【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套Word版文档】9.8
【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【配套课件】第九章9.9
(1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程； － x，－ y)， 2 2 由已知得－ 3( x － 4) ＝ 6 1 － x ＋ － y ， (2)设 Q 是曲线 C 上任意一点， 2 2 x y 2： 求 Q 到直线 x ＋ 2y－12 ＝0 的 化简得 3x2＋4yl ＝ 12 ，即 ＋ ＝ 1. 4 3 距离的最小值． x2 y2 ∴点 P 的轨迹方程是椭圆 C： ＋ ＝1. 动画展示 4 3 (2)由几何性质意义知， l 与平行于 l 的椭圆 C 的切线 l′的距离等于 Q
与 l 的距离的最小值． 设 l′： x＋2y＋D＝0.将其代入椭圆识 题型分类
思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
直接法求轨迹方程
思维启迪 解析 探究提高
已知 M(4,0)，N(1,0)， →D → → 2 2 ∴ Δ＝144 D满足 －192( －4) ＝ 0 ⇒|. D＝± 4， 若动点 P MN · MP ＝ 6|NP
数学
苏(理)
§9.9 曲线与方程
第九章 解析几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．曲线与方程 如果曲线 C 上点的坐标(x， y)都是 方程 f(x，y)＝0 的 解 ，且以方程 f(x，y)＝0 的解(x，y)为坐标的点 都在 曲线 C 上，那么，方程
难点正本 疑点清源
求轨迹方程的常用方法 (1)直接法： 直接利用条件 建立 x， y 之间的关系 F(x， y)＝0； (2)待定系数法： 已知所求 曲线的类型，求曲线方程 —— 先 根据 条件 设 出所 求曲线的方程，再由条件 确定其待定系数；
基础知识 题型分类
难点正本 疑点清源
(3)定义法：先根据条件得 出动点的轨迹是某种已知 曲线，再由曲线的定义直 接写出动点的轨迹方程； (4) 代入法 ( 相关点法 ) ：动 点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0 ， y0) 的变化而变化， 并且 Q(x0，y0)又在某已知 曲线上，则可先用 x，y 的 代数式表示 x0， y0， 再将 x0， y0 代入已知曲线得要求 的轨迹方程；
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第6章学案28等差数列及其前n项和
学案28 等差数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)． (2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________. 3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________. 4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测 1．(2010·北京海淀模拟)已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________. 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 4．(2010·湖南师大附中)若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.5．(2010·泰安一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ； (2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n . (1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值． (2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______. 2．(2010·全国Ⅱ改编)如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．(2010·潍坊五校联合高三期中)已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值； ②S 30是S n 中的最小值； ③S 30＝0； ④S 60＝0. 6．(2010·辽宁)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 7．(2009·海南、宁夏)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题(共42分)9．(12分)设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．(14分)(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .11．(16分)(2010·广东湛师附中第六次月考)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．答案 自主梳理1．(1)二 差 a n ＋1－a n ＝d (2)A ＝a ＋b2等差中项2．(1)a 1＋(n －1)d (n －m )d (2)na 1＋n (n －1)2d (a 1＋a n )n23.An 2＋Bn4.(1)a m ＋a n ＝a p ＋a q a m ＋a n ＝2a p (3)递增数列 递减数列 常数列自我检测 1．130 2．2解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝6，a 3＝4，∴a 1＝0，a 3－a 1＝2d .∴d ＝2. 3．24解析 ∵S 9＝72＝9(a 1＋a 9)2，∴a 1＋a 9＝16.∵a 1＋a 9＝2a 5，∴a 5＝8. ∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24. 4．13解析 由S 5＝(a 2＋a 4)·52⇒25＝(3＋a 4)·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.5．1解析 S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝95·2a 52a 3＝95·59＝1.课堂活动区例1 解题导引 (1)等差数列{a n }中，a 1和d 是两个基本量，用它们可以表示数列中的任何一项，利用等差数列的通项公式与前n 项和公式，列方程组解a 1和d ，是解决等差数列问题的常用方法；(2)由a 1，d ，n ，a n ，S n 这五个量中的三个量可求出其余两个量，需选用恰当的公式，利用方程组观点求解．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242.得12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．变式迁移1 解 由题意，知 ⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝110，(a 1＋d )2＝a 1·(a 1＋3d )，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝22，a 1d ＝d 2.∵d ≠0，∴a 1＝d .解得a 1＝d ＝2，∴a n ＝2n .例2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，即a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)，第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n＋1＋a n －1 (n ≥2)．2．解选择、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断．(1)通项法：若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n ＝An ＋B ，则{a n }是等差数列． (2)前n 项和法：若数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列．3．若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可．解 (1)∵a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.∴数列{b n }是以－52为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n＝1＋22n －7，设函数f (x )＝1＋22x －7，易知f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞内为减函数． ∴当n ＝3时，a n 取得最小值－1； 当n ＝4时，a n 取得最大值3.变式迁移2 解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23.∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8，解得λ＝－1.此时，b 1＝2.事实上，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项为2、公差为1的等差数列．例3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷，应注意运用；也可用整体思想(把a 1＋n －12d 看作整体)．解 方法一 设此等差数列为{a n }共n 项， 依题意有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146.② 根据等差数列性质，得a 5＋a n －4＝a 4＋a n －3＝a 3＋a n －2＝a 2＋a n －1＝a 1＋a n .将①②两式相加，得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋(a 3＋a n －2)＋(a 4＋a n －3)＋(a 5＋a n －4)＝5(a 1＋a n )＝180，∴a 1＋a n ＝36.由S n ＝n (a 1＋a n )2＝36n2＝360，得n ＝20.所以该等差数列有20项．方法二 设此等差数列共有n 项，首项为a 1，公差为d ， 则S 5＝5a 1＋5×42d ＝34，①S n －S n －5＝[n (n －1)d 2＋na 1]－[(n －5)a 1＋(n －5)(n －6)2d ]＝5a 1＋(5n －15)d ＝146.②①②两式相加可得10a 1＋5(n －1)d ＝180， ∴a 1＋n －12d ＝18，代入S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋n －12d ＝360， 得18n ＝360，∴n ＝20.所以该数列的项数为20项． 变式迁移3 解 (1)依题意，知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21， a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝88. ∴a 1＋a n ＝884＝22.∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝286，∴n ＝26.(2)∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，∴S 3n ＝3(S 2n －S n )＝54.(3)设项数为2n －1 (n ∈N *)，则奇数项有n 项，偶数项有n －1项，中间项为a n ，则S 奇＝(a 1＋a 2n －1)·n 2＝n ·a n ＝44，S 偶＝(a 2＋a 2n －2)·(n －1)2＝(n －1)·a n ＝33，∴n n －1＝43.∴n ＝4，a n ＝11.∴数列的中间项为11，项数为7.例4 解题导引 若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d <0，且满足⎩⎨⎧ a n ≥0a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大；(2)若a 1<0，d >0，且满足⎩⎨⎧a n ≤0a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)除上面方法外，还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n ∈N *.解 方法一 ∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列． 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝106a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4. ∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31.解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，得292≤n ≤312.∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }前15项为负值. ∴S 15最小． 可知b 1＝－29，d ＝2，∴S 15＝15×(－29＋2×15－31)2＝－225.方法二 同方法一求出b n ＝2n －31.∵S n ＝n (－29＋2n －31)2＝n 2－30n ＝(n －15)2－225，∴当n ＝15时，S n 有最小值，且最小值为－225.变式迁移4 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36， ∴a 17＝－12，∴d ＝a 17－a 917－9＝3，∴a n ＝a 9＋(n －9)·d ＝3n －63，a n ＋1＝3n －60，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －63≤0a n ＋1＝3n －60≥0，得20≤n ≤21， ∴S 20＝S 21＝－630，∴n ＝20或21时，S n 最小且最小值为－630.(2)由(1)知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数．当n ≤21时，T n ＝－S n ＝－32n 2＋1232n .当n >21时，T n ＝S n －2S 21＝32n 2－1232n ＋1 260.综上，T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (n ≤21，n ∈N *)32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).课后练习区 1．15解析 在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝a 3＋a 8＝22，∴a 5＝15. 2．28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.3．5解析 由S 3＝S 7得a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝0， 即a 5＋a 6＝0，∴9d ＝－2a 1＝18，d ＝2.∴S n ＝－9n ＋12n (n －1)×2＝n 2－10n .∴当n ＝－－102×1＝5时，S n 最小．4．16解析 a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120.∴5a 8＝120.∴a 8＝24.∴a 9－13a 11＝a 1＋8d －13(a 1＋10d )＝23(a 1＋7d )＝23a 8＝16. 5．④解析 方法一 由S 20＝S 40，得a 1＝－592d ，∴S 60＝60a 1＋60×592d ＝60×⎝⎛⎭⎫－592d ＋60×592d ＝0. 方法二 由S 20＝S 40，得a 21＋a 22＋…＋a 40＝0，∴a 30＋a 31＝0.∴S 60＝60(a 1＋a 60)2＝30(a 30＋a 31)＝0.6．15解析 设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，①S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.②联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 7．10解析 由等差数列的性质可知a m －1＋a m ＋1＝2a m ，∴2a m －a 2m ＝0，∴a m ＝0或a m ＝2.又S 2m －1＝(2m －1)a m ≠0， ∴a m ＝2，由2(2m －1)＝38，得m ＝10. 8．27解析 ∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)·d . 将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.9．(1)证明 ∵{a n }是等差数列，∴a 2＝a 1＋d ，a 4＝a 1＋3d ，又a 22＝a 1a 4，于是(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即a 21＋2a 1d ＋d 2＝a 21＋3a 1d (d ≠0)．化简得a 1＝d .…………………………(6分) (2)解 由条件S 10＝110和S 10＝10a 1＋10×92d ，得到10a 1＋45d ＝110.由(1)知，a 1＝d ，代入上式得55d ＝110，故d ＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.…………………………………………(12分)10．解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2.…………………………………………………………………………(4分) 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n (a 1＋a n )2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．…………………………………………………………(7分) (2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14n (n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.………………………………………………………(9分)故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1). 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).…………………………………………………(14分)11．(1)证明 将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列{1a n}为以1为首项，3为公差的等差数列．…………………………………(4分)(2)解 由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.……………………………………………………………………………(8分)(3)解 若λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立， 即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立． 整理得λ≤(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)………………………………………………………………(10分)令c n ＝(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)c n ＋1－c n ＝(3n ＋4)(3n ＋1)3n －(3n ＋1)(3n －2)3(n －1)＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1).………………………………………………………………………(14分)因为n ≥2，所以c n ＋1－c n >0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为(－∞，283]．………………………………………………………(16分)。
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第7章学案32不等关系及一元二次不等式
第7章 不等式、推理与证明 学案32 不等关系及一元二次不等式导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式． 2自我检测 1．(2010·广州一模)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a>0的解集是R ，q ：－1<a <0，则p 是q 成立的________条件．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6， x <0， 则不等式f (x )>f (1)的解集是________．3．(2011·上海改编)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)①a 2＋b 2>2ab ；②a ＋b ≥2ab ； ③1a ＋1b >2ab ；④b a ＋a b≥2. 4．已知f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，则a ＝________，c ＝________.5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________．探究点一 一元二次不等式的解法例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式： (1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.变式迁移2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题例3 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．变式迁移3 (1)关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．转化与化归思想与三个“二次”的关系例 (14分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答题模板】解 由已知不等式的解集为(α，β)可得a <0，∵α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系可得⎩⎨⎧ba ＝－(α＋β)<0， ①ca ＝αβ>0. ②[4分]∵a <0，∴由②得c <0，[6分]则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac>0.[8分]①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0，由②得a c ＝1αβ＝1α·1β>0， ∴1α、1β为方程x 2＋b c x ＋ac＝0的两根．[12分] ∵0<α<β，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |x <1β或x >1α}．[14分]【突破思维障碍】由ax 2＋bx ＋c >0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a <0，要求cx 2＋bx ＋a <0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负，由方程根与系数关系知ca ＝α·β>0，因a <0，∴c <0，从而知道cx 2＋bx ＋a <0的解集是x 大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c 、b 、a ，需对不等式cx 2＋bx ＋a <0两边同除c 或a ，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2011·宿迁模拟)函数y ＝log 12(x 2－1)的定义域是____________．2．(原创题)若不等式3kx 2＋k ＋8>(13)－6kx 的解集为空集，则实数k 的取值范围是________．3．(2010·宁夏银川一中一模)已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]，则a ＝__________，b ＝__________.4．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．5．(创新题)已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是________．6．(2011·扬州模拟)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为______________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为________．8. 已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．二、解答题(共42分)9．(14分)解关于x 的不等式x －ax －a 2<0 (a ∈R )．10．(14分)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．11．(14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．学案32 不等关系及一元二次不等式答案自主梳理1．2 2.－b2aR ∅ ∅自我检测 1．充要解析 不等式x 2＋2ax －a >0的解集是R 等价于4a 2＋4a <0，即－1<a <0. 2．(－3,1)∪(3，＋∞)解析 由解析式可得f (1)＝1－4＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0，所以不等式f (x )>f (1)的解集为(－3，1)∪(3，＋∞)． 3．④解析 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴①错误． 对于②③，当a <0，b <0时，明显错误． 对于④，∵ab >0，∴b a ＋ab≥2b a ·a b＝2. 4．－1 －6解析 因为f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－3,2)，所以－3＋2＝－－1a ，a ＝－1，－3×2＝－ca，c ＝－6. 5．(－∞，－5]解析 记f (x )＝x 2＋mx ＋4，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－16>0，f (1)≤0，f (2)≤0，解得m ≤－5.课堂活动区例1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解 (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2<0， 因为3>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是 x 1＝1－33，x 2＝1＋33， 所以原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}． (2)∵不等式9x 2－6x ＋1≥0，其相应方程9x 2－6x ＋1＝0，Δ＝(－6)2－4×9＝0， ∴上述方程有两相等实根x ＝13，结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象知，原不等式的解集为R . 变式迁移1 解 (1)∵不等式2x 2＋4x ＋3<0可转化为 2(x ＋1)2＋1<0，而2(x ＋1)2＋1>0， ∴2x 2＋4x ＋3<0的解集为∅.(2)两边都乘以－1，得3x 2＋2x －8≥0， 因为3>0，且方程3x 2＋2x －8＝0的解是x 1＝－2，x 2＝43，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x 2－8x ＋1≤0， 即(4x －1)2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解 (1)a ＝0时，解为x >0. (2)a >0时，Δ＝4－4a 2. ①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为1±1－a2a，∴不等式的解集为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}． ②当Δ＝0，即a ＝1时，x ∈∅； ③当Δ<0，即a >1时，x ∈∅. (3)当a <0时，①Δ>0，即－1<a <0时， 不等式的解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}．②Δ＝0，即a ＝－1时，不等式化为(x ＋1)2>0， ∴解为x ∈R 且x ≠－1. ③Δ<0，即a <－1时，x ∈R . 综上所述，当a ≥1时， 原不等式的解集为∅； 当0<a <1时，解集为 {x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}； 当a ＝0时，解集为{x |x >0}； 当－1<a <0时，解集为 {x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}； 当a ＝－1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； 当a <－1时，解集为R .变式迁移2 解 ①当a ＝0时，解得x >1.②当a >0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)<0，∴a >1时，解得1a <x <1；a ＝1时，解得x ∈∅；0<a <1时，解得1<x <1a.③当a <0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)>0，∵1a <1，∴解不等式可得x <1a或x >1. 综上所述，当a <0时，不等式解集为(－∞，1a )∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，不等式解集为(1，1a )；当a ＝1时，不等式解集为∅；当a >1时，不等式解集为(1a，1)．例3 解题导引 注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解 方法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.方法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.变式迁移3 解 (1)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0， ∴不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2同解于4x ＋m <2x 2－4x ＋6，即2x 2－8x ＋6－m >0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x 2－8x ＋6－m >0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m )<0，整理并解得m <－2. ∴实数m 的取值范围为(－∞，－2)．(2)∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0. 令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0.∴x >3或x <－1.∴实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 课后练习区1．[－2，－1)∪(1，2] 2.[0,1] 3．－2 009 －2 010解析 化简得M ＝{x |x <－1或x >2 009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 010}，即－1,2 010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2 010＝－2 010，－a ＝－1＋2 010， 即a ＝－2 009.4．m <－1311解析 当m ＝－1时，不等式变为2x －6<0，即x <3，不符合题意．当m ≠－1时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)×3(m －1)<0，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，11m 2＋2m －13>0，解得m <－1311.5.⎝⎛⎭⎫0，2a 1解析 (1－a i x )2<1，即a 2i x 2－2a i x <0，即a i x (a i x －2)<0，由于a i >0，这个不等式可以化为x ⎝⎛⎭⎫x －2a i <0，即0<x <2a i ，若对每个都成立，则2a i 应最小，即a i 应最大，也即是0<x <2a 1. 6．(－12，32)解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )<1 ⇔(x －a )(1－x －a )<1 ⇔x 2－x －(a 2－a －1)>0.因上式对x ∈R 都成立，所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，即4a 2－4a －3<0.所以－12<a <32.7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，由log 2x >1，得x >2； 当x ≤0时，由x 2>1，得x <－1.综上可知，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2)解析 由导函数图象知当x <0时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即－2<x 2－6≤0或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)． 9．解x －a x －a2<0⇔(x －a )(x －a 2)<0，(2分)①当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；(5分) ②当a <0或a >1时，a <a 2，此时a <x <a 2；(9分) ③当0<a <1时，a >a 2，此时a 2<x <a .(13分)综上，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式解集为∅.(14分)10．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，(4分)又⎝⎛⎭⎫－13×2＝ca <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，(7分)∴－b a ＝53，即b a ＝－53.又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .(10分)∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝⎛⎭⎫－23a x 2＋⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(14分)11．解 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(4分)(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图a ，当g (x )的图象恒在x 轴上方，满足条件时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(7分) ②如图b ，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之，得a ∈∅.(10分)③如图c ，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.(13分)综合①②③，得a ∈[－7,2]．(14分)。
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第6章学案29等比数列及其前n项和
学案29 等比数列及其前n 项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝____________. 3．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________．(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列．(4)单调性：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }是________数列；⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }是________数列；q ＝1⇔{a n }是____数列；q <0⇔{a n }是________数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1.6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．自我检测 1．(2011·苏州模拟)如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________. 2．(2011·湖南长郡中学模拟)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，则a n ＝______________.3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值为________．5．设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *)，则f (n )＝____________.探究点一 等比数列的基本量运算例1 已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n .变式迁移1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .探究点二 等比数列的判定例2 已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .变式迁移2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．探究点三 等比数列性质的应用例3 在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝2，求a 3.变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.分类讨论思想与整体思想例 (14分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．【答题模板】解 设数列{a n }的公比为q ， 若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n . ∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[4分]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝80， ①a 1(1－q 2n)1－q ＝6 560. ②[6分]将①整体代入②得80(1＋q n )＝6 560，∴q n ＝81.[8分]将q n ＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )， ∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1， ∴数列{a n }为递增数列．[10分]∴a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n ＝81·a 1q＝54.∴a 1q ＝23.[12分] 与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3， ∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *)．[14分] 【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时也应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n和a 1(1－q n)1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．1．等比数列的通项公式、前n 项和公式分别为a n ＝a 1q n－1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n)1－q， q ≠1.2．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明a n ＋1a n ＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)．(2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)． 3．等比数列的性质： (1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .4．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·辽宁)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.2．(2010·浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________.3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5＝________.4．(2011·无锡模拟)等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是________．5．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5＝________.6．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________．7．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.8．(2010·福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.二、解答题(共42分) 9．(12分)(2010·陕西)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .10．(14分)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n的值．11．(16分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.答案 自主梳理1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m (2)a k ·a l ＝a m ·a n(4)递增 递减 常 摆动 6.q n自我检测1．－3解析 由等比数列的性质可得ac ＝(－1)×(－9)＝9，b 2＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3.2．8·⎝⎛⎭⎫32n －1 解析 因为{a n }为等比数列，所以(a ＋2)2＝(a －2)(a ＋8)，解得a ＝10，a －2＝8，q ＝a ＋2a －2＝32， ∴a n ＝a 1q n －1＝8·⎝⎛⎭⎫32n －1. 3．－9解析 由题意：等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知：四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.4．1解析 可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.5.27(8n ＋1－1) 解析 由题意可知，f (n )即为一个以2为首项，公比q ＝23＝8，项数为n ＋1的等比数列的和．由公式可得f (n )＝S n ＋1＝a 1(1－q n ＋1)1－q＝2×(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)．课堂活动区例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解 方法一 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100，a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36.①②①－②，得4a 21q 6＝64，∴a 21q 6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q 2＝100.解得q 2＝4或q 2＝14.又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或12.当q ＝2时，可得a 1＝12，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2，S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1－12；当q ＝12时，可得a 1＝32.∴a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n. S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝64－26－n .方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧(a 3＋a 5)2＝100，(a 3－a 5)2＝36.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8.当a 3＝8，a 5＝2时，q 2＝a 5a 3＝28＝14.∵q >0，∴q ＝12，由a 3＝a 1q 2＝8，得a 1＝32，∴a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n.S n ＝32－26－n ×121－12＝64－26－n .当a 3＝2，a 5＝8时，q 2＝82＝4，且q >0，∴q ＝2.由a 3＝a 1q 2，得a 1＝24＝12.∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.S n ＝12(2n－1)2－1＝2n －1－12.变式迁移1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，则S n ＝a 1－a n q 1－q ＝64－2q 1－q ＝126，解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·⎝⎛⎭⎫12n －1，∴n ＝6. 若⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64，则S n ＝2－64q 1－q ＝126，∴q ＝2.∴a n ＝64＝2·2n －1.∴n ＝6. 综上n ＝6，q ＝2或12.例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法： ①a n ＋1a n＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *)． ②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *)．(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．解 (1)由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *， 可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4， 两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1， 即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， 所以a 2＋a 1＝2a 1＋6， 又a 1＝5，所以a 2＝11， 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *， 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＝6·2n －1， 所以a n ＝6·2n －1－1，于是S n ＝6·(1－2n )1－2－n ＝6·2n －n －6.变式迁移2 解 (1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．解 由已知得1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1a 5＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23 ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23＝8a 23＝2，∴a 23＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ， 则－2q 2＋－2q－2－2q －2q 2＝8， 即1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝⎝⎛⎭⎫1q ＋122＋⎝⎛⎭⎫q ＋122＋12＝－4. 此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2. 变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 27＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4， ∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6＝1.①a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 ＝a 41·q 54＝8.② ②÷①：a 41·q 54a 41·q 6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43 ＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10 ＝1·210＝1 024.课后练习区 1.314解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.2．－11解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.3．84解析 由题可设等比数列的公比为q ， 则3(1－q 3)1－q ＝21⇒1＋q ＋q 2＝7⇒q 2＋q －6＝0⇒(q ＋3)(q －2)＝0，根据题意可知q >0，故q ＝2. 所以a 3＋a 4＋a 5＝q 2S 3＝4×21＝84. 4．T 17解析 a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值． 5．33解析 因为等比数列{a n }中有S 3＝2，S 6＝18，即S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝182＝9， 故q ＝2，从而S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 6．127解析 ∵公比q 4＝a 5a 1＝16，且q >0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127.7.1207解析 ∵S 99＝30，即a 1(299－1)＝30，∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.8．4n －1解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1＝4n －1.9．解 (1)由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………(4分)解得d ＝1或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………(7分) (2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.………………………………………………………………………………(12分) 10．(1)证明 设log 2(a n －1)－log 2(a n －1－1)＝d (n ≥2)，因为a 1＝3，a 2＝5，所以d ＝log 2(a 2－1)－log 2(a 1－1)＝log 24－log 22＝1，…………………………………………………………(3分)所以log 2(a n －1)＝n ，所以a n －1＝2n ，所以a n －1a n －1－1＝2 (n ≥2)，所以{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6分)(2)解 由(1)可得a n －1＝(a 1－1)·2n －1，所以a n ＝2n ＋1，…………………………………………………………………………(8分)所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝122－2＋123－22＋…＋12n ＋1－2n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－12n .………………………………………………………………(14分) 11．解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(d ＝0舍)．……………………………………………………………………(2分) ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.………………………………………………………………(5分)又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3，∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.………………………………………………………………………(8(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n＝a n ＋1得 当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n . 两式相减得：当n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.……………………………………………(10分)∴c n ＝2b n ＝2·3n －1 (n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3. ∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).………………………………………………………………(12分)∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32 010)＝32 010.…………………………………………(16分)。
【苏教版(理)】【步步高】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、填空题1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为________．解析 集合A 表示圆，集合B 表示一条直线，又圆心(0,0)到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22＜1＝r ，所以直线与圆相交，故A ∩B 的元素个数有2个．答案 22．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0，则两圆的位置关系是________． 解析 圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆C 2：x 2＋(y ＋2)2＝22， 所以C 1C 2＝5，且2－1＜5＜2＋1，所以两圆相交． 答案 相交3．若直线2x －y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则实数a 的取值范围是________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a ＋2|5≤1， 解得－2－5≤a ≤－2＋ 5. 答案 [－2－5，－2＋5]4．与圆x 2＋y 2＝25外切于点P (4,3)，且半径为1的圆的方程是________． 解析 设所求圆的圆心为C (m ，n )，则O ，P ，C 三点共线，且OC ＝6， 所以m ＝45×6＝245，n ＝35×6＝185，所以圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫x －2452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1852＝1 5．过点A (2,4)向圆x 2＋y 2＝4所引切线的方程为________． 解析 显然x ＝2为所求切线之一．另设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx－y＋4－2k＝0，那么|4－2k|k2＋1＝2，k＝34，即3x－4y＋10＝0.答案x＝2或3x－4y＋10＝06．台风中心从A地以每小时20 k m的速度，向东北方向移动，离台风中心30 k m 内的地区为危险地区，城市B在A地正东40 k m处，B城市处于危险区内的时间为________．答案 1 h7．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为________．解析由题意，得直线2(x＋1)－y＋λ＝0，即2x－y＋2＋λ＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，所以|λ－2|5＝5，λ－2＝±5，所以λ＝－3或λ＝7.答案－3或78．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离C1C2＝________.解析设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(4,1)代入得a2－10a＋17＝0，解得a＝5±22，设C1(5－22，5－22)，则C2(5＋22，5＋22)，则C1C2＝32＋32＝8.答案89．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．解析切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.答案710．已知圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相交，则实数m的取值范围为________．解析(x＋3)2＋(y－4)2＝36，由题意，得|6－m|＜5＜6＋m，解得1＜m＜11，所以1＜m＜121.答案 1＜m ＜12111．若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值是________．解析 圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋21＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号，∴1a ＋1b的最小值为4.答案 412．圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0恰有三条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．解析 由题意，两圆外切，所以|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即－2a2＋b 2＝3，也即4a 2＋b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝19(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝19⎝⎛⎭⎪⎫5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥19×(5＋4)＝1，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，即b 2＝2a 2时等号成立．答案 113．已知集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤r 2，r ＞0}，若点(x ，y )∈A 是点(x ，y )∈B 的必要条件，则r 的最大值是________． 解析 由题意得B ⊆A ，所以r 的最大值即为原点到直线x ＋y ＝1的距离d ＝12＝22. 答案 22二、解答题(每小题15分，共45分)14．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝22时，求直线l 的方程． 解析 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2.解得a ＝－34.(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝|4＋2a |a 2＋1，CD 2＋DA 2＝AC 2＝22，DA ＝12AB ＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.15．求过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程．解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0代入①得x 1＝－15、x 2＝－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25、(－1，－2)为端点的线段为直径的圆，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255，圆方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45. 16．如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相交于点(0,1)且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶2，过点H (0，t )的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)当t ＝1时，求出直线l 的方程； (3)求直线OM 的斜率k 的取值范围．解析 (1)因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)， 所以圆心C 在直线y ＝1上． 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B .由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为2∶1，得∠ACB ＝2π3. 所以CA ＝CB ＝2.圆心C 的坐标为(－2,1)，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝4.(2)当t ＝1时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝mx ＋1.由⎩⎨⎧y ＝mx ＋1，x ＋2＋y －2＝4，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4m 2＋1，y ＝m 2－4m ＋1m 2＋1.不妨令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1，N (0,1)． 因为以MN 为直径的圆恰好经过O (0,0)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 2＋1，m 2－4m ＋1m 2＋1·(0,1)＝m 2－4m ＋1m 2＋1＝0，解得m ＝2± 3.所以所求直线l 方程为y ＝(2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1. (3)设直线MO 的方程为y ＝kx . 由题意，知|－2k －1|1＋k2≤2，解得k ≤34.同理，得－1k ≤34，解得k ≤－43或k ＞0.由(2)知，k ＝0也满足题意．所以k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34.17．如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路，从储备库中心A 向正东方向走1 k m 是储备库边界上的点B ，接着向正东方向走2 k m 到达公路上的点C ；从A 向正北方向走2.8 k m 到达公路上的另一点D .现准备在储备库的边界上选一点E ，修建一条由E 通往公路CD 的专用线路EF ，要求造价最低，用坐标法回答：点E 应该选在何处？解析 如图所示，分别以直线AC 、AD 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 作圆A 的切线GH ，使GH ∥CD ，这时切点就是E 点的位置(另一条切线不在考虑之列)，连接AE ，A 、E 、F 三点共线，AF ⊥CD ，由已知，CD 的斜率为－2.83＝－1415，∴AF 的斜率为1514，AF 的方程为y ＝1514x ，圆A 的方程为x 2＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝1514x x 2＋y 2＝1解得E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14421421，15421421.∴E 点选在坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14421421，15421421的点，造价最低． 18．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A (3,0)，且与圆O 相切． (1)求直线l 1的方程；(2)设圆O 交x 轴于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′，求证：以线段P ′Q ′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标．解析 (1)由题意，可设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0， 则由d ＝|－3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以直线l 1的方程为y ＝±24(x －3)． (2)证明 由题意，P (－1,0)，Q (1,0)，直线l 2的方程为x ＝3. 设M (s ，t )(s ≠±1)，则直线PM 的方程为y ＝t s ＋1(x ＋1)，于是由⎩⎨⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1，得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3，4t s ＋1，同理可得Q ′⎝⎛⎭⎪⎫3，2t s －1. 所以，以线段P ′Q ′为直径的圆C 的方程为(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －4t s ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t s －1＝0， 又s 2＋t 2＝1，整理，得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0.若圆C 过定点，则只需令y ＝0，得x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±2 2.。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章 函数2.2.1(二)
函数的图象，说出函数的最大、最小值在函数图象的什么部 位取得？函数的最大、最小值各是什么 ?
答 曲线的最高点对应的纵坐标为函数的最大值，最大值为 9； 曲线的最低点对应的纵坐标为函数的最小值，最小值为－2.
研一研•问题探究、课堂更高效
2.2.1(二)
问题 2 根据问题 1 的讨论， 你能给函数的最大值及最小值下个定 义吗？
证明
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因为当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数，
所以对于任意 x∈[a，c]，都有 f(x)≤f(c)．
又因为当 x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数， 所以对于任意 x∈[c，b]，都有 f(x)≤f(c)． 因此，对于任意 x∈[a，b]都有 f(x)≤f(c)， 即 f(x)在 x＝c 时取得最大值．
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解析 观察函数图象知， 图象最低点的纵坐标为 f(－2)＝－1， 最高点的纵坐标为 2.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
2.2.1(二)
1 有最大值1， 2．下列关于函数 f(x)＝ 在[1，＋∞)上的最值情况为____________ x
无最小值 ______________．
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.1(二)
最高点 3．函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的____________和 最低点 ____________．
4．函数单调性与最值的关系：已知函数 y＝f(x)的定义域是[a，b]，
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a<c<b.当 x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当 x∈[c，b]时，f(x)
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【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第1章学案2命题及其关系、充分条件与必要条件
学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标： 1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．自主梳理1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其关系(1)四种命题 一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用綈p 和綈q 分别表示p 和q 的否定，于是四种命题的形式就是原命题：若p 则q (p ⇒q )；逆命题：若q 则p (q ⇒p )；否命题：若綈p 则綈q (綈p ⇒綈q )；逆否命题：若綈q 则綈p (綈q ⇒綈p )．(2)四种命题间的关系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 叫做q 的充分条件；若q ⇒p ，则p 叫做q 的必要条件；如果p ⇔q ，则p 叫做q 的充要条件．自我检测1．(2011·南京模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x x －1<0＝{x |0<x <1}， B ＝{x |0<x <3}，∴A ≠B .当m ∈A 时，必有m ∈B ；而当m ∈B 时，m ∈A 不一定成立．∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分而不必要条件．2．(2009·安徽改编)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是________．(填序号) ①p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b 且c >d ；②p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限； ③p ：x ＝1.q ：x 2＝x ；④p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．答案 ①解析 ①中，由于a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ，而a ＋c >b ＋d 却不一定推出a >b ，c >d ，故①中p 是q 的必要不充分条件；②中，当a >1，b >1时，函数f (x )＝a x －b 不过第二象限，当f (x )＝a x －b 不过第二象限时，有a >1，b ≥1，故②中p 是q 的充分不必要条件；③中，因为x ＝1时有x 2＝x ，但x 2＝x 时不一定有x ＝1，故③中p 是q 的充分不必要条件；④中p 是q 的充要条件．3．设a 、b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的________条件．答案 必要不充分解析 |a ＋b |＝|a |＋|b |⇒a 、b 同向⇒a 与b 共线；反之，当a 与b 共线时，不一定有|a ＋b |＝|a |＋|b |，故a 与b 共线是|a ＋b |＝|a |＋|b |的必要不充分条件．4．与命题“若a ∈M ，则b ∉ M ”等价的命题是____________________．答案 若b ∈M ，则a ∉ M解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．5．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ”的逆命题．其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析 原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝4(m ＋1)2－4m (m ＋3)<0 ⇒⎩⎨⎧m >0m >1⇒m >1. 故⑤正确．探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．解题导引 给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定． 解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．变式迁移1 有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①③解析 ①的逆命题是“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q ≤1，则Δ＝4－4q ≥0，所以x 2＋2x ＋q ＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．探究点二 充要条件的判断例2 给出下列命题，试分别指出p 是q 的什么条件．(1)p ：x －2＝0；q ：(x －2)(x －3)＝0.(2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等．(3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根．(4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等．解 (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0；而(x －2)(x －3)＝0⇒x －2＝0.∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根；方程x 2－x －m ＝0无实根⇒m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件．(4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q ⇒p .∴p 是q 的充分不必要条件．变式迁移2 下列各小题中，p 是q 的充要条件的是________．(填序号)①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点；②p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数； ③p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β；④p ：A ∩B ＝A ；q ：∁U B ⊆∁U A .答案 ①④解析 ①q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点⇔q ：Δ＝m 2－4(m ＋3)>0⇔q ：m <－2或m >6⇔p ；②当f (x )＝0时，由q ⇒p ；③若α，β＝k π＋π2(k ∈Z )时，显然cos α＝cos β，但tan α≠tan β；④p ：A ∩B ＝A ⇔p ：A ⊆B ⇔q ：∁U A ⊇∁U B .故①④符合题意． 探究点三 充要条件的证明例3 设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.解题导引 有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．证明 (1)必要性：设方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根x 0，则x 20＋2ax 0＋b 2＝0，x 20＋2cx 0－b 2＝0，两式相减可得x 0＝b 2c －a，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2＝0，可得b 2＋c 2＝a 2，故∠A ＝90°，(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2＋c 2＝a 2，b 2＝a 2－c 2.①将①代入方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，可得x 2＋2ax ＋a 2－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0.将①代入方程x 2＋2cx －b 2＝0，可得x 2＋2cx ＋c 2－a 2＝0，即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0.故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．所以方程x 2＋2ax ＋b 2＝0与x 2＋2cx －b 2＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°. 变式迁移3 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：∵a ＋b ＝1，∴a ＋b －1＝0.∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0.∵a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.转化与化归思想 例 (14分)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且m ∈Z .求两方程的根都是整数的充要条件．【答题模板】解 ∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0. [2分] 另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0， 解得m ∈[－54，1]． [6分] ∵两根为整数，故和与积也为整数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z 4m ∈Z 4m 2－4m －5∈Z ， [10分]∴m 为4的约数，∴m ＝－1或1，当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数，而当m ＝1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1. [14分]【突破思维障碍】本题涉及到参数问题，先用转化思想将生疏复杂的问题化归为简单、熟悉的问题解决，两方程有实根易想Δ≥0.求出m 的范围，要使两方程根都为整数可转化为它们的两根之和与两根之积都是整数．【易错点剖析】易忽略一元二次方程这个条件隐含着m ≠0，不易把方程的根都是整数转化为两根之和与两根之积都是整数．1．研究命题及其关系时，要分清命题的题设和结论，把命题写成“如果……，那么……”的形式，当一个命题有大前提时，必须保留大前提，只有互为逆否的命题才有相同的真假性．2．在解决充分条件、必要条件等问题时，要给出p 与q 是否可以相互推出的两次判断，同时还要弄清是p 对q 而言，还是q 对p 而言．还要分清否命题与命题的否定的区别．3.本节体现了转化与划归的数学思想。
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第6章学案27数列的概念与简单表示法
第6章 数 列学案27 数列的概念与简单表示法导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．自主梳理1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：____________________、________、________. 4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n .5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2，.自我检测1．(2010·湖南长郡中学)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______.2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________．4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的． 其中说法正确的序号是________．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．探究点一 由数列前几项求数列通项例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)23，415，635，863，1099，… (2)12，－2，92，－8，252，…变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，… (2)2，5，22，11，…(3)1,0,1,0，…探究点二 由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．变式迁移2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n .探究点三 由a n 与S n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．变式迁移3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求{a n }的通项公式． (2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .函数思想例 (14分)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．【答题模板】解 方法一 令⎩⎨⎧(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥n ·⎝⎛⎭⎫1011n －1(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ≥(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫1011n ＋1[4分]⇔⎩⎪⎨⎪⎧10n ＋10≥11n 11n ＋11≥10n ＋20⇔⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10n ≥9，∴n ＝9或n ＝10时，a n 最大，[10分]即数列{a n }有最大项，此时n ＝9或n ＝10.[14分] 方法二 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，[2分]当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .[8分] 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴数列{a n }中有最大项，为第9、10项．[14分] 【突破思维障碍】有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1；若求最小项，则用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．【易错点剖析】本题解题过程中易出现只解出a 9这一项，而忽视了a 9＝a 10，从而导致漏解．1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项a n 与项数n 的关系．2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘． 3．本节易错点是利用S n 求a n 时，忘记讨论n ＝1的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·安徽改编)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________． 2．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝________.4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6＝________.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.6．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (0≤a n <12)，2a n －1 (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2 010的值为________．7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________________.8．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是____________． 二、解答题(共42分)9．(12分)写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…(2)－1，32，－13，34，－15，36…10．(14分)由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．11．(16分)(2009·安徽)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .答案 自主梳理1．一定次序排列 每一个数 定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2.第n 项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法 图象法 4.有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 摆动数列 常数列 > < ＝ 5.S 1 S n －S n －1自我检测 1.1n2.－30 3．a n ＝(－1)n ·(n ＋1)2－12n ＋1解析 ∵a 1＝－33＝－(1＋1)2－12×1＋1，a 2＝85＝(2＋1)2－12×2＋1，a 3＝－157＝－(3＋1)2－12×3＋1，a 4＝249＝(4＋1)2－12×4＋1，∴a n ＝(－1)n·(n ＋1)2－12n ＋1.4．①③解析 由数列与函数的关系知①对，③对，由数列的分类知②不对，数列的通项公式不是唯一的，④不对． 5．10或11解析 a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，它是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大．课堂活动区例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．解 (1)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n4n 2－1. (2)原数列为12，－42，92，－162，252，…，∴a n ＝(－1)n ＋1·n 22.变式迁移1 解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n ＋1.(2)将数列各项统一成f (n )的形式得2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(3)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3，5，…，0，n ＝2，4，6，…，或a n ＝1＋(－1)n ＋12 (n ∈N *)，或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2或a n ＝sin 2n π2 (n ∈N *)， 或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosn －12π (n ∈N *)． 例2 解题导引 利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法： (1)累加法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n －1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的商的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n －1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)． ∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2.(2)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 ＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝(1)21()2n n -，∴a n ＝(1)21()2n n -.方法二 由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2a n －2 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫121a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝(1)21()2n n -变式迁移2 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1. (2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1.∴a na n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， …… a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1. 累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！. 故a n ＝n ！.(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n .∴a n －a n －1＝lnnn －1， a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……a 2－a 1＝ln 21，累加可得，a n －a 1＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.例3 解题导引 a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况．一般地，当a 1＝S 1适合a n ＝S n －S n －1时，则需统一“合写”．当a 1＝S 1不适合a n ＝S n －S n －1时，则通项公式应分段表示，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5； 又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2.变式迁移3 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1(n ≥2).(2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋122，当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋122， 整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0. ∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1. 课后练习区 1．15解析 a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 2．1 0解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0. 3．4解析 当n ＝1时，a 1＝2.当n ＝2时，a 1＋a 2＝2(a 2－1)，∴a 2＝4. 4.111解析 方法一 ∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，∴a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，a 6＝111.方法二 ∵a n ＋1＝a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋2，∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1，∴a 6＝111. 5.72解析 a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，知T ＝2，a 1＋a 2＝12，∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.6.37解析 a 1＝67，a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，…，此数列是以3为周期的数列，故可知a 2 010＝a 3＝37.7.⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *) 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1.此时对于n ＝1不成立，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n －1 (n ≥2，n ∈N *).8.n 2－n ＋62解析 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n2(个)，因此第n 行第3个数是全体正整数中的第n 2－n 2＋3个，即为第n 2－n ＋62个．9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…，∴a n ＝n ＋nn ＋1(n ∈N *)．…………………………………………………………………(6分)(2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13，a 4＝2＋14，…，∴a n ＝(－1)n ·2＋(－1)n n(n ∈N *)．………………………………………………………(12分)10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2. 将上述各式等号两边累加得， a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2，故a n ＝n (n ＋1)2.…………………………………………………………………………(6分)(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12.将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，故a n ＝1n .………………………………………………(10分)(3)由a n ＝2a n －1＋1， 得a n ＋1＝2(a n －1＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2， 即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n ＋1＝2n ，即a n ＝2n －1.…………………………………………………………(14分) 11．(1)解 a 1＝S 1＝4.……………………………………………………………………(1分) 对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .a 1也适合，∴{a n }的通项公式a n ＝4n .………………………………………………………………(3分) 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.…………………………………(4分)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，∴b n ＝12b n －1，b n ＝21－n .……………………………………………………………………(6分)b 1＝1也适合．综上，{b n }的通项公式b n ＝21－n .………………………………………………………(10分)(2)方法一由c n＝a2n·b n＝n225－n，……………………………………………………(11分)得c n＋1c n＝12⎝⎛⎭⎫1＋1n2.当且仅当n≥3时，1＋1n≤43<2，∴c n＋1c n<12·(2)2＝1，又cn＝n2·25－n>0，即c n＋1<c n.………………………………………………………………………………(16分) 方法二由c n＝a2n·b n＝n225－n，得c n＋1－c n＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．…………………………………………………………………(14分) 当且仅当n≥3时，c n＋1－c n<0，即c n＋1<c n.………………………………………………………………………………(16分)。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章 函数2.1.1(二)
2.1.1(二)
解
本 课 时 栏 目 开 关
(1)描点作出图象，则函数图象如图 1 所示：
(2)函数 f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1,3)的图象为函数 f(x)＝(x－1)2 ＋1， x∈R 的图象上 x∈[1,3)的一段， 其中， 点(1,1)在图象上， 用实心点表示，而点(3,5)不在图象上，用空心点表示．
{(x，f(x))|x∈A} 有 这 些 点 组 成 的 集 合 ( 点 集 ) 为 __________________ ， 即 {(x，y)|y＝f(x)，x∈A} _____________________，所有这些点组成的图形就是函数 y
＝f(x)的图象．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.1(二)
研一研•问题探究、课堂更高效
2.1.1(二)
小结
本 课 时 栏 目 开 关
对于函数 y＝f(x)，若 f(－x)＝f(x)，
则点(－x，f(－x))与点(x，f(x))关于 y 轴对称．
研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 3 在上例中，
2.1.1(二)
(1)如果把“0<x1<x2”改为“x1<x2<0”，那么 f(x1)与 f(x2)哪个大？ (2)如果把“0<x1<x2”改为“|x1|<|x2 |”，那么 f(x1)与 f(x2)哪个大？
到； (2)配方法：此是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函 数通过配方转化为能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式 转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的 函数，从而求得原函数的值域．
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第6章学案30数列的通项与求和
学案30 数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n 项和S n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1， ＝ ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝________；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________；d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝________；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为________．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________.3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，故b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．探究点一 求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．探究点二 裂项相消法求和例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和．探究点三 错位相减法求和 例3 已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *)． (1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)当q ＝1415时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .分类讨论思想例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －1a n ＝______________________.答案 (－1)n －1n (n ＋1)2解析 当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *)，于是a n ＝2n 3＋3n 2g (n )＝n 2.当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n ＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2，∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.2．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.3．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1(n ≥2)，则此数列的第10项为________．4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝________.5．(2011·南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是________．6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________.7．(原创题)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列； (2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .10．(14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1) (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn，求数列{c n }的前n 项和T n .答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．22 2.32 3.15 4.8 5.919课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解 (1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.变式迁移1 4解析 设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n＝2a n ＋33a n＝2＋3a n3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 又b 1＝3＝92×⎝⎛⎭⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012，又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，且9n2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]． 例3 解 依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500， 第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n－300.下面构造一等比数列．设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003. ∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%) ＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200， S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ， 即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区1．3＋22 2.② 3.991 4．7解析 设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.5．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．3解析 该题是数列知识与函数知识的综合．a n ＝5·⎝⎛⎭⎫252n －2－4·⎝⎛⎭⎫25n －1＝5·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫25n －1－252－45， 显然当n ＝2时，a n 取得最小值，当n ＝1时，a n 取得最大值，此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3.7．21解析 y ′＝(x 2)′＝2x ，则过点(a k ，a 2k )的切线斜率为2a k ，则切线方程为y －a 2k ＝2a k (x－a k )，令y ＝0，得－a 2k ＝2a k (x －a k )，∴x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×(12)n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.8．107解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝62×312＝961个奇数．而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即i ＋j ＝63＋44＝107.9．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x .…………………………………………………(1分) a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227； 又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝－2×⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *；……………………………………………………………………(3分) ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.…………………………………………………………(6分) 当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.………………………………………………………………………(8分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.……………………………………………(12分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(14分)10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(5分)当n ≥5时，B n ＝16⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫325－132－1＋16⎝⎛⎭⎫324(n －5)－400＝81n －594，………………………………………………………(10分) ∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分)11．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，…………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分)(2)证明 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1， 两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.………………………………………………………………(9分) (3)解 ∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0； 当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．………………………………………………………(14分)。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章 函数2.2.2
研一研•问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 判断函数 f(x)＝x3＋5x 是否具有奇偶性．
解 函数 f(x)的定义域为 R.因为对于任意的 x∈R，都有 f(－x)＝(－x)3＋5(－x)＝－(x3＋5x)＝－f(x)，
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2.2.2
所以函数 y＝f(x)为奇函数．
研一研•问题探究、课堂更高效
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
1．一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 A，如果对于任意的 x∈A，都
f(x) 有 f(－x)＝________，那么称函数 y＝f(x)是偶函数．
本 2．如果对于函数 y＝f(x)的定义域内的任意的一个 x，都有 f(－x)＝ 课 －f(x) ________，那么称函数 y＝f(x)是奇函数． 时 栏 3．函数的奇偶性：如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数 目 开 奇偶性 f(x)具有____________，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶 关
跟踪训练 1 判断下列函数是否为偶函数． (1)f(x)＝(x＋1)(x－1)； x3－x2 (2)f(x)＝ . x－1
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2.2.2
解 (1)函数的定义域为 R， 因函数 f(x)＝(x＋1)(x－1)＝x2－1， 又因 f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以函数为偶函数．
探究点三 函数奇偶性的应用
2.2.2
例 3 如图，给出了偶函数 y＝f(x)的 局部图象， 试比较 f(1)与 f(3)的大小．
解 ∵f(－3)>f(－1)，
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又 f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)． ∴f(3)>f(1)． 小结 本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)， 利用偶函数定义，得 f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象 的对称性．
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考【配套课件】第2章 函数2.1.1(一)
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.1(一)
1．函数的概念：设 A、B 是两个________的数集，如果按某种对 非空 应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有
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唯一的元素y ____________________和它对应，那么这样的对应叫做从 A
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2.1.1(一)
问题 4 如何用集合的语言来阐述这三个实例的共同特点？
答 存在某种对应法则，对于集合 A 中任意元素 x，集合 B 中总有一个元素 y 与之对应．
本 问题 5 函数的概念如何从集合及对应的角度定义？函数的 课 时 定义域是怎么定义的？ 栏 答 一般地，设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应 目 开 法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一 关
研一研•问题探究、课堂更高效
2.1.1(一)
小结
函数的定义域通常由问题的实际背景确定． 如果只给出解析
本 式 y＝f(x)， 而没有指明它的定义域． 那么函数的定义域就是指能使 课 时 这个式子有意义的实数 x 的集合．函数的定义域可用两种方法表 栏 目 示：集合、区间． 开 关
研一研•问题探究、课堂更高效
(4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的， 那么函数的定义域是
使各部分式子都有意义 ________________________________的实数的集合(即使每个部
分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的， 那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合________________的实数的集合. 实际意义
2.1.1(一)
解
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.2.3循环结构
解析 利用流程图中描述的算法特点求解．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2．在循环结构中，每次执行循环体前对控制循环的条件进行
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判断，当条件满足时执行循环体，不满足则停止，这样的
当型循环 循环结构是______________ ．
练一练·当堂检测、目标达成落实处 ③ ．(填序号) 3．下列关于循环结构的说法正确的是________
研一研·问题探究、课堂更高效
小结
变量 S 作为累加器，来存放所求数据之和．累加器的初
值为 0，第一次循环时，输入了一个数据 G 然后执行“S←S＋
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G”，就是把 0＋G 的结果存放在 S 中，第二次循环时，输入了 第二个数据也用 G 表示，执行 S←S＋G 就是把两次输入的数据 的和存放在 S 中．如此循环，则可实现数的累加求和．
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跟踪训练 2 1 2 3 n 已知有一列数 ， ， ，…， ，设计流程图实 2 3 4 n＋ 1
现求该列数前 20 项的和． 解 流程图如图所示：
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方法一：
方法二：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
8 1．执行如图所示的流程图，输出的 S 值为________ ．
这个方法可以在条件限制中加入任
意的值来，比如 1×2×3×4×…×100 也可以用同样的程序来执行， 只要修改一 下限制条件即可．
流程图如图：
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 4 问题 3 中流程图使用的是直到型循环， 如何改变一下算 法使之适合当型循环？你能画出流程图吗？
答 S1 T←1；
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【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第二章§2.2总体分布的估计(二)
估计该片经济林中底部周长小于100 cm的树木约占21%，周长不 小于120 cm的树木约占19%. 小结 在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的
频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容 量，频率之和等于1.
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练1 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进
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2．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得 到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的 条形图表示．
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根据条形图可得这50名学生这一天平均每天的课外阅读时间为
0.9 小时． ________
练一练·当堂检测、目标达成落实处
答 第一步，将每个数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)
两部分；
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第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成 一列，写在左(右)侧；
第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右(左)侧．
问题4 用茎叶图刻画数据有什么优点？又有什么不足？
答 优点：一是所有的信息都可以从这张茎叶图中得到， 二是茎叶图便于记录和表示．不足是：当样本数据很多 时，茎叶图的效果就不是很好了.
分组 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) [100,105) [105,110) [110,115) [115,120) [120,125) [125,130) [130,135] 合计
频数 频率 1 0.01 2 0.02 4 0.04 14 0.14 24 0.24 15 0.15 12 0.12 9 0.09 11 0.11 6 0.06 2 0.02 100 1
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第5章学案22正弦定理和余弦定理
第5章解三角形与平面向量学案22正弦定理和余弦定理导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．自主梳理1．三角形的有关性质(1)在△ABC中，A＋B＋C＝____；(2)a＋b____c，a－b<c；(3)a>b⇔sin A____sin B⇔A____B；(4)三角形面积公式：S△ABC＝12ah＝12ab sin C＝12ac sin B＝____________________；(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或______________⇔三角形为等腰或直角三角形；sin(A＋B)＝sin C，sin A＋B2＝cosC2.2．正弦定理和余弦定理1．(2010·上海改编)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则a∶b∶c＝________.2．(2010·天津改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3 bc，sin C＝23sin B，则A＝________.3．(2010·烟台一模)在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为________．4．(2010·山东)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.探究点一 正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用例2 已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .探究点三 正余弦定理的综合应用例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos Bcos C.(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·湖北改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.3．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________．4．(2011·苏州调研)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为________．5．(2010·湖南改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为______________． 7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.8．(2010·福建龙岩高三一模)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2009·浙江)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cosA2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．10．(14分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc .(1)求sin A 的值；(2)求2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫B ＋C ＋π41－cos 2A的值．答案 自主梳理1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝csin Cb 2＋c 2－2bc cos A a 2＋c 2－2ac cos B a 2＋b 2－2ab cos C 2R sin A 2R sin B 2R sin C a 2R b 2R c2Rsin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 22ab自我检测1．5∶11∶13 2.30° 3.13 4.π65．1解析 方法一 由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.方法二 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得， 3＝a 2＋a ＋1，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1，a ＝－2(舍去)． 课堂活动区例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中，已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝32. ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin Csin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝6－22.综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝6＋22，或A ＝120°，C ＝15°，c ＝6－22. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C sin A ＝43＋4.∴b ＝46，c ＝43＋4.变式迁移1 (1)102(2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝13，C ＝150°，∴A 为锐角，∴sin A ＝110.又∵BC ＝1.∴根据正弦定理得AB ＝BC ·sin C sin A ＝102.(2)由b >a ，得B >A ，由a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝25650×22＝32，∵0°<B <180°，∴B ＝60°或B ＝120°. 例2 解 (1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)方法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ， 得b ＝7a .由正弦定理，得sin B ＝7sin A . 由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π3－A ，∴sin(2π3－A )＝3sin A ，∴sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4ac ＝3，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.∴a 等于1或3.例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．解 方法一 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B ) ⇔a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )] ＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π， 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得a 2b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2， ∴三角形为等腰三角形或直角三角形．变式迁移3 (1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos Bcos C.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13.又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝429，cos 4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79.所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π3 ＝42－7318.课后练习区 1.63解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B， 可得15sin 60°＝10sin B ，解得sin B ＝33，又因为b <a ，则B <A ，故B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝63. 2.32解析 由余弦定理得，cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－102×3×2＝14，∴AB →·AC →＝3×2×14＝32.3．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理，即△ABC 为直角三角形． 4．45°解析 ∵BC >AC ，∴A >B ，所以角B 是锐角，由正弦定理得，BC sin A ＝ACsin B，即sin B ＝AC ·sin A BC ＝42×3243＝22，所以B ＝45°.5．a >b解析 因为C ＝120°，c ＝2a ，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C,2a 2＝a 2＋b 2－2ab ⎝⎛⎭⎫－12. 所以a 2－b 2＝ab ，a －b ＝aba ＋b，因为a >0，b >0，所以a －b ＝aba ＋b >0，所以a >b .6．等边三角形解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴ac ＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°. 由正弦定理知，1sin A ＝3sin 60°，即sin A ＝12.由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°，C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°， ∴sin C ＝sin 90°＝1.8.π4解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，则tan α＝13，tan β＝12，∴tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∴∠BAC 的大小为π4.9．解 (1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.……………………………………………………(5分)又由AB →·AC →＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(9分)(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165bc ＝20，所以a ＝2 5.………(14分)10．解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得，cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分) 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°， ∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.…………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝423bc .由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223，……………………………………………(4分)又0<A<π，故sin A＝1－cos2A＝1 3.……………………………………………………(6分)(2)原式＝2sin⎝⎛⎭⎫A＋π4sin⎝⎛⎭⎫π－A＋π41－cos 2A………………………………………………………(8分)＝2sin⎝⎛⎭⎫A＋π4sin⎝⎛⎭⎫A－π42sin2A＝2⎝⎛⎭⎫22sin A＋22cos A⎝⎛⎭⎫22sin A－22cos A2sin2A………………(11分)＝sin2A－cos2A2sin2A＝－72.所以2sin(A＋π4)sin(B＋C＋π4)1－cos 2A＝－72.……………………………………………………(14分)。
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第7章学案34基本不等式及其应用
学案34 基本不等式及其应用导学目标： 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．自主梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥______ (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________.4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是______(简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是________(简记：和定积最大)．自我检测1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的______________条件．2．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a 、b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系是______________．3．下列函数中，最小值为4的函数是________(填上正确的序号)．①y ＝x ＋4x；②y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)；③y ＝e x ＋4e －x ； ④y ＝log 3x ＋log x 81.4．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x <0)，则f (x )最大值为______________．5．(2010·山东)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．探究点一 利用基本不等式求最值例1 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值；(2)已知x <54，求函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．变式迁移1 (2011·重庆改编)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________．探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b)≥9.变式迁移2 已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8.探究点三 基本不等式的实际应用 例3 (2010·镇江模拟)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)变式迁移3 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)1．a 2＋b 2≥2ab 对a 、b ∈R 都成立；a ＋b 2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0；b a ＋ab≥2成立的条件是ab >0，即a ，b 同号．2．利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值．3．使用基本不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法．一般地函数y ＝ax ＋bx ，当a >0，b <0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数；当a <0，b >0时，函数在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；当a >0，b >0时函数在⎣⎡⎭⎫－b a ，0，⎝⎛⎦⎤0， b a 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫－∞，－b a ，⎝⎛⎭⎫b a ，＋∞上是增函数；当a <0，b <0时，可作如下变形：y ＝－⎣⎡⎦⎤(－ax )＋⎝⎛⎭⎫－b x 来解决最值问题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．2．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．3．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是______．4．(2011·南京模拟)一批货物随17列货车从A 市以a km/h 的速度匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列车之间的距离不得小于⎝⎛⎭⎫a 202km ，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________h.5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b 的最小值为________．6．(2010·浙江)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 7．(2011·江苏，8)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．8．已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围为______________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)已知0<x <43，求x (4－3x )的最大值；(2)点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，求2x ＋4y 的最小值．10．(14分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v >0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？ (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？11．(14分)某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1关于x 的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最小，并求出这个最小值．学案34 基本不等式及其应用答案自主梳理1．(1)a ≥0，b ≥0 (2)a ＝b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤ 3.a ＋b 2ab 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数 4.(1)x ＝y 小 2p(2)x ＝y 大 p 24自我检测1．充分不必要 2.A ≤B ≤C 3.③ 4.－22－15．[15，＋∞)课堂活动区例1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．基本不等式成立的条件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必须验证等号成立的条件．解 (1)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y 时，上式等号成立，又1x ＋9y＝1，∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (2)∵x <54，∴5－4x >0.y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3 ≤－2(5－4x )·15－4x ＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ，∴2y ＋8x＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2× 4y x ·x y ＝18， 当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号．又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6. ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18.变式迁移1 92解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b2a，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.例2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法．在不等式证明时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转化是否有误的一种方法．证明 方法一 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理1＋1b ＝2＋ab .所以(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋ab )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋4＝9.所以(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤(a ＋b 2)2＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此(1＋1a )(1＋1b )≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．变式迁移2 证明 ∵x >0，y >0，z >0， ∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xzy >0， x z ＋y z ≥2xy z>0. ∴⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8.当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．所以(y x ＋z x )(x y ＋z y )(x z ＋yz)≥8.例3 解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为： 由题设写出函数→变形转化→利用基本不等式→求得最值→结论2．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量，一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数最值问题；(3)在定义域内求函数最值；(4)正确写出答案．解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)．(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x ≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．变式迁移3 解 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3.当销售x (万件)时，年销售收入为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3×150%＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42，∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．课后练习区 1．4 2．4解析 不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)．∴正实数a 的最小值为4.3．4解析 因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab＝2⎝⎛⎭⎫1ab ＋ab ≥4，当且仅当1a ＝1b 且1ab＝ab ， 即a ＝b ＝1时，取“＝”号． 4．8解析 第一列货车到达B 市的时间为400ah ，由于两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫a 202 km ，所以第17列货车到达时间为400a ＋16·⎝⎛⎭⎫a 202a ＝400a ＋16a 400≥8，当且仅当400a ＝16a400，即a ＝100km/h 时成立，所以最快需要8 h.5.256 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，而2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·2a ＋3b 6＝136＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥136＋2＝256(a ＝b ＝65时，取“＝”)．6．18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. 故xy 的最小值为18. 7．4解析 过原点的直线与f (x )＝2x交于P 、Q 两点，则直线的斜率k >0，设直线方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k，y ＝2k或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2k ，y ＝－2k ，∴P (2k ，2k )，Q (－2k ，－2k )或P (－2k，－2k )，Q (2k，2k )． ∴PQ ＝(2k＋2k)2＋(2k ＋2k )2 ＝22k ＋1k≥4. 8．(－∞，22－1)解析 由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22，∴k ＋1<22，k <22－1.9．解 (1)∵0<x <43，∴0<3x <4.∴x (4－3x )＝13(3x )(4－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，(5分) 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，“＝”成立．∴当x ＝23时，x (4－3x )的最大值为43.(7分)(2)已知点(x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x 4y ＝22x ＋2y ＝223＝4 2.(12分)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4y ，x ＋2y ＝3，即x ＝32，y ＝34时，“＝”成立．∴当x ＝32，y ＝34时，2x ＋4y 的最小值为4 2.(14分)10．解 (1)y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920v ＋1 600v ＋3≤9202v ×1 600v ＋3＝92083≈11.08.(6分) 当v ＝1 600v ，即v ＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时．(9分)(2)据题意有920vv 2＋3v ＋1 600≥10，(11分)化简得v 2－89v ＋1 600≤0，即(v －25)(v －64)≤0， 所以25≤v ≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内． (14分)11．解 (1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．∴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用 y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)] ＝6x 2－6x .(6分)(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ， ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝1x (6x 2－6x ＋600)＋1.5×400＝600x＋6x ＋594.(9分)∴y ≥2600x ·6x ＋594＝714，(12分) 当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取等号．∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最小，且最小为714元．(14分)。
【苏教版】【步步高】2014届高三数学(理)大一轮复习学案第2章学案8对数与对数函数
学案8 对数与对数函数导学目标： 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．自主梳理1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________；②log a MN＝____________；③log a M n ＝__________(n ∈R )；④log am M n ＝nmlog a M .3指数函数y ＝a x 与对数函数__________互为反函数，它们的图象关于直线______对称． 自我检测 1．(2010·四川改编)2log 510＋log 50.25的值为________．2．(2010·辽宁改编)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 的值为________．3．(2009·辽宁改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)．则f (2＋log 23)的值为________．4．(2010·宿迁模拟)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log18x )>0的x 的取值范围是__________________．5．(2009·台州期末)已知0<a <b <1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__________．探究点一 对数式的化简与求值 例1 计算：(1)log (2＋3)(2－3)； (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (3)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)xy.变式迁移1 计算：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.探究点二 含对数式的大小比较 例2 比较下列各组数的大小．(1)log 323与log 565；(2)log 1.10.7与log 1.20.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2b,2a,2c 的大小关系．变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ改编)设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a 、b 、c 的大小关系为________(2)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为________．探究点三 对数函数的图象与性质例3 已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (1)(2010·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围为______________．(2)已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填写“<”“＝”“>”)转化化归与分类讨论思想例 (16分)已知函数f (x )＝log a (1－a x )及g (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)． (1)解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f (1)；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f (x )图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于0. 【答题模板】(1)解 ∵f (x )＝log a (1－a x )，∴f (1)＝log a (1－a )．∴1－a >0.∴0<a <1. ∴不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a )．[4分]∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a x>0，1－a x<1－a .，即⎩⎨⎧a x <1，a x >a .∴0<x <1.∴不等式的解集为(0,1)．[8分](2)证明 设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1.∵1－a x >0，∴a x <1.∴a >1时，f (x )的定义域为(－∞，0)； 0<a <1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)．[12分] 当0<a <1时，∵x 2>x 1>0，∴ax 2<ax 1. ∴1－ax 21－ax 1>1.∴log a 1－ax 21－ax 1<0. ∴f (x 2)<f (x 1)，即y 2<y 1.同理可证，当a >1时，也有y 2<y 1. 综上：y 2<y 1，即y 2－y 1<0.∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0.∴直线AB 的斜率小于0.[16分] 【突破思维障碍】解决含参数的对数问题，不可忽视对底数a 的分类讨论，即a >1或0<a <1，其次要看定义域，如果将函数变换，务必保证等价性．1．用对数函数的性质比较大小 (1)同底数的两个对数值的大小比较例如，比较log a f (x )与log a g (x )的大小，其中a >0且a ≠1. ①若a >1，则log a f (x )>log a g (x )⇔f (x )>g (x )>0. ②若0<a <1，则log a f (x )>log a g (x )⇔0<f (x )<g (x )． (2)同真数的对数值大小关系如图：图象在x 轴上方的部分自左向右底逐渐增大，即0<c <d <1<a <b .2．(1)指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．(2)明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京市丰台区高三一调)设M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x∈(0,1]}，则集合M ∪N ＝________.2．(2010·全国Ⅰ改编)设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝125-，则a ，b ，c 大小关系为________．3．2lg 5＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝________.4．函数f (x )＝ln 1＋ax1＋2x(a ≠2)为奇函数，则实数a 等于________．5．(2010·青岛二模)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．6．(2010·天津改编)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围为______________．7．(2011·宿迁模拟)已知f (3x )＝4x log 23＋233，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________. 8．下列命题：①若函数y ＝lg(x ＋x 2＋a )为奇函数，则a ＝1；②若a >0，则方程|lg x |－a ＝0有两个不相等的实根； ③方程lg x ＝sin x 有且只有三个实数根；④对于函数f (x )＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(14分)(2010·北京东城检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．11．(14分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0)． (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值．答案 自主梳理1．a b ＝N (a >0，且a ≠1) b ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log c Nlog c a②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0(6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x 自我检测1．2 2.10 3.124 4.(0，12)∪(2，＋∞) 5.m >n课堂活动区例1 解题导引 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)方法一 利用对数定义求值： 设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1，∴x ＝－1.方法二 利用对数的运算性质求解：log (2＋3)(2－3)＝log (2＋3)12＋3＝log (2＋3)(2＋3)－1＝－1.(2)原式＝12(lg 32－lg 49)－4312lg8＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12lg (2×5)＝12lg 10＝12. (3)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ，∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0.∴(x y )2－6(xy )＋1＝0. ∴xy ＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x >0，y >0，∴x y >1，∴xy＝3＋22，∴log (3－22)xy ＝log (3－22)(3＋22) ＝log (3－22)13－22＝－1. 变式迁移1 解 (1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22 ＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝322log 2-＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25 ＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565.(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2.∴1log 0.71.1<1log 0.71.2， 由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y ＝12log x 为减函数，且111222log log log b a c <<，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b>2a >2c . 变式迁移2 (1)a >b >c解析 a ＝log 3π>1，b ＝12log 23，则12<b <1，c ＝12log 32<12，∴a >b >c .(2)a <b <c解析 ∵a ，b ，c 均为正，∴12log a ＝2a >1，12log b ＝(12)b ∈(0,1)，log 2c ＝(12)c ∈(0,1)．∴0<a <12，12<b <1,1<c <2.故a <b <c .例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 (1)(3，＋∞) (2)<解析 (1)画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示．∵0<a <b ，f (a )＝f (b )，∴0<a <1，b >1， ∴lg a <0，lg b >0. 又∵f (a )＝f (b )，∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1.∴a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a 在(0,1)上单调递减，∴μ>3.即a ＋2b >3.(2)∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增， ∴a >1.∴a ＋1>2.∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)． 课后练习区 1．(－∞，1]解析 ∵x ≥0，∴y ＝(12)x ∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]． 2．c <a <b解析 ∵1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e.∴1a >1b>1，∴0<a <b <1. ∵a ＝log 32>log 33＝12，∴a >12.b ＝ln 2>ln e ＝12，∴b >12.c ＝5－12＝15<12，∴c <a <b .3．3 4．－2解析 依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2， 所以a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2. 5．2解析 当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．6．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 ①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝12log a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >12log a ＝log 21a，∴a >1a，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝12log ()a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即12log ()a ->log 2(－a )＝121log a-， ∴－a <1－a ，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.7．2 008解析 令3x ＝t ，f (t )＝4log 2t ＋233，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008. 8．①②③解析 ①∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0. ∴lg(－x ＋x 2＋a )＋lg(x ＋x 2＋a )＝lg[(x 2＋a )－x 2]＝lg a ＝0，∴a ＝1.②|lg x |－a ＝0，∴|lg x |＝a .作出y ＝|lg x |，y ＝a 的图象可知，当a >0时有两个交点． ∴方程有两个不等实根． ③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象， 可知在y 轴右侧有三个交点． 故方程有三个实根．④对于f (x )＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，应有y A >y B ，即f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2.9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……………………………………………………(5分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，……………………………………………………………………………………………(10分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.……………………………………(14分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分) (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(9分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(14分)11．解 (1)由a x －b x >0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得ab>1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．……………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>0，bx1<bx2，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．故f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分) 假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分)(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)。
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第一章§1.2.1顺序结构
1．2.1
【学习要求】
顺序结构
1．了解常用流程图符号(输入输出框，处理框，判断框，起止
本 课 时 栏 目 开 关
框，流程线等)的意义； 2． 能用流程图表示顺序结构； 3.能识别简单的流程图所描述的 算法． 【学法指导】 通过实例理解流程图是算法的一种表达方式，弄清各种图形 符号的意义，明确每个图形符号的使用环境，在学习用流程 图描述算法的过程中，发展有条理地思考与表达的能力，提 高逻辑思维能力.
解 算法如下：
本 课 S1 时 栏 目 S2 开 关 S3
输入自变量 x 的值； 计算 y←ln x； 输出 y 的值．
流程图如图：
练一练·当堂检测、目标达成落实处
① 1．下面的流程图是顺序结构的是_______.
本 课 时 栏 目 开 关
解析
由于表示的是依次执行的几个步骤，故①为顺序
结构．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 4 观察问题 2 中的流程图， 你能知道这个流程图中包含算
本 课 时 栏 目 开 关
法的哪几种结构？
答 包含了算法的顺序结构、选择结构和循环结构．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 例1
本 课 时 栏 目 开 关
流程图中的顺序结构
写出作△ABC 的外接圆的一个算法．
本 课 时 栏 目 开 关
你能根据这一具体的流程图给流程图下 个怎样的定义？
答 流程图的概念： 流程图是由一些图框和 流程线组成的， 其中图框表示各种操作的类 型，图框中的文字和符号表示操作的内容， 流程线表示操作的先后次序．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3 说出下列图形符号的名称和所表达的意义？(阅读教材 P7
【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第2章2.1数列(二)
填一填·知识要点、记下疑难点
3．一般地，一个数列{an}，如果从 第2项
本 课 时 栏 目 开 关
起，每一项都
大于它的前一项，那么这个数列叫做 递增 数列．如果 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列 叫做 递减 数列．如果数列{an}的各项都 相等 ，那么这 个数列叫做常数列．
4．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝1，则 an＝ n ，从 单调性来看，数列是单调 递增 数列.
答
递推公式：已知数列{an}的第 1 项(或前几项)，且从第 2
项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an－1(或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式．通项公式：一个数列{an}的第 n 项 an 与项 数 n 之间的关系，如果可以用一个公式 an＝f(n)来表示，我 们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．
例 2 n2 已知数列{an}的通项公式为 an＝ 2 .求证：数列{an}为递 n ＋1
本 课 时 栏 目 开 关
n2 1 证明 ∵an＝ 2 ＝1－ 2 ， n ＋1 n ＋1 1 1 an＋1－an＝ 2 － n ＋1 n＋12＋1
[n＋12＋1]－n2＋1 2n＋1 ＝ 2 ＝ . n ＋1[n＋12＋1] n2＋1[n＋12＋1] 由 n∈N*，得 an＋1－an>0，即 an＋1>an. ∴数列{an}为递增数列．
增数列．
小结
数列是一种特殊的函数，因此可用函数单调性的方法来研
究数列的单调性．
研一研·问题探究、课堂更高效
an 已知数列{an}的通项公式是 an＝ ，其中 a、b bn＋1 an<an＋1 ． 均为正常数，那么 a 与 a ＋ 的大小关系是________ 跟踪训练 2
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§9.8 抛物线2014高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[难点正本 疑点清源] 1．抛物线的定义抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．2．抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p2等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线的标准方程．1．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 答案 y 2＝4x解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．答案 4解析 因为椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2＝2px 的焦点为(2,0)，则p ＝4.3．(2012·重庆)过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若AB ＝2512，AF <BF ，则AF ＝_____________.答案 56解析 由于y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1<x 2，将y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12代入y 2＝2x ，得k 2⎝⎛⎭⎫x －122＝2x ， ∴k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0.∴x 1x 2＝14.而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝34.∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝56.4．(2012·四川改编)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析 由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p 2＝3，∴p＝2，∴y 2＝4x .∴y 20＝4×2＝8，∴OM ＝4＋y 20＝4＋8＝2 3.5．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是______________． 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标．思维启迪：由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求P A ＋PF 的问题可转化为求P A ＋d 的问题． 解 将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知P A ＋PF ＝P A ＋d ，当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值为72，即P A ＋PF的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)．探究提高 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．(2011·辽宁改编)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为__________． 答案 54解析 ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.题型二 抛物线的标准方程和几何性质例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则MA ＝AN ，而AN ＝ 5.∵ON ＝3，∴OA ＝32－(5)2＝2，∴N (5，±2)．∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52，故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y .抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程．解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1k x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2p k 2.∴A 点坐标为⎝⎛⎭⎫2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2，－2pk )， 由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2(k 2＋1)＝64， ② ②÷①解方程组得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k 2(k 2＋1)＝45.又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .题型三 直线与抛物线的位置关系例3 (2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9. (1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4知4x 2－5px ＋p 2＝0可化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点．(1)设l 的斜率为1，求AB 的大小；(2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x 得y 2－4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)． ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．直线与抛物线的位置关系问题典例：(14分)(2011·湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值． 审题视角 (1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l 1的斜率为k ，依题设条件可求出AD →·EB →关于k 的解析式，利用均值不等式求最值． 规范解答解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．[4分](2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.[6分] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.[9分] 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.[13分] 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.[14分]第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二 次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0 时参数范围(或指出直线过曲线内一点) 第三步：建立关于所求问题的目标函数； 第四步：最值问题常结合函数单调性或基本 不等式求出；定值问题只证明函数为常数函数，与变量 无关；第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况．温馨提醒 解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点： (1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法； (2)不要忽略对Δ>0的限制或验证；(3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用；(4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解.方法与技巧1．认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．2．抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则AB ＝2psin 2θ；(3)若F 为抛物线焦点，则有1AF ＋1BF ＝2p .失误与防范1．求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．注意应用抛物线的定义解决问题．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程是__________． 答案 x 2＝－12y 或x 2＝12y解析 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，AB ＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________． 答案 36解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p2.代入y 2＝2px 得y ＝±p ，即AB ＝2p ，又AB ＝12，故p ＝6，所以抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝12×6×12＝36.3．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么PF ＝________. 答案 8解析 设P⎝⎛⎭⎫y 28，y ，则A (－2，y )， 由k AF ＝－3，即y －0－2－2＝－3，得y ＝43，PF ＝P A ＝y 28＋2＝8.4．从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________． 答案 10解析 由抛物线方程y 2＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由PM ＝5可得点P的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝12×5×4＝10.5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________． 答案 x 2＝12y解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y . 6．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离MF ＝4，则点M 的横坐标x ＝________. 答案 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3.7．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为___________． 答案5解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)，p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于PB ＋PF . 如图，PB ＋PF ≥BF ，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值， 此时BF ＝(－1－1)2＋(1－0)2＝ 5. 二、解答题(共27分)8．(13分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解 如图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得AB ＝AF ＋FB ＝AC ＋BD ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8. ①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0.∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝±4x .9． (14分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA →，FO →∥OP →(其中O 为坐标原点)．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →·AN →<0，求直线l 的斜率的取值范围．解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )． ∵AE →·AF →＝(－2，y E )·(－2，y F )＝y E ·y F ＋4＝0，∴y E ·y F ＝－4， ① 又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP →，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0，∴y E ＝y ，y F ＝－yx ，代入①得y 2＝4x (x ≠0)，∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≠0)．(2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2＝4x 消去x ， 得ky 2－4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8k，AM →·AN →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝y 21·y 2216－y 21＋y 224＋1＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫y 1y 242－(y 1＋y 2)24＋32y 1y 2＋1＝12k ＋1<0，∴－12<k <0， 则实数k 的取值范围为(－12,0)．B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为__________． 答案 (3,2)解析 依题意得，抛物线C 的方程是y 2＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝x －1消去y 得x 2－6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62＝3，纵坐标是y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)．2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________. 答案 6解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________．答案 (2，±22)解析 如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMF S △AOF＝12×AF ×AM ×sin ∠MAF 12×OF ×AF ×sin (π－∠MAF ) ＝3， ∴AF ＝3OF ＝3，∴AM ＝AF ＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，∴y 204＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 204＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎫72，4，则P A ＋PM 的最小值是________．答案 92解析 设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，又点A ⎝⎛⎭⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则PM ＝d －12，又P A ＋d ＝P A ＋PF ≥AF ＝5， 所以P A ＋PM ≥92. 5．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连结F A 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________．答案 2解析 由抛物线定义可知BM ＝BF ，又由平面几何知识得BM ＝BA ，所以点B 为AF 的中点，又B ⎝⎛⎭⎫p 4，1在抛物线上，所以12＝2p ×p 4，即p 2＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，F A →与x 轴正向的夹角为60°，则|OA →|＝________.答案 212p 解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令FD ＝m ，则F A ＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p .∴|OA →|＝ ⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p . 二、解答题(共28分)7．(14分)设M 、N 为抛物线C ：y ＝x 2上的两个动点，过M 、N 分别作抛物线C 的切线l 1、l 2，与x 轴分别交于A 、B 两点，且l 1与l 2相交于点P ，若AB ＝1.(1)求点P 的轨迹方程；(2)求证：△MNP 的面积为一个定值，并求出这个定值．(1)解 设M (m ，m 2)，N (n ，n 2)，则依题意知，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2，则A ⎝⎛⎭⎫m 2，0，B ⎝⎛⎭⎫n 2，0，设P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2mx －m 2，y ＝2nx －n 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝m ＋n 2y ＝mn ， ①因为AB ＝1，所以|n －m |＝2，即(m ＋n )2－4mn ＝4，将①代入上式得：y ＝x 2－1，∴点P 的轨迹方程为y ＝x 2－1.(2)证明 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋b (b >0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y ＝x 2，消去y 得x 2－kx －b ＝0， 所以m ＋n ＝k ，mn ＝－b ， ②点P 到直线MN 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2－mn ＋b 1＋k 2， MN ＝1＋k 2|m －n |，∴S △MNP ＝12d ·MN ＝12⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫m ＋n 2－mn ＋b ·|m －n |＝14·(m －n )2·|m －n |＝2. 即△MNP 的面积为定值2.8．(14分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC →＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在请说明理由．解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )；则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0.①由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ， ∴b ＝－y 代入①得y 2＝－4x .∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97，∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋1＋64k 2＝97.②将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x ③得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0.∴x 1＋x 2＝16k 2－4k 2，x 1x 2＝64. 代入②式得：64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k 2＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12. 此时根据③式判别式可知方程无解，故不存在这样的直线l .。