2019年高考数学(文)模拟试题(十二)含答案及解析
高考数学模拟试题含答案详解
高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。
答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。
2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。
3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。
答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。
4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。
答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。
5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。
答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。
二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。
答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。
2023_2024学年高考全国乙卷高考数学(文)真题检测模拟试题(附解析)
2023-2024学年高考全国乙卷高考数学（文）真题模拟试题A ．24B ．264．在中，内角的对边分别是ABC ,,A B C （ ）B ∠=A ．B ．10π5π5．已知是偶函数，则e ()e 1xaxx f x =-EF ADO (1)求证：//平面；该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少其表面积为.() 2224⨯⨯+故选：D. 4．C8．B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于2()3f x x a '=+【详解】，则3()2f x x ax =++f '若要存在3个零点，则()f x ()f x 令，解得2()30f x x a '=+=x =-16．2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱S ABC -设的外接圆圆心为，半径为，ABC 1O r 3223sin 3AB r ACB ===∠3r ==20．(1)；()ln 2ln 20x y +-=(2).1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间()0f x '≥(0,方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．23．(1)；[2,2]-由，解得326y x x y =-+⎧⎨+=⎩(2,8)A -所以的面积ABC 1|2ABC S =。
2019年镇海中学高考数学模拟试题(含答案)2019.5.20
a
1 4
a2
第 12 题图
3 的展开式中，各项系数之和为 A ，各项二项式系数之和为 B ，且 x
n
A+ B = 72 ，则 n 等于___▲_ _，展开式中常数项的值为___▲_ _．
15 ．设椭圆 C2 :
1 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点为 F1 ， F2 ，离心率为 e = ，抛物线 2 2 a b
1 3
Sh
其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式 S = 4πR2 球的体积公式 V=
4 3
(1－p)
n-k
(k = 0,1,2,…, n)
台体的体积公式
V = 1 3 h ( S1 + S1S 2 + S 2 )
其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高
值是( ▲ ) A．2 B．
3 2
C．1
D．3
4．如图，网格纸上小正方形边长为 1 ，粗线画出的是某几何体的 三视图，则该几何体的体积为( ▲ ) A．
4 3
B．
8 3
C． 4
D．
16 3
镇海中学高考模拟试卷 第 1 页，总 10 页
5．小明站在点 O 观察练车场上匀速行驶的小车 P 的运动情况，小车从点 A 出发的运动轨迹 如图所示．设小明从点 A 开始随动点 P 变化的视角为 θ = ∠AOP ，练车时间为 t ，则函数
2019 年镇海中学高考数学模拟试题
2019 年 5 月 20 日
注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生必须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷 的密封线内填写学校、班级、学号、姓名； 2．本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分．满分 150 分, 考试时间 120 分 钟． 参考公式：
2019年高考数学等比数列(文科)含解析
Tn＝ ·3n＋1＋ ＋ .
一、选择题
1．(2018·四川成都南充高中模拟)已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为()
A．－24 B．－24或0
C．12或0 D．24
答案：A
解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以an＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.
7．(2018·河南百校质检)在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a5＋a4的最小值为()
A．12 B．12
C．12 D．16
答案：C
解析：因为2a4＋a3－2a2－a1＝8，所以由题意知等比数列{an}中，an>0，且公比q>0，且2a1q3＋a1q2－2a1q－a1＝8，所以a1(2q＋1)＝ (q>1)，所以2a5＋a4＝a1q3(2q＋1)＝ ＝ ，设 ＝x(0<x<1)，引入函数y＝ － ＝x－x3，由y′＝1－3x2＝0，得x＝－ (舍去)或x＝ .所以当x∈ 时，y′>0；当x∈ 时，y′<0.所以函数y＝x－x3的减区间为 ，增区间为 .所以当x＝ 时，函数有最大值ymax＝ ，所以2a5＋a4的最小值为 ＝12 .
11．(2018·衡水一模)已知在数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1＋|b2|＋…＋|bn|＝________.
答案：4n－1
解析：由题意知，q＝a2－a1＝－4，b1＝a2＝－3，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3·4n－1，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n－1＝3× ＝4n－1.
极值点不等式构造 高考数学模拟试题与解析
专题3极值点不等式构造如果函数)(x f 的零点为)321( ，，=i x i ，某个极值点为0x ，如果出现证n x m i <<，我们称之为找点不等式，而一旦出现m x x <+212或者m x x >12之类，我们称之为零点不等式，这个内容我们上一讲已经通过构造比值函数解决，当出现n x f m <<)(0时，我们称之为极值点不等式，本文就介绍这一系列极值点不等式的构造方法.由于此类型题目众多，我们还是以高考题为参考来进行解读.2021年浙江卷，最后一问证明：2212ln e 2e b b x x b>+，这一类问题我们在之前的找点部分已经阐述，无论是极值点的不等式还是零点的不等式，找点就是标配，正应了那句话，“不找点，无导数”。
考点一外争与内斗：如果)(0x f 是函数)(x f y =的极小值，则在证明不等式n x f m <<)(0中，n x f <)(0可以直接从函数中找点获得，这属于函数“内斗”，而)(0x f m <，一个比极小值还要小的值，必须要将0)(0='x f 的关系式做隐零点代换，构造新的函数)(0x g 来最值，这就属于“外争”；同理，)(0x f 是函数)(x f y =的极大值，则在证明不等式n x f m <<)(0中，)(0x f m <属于“内斗”，n x f <)(0则属于“外争”。
【例1】(2017•新课标II)已知函数2()ln f x ax ax x x =--，且()0f x .(1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<.【例2】（2023•哈尔滨模拟）已知223()(1),042x f x x lnx a x a =--->．（1）若()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个极值点m ，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，证明：23()44e f m <<．【例3】（2023•山东模拟）已知函数2()(1)()x f x a x e a R =+-∈．（1）当12a =时，判断函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，证明：111()2f x e -<<-．【例4】（2022•5月份模拟）已知函数()(1)x f x x a e =--，其中e 为自然对数的底数，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）设()()x g x e f x =，当1a =时，证明：函数()g x 有且仅有一个极小值点0x ，且0211()4g x e-<<-．【例5】（2022•南充模拟）已知()x f x e ax =-，()cos g x ax x =-．（1）当0a >时，求()f x 在[1，2]上的最小值；（2）若()()()()2F x f x g x x π=+-，证明：()F x 存在唯一的极值点0x 且01()1F x -<<．【例6】（2022•炎德英才模拟）已知函数21()2x f x ax x e =+-．（1）若1a =，求不等式()1f lnx >-的解集；（2）当1a >时，求证函数()f x 在(0,)+∞上存在极值点m ，且3()2m f m ->．注意：涉及3()2m f m ->这一类()()f m g m >的，只能外争，所以我们再看下一题.【例7】（2023•浙江期末）已知函数2()2()f x xlnx ax x a R =--∈．（Ⅰ）求证：2()(2)3f x a x x --；（Ⅱ）若0x 为函数()f x 的极值点，①求实数a 的取值范围；②求证：02012x e ax >+．注意：本题似乎就是找点有一点技术含量，这也是为什么，模拟题技术含量不如高考真题的原因.考点二极值点外争不等式的放缩选取方案我们会发现，当关于极值点0x 不等式出现涉及00()()f x g x >的，只能外争，因为0)(0='x f ，能得出隐零点关系式后代入不等式00()()f x g x >，这里就会涉及隐零点关系式选取问题，以及不等式放缩问题，那么这个问题本质是什么呢？我们通过例题来说明.【例8】（2023•长沙县月考）已知函数()ln()1x f x ae x a =-+-．（1）若()f x 的极小值为0，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明：()f x 存在唯一极值点0x ，且00()2||0f x x +．注意：双变量问题一直是一个难点，因为不知道抓哪一个，本题我们需要根据参数的范围来判断，发现目标式012)ln(000>-++-x a x ae x 当中，由于a 的范围决定了0x 范围，故我们应该把0x 作为参数，隐零点代换的本质除了替换函数，还有一个更重要的就是单调性替换，我们分析原函数，0x ae 单调递增，)ln(0a x +-单调递减，所以原函数无法直接参与放缩构造，①当01a <<时，极值点01(0,x a ∈，我们通过ax ae x +=010一替换，就能发现000001()2||()21()f x x ln x a x h a x a+=-++-=+，这样就能形成关于a 的单调递减函数)(a h ，从而得到一个放缩式0001()(1)ln(1)2101h a h x x x >=-++->+；②当1a >时，极值点01(0)x a a ∈-，，由于)(a h 递减，我们不可能采用0001()ln()210h a x x x >-+∞-->+∞，只能寻找另外的隐零点代换形式，根据001x ae x a=⇒+00ln )ln(x a a x --=+，所以00()ln 1x h a ae a x =+--，这里就是一个关于a 的单调增函数，即000000()2||ln 110x x f x x e a x e x +>+-->-->.如果回头来看这题解析，我们能发现两种构造的区别就是利用⎪⎩⎪⎨⎧>><<+>+=)1()10(11100000a e ae a x a x ae x x x 不同放缩式，决定采用不同代换的，其本质其实是隐零点代换后关于参数a 的新函数)(a h 单调性来决定的.问题探讨到了这个深度，我们可以来还原一下浙江高考题的庐山真面目了.【例9】（2020•浙江）已知12a <，函数()x f x e x a =--，其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；（Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：0x ；（ⅱ）00()(1)(1)x x f e e a a --．看了此题我们才能明白，高考真题的含金量确实是远超平常模考题，因为模考题都是按照高考真题的套路来的，接下来我们走近极值点和零点的双变量不等式内容的研究,还是那句，找点先行，构造单调放缩函数在后，把握变量主元.考点三极值点和零点混合双变量不等式问题极值点和零点混合双变量不等式问题，本质还是找点，我们来看看这道经典的天津高考题.【例10】(2019•天津文)设函数()ln (1)e x f x x a x =--，其中a R ∈.(I)若0a ，讨论()f x 的单调性;(II)若10ea <<，(i)证明()f x 恰有两个零点;（ⅱ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明：0132x x ->．注意：方案一显然更简单，但是必须建立在11(1ln )x a∈，和10x x >基础之上，这里三变量，参数是纽带，但也做不了主元，这也是上一问找点所给我们带来的提示，方案二就适合那些直接用无穷大而绕开找点的同学们提供的方案，这些极值点和零点的不等式充分说明了，找点永远是导数的重要支柱.【例11】（2022•南昌三模）已知函数21()1(0,)2x f x e ax x x a R =--->∈．（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）若1a >时，设1x 是函数()f x 的零点，0x 为函数()f x 极值点，求证：1020x x -<．注意：一道极值点与零点不等式问题，硬是活生生变成了找点的题，其实也是逼着大家不能用极限去避开找点，我们来看一下导数和三角综合的零点不等式问题.【例12】（2023•广东月考）已知函数2()x f x ae x -=-，()sin x g x xe a x =-，其中a R ∈．（1）若0a >，证明()f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若1a e <，设1x 为()f x 在(0,)+∞上的零点，证明：()g x 在(0,)π上有唯一的零点2x ，且1232x x ->．注意：选择方案一的是真正做明白了这类题，一个好的找点方案决定一道压轴问的走向.考点四找点之双参数问题双参数问题，基本上涉及切线找点和主元选取，不同主元选取导致问题的难度有着天壤之别，限于篇幅，此类问题我们会在《高中数学新思路》系列3中再来详细叙述，本文我们仅以2018年浙江高考题来呈现此类问题.【例13】（2018•浙江）已知函数()ln f x x =-．（1）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln 2f x f x +>-；（2）若34ln 2a ≤-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点．注意：一道高考好题，将数形结合体现得淋漓尽致，这个双变量，k 一直为主体，a 为辅助，隐零点代换也是将k 换成了1x ，最后还是需要找点，综合来看，单调性极值得分析，隐零点代换+找点，这条主线才是双变量导数的核心，我们后面将讲到极值点偏移了，这个内容本质也跟找点有关联吗？达标训练1.（2023•广东月考）已知函数()f x lnx ax a =-+．（1）若函数()f x 的最大值是f （1），求实数a 的值；（2）设函数()()h x xf x =，在（1）的条件下，证明：()h x 存在唯一的极小值点0x ，且01()4h x >-．2.（2022•上杭县开学）已知曲线()(3)(2)x f x x e a lnx x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+．（Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且021()5e f x --<<-．3.（2022•贵阳模拟）已知函数()sin (0)x f x e a x a =->，曲线()y f x =在(0，(0))f 处的切线也与曲线22y x x =-相切．（1）求实数a 的值；（2）若0x 是()f x 的最大的极大值点，求证：0131()2f x <<．4.（2022•东区月考）已知()(1)()(1)1x f x x e a aln x =+--++，a R ∈．（1）若1a =，判断()f x 的单调性；（2）若1a >，且()f x 的极值点为0x ，求证：0()()f x f x 且0()1f x <．5.（2022•成都期中）已知函数()()x a f x lnx e +=-（其中 2.718e = 为自然对数的底数）．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴交于点(2,0)，求a 的值；（Ⅱ）求证：11a e >-时，()f x 存在唯一极值点0x ，且010x e<<．6.（2022•长沙模拟）已知112b <<，函数()2x f x e x b =--，其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）记0x 为函数()y f x =在(0,)+∞0x <<7.（2022•南京三模）已知函数2()(1)3x f x x x e =-+-，()()x f x g x xe x=-，e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()g x 在(0,)+∞上的最小值为m ，证明：3e m <<．8.（2022•北碚区期中）已知函数()21()f x lnx ax a R =--∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()F x xf x =存在极值点0x ，求证：02021x e ax ->．9.（2022•浙江模拟）已知函数()()x f x ln x a ae =+-．（1）当1a =时，求()f x 极值；（2）设0x 为()f x 的极值点，证明：001()2||1f x x --．10.（2022•日照期末）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若10a e <<．①证明：函数()f x 恰有两个零点；②设0x 为函数()f x 的极值点，1x 为函数()f x 的零点，且10x x >，证明：1002x x lnx <+．11.（2022•西城区三模）已知函数()(1)x f x e mlnx =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数．（1）当1m =，求()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）设函数()()x f x h x e '=，且5()2h x 恒成立．①求m 的取值范围；②设函数()f x 的零点为0x ，()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >．12.（2019•天津理）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f x g x x π+-；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国2卷)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．∅2．（5分）设z＝i（2+i），则＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A．B．2C．5D．504．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+17．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．（5分）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．810．（5分）曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝011．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．12．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若集合A＝{3，4，5}，则∁U A＝{1，2}．【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用补集定义直接求解．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{3，4，5}，∴∁U A＝{1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6π．【考点】G8：扇形面积公式．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；56：三角函数的求值．【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【解答】解：根据扇形的弧长公式可得l＝αr＝×6＝2π，根据扇形的面积公式可得S＝lr＝•2π•6＝6π．故答案为：6π．【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题．3．（4分）已知双曲线x2﹣y2＝1，则其两条渐近线的夹角为900．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝11的两条渐近线的方程为：y＝±x，所对应的直线的倾斜角分别为90°，∴双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线的夹角为90°，故答案为：90°．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题．4．（4分）若（a+b）n展开式的二项式系数之和为8，则n＝3．【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得n的值．【解答】解：（a+b）n展开式的二项式系数之和为2n＝8，则n＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．5．（4分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则xy的取值范围是[﹣，]．【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得．【解答】因为x2+y2＝1，所以可设x＝cosθ，y＝sinθ，则xy＝cosθsinθ＝sin2θ∈[﹣，]故答案为[﹣，]【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域．属基础题．6．（4分）若圆锥的母线长l＝5（cm），高h＝4（cm），则这个圆锥的体积等于12πcm3．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】11：计算题．【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积＝×π×底面半径2×高，把相应数值代入即可求解．【解答】解：∵圆锥的高是4cm，母线长是5cm，∴圆锥的底面半径为3cm，∴圆锥的体积＝×π×32×4＝12πcm3．故答案为：12πcm3．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．7．（5分）在无穷等比数列{a n}中，（a1+a2+……+a n）＝，则a1的取值范围是．【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】无穷等比数列{a n}中，，推出0＜|q|＜1，然后求出首项a1的取值范围．【解答】解：因为无穷等比数列{a n}中，，所以|q|＜1，＝，所以，∵﹣1＜q＜1且q≠0∴0＜a1＜1且a1≠故答案为：．【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用．8．（5分）若函数f（x）＝ln的定义域为集合A，集合B＝（a，a+1），且B⊆A，则实数a的取值范围为[﹣1，0]．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】36：整体思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先化简集合A，由B⊆A，得，得﹣1≤a≤0．【解答】解：∵＞0，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∴﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1）；∵B⊆A，∴，∴﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣1，0]．故答案为[﹣1，0]．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档．9．（5分）行列式中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f（x），则y＝1+f（x）的零点是﹣1．【考点】OY：三阶矩阵．【专题】33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】将行列式按第3行第2列展开，由f（x）＝A32＝﹣＝﹣（4×2x﹣4×4x）＝﹣2x+2（1﹣2x），令y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x）＝0，解得：x＝﹣1，即可求得y ＝1+f（x）的零点．【解答】解：第3行第2列的元素的代数余子式A32＝﹣＝﹣4×2x+4×4x＝﹣2x+2（1﹣2x），∴f（x）＝﹣2x+2（1﹣2x），y＝1+f（x）＝1﹣2x+2（1﹣2x），令y＝0，即2x+2（1﹣2x）＝1，解得：2x＝，x＝﹣1故答案为：﹣1．【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题．10．（5分）已知复数z1＝cos x+2f（x）i，z2＝（sin x+cos x）+i（x∈R，i为虚数单位）．在复平面上，设复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，若∠Z1OZ2＝90°，其中O是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期π．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4R：转化法；57：三角函数的图象与性质；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知求得Z1，Z2的坐标，结合∠Z1OZ2＝90°可得f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期．【解答】解：由题意，Z1（cos x，2f（x）），，∴∠Z1OZ2＝90°，∴，即2f（x）＝﹣，∴f（x）＝．则函数f（x）的最小正周期为π．故答案为：π．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题．11．（5分）当0＜x＜a时，不等式+≥2恒成立，则实数a的最大值为2．【考点】3R：函数恒成立问题．【专题】11：计算题；35：转化思想．【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2，变形为2+[+]+[+]，利用均值不等式得出式子的最小值．【解答】解：∵（+）a2＝（+）[x+（a﹣x）]2＝（+）[x2+2x（a﹣x）+（a﹣x）2]＝2+[+]+[+]≥2+4+2＝8∴+≥∴≥2'∴0＜a≤2．【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度．12．（5分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n，满足T n+＝（﹣1）n b n （n∈N*），且d＝a5＝b2，若实数m∈P k＝{x|a k﹣2＜x＜a k+3}（k∈N*，k≥3），则称m具有性质P k．若H n是数列{T n}的前n项和，对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，则所有满足条件的k的值为3，4．【考点】8E：数列的求和．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】求得n＝1，2，3，4，5时，数列{b n}的前5项，即可求出通项公式，再求得d 和首项a1，得到等差数列{a n}的通项公式，求得n＝1，2，3，4，H2n﹣1的特点，结合k ＝3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值．【解答】解：T n+＝（﹣1）n b n（n∈N*），可得n＝1时，T1+＝﹣b1＝﹣T1，解得b1＝﹣，T2+＝b2＝﹣+b2+＝b2，T3+＝﹣b3＝﹣+b2+b3+，即b2+2b3＝，T4+＝b4＝﹣+b2+b3+b4+，即b2+b3＝，解得b2＝，b3＝﹣，同理可得b4＝，b5＝﹣，…，b2n﹣1＝﹣，d＝a5＝b2，可得d＝a1+4d＝，解得a1＝﹣，d＝，a n＝，设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*，H2n﹣1都具有性质P k，由于H1＝T1＝b1＝﹣，H3＝T1+T2+T3＝﹣，H5＝T1+T2+T3+T4+T5＝﹣，H7＝﹣+0﹣＝﹣，…，H2n﹣1＝H2n﹣3+b2n﹣1，（n≥2），当k＝3时，P3＝{x|a1＜x＜a6}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝4时，P4＝{x|a2＜x＜a7}＝{x|﹣＜x＜}，当k＝5时，P5＝{x|a3＜x＜a8}＝{x|﹣＜x＜1}，当k＝6时，P3＝{x|a4＜x＜a9}＝{x|0＜x＜}，显然k＝5，6不成立，故所有满足条件的k的值为3，4．答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题．二、选择题（本题共有4题，满分20分）13．（5分）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（）A．f（x）＝arcsin x B．y＝lg|x|C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝cos x【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】可看出f（x）＝arcsin x在[﹣1，1]上单调递增，y＝lg|x|和f（x）＝cos x都是偶函数，从而判断A，B，D都错误，只能选C．【解答】A．f（x）＝arcsin x在区间[﹣1，1]上单调递增；∴该选项错误；B．y＝lg|x|为偶函数，∴该选项错误；C．f（x）＝﹣x是奇函数，且在[﹣1，1]上单调递减；∴该选项正确；D．f（x）＝cos x是偶函数，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义．14．（5分）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】15：综合题；34：方程思想；4G：演绎法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率．【解答】解：随机选派2人参加象棋比赛，有＝10种，选出的2人中恰有1人是女队员，有＝6种，∴所求概率为＝，故选：B．【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键．15．（5分）已知f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），设a＝f（），b＝f（），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（）A．a≤c≤b B．b≤c≤a C．c≤b≤a D．a≤b≤c【考点】3G：复合函数的单调性．【专题】35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】先判断f（x）在（0，+∞）上是减函数，再比较，，的大小关系，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵f（x）＝log sinθx，θ∈（0，），∴sinθ∈（0，1），故f（x）在（0，+∞）上为减函数．∵a＝f（），b＝f（），c＝f（），∵≥＞0，∴a＝f（）≤b＝f （），a≤b．又≤＝，即）≥，∴b＝f（）≤c＝f（），即b≤c．综上，a≤b≤c，故选：D．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）＝m•2x+x2+nx，记集合A＝{x|f（x）＝0，x∈R}，集合B＝{x|f[f （x）]＝0，x∈R}，若A＝B，且都不是空集，则m+n的取值范围是（）A．[0，4）B．[﹣1，4）C．[﹣3，5]D．[0，7）【考点】19：集合的相等．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；5J：集合．【分析】由{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}可得f（0）＝0，从而求得m＝0；从而化简f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，从而讨论求得【解答】解：设x1∈{x|f（x）＝0}＝{x|f（f（x））＝0}，∴f（x1）＝f（f（x1））＝0，∴f（0）＝0，即f（0）＝m＝0，故m＝0；故f（x）＝x2+nx，f（f（x））＝（x2+nx）（x2+nx+n）＝0，当n＝0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n＝0的根，故△＝n2﹣4n＜0，解得：0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选：A．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，P A＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）求三棱锥E﹣P AD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明AF⊥平面PBC，即可得出结论．【解答】（1）解：∵P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…（3分）∴…（6分）（2）证明：∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AB，又∵P A＝AB＝1，且点F是PB的中点，∴AF⊥PB…（8分）又P A⊥BC，BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，又AF⊂平面P AB，∴BC⊥AF…（10分）由AF⊥平面PBC，又∵PE⊂平面PBC∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件．18．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos B＝．（1）若sin A＝，求cos C；（2）已知b＝4，证明≥﹣5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HR：余弦定理．【专题】15：综合题；35：转化思想；58：解三角形；5A：平面向量及应用．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sin B，由sin B＞sin A，可得A为锐角，可求cos A，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cos C 的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求得ac≤13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵cos B＝，可得：sin B＝＝，∵sin B＝＞sin A＝，∴B＞A，可得A为锐角，∴cos A＝＝，∴cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．（2）证明：∵由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：a2+c2﹣ac＝16，∵a2+c2≥2ac，∴解得：ac≤13，当且仅当a＝c时等号成立，∴＝ac cos（π﹣B）＝﹣ac cos B＝﹣ac≥﹣5．得证．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14分）上海某工厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x+1﹣）元，其中1≤x≤10．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润．【考点】5A：函数最值的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解出即可得出．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．可得获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1﹣）≥30，1≤x≤10．解得：3≤x≤10，因此要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，x的取值范围为[3，10]．（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，≤10，可得t∈[90，900]．则获得利润f（t）＝5×+1﹣＝﹣+1，t＞0．由反比例函数的单调性可得：f（t）在t∈[90，900]单调递减．∴t＝90时，即该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．故该厂应选取10千克小时的速度匀速生产，可使生产900千克该产品获得的利润最大，其最大利润为900f（10）＝45630元．【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B，满足P A，PB的中点均在抛物线C上（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P（x P，y P），M（x M，y M），证明：y P＝y M；（3）若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，求△P AB面积的最小值．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】34：方程思想；4I：配方法；4J：换元法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（2）P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值．【解答】（1）解：由抛物线C：y2＝4x，得2p＝4，则p＝2，∴抛物线C的焦点到准线的距离为2；（2）证明：P（x P，y P），设A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为M（x M，y M），则M（，），抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足P A，PB的中点均在C上，可得，，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2y P y+8x P﹣＝0的两根，可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，可得；（3）解：若P是曲线x2+＝1（x＜0）上的动点，可得，﹣1≤x P＜0，﹣2＜y P＜2，由（2）可得y1+y2＝2y P，y1y2＝8，由PM垂直于y轴，可得△P AB面积为S＝|PM|•|y1﹣y2|＝（）•＝[﹣]•＝（），令t＝＝＝，得时，t取得最大值．x P＝﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，则S＝在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，∴△P AB面积的最小值为6．【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题．21．（18分）记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，其中n∈N*．（1）若a n＝2n+cos，请写出b3的值；（2）求证：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|a n|＜2018，且|b n|＝1，请问：是否存在K∈N*，使得对于任意不小于K的正整数n，有b n+1＝b n成立？请说明理由．【考点】83：等差数列的性质；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；54：等差数列与等比数列；59：不等式的解法及应用．【分析】（1）a n＝2n+cos，可得a1＝2，a2＝3，a3＝8，M3，m3．即可得出b3．（2）充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，可得b n＝，b n+1＝．b n+1﹣b n＝常数，即可证明“数列{b n}是等差数列”．必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n ＝a1，进而得出．同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．由|b n|＝1，b n＝1或﹣1，对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反．在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…．﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…，＝﹣1，＝1.＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，必有＞，＝．可得＝+4.＝＝+4．k i＞k i﹣1，k i≥k i﹣1+1，≥+1，≥+4，﹣≥4．利用累加求和方法即可得出．【解答】解：（1）∵a n＝2n+cos，∴a1＝2，a2＝3，a3＝8，∴M3＝8，m3＝2．∴b3＝＝5．（2）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n＝，b n+1＝．∴b n+1﹣b n＝，故“数列{b n}是等差数列”必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′则b n+1﹣b n＝﹣＝+＝d′根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1＝M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n＝a n，m n＝a1，则b n+1﹣b n＝﹣＝＝d′，即a n+1﹣a n＝2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′＝0时，M n+1＝M n，且m n+1＝m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件；（3）假设结论不成立，即对任意K∈N*，存在n＞K，使b n+1≠b n．∵|b n|＝1，∴b n＝1或﹣1，∴对∀K∈N*，一定存在i＞K，使得b i，b i+1符号相反∴在数列{b n}中存在，，…，，，…，其中k1＜k2＜k3＜…＜k i＜…且﹣1＝＝＝…＝＝，1＝＝＝…＝＝＝…∵＝﹣1，＝1即＝﹣1，＝1，由于≥与≤中只有一个等号成立，∴必有＞，＝．可得＝+4．∴＝＝+4．∵k i＞k i﹣1∴k i≥k i﹣1+1∴≥+1∴≥+4∴﹣≥4．利用累加求和方法可得：≥+4（m﹣1），∴≥+4×（1010﹣1）＞﹣2018+4036＝2018．这与|a n|＜2018矛盾，故假设错误，∴存在K∈N*，使∀n≥K，有b n+1＝b n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019年高考文科数学全国卷Ⅰ文数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）数学（文史类）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019全国卷Ⅰ·文）设3i12iz -=+，则||z =（ ）A.2D.1【解析】因为3i (3i)(12i)17i12i (12i)(12i)5z ----===++-，所以||z =故选C.【答案】C2.（2019全国卷Ⅰ·文）已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，{2,3,6,7}B =，则U B A =I ð（ ）A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【解析】因为{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,3,4,5}A =，所以{1,6,7}U A =ð. 又{2,3,6,7}B =，所以U B A =I ð{6,7}.故选C.【答案】C3.（2019全国卷Ⅰ·文）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a <<【解析】由对数函数的单调性可得22log 0.2log 10a =<=，由指数函数的单调性可得0.20221b =>=，0.300.2100.2c <==<，所以a c b <<.故选B.【答案】B4.（2019全国卷Ⅰ·文）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【解析】设某人身高为m cm ，脖子下端至肚脐的长度为n cm ， 则由腿长为105 cm，可得1050.618105m ->≈，解得169.890m >. 由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得260.618n >≈，解得42.071n <. 所以头顶到肚脐的长度小于2642.07168.071+=.68.072110.1470.618≈≈. 所以此人身高68.071110.147178.218m <+=. 综上，此人身高m 满足169.890178.218m <<. 所以其身高可能为175 cm.故选B. 【答案】B5.（2019全国卷Ⅰ·文）函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[π,π]-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】因为22sin()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x --+-==-=--+-+，所以()f x 为奇函数，排除选项A.令πx =，则22sin ()0cos 1f πππππππ+==>+-+，排除选项B ，C.故选D.【答案】D6.（2019全国卷Ⅰ·文）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2,,1000L ，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生【解析】根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为100010100=. 因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的整数，结合选项知正确号码为616.故选C. 【答案】C7.（2019全国卷Ⅰ·文）tan255=o （ ）A.2--B.2-+C.2D.2【解析】1tan 45tan 3075tan(tan255tan(4530)2180)tan 71tan 45tan 305+++=+===+=-=ooo o o o o o o o .故选D. 【答案】D.8.（2019全国卷Ⅰ·文）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为（ ）A.π6B.π3C.2π3 5π6【解析】设a ，b 的夹角为θ，因为()-⊥a b b ，所以()0-=g a b b ，即2||0-=g a b b .又||||cos ,||2||θ==g g a b a b a b ， 所以222||cos ||0θ-=b b ，所以1cos 2θ=. 又因为0θπ≤≤，所以3πθ=.故选B.【答案】B9.（2019全国卷Ⅰ·文）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A.12A A=+ B.12A A =+C.112A A=+ D.112A A=+【解析】对于选项A ，第一次循环，1122A =+；第二次循环，112122A =++，此时3k =，不满足2k ≤，输出112122A =++的值.故A 正确；经验证选项B ，C ，D 均不符合题意.故选A.【答案】A10.（2019全国卷Ⅰ·文）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130o ，则C 的离心率为（ ）A.2sin40oB.2cos40oC.1sin50oD.1cos50o【解析】由题意可得tan130ba-=︒，所以11|cos130|cos50e ====︒︒.故选D.【答案】D11.（2019全国卷Ⅰ·文）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则bc=（ ）A.6B.5C.4D.3【解析】因为sin sin 4sin a A b B c C -=，所以由正弦定理得2224a b c -=，即2224a c b =+.由余弦定理得222222222(4)31cos 2224b c a b c c b c A bc bc bc +-+-+-====-，所以6bc=.故选A. 【答案】A12.（2019全国卷Ⅰ·文）已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A.2212x y +=B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y += 【解析】设椭圆的标准方程为22221(0)bx y a b a +=>>，由椭圆定义可得11||||||4AF AB BF a ++=. 因为1||||AB BF =， 所以1||2||4AF AB a +=. 又22||2||AF F B =， 所以23||||2AB AF =，所以12||3||4AF AF a +=. 又因为12||||2AF AF a +=，所以2||AF a =. 所以A 为椭圆的短轴端点.如图，不妨设(0,)A b ，又2(1,0)F ，222AF F B =u u u u r u u u u r ，所以3,22b B ⎛⎫- ⎪⎝⎭.将B 点坐标代入椭圆方程22221(0)b x y a b a +=>>，得2229144b ba +=，所以22223,2a b a c ==-=.所以椭圆C 的方程为22132x y +=.故选B.【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2024年高考数学第二轮复习：高考数学模拟试题精编(十二)
高考数学模拟试题精编(十二)(考试用时：120分钟分值：150分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z＝2＋i1－3i，则z在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合P＝{x∈Z|x2－2x－8＜0}，Q＝{x|y＝ln (3x－x2)}，则P∩Q＝() A．{0，3} B．{1，2}C．(0，3) D．(1，2)3．已知两个非零向量a，b的夹角为60°，且a⊥(a－2b)，则|a＋b||a－b|＝()A．13B．33C． 3 D．34．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，按此规律得到的数列记为{a n}，则a15＝() A．98 B．112C．128 D．1325．“tan α＝3”是“cos 2α＝－45”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知a ＝14，b ＝log 83，c ＝12ln 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c7．酒后驾驶是严重危害交通安全的行为．某交通管理部门对辖区内四个地区(甲、乙、丙、丁)的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地区酒驾治理达标”．根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是( )A ．甲地：均值为4，中位数为5B ．乙地：众数为3，中位数为2C ．丙地：均值为7，方差为2D ．丁地：极差为3，75%分位数为88．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若双曲线不存在以点(2a ，a )为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，233 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，233 C ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫233，＋∞D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：x ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4，则( ) A ．直线l 与圆C 相离 B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个10．一个质地均匀的正四面体4个面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为3或4”，事件N 为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是( )A ．事件M 发生的概率为12B ．事件M 与事件N 互斥C ．事件M 与事件N 相互独立D ．事件M ＋N 发生的概率为12 11．已知a ＞0，b ＞0，直线y ＝x ＋a 与曲线y ＝e x -1－2b ＋1相切，则下列不等式成立的是( )A ．ab ≤18 B ．2a ＋1b ≤8 C ．a ＋b ≤62D ．3a ＋b ≤ 312.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝P A ＝2，记四棱锥P -ABCD 的外接球为球O ，平面P AD 与平面PBC 的交线为l ，BC 的中点为E ，则( )A ．l ∥BCB ．AB ⊥PCC ．平面PDE ⊥平面P AD D ．l 被球O 截得的弦长为1三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙等5名田径运动员在某次训练中分别位于1～5跑道的同一起跑线上，若甲、乙不相邻，则这5名运动员不同的站法有________种．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－log 3(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0是奇函数，则g (－2)＝________．15．若对任意的x ∈[1，4]，都有x |x －a |＞x 2－3x ＋4，则实数a 的取值范围为________．16．已知函数f (x )＝e x －8x m －x ＋2x 2e x (m ≠0)有三个零点x 1，x 2，x 3，且有x 1＜x 2＜x 3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e x 1x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e x 2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－e x 3x 3的值为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在①b sin A ＋3a cos B ＝3c ，②函数f (x )＝2cos 2x －23sin x cos x －1的最小值为f (A )，③cos B (tan A ＋tan B )＝2sin C 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，________． (1)求A ；(2)若AB ＝3AC ，且∠BAC 的平分线上的点D 满足BD ＝CD ，求∠BDC . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3(n ∈N *)．若数列{b n }满足b 1＝2，b 2＝4，b 2n ＋1 ＝b n b n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1S n(n ＝2k －1，k ∈N *)b n (n ＝2k ，k ∈N *)，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n .19．(本小题满分12分)如图1，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ＝1，BC ＝2，将△ACD 沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2.设经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面α∩平面P AC ＝m ，平面α∩平面ABC ＝n .(1)证明：m ∥n ；(2)若PB ＝6，求二面角A -BP -C 的余弦值．图1 图220．(本小题满分12分)某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了100位业内人士，根据被访问者的问卷得分(满分10分)将经济前景预期划分为三个等级(悲观、尚可、乐观).分级标准及这100位被访问者得分频数分布情况如下： 经济前景等级 悲观 尚可 乐观 问卷得分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 频数23510192417974意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性．(1)该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；(2)某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下(正数表示赢利，负数表示亏损)：统计学知识给出投资建议．21．(本小题满分12分)已知圆心在x 轴上移动的圆经过点A (－4，0)，且与x 轴、y 轴分别交于点B (x ，0)(异于A 点)，C (0，y )两个动点，记点(x ，y )的轨迹曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程；(1)过点F (1，0)的直线l 与曲线Γ交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ (其中O 为坐标原点)与圆F ：(x －1)2＋y 2＝1的另一交点分别为M ，N ，求△OMN 与△OPQ 面积的比值的最大值．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－1＋2e x 2e 2x ＋xa ，其中e 为自然对数的底数．(1)当a ＝－12时，求f (x )的单调区间；(2)当a >0时，若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且f (x 1)＋f (x 2)>k ·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a 2恒成立，求k 的最大值．。
2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷(含解析版)
2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分)1．（4分）已知A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+1）}，则A∪B＝．2．（4分）双曲线x2﹣＝1的一条渐近线的一个方向向量＝（u，v），则＝．3．（4分）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝．4．（4分）在（x﹣）5的展开式中x的系数为．5．（4分）若复数z＝（a+i）（3+4i）（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共扼复数的模等于．6．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为c，若（a2﹣b2+c2）＝，则角B的值为．（用反正切表示）8．（5分）椭圆+＝1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为．9．（5分）函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）+g（﹣x）＝x2．设函数f（x）＝g（x）﹣，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若f（a）+f（a2﹣2）≤0，则实数a的取值范围为．10．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为年．11．（5分）点P在曲线＝1上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，O（0，0），F（4，0），若＝x+y，则x+y的最大值是．12．（5分）设A（x1，y1），B（x1，y2）是曲线x2+y2＝2x﹣4y的两点，则x1y2﹣x2y1的最大值是．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)13．（5分）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A．B．C．D．14．（5分）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件15．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则q的取值范围是（）A．（0，1）B．（2，+∞）C．（0，1]∪（2，+∞）D．（0，2）16．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25B．50C．51D．100三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分) 17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A1AD；（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D和AB1所成的角的大小．18．（14分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）在一个周期内的图象经过B （），C（），D（）三点，求f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式．19．（14分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？20．（16分）已知抛物线y＝x2上的A，B两点满足＝2，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F．（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|＝λ|MO|（λ＞0），若请说明理由；（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标．21．（18分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n＝a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n＝2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n+c n （n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．2019年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（第1题到第6題毎题4分,第7题到第12题毎题5分,满分54分)1．（4分）已知A＝{x|3x＜1}，B＝{x|y＝lg（x+1）}，则A∪B＝R．【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵A＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，B＝{x|y＝lg（x+1）}＝{x|x＞﹣1}，∴A∪B＝R．故答案为：R．【点评】本题考查并集的求法，考查集合的并集运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）双曲线x2﹣＝1的一条渐近线的一个方向向量＝（u，v），则＝．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用直线的一个方向向量为（1，k），再利用双曲线的定义求得双曲线的渐近线方程即可．．【解答】解：双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为y＝±x，则渐近线方一个方向向量为（1，k）．∴，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，直线方向向量的定义，属于中档题．3．（4分）设函数y＝f（x）＝2x+c的图象经过点（2，5），则y＝f（x）的反函数f﹣1（x）＝log2（x﹣1）．【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】由f（2）＝5，解得c＝1，得y＝f（x）＝2x+1，然后反解x后，对调x与f（x）可得．【解答】解：依题意有：f（2）＝22+c＝5，解得：c＝1，所以f（x）＝2x+1，∴2x＝f（x）﹣1，x＝log2（f（x）﹣1），∴f﹣1（x）＝log2（x﹣1）故答案为：log2（x﹣1）【点评】本题考查了反函数．属基础题．4．（4分）在（x﹣）5的展开式中x的系数为40．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•（﹣2）r•x5﹣2r，令5﹣2r＝1，求得r＝2，∴二项式的展开式中x的系数为C52•（﹣2）2＝40，故答案为：40．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．（4分）若复数z＝（a+i）（3+4i）（i是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z的共扼复数的模等于25．【考点】A5：复数的运算．【专题】49：综合法；4R：转化法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则化简z，根据实部与虚部相等可得a，再利用复数的运算性质即可得出．【解答】解：复数z＝（a+i）（3+4i）＝（3a﹣4）+（3+4a）i的实部与虚部相等，∴3a﹣4＝3+4a，解得a＝﹣7．则复数z＝﹣25﹣25i的共扼复数的＝﹣25+25i，||＝＝25．故答案为：25．【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质、实部与虚部，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（4分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55种结果，同一科目的书都相邻，利用捆绑法，利用古典概型概率公式计算即可【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55＝120种结果，同一科目的书都相邻，把2本语文书捆绑在一起，再把2本数学书捆绑在一起，故有A22A22A33＝24种，故同一科目的书都相邻的概率P＝＝故答案为：【点评】本题考查排列数的计算，捆绑法的应用，古典概型概率公式的应用，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为c，若（a2﹣b2+c2）＝，则角B的值为arctan．（用反正切表示）【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】由a2﹣b2+c2＝，得＝，∴cos B＝sin B，∴tan B＝，再用反三角表示即可．【解答】解：由a2﹣b2+c2＝，得＝，∴cos B＝sin B，∴tan B＝，又B∈（0，），∴B＝arctan故答案为：arctan【点评】本题考查了余弦定理．属中档题．8．（5分）椭圆+＝1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t的取值范围为（3，4）∪（4，）．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】分t＞4和0＜t＜4求出椭圆的长半轴长和半焦距，再由a﹣c＞1列式求解t的取值范围．【解答】解：当t＞4时，椭圆+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则a＝，b＝2，c＝，由题意可得：a﹣c＝＞1，解得4＜t＜；当0＜t＜4时，椭圆+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则a＝2，b＝，c＝，由题意可得：a﹣c＝2﹣＞1，解得3＜t＜4．综上，t的取值范围为（3，4）∪（4，）．故答案为：（3，4）∪（4，）．【点评】本题考查椭圆的简单性质，明确长轴的两个端点到焦点距离最小（或最大）是关键，是中档题．9．（5分）函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）+g（﹣x）＝x2．设函数f（x）＝g（x）﹣，且f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若f（a）+f（a2﹣2）≤0，则实数a的取值范围为[﹣2，1]．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】判断f（x）的奇偶性和单调性，根据单调性和奇偶性，运用二次不等式的解法求出a的范围．【解答】解：由f（x）＝g（x）﹣得：f（﹣x）＝g（﹣x）﹣，∴f（x）+f（﹣x）＝g（x）+g（﹣x）﹣x2＝0，∴f（x）在R上是奇函数，又f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在R上单调递增，∵f（a）+f（a2﹣2）≤0，∴f（a）≤﹣f（a2﹣2）＝f（2﹣a2），∴a≤2﹣a2，即﹣2≤a≤1．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题考查韩寒说的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查定义法和转化思想，属于基础题．10．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为戊戌年．【考点】F4：进行简单的合情推理．【专题】2A：探究型；38：对应思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；5M：推理和证明．【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2017年到2078年经过61年，且2017年为丁酉年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61÷10＝6余1，则2078的天干为戊，61÷12＝5余1，则戊的地支为戌，故答案为：戊戌【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．11．（5分）点P在曲线＝1上运动，E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，O（0，0），F（4，0），若＝x+y，则x+y的最大值是．【考点】KE：曲线与方程．【专题】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．【分析】化简曲线方程画出图形，设出P（m，n），求得E的坐标，由向量坐标表示可得x，y关于m，n的关系式，再由线性规划知识，即可得到所求最大值．【解答】解：曲线＝1即为+＝1，如图所示，P在曲线上运动，设P（m，n），可得+＝1，由E是曲线第二象限上的定点，E的纵坐标是，可得E（﹣，），可得（m，n）＝x（4，0）+y（﹣，），即有m＝4x﹣y，n＝y，可得x＝，y＝n，即有x+y＝+，要求x+y＝+在+＝1下的最大值，考虑如图所示曲线的顶点（﹣5，0），（5，0），（0，3），（0，﹣3），代入（0，3）可得最大值为．故答案为：．【点评】本题考查曲线方程和应用，考查向量的坐标表示和简单线性规划问题，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．（5分）设A（x1，y1），B（x1，y2）是曲线x2+y2＝2x﹣4y的两点，则x1y2﹣x2y1的最大值是．【考点】JF：圆方程的综合应用．【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5B：直线与圆．【分析】由三角形的面积公式，结合向量数量积的坐标表示，变形即可得到所求解析式；x1y2﹣x2y1的最大值为2S的最大值，利用圆内接三角形面积最大时为等边三角形，即可得到取最大值【解答】解：△AOB的面积为S＝||•||•|sin∠AOB＝＝＝|x1y2﹣x2y1|；故x1y2﹣x2y1的最大值为2S的最大值，曲线x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5为圆心（1，﹣2），半径为的圆，且圆经过原点，当△AOB为等边三角形时，其面积最大，则最大值为，故x1y2﹣x2y1的最大值为，设故答案为：．【点评】本题考查三角形的面积的求法，注意运用向量数量积的坐标表示，考查代数式的最值求法，属于中档题．二、选择题（单项选择题，每题5分，满分20分)13．（5分）下列以行列式表达的结果中，与sin（α﹣β）相等的是（）A．B．C．D．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题．【分析】根据行列式的运算法则对四个选项一一进行化简运算得结果．【解答】解：∵sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，对于A：＝sinαcosβ+cosαsinβ；故错；对于B：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错；对于C：＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，正确；对于D：＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，故错．故选：C．【点评】本题考查行列式的运算，三角函数的变换公式、和角及二倍角的公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．14．（5分）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意知，用由一条直线和直线外一点确定一个平面验证充分性成立，反之必要性不成立．【解答】解：充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，由一条直线和直线外一点确定一个平面，推出“这四点在唯一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”；故选：A．【点评】本题考查了确定平面的依据：即公理2和推论，还有必要条件、充分条件与充要条件的判断．15．（5分）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则q的取值范围是（）A．（0，1）B．（2，+∞）C．（0，1]∪（2，+∞）D．（0，2）【考点】8J：数列的极限．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；52：导数的概念及应用；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，分析可得等比数列{a n}中q≠1，由等比数列的前n项和公式可得＝，进而结合极限的计算公式分析可得＝＜，解可得q的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，则必有q≠1，则S n＝，则＝＝＝，若存在，且{a n}的各项均为正数，必有q＞1，此时＝＜，解可得q＞2，即q的取值范围为（2，+∞）；故选：B．【点评】本题考查等比数列的前n项和以及极限的计算，注意掌握极限的计算公式，属于基础题．16．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25B．50C．51D．100【考点】8B：数列的应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据“好集”的定义，可解关于x1，x2，x3的方程组，用x2把另外两个元素表示出来，再根据“集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，通过x1，x2，x3∈M”构造出关于x2的不等式，求出x2中最大的元素．可以求出x2的最大值，从而确定“β等差数列的个数．【解答】解：∵＝，且x1+x3＝2x2，可得：＝，∴（x1﹣x2）（x1+2x2）＝0，∴x1＝x2（舍），或x1＝﹣2x2，∴x3＝4x2，令﹣100≤4x2≤100，得﹣25≤x2≤25，∴“β等差数列”的个数为2×25＝50．故选：B．【点评】这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组）或不等式问题，则问题迎刃而解．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分) 17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝AC，D是BC的中点．（1）求证：BC⊥平面A1AD；（2）若∠BAC＝90°，BC＝4，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，求异面直线A1D 和AB1所成的角的大小．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直．【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AA1⊥BC，BC⊥AD，由此能证明BC⊥平面A1AD1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线A1D和AB1所成的角的大小．【解答】证明：（1）∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC，又AB＝AC，D是BC的中点，BC⊥AD，AA1∩AD＝A，∴BC⊥平面A1AD1．解：（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝4，∴AB＝AC＝2，＝＝4，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积是8，∴S△ABC•AA1＝4AA1＝8，解得AA1＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0），A（0，0，0），B1（2，0，2），＝（，﹣2），＝（2，0，2），设异面直线A1D，AB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1D和AB1所成的角的大小为arccos．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18．（14分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）在一个周期内的图象经过B （），C（），D（）三点，求f（x）＝A sin（ωx+φ）的解析式．【考点】HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．【分析】分两种情况讨论：（1）当B（，0），C（，0）是半个周期内的两个相邻的零点；（2）当B（，0），C（，0）是一个周期内的两个不相邻的零点．【解答】解：（1）当B（，0），C（，0）是半个周期内的两个相邻的零点，则＝﹣，∴T＝π，ω＝2，φφφ⇒，∴函数f（x）＝2sin（2x﹣）；（2）当B（，0），C（，0）是一个周期内的两个不相邻的零点，则T＝﹣，∴T＝，ω＝4，⇒，所以函数f（x）＝sin（4x﹣）．【点评】本题考查了由y＝sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属中档题．19．（14分）今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【专题】32：分类讨论；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】（1）a＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x即可得出．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，再利用函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）a＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x＝4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）＝3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）＝3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）＝a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）＝a+1+1．联立，解得0＜a≤．可得a∈．因此调节参数a应控制在范围．【点评】本题考查了对数函数的单调性及其应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）已知抛物线y＝x2上的A，B两点满足＝2，点A、B在抛物线对称轴的左右两侧，且A的横坐标小于零，抛物线顶点为O，焦点为F．（1）当点B的横坐标为2，求点A的坐标；（2）抛物线上是否存在点M，使得|MF|＝λ|MO|（λ＞0），若请说明理由；（3）设焦点F关于直线OB的对称点是C，求当四边形OABC面积最小值时点B的坐标．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由B（2，4），设A（t，t2），结合已知条件即可求出t的值，则可求点A的坐标；（2）由条件知，把y＝x2代入得，求出△，然后分类讨论λ的范围即可得答案；（3）设B（），A（），则，解得x1x2＝﹣2，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立，解得m的值，然后利用基本不等式求解即可得答案．【解答】解：（1）由题意知，B（2，4），设A（t，t2），由＝2，得2t+4t2＝2，解得：t＝（舍）或t＝﹣1，∴A（﹣1，1）；（2）由条件知，把y＝x2代入得，∴，当λ＝1时，M有两个点，当时，M有两个点，当时，M点有四个，当λ＞1，M点有两个，当，M点不存在；（3）设B（），A（），由题意得：，解得x1x2＝﹣2．设直线AB的方程为y＝kx+m，联立，得x2﹣kx﹣m＝0，得x1x2＝﹣m，又x1x2＝﹣2，∴m＝2，则直线经过定点（0，2），∴S四边形OABC＝S△OAB+S△OBC＝S△OAB+S△OBF＝＝，当且仅当等号成立，四边形OABC面积最小，∴B（，）．【点评】本题考查抛物线方程和性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的应用，是中档题．21．（18分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列{a n}的前n项和S n＝a m，则称{a n}是“回归数列”．（Ⅰ）①前n项和为的数列{a n}是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为b n＝2n的数列{b n}是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设{a n}是等差数列，首项a1＝1，公差d＜0，若{a n}是“回归数列”，求d的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列{a n}，总存在两个“回归数列”{b n}和{c n}，使得a n＝b n+c n （n∈N*）成立，请给出你的结论，并说明理由．【考点】8B：数列的应用．【专题】23：新定义；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，当n＝1时，a1＝S1”即可得到a n，再利用“回归数列”的意义即可得出，②b n＝2n，S n＝n2+n＝n（n+1），n（n+1）为偶数，即可证明数列{b n}是“回归数列”；（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n＝a m，取n＝2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n＝a1﹣（n﹣1）a1＝（2﹣n）a1，c n＝（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”；即可得出．【解答】解：（Ⅰ）①当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1，当n＝1时，a1＝S1＝2．当n≥2时，S n＝a n+1．∴数列{a n}是“回归数列”；②b n＝2n，前n项和S n，S n＝n2+n＝n（n+1），∵n（n+1）为偶数，∴存在2m＝n（n+1），即m＝，数列{b n}是否是“回归数列”；（2）S n＝na1+d＝n+d，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n＝a m，即n+d＝1+（m﹣1）d，取n＝2时，得1+d＝（m﹣1）d，解得m＝2+，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m＝1，∴d＝﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n＝a1﹣（n﹣1）a1＝（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n＝﹣a1，c n＝（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n＝a1+d，则b n+c n＝a1+（n﹣1）d＝a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n＝na1+（﹣a1），令T n＝（2﹣m）a1，则m＝+2．当n＝1时，m＝1；当n＝2时，m＝1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n＝b m成立，即{b n}为“回归数列”；．数列{c n}的前n项和R n＝（a1+d），令c m＝（m﹣1）（a1+d）＝R n，则m＝+1．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n＝c m成立，即{c n}为“回归数列”；．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，当n＝1时，a1＝S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、“回归数列”意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。
高三数学高考模拟试题精编(二)
课标全国卷数学高考模拟试题精编（十二）【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z ＋z 2＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i2．“函数y ＝a x 是增函数”是“log 2a ＞1”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．(理)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各系数之和为A ，各二项式系数之和为B ，且A＋B ＝72，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(文)设集合A ＝{1，a 2，－2}，B ＝{2,4}，则“a ＝2”是“A ∩B ”＝{4}的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知实数4，m,1构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( ) A.22 B.3 C.22或 3 D.12或35．执行如图所示的程序框图，则输出的B 的值为( ) A ．63 B ．31 C ．15 D ．76．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．77．已知集合M ＝{x ||x ＋2|＋|x －1|≤5}，N ＝{x |a ＜x ＜6}，且M ∩N ＝(－1，b ]，则b －a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．3 D ．7 8．(理)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (1,0)，B (1,2)，C (0,2)，曲线y ＝ax 2经过点B .现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影部分的概率是( ) A.23 B.12 C.34 D.47(文)已知f (x )＝⎩⎨⎧3sin πx x ≤0f (x －1)＋1 x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23的值为( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－19．(理)一个班有6名战士，其中正副班长各一名，现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，正副班长中有且仅有一人参加，另一人要留下值班，则不同的分配方法有( ) A ．240种 B ．192种 C ．2 880种 D ．1 440种(文)双曲线x 2＋my 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±22x10．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B ．3π C.23π D ．2π11．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，……，依次循环的规律分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．98 B ．197 C ．390 D ．39212．定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ(λ∈R )，使得对任意的x ∈R ，都有f (x ＋λ)＝λf (x )，则称y ＝f (x )为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为假命题的是()A．若函数y＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，则y＝f(x)至少有1个零点B．函数f(x)＝2x＋1是倍增函数，且倍增系数λ＝1C．函数f(x)＝e－x是倍增函数，且倍增系数λ∈(0,1)D．若函数f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，则ω＝2kπ2(k∈N*)答题栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上)13.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或粗虚线画出了某简单组合体的三视图和直观图(斜二测画法)，则该简单组合体的体积为________．14．数列{a n}满足a1＝3，a n－a n a n＋1＝1，A n表示{a n}的前n项之积，则A2 013＝________.15．(理)某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为________．(文)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边长AB的长度等于________．16．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3cos(B－C )－1＝6cos B cos C . (1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，c .18．(理)(本小题满分12分)某食品店每天以每瓶2元的价格从厂家购进一种酸奶若干瓶，然后以每瓶3元的价格出售，如果当天卖不完，余下的酸奶变质作垃圾处理．(1)若食品店一天购进170瓶，求当天销售酸奶的利润y (单位：元)关于当天的需求量n (单位：瓶，n ∈N )的函数解析式；(2)根据市场调查，100天的酸奶的日需求量(单位：瓶)数据整理如下表：若以100170瓶酸奶，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列和数学期望EX .(文)(本小题满分12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b ，求关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号记为m ，将球放回袋中，然后从袋中随机取一个球，该球的编号记为n .若以(m ，n )作为点P 的坐标，求点P 落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －5＜0内的概率． 19.(理)(本小题满分12分)如图：四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，三角形ADE 是等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ADE ，EF ∥AB ，CD ＝2AB ＝2AD ＝2EF ＝4，CG →＝23CF →(1)求证：AF ∥平面BDG ； (2)求二面角C －BD －G 的余弦值． (文)(本小题满分12分)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝3a ，BC ＝2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE ＝CF ＝2a . (1)求证：B 1F ⊥平面ADF ； (2)求三棱锥B 1－ADF 的体积； (3)求证：BE ∥平面ADF .20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点F 1，F 2和上下两个顶点B 1，B 2是一个边长为2且∠F 1B 1F 2为60°的菱形的四个顶点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 2斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.求证：k ·k ′为定值．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e (e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)使不等式2f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，梯形ABCD 内接于圆O ，AD ∥BC ，且AB ＝CD ，过点B 引圆O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于点E 、F . (1)求证：CD 2＝AE ·BC ；(2)已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，求EF 的长． 23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t(t 为参数)，若以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)求直线l 被曲线C 所截得的弦长．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －7|－|x －3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)当x ＜5时，不等式|x －8|－|x －a |＞2恒成立，求实数a 的取值范围．课标全国卷高考数学模拟试题精编（十二）参考答案1．D 2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，选D.2．A 函数y ＝a x 是增函数可知a ＞1，不能推出log 2a ＞1，若log 2a ＞1，则a ＞2，可推出a ＞1.3．(理)A 在二项式中令x ＝1得系数之和A ＝4n ，又B 为二项式系数之和，则B ＝2n ，故A ＋B ＝4n ＋2n ＝72，得n ＝3，选A.(文)A 由题意当a ＝2时，A ∩B ＝{4}；反之，当A ∩B ＝{4}时，a ＝±2，因此“a ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件，选A. 4．C ∵m 2＝4，∴m ＝±2.当m ＝2时，曲线为椭圆，∴e ＝c a ＝2－12＝22.当m ＝－2时，曲线为双曲线，∴e ＝ca ＝1＋21＝ 3.5．A 第一次循环：B ＝2×1＋1＝3，A ＝2；第二次循环：B ＝2×3＋1＝7，A ＝3；第三次循环：B ＝2×7＋1＝15，A ＝4；第四次循环：B ＝2×15＋1＝31，A ＝5；第五次循环：B ＝2×31＋1＝63，A ＝6，此时不满足A ≤5，终止循环，故输出的B 的值为63，选A. 6.B 不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的区域为图中阴影部分．又ax －y ＋1＝0恒过定点(0,1)，当a ＝0时，不等式组⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0所表示的平面区域的面积为12，不合题意，当a ＜0时，所围成的区域面积小于12，所以a ＞0，此时所围成的区域为三角形，如图所示，其面积为S ＝12×1×(a ＋1)＝2，解之得a ＝3.7．C 由数轴可知M ＝{x |－3≤x ≤2}，又M ∩N ＝(－1，b ]∴a ＝－1，b ＝2，∴b －a ＝3.8．(理)A 因为y ＝ax 2的图象过B 点，所以2＝a ×12，则a ＝2，故所求的概率是1－∫102x 2d x 2＝1－⎪⎪⎪23x 3102＝23.故选A . (文)B f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋1＝－3·32＋1＝－12.9．(理)B 不同的分配方法有：C 12C 34A 44＝192种．(文)A 由方程x 2＋my 2＝1得x 2－y 2－1m＝1，所以2－1m ＝2×2，解得m ＝－14，令x 2－14y 2＝0，得渐近线方程为y ＝±2x. 10．A如图所示，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO.由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD.由于平面ABD ⊥平面BCD ，AE ⊥BD ，所以AE ⊥平面BCD.因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12，所以OA ＝32. 在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32.所以该球的体积V ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.故选A .11．D 将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.12．B 对于选项A ，∵函数y ＝f(x)是倍增系数λ＝－2的倍增函数，∴f(x －2)＝－2f(x)，当x ＝0时，f(－2)＋2f(0)＝0，若f(0)，f(－2)任意一个为0，函数f(x)有零点，若f(0)，f(－2)均不为零，则f(0)，f(－2)异号，由零点存在性定理，在区间(－2,0)内存在x 0，使得f(x 0)＝0，即y ＝f(x)至少有1个零点，故A 正确；对于选项B ，∵f(x)＝2x ＋1是倍增函数，∴2(x ＋λ)＋1＝λ(2x ＋1)，∴λ＝2x ＋12x －1≠1，故B 不正确；对于选项C ，∵f(x)＝e －x 是倍增函数， ∴e－(x ＋λ)＝λe －x ，∴1e x ·e λ＝λe x ，∴λ＝1eλ∈(0,1)，故C 正确；对于选项D ，∵f(x)＝sin 2ωx(ω＞0)是倍增函数，∴sin [2ω(x ＋λ)]＝λsin 2ωx ，∴ω＝k π2(k ∈N *)，故D 正确．13．解析：本题中的组合体是一个三棱锥挖去四分之一个圆锥后剩下的部分，所以先求出三棱锥和圆锥的体积，然后按照要求相减即可．图中三棱锥的底面是一个腰长为4的等腰直角三角形，高为4；还原的圆锥的底面半径为2，高为4，所以这个组合体的体积V ＝13×12×4×4×4－14×13×π×22×4＝323－43π. 答案：323－43π14．解析：由a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1，得a n ＋1＝a n －1a n ，所以a 2＝3－13＝23，a 3＝－12，a 4＝3，所以{a n }是以3为周期的数列，且a 1a 2a 3＝－1，又2 013＝3×671，所以A 2 013＝(－1)671＝－1. 答案：－115．(理)解析：甲、乙两人恰好对门的概率为P ＝3A 22A 44A 66＝15.答案：15(文)解析：S △ABC ＝12AC ·BC sin 60°＝12AC ·2·32＝3，∴AC ＝2. 利用余弦定理AB ＝22＋22－2·2·2cos 60°＝2.答案：216．解析：由题意得f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，有f ′(x )＝3ax 2－3＜0，∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴f (x )最小值＝f (1)＝a －2≥0，解之得a ≥2(与条件a ≤0矛盾)，不符合题意； 当a ＞0时，令f ′(x )＝0可得x ＝±1a ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 时f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数．由f (－1)＝4－a ≥0可得0＜a ≤4，又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ×1a a －3a ＋1＝1－2a ≥0可得a ≥4.综上可知a ＝4. 答案：417．解：(1)3(cos B cos C ＋sin B sin C )－1＝6cos B cos C ， 得3cos B cos C －3sin B sin C ＝－1.即3cos(B ＋C )＝－1，从而cos A ＝－cos(B ＋C )＝13. (2)由于0＜A ＜π，所以sin A ＝223. 又S △ABC ＝12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2＋c 2＝13.② 由①②两式联立可得b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2. 18．(理)解：(1)y ＝⎩⎨⎧n －2(170－n ) (0＜n ＜170)170 (n ≥170)y ＝⎩⎨⎧3n －340 (0＜n ＜170)170 (n ≥170)(2)X 可取110,140,170.E (X )＝0.17×110＋0.23×(文)解析：(1)设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ＞0，b ＞0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b . 以下第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．事件A 中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)． 事件A 发生的概率为P (A )＝612＝12.(2)先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P (m ，n )的所有可能情况为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －5＜0内的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4个，所以点P 落在区域⎩⎨⎧x －y ≥0x ＋y －5＜0，内的概率为14.19．(理)解：(1)连接AC 交BD 于H ，连接GH ，∵AB CD ＝12∴AH CH ＝12，即CH AC ＝23 ∴CH AH ＝CG GF ＝2 ∴GH ∥AF ∵GH ⊂平面BDG AF ⊄平面BDG ∴AF ∥平面BDG (2)如图建立空间坐标系，∵B (2,2,0)，C (0,4,0)，F (1,2，3) ∴CG →＝23CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，233 ∴DG→＝DC →＋CG →＝(0,4,0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－43，233＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83，233 ∵DB→＝(2,2,0)设平面BDG 的法向量为n 1＝(x ，y,1) ∵⎩⎪⎨⎪⎧DB →·n 1＝0DG →·n 1＝0∴n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，1设平面BDC 的法向量为n 2，n 2＝(0,0,1) ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝153＝155 所以二面角C －BD －G 的余弦值为155. (文)解：(1)证明：∵AB ＝AC ，D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC .在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B . ∵BC ∩B 1B ＝B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1. ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F .在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F ＝CD ＝a ，B 1C 1＝CF ＝2a ， ∴Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1.∴∠CFD ＝∠C 1B 1F .∴∠B 1FD ＝90°.∴B 1F ⊥FD . ∵AD ∩FD ＝D ，∴B 1F ⊥平面AFD . (2)∵B 1F ⊥平面AFD ，∴VB 1－ADF ＝13·S △ADF ·B 1F ＝13×12×AD ×DF ×B 1F ＝52a 33. (3)连EF ，EC ，设EC ∩AF ＝M ，连DM ， ∵AE ＝CF ＝2a ，∴四边形AEFC 为矩形， ∴M 为EC 中点．∵D 为BC 中点，∴MD ∥BE .∵MD ⊂平面ADF ，BE ⊄平面ADF ，∴BE ∥平面ADF .20．解：(1)由条件知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设过点F 2(1,0)的直线l 方程为：y ＝k (x －1)，设点E (x 1，y 1)，点F (x 2，y 2)， 将直线l 方程y ＝k (x －1)代入椭圆C ：x 24＋y 23＝1， 整理得：(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为点F 2在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，Δ＞0恒成立，且x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.直线AE 的方程为：y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AF 的方程为：y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2直线PF 2的斜率为 k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2 ＝14·y 2x 1＋x 2y 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4.将x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3代入上式得：k ′＝14·2·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＝－34k . 所以k ·k ′为定值－34.21．解：(1)由题意知f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增．当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，t 无解； 当0＜t ≤1e ＜t ＋2，即0＜t ≤1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；当1e ＜t ＜t ＋2，即t ＞1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，故f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ≤1et ln t ，t ＞1e.(2)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 即a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，h ′(x )＜0，此时h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，此时h (x )单调递增．所以h (x )max ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，h (e )，因为存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使2f (x )≥g (x )成立，所以a ≤h (x )max ，又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，故h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＞h (e)，所以a ≤1e ＋3e －2.22．解：(1)因为AD ∥BC ，所以∠EAB ＝∠ABC .又因为FB 与圆O 相切于点B ，所以∠EBA ＝∠ACB ，所以△EAB ∽△ABC ， 所以AE BA ＝ABBC ，即AB 2＝AE ·BC ， 因为AB ＝CD ，所以CD 2＝AE ·BC .(2)由(1)得AE ＝AB 2BC ＝258，因为AD ∥BC ，所以∠F AE ＝∠ACB ，又∠EBA ＝∠ACB ， 所以∠F AE ＝∠EBA ，∠F ＝∠F ，所以△FEA ∽△F AB ， 所以AE AB ＝EF AF ，所以EF ＝AE AB ·AF ＝154.23．解：(1)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45ty ＝－1－35t (t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y＋1＝0.将曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为直角坐标方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.(2)由(1)可知曲线C 表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径为22的圆，则圆心到直线l 的距离d ＝110，所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝212－1100＝75.24．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≤310－2x ，3＜x ＜7，－4，x ≥7图象如图所示：(2)∵x ＜5，∴不等式|x －8|－|x －a |＞2可化为8－x －|x －a |＞2， ∴|x －a |＜6－x 对x ＜5恒成立， 即x －6＜x －a ＜6－x 对x ＜5恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＜6a ＞2x －6对x ＜5恒成立． 又∵x ＜5时，2x －6＜4，∴4≤a ＜6. ∴实数a 的取值范围为[4,6)．。
2019年北京市高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．53．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．6．（5分）设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.18．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年广东省揭阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2019年广东省揭阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |-1＜x ＜1}， ，则M ∩N =（ ）A.B.C.D.2. 复数的共轭复数的虚部为（ ）A.B.C.D.3. 已知双曲线mx 2+y 2=1的一条渐近线方程为2x +y =0，则m 的值为（ ）A.B.C.D.4.由K 2=得K 2=≈8.333＞7.879参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B. 有 以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”5. 某公司2018年在各个项目中总投资500万元，如图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，那么不少于3万元的项目投资共有（ ） A. 56万元 B. 65万元 C. 91万元 D. 147万元6. 已知，，若θ是第二象限角，则tanθ的值为（ ）A.B.C.D.7. 已知α，β是平面，m ，n 是直线．下列命题中不正确的是（ ）A. 若 ， ，则B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则D. 若 ， ，则8. 已知函数则的是（ ） A.B.C. eD. 39. 我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”，其内容为：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢？各穿几何？”如图的程序框图源于这个题目，执行该程序框图，若输入x =20，则输出的结果为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设函数，则下列结论错误的是（ ）A. 为 的一个周期B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为D. 的最大值为211. 设F 是椭圆 ：＞ ＞ 的右焦点，A 是椭圆E 的左顶点，P 为直线上一点，△APF是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A.B.C.D.12. 若函数f （x ）=-x 2（x 2+ax +b ）的图象关于直线x =-1对称，则f （x ）的最大值是（ ）A. B. C. 0 D. 1 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件，则z =3x -2y 的最小值为______． 14. 已知平面向量 ，， ， ，且 ∥ ，则实数m 的值为______．15. 已知四棱锥S -ABCD 的底面是边长为 的正方形，且四棱锥S -ABCD 的顶点都在半径为2的球面上，则四棱锥S -ABCD 体积的最大值为______．16. 已知△ABC 中， ，D 是BC 边上的一点，且△ABD 为等边三角形，则△ACD 面积S 的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d 不为零，若a 1，a 3，a 9成等比数列，且S4=10．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：＜ ．18. 已知如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =4， ，点E ，F ，M 分别为C 1D 1，A 1D 1，B 1C 1的中点，过点M 的平面α与平面DEF 平行，且与长方体的面相交，交线围成一个几何图形．（1）在图中画出这个几何图形，并求这个几何图形的面积（画图说出作法，不用说明理由）；（2）求证：D1B平面DEF．19.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线y=kx+m（m＞0）与抛物线C交于不同的两点M，N．（1）若抛物线C在点M和N处的切线互相垂直，求m的值；（2）若m=2，求|MF|•|NF|的最小值．20.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg计算）需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将A（0.9kg），B（1.3kg），C（1.8kg），D（2.5kg）四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过5kg，求他支付的快递费为45元的概率．21.已知函数f（x）=x-a ln x-1．（1）若函数f（x）的极小值为0，求a的值；（2）∀t＞0且a≤1，求证：＞．22.在直角坐标系xOy中，直线：，圆：，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求△OAB的面积．23.已知正实数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．答案和解析1.【答案】A【解析】解：；∴．故选：A．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算．2.【答案】C【解析】解：设z====，所以z的共轭复数的虚部为-，故选：C．先求出复数的代数形式，即可得到的共轭复数的虚部本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：双曲线mx2+y2=1的渐近线方程为：y±x=0，因为双曲线mx2+y2=1的一条渐近线方程为2x+y=0，可得，解得m=-4．故选：D．求出双曲线的渐近线方程与已知渐近线方程对比，即可求出m的值．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：由题意知K2=≈8.333＞7.879，对照临界值得出，有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选：A．由题意知观测值K2，对照临界值得出结论．本题考查了独立性检验原理的应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意，因为在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，所以在1万元以上的项目投资中，不少于3万元的项目投资占比为，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%，所以不少于3万元的项目投资共有500×21%×=65万元，故选：B．根据题意，在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占，可得不少于3万元的项目投资占比为，而1万元以上的项目投资占总投资的比例为1-46%-33%=21%，即可得到那么不少于3万元的项目投资．本题考查了扇形图的读图识图能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵，∴sin2θ+cos2θ=（）2+（-）2=1，解得：a=0，或a=4，∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0．∴a=4，∴可得：sinθ=，cosθ=-，tanθ=-．故选：C．利用sin2θ+cos2θ=1，解得a．由于θ为第二象限角，可得sinθ＞0，cosθ＜0．即可得出a的值，进而可求tanθ的值．本题考查了同角三角函数的基本关系式、三角函数值的符号，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对于A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定A正确；对于B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，故错；对于C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定，可知C正确；对于D，根据面面垂直的判定，可D正确；故选：B．A，根据两条平行线中一条垂直某平面，另一条也垂直这平面可判定；B，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或异面，；C，根据线面垂直的性质、面面平行的判定判定；D，根据面面垂直的判定；本题考查了命题真假的判定，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，函数则f （）=ln=-ln3，则f[f （）]=f（-ln3）=e ln3=3；故选：D．根据题意，由函数的解析式求出f （）=-ln3，进而可得f[f （）]=f（-ln3），计算可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：若x=20，则T=1+1=2，S=0+2=2，S＜20是，a=2，b=，n=2T=2+=，S=+2=，S＜20是，a=4，b=，n=3，T=4+=，S=+=，S＜20是，a=8，b=，n=4，T=8+=，S=+=，S＜20是，a=16，b=，n=5，T=16+=，S=+=，S＜20否，程序终止，输出，n=5，故选：C．根据程序框图进行模拟计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．考查学生的计算能力．10.【答案】D【解析】解：∵函数=cos2x+cos2x=（+1）cos2x，故它的周期为=π，故A正确；当x=，求得f（x）=-（+1），为最小值，故它的图象关于直线x=对称，故B正确；当x=，求得f（x）=0，故f（x）的一个零点为x=，故C正确；由于f（x）的最大值为+1，故D错误，故选：D．由题意利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的性质得出结论．本题主要考查诱导公式、余弦函数的性质，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：设交x轴于点M，∵△FPA是底角为30°的等腰三角形∴∠PFA=120°，|PF|=|FA|，且|PF|=2|FM|∵P为直线上一点，∴2（-c）=a+c，解之得2a=3c∴椭圆E的离心率为e==故选：B．利用△FPA是底角为30°的等腰三角形，可得|PF|=|FA|，根据P为直线上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则，即，解得，当a=b=4时，f（x）=f（-2-x）恒成立，即a=b=4满足题意，即f（x）=-x2（x+2）2=-[（x+1）2-1]2，当x=0时，f（x）取最大值0，故选：C．由函数的性质得：函数f（x）=-x2（x2+ax+b）的图象关于直线x=-1对称，则，即，解得，当a=b=4时，f（x）=f（-2-x）恒成立，即a=b=4满足题意，由二次函数的最值问题得：f（x）=-x2（x+2）2=-[（x+1）2-1]2，当x=0时，f（x）取最大值0，得解．本题考查了函数的性质及二次函数的最值问题，属中档题．13.【答案】0【解析】解：由z=3x-2y得y=x-，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=x-由图象可知当直线y=x-经过点A时，直线的截距最小，此时z也最小，由，解得O（0，0）将O（0，0）代入目标函数z=3x-2y，得z=0．故答案为：0．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．14.【答案】【解析】解：平面向量，且∥，所以，2m+1-（-）•2m=0，解得m=-．故答案为：-．根据平面向量的共线定理与坐标表示，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题．15.【答案】6【解析】解：设M为正方形ABCD的中心，O为外接球的球心，则OM平面ABCD，∵正方形ABCD边长为，∴AM=，∴OM==1，当S，O，M在同一条直线上且O在四棱锥内部时，S到平面ABCD的距离取得最大值，最大距离为2+1=3．∴四棱锥的最大体积为（）2×3=6．故答案为：6．计算球心到平面ABCD的距离，得出S到平面ABCD的最大距离，再根据体积公式计算最大体积．本题考查了棱锥与外接球的位置关系，棱锥的体积计算，属于中档题．16.【答案】【解析】解：△ABC 中，，且△ABD为等边三角形，如图所示；则∠ADC=120°，△ADC中，AC=2，由余弦定理得：AC2=CD2+AD2-2CD•AD•cos∠ADC，即12=CD2+AD2-2CD•AD•（-），又CD2+AD2≥2CD•AD，所以3CD•AD≤12，即CD•AD≤4，当且仅当CD=AD=2时取“=”；所以△ACD面积为S=AD•CD•sin∠ADC≤×4×=，即△ACD面积S的最大值为．故答案为：．利用余弦定理和基本不等式求得CD•AD的最大值，再求△ACD面积S的最大值．本题考查了余弦定理以及三角形面积的计算问题，也考查了利用基本不等式求最值的应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）由a1，a3，a9成等比数列，可得且d≠0，化简得a1=d-------------------------------（3分）由S4=10可得2a1+3d=5由上解得a1=d=1，∴a n=1+（n-1）•1=n------------------------------（6分）（2）由（1）知，-------------------------------（7分）-----------------------------（9分）∴＜------------（12分）【解析】（1）利用等比数列以及等差数列，转化求解数列的首项与公差，得到数列的通项公式．（2）求出数列的和，利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查计算能力．18.【答案】解：（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．由题意知MN∥A1C1（或∥EF），四边形MNAC为梯形，且，过M作MP AC于点P，可得，，得，∴梯形MNAC的面积=．证明：（2）证法1：在长方体中ABCD-A1B1C1D1，设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，如图，，由DE=DF得DQ EF，又EF BB1，∴EF平面BB1D1D，∴EF D1B，，∴∠D1QD=∠BD1D，∴∠QD1B+∠D1QD=∠DD1B+∠BD1Q=90°，∴DQ D1B，∴D1B平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，，由BB1平面A1B1C1D1可知BB1EF，又B1D1EF，BB1∩B1D1=B1，∴EF平面BB1D1D，∴EF D1B，由得tan∠QDD1=tan∠D1BD，得∠QDD1=∠D1BD，∴∠QDB+∠D1BD=∠QDB+∠QDD1=90°，∴DQ D1B，又DQ∩EF=Q，∴D1B平面DEF．【解析】（1）设N为A1B1的中点，连结MN，AN、AC、CM，则四边形MNAC为所作图形．推导出四边形MNAC为梯形，过M作MP AC于点P，由此能求出梯形MNAC的面积．（2）证法1：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点并且为D1B1的四等点，推导出EF平面BB1D1D，从而EF D1B，推导出DQ D1B，由此能证明D1B平面DEF．证法2：设D1B1交EF于Q，连接DQ，则Q为EF的中点，且为D1B1的四等分点，推导出BB1EF，从而EF平面BB1D1D，EF D1B，推导出DQ D1B，由此能证明D1B平面DEF．本题考查几何图形面积的求法，考查空间中直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），对求导得：，------------------------------------（1分）故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，又切线垂直，∴，即x1•x2=-4，-------------------------------------------------（3分）把y=kx+m代入C的方程得x2-4kx-4m=0．∴x1x2=-4m．-------------------------------（5分）故m=1．------------------------------------------------（6分）（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义可知|MF|=y1+1，|NF|=y2+1---------------（8分）由（1）和m=2知x1x2=-8，x1+x2=4k所以=4k2+9------（11分）所以当k=0时，|MF|•|NF|取得最小值，且最小值为9．-----------------------------------------------------（12分）【解析】（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），对求导得：，故抛物线C在点M和N处切线的斜率分别为和，通过切线垂直，得到x1•x2=-4，把y=kx+m代入C的方程得x2-4kx-4m=0．利用韦达定理求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线定义可知|MF|=y1+1，|NF|=y2+1，由（1）和m=2知x1x2=-8，x1+x2=4k，求出|MF|•|NF|的表达式，然后求解最小本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．20.【答案】解：（1）每天包裹数量的平均数为0.1×50+0.1×150+0.5×250+0.2×350+0.1×450=260；--------------------------------------------（2分）【或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为】设中位数为x，易知x（200，300），则0.001×100×2+0.005×（x-200）=0.5，解得x=260．所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件．-----------------------------------------（4分）（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为260×5-3×100=1000（元），所以该公司平均每天的利润有1000元．-------------------------------------------------（7分）（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重0.9+1.8+2.5=5.2（千克），礼物B、C、D共重1.3+1.8+2.5=5.6（千克），都超过5千克，------------------（8分）故E和F的重量数分别有1.8和4.7，2.5和4.0，2.2和4.3，2.7和3.8，3.1和3.4共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）------------------------------（10分）故所求概率为．----------------------------------------------------------------------------------（12分）【解析】（1）根据频率分布直方图，将每一组的中点作为改组数据的代表值，对应的频率作为权重，取加权平均即可．（2）根据（1）中得到的平均值，求出每天的费用，减去300元的前台工作人员工资即可．（3）将4件礼物分成2个包裹，且每个包裹重量都不超过5kg，共有5种分法，其中快递费用为45的有3种，可得概率．本题考查了用频率分布直方图估计平均值，考查频率公式，频率分布直方图的应用，古典概型的概率求法．属于基础题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=x-a ln x-1，∴，当a≤0时，f （x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，故f（x）在x=a取得极小值0，∴f（a）=a-a lna-1=0，令p（a）=a-a lna-1，p'（a）=-ln a，所以p（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故p（a）≤p（1）=0，∴f（a）=0的解为a=1，故a=1．证明：（2）证法1：由＞＞＞，∵a≤1，所以只需证当t＞0时，＞恒成立，令，，由（1）可知x-ln x-1≥0，令x=e t得e t-t-1≥0，∴g（t）在（0，+∞）上递增，故g（t）＞g（0）=0，故＞．证法2：＞＞＞，设（t＞0），则g'（t）=e t-at-a，则g''（t）=e t-a，又e t＞e0=1，a≤1，得g''（t）＞0，∴g'（t）单调递增，得g'（t）＞g（0）=1-a≥0，∴g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）=0，故＞．【解析】（1）求出，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域上递增，不满足条件；当a＞0时，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，从而f（x）在x=a取得极小值0，由此能求出a．（2）法1：由，由a≤1，得只需证当t＞0时，恒成立，令，x-lnx-1≥0，令x=e t得e t-t-1≥0，由此能证明．法2：，设（t＞0），则g'（t）=e t-at-a，推导出g（t）单调递增，得g（t）＞g（0）=0，由此能证明．本题考查实数值的求法，考查不等式的证明，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．22.【答案】解：（1）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，-------------------------------------------------------（1分）所以C1的极坐标方程为，即（ρR），----------------------------（3分）C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ=0．----------------------------------------------------（4分）即ρ-2cosθ-4sinθ=0----------------------------------------------------------------------------------（5分）（2）代入ρ-2cosθ-4sinθ=0，解得．------------------------------------（7分）代入ρ-2cosθ-4sinθ=0，解得．---------------------------------------------（8分）故△OAB的面积为．----------------------------------（10分）【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可把C1，C2化成极坐标方程；（2）联立极坐标方程并利用极径的几何意义和面积公式可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（1）解：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，∴ ＜＜＜＜＜＜，解得＜，所以不等式的解集为，，证明：（2）方法一：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，∴ ===．当且仅当时，取“=”．方法二：∵x+y=1，且x＞0，y＞0，∴ ====，当且仅当时，取“=”．【解析】（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等．。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019高三数学文二轮复习查漏补缺课时练习(十二)第12讲函数模型及其应用含答案解析
课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用时间/45分钟分值/100分基础热身1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是()A.y=1000×2xB.y=1000log2xC.y=x1000D.y=1000×(32) x2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.8米B.6米C.4米D.3米3.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据如下表:x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=log2xD.y=2x-24.某市出租车的车费计算方法如下:路程在3 km以内(含3 km)为8元,达到3 km后,每增加1 km加收1.4元,达到8 km后,每增加1 km加收2.1元,增加不足1 km按四舍五入计算.若某乘客乘坐该市出租车交了44.4元车费,则该乘客乘坐出租车行驶的路程可以是()A.22 kmB.24 kmC.26 kmD.28 km5.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.能力提升6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%).现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过()A.6B.7C.8D.97.我国某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图K12-1所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()ABCD图K12-18.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,所有生产出来的产品都能卖完,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台9.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t>0)万元.公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x ∈N*)人去从事产品B的生产,分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.1810.国家对某行业征税的规定如下:年收入在280万元及以下部分的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税.有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是()A.560万元B.420万元C.350万元D.320万元图K12-211.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图K12-2),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为.12.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n(n∈N*)年的累计n(n+1)(2n+1),当年产量超过150吨时,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产量(单位:吨)为f(n)=12产线拟定最长的生产期限是年.13.某食品的保鲜时间y(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系式y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h,在22 ℃的保鲜时间是48 h,则该食品在33 ℃的保鲜时间是h.14.(10分)某地上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为1亿千瓦时.本年度计划将电价调至0.55~0.75元/千瓦时,经测算,若电价调至x元/千瓦时,本年度新增用电量为y亿千瓦时,则y与(x-0.4)成反比例.又当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?(收益=用电量×(实际电价-成本价))15.(10分)一片森林原来的面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到森林剩余面积为原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的√22.(1)求每年砍伐面积的百分比.(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍伐多少年?难点突破16.(15分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得投资收益(单位:万元)的范围是[10,100].现准备制定一个对科研课题组的奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超过5万元,同时奖金不超过投资收益的20%.(1)该公司为制定奖励方案,现建立函数模型y=f(x),请你根据题意,写出函数模型应满足的条件.(2)现有两个函数模型:①y=120x+1;②y=log2x-2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求.课时作业(十二)1.A[解析]在对数函数、幂函数、指数函数中,指数函数的增大速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数的增大速度越快,故选A.2.D[解析]设隔墙的长度为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×24−4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.故选D.3.C[解析]将x=0.50,y=-0.99代入计算,可以排除A;将x=2.01,y=0.98代入计算,可以排除B,D;将各组数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选C.4.A[解析]设该乘客乘坐出租车行驶的路程为x km.根据题意可得8+1.4×5+2.1×(x-8)=44.4,解得x=22.故选A.5.4.24[解析]因为m=6.5,所以[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.6.B[解析]由题意得,n235≤3%,解得n≤7.05,所以若这批米合格,则n不超过7.7.B [解析] 单位时间的运输量逐步提高时,运输总量的增长速度越来越快,即图像在某点的切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,故函数图像应一直是下凹的.故选B .8.C [解析] 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3000≥0,得x ≥150,所以生产者不亏本时的最低产量为150台.故选C .9.B [解析] 由题意,分流前产品A 的年产值为100t 万元,分流x 人后,产品A 的年产值为(100-x )(1+1.2x %)t 万元,则由{0<x <100,x ∈N *,(100-x)(1+1.2x%)t ≥100t,解得0<x ≤503,且x ∈N *,所以x 的最大值为16.故选B .10.D [解析] 设该公司的年收入为x 万元,纳税额为y 万元,则由题意得y={x ·p%,x ≤280,280·p%+(x -280)·(p +2)%,x >280,依题有280·p%+(x -280)·(p+2)%x=(p+0.25)%,解得x=320.故选D .11.180 [解析] 依题意知20−x 20=y -824−8,即x=54(24-y ),所以阴影部分的面积S=xy=54(24-y )·y=54(-y 2+24y )=-54(y-12)2+180,0<y<24,所以当y=12时,S 取得最大值180.12.7 [解析] 设第n (n ∈N *)年的年产量(单位:吨)为a n ,则a 1=12×1×2×3=3.当n ≥2时,a n =f (n )-f (n-1)=12n (n+1)(2n+1)-12n (n-1)(2n-1)=3n 2,又a 1=3也符合a n =3n 2,所以a n =3n 2(n ∈N *).令a n ≤150,即3n 2≤150,解得-5√2≤n ≤5√2,所以1≤n ≤7,n ∈N *,故最长的生产期限为7年. 13.24 [解析] 由已知条件,得192=e b,且48=e22k+b=e b ·(e 11k )2,所以e11k=(48192)12=(14)12=12,设该食品在33 ℃的保鲜时间是t h ,则t=e 33k+b =192e 33k =192·(e 11k )3=192×(12)3=24. 14.解:(1)因为y 与(x-0.4)成反比例,所以设y=kx -0.4(k ≠0,0.55≤x ≤0.75). 把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=k0.65−0.4,得k=0.2.所以y=0.2x -0.4=15x -2, 即y 与x 之间的函数关系式为y=15x -2(0.55≤x ≤0.75). (2)根据题意,得(1+15x -2)·(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%), 整理得x 2-1.1x+0.3=0,解得x=0.5或x=0.6. 经检验0.5,0.6都是所列方程的根. 因为0.55≤x ≤0.75,所以x=0.5不符合题意,应舍去,所以x=0.6.所以当电价调至每千瓦时0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%. 15.解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x<1), 则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12, 解得x=1-(12)110.故每年砍伐面积的百分比为1-(12)110.(2)设经过m年剩余面积为原来的√22,则a(1-x)m=√22a,即(12)m10=(12)12,即m10=12,解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.(3)设从今年开始,最多还能砍伐n年,则n年后剩余面积为√22a(1-x)n.令√22a(1-x)n≥14a,即(1-x)n≥√24,即(12)n10≥(12)32,即n10≤32,解得n≤15,故今后最多还能砍伐15年.16.解:(1)由题知,函数模型y=f(x)满足的条件是:(i)当x∈[10,100]时,f(x)是增函数;(ii)当x∈[10,100]时,f(x)≤5恒成立;(iii)当x∈[10,100]时,f(x)≤x5恒成立.(2)对于函数模型①y=120x+1,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);但当x=80时,y=5,因此,当x>80时,y>5,不满足条件(ii).故该函数模型不符合公司要求.对于函数模型②y=log2x-2,它在[10,100]上是增函数,满足条件(i);当x=100时,y max=log2100-2=2log25<5,即f(x)≤5恒成立,满足条件(ii);设h(x)=log2x-2-15x,则h'(x)=log2ex-15,因为x∈[10,100],所以1100≤1x≤110,所以h'(x)≤log2e10-15<210-15=0,所以h(x)在[10,100]上是减函数,因此,h(x)≤h(10)=log210-4<0,即f(x)≤x5恒成立,满足条件(iii).所以该函数模型符合公司要求.综上,对数函数模型y=log2x-2符合公司要求.。
高考数学模拟试题及答案解析,评分标准(知识点分析)
高考数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分１５0分.考试用时120分钟． 参考公式: 如果事件Ａ、B 互斥,那么P （Ａ+B )=Ｐ(A ）+P （B ).如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么Ｐ（Ａ·B )=Ｐ(Ａ)·P （B ).第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的. １.复数21z i=-的值是 A .1i - Ｂ.1i + Ｃ．1i -+ D .1i --A AB B A B ..∩中有个元素∩中有个元素31ﻩC A B D A B ..∩中有个元素∪2=R３． 向量a = (1，2)，ｂ = （x ,1),c = a + b ,ｄ = a － ｂ，若c ／/d ,则实数x 的值等于( ).Ａ．21 Ｂ．21- Ｃ．61 D. 61- 4.若110a b<<,则下列结论不正确．．．的是( ）22A.a b < 2B.ab b < C.a b a b +>+ b aD.2a b+>（ ） ﻩＡ. 相切ﻩ ﻩB. 相交 ﻩＣ. 相切或相离ﻩ ﻩﻩD ． 相交或相切()A B ..ππππ2322，，⎛⎝ ⎫⎭⎪( ) 设 ，则直线 与圆 的位置关系为 0 2 1 0 2 2 m x ym x y m > + + + = + = { } { }设集合 ，集合 ，则（ ）2 2 2 A x y y x B x y y x = = = = ( , )| sin ( , )| 函数 在下面哪个区间内是增 函数（） 6 y x x x = + sin cos 5()C D ..325223ππππ，，⎛⎝ ⎫⎭⎪图形可能是（ ）8已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，m ⊥α，ｎ⊥β，则下列命题中的假命题是（ ) ﻩA. 若m ∥ｎ，则α∥β B. 若α⊥β，则m ⊥ｎ C. 若α、β相交，则m 、n 相交 ﻩD. 若m 、n 相交，则α、β相交 ９设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ,则)(b a f +的值为( )A.１ﻩB ．2ﻩC.３ﻩD ．3log 210在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中含4x 项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（ )Ａ．第19项B.第２0项ﻩC ．第21项ﻩD.第2２项值为（ ）A B C D ....5101721012.如图，将正三角形ABC 以平行于一边BC 的直线l 为折痕,折成直二面角后,顶点A 转到A ',当B A '取得最小值时，l 将AC 边截成的两段之比为( )已知 ，则方程 与 在同一坐标系下的 70 1 0 2 2 2 mn mx ny mx ny ≠ + = + = ( ) ( ) 设动点坐标（ ， ）满足 ，则 的最小 1 4 032 2 xy x y x y x x y - + + - ≥ ≥ ⎧ ⎨ ⎩ + 11A.1:1B.2:1C.2：3D.１:3第Ⅱ卷 非选择题（共90分)二.填空题:本大题共4小题，每小题5分，共２0分再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变，得到函数____＿＿____＿＿＿的图象。
河南省2019年高考数学试卷(文科)以及答案解析
绝密★启用前河南省2019年高考文科数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届甘肃省武威市凉州区武威第八中学高考考前模拟数学试题含解析
2025届甘肃省武威市凉州区武威第八中学高考考前模拟数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77D ．783．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．25C ．2D ．234．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A 3B ．33C ．32D 35．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A ．3π B ．23π C ．πD ．43π 6．命题“(0,1),ln xx e x -∀∈>”的否定是（ ）A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤B ．000(0,1),ln x x e x -∃∈> C ．000(0,1),ln x x ex -∃∈<D ．000(0,1),ln x x ex -∃∈≤7． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）8．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =±B ．3y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±10．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A 23B 2或3C ．23D ．2或312．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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绝密 ★ 启用前2019年高考模拟试题（十二）文科数学时间：120分钟 分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合，且A B A =，则集合可以是（ ）A ．B ．C ．D ．R2．已知复数1i z =+（i 为虚数单位）给出下列命题：①；②1i z =-；③的虚部为i ．其中正确命题的个数是（ ） A ．B ．C ．2D ．33．若1sin 3α=，且ππ2α<<，则sin 2α=（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知等差数列的公差不为，，且2a ，4a ，8a 成等比数列，设的前项和为，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知变量和的统计数据如下表：34567{|0}B x x =≥A {}1,2{|1}x x ≤{}1,0,1-2z =z 01229-429-429229{}n a 011a ={}n a n n S n S =()12n n +()212n +212n +()34n n +x y x 此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号根据上表可得回归直线方程0.25y bx =-，据此可以预测当时，（ ） A ．64．B ．625．C ．655．D ．645．6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．8．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是()0,0,0，()1,0,1，()0,1,11,1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A ．B ．C ．D ．9．设曲线()()*cos f x m xm =∈R 上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为（ ）8x =y =S 12018120192017201820182019()3,0A l ()2211x y -+=l (⎡⎣⎛ ⎝⎭⎡⎢⎣⎦O xyz -yxzO正视图方向(),x y ()g x ()2y x g x =A．B．C．D．10．平行四边形中，，，，点在边上，则的最大值为（）A．2 B．C．5 D11．等比数列的首项为，公比为，前项和为，则当*n∈N时，的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．12的方程()t∈R有四个不同的实数根，则的取值范围为（）A B C D第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．已知向量a，b满足，(=a，1=b，+=a b，则a，b的夹角为__________．14．已知椭圆22195x y+=的右焦点为F，P是椭圆上一点，点(0,A，当点P在椭圆上运动时，APF△的周长的最大值为____________．15．在三棱锥A BCD-中，1AB=，BC=CD AC==，当三梭锥A BCD-的体积最大时，其外接球的表面积为__________．16．已知13a<，()()11e2e4x xf x x a a--=--+，关于x的不等式()0f x<有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是_______．ABCD2AB=1AD=·1AB AD=-M CD·MA MB1-1-{}na3212-nnS1nnSS-125-107-109125x()()220f x tf x++=t三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝45，S 6＝60． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若数列{b n }满足b n+1-b n ＝a n ，b 1＝3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ．18．如图，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．（1）求证：AF ∥平面BCE ；（2）求点A 到平面BCE 的距离．19．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表：（1）根据表中数据，是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”？（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率． 注：2()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++．20．如图，直线l:y ＝kx+1(k ＞0)关于直线y ＝x+1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆22:14x E y +=分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1．（1）求k ·k 1的值；（2）当k 变化时，直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 21．函数21()ln ()2f x x x ax a =++∈R ，23()e 2x g x x =+． （1）讨论函数f(x)极值点的个数；（2）若对任意x ∈(0，+∞)有f(x)≤g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为()3xyθθθ⎧⎪⎨=⎪⎩，为参数．（1）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（2）若直线l的参数方程为cos()sinx tty tαα=⎧⎨=⎩，为参数，直线l与曲线C交于A，B两点，且||AB=l的斜率．23．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x+1-2a|+|x-a2|，224()24(1)g x x xx=--+-．（1）求不等式f(2a2-1)＞4|a-1|的解集；（2）若存在实数x，y使f(x)+g(y)≤0成立，求实数a的取值范围．2019年高考模拟试题（十二）文科数学 答案及解析1、【答案】A 【解析】∵A B A =，∴A B ⊆，∵集合，∴选项A 满足要求．故选A ．2、【答案】C【解析】∵复数1i z =+，∴1i z =-，的虚部为，则①②正确，③错误．故选C ． 3、【答案】B【解析】∵1sin 3α=，且ππ2α<<，∴cos 3α==-， ∴1sin 22sin cos 23ααα⎛==⨯⨯= ⎝⎭．故选B ．4、【答案】A【解析】设等差数列的公差为．∵2a ，4a ，8a 成等比数列，∴，即， ∴，解得． ∴．故选A ．5、【答案】C【解析】 2.534 4.5645y ++++==，得将点代入，解得， 所以当时，．故选C ． 6、【答案】D【解析】模拟程序框图的运行，可得程序框图的功能是计算出1111012233420182019S =++++⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯的值．∵1111111111101122334201820192233420182019S =++++⋅⋅⋅=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯{|0}B x x =≥z ==z 1{}n a d 2428a a a =⋅()()()211137a d a d a d +=+⋅+()()()213117d d d +=+⋅+1d =()()1122n n n n n S n -+=+=()5,4.25ˆ0ˆybx =-ˆ0.85b =8x =0.8580.2.ˆ5655y =⨯-=12018120192019=-=，∴输出的值为．故选D ． 7、【答案】D【解析】设直线的方程为，代入圆的方程中，整理得()()222216290k x k x k +-++=，()24130k ∆=-≥，解得，故选D ．8、【答案】B【解析】满足条件的四面体如图：依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如图． 故选B ． 9、【答案】D 【解析】∵()()*cos f x m x m =∈R 上任一点处切线斜率为，∴()()sin g x f x m x==-'，∴函数，则该函数为奇函数，且当时，．故选D ．10、【答案】A 【解析】平行四边形中，2AB =，1AD =，1AB AD -⋅=，点M 在边上，S 20182019l()3y k x =-k ≤≤yOz (),x y ()g x ()()222sin sin yx g x x m x mx x ==-=-0x +→0y <ABCD CD··cos 4AB AD A ∴∠=，1cos 2A ∴=-，120A ∴=︒，以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为轴，建立坐标系，()0,0A ∴，()2,0B ，则1322x -≤≤，,2MA x ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭2MB ⎛=- (·MA MB x x ∴=，时，有最大值，故选A ． 11、【答案】B【解析】∵等比数列的首项为，公比为，∴，∴．①当为奇数时，随着的增大而减小，则，故； ②当为偶数时，随着的增大而增大，则，故． ∴的最大值与最小值的比值为．故选B ．12、【答案】AA AB x AB y M x ⎛ ⎝⎭()()2114f x x =--12x =-()f x 2{}n a 3212-13122n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭31122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭n 112nn S ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n 1312n S S <≤=1506n n S S <-≤n 112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭n 2314n S S =≤<71012n nS S -≤-<1n n S S -51067712=--【解析】令e xy x=，()1e xy x'∴=+，∴当时，；当时，；作图得令()f x m=，220m tm++=；则有两个不同的根110,em⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2120e et++<A．13、【答案】2π3【解析】由题得2==a，因为+=a b，所以2223+⋅+=a ab b，21221cos3α∴++⋅⨯⨯=，1cos2α∴=-，2π3α∴=．故填2π3．14、【答案】14【解析】如图所示设椭圆的左焦点为F'，4AF AF=='，则26PF PF a+'==，∵PA PF AF'≤'﹣，∴APF△的周长646414AF PA PF AF PA PF=++=++-'≤++=，当且仅当三点A，F'，P共线时取等号．∴APF△的周长最大值等于14．故答案为14．15、【答案】6π【解析】∵1AB=，BC=，AC=222AB BC AC+=，即ABC△为直角三角形，当CD⊥面ABC时，三梭锥A BCD-的体积最大，又∵CD=，ABC△外接，故外接球的半径R满足22232R=+=，∴外接球的表面积1x>-0y'>1x<-0y'< ()y f x=220m tm++=为24π6πR =．故答案为616、【解析】()()11e 2e 40x x f x x a a --=--+<，则()()12e 4x x a x --<-，令()()12e x g x x -=-，()()4h x a x =-，()()11e x g x x -∴=-'，所以()g x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()11g =-，因为不等式有且只有两个整数解，则只需满足()()00g h <，()()11g h -≥-17、【解析】：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则11545452656602a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，， 解得152.a d =⎧⎨=⎩， ∴a n ＝2n+3．（2）据（1）求解知a n ＝2n+3．∴b n+1-b n ＝a n ＝2n+3．又b 1＝3，∴b n ＝(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2) +…+(b 2-b 1)+b 1＝[2(n-1)+3]+[2(n-2)+3]+…+(2×1+3)+32(1)2322n n n n n -=⨯+=+． ∴11111(2)22n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦… 11113111221242(1)2(2)n n n n ⎛⎫=+--=-- ⎪++++⎝⎭． 18、【解析】：证明：（1）取CE 中点G ，分别连接FG ，BG ．又∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且12GF DE =． ∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴AB ∥DE ， ∴GF ∥AB ．又12AB DE =，∴GF ＝AB ．∴四边形GFAB为平行四边形，∴AF∥BG．又∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE．解：（2）连接AE，设点A到平面BCE的距离为h．在△BCE中，据题设条件求知，BC BE==CE=∴12BCES=⨯△．又CH CH为正△ACD的高），11212ABES=⨯⨯=△，由V三棱锥A-BCE＝V三棱锥C-ABE，得1133BCE ABEh S CH S⋅⋅=⋅⋅△△，解得h．即点A到平面BCE．19、【解析】：（1）∵22100(60102010)1003.8417030802021K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．（2）设a i(i＝1，2)表示喜欢甜品的学生，b j(j＝1，2，3)表示不喜欢甜品的学生，且这些基本事件的出现是等可能的．从5名数学系学生中任取3人的基本事件共10个为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b2)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)；用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A由7个基本事件组成为(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)．所以从数学系5名学生中随机抽取3人至多有1人喜欢甜品的概率7 ()10P A=．20、【解析】：（1）设直线l上任意一点P(x，y)关于直线y＝x+1的对称点为P0(x0，y0)．直线l与直线l1的交点为(0，1)．∵l:y＝kx+1，l1:y＝k1x+1，∴1ykx-=，011ykx-=．据题意，得00122y y x x ++=+，∴y+y 0＝x+x 0+2． ① 由001y y x x -=--，得y-y 0＝x 0-x ． ② 由①②，得0011.y x y x =+⎧⎨=+⎩， ∴0000100()1(1)(1)(2)11yy y y x x x x kk xx xx -++++-+++===． （2）设点M(x ，y 1)，N(x 2，y 2)．由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2+1)x 2+8kx ＝0． ∴12841k x k -=+，∴2121441k y k -=+． 同理有1221841k x k -=+，212211441k y k -=+． 又∵k ·k 1＝1，∴2242221221222144881414888(33)3414MNk k y y k k k k k k k x x k k k k k -----+++====------++． ∴MN:y-y 1＝k MN (x-x 1)．∴222214+1841341k k k y x k k k --⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭． 即22222218(1)141533(41)4133k k k k y x x k k k k ++-+=--+=--++． ∴当k 变化时，直线MN 恒过定点503⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 21、【解析】：（1）∵21()ln ()2f x x x a a =++∈R ，∴1()f x x a x'=++． ∵x ＞0，∴f ′(x)∈[a+2，+∞)．讨论：①当a+2≥0，即a ∈[-2，+∞)时，f ′(x)≥0对∀x ∈(0，+∞)恒成立，此时f(x)在(0，+∞)上单调递增，f(x)没有极值点；②当a+2＜0，即a ∈(-∞，-2)时，方程x 2+ax+1＝0有两个不等正实数根x 1，x 2，∴21211()()()(0)x ax x x x x f x x a x x x x++--'=++==>． 不妨设0＜x 1＜x 2，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，∴x 1，x 2分别为f(x)极大值点和极小值点，f(x)有两个极值点．综上，当a ∈[-2，+∞)时，f(x)没有极值点；当a ∈(-∞，-2)时，f(x)有两个极值点．（2）f(x)≤g(x)⇔e x -ln x+x 2≥ax ．又∵x ＞0，∴2e ln x x x a x+-≤对∀x ∈(0，+∞)恒成立． 设2e ln ()(0)x x x x x xϕ+-=>，则 2221e 2(e ln )e (1)ln (1)(1)()x x x x x x x x x x x x x x xϕ⎛⎫+--+- ⎪-+++-⎝⎭'==． ∴当x ∈(0，1)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；当x ∈(1，+∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．φ(x)min ＝φ(1)＝e+1，∴a ≤e+1．22、【解析】：（1）由3x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，得x 2+(y-3)2＝5，即x 2+y 2-6y+4＝0．∴曲线C 的极坐标方程为ρ2-6ρsin θ+4＝0．（2）直线cos :sin x t l y t αα=⎧⎨=⎩，（t 为参数）的普通方程为xtan α-y ＝0．据题意，得225⎛⎫+=⎝⎭，∴tan α=． ∴直线l的斜率为． 23、【解析】：（1）∵f(2a 2-1)＞4|a-1|，∴|2a 2-2a|+|a 2-1|＞4|a-1|，∴|a-1|(2|a|+|a+1|-4)＞0，∴|2a|+|a+1|＞4且a ≠1．讨论： ①若a ≤-1，则-2a-a-1＞4，∴53a <-； ②若-1＜a ＜0，则-2a+a+1≥4，∴a ＜-3，此时a 无解；③若a ≥0且a ≠1，则2a+a+1＞4，∴a ＞1．综上，所求实数a 的取值范围是5(1)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，，． （2）∵224()(1)55(1)g x x x =-+-≥- ∴g(x)≥-1，当且仅当1x =1x =∴g(x)min ＝-1．又存在实数x ，y 使f(x)+g(y)≤0成立，∴只需使f(x)min≤1．又f(x)＝|x+1-2a|+|x-a2|≥|(x+1-2a)-(x-a2)|，∴(a-1)2≤1，∴0≤a≤2．即所求实数a的取值范围是[0，2]．。