，其中S n是数列{a n}的前n项和．(写出满足条件的一个答案即可)15.在空间直角坐标系Oxyz中，点P(−1,2,3)在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，则四面体PABC的体积为______．16.已知离心率为e1的椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和离心率为e2的双曲线C2：x2a22−y2b22=1(a2>0,b2>0)有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点，线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，则4e12+e22的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}满足a n+1−a n=3，且a1，a5，a8成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值及此时n的值．18.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点是圆x2+y2−2x=0与x轴的一个交点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点(8,0)的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：OA⊥OB．19.设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，且S n=2S n−1+1(n>1,n∈N∗).(1)证明：数列{S n+1}为等比数列；(2)若b n=S n2−26a n，是否存在正整数k，使得b n≥b k对任意n∈N∗恒成立？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．20.已知圆C经过点A(−2,3)和B(0,1)，且圆心C在直线x+y+1=0上．(1)求圆C的方程；(2)过原点的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN的面积为√3，求直线l的方程．21.如图，直角梯形AEFB与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AE//BF，AE⊥AB，AB=AE=2，BF=1，∠ABC=120°，M为AD中点．(1)证明：直线BM//平面DEF；(2)求二面角M−EC−F的余弦值．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(√6,0)，B(−√6,0)，过点A的动直线l1与过点B，设动点P的轨迹为曲线C．的动直线l2的交点为P，l1，l2的斜率均存在且乘积为−12(1)求曲线C的方程；(2)若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q，直线NQ交x轴于点T，求|QT|⋅|TN|的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线3x+√3y+1=0的斜率为：−√3，直线的倾斜角为：θ，tanθ=−√3，可得θ=120°．故选：C．求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：圆x2+y2+2y−5=0即x2+(y+1)2=6，表示以(0,−1)为圆心，半径等于√6的圆．直线y=kx+1恒过(0,1)点，圆心到(0,1)的距离为2<√6，故直线和圆相交，故选：A．根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出直线y=kx+1恒过的定点，利用圆心与定点的距离，与半径比较，即可判断直线与圆的位置关系．本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．3.【答案】A=1化为x2+y2=1，方程表示圆．【解析】解：当a=±√2时，曲线C：x2−y21−a2a2>2时，方程表示椭圆，a∈(−√2,√2)且a≠±1时，方程表示双曲线，故选：A．通过a的范围，判断曲线的形状，即可得到选项．本题考查曲线与方程的应用，圆锥曲线的判断，是基础题．4.【答案】C【解析】解：设第二天织布的x 尺，则由题意得，12x +x +2x +4x +8x =5，解得x =1031， 故选：C ．设第二天织布的x 尺，由等比数列的性质写出每天织布尺数，从而建立方程求解． 本题考查了等比数列性质的应用，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：建立如图的坐标系，设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，D 1(0,0,2)，E(1,1,2)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,2)，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−2,2)， 则|AE|=√1+1+4=√6，|BD 1|=√4+4+4=2√3，则cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−2+4√6×2√3=46√2=4√212=√23， 即异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值为√23，故选：B ．建立空间直角坐标系，求出向量坐标，利用向量法进行求解即可．本题主要考查空间异面直线所成角的求解，建立坐标系，利用坐标系和向量法是解决本题的关键，是中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意，因为△ABF 2为等边三角形，所以|AF 2|=|BF 2|=|AB|，∠BAF 2=∠ABF 2=∠AF 2B =60°， 因为△F 1AO≌△F 2AO ，所以∠AF 1F 2=30°，∠BF 2F 1=90°，即BF 2⊥F 1F 2，故点B(c,b 2a )，因为tan∠AF 1F 2=tan30°=b 2a2c=c 2−a 22ac=√33， 则e −1e =2√33，解得e =√3．故选：B ．利用等边三角形的性质以及三角形全等，结合双曲线的几何性质，求出双曲线的离心率e ．本题考查双曲线的几何性质的运用，双曲线离心率的求法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1,1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,3)， 令m⃗⃗⃗ =(−1,1,2)， 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面ABC 的法向量， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=6√6=√6，故选：A ．用向量数量积计算点到平面距离即可． 本题考查了点到平面距离问题，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：因为(1+1n )a n+1−a n =1(n ∈N ∗)，可得n+1na n+1−a n =1，所以(n +1)a n+1−na n =n ，所以2a 2−a 1=1，3a 3−2a 2=2，4a 4−3a 3=3，⋯，na n −(n −1)a n−1=n −1，各式相加可得na n−a1=1+2+3+⋯+(n−1)=n(n−1)2=n2−n2，所以a n=n−12+a1n，由a n≥a4，可得n−12+a1n≥32+a14恒成立，整理得a1(n−4)2n≤n−4恒成立，当1≤n≤3时，n−4<0，不等式可化为a1≥2n恒成立，所以a1≥(2n)max=6；当n=4时，n−4=0，不等式可化为0≤0恒成立；当n≥5时，n−4>0，不等式可化为a1≤2n恒成立，所以a1≤(2n)min=10，综上可得，实数a1的取值范围是[6,10]．故选：C．由题意，得到(n+1)a n+1−na n=n，利用累加法求得a n=n−12+a1n，结合由a n≥a4，转化为a1(n−4)2n≤n−4恒成立，分1≤n≤3，n=4和n≥5三种情况讨论，即可求解．本题考查累加法，考数列的通项公式，考查学生的推理能力，属于难题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A：由于向量{a⃗,b⃗ ,c⃗ }构成空间的一个基底，且满足a⃗+2b⃗ =32(a⃗+b⃗ )−12(a⃗−b⃗ )，故A正确；对于B：由于a⃗−b⃗ =(a⃗+c⃗ )−(b⃗ +c⃗ )，故B正确；对于C：由于a⃗+b⃗ +c⃗≠m(a⃗−b⃗ )+n c⃗，故C错误；对于D：由于a⃗−2b⃗ =(a⃗+c⃗−b⃗ )−(a⃗−2b⃗ )，故D正确．故选：ABD．直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的基底，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：设{a n}、{b n}公差分别为d1，d2，且都不为0，AC：∵c n+1−c n=a n+1+b n+1−a n−b n=d1+d2，∴数列{c n}为等差数列，给定c1，c2可求出数列{c n}的通项公式，∴AC正确，B：设a n=d1n+t1，b n=d2n+t2，∴d n=a n b n=(d1n+t1)⋅(d2n+t2)=(d1d2)n2+(d1t2+d2t1)n+t1t2为二次函数，∴数列{d n }一定不为等差数列，∴B 正确，D ：根据二次函数的性质，仅仅给定d 1，d 2不能求出数列{d n }的通项公式，∴D 错误， 故选：ABC ．利用等差数列的通项公式，等差数列的定义判断即可．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的定义，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：对于A ，若∠ABO =30°，则可得|OB|=2，所以√x B 2+1=2，解得x B =±√3，所以点B 的坐标为(±√3,1)，故A 错误； 对于B ：若|OB|=2，则∠ABO =30°，又因为∠OBC ≤∠ABO ，所以0°⩽∠OBC ⩽30°，故B 正确；对于C ：过B 作圆O 的两条切线B A 、M B ，切点分别为A 、M ，若在圆O 上存在点C ，使∠ OBC =30°，则∠ OMB ≥∠ OBM =30°，所以∠ ABO ≥30°，又OAOB =sin∠ABO ，所以|OB|≤2，故C 错误．对于D ：在圆C 上存在点C 使∠ABC =60°，则∠ABM ≥60°，则∠ABO ≥30°，所以|OB|⩽2，故D 正确． 故选：BD ．利用数形结合法，对每一个选项逐一计算可判断结果． 本题考查点与圆的位置关系，属中档题．12.【答案】BC【解析】解：原方程x|x|4+y 2=1等价于{x 24+y 2=1,x ⩾0y 2−x 24=1,x <0， 对A ：由题意，当P(x,y)为曲线C 在第一缘限上的点时才有P 点到A 点的最近距离，此时|PA|2=(x −1)2+y 2=34x 2−2x +2(0⩽x ⩽2)，所以|PA|min 2=23, 故|PA|min =√63，故选项A 错误；对B ：因为√63<1，且椭圆右顶点、上顶点到点A 的距离分别为1、√2，故椭图上恰有三个点到A 的距离为1，故选项B 正确； 对C ：由于y 2−x 24=1(x <0)与y =k(x −1)无交点时，联立{y 2−x 24=1(x <0)y =k(x −1)，有(k 2−14)x 2−2k 2x +k 2−1=0，由Δ<0，可得−√55<k <√55，此时直线只与椭圆有一个交点，故选项C 正确；对D ：由于过A 点的直线与椭圆只有一个交点，与双曲线最多两个交点，所以与曲线C 至多有三个公共点，故选项D 错误， 故选：BC ．原方程等价于{x 24+y 2=1,x ⩾0y 2−x 24=1,x <0，然后对各选项逐一分析判断即可得答案． 本题考查了曲线与方程的相关知识，属于中档题．13.【答案】2或−1【解析】解：∵直线mx −2y −1=0与x +(1−m)y +2=0平行， ∴m(1−m)=−2×1，解得m =2或−1，经检验，当m =2或−1时，直线mx −2y −1=0与x +(1−m)y +2=0不重合， 故答案为：2或−1．根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解． 本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．14.【答案】−1n【解析】解：写出一个数列{a n }的通项公式a n ，使它同时满足下列条件：①a n <a n+1，②S n ⩽a n ，条件①a n <a n+1，表明数列{a n }是单调递增数列， 条件②S n ⩽a n ，表明首项不能为0或正数．因此可取a n=−1n．故答案为：−1n．根据条件①a n<a n+1，表明数列{a n}是单调递增数列；条件②S n⩽a n，表明首项不能为0或正数，进而得出结论．本题考查了数列的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：空间直角坐标系Oxyz中，点P(−1,2,3)在x，y，z轴上的射影分别为A，B，C，把四面体PABC补成棱长为1、2、3的直四棱柱，如图所示：则四面体PABC是直四棱柱CMPN−OAQB截去四个体积相等的三棱锥余下的部分，所以四面体PABC的体积为V四面体PABC =V四棱柱CMPN−OAQB−4V三棱锥C−OAB=1×2×3×−4×13×12×1×2×3=2．故答案为：2．根据题意画出图形，结合图形，利用分割补形法求出四面体PABC的体积．本题考查了空间几何体的结构特征与几何体体积计算问题，是中档题．16.【答案】92【解析】解：设F2为右焦点，半焦距为c，PF1=x，PF2=y，由题意，PF1⊥PF2，则x²+y²=4c²，x+y=2a1，x−y=2a2，所以(2a1)²+(2a2)²=2×4c²，从而有1e 12+1e 22=2，故(4e 12+e 22)(1e 12+1e 22)=5+4e 12e 22+e 22e 12≥5+2√4e 12e 22⋅e 22e 12=9，当仅当e 2=√2e 1=√62时取等，所以4e 12+e 22≥92， 故答案为：92．设F 2为右焦点，半焦距为c ，PF 1=x ，PF 2=y ，由题意，PF 1⊥PF 2，则x²+y²=4c²，x +y =2a 1，x −y =2a 2，所以(2a 1)²+(2a 2)²=2×4c²，从而有1e 12+1e 22=2，最后用均值不等式即可求解．本题考查椭圆的定义，双曲线的定义，椭圆离心率、双曲线离心率的取值范围，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵a n+1−a n =3，∴数列{a n }的公差为3， 故a n =a 1+3(n −1)， 又∵a 1，a 5，a 8成等比数列， ∴(a 1+12)2=a 1(a 1+21)， 解得a 1=−48，故a n =a 1+3(n −1)=3n −51；(2)由题意得，S n 取最小值时，即a n 变号时， 令a n =3n −51=0得，n =17； 故S n 的最小值为S 16=S 17=−408； 此时n 的值为16或17．【解析】(1)由题意得数列{a n }的公差为3，再由a 1，a 5，a 8成等比数列得(a 1+12)2=a 1(a 1+21)，从而解得；(2)由等差数列性质知，当S n 取最小值时，即a n 变号时，从而确定最小值． 本题考查了等差数列与等比数列的性质应用，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意知，圆与x 轴的交点分别为(0,0)，(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，所以p2=2，即p =4，所以抛物线方程为y 2=8x ； (2)证明：设直线为x =my +8， 联立方程{x =my +8y 2=8x ，有y 2−8my −64=0，所以y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−64，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)264+y 1y 2=0， 所以OA ⊥OB ．【解析】(1)由圆与x 轴的交点分别为(0,0)，(2,0)，则抛物线的焦点为(2,0)，从而即可求解；(2)设直线为x =my +8，联立抛物线方程，由韦达定理及OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2，求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可得证． 本题考查了直线与抛物线，第(2)问中将直线方程设为x =my +8就避免了讨论斜率存在与不存在这两种情况，属于基础题．19.【答案】证明：(1)∵S n =2S n−1+1(n >1,n ∈N ∗).∴1+S n =2S n−1+2=2(S n−1+1)， 则数列{S n +1}是公比为2的等比数列，解：(2)∵数列{S n +1}是公比为2的等比数列，首项S 1+1=1+1=2， ∴S n +1=2×2n−1=2n ，则S n =2n −1， 当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n −2n−1=2n−1， 又a 1=1满足a n =2n−1，∴a n =2n−1．则b n =S n 2−26a n =(2n −1)2−26×2n−1=4n −15×2n +1，令t =2n ，则b n =t 2−15t +1，t ∈{2,4,8,16,…,} 故当t =8时，即n =3时，b n 取得最小值，即此时k =3． 即存在k =3使得b n ≥b k 对任意n ∈N ∗恒成立．【解析】(1)利用等比数列的定义进行证明即可．(2)求出数列{a n }的通项公式以及S n ，求出b n 的通项公式，利用指数函数的性质，利用换元法转化为二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，根据等比数列的定义，以及指数函数的性质，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键，是中档题．20.【答案】解：(1)设直线AB 的中点为D ，则有D(−1,2)，因为k AB =3−1−2−0=−1，所以直线AB 的方程为y =−x +1，所以直线AB 的中垂线为l 1：y =x +3，则圆心C 在直线l 1上，且在直线x +y +1=0上， 联立方程{y =x +3x +y +1=0，解得C(−2,1)，则圆的半径为r =2，所以圆的方程为(x +2)2+(y −1)2=4，(2)设圆心到直线的距离为d ，因为S △CMN =12CM ×CN ×sin∠MCN =√3，所以∠MCN =π3或2π3，所以d =√3或d =1，显然直线斜率存在，所以设直线l ：y =kx ， 则有d =∣−2k−1∣√k 2+1=√3或d =∣−2k−1∣√k 2+1=1，解得k =−2±√6或k =0或k =−43，故直线的方程为y =0或y =−43x 或y =(−2±√6)x ．【解析】(1)先求出直线AB 的方程，再求AB 中垂线方程l 1，再联立方程{y =x +3x +y +1=0，解得C(−2,1)，可求圆的半径，进而得圆的方程；(2)S △CMN =12CM ×CN ×sin∠MCN =√3，可得d =√3或d =1，设直线l ：y =kx ，进而可求k ，可求方程．本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．21.【答案】(1)证明：取DE 中点N ，连接MN 、NF ， 因为M 为AD 中点，所以MN//AE ，MN =12AE ， 因为AE//BF ，AE =2，BF =1，所以MN//BF ，MN =BF ，所以四边形MNFB 是平行四边形，所以MB//NF ， 因为NF ⊂平面DEF ，BM ⊄平面DEF ，所以直线BM//平面DEF ．(2)解：因为平面AEFB ⊥平面ABCD ，平面AEFB ∩平面ABCD ，AE ⊥AB ，所以AE ⊥平面ABCD ，因为MN//AE ，所以MN ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥MA ，MN ⊥MB ，因为ABCD 是菱形，∠ABC =120°，M 为AD 中点， 所以△ADB 是等边三角形，所以BM ⊥AD ，所以MA 、MB 、MN 两两垂直，建系如图，E(1,0,2)，C(−2,√3,0)，F(0,√3,1)，M(0,0,0)， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−√3,2)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−√3,0)，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1)， 令m ⃗⃗⃗ =(2√3,4,−√3)，n ⃗ =(−√3,1,2√3)，因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面CEM 的法向量， 因为CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，所以n ⃗ 是平面CEF 的法向量， 因为二面角M −EC −F 为钝角，所以二面角M −EC −F 的余弦值为−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√31⋅√16=−2√3131．【解析】(1)只要证明BM 平行于平面DEF 内直线FN 即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．22.【答案】解：(1)设P(x,y)，则有k PA ⋅k PB =x−√6x+√6=y 2x 2−6=−12，整理可得x 26+y 23=1(y ≠0,x ≠±√6)．(2)设M(x 0,y 0)，Q(−x 0,−y 0)，N(x 1,y 1)，则x 026+y 023=1,x 126+y 123=1，k NQ ⋅k NM =y 1−y 0x 1−x 0⋅y 1+y 0x 1+x 0=y 12−y 02x 12−x 02=(3−x 122)−(3−x 022)x 12−x 02=−12，又k MN ⋅k MQ =−1，故k NQ =12k MQ ，即k NQ =y2x 0，则直线NQ ：y +y 0=y 02x 0(x +x 0)，直线MN ：y −y 0=−xy 0(x −x 0)，联立解得交点N 点纵坐标为y 0312−3y 02，故|QT|⋅|TN|=√1+4x 02y 02|−y 0|⋅√1+4x 02y 02⋅|y N |=y 02+4x 02y 02⋅y 0412−3y 02=(24−7y 02)y 023(4−y 02)，令4−y 02=t ，则t ∈(1,4),|QT|⋅|TN|=(7t−4)(4−t)3t=13(32−7t −16t)，7t +16t≥8√7，当且仅当t =√7故|QT|⋅|TN|的最大值为32−8√73．当且仅当t =√7时等号成立，故|QT|⋅|TN|的最大值为32−8√73．【解析】(1)由题意得到关于x ，y 的等式，整理变形即可确定曲线C 的方程；(2)设出点的坐标，结合(1)中的结果将原问题转化为关于一个变量的最值问题，最后利用基本不等式求最值即可确定|QT|⋅|TN|的最大值．本题主要考查曲线方程的求解，圆锥曲线中的最值与范围问题等知识，属于中等题．。
重庆市2022-2023学年高二上学期期末数学试题含解析
重庆市杨家坪高2024级高二上期末考试题（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(),2,1a m =，()1,0,4b =-，且a b ⊥，则实数m 的值为（）．A.4 B.4- C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅= ，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】解：因为(),2,1a m = ，()1,0,4b =- ，且a b ⊥ ，所以40a b m ⋅=-+=，解得4m =.故选：A2.已知2222420x y kx y k k ++-++-=表示的曲线是圆，则k 的值为（）A.()6+∞，B.[)6,-+∞ C.(),6-∞ D.(],6-∞【答案】C 【解析】【分析】方程配方后得()()2226x k y k ++-=-，根据圆的半径大于0求解.【详解】由方程2222420x y kx y k k ++-++-=可得()()2226x k y k ++-=-，所以当0r =>时表示圆，解得k 6<.故选：C.3.数列{}n a 满足111n na a +=-，且12a =，则2020a 的值为（）A.12B.1-C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到20201a a =，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足+11=1(N )n na n a *-∈，且1=2a ，可得234511,1,2,,22a a a a ==-== ，可得数列{}n a 是以12,,12-三项为周期的周期数列，所以20206733112a a a ⨯+===.故选：C.4.已知直线1:210l ax y -+=，直线()2:320l x a y a +-+-=，设a ∈R ，则12l l ∥是2a =的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件可知()320a a -+=，计算出a 的值即可得出结论.【详解】解：两直线平行的充分必要条件是()320a a -+=，且()()2230a a ----≠，解得2a =，经验证，当2a =时，两直线平行．故选：C ．5.若231,,,4a a 成等差数列；2341,,,,4b b b 成等比数列，则233a ab -等于（）A.12B.12-C.12±D.14【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出321a a -=，32b =，求出233a ab -.【详解】由题意得：324113a a --==，设2341,,,,4b b b 的公比为q ，则230b q =>，23144b =⨯=，解得：32b =，2331122a ab --==-.故选：B6.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A.66B.6C.23D.223【答案】A 【解析】【分析】根据两点关于直线对称点的特征可求得1MN k =-，并得到MN 中点坐标；利用点差法可构造等式求得22b a，根据椭圆离心率e =可求得结果.【详解】,M N 关于直线3310--=x y 对称，1MN k ∴=-，又MN 中点纵坐标为53，MN ∴中点横坐标为531323⨯+=；设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2222121222y y x x b a --=-，即()()()()1212121222y y y y x x x x b a-+-+=-，21212212121MNy y x x b k x x a y y -+∴==-⋅=--+；又124x x +=，12103y y +=，2241103b a ∴-⋅=-，解得：2256b a =，∴椭圆C 的离心率6e ==.故选：A.7.已知P 是抛物线24y x =上的一点，过点P 作直线3x =-的垂线，垂足为H ，若Q 是圆C ：()()22331x y ++-=上任意一点，则PQ PH +的最小值是（）A.1-B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】画出抛物线24y x =的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将PQ PH +转化为C ，P ，F 之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.【详解】抛物线24y x =的焦点是()1,0F ，准线方程是=1x -，PH 与准线的交点是1H ，圆C 的半径为1r =，圆心为()3,3C -，依题意作下图：由图可知：1PQ PC r PC ≥-=-，111211PQ PH PC PH HH PC PF PC PF ∴+≥-++=++-=++，当C ，P ，F 三点共线时PC PF+最小5==，PQ PH ∴+的最小值是6；故选：D.8.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5, ，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n ++=+∈N，后来人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为“斐波那契数列”.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记2023a m =，2024a n =，则2023S =（）A.2m n +-B.m n +C.1m n +-D.1m n ++【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得202320222020201821a a a a a a =+++++ ，2024202320212019532a a a a a a a =++++++ ，两式相加可得2023202420232a a S a +=+，再结合已知条件可得答案.【详解】因为21n n n a a a ++=+，所以20232022202120222020201920222020201821a a a a a a a a a a a =+=++==+++++ ①，202420232022202320212020202320212019532a a a a a a a a a a a a =+=++==++++++ ②，由①+②，得2023202420232a a S a +=+，又202320242,,1a m a n a ===，即20231m n S +=+，所以20231S m n =+-.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（）A.若221n S n n =+-，则21n a n =+B.若323n a n =-，则n S 的最小值为77-C.若43n a n =-，则数列{}(1)nn a -的前17项和为33-D.若数列{}n a 为等差数列，且10111012100010240,0a a a a +<+>，则当0n S <时，n 的最大值为2023【答案】BC 【解析】【分析】令1n =时，由,n n S a 求出1a 可判断A ；由323n a n =-知，780,0a a <>，当7n =时，n S 取得的最小值可判断B ；若43n a n =-，求出数列(){}1nna -的前17项和可判断C ；由数列的下标和性质可得101110121202210001024120230,0a a a a a a a a +=+<+=+>，则202220230,0S S <>可判断D.【详解】对于A ，由221n S n n =+-，当1n =时，112a S ==，由21n a n =+，当1n =时，1=3a ，所以，A 不正确；对于B ，若323n a n =-，当1n =时，120a =-，则780,0a a <>，所以当7n =时，n S 取得的最小值为()17777(202)7722a a S +--===-，所以，B 正确；对于C ，若43n a n =-，设数列(){}1nna -的前n 项和为nT ，所以1712341617T a a a a a a =-+-+++- ()()159136165=-++-+++- 486533=⨯-=-，故C 正确；对于D ，数列{}n a 为等差数列，且10111012100010240,0a a a a +<+>，则101110121202210001024120230,0a a a a a a a a +=+<+=+>，所以()()120221202320222023202220230,022a a a a S S ++=<=>，当0nS <时，n 的最大值为2022，所以D 不正确.故选：BC.10.已知方程221()169x y k R k k -=∈+-，则下列说法中正确的有（）A.方程221169x y k k-=+-可表示圆B.当9k >时，方程221169x y k k-=+-表示焦点在x 轴上的椭圆C.当169k -<<时，方程221169x y k k -=+-表示焦点在x 轴上的双曲线D.当方程221169x y k k-=+-表示椭圆或双曲线时，焦距均为10【答案】BCD 【解析】【分析】分别将k 的值代入各个命题，根据圆锥曲线方程的特点即可作出判断．【详解】对于A ，当方程221169x y k k-=+-可表示圆时，1690k k +=->，无解，故A 错误.对于B ，当9k >时，22221169169x y x y k k k k -=+=+-+-，169k k +>-，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B正确.对于C ，当169k -<<时.221169x y k k-=+-，160k +>，90k ->，表示焦点在x 轴上的双曲线，故C正确.对于D ，当方程221169x y k k -=+-表示双曲线时，216925c k k =++-=；当方程221169x y k k-=+-表示椭圆时，216(9)25k k c =+--=，所以焦距均为10，故D 正确.故选：BCD11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1BD ⊥平面11AC DB.三棱锥11P AC D -的体积为定值C.异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD【解析】【分析】在选项A 中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B 中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C 中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A 中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，∴111A C BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，且111,AC DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，故A 正确；在选项B 中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11AC D ，1B C ⊄平面11AC D ，∴1//B C 平面11AC D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11AC D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确；在选项C 中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角.易知1AB C V 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为π3.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，所以()1,0,1C P a a =- ，()11,1,1D B =-.由A 选项正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C PD B C P D B ⋅==⋅∴当12a =时，直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确.故选：ABD12.一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点()3,0F ，椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则下列结论正确的是（）A.椭圆的离心率是22B.线段AB 长度的取值范围是(0,332+C.ABF △面积的最大值是)9214D.OAB 的周长存在最大值【答案】AC 【解析】【分析】求得椭圆的离心率判断选项A ；求得线段AB 长度的取值范围判断选项B ；求得ABF △面积的最大值判断选项C ；根据表达式结合参数范围判断OAB 的周长是否存在最大值.【详解】由题意得半圆的方程为()2290x y x +=≤，设半椭圆的方程为()222210,0x y a b x a b+=>>≥，又3==b c ，则32a =，则半椭圆的方程为()2210189x y x +=≥则椭圆的离心率2232e ==，故选项A 判断正确；直线()0y t t =>与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则线段AB 长度的取值范围是(0,332+.故选项B 判断错误；不妨设12(,),(,)A x tB x t 则由()221190x t x +=≤，可得219x t =--；由()222210189x t x +=≥，可得22182x t =-则22221829911(22ABF t t t t S t -+-+-==△)222921212492tt-+≤+⨯=（当且仅当322t =故选项C 判断正确；OAB 的周长为()31l t OA OB AB =++=++则()l t 在()0,3上单调递减，则OAB 的周长不存在最大值.故选项D 判断错误.故选：AC三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．13.若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和2n n S a =-，n 为正整数，则实数a 的值为____.【答案】1【解析】【分析】利用n a 与n S 的关系结合等比数列的前n 项和公式求解.【详解】当1n =时，12a a =-，当2n ≥时，112n n S a --=-，所以()()111122222n n n n n n n n a S S a a ----=-==-=---，又{}n a 是等比数列，所以{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，此数列的前n 项和122112nn n S -==--，则a 的值为1.故答案为：1.14.已知数列{}n a 满足111,2(1),n n a na n a +==+则8a =___.【答案】1024【解析】【分析】由111,2(1),n n a na n a +==+可得121n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比，1为首项的等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以121n n a an n+=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为公比，1为首项的等比数列，所以112n na n-=⨯，所以12n n a n -=⋅，所以8137108822221024a -=⨯=⨯==，故答案为：102415.已知动圆P 的圆心P 在y 轴的右侧，圆P 与y 轴相切，且与圆C ：222x y x +=外切．则动圆圆心P 的轨迹方程为____________．【答案】24(0)y x x =>【解析】【分析】由题意，设点(,)(0)P x y x >，圆P 与y 轴相切则圆P 的半径为1r x =，在根据两圆的位置关系求出解析式即可.【详解】由题知，设点(,)(0)P x y x >，因为圆P 与y 轴相切，所以圆P 的半径为1r x =，由圆C ：()2222211x y x x y +=⇒-+=，所以圆心为(1,0)C ，半径21r =，由圆P 与圆C 外切，所以12r r PC +=，即1x +=化简得：24(0)y x x =>故答案为：24(0)y x x =>.16.设抛物线2(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，准线为l ，过焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A ，B 作l 的垂线，垂足为C ，D ，若4AF BF =，则p =____________；CDF S =△_____________．【答案】①.4②.5【解析】【分析】由抛物线2(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，求得p =4；过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，利用直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM=∠==,结合抛物线定义求解即可.【详解】抛物线2(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以14p=，所以p =4；如图所示，过点B 作//BM l ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知AF AC =，BF BD =，且4AF BF =，所以3AM BF =，5AB BF =，所以4BM BF ==，所以直线AB 的斜率为4tan 3BM k BAM AM=∠==；设直线AB 的方程为4(1)3y x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24(1)34y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 整理得241740x x -+=，所以12174x x +=，所以122524AB x x =++=，所以254sin 545CD AB BAM =∠=⨯=，所以CDF 的面积为15252⨯⨯=.故答案为：4；5．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知圆C 的方程为221x y +=．（1）求过点()1,2P 且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）直线m 过点(1,2)P ，且与圆C 交于,A B 两点，当AOB 是等腰直角三角形时，求直线m 的方程．【答案】（1）1x =或3450x y -+=（2）10x y -+=或750x y --=【解析】【分析】（1）斜率不存在时显然相切，斜率存在时，设出直线的点斜式方程，由圆心到直线距离等于半径求出k ，进而得解；（2）设出直线的点斜式方程，由几何关系得圆心到直线距离为2r ，进而得解.【小问1详解】当直线斜率不存在时，1x =显然与221x y +=相切；当直线斜率存在时，可设():12l y k x =-+，由几何关系可得1d r ===，解得34k =，故()3:124l y x =-+，即3450x y -+=，故过点()1,2P 且与圆C 相切的直线l 的方程为1x =或3450x y -+=；【小问2详解】设()1:12m y k x =-+，可设AB 中点为D ，因为AOB是等腰直角三角形，所以2OD r =，即圆心到直线距离22d ===，解得11k =或7，故直线():12m y x =-+或()712y x =-+，即10x y -+=或750x y --=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是111,A B B C 上的点，且1112,2BM A M C N B N ==．设AB a=，AC b = ，1AA c =．（1）试用a ，b ，c 表示向量MN；（2）若11190,60,1BAC BAA CAA AB AC AA ∠=︒∠=∠=︒===，求MN 的长．【答案】（1）111333MN a b c=++（2）53【解析】【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解.（2）根据空间向量的数量积以及向量模的求法即可求解.【小问1详解】解：1111MN MA A C C N=++ 11233BA AC CB =++1112()333AB AA AC AB AC =-+++-1111333AB AA AC =++，∴111333MN a b c =++ ；【小问2详解】解：11,||||||1AB AC AA a b c ===∴===，1190,0,60BAC a b BAA CAA ∠=∴⋅=∠=∠=︒︒，12a cbc ∴⋅=⋅= ，()221||9MN a b c∴=++ ()2221522299a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅=，||3MN ∴=，即MN 的长为3.19.已知等差数列{}n a 中，1010a =，1717a =，在各项均为正数的等比数列{}n b 中，12b a =，38b a =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n =，2nn b =（2）1(1)22n n T n +=-+【解析】【分析】（1）由等差数列的1010a =，1717a =即可求出{}n a 的通项公式，进而求出{}n b 的通项公式（2）表示出{}n n a b 的通项公式，用错位相减法即可求解数列{}n n a b 的前n 项和n T 【小问1详解】解：设{}n a 的公差为d ，则171011710a a d -==-，所以1019a a d=+解得11a =，所以n a n =；由题设等比数列{}n b 的公比为0q >，由题得12b =，38b =，∴228q ⨯=，∴2q =．所以1222n n n b -=⨯=．所以2n n b =．【小问2详解】由题得2nn n a b n =⋅．所以1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ 两式相减得1231112(12)222222(1)2212n nn n n n T n n n +++⨯--=++++-⋅=-⋅=--- 所以1(1)22n n T n +=-+．20.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且13AA =，E ，F 分别为1CC ，1BD 的中点.（1）证明：EF ⊥平面11BB D D ；（2）若60DAB ∠=︒，求二面角11A BE D --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26.【解析】【分析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点，易得四边形OFEC 为平行四边形，从而//OC FE ，再利用线面垂直的判定定理证得OC ⊥平面11BB D D 即可.（2）以O 为原点，以OB ，OC ，OF 建立空间直角坐标系，分别求得平面1A BE 的一个法向量(),,n x y z =r和平面1D BE 的一个法向量()111,,m x y z =r，然后由cos ,m n n m m n⋅=⋅求解.【详解】（1）如图所示：连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，F 为1BD 的中点，所以1//OF DD ，112OF DD =，又E 为1CC 的中点﹐11//CC DD ，所以1//CE DD ，112CE DD =，所以//OF CE ，OF CE =，所以四边形OFEC 为平行四边形，//OC FE .直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，所以1DD OC ⊥.又因为底面ABCD 是菱形，所以OC BD ⊥，又1DD BD D =I ，1DD ⊂平面11BB D D ，BD ⊂平面11BB D D ，所以OC ⊥平面11BB D D .所以EF ⊥平面11BB D D .（2）建立如图空间直角坐标系O xyz -，由60DAB ∠=︒，知2BD AB BC ===，又13AA =，则()1,0,0B ，33,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,3,3A -，()11,0,3D -，设(),,n x y z =r 为平面1A BE 的一个法向量.由100n A B n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得3303302x z x z ⎧+-=⎪⎨-++=⎪⎩，令3y =，可得()3,4n =.设()111,,m x y z =r为平面1D BE 的一个法向量.由100m BD m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即111112303302x z x z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令13x =，可得()3,0,2m =r.()222222313cos ,26934302m n n m m n⋅==⋅++⋅++.如图可知二面角11A BE D --为锐角，所以二面角11A BE D --的余弦值是1326.【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅ .2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线l ：()0y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若2PM PQ =，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；（2）12k =-.【解析】【分析】（1）由题意结合几何关系可求得3a =，2b =.则椭圆的方程为22194x y +=；（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得2182580k k ++=，解出89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-.【小问1详解】设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．又||AB ==，所以3a =，2b =，所以，椭圆的方程为22194x y +=．【小问2详解】设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．因为||=2||PM PQ ，所以有2PM QP =uuu r uu u r ，()2121,PM x x y y =--uuu r，()112,2QP x y =uu u r ，所以2114x x x -=，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y ，可得12694x k =+．由215x x =2945(32)k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，由2632x k =+可得，26908329x ==-<⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭，不合题意，舍去；当12k =-时，由2632x k =+可得，261201322x ==>⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭，1125x =.所以，12k =-.22.已知等轴双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的虚轴长为22（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过双曲线C 的右焦点F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，请问x 轴上是否存在一定点P ，使得APF BPF ∠=∠?若存在，请求出定点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22122x y -=；（2）满足题意的定点Р存在，坐标为()1,0.【解析】【分析】（1）由题意得，a b ==（2）根据已知可设直线AB 的方程为2my x =-.设存在，根据APF BPF ∠=∠，可得0AP BP k k +=，代入相关点的坐标，可得()410m t -=，由m 的任意性，即可得出t 存在.【小问1详解】由双曲线C的虚轴长为，有2b =b =，又由双曲线C是等轴双曲线，可得a b ==故双曲线C 的标准方程为22122x y -=.【小问2详解】由（1）可知，2224c a b =+=，2c =，则双曲线C 的右焦点F 的坐标为()2,0，假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为(),0t ，设直线AB 的方程为2my x =-，点A ，B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 联立直线与双曲线的方程221222x y my x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩可得，()221420m y my -++=，当210m -=时，因为双曲线的渐近线方程为y x =±，可知直线AB 与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线仅有一个交点，不合题意，所以210m -≠.则()()()2224412810m m m ∆=--⨯=+>恒成立，有12241m y y m +=--，12221y y m =-，112x my =+，222x my =+.若APF BPF ∠=∠，可知直线AP 和直线BP 的斜率互为相反数，即0AP BP k k +=.又11AP y k x t =-，22BP y k x t=-，所以1212AP BP y y x t x t k k +-+=-211222my my y y t t =-+++-()()()()12112222220m my y t y y t my t y +-+=+=--+整理可得，()12122(2)0my y t y y +-+=，即22242(2)011m m t m m ⎛⎫⨯+--= ⎪--⎝⎭，即()410m t -=.要使210m -≠时，该式恒成立，即与m 的取值无关，则应有10t -=，所以1t =.。
重庆市巴蜀中学高二上学期期末考试数学(理)试题
重庆市巴蜀中学高二上期末考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数在处取得极值，则（）A. B. C. D.2. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.3. 命题“，均有”的否定形式是（）A. ，均有B. ，使得C. ，均有D. ，使得4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的的值为（）A. B. C. D.6. 函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（）A. B. C. D.7. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.9. 如图所示程序框图输出的结果是，则判断狂内应填的条件是（）A. B. C. D.10. 已知点为椭圆上第一象限上的任意一点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，直线与交于点，直线与轴交于点，则的值为（）A.2B.C. 3D.11. 已知点在正方体的线段上，则最小值为（）A. B. C.0.3 D.12. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，若是以为底边的等腰三角形.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线的离心率为，则__________．14. 已知抛物线，焦点为，为平面上的一定点，为抛物线上的一动点，则的最小值为__________．15. 三棱锥中，垂直平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16. 已知函数，，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，第一个大题10分，其他题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并写在答题卷相应的位置上.）17. 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）当且为的中点时，求与平面所成角的大小.18. 已知焦点为的抛物线：过点，且.（1）求；（2）过点作抛物线的切线，交轴于点，求的面积.19. 已知函数在处切线为.（1）求；（2）求在上的值域。
重庆市中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题含解析
重庆市2022-2023学年高二上·期末考试数学试题（答案在最后）试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.4.考试结束后，将答题卷交回.一.单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上1.已知直线l 过()1,1A -、()1,3B 两点，则直线l 的倾斜角的大小为（）A.4π B.3πC.23π D.34π【答案】A 【解析】【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角【详解】直线l 过()1,1A -、()1,3B 两点，则直线l 的斜率()31111k -==--，∴直线的倾斜角为4π．故选：A ．2.已知圆()()221231:C x y -+-=和圆()()222:3416C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.内含B.外切C.相交D.相离【答案】A 【解析】【分析】根据两圆的标准方程可知圆心坐标和半径大小，只需比较圆心距与两圆半径之差以及两圆半径之和的大小即可得出两圆位置关系.【详解】由题意可知，圆()()221231:C x y -+-=的圆心为1(2,3)C ，半径1r =；圆()()222:3416C x y -+-=的圆心为2(3,4)C ，半径4R =；两圆心距离为12C C ==，此时213C r C R =-=所以，圆1C 与圆2C 的位置关系为内含.故选：A.3.三棱柱ABC DEF -中，G 为棱AD 的中点，若,,BA a BC b BD c === ，则CG =（）A.a b c-+- B.12a b c -++C.1122-++ a b cD.1122a b c-+ 【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算法则与空间向量基本定理，求解即可．【详解】11()()22CG CA AG CA AD BA BC BD BA =+=+=-+- 111()()222a b c a a b c =-+-=-+．故选：D ．4.双曲线22:12539y x C -=上的点P 到上焦点的距离为12，则P 到下焦点的距离为（）A.22B.2C.2或22D.24【答案】A 【解析】【分析】设C 的上、下焦点分别为12,F F ，根据双曲线的定义12||||||210PF PF a -==求出2||2PF =或2||22PF =，再根据1212||||||PF PF F F +≥可得2||22PF =.【详解】设C 的上、下焦点分别为12,F F ，则112PF =．因为225a =,239=b ,所以5a =，8c ==，则12||216F F c ==，由双曲线的定义可知，12||||||210PF PF a -==，即2|12|||10PF -=，解得2||2PF =或2||22PF =，当2||2PF =时，1212||||12214||16PF PF F F +=+=<=，不符合题意；当2||22PF =时，1212||||122234||16PF PF F F +=+=>=，符合题意.综上所述：2||22PF =.故选：A5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若316S =，68S =，则12S =（）A.50-B.60- C.70- D.80-【答案】D 【解析】【分析】由等差数列片段和的性质可得出3S 、63S S -、96S S -、129S S -成等差数列，即可求得12S 的值.【详解】解：由等差数列的性质可知，3S 、63S S -、96S S -、129S S -成等差数列，且该数列的公差为()63381624S S S --=--=-，则()96632432S S S S -=--=-，所以，()129962456S S S S -=--=-，因此，()()()123639612980S S S S S S S S =+-+-+-=-.故选：D.6.已知点P 是圆C ：222430x y x y +--+=的动点，直线l ：30x y --=上存在两点A ，B ，使得π2APB ∠=恒成立，则线段AB 长度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】结合点到直线的距离公式以及圆的几何性质求得正确答案.【详解】圆()()22:122C x y -+-=，圆心为()1,2C ，半径为1r =.依题意，P 是圆C 上任意一点，直线l 上存在两点,A B ，使得π2APB ∠=恒成立，故以AB 为直径的圆D 的半径2r 的最小值是P 到直线l 距离的最大值，1r +==，所以AB 的最小值是2⨯=.故选：A7.设拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于,P Q 两点，且2π3PFQ ∠=，线段PQ 的中点A 到拋物线C 的准线的距离为d ，则2PQ d ⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为（）A.B.3C.3D.13【答案】C 【解析】【分析】设出线段,FP FQ 的长度，用余弦定理求得PQ 的长度，利用抛物线的定义以及梯形的中位线长度的计算，从而2PQ d ⎛⎫⎪⎝⎭转化为,m n 的关系式，再结合不等式即可求得其最小值.【详解】设PF m =，QF n =，过点P ，Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '，Q '，如下所示：则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，根据梯形中位线定理可得，点A 到抛物线C 的准线的距离为2PP QQ m nd '++='=，因为2π3PFQ ∠=，所以在PFQ △中，由余弦定理得222222π2cos3PQ m n mn m n mn =+-=++，所以()()()()()2222222224441m n mn m n mn PQ PQ mn d d m n m n m n ⎡⎤+-⎡⎤+⎥=+⎛⎫⎣⎦===-⎢ ⎪+++⎢⎝⎭⎣⎦，又因为()24m n mn +≥，所以()214mnm n ≤+，当且仅当m n =时，等号成立，（,m n 显然存在），所以214134PQ d ⎛⎫⎛⎫≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3.故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查抛物线中的最值问题，处理问题的关键是充分利用抛物线的定义，还要注意到不等式的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆市重庆八中2013年高二上学期期末考试数学（理）试卷第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．“2x =”是“(2)(5)0x x -⋅+=”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知点(3,4,2)A -在xOy 平面上的射影是点B ，则OB 等于（ ）A ．(3,4,0)B．C ．5D3. 方程221cos120sin120x y +=︒︒表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆4．已知p 、q 是两个命题，若“()p q ⌝∨”是真命题，则（ ）A ．p 、q 都是假命题B ． p 、q 都是真命题C ．p 是假命题且q 是真命题D ．p 是真命题且q 是假命题5. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l n m n ⊥⊥，则//l mC ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥腰长为1的两个全等6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（ ）A ．16B ．13C ．12D ．17．正方体1111ABCD A B C D -中直线11A C 与平面1A BD 所成角的余弦值是（ ）A．4B．3CD8．已知双曲线22-145x y =的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线左支上与12,F F不共线的任意一点，则俯视图（第6题图）122112sin sin sin PF F PF F F PF ∠-∠∠的值为（ ）A ．23BC ．2D9．已知圆22220C x x y -+-=：，点(2,0)A -及点(4,)B a ，从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)(1,)-∞-+∞B ．(,2)(2,)-∞-+∞C．4(,(3,)3-∞+∞D ．(,(32,)-∞-+∞10．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点是12,F F ，M 为椭圆上与12,F F 不共线的任意一点，I 为12MF F 的内心，延长MI 交线段12F F 于点N ，则:MI IN 等于（ ）A ．a cB ．a bC ．b cD ．c a第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．） 11．抛物线24y x =-，则它的焦点坐标为 .12．已知两条直线2y ax =-和3(2)10x a y -++=相互平行，则a = .13．若椭圆22221(0)x y ab a b +=>>，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14．设变量,x y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为 .15．点(-1,0)P 在动直线2)20ax a c y c +++=（(,)a R c R ∈∈上的射影为M ，已知点(3,3)N ，则线段MN长度的最大值是 .三、解答题（本大题共6小题,共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分13分） 三角形的三个顶点是(4,0),(6,7),(0,3)A B C ． （I ）求BC 边上的中线所在直线的方程； （II ）求BC 边的垂直平分线的方程． 17．（本题满分13分）设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆． （I ）求m 的取值范围； （II ）求圆心的轨迹方程．18.（本小题满分13分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC的中点，（I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求二面角B CD A --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5． （I ）求抛物线的方程；（II ）已知(,0)K m (,0m R m ∈≠)是x 轴上一动点，O 为坐标原点，过点K 且倾斜角为4π的一条直线l 与抛物线相交于不同的,P Q 两点，求+4OP OQ m⋅的取值范围．20．（本题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面相互垂直，//,,22,AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥==⊥．（I ）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（II ）线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．21.（本小题满分12分）已知点P是圆221(16F x y ++=：上任意一点，点2F 与点1F 关于原点对称，线段2PF 的中垂第18题图CBPF交于M点．线与1（I）求点M的轨迹C的方程；⊥轴，H （II）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为,A B，点K是轨迹C上异于,A B的任意一点，KH x=，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l交于点D，N为DB 为垂足，延长HK到点Q使得HK KQ的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．重庆八中2013年（上）期末考试高二年级数学试题（理科）答案一．选择题．10．简解：解法一：如图所示，设点(,)M m n ,12MF F 的内切圆半径为r ，则有：121212MF F SF F n c n =⋅= 又12121211()(22)()22MF F SMF MF F Fracra cr=++=+=+ 所以=()c n a cr +，==r c x n a c +，1-1:=x a MI IN x c e==，故选A 项。
【或=1-1=nMI MN IN MN n a c ar c IN ININ r c-+⇒==-=】解法二：此题的求解还可以采用特殊化的思想，即不妨令M 为椭圆与y 轴的交点，可轻而易举解决问题。
二．填空题．11． (1,0)- 12． 3-或1 13．214． 8-15．15．简解：动直线2)20ax a c y c +++=（(,)a R c R ∈∈，即(2)(2)0a x y c y +++= 所以动直线过2=020x y y +⎧⎨+=⎩定点(1,2)Q -，且PM l ⊥，则有动点M 在以PQ 为直径，点(0,1)C -为圆心，半径为2PQ max 5MN NC r =+=+三．解答题．16．解：（Ⅰ）由已知得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）. 又A （4，0），所以直线AE 的方程为430540--=--x y ， 即BC 边上中线所在的直线方程为0205=-+y x . …………………….7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，BC 边所在的直线的斜率32=k ，所以BC 边的垂直平分线的斜率为23-，由（Ⅰ）得，BC 边中点E 的坐标是（3，5）， 所以BC 边的垂直平分线的方程是)3(235--=-x y ， 即01923=-+y x . …………………….13分17．解：（Ⅰ）由0422>-+F E D 或配方得：0)916(4)41(4)3(44222>+--++m m m ，化简得：01672<--m m ，解得171<<-m .所以m 的取值范围是（71-，1） …………………………………….7分（Ⅱ）设圆心C （x ，y ），则⎩⎨⎧-=+=,14,32m y m x 消去m 得，1)3(42--=x y .因为171<<-m ，所以4720<<x .故圆心的轨迹方程为1)3(42--=x y （4720<<x ）. ………………………….13分18.解法一【几何法】：（Ⅰ）证明：连结OC,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO ==而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD ………………………….6分（Ⅱ）解： 作CD OF ⊥于F ，连AF 由（1）知，,CD AO ⊥ 故AOF CD 平面⊥AF CD ⊥∴ ,AFO ∠∴ 是二面角B CD A --的平面角，易知23=OF ,332tan =∠∴AFO ，cos 7AFO ∴∠=即所求二面角B CD A --的余弦值为7………………………….13分 解法二【坐标法】：以O 为原点，建立空间直角坐标系-O xyz 如图所示，y则(1,0,0),(1,0,0),B D -C ,(0,0,1)A（Ⅰ）则有===3OA OB OC （0,0,1）,（1,0,0）,（2,）, 所以00OA OB OA OC ⋅=⋅=，，则有OA OB OA OC ⊥⊥，， 又OB OC O =，AO ∴⊥平面BCD ………………………….6分（Ⅱ）设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =,则,n AC n AD ⊥⊥,由(0,3,1),(1,0,1)AC AD =-=--，则有：.(,,).(1,0,1)0,.(,,1)0,n AD x y z nAC x y z ⎧=--=⎪⎨=-=⎪⎩ 0,0.x z z +=⎧⎪∴-= 令1,y =得(3,1,n =-是平面ACD 的一个法向量, 又=OA （0,0,1）是BCD 平面的一个法向量， 所以3cos ,7n OA n OAn OA⋅<>==⋅又=OA BA n BA ⎧⋅⋅⎪⎨⋅=⋅⎪⎩（0,1,0）(-1,1,0)=1>0（ 所以二面角B CDA --的二面角θ等于,n OA <>，cos 7θ==. 即所求二面角B CD A --的余弦值为7………………………….13分19.解：（Ⅰ）抛物线22(0)y px p =>的准线为2p x =-，于是452p+=，所以2p = ∴抛物线方程为24y x =. ………………….5分 （Ⅱ）过点(,0)K m 且倾斜角为4π的直线l :y x m =-，令点1122(,),(,)P x y Q x y ，则：联立24y x m y x =-⎧⎨=⎩，消元得12222122224(24)0(24)40x x m x m x m x x m m m +=+⎧⎪-++=⇒=⎨⎪∆=+->⎩所以1m >-，又0m ≠，则(1,0)(0,)m ∈-+∞.又2121212121212=()()2()OP OQ x x y y x x x m x m x x m x x m ⋅+=+--=-++ 所以2212122()=4OP OQ x x m x x m m m ⋅=-++- 则有+44=4OP OQ m m m⋅+-在(1,0),(0,2)m ∈-上单调递减，在(2,+)m ∈∞上单调递增。