郑州市2017年高三毕业第一次质量检测(理数)

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2017年高三统一质量检测(一模)数学(理科)试卷

山东省青岛市2017年高三统一质量检测数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{||1|1}A x x =+≥，{|1}B x x =≥-，则 R ()A B ⋂=ð（） A ．[1,0]-B ．[1,0)-C ．(2,1)--D ．(2,1]--2．设(1)()2i x yi +-=，其中x ，y 是实数，i 为虚数单位，则x y +=（） A ．1B ．2C ．3D ．23．已知λ∈R ,向量(3,)a λ=r ，(1,2)b λ=-r ，则“3λ=”是“a b r r∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如6613用算筹表示就是，则8335用算筹可表示为（） A ．B ．C ．D ．5．已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不大于63的概率为（）A ．310 B ．13 C ．35D ．236．若x ,y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（）A ．8B ．4C ．1D ．27．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．88π3+B ．168π3+ C ．816π3+D ．1616π3+8．在ABC △中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan 21tan A c B b +=，则A =（） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒9．已知1x >，1y >，且lg x ，14，lg y 成等比数列，则xy 有（） A ．最小值10B ．最小值10C ．最大值10D ．最大值1010．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>,圆22223:+204C x y ax a -+=,若双曲线1C 的一条渐近线与圆2C 有两个不同的交点，则双曲线1C 的离心率的范围是（）A ．23(1,)3B ．23(,)3+∞ C ．(1,2) D ．(2,)+∞ A ．3B ．5C ．2D ．2第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知变量x ,y 具有线性相关关系,它们之间的一组数据如下表所示,若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.31yx =-，则m =________． x1 2 3 4 y0.11.8m412．设随机变量2~(,)N ξμσ，且(3)(0.2P P ξξ<-=>1)=，则(1)P ξ-<<1=________．13．已知函数2,2,()(1),2xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则2(log 7)f =________．14．已知π2 09cos m xdx =⎰，则1()m x x-展开式中常数项为________．15．已知函数23()123x x f x x =+-+，23()123x x g x x =-+-，设函数()(4)(3)F x f x g x =-+g ，且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,且121n n a S +=+,*n ∈N . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令32log n n c a =，21n n n b c c +=g ，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意*n ∈N ，n T λ<恒成立，求实数λ的取值范围. 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，.等可能的.现在有4个人要购买机器人.（Ⅰ）在会场展览台上，展出方已放好了A ，B ，C ，D 四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求A 型与B 型相邻且C 型与D 型不相邻的概率；（Ⅱ）设这4个人购买的机器人的型号种数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x ax =+，()e x g x =，a ∈R 且0a ≠，e 2.718...=，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()()()h x f x g x =g 在[1,1]-上极值点的个数；（Ⅱ）令函数()()()p x f x g x '=g ，若[1,3]a ∀∈，函数()p x 在区间[e ,)a b a +-+∞上均为增函数，求证：3e 7b ≥-．21．（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x y a aΓ+=>的左焦点为1F ，右顶点为1A ，上顶点为1B ，过1F 、1A 、1B 三点的圆P 的圆坐标为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线:(,,0)l y km m k m k =+≠为常数与椭圆Γ交于不同的两点M 和N ．（ⅰ）当直线l 过(1,0)E ，且20EM EN +=u u u u r u u u r r时，求直线l 的方程；。

河南省郑州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

河南省郑州市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．p：“a=﹣2”是q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( ) A．100 B．200 C．360 D．4006．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．17．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．C．64 D．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为( )A．B．C．D．9．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．010．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜011．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为( )A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( )A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=__________．14．已知，在二项式的展开式中，x的一次项系数的值为__________．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…=__________．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确是__________．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S n”．（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【不等式选讲】24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论解答：解：∵集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞）故选B．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错．2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解答：解：复数===2+i所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A（﹣2，1），∴A对应的复数为﹣2+i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，∴，解得a1=4，d=﹣2．故选C．点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．4．p：“a=﹣2”是q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( )A．100 B．200 C．360 D．400考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．6．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．C．64 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．解答：解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，ω的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．解答：解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，∴可得Q（4，0），R（0，﹣4），|PQ|=3，T=6=，解得ω=，∴函数经过Q，R，有∵|∅|∴∅=﹣∴解得A=．故选：C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．9．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．0考点：程序框图．专题：图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a ＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为( )A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( )A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．已知，在二项式的展开式中，x的一次项系数的值为﹣10．考点：二项式系数的性质；定积分．专题：概率与统计．分析：利用微积分基本定理可得a==1，于是二项式=，再利用展开式的通项公式即可得出．解答：解：==1，∴二项式=，其通项公式T r+1==（﹣1）r，令10﹣3r=1，解得r=3．∴T4==﹣10x，∴一次项系数的值为﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确是②③④．考点：的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（Ⅱ）以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．解答：解：（Ⅰ），c=3，由余弦定理：b2=c2+a2﹣2cacos∠ABC=，∴．又∠ABC∈（0，π），所以，由正弦定理：，得．（Ⅱ）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则，BE=2BD=6，在△BCE中，由余弦定理：BE2=CB2+CE2﹣2CB•CE•cos∠BCE．即，解得：CE=3，即AB=3，所以．点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S n”．（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望．解答：解：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，此时的概率为：；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，∴，，．∴ξ的分布列为：ξ10 30 50∴．点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，连结AC交BQ于N，连结MN，则MN∥PA，分析：由此能证明PA∥平面BMQ．（Ⅱ）以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．解答：解：（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，…理由如下：连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，…故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊈平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（Ⅱ）由题意，以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…则P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），…由PM=2MC可得点，所以，设平面PQB的法向量为，则令z=1，∴，…同理平面MBQ的法向量为，…设二面角大小为θ，．∴二面角P﹣BQ﹣M的余弦值为．…点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．考点：与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED 长可求．解答：（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【不等式选讲】24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

数学---河南省郑州市2017届高三上学期期中考试(理)

河南省郑州市2017届高三上学期期中考试（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,21xM x x N x =<=>，则M N = ( )A. ∅B. {}01x x <<C. {}0x x <D. {}1x x <2．复数2i1iZ =+的虚部是 ( ) A ．iB ．-iC ．1D ．-13．在等比数列{}n a 中，若119a =，43a =，则该数列前五项的积为( )A ．±3B ．3C ．±1D ．14．某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( ) A ．43 B ．83 C ．123 D ．2435．二项式1022)x展开式中的常数项是( ) A ．360B ．180C ．90D ．456．在ABC ∆中，1tan ,cos 210A B ==，则tan C =( )A ．-1B ．1C D ．-27．若对任意非零实数,a b ，若a b *的运算规则如右图的程序框图所示，则(32)4**的值是( ) A ．1213 B ．21 C ．23D ．98．函数()3sin(2),(0,)3f x x πφφπ=-+∈满足)()(x f x f =，则φ的值为( )A ．6πB ．3πC ．56π D ．32π 9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，())1,0(,,∈c b a ，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则ba312+的最小值为( ) A ．332 B ．328 C ．314 D ．316 10．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 11．已知函数)(x f 定义在R 上的奇函数，当0<x 时，)1()(+=x e x f x ，给出下列命题：①当0>x 时，)1()(x e x f x -= ②函数)(x f 有2个零点③0)(>x f 的解集为),1()0,1(+∞⋃- ④R x x ∈∀21,，都有2|)()(|21<-x f x f 其中正确命题个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．412．用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为92,1 的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3,5,7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种A ．18B ．36C ．72D ．108第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．曲线xy2=与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积为. 14．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，，_______________15．在区间[0,2]上任取两个实数a ,b ，则函数f (x )=x 3+ax -b 在区间[-1,1]上有且只有一个零点的概率是 .16．已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体，2AB =， 60,1=∠=BAC AC ，则此球的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q (1)q ≠，且2212b S +=，（1）求n a 与n b ；（218.（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和 951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（本小题满分12分）如图(1)所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到△A 1BE 的位置，如图(2)所示．(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)若平面A 1BE ⊥平面BCDE ，求平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值．20．(本小题满分12分)以椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的中心O 为圆心，22b a +为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C 的左顶点为P ，左焦点为F ，上顶点为Q ，且满足2=PQ ，OFQ OPQ S S ∆∆=26. （1）求椭圆C 及其“准圆”的方程；（2）若椭圆C 的“准圆”的一条弦ED （不与坐标轴垂直）与椭圆C 交于M 、N 两点，试证明：当0=⋅ON OM 时，试问弦ED 的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21．(本小题满分12分)已知函数 (1)若在处取得极值，求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：为自然对数的底数）.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f )(x f 0=x a )(x f e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<+++如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD 交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．在平面直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ.（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是圆C 上任一点，求△P AB 面积的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知函数()|2|f x x =-.（1）解不等式：(1)(2)4f x f x +++<；（2）已知2a >，求证：R,()()2x f ax af x ∀∈+>恒成立.参考答案一、选择题13. 4-ln214. 85 15. 8716. π8 三、解答题17．解：（1）设{}n a 的公差为d解得3q =或4q =-（舍），3d =．故33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=．……………………………………………5分（2………………8分……………………10分因为1n ≥，所以 ……………………12分 18. （1）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， ……1分因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27,24,21,18 ……………………………2分所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为821000820100⨯= …………………………3分（2）22100(4118329)3004.110 3.8415050732773k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.……………6分（3）依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，X 可取0、1、2、3 …………………7分363920(0)84C P X C ===， 21633945(1)84C C P X C ===， 12633918(2)84C C P X C ===， 33391(3)84C P X C === X 的分布列为………………11分X 的数学期望2045181()0123184848484E X =⨯+⨯+⨯+⨯= ………………12分 19．解：(1)证明：在图(1)中，因为AB ＝BC ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，BE ∥CD .即在图(2)中，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，又OA 1∩OC ＝O ，OA 1⊂平面A 1OC ，OC ⊂平面A 1OC ，从而BE ⊥平面A 1OC . 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC .(2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，又由(1)知，BE ⊥OA 1，BE ⊥OC ，所以∠A 1OC 为二面角A 1-BE - C 的平面角，所以∠A 1OC ＝π2.如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为A 1B ＝A 1E ＝BC ＝ED ＝1，BC ∥ED ，所以B (22，0，0)E (－22，0，0)，A 1(0，0，22)，C (0，22，0) 得BC →＝(－22，22，0)，A 1C →＝(0，22，－22)CD →＝BE →＝(－2，0，0)．设平面A 1BC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面A 1CD 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，平面A 1BC 与平面A 1CD 的夹角为θ，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＝0，y 1－z 1＝0，取n 1＝(1，1，1)；⎩⎪⎨⎪⎧n 2·CD →＝0，n 2·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2－z 2＝0，取n 2＝(0，1，1)，从而cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝23×2＝63，即平面A 1BC 与平面A 1CD 所成锐二面角的余弦值为63. 20.解：（1）设椭圆C 的左焦点F 0),0,(>-c c ，由OFQ OPQ S S ∆∆=26得c a 26=，又2=PQ ，即422=+b a 且222a c b =+，所以1,322==b a ，则椭圆C 的方程为1322=+y x ；椭圆C 的“准圆”方程为422=+y x .………4分（2）设直线ED 的方程为),(R b k b kx y ∈+=，且与椭圆C 的交点),(),(2211y x N y x M 、，联列方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x b kx y 代入消元得：0336)31(222=-+++b kbx x k 由22212213133,316k b x x k kb x x +-=+-=+ ………6分可得2222121313))((kk b b kx b kx y y +-=++= 由0=⋅ON OM 得02121=+y y x x 即++-223133k b 031334313222222=+--=+-kk b k k b ，所以)1(4322+=k b ………8分此时0327)33)(31(43622222>+=-+-=∆k b k b k 成立，则原点O 到弦ED 的距离234311222==+=+=k b k b d , 得原点O 到弦ED 的距离为23，则134342=-=ED ，故弦ED 的长为定值. ……………………………12分 21、解：（1）是的一个极值点，则，验证知=0符合条件…………………….（2分）（2） 1）若=0时，单调递增，在单调递减； 2）若上单调递减…………………………………（4分） 3）若再令在-------（6分）综上所述，若上单调递减，若。

2017郑州市第一次质量检测数学试卷及答案

2017郑州第一次质量检测数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在-2 017，0，-3，2 017这四个数中，最小的数是（）A ．-2 017B ．0C ．-3D ．2 0172. 如图是几何体的三视图，该几何体是（）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥3. 我国一次性建成最长的万吨重载铁路——晋豫鲁重载铁路，铁路全线长1 260公里，横跨山西、河南、山东三省，总投资941亿元，941亿用科学记数法表示为（） A ．994110⨯B ．109.4110⨯C ．1194.110⨯D ．129.4110⨯4. 如图所示，一艘船在海上从A 点出发，沿东北方向航行至点B ，再从B 点出发沿南偏东20°方向行至点C ，则∠ABC 的度数是（） A ．45° B ．65° C ．75°D ．90°5. 下列说法中，正确的是（）A ．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式CBA俯视图左视图主视图B．在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C．小强班上有3个同学都是16岁，因此小强认为他们班学生年龄的众数是16岁D．给定一组数据，则这组数据的中位数一定只有一个6.如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小红按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE 的周长为（）A．10 B．20C．12 D．247.如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8.从九年级一班3名优秀班干部和九二班2名优秀班干部中随机抽取两名学生担任升旗手，则抽取的两名学生刚好一个班的概率为（）A．15B．25C．35D．459.某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长8 dm，宽为5dm的矩形内画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积等于22 dm2（如图），若设彩纸的宽度为x分（35kg）乙甲甲（45kg）丙NMEODCBA米，则可得方程为（） A ．40-10x -16x =18 B ．(8-x )(5-x )=18 C ．(8-2x )(5-2x )=18 D ．40-5x -8x +4x 2=2210. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD =4 cm ，动点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿线段AB向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD→DC→CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ）时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与 x 之间函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：03=__________．12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DE ∥BC ，如果AB =12 cm ，AD =9 cm ，AC =8 cm ，那么AEQP D C BA第12题图第14题图13. 当k =__________时，双曲线ky x=过点． 14. 如图，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(80)A -，和原点O (0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为__________．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 是边BC上一动点，把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，射线DF 交直线CB 于点P ，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长为_________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16. （8分）先化简，再求值：22113()263x x xx x x ++-÷---，其中x 为方程(6)(3)0x x --=的实数根．CE BAD PA B FE DC17. （9分）如图，在菱形ABCD 中，AB =20，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连拉MD ，AN ．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形．（2）填空：①当AM 的值为_________时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为_________时，四边形AMDN 是菱形．18. （9分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：NM E D CBA（1）本次抽样调查了_________个家庭；（2）将图1中的条形图补充完整；（3）学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是______度；（4）若该社区有家庭共3 000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？19. （9分）已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为x =1，求m 的值及另一个根．图1时间/小时图254°108° 1.5~2小时2~2.5小时1~1.5小时0.5~1小时20. （9分）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD =6米，匝道BD 和AD 每米造价均为4 000元，那么设计优化后修建匝道AD 的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09，tan15°≈0.27，结果保留整数）21. （10分）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12 000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2 700元，进价和售价如下表：米（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售．若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2 460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？22.（10分）如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE的值；（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，DEBE的值为_______．（直接填答案）AB CDPFGE23.（11分）如图1，若直线l：y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A，B，D的抛物线h：y=ax2+bx+4．（1）求抛物线h的表达式；（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长度的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M，交抛物线h于点N，求线段MN的最大值；（3）如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点D，B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．Array图1图2备用图参考答案。

河南省郑州市、平顶山市2017届高三上学期第一次质量检测考试物理试题扫描版含答案

2017年高中毕业年级第一次质量预测物理参考答案一、选择题（本题共11小题，每小题4分，共44分。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分。

答案填涂在答题卡的相应位置。

）1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．AC 8．BC 9．AD 10．BC 11．BD二、实验题（本题共2小题，共17分。

请把分析结果填在答题卡上或按题目要求作答。

）12．(1)错误！未找到引用源。

（2分），(2)m ＜＜M （1分），(3)错误！未找到引用源。

（2分），小于（1分）。

13．(1) 0.830 mm （2分）(2) ①（1分），④（1分），R 1（1分）(3)21.3 Ω（2分） (4) 错误！未找到引用源。

（2三、计算题（本题共4小题，共39分。

解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤。

只写最后答案的不能得分。

有数值计算的题，答案中必须写出数值和单位。

）14．(1)两车减速运动的加速度为错误！未找到引用源。

（1分）甲车减速到v 2所用时间为错误！未找到引用源。

，走过的距离为错误！未找到引用源。

，甲车从匀速运动到栏杆打开所用时间为错误！未找到引用源。

甲车从减速到栏杆打开的总时间为 t 甲=错误！未找到引用源。

（2分）乙车减速行驶到收费岛中心线的时间为错误！未找到引用源。

，从减速到栏杆打开的总时间为错误！未找到引用源。

（1分）人工收费通道和ETC 通道打开栏杆放行的时间差错误！未找到引用源。

（1分）(2) 解法一乙车从收费岛减速带到恢复正常行驶，所用时间为 t 乙=t 3+t 0+t 3=31s乙车从收费岛减速带到恢复正常行驶，走过的距离为 x 乙=x +d +x =160m （1分）甲车从收费岛减速带到乙车恢复正常行驶，所用时间为 t 甲=t 1+t 2+t 1+t显然t 甲=t 乙，即t =2t 3+t 0-2t 1-t 2=21s甲车从收费岛减速带到乙车恢复正常行驶，走过的距离为x甲=x1+x2+x1+v1t=560m （2分）所以，两车驶离收费站后相距最远为△x=x甲-x乙=400m （1分）（2）解法二乙车从收费岛中心线开始出发又经t3=8 s加速到v1=72 km/h，与甲车达到共同速度，此时两车相距最远。

河南省郑州市第一中学2017-2018学年新高三年级调研检测数学(理)试题 Word版含答案

郑州一中2017-2018学年新高三年级调研检测数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝－0．990则A．y与x负线性相关B．y与x正线性相关C．y与x的线性相关性很强D．y与x的相关性很强2．若错误！未找到引用源。

＝42，则错误！未找到引用源。

的值为A．6 B．7 C．35 D．203．设随机变量ξ服从正态分布ξ～N（0，1），P（ξ>1）＝p，则P（－1＜ξ＜0）等于A．错误！未找到引用源。

p B．1－p C．1－2P D．错误！未找到引用源。

－p4．若f（x）＝2x错误！未找到引用源。

＋错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于A．－2 B．－4 C．2 D．05．统计假设H0：P（AB）＝P（A）P（B）成立时，以下判断：①P（错误！未找到引用源。

）＝P（错误！未找到引用源。

）·P（B），②P（错误！未找到引用源。

）＝P（A）·P（错误！未找到引用源。

），③P（错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

）＝P（错误！未找到引用源。

）·P（错误！未找到引用源。

）．其中正确的个数有A．0个B．1个C．2个D．3个6．错误！未找到引用源。

的展开式中的有理项共有A．1项B．2项C．3项D．4项7．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数错误！未找到引用源。

2017届河南省郑州市高三上学期第一次质量预测理科数学试题及答案1

郑州市2017届高三上学期第一次质量预测试题数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|2A x x B x x m =>=<,且，那么m 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．42．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为A ．15+B ．C ．30+．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．二项式6(ax 的展开式的第二项的系数为-，则22a x dx -⎰的值为A.3 B ．73 C ．3或73 D ．3或103-8．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==，则对任意的正实数t ， 1c ta b t++的最小值是A.2 B ． C ．4 D ．11．已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为A. B. C. (0,1) D. 1(0,)212.已知数列{}n a 的通项公式为)n a n N *=∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S 、2S 、…2014S 中，有理数项的项数为A ．42B ．43C ．44D ．45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩，则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的3132S =，则输入的整数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶2,1AB AC ==．60ABC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足0,AD AC ⋅=sin BAC AB BD ∠=== (I)求AD 的长; (Ⅱ)求cosC ．18.（本小题满分12分）为迎接2017年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有三个选项，问题B 有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金a 元，正确回答问题B 可获奖金b 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生．(I)如果参与者先回答问题A ，求其恰好获得奖金a 元的概率；(Ⅱ)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-． (I)若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；(Ⅱ)若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >,方程'()'()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1?x k x =若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由，请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(I)若1,13EC ED CB DA ==，求DCAB的值； (Ⅱ)若2BCEF FA FB =⋅，证明：EF ∥CD ．23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(q 为参数)．(I)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲绒1C 于A ，B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()4(4)f x x x a a =-+-<. (I)若()f x 的最小值为3，求a 值； (Ⅱ)求不等式()3f x x ≥-的解集，2017年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案一、选择题ADACB DBCBB AB 二、填空题13.[1,3)-； 14.5； 15. 8π； 16.12a <-. 三、解答题17．解：(1) 因为AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠,即cos BAD ∠=,…………………………….2分在ABD ∆中，由余弦定理可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即28150AD AD -+=，解之得5AD =或 3.AD = ……………………………………………….6分由于AB AD >，所以 3.AD =…………………………………………………..7分 (2) 在ABD ∆中，由正弦定理可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos BAD ∠=可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==, 因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠,所以cos C =.……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题A 的概率113P =，随机猜对问题B 的概率214P =．………… 2分 ⑴设参与者先回答问题A ，且恰好获得奖金a 元为事件M ,则12131()(1)344P M P P =-=⨯=, 即参与者先回答问题A ，其恰好获得奖金a 元的概率为14. ………………4分⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A ，再回答问题B ．参与者获奖金额ξ可取0,,a a b +，则()12013P P ξ==-=，()()12114P a P P ξ==-=，()121.12P a b PP ξ=+==②先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η，可取0,,b a b +，则()23014P P η==-=，()()21116P b P P η==-=，()211.12P a b P P η=+==()3110.4612124a bE b a b η=⨯+⨯++⨯=+………… 10分32.12a bE E ξη--= 于是，当23a b >，时E E ξη>，即先回答问题A ，再回答问题B ，获奖的期望值较大；当23a b =，时E E ξη=，两种顺序获奖的期望值相等；当23a b <，时E E ξη<，先回答问题B ，再回答问题A ，获奖的期望值较大.…………………………12分 19.解：(1)证明：由题意11tan tan AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠==, 注意到10,2ABD AB B π<∠∠<,所以1ABD AB B ∠=∠,所以1112ABD BAB AB B BAB π∠+∠=∠+∠=,所以BD AB ⊥1, ……………………3分又⊥CO 侧面11A ABB ，1.AB CO ∴⊥ 又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1,又因为CBD BC 面⊂,所以1AB BC ⊥.……………………………6分(2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在的直线为,,x y z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -则(0,A，(B ，C，1B，D ，又因为12CC AD =，所以1C …………8分所以(AB =，AC =，1DC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则根据0,0AB n AC n ⋅=⋅=可得n =是平面ABC 的一个法向量,设直线1C D 与平面ABC 所成角为α，则11||sin ||||DC n DC n α⋅==………………12分20.⑴解：由题知||||||||||||2||||4||,CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=> 所以曲线M 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x 轴的交点），设曲线M ：22221(0,0)x y a b y a b+=>>≠，则2222||4,()32AB a b a ==-=，所以曲线M ：221(0)43x y y +=≠为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点(1,0)B ，设1122:1,(,),(,)BC l x my C x y D x y =+，A由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 消x 得22(34)690m y my ++-=，所以1,2y =，所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩-------------------------------------8分因为1122(2,),(2,)AC my y AD my y =+=+,所以212121212222222(2)(2)(1)2()49(1)12794.343434AC AD my my y y m y y m y y m m m m m m ⋅=+++=+++++-=--+=+++注意到点A 在以CD 为直径的圆上,所以0AC AD ⋅= ,即m =,-----11分所以直线BC的方程330x +-=或330x -=为所求.------12分21.⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>. 所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数,故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. --------6分令()ln 1(0)u x x x x =-+>,11()1xu x x x-'=-=, 当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<. 所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数. 故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立.所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当0k ≤或1k =时,()()f x g x =,即()0h x =仅有唯一解1x =,不合题意; 当01k <<时, ()h x 是(,)k +∞上的增函数,对1x >,有()(1)0h x h >=，所以()()f x g x =没有大于1的根,不合题意. ---------8分当1k >时,由()()f x g x ''=解得10k x e -=,若存在110k x kx ke -==, 则111ln()(1)k k k keke k ke ---=-,即1ln 10k k e --+=,令1()ln 1(1)xv x x e x -=-+>,11()x x xe exv x e x xe--'=-=, 令(),()xxs x e ex s x e e '=-=-,当1x >时,总有()0s x '>, 所以()s x 是(1,)+∞上的增函数,即()(1)0xs x e ex s =->=, 故()0v x '>,()v x 在(1,)+∞上是增函数,所以()(1)0v x v >=,即1ln 10k k e --+=在(1,)+∞无解.综上可知,不存在满足条件的实数k . ----------------------12分 22.解：⑴ D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角，∴ECD ∆∽,EAB ∆ ∴.DC EC EDAB EA EB== ∴2111...428DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.∴DC AB =. ……………………………………………………………… 6分⑵ FB FA EF ⋅=2， ∴FEFB FA EF =，又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴//.EF CD .…………………………………………………… 10分 23.解：⑴222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l的参数方程为4,,x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数）将其代入曲线1C整理可得：240s -+=，设,A B 对应参数分别为12,s s ，则1212 4.s s s s +==所以12||||AB s s =-==. ……………………………10分24.解：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立,故43,1a a -=∴=为所求.……………………4分⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34)4(<a ， ①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥-即 1.x a ≤+所以，当a x <时，原不等式成立.②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥-即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立.③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即7,3a x +≥由于4<a 时74.3a +>所以，当4>x 时，原不等式成立.综合①②③可知：不等式x x f -≥3)(的解集为R.……………………10分。

【学期】河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考数学理试题Word版含答案

【关键字】学期数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.设，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.在中，为边的中点，若，，则（）A．B． C. D．5.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数关于轴对称，则的一个可能取值为（）A．B． C.0 D．6.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．B． C. D．7.如图所示的茎叶图为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的分别是（）A．B．C. D．8.如图，周长为1的圆的圆心在轴上，顶点，一动点从开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长，直线与轴交于点，则函数的图象大致为（）A．B．C．D．9.设方程与的根分别为，则（）A．B． C. D．10.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． C. D．11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论正确的是（）A．B．C. D．12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：①；②函数是偶函数；③任意一个非零有理数，对任意恒成立；④存在三个点，，，使得为等边三角形．其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C.2 D．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知等比数列的第5项是二项式展开式中的常数项，则．14.冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有种.15.若不等式组所表示的平面区域存在点，使成立，则实数的取值范围是.16.如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，，恒成立，则实数.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本题满分12分)在中，内角对应的三边长分别为，且满足．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，求的取值范围.18.（本小题满分12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：．（Ⅰ）求图中的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望. 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，为直角，，，，分别为，的中点. （Ⅰ）证明：AB ⊥平面BEF ；（Ⅱ）若PA =E BD C --. 20.（本小题满分12分）椭圆()222:11x H y a a+=>，原点O 到直线MN ，其中：点()01M -，，点()0N a ，.（Ⅰ）当a ，b ，c 成等差数列时，求ABC △的面积；（Ⅱ）经过椭圆右焦点2F 的直线l 和该椭圆交于A 、B 两点，点C 在椭圆上，O 为原点，若1322OC OA OB =+，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）已知函数()()212g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设()1212x x x x <，是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲已知ABC △中，AB AC =，D 为ABC △外接圆劣弧AC 上的点（不与点A C ，重合），延长BD 至E ，延长AD 交BC 的延长线于F ．（Ⅰ）求证：CDF EDF ∠=∠；（Ⅱ）求证：AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．23．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ+=，求直线l 被曲线C 截得的弦长． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]15-，．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．17届（高三）第一次联考数学（理）试卷试卷答案一、选择题 1-5:CDADB 6-10:BBDAC 11、12：DA二、填空题13.36 14.150 15.1a ≤- 16.ln2 三、解答题17.解析：（Ⅰ）∵221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴2222222a c b bc a b +--=-，222a b c bc =+-…………………………2分 ∵2222cos a b c bc A =+-，∴1cos 2A =……………………………………4分 ∴3A π=…………………………………………6分（Ⅱ）解法1：由正弦定理得2sin sin sin a b cA B C===， ∴2sin 2sin b B c C ==，．……………………………………8分 ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++2sin 2sin cos 2cos sin 3sin 6B A B A B B B B π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭…………10分∵203B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴5666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，1sin (1]62B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，所以b c +∈，．…………………………12分解法2：∵a =2222cos a b c bc A =+-，()22233b c bc b c bc =+-=+-……………………8分∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()22332b c b c +⎛⎫≥+- ⎪⎝⎭……………………………………10分()212b c +≤，即b c +≤∵b c a +>∴b c +∈， (12)分（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X 的可能取值为0123，，，．………………………………………………5分()343101030C P X C ===，()12643103110C C P X C ===，()2164310122C C P X C ===，()36310136C P X C ===．………………………………………………………………9分故X 的分布列为所以1311901233010265EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………………………………12分 19.解：（Ⅰ）证：由已知DF 平行且等于AB 且DAB ∠为直角，故ABFD 是矩形，从而AB BF ⊥．又PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ∵AB AD ⊥，故AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥，在PCD △内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF PD ∥，∴AB EF ⊥，由此得AB ⊥平面BEF .………………………………6分方程有解1x =-，故不论k 取任何正整数时，方程总有公共根1-.（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴正向建立空间直角坐标系，则()120BD =-，，，01BE ⎛= ⎝⎭，，设平面CDB 的法向量为()1001n =，，，平面EDB 的法向量为()2n x y z =，，，则220n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩200x y y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(221n =-，，，设二面角E BD C --的大小为θ，则121212cos cos 21n n n n n n θ⋅=<>===⨯⋅，所以，4πθ=…………………………………………12分.20.解：（Ⅰ）设直线:0MN x ay a --=3a =⇒=，所以离心率e ==3分. （Ⅱ）椭圆H 方程为2213x y +=，设()()()112233A x y B x y Cx y ，，，，，， ①当直线l 斜率为0时，其方程为0y =，此时)0A ，，()0B ，，不满足121230x x y y +=，不符合题意，舍去 (4)分②当直线l 斜率不为0时设直线l 方程为x my =+由题意：2213x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消x 得()22310m y ++-=，…………………………5分所以12122013y y y y m ⎧∆>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎪+⎩．……………………………………7分因为1322OC OA OB =+，所以31212x x x =+，31212y y y =+，因为点C 在椭圆上，所以22223312121113322x y x x y y ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以121230x x y y +=……………………9分∵(()2121212122x x my my m y y y y =+=+++化简得210m -=，得1m =±，直线l为x y =±+11分综上，直线l为00x y x y --+-，…………………………12分 21.解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()'1af x x=+， ∵与直线20x y +=垂直，∴1'12x k y a ===+=，∴1a =，………………2分（Ⅱ）∵()()21ln 12g x x x b x =+--，∴()()()2111'1x b x g x x b x x --+=+--=，由题知()'0g x <在()0+∞，上有解，∵0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =>，所以只需()211231140b b b b b -⎧>>⎧⎪⇒⎨⎨><-⎩⎪∆=-->⎩或，故b 的取值范围是()3+∞，…………………………………………6分 . （Ⅲ）∵()()()21111x b x g x x b x x--+=+--=，令()0g x =，得()2110x b x --+=，由题121211x x b x x +=-=，， 12x t x =，则()()()1111ln 2g x g x h t t t t ⎛⎫-==-- ⎪⎝⎭……………………………………8分 ∵120x x <<，所以令()1201x t x =∈，，又72b ≥，所以512b -≥，所以()()()222121212125124x x b x x t x x t +-=+==++≥，整理有241740t t -+≥，解得1144t -≤≤，∴1(0]4t ∈，…………………………………………10分()()22211111022t h t t t t -⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以()h t 在10]4（，单调递减， ()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，故()()11g x g x -的最小值是152ln 28-．……………………………………12分 22.解析：（Ⅰ）证明：∵A 、B 、C 、D 四点共圆， ∴CDF ABC ∠=∠，∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠，且ADB ACB ∠=∠， EDF ADB ACB ABC ∠=∠=∠=∠，∴CDF EDF ∠=∠．…………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得ADB ABF ∠=∠，又∵BAD FAB ∠=∠，所以BAD △与FAB △相似， ∴AB ADAF AB=，∴2AB AD AF =⋅，又∵AB AC =，∴AB AC AD AF ⋅=⋅，∴AB AC DF AD AF DF ⋅⋅=⋅⋅，根据割线定理得DF AF FC FB ⋅=⋅，AB AC DF AD FC FB ⋅⋅=⋅⋅．………………………………10分23．⑴∵曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）∴曲线C 的普通方程为()()22215x y -+-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得：4cos 2sin ρθθ=+，即曲线C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+…………………………5分（2）∵l 的直角坐标方程为10x y +-=，∴圆心C 到直线l 的距离为d ==∴弦长为=……………………10分24．⑴∵3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，∵()3f x ≤的解集为[]15-，，∴3135a a -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =．…………………………5分⑵∵()()()()523235f x f x x x x x ++=-++≥---=，又()()5f x f x m ++≥恒成立，∴5m ≤．………………………………………………10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

2017年河南省高考数学质检试卷(理科)

2017年河南省高考数学质检试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．4．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣B．C．D．﹣5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．96．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．7．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e﹣x+1C．y=f（x）•e﹣x﹣1D．y=f（x）•e x+18．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则||等于（）A．2B．4C．6D．110．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值12．（5分）若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x ＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为．14．（5分）把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g （x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ=．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．18．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．2017年河南省高考数学质检试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x（5﹣x）＞4}，B={x|x≤a}，若A∪B=B，则a的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知得A⊆B，由此能求出实数a的取值范围，可得结论．【解答】解：集合A={x|x（5﹣x）＞4}={x|1＜x＜4}，∵A∪B=B，∴A⊆B，∵B={x|x≤a}，∴a≥4．∴a的值可以是4，故选：D．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意并集的性质的合理运用．2．（5分）已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（4，+∞）C．（﹣1，4）D．（﹣4，﹣1）【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部大于0且虚部小于0联立求得实数a的取值范围．【解答】解：∵=在复平面内对应的点在第四象限，∴，解得﹣1＜a＜4．∴实数a的取值范围是（﹣1，4）．故选：C．【点评】本题考查复数代数式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3．（5分）为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A．B．C．D．【分析】根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论．【解答】解：根据四个列联表中的等高条形图知，图形D中不服药与服药时患禽流感的差异最大，它最能体现该药物对预防禽流感有效果．故选：D．【点评】本题考查了列联表中条形图的应用问题，是基础题．4．（5分）已知3cos2θ=tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin[2（π﹣θ）]等于（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，结合tanθ≠0，可得1+tan2θ=﹣3tanθ，利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵3cos2θ=3×=tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）=0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ=﹣3tanθ，∴sin[2（π﹣θ）]=sin（2π﹣2θ）=﹣sin2θ=﹣=﹣=．故选：C．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5．（5分）我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=1.5（单位：升），则输入k的值为（）A．4.5B．6C．7.5D．9【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=4时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，即可解得k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=k满足条件n＜4，执行循环体，n=2，S=k﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=3，S=﹣=，满足条件n＜4，执行循环体，n=4，S=﹣=，此时，不满足条件n＜4，退出循环，输出S的值为，由题意可得：=1.5，解得：k=6．故选：B．【点评】算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）过点，过点（0，﹣2）的直线l与双曲线C的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为（）A．2B．C．4D．【分析】由双曲线的渐近线方程y=±x，利用点到直线的距离公式，即可求得a和c的关系，即可求得b=2a，将点代入椭圆方程，即可求得a的值，求得双曲线C的实轴长．【解答】解：由双曲线的渐近线方程y=±x，则（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d===，则c=3a，即b=2a，由双曲线C过点，即，解得：a=1，则双曲线C的实轴长为2a=2，故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．7．（5分）若f（x）为奇函数，且x0是函数y=f（x）﹣e x的一个零点，在下列函数中，﹣x0一定是其零点的函数是（）A．y=f（﹣x）•e﹣x﹣1B．y=f（x）•e﹣x+1C．y=f（x）•e﹣x﹣1D．y=f（x）•e x+1【分析】根据f（x）是奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），因为x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断．【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）且x0是y=f（x）﹣e x的一个零点，∴f（x0）﹣e x0=0，∴f（x0）=e x0，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）e x0﹣1=e x0e x0﹣1≠0，故A错误；B、y=f（﹣x0）e x0+1=﹣（e x0）2+1≠0，故B错误；C、y=e x0f（﹣x0）﹣1=﹣e x0•e x0﹣1≠0，故C不正确；D、y=e﹣x0f（﹣x0）+1=﹣e x0e﹣x0+1=0，故D正确．故选：D．【点评】此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．4D．【分析】由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为2，体积为+=，故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．9．（5分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，则||等于（）A．2B．4C．6D．1【分析】依题意，作出图形，设=k，利用三角形法则可知=+=﹣+k，再由•=5可求得k，从而可求得||的值．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=5，AC=4，D是AB上一点，且•=5，作图如下：设=k，∵=+=﹣+k，∴•=•（﹣+k）=﹣||||cos60°+k=﹣5×4×+25k=5，解得：k=，∴||=5×=3，∴||=5﹣3=2．故选：A．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查平面向量的加法运算（三角形法则）及平面向量共线基本定理的应用，考查数形结合思想，属于中档题．10．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒，由⇒即可求解．【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒==，∵AF1+AF2=2a，∴．由⇒，∴．则椭圆C的离心率为：，故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．（5分）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE（A1∉平面ABCD），若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是（）A．与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B．异面直线BM与A1E所成角是定值C．一定存在某个位置，使DE⊥MOD．三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【分析】对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM∥平面A1DE，即可判断A；对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，可得AC与DE垂直，即可判断C；对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，即可判断D．【解答】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM∥A1H，BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM∥平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG∥BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=a，A1H==，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1﹣ADE外接球球心为O，半径为，即有三棱锥A1﹣ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值．则D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，是中档题．12．（5分）若曲线f（x）=（e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x ＜0）上分别存在点A、B，使得△OAB是以原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，则实数a的取值范围是（）A．（e，e2）B．（e，）C．（1，e2）D．[1，e）【分析】由题意设出A，B的坐标，代入函数解析式，利用中点坐标公式把B的坐标用A的坐标表示，由可得关于A的横坐标的方程，分离参数a 后构造函数h（x）=，利用导数求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的单调性，得到函数的值域得答案．【解答】解：设A（x1，y1），y1=f（x1）=，B（x2，y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0），则=0，x2=﹣x1，∴．，，由题意，，即=0，∴，∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，∴，则．设h（x）=，则h′（x）=，∵e﹣1＜x＜e2﹣1，∴h′（x）＞0，即函数h（x）=在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上为增函数，则，即e＜a＜．∴实数a的取值范围是（e，）．故选：B．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力和推理运算能力，属中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则z=x2+（y+1）2的最小值为5．【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣1）距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域，z=x2+（y+1）2，表示可行域内点B到A（0，﹣1）距离的平方，当z是点A到直线2x+y﹣4=0的距离的平方时，z最小，最小值为d2==5，给答案为：5．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．14．（5分）把3男2女共5名新生分配给甲、乙两个班，每个班分配的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为16．【分析】根据题意，用间接法分析：先计算将5人分配到2个班级的情况数目，再分析其中甲班全部为男生的情况数目，用“将5人分配到2个班级”的情况数目减去“甲班没有女生即全部为男生”的情况数目，即可得答案．【解答】解：根据题意，先将5人分配到2个班级，需要先把5人分成两组，有C52=10种分组方法，再把分好的2组对应2个班级，有A22=2种情况，则将5人分配到2个班级，有10×2=20种分配方法；其中甲班没有女生即全部为男生的情况有2种：甲班只有3名男生，则有C33=1种情况，甲班只有2名男生，则有C32=3种情况，则甲班没有女生的即全部为男生的情况有1+3=4种，则甲班至少分配1名女生的分配方案有20﹣4=16种；故答案为：16．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，可以选用间接法，避免分类讨论．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g （x）在区间（）上的值域为[﹣1，2]，则θ=．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得θ的值．．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象，可得A=﹣2，==，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，f（x）=﹣2sin（2x+）．将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）=﹣2sin（2x﹣+）=﹣2sin（2x﹣）的图象，对于函数y=g（x），当x∈（），2x﹣∈[﹣π，2θ﹣]，由于g（x）的值域为[﹣1，2]，故﹣2sin（2x﹣）的最小值为﹣1，此时，2sin （2θ﹣）=，则θ=，故答案为：．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．还考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积为S，（a2+b2）tanC=8S，且sinAcosB=2cosAsinB，则cosA=．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理化简可得：a2+b2=2c2，利用余弦定理，正弦定理化简sinAcosB=2cosAsinB可得：b2﹣a2=﹣，联立解得a2=c2，b2=c2，进而利用余弦定理即可解得cosA的值．【解答】解：∵（a2+b2）tanC=8S，可得：（a2+b2）•=4absinC，∵C∈（0，π），sinC≠0，∴a2+b2=4abcosC=4ab•=2（a2+b2﹣c2），整理可得：a2+b2=2c2，①又∵sinAcosB=2cosAsinB，∴a•=2b•，整理可得：b2﹣a2=﹣，②∴联立①②解得：a2=c2，b2=c2，∴cosA===．故答案为：．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，a3=3，且λS n=a n a n+1，在等比数列{b n}中，b1=2λ，b3=a15+1．（Ⅰ）求数列{a n}及{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}的前n（n∈N*）项和为T n，且，求T n．【分析】（I）分别令n=1，2列方程，再根据等差数列的性质即可求出a1，a2得出a n，计算b1，b3得出公比得出b n；（II）求出c n，根据裂项法计算T n．【解答】解：（Ⅰ）∵λS n=a n a n+1，a3=3，∴λa1=a1a2，且λ（a1+a2）=a2a3，∴a2=λ，a1+a2=a3=3，①∵数列{a n}是等差数列，∴a1+a3=2a2，即2a2﹣a1=3，②由①②得a1=1，a2=2，∴a n=n，λ=2，∴b1=4，b3=16，∴{b n}的公比q==±2，∴或b n=（﹣2）n+1．（Ⅱ）由（I）知，∴=，∴T n==1+﹣﹣=．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．18．（12分）某地区拟建立一个艺术搏物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标总是中随机抽取3个总题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正面回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立，互不影响的．（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式求解甲、乙两家公司共答对2道题目的概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3．求出概率，得到X的分布列求解期望；乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3．求出概率得到分布列，求出期望即可．【解答】解：（1）由题意可知，所求概率．（2）设甲公司正确完成面试的题数为X，则X的取值分别为1，2，3.，，．则X的分布列为：X123P∴．设乙公司正确完成面试的题为Y，则Y取值分别为0，1，2，3.，，，则Y的分布列为：Y0123P∴．（或∵，∴）．（）由E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y）可得，甲公司竞标成功的可能性更大．【点评】本题考查独立重复试验概率以及分布列期望的求法，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=，点E在AD上，且AE=2ED．（Ⅰ）已知点F在BC上，且CF=2FB，求证：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？【分析】（Ⅰ）推导出∠ACB=45°，从而∠ACD=45°，进而四边形ABFE是平行四边形，推导出AC⊥EF，PA⊥EF，从而EF⊥平面PAC，由此能证明平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）由PA⊥AC，AC⊥AB，知AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB 所成的角，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°，∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，∴∠ACD=45°，即AD=CD，∴，∵AE=2ED，CF=2FB，∴，∴四边形ABFE是平行四边形，则AB∥EF，∴AC⊥EF，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，∵PA∩AC=A，∴EF⊥平面PAC，∵EF⊂平面PEF，∴平面PEF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥AC，AC⊥AB，∴AC⊥平面PAB，则∠APC为直线PC与平面PAB所成的角，若PC与平面PAB所成夹角为45°，则，即，取BC的中点为G，连接AG，则AG⊥BC，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，﹣1，0），C（1，1，0），，，∴，，设平面PBE的法向量，则即令y=3，则x=5，，∴，∵是平面PAB的一个法向量，∴，即当二面角A﹣PB﹣E的余弦值为时，直线PC与平面PAB所成的角为45°．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．20．（12分）已知A是抛物线y2=4x上的一点，以点A和点B（2，0）为直径的圆C交直线x=1于M，N两点．直线l与AB平行，且直线l交抛物线于P，Q 两点．（Ⅰ）求线段MN的长；（Ⅱ）若=﹣3，且直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段MN的长；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程，利用=﹣3，求出n，直线PQ与圆C相交所得弦长与|MN|相等，求出m，即可求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（，y0），则C的方程为（x﹣2）（x﹣+y（y﹣y0）=0，令x=1，得y2﹣y0y+﹣1=0，∴|MN|=|y1﹣y2|==2；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+n，代入抛物线方程得y2﹣4my﹣4n=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4n∵=﹣3，∴x1x2+y1y2=+y1y2=﹣3，∴n2﹣4n+3=0，∴n=1或3，此时B（2，0）到直线l的距离d=．由题意，圆心C到直线l的距离等于到直线x=1的距离，∴=．∵m=，∴=64，∴=8，∴m=0，∴直线l的方程为x=3，综上，直线l的方程为x=1或x=3．【点评】本题考查直线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=e2x，g（x）=kx+1（k∈R）．（Ⅰ）若直线y=g（x）和函数y=f（x）的图象相切，求k的值；（Ⅱ）当k＞0时，若存在正实数m，使对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），得到（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，根据函数的单调性求出k的值即可；（Ⅱ）通过讨论k的范围，结合对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x恒成立以及函数的单调性求出对应的函数的单调区间，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设切线的坐标为（t，e2t），由f（x）=e2x得f′（x）=2e2x，∴切线方程为y﹣e2t=2e2t（x﹣t），即y=2e2t x+（1﹣2t）e2t，由已知y=2e2t x+（1﹣2t）e2t和y=kx+1为同一条直线，∴2e2t=k，（1﹣2t）e2t=1，令h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x，当x∈（﹣∞，0）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（0）=1，当且仅当x=0时等号成立，∴t=0，k=2，（Ⅱ）①当k＞2时，由（Ⅰ）知：存在x＞0，使得对于任意x∈（0，x0），都有f（x）＜g（x），则不等式|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于g（x）﹣f（x）＞2x，即（k﹣2）x+1﹣e2x＞0，设t（x）=（k﹣2）x+1﹣e2x，t′（x）=k﹣2﹣2e2x，由t′（x）＞0，得：x＜ln，由t′（x）＜0，得：x＞ln，若2＜k≤4，ln≤0，∵（0，x0）⊆（ln，+∞），∴t（x）在（0，x0）上单调递减，注意到t（0）=0，∴对任意x∈（0，x0），t（x）＜0，与题设不符，若k＞4，ln＞0，（0，ln）⊆（﹣∞，ln），∴t（x）在（0，ln）上单调递增，∵t（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），t（x）＞0，符合题意，此时取0＜m≤min{x0，ln}，可得对任意x∈（0，m），都有|f（x）﹣g（x）|＞2x，②当0＜k≤2时，由（Ⅰ）知e2x﹣（2x+1）≥0，（x＞0），f（x）﹣g（x）=e2x﹣（2x+1）+（2﹣k）x≥（2﹣k）x≥0对任意x＞0都成立，∴|f（x）﹣g（x）|＞2x等价于e2x﹣（k+2）x﹣1＞0，设φ（x）=e2x﹣（k+2）x﹣1，则φ′（x）=2e2x﹣（k+2），由φ′（x）＞0，得x＞ln＞0，φ′（x）＜0得x＜ln，∴φ（x）在（0，ln）上单调递减，注意到φ（0）=0，∴对任意x∈（0，ln），φ（x）＜0，不符合题设，综上所述，k的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想、是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出直线的普通方程，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，即可求点P 到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，则对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，．故点P到直线l的距离的最小值为．（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，故a的取值范围为．【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|，g（x）=a﹣|x﹣2|．（Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，求a+b的值．【分析】（Ⅰ）求出g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，f（x）的最小值4，利用关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为，代入相应函数，求出a，b，即可求a+b的值．【解答】解：（Ⅰ）当x=2时，g（x）=a﹣|x﹣2|取最大值为a，∵f（x）=|x+1|+|x﹣3|≥4，当且仅当﹣1≤x≤3，f（x）取最小值4，∵关于x的不等式f（x）＜g（x）有解，∴a＞4，即实数a的取值范围是（4，+∞）．（Ⅱ）当时，f（x）=5，则，解得，∴当x＜2时，，令，得∈（﹣1，3），∴，则a+b=6．【点评】本题考查绝对值不等式，考查不等式的解法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

河南省郑州市新郑一中分校2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

河南省郑州市新郑一中分校2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（0，2）B．[0，2]C．|0，2| D．{0，1，2}2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．下列错误的是( )A．对于p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假，则p，q均为假D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．25．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．20146．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( )A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个，其中真是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( )A．2 B．4 C．D．611．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为__________．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3•…a2014=__________．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为__________（用数字作答）．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g （x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=5时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．河南省郑州市新郑一中分校2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=( )A．（0，2）B．[0，2]C．|0，2| D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由题意可得A={x|﹣2≤x≤2}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求解答：解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则A∩B={0，1，2}故选D点评：本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A，B，属于基础试题2．已知=b+i，（a，b∈R），其中i为虚数单位，则ab=( )A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的乘除运算化简等式左边，然后由复数相等的条件求得a，b，则ab 可求．解答：解：由=，又=b+i，∴2﹣ai=b+i，则a=﹣1，b=2．∴ab=﹣2．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．下列错误的是( )A．对于p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0B．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假，则p，q均为假D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件考点：复合的真假．专题：阅读型．分析：根据：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称，其否定为全称，即：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对；根据逆否的写法进行判断B即可；P∧q为假⇒P、q不均为真．故C错误；利用充分不必要条件的判定方法即可进行D的判定．解答：解：∵：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称∴否定为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，从而得到答案．故A对B“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故②正确；C：若P∧q为假，则P、q不均为真．故③错误；D“x＞2”⇒“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故选C．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称的否定是全称，“存在”对应“任意”．本题考查的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答．4．已知函数，则的值为( )A．1 B．C．D．2考点：三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：先通过诱导公式找到规律，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，然后再利用诱导公式及周期性求解．解答：解：∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（cos+cos）+（cos+cos）=﹣（cos+cos）+（cos+cos）=0，f（5）=cosπ=﹣1；f（6）+f（7）+f（8）+f（9）=cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）+cos（π+）=﹣（cos+cos+cos+cos）=﹣[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，f（10）=cos2π=1；∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）+f（9）+f（10）=0函数的周期T==10，因此从f（1）起，每连续10项的和等于0，∴f（1）+f（2）+f（3）+…f=f+f+f=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cosf（11）+f（22）+f（33）=f（1）+f（2）+f（3）=cos+cos+cos=cos∴原式=1故选A．点评：本题主要考查函数的规律的探索，学习三角函数关键是熟练应用相关公式，将问题进行转化．5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1007 B．1008 C．2013 D．2014考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：由程序框图知：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，当n=2014时，不满足条件n＜2014，程序运行终止，此时k=2014，∴输出的S=1﹣2+3﹣4+…（﹣1）2012•2013=1+1006=1007．故选：A．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．6．若对任意角θ，都有，则下列不等式恒成立的是( )A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：先换元，对任意角θ，都有，可转化成直线与单位圆有交点，利用圆心到直线的距离小于等于半径建立不等关系即可．解答：解：设x=cosθ，y=sinθ则对任意角θ，都有，可看成直线与单位圆有交点，化简得，故选D．点评：本题主要考查了基本不等式，转化成直线和圆恒有交点，属于中档题．7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．解答：解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=则球半径R2==则该球的表面积S=4πR2=故选B点评：本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．8．设α、β是两个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列四个，其中真是( ) A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b∥β，则α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βD．若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；数形结合；综合法．分析：A选项用空间中直线的位置关系讨论；B选项用面面平行的条件进行讨论；C选项用面面垂直的判定定理进行判断；D选项用线线的位置关系进行讨论，解答：解：A选项不正确，a∥α，b∥α，两直线的位置关系可能是平行，相交、异面B选项不正确，两个平面平行于同一条直线，两平面的位置关系可能是平行或者相交．C选项正确，由b⊥β，a⊥b可得出β∥a或β⊃a，又a⊥α故有α⊥βD选项不正确，本用图形说明，如图三棱锥P﹣ABC中，侧棱PB垂直于底面，PA，PC两线在底面上的投影垂直，而两线不垂直．故选C点评：本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了面面垂直的判定面面平行的判定，考查了空间想像能力．9．若不等式组表示的平面区域为M，x2+y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为( )A．B．C．D．考点：几何概型；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：分别求出不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB的面积及区域N的为图中的阴影部分面积为，代入几何概率的计算公式可求．解答：解：不等式组表示的平面区域为M，即为图中的三角形OAB，A（）B（4，4）设y=2x﹣4与x轴的交点为M（2，0）S△AOB=S OBM+S△OAM=区域N的为图中的阴影部分，面积为由几何概率的计算公式可得P=故选C点评：本题主要考查了几何概率的求解，还考查了线性规划的知识，属于简单综合．10．已知点O为△ABC的外心，且则=( )A．2 B．4 C．D．6考点：平面向量数量积的运算；三角形五心．专题：计算题．分析：先根据向量的线性运算，直接表示中根据向量的数量积运算可求得最后结果．解答：解：因为点O为△ABC的外心，取P为AC的中点．且，∴•====（）（）=（||2﹣||2）=16﹣4）=6．故选D．点评：本题主要考查向量的线性运算和数量积运算．2015届高考对向量的考查一般以基础题为主，平时要注意基础题的练习．11．如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l 与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；解三角形；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．解答：解：由△BAF2为等边三角形，设A为右支上一点，且AF2=t，则AB=BF2=t，由双曲线的定义可得，AF2﹣AF1=2a，BF1﹣BF2=2a，BF1=AB+AF1，即有t+2a=2t﹣2a，解得，t=4a，AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，由余弦定理可得，F1F22=AF12+AF22﹣2AF1•AF2cos60°，即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，即为4c2=28a2，则有e==．故选D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数m满足∀x∈M（M⊆D），均有x+m∈D，且f（x+m）≥f（x），则称f（x）为M上的m高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围是( )A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．[﹣2，2]D．（﹣2，2）考点：函数最值的应用．专题：作图题；新定义．分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，画出函数图象，根据高调函数的定义可知4≥3a2﹣（﹣a2），解之即可求出a的取值范围．解答：解：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2=，根据解析式和函数是奇函数进行画图，图象如右图，∵f（x）为R上的4高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+4）≥f（x），4大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），∴4≥3a2﹣（﹣a2），∴﹣1≤a≤1，即实数a的取值范围是[﹣1，1]．故选A．点评：本题主要考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置上．13．若的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为21．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项式系数和为2m，列出方程求出m；利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出展开式中含的系数．解答：解：∵展开式中二项式系数之和为2m∴2m=128解得m=7∴=展开式的通项为令解得r=6故展开式中的系数为3C76=21故答案为21点评：本题考查二项式系数的性质：二项式系数和为2n、考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1•a2•a3• (2014)﹣6．考点：数列递推式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由递推关系式，分析得到数列{a n}的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．解答：解：由递推关系式，得a n+2=﹣，a n+4=a n．∴{a n}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1=2，a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2014=1×a2013•a2014=a1•a2=﹣6．故答案为：﹣6．点评：递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．15．已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是＜a≤1．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：数形结合．分析：由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．解答：解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．16．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三．解答题（本小题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，b=2，求△ABC的面积S．考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，整理后可求得sinC和sinA的关系式，则的值可得．（Ⅱ）先通过余弦定理可求得a和c的关系式，同时利用（Ⅰ）中的结论和正弦定理求得a 和c的另一关系式，最后联立求得a和c，利用三角形面积公式即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理设则===整理求得sin（A+B）=2sin（B+C）又A+B+C=π∴sinC=2sinA，即=2（Ⅱ）由余弦定理可知cosB==①由（Ⅰ）可知==2②再由b=2，①②联立求得c=2，a=1sinB==∴S=acsinB=点评：本题主要考查了解三角形和三角函数中恒等变换的应用．考查了学生基本分析问题的能力和基本的运算能力．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，侧面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中点．（1）求证：PO⊥平面ABCD；（2）求证：PA⊥BD（3）若二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，求PB的长．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：计算题；证明题．（1）由已知中，PB=PC，O是BC的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质，可得PO⊥BC，分析：结合侧面PBC⊥底面ABCD，由面面垂直的性质定理可得PO⊥平面ABCD；（2）以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t，分别求出直线PA与BD 的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到PA⊥BD（3）分别求出平面DPA与平面PAO的法向量，根据二面角D﹣PA﹣O的余弦值为，代入向量夹角公式，构造关于t的方程，解方法即可得到PB的长．解答：解：（1）证明：因为PB=PC，O是BC的中点，所以PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，PO⊂平面PBC，面PBC∩底面ABCD=BC，所以PO⊥平面ABCD．…（2）证明：以点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设OP=t（t＞0），则P（0，0，t），A（1，2，0），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣t），=（﹣2，1，0），因为•=0，所以⊥，即PA⊥BD．…（3）设平面PAD和平面PAO的法向量分别为=（a，b，c），=（x，y，z），注意到=（﹣1，1，﹣t），=（1，2，0），=（0，0，t），由，令a=1得，=（1，﹣2，），由令y=﹣1得，=（2，﹣1，0），所以cos60°===，解之得t=，所以PB==2为所求．…点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直、线面垂直及面面垂直之间的相互转化，（2），（3）的关键是建立空间坐标系，将空间中直线与平面之间的关系及夹角转化为向量的夹角．19．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85）[85，90）后得到如图的频率分布直方图．问：（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中车速在[65，70）的车辆数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．考点：离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，由此能求出众数的估计值，设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，由此能求出中位数的估计值．（2）从图中可知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及其均值．解答：解：（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值为：77.5．设图中虚线所对应的车速为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位数的估计值为77.5．（2）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数为：m1=0.01×5×40=2（辆），车速在[65，70）的车辆数为：m2=0.02×5×40=4（辆），∴ξ=0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为ξ0 1 2P均值E（ξ）==．点评：本题考查车速的众数和中位数的估计值的求法，考查离散型随机变量的分布列的均值的求法，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆E上一点到两个焦点距离之和为4；l1，l2是过点P（0，2）且互相垂直的两条直线，l1交E于A，B两点，l2交E交C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范围；（Ⅲ）求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设椭圆的标准方程，根据离心率求得a和c关系，进而根据a求得b，则椭圆的方程可得．（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零设直线l1和l2的方程，分别于椭圆方程联立消去y，根据判别式求得k的范围，最后综合可得答案．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），根据韦达定理求得x0和y0的表达式，进而表示M和N的坐标，最后表示出根据k的范围确定答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，由∴椭圆方程为；（2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零∵，∴．由消去y并化简整理，得（3+4k2）x2+16kx+4=0根据题意，△=（16k）2﹣16（3+4k2）＞0，解得．同理得，∴；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）那么，∴，∴同理得，即∴∵，∴∴即的取值范围是．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．21．已知x＞，函数f（x）=x2，h（x）=2e lnx（e为自然常数）．（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）；（Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g （x）的“边界”．已知函数g（x）=﹣4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；新定义．分析：（I）把两个函数相减构造新函数，求函数的导数，使得导数大于0，得到函数的函数的单调区间，求出函数的最小值，最小值等于0，得到两个函数之间的大小关系．（II）构造新函数v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，v（x）≥0恒成立”与“函数f （x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，利用导数求出新函数的单调区间和最值，求出两个函数同时成立时p，q的值．解答：解：（I）证明：记u（x）=f（x）﹣h（x）=x2﹣2elnx，则，令u'（x）＞0，注意到，可得，所以函数u（x）在上单调递减，在上单调递增．，即u（x）≥0，∴f（x）≥h（x）．（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对恒成立，当且仅当时等号成立，记v（x）=h（x）﹣g（x）=2elnx+4x2﹣px﹣q，则“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即v（x）≥0对恒成立，当且仅当时等号成立，所以函数v（x）在时取极小值，注意到，由，解得，此时，由知，函数v（x）在上单调递减，在上单调递增，即=0，q=﹣5e，综上，两个条件能同时成立，此时．点评：本题考查函数的导数在最值中的应用，解题的关键是构造新函数，利用函数恒成立的思想解决问题，注意本题的运算也比较多，不要在这种运算上出错．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．选修4-5：平面几何选讲（本小题10分）22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题．分析：（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．解答：证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE点评：本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-5：坐标系与参数方程．23．已知直线C1（t为参数），C2（θ为参数），（Ⅰ）当α=时，求C1与C2的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用；直线的参数方程；圆的参数方程．专题：综合题；压轴题．分析：（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线．解答：解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为，C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）．（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．则OA的方程为xcosα+ysinα=0②，联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα），故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：，P点轨迹的普通方程．故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．点评：本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．。

河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考理数试题含解析

河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1。

已知集合1122A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，,{}2B y y x x A ==∈，，则A B =（） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B ．{}2 C ．{}1 D ．φ【答案】C考点：集合运算．2.在复平面内，复数21i i-+（i 是虚数单位）对应的点位于( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析:21i i -+i i i 23212)1)(2(-=--=，故对应点在第四象限. 考点：复数几何意义．3.设R a ∈,则“1a =-”是“直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行"的（ )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若1a =-，则直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，充分性成立；若直线10ax y +-=与直线50x ay ++=平行，则0=a 或1-=a ，必要性不成立.考点：充分必要性．4。

在ABC △中,D 为BC 边的中点,若()20BC =，，()14AC =，,则AD =( )A ．()24--，B ．()04-，C 。

()24，D ．()04，【答案】D【解析】试题分析:)4,0()0,1()4,1(21=-+=+=CB AC AD 。

考点:平面向量运算．5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位,所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（）A ．34π B ．4π C.0 D ．4π- 【答案】B考点：三角函数的性质．6.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（）A ．310cmB ．320cmC 。

河南省2017届高三数学诊断试卷理科b卷含解析精品

2017年河南省高考数学诊断试卷（理科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|（x﹣2）（x+6）＜0}，B={x|y=}，则A∩B=（）A．（﹣6，1）B．（﹣6，1] C．（1，2）D．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）10．三棱锥D﹣ABC中，AB=CD=，其余四条棱长均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（）A．14π B．7πC．21π D．28π11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于M，N 两点，若MR⊥l，垂足为R，且∠NRM=∠NMR，则直线MN的斜率为（）A．±8 B．±4 C．±2D．±212．已知关于x的方程|2x3﹣8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|= ．14．（ +）8的展开式中的常数项等于．（用数字填写答案）15．已知实数x，y满足，则的取值范围为．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=若S3n≤λ•3n﹣1恒成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题17．已知△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1﹣cos2B）=8sinBsinC，A+=π．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若点D在线段BC上，且BD=6，c=5，求△ADC的面积．18．已知菱形ABCD如图（1）所示，其中∠ACD=60°，AB=2，AC与BD相交于点O，现沿AC 进行翻折，使得平面ACD⊥平面ABC，取点E，连接AE，BE，CE，DE，使得线段BE再平面ABC 内的投影落在线段OB上，得到的图形如图（2）所示，其中∠OBE=60°，BE=2．（Ⅰ）证明：DE⊥AC；（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．19．某省组织了一次高考模拟考试，该省教育部门抽取了1000名考生的数学考试成绩，并绘制成频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求样本中数学成绩在95分以上（含95分）的学生人数；（Ⅱ）已知本次模拟考试全省考生的数学成绩X～N（μ，σ2），其中μ近似为样本的平均数，σ2近似为样本方差，试估计该省的所有考生中数学成绩介于100～138.2分的概率；（Ⅲ）以频率估计概率，若从该省所有考生中随机抽取4人，记这4人中成绩在C．（1，2）D．．故选：B．2．已知实数m，n满足=4+6i，则在复平面内，复数z=m+ni所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得m，n的值得答案．【解答】解：由=4+6i，得5+mi=（4+6i）（n﹣2i）=4n+12+（6n﹣8）i，∴，解得m=﹣，n=．∴复数z=m+ni所对应的点的坐标为（），位于第三象限．故选：C．3．已知各项均不相等的等比数列{a n}中，a2=1，且a1，a3， a5成等差数列，则a4等于（）A．B．49 C．D．7【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意可得q≠±1，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q2，再由a4=a2q2，计算即可得到所求值．【解答】解：设各项均不相等的等比数列{a n}的公比为q（q≠±1），a2=1，可得a1q=1，①a1，a3， a5成等差数列，可得2a3=a1+a5，即为2a1q2=a1+a1q4，②由①②解得q2=（1舍去），则a4=a2q2=．故选：C．4．已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）=1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用f（0）=0，求出b，确定f（2）=3，函数在R上单调递增，利用函数的单调性，即可求出|f（x）|＞3的解集．【解答】解：由题意，f（0）=1+b=0，∴b=﹣1，∴f（x）=1og2（x+2）+x﹣1，∴f（2）=3，函数在R上单调递增，∵|f（x）|＞3，∴|f（x）|＞f（2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．5．数学名著《算学启蒙》中有如下问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．”如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b的值分别为16，4，则输出的n的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=4，n=1，a=24，b=8，不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=2，a=36，b=16不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=3，a=54，b=32不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=4，a=81，b=64不满足循环的条件a≤b，执行循环体，n=5，a=，b=128满足循环的条件a≤b，退出循环，输出n的值为5．故选：B．6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．12 B．14 C．16 D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知三视图得到几何体为三棱锥，关键网格数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体如图三棱锥A﹣BCD，由网格数据得到该几何体的体积为=18；故选：D．7．如图所示，已知AB，CD是圆O中两条互相垂直的直径，两个小圆与圆O以及AB，CD均相切，则往圆O内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为（）A．12﹣8B．3﹣2C．8﹣5D．6﹣4【考点】CF：几何概型；67：定积分．【分析】由题意，本题是几何概型，只要利用阴影部分的面积与圆O的面积比求概率．【解答】解：设小圆半径为r，则圆O的半径为r+r，由几何概型的公式得到：往圆O 内投掷一个点，该点落在阴影部分的概率为：r+；故选：D．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P满足|PF1|﹣|PF2|=2a，若+=，且M（0，b），则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程得到a，b 的关系式，然后求解渐近线方程．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P 满足|PF1|﹣|PF2|=2a，若+=，且M（0，b），可得P（c，2b），则：，解得c2=5a2，可得b2=4a2，即b=2a，双曲线C的渐近线方程为：y=±2x．故选：A．9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），将函数y=|f（x）|的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称，则当ω取最小值时，g（x）=cos（ωx+）的单调递减区间为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先化简三角函数式，然后根据平移以及对称得到ω最小值，然后由题意求单调区间．【解答】解：函数f（x）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx），（ω＞0），将函数y=|f（x）|的图象向左平移个单位长度后得到函数解析式为|sin，又图象关于y轴对称，所以，k∈Z，则当ω取最小值时为，所以g（x）=cos（x+）的单调递减区间由2kπ≤x≤2kπ+π，解得，k∈Z；所以当ω取最小值时，g（x）=cos（ωx+）的单调递减区间为[]；故选D．10．三棱锥D﹣ABC中，AB=CD=，其余四条棱长均为2，则三棱锥D﹣ABC的外接球的表面积为（）A．14π B．7πC．21π D．28π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段，由条件可知，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，求出球的半径，再求球的表面积．【解答】解：分别取AB，CD的中点E，F，连接相应的线段CE，ED，EF，由条件，AB=CD=，BC=AC=AD=BD=2，可知△ABC与△ADB都是等腰三角形，AB⊥平面ECD，∴AB⊥EF，同理CD⊥EF，∴EF是AB与CD的公垂线，球心G在EF上，可以证明G为EF中点，（△AGB≌△CGD），，DF=，EF=，半径，∴外接球的表面积为4π×DG2=7π．故选：B．11．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于M，N 两点，若MR⊥l，垂足为R，且∠NRM=∠NMR，则直线MN的斜率为（）A．±8 B．±4 C．±2D．±2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过N作NQ⊥l，交l于Q，NH⊥MR，交MR于H，利用抛物线的定义及等腰三角形的性质，根据勾股定理即可求得线MN的斜率．【解答】解：过N作NQ⊥l，交l于Q，NH⊥MR，交MR于H，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MR丨，丨NF丨=丨MQ丨，由∠NRM=∠NMR，则△MNR为等腰三角形，∴丨MQ丨=丨RH丨=丨MH丨=丨MR丨，则丨MN丨=丨MF丨+丨NF丨，∴丨MN丨=3丨NQ丨，即丨MN丨=3丨MH丨，则丨NH丨==2丨MH丨则tan∠NMR==2，则直线的倾斜角α=∠NMR，则直线MN的斜率k=±tanα=2，故选C．12．已知关于x的方程|2x3﹣8x|+mx=4有且仅有2个实数根，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|2x3﹣8x|和y=4﹣mx的函数图象，根据图象交点个数判断直线y=4﹣mx的斜率的范围，从而得出m的范围．【解答】解：由|2x3﹣8x|+mx=4得|2x3﹣8x|=4﹣mx，作出y=|2x3﹣8x|和y=4﹣mx的函数图象，当0＜x＜2时，y=|2x3﹣8x|=﹣2x3+8x，若直线y=4﹣mx经过点（﹣2，0），则﹣m=2，即m=﹣2，若直线y=4﹣mx与y=﹣2x3+8x相切，切点坐标为（x0，y0），则，解得x0=1，y0=6，m=﹣2，由图象的对称性可知，若直线y=4﹣mx与y=|2x3﹣8x|的图象有2个交点，∴﹣m＞2或﹣m＜﹣2，即m＜﹣2或m＞2．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则|2+|= 13 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的垂直与向量数量积的关系可得若⊥，则有•=2m﹣18=0，解可得m的值，即可得的坐标，从而可得向量2+的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，向量=（2，3），=（m，﹣6），若⊥，则有•=2m﹣18=0，解可得m=9，则=（9，﹣6），故2+=（13，0）；故|2+|=13；故答案为：13．14．（ +）8的展开式中的常数项等于7 ．（用数字填写答案）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：（ +）8的展开式中的通项共公式为T r+1=••，令=0，求得 r=2，可得展开式的常数项为•=7，故答案为：7．15．已知实数x，y满足，则的取值范围为（﹣∞，]∪∪∪，整理得：（ +1）2=，即（）2=，解得：t2=10，则t=±，∴直线l的方程x=±y+1，即y=±（x﹣1）．直线l的方程y=±（x﹣1）．21．已知函数f（x）=lnx+x+．（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a+1在（0，+∞）上恒成立，求a的值．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）由已知得f（x）=lnx+x﹣，从而f′（x）=，利用导数的几何意义能求出切线方程．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a﹣1=lnx+x+﹣a﹣1，则=，由a≤0和a＞0分类讨论，得到要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，需且只需g（x）min=≥0，令μ（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，则=，利用导数性质列表讨论经，得到lnx0﹣x02+x0≤0，由此能求出a．【解答】解：（Ⅰ）依题意，f（x）=lnx+x﹣，∴f′（x）=，∴f′（1）=4，又f（1）=﹣1，∴所求切线方程为4x﹣y﹣5=0．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a﹣1=lnx+x+﹣a﹣1，则=，①当a≤0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵g（1）=0，∴当x∈（0，1）时，g（x）＜0，故不满足题意．②当a＞0时，由g′（x）=0，得x2+x﹣a=0，此方程有唯一正根x0，∴a=，（*）当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：∴g（x）min=g（0）===，要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，需且只需g（x）min=≥0，①令μ（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，则=，当x变化时，μ′（x），μ（x）的变化情况如下表：∴μmax=μ（1）=0，即lnx0﹣x02+x0≤0，②由①②得lnx0﹣x02+x0=0，∴x0=1，结合（*）得a=，综上所述，a=2．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1，C2交于O，A两点，过O点且垂直于OA的直线与曲线C1，C2交于M，N两点，求|MN|的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系可得普通方程．利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程．曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，利用互化公式可得：曲线C2的直角坐标方程．（II）联立，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ=，cosθ=，则M，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1．N，代入ρ=sinθ，可得：ρ2．可得：|MN|=ρ1+ρ2．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（φ为参数），利用平方关系可得：（x﹣1）2+y2=1，化为x2+y2﹣2x=0．利用互化公式可得：曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ，可得：ρ2=ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=y．（II）联立，可得tanθ=2，设点A的极角为θ，则tanθ=2，可得sinθ=，cosθ=，则M，代入ρ=2cosθ，可得：ρ1=2cos=2sinθ=．N，代入ρ=sinθ，可得：ρ2=sin=cosθ=．可得：|MN|=ρ1+ρ2=．五、选修4-5：不等式选讲23．已知不等式＞x的解集为（﹣∞，m）．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若关于x的方程|x﹣n|+|x+|=m（n＞0）有解，求实数n的值．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质得到关于n的不等式，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：＞x，故|x+3|﹣2x﹣1＞0，故或，解得：x＜2，故m=2；（Ⅱ）由题意得|x﹣n|+|x+|=2有解，∵|x﹣n|+|x+|≥|（x﹣n）﹣（x+）|=|n+|=n+≥2，当且仅当n=1时”=“成立，故n=1．2017年6月22日。

2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测

2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测一、选择题（共12小题；共60分）1. 设，，，则A. B.C. D.2. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为A. B. C. D.3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织尺布，现在一个月（按天计）共织尺布．则该女最后一天织多少尺布?A. B. C. D.5. 我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为，则由此可估计的近似值为A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.7. 设，则的展开式中常数项是A. B. C. D.8. 函数的图象大致为A. B.C. D.9. 已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为A. B. C. D.10. 设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为A. B. C. D.11. 已知直线与双曲线相切于点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，则的值为A. B.C. D. 与的位置有关12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则．14. 已知实数，满足不等式组则的最小值为．15. 过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则．16. 若函数满足：，都有，且，，则．三、解答题（共7小题；共91分）17. 巳知的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，求的面积．18. 如图，已知四棱锥，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19. 北京时间月日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于分钟的学生称为“围棋迷”．附：，其中．（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?非围棋迷围棋迷合计男女合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取名学生，抽取次，记被抽取的名学生中的“围棋迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．20. 已知圆（）与直线相切，设点为圆上一动点，轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与直线垂直且与曲线交于，两点，求（为坐标原点）面积的最大值．21. 设函数．（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证：．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为的圆．（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．23. 已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）求的最小值．答案第一部分 1. B2. D【解析】依题意得，则复数的共轭复数为． 3. A 【解析】依题意得，命题“ ，”的否定是“ ， ”．4. C【解析】依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为，其中，前项和为，于是有，解得，即该织女最后一天织尺布． 5. B【解析】在空间直角坐标系中，不等式组表示的区域是棱长为的正方体区域，相应区域的体积为；不等式组表示的区域是棱长为的正方体区域内的球形区域，相应区域的体积为，因此，即． 6. B【解析】如图所示，题中的几何体是从直三棱柱中截去一个三棱锥后所剩余的部分，其中底面是直角三角形，，，，，因此题中的几何体的体积为7. A【解析】依题意得，，的展开式的通项．令，得．因此的展开式中的常数项为． 8. C【解析】依题意，注意到，因此函数是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当时，，，，因此结合选项知，C 正确．9. D 【解析】依题意得，当时，，又，因此，，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前项和等于，因此实数的取值范围是．10. C【解析】依题意得，，，即，当且仅当即时，取等号，因此的最小值是，，的最大值是．11. A 【解析】依题意，设点，，，其中，则直线的方程是，题中双曲线的两条渐近线方程为，即．①当时，直线的方程是或．由得此时，同理可得当直线的方程是时，．②当时，直线的方程是．由得，（）又，因此（）即是，，，．综上所述，．12. B 【解析】通解依题意得，对任意的恒成立．令，则，令，则，所以函数在上单调递增．因为，，所以方程在上存在唯一实数根，且满足，即有，．当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以所以．故整数的最大值是．优解依题意得，当时，，即，因此满足题意的最大整数的可能取值为．当时，记，即，则，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增．因此，的最小值是，于是有恒成立．所以满足题意的最大整数的值是．第二部分13.【解析】依题意得，．14.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，即．15.【解析】依题意，设点，，题中的抛物线的焦点坐标是，直线的方程为，即．由消去得，即，，．16.【解析】通解依题意，在已知等式中，取，，得．取，，得，，由此归纳猜想．下面用数学归纳法证明的正确性．①当时，成立．②假设当时，均成立，则取，，得，即当时，成立．综上所述，，因此．优解由已知得．取，易验证满足．由，得由此解得，，故，．第三部分17. （1）因为，所以，，．所以．（2）由，得，，即，又，所以，解得或舍去．所以．18. （1）在中，由于，，，所以，故．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，令，则，，所以．设平面的法向量，令，所以．所以，所以二面角的余弦值为．19. （1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“围棋迷”有人，从而列联表如下：非围棋迷围棋迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有的把握认为“围棋迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为，将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名“围棋迷”的概率为．由题意知，，从而的分布列为：，．20. （1）设动点，，因为轴于，所以，由题意得，，所以圆的方程为．因为，所以，即将代入圆中，得动点的轨迹方程为．（2）由题意，设直线，，，联立直线与椭圆的方程得消去，得，，解得，，又点到直线的距离，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故面积的最大值为．21. （1）令，，则，，．①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即，不符合题意；③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即，不符合题意．综上可知，所求实数的取值范围是．（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意大于的正整数，不等式恒成立，等价于，相当于（）的③中，的情形，在上单调递减，即，取，都有成立，令，原不等式得证．22. （1）消去参数可得的普通方程，曲线的圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为．（2）设，曲线的圆心为，则因为，所以，．根据题意可得，，即的取值范围是．23. （1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，又，，所以，所以的最小值为，所以．（2）由（）知，，，当且仅当，时，的最小值为．。

河南省郑州市第一中学2017届高三4月模拟调研数学(理)试题含答案

河南省郑州市第一中学2017届高三4月模拟调研数学（理)试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|||4A x x ==，{|3B x R z xi =∈=+，且}||5z =（i 为虚数单位），则A B =（）A ．()4,4-B ．(){}4,4-C ．4或4-D ．{}4,4-2.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干,子、丑、寅、卯、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表"。

2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的（）A ．丁酉年B ．戊未年C ．乙未年D ．丁未年 3.点)3,4在直线:10l ax y -+=上，则直线l 的倾斜角为（）A ．30 B ．45 C ．60 D ．120 4.已知函数()(){}()()()()()()()(),max ,,f x f xg x y f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩则{}max sin ,cos y x x =的最小值为（ )A ．2-B ．2- C. 2D 2 5.已知数列{}na 的通项公式为()23nan n N *=+∈,数列{}nb 的前n 项和为()2372n n n S n N *+=∈，则两个数列的公共项顺次构成一个新数列{}nc ，则满足2012mc<的最大整数m 的值为（）A ．335B ．336 C. 337D ．3386.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ）A ．1136B ．3C 。

533D ．4337。

如图,给出抛物线和其对称轴上的四个点P 、Q 、R 和S ，则抛物线的焦点是（）A ．点PB ．点Q C. 点R D ．点S 8.点(),M x y 在圆()2221xy +-=上运动，则224xy x y+的取值范围是( ）A ．11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．{}11,,044⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C 。

郑州市2017年高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题(含答案)

19．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中， “围棋迷”有 25 人，…1 分从而 2 2 列联表如下：非围棋迷 30 45 75 围棋迷 15 10 25 合计 45 55 100 ……………3 分将 2 2 列联表中的数据代入公式计算，得
男女合计
K2
x0 x, y0 2 y,
2 2
将 A( x, 2 y) 代入圆 M : x y 4 ,得动点 N 的轨迹方程
x2 y 2 1 ，……………5 分 4 x2 y 2 1, 4
(Ⅱ)由题意设直线 l 3 x y m 0, 设直线 l 与椭圆交于
y 3x m, 2 2 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ，联立方程 2 得 13x 8 3mx 4m 4 0 ， 2 x 4 y 4, 192m2 4 13(4m2 4) 16(m2 13) 0 ，解得 m2 13 ， 8 3m 16(m2 13) 4 3m 2 13 m2 x1,2 ， 26 13

AC 0, 4, 0 , ……………8 分
设平面 SBC 的法向量 n x1 , y1 , z1 ,

n BC 0 2 x1 4 y1 0 由 n CS 0 x1 4 y1 3 z1 0
2017 年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 11.A 12.B. 二、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20，把答案填在答题卷的横线上 13. 2 3; 14. 13; 15.

河南省郑州市第一中学2017届高三上学期第一次质量检测

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B2. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D3. 命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】特称命题的否定为全称，故“，”的否定是：，，故选A.4. 《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？A. B. C. D.【答案】C5. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A. 3.119B. 3.126C. 3.132D. 3.151【答案】B6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边边长为和，三棱柱的高为，三棱锥的底面是直角三角形，两直角边为和，三棱锥的高为，所以几何体的体积，故选B.7. 设，则的展开式中常数项是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【解析】,所以展开式的通项为：，令，常数项是，故选A.8. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C9. 已知数列满足（），且对任意都有，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D10. 设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设因为，，且，则当且仅当，即时取等号，所以故选C.点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.11. 已知直线与双曲线相切于点，与双曲线两条渐进线交于，两点，则的值为（）A. B. C. D. 与的位置有关【答案】A所以，化简得解得：，解得：，，将代入得，故选A.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B令，则所以函数在上单调递增.因为所以方程在上存在唯一实根，且满足当时，，即，当时，，即所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以=所以，因为，故整数的最大值为，故选B.点睛：不等式恒成立问题常用变量分离的方法，即将变量与参数分开来看，转化为参数与函数与最值的不等式即可，本题中通过求导找到的极值点是不可求的，此时，利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则__________．【答案】14. 已知实数，满足不等式组则的最小值为__________．【答案】点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15. 过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于、两点，则__________．【答案】16. 若函数满足、，都有，且，，则__________．【答案】【解析】根据题意得：，令，得到；令，得到，则有：，猜想：，下面用数学归纳法证明此猜想：①当时，显然成立；②假设当成立，则，所以综上可得：；所以 .故本题正确答案为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）根据正弦定理即可计算；（2）由正弦定理得到，再由余弦定理以及题目条件得到关于的方程，解出，代入三角形面积计算公式即可.18. 如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.试题解析：（1）证明：在中，由于, ∴,故．又，，∴平面，又，故平面平面．（2）如图建立空间直角坐标系，，，，，，，．设平面的法向量,由令, ∴．设平面的法向量,由，令，∴．，∴二面角的余弦值为19. 北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”．（1）根据已知条件完成如图列联表，并据此资料判断你是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记所抽取的3名学生中的“围棋迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．附：，其中．【答案】见解析.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图补充列联表，再将列联表中的数据代入公式计算即可；（2）依题意得到，可以写出的分布列，再进行计算即可。

河南省郑州市高三数学第一次质量检测试题理

2016年高中毕业年级第一次质量预测理科数学参考答案一、选择题ADBCC BDA AA DD二、填空题 13.60； 14.;24π 15. 3;216.42 2.+三、解答题（共70分）17.⑴解：由已知条件:1(1)221,nS n n n=+-⨯=-22n S n n ∴=------2分当2n ≥时，()()221=22114 3.-⎡⎤=------=-⎣⎦n n n a S S n n n n n当1n =时，111,a S ==而4131⨯-=，43n a n ∴=-，------6分 ⑵解：由⑴可得()(1)(1)43,=-=--n n n n b a n -----7分当n 为偶数时，()1591317......4342,2n nT n n =-+-+-++-=⨯= ---9分当n 为奇数时，1n +为偶数112(1)(41)2 1.n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+ ---11分综上，2,(2,),21,(21,).N N **⎧=∈⎪=⎨-+=-∈⎪⎩n n n k k T n n k k --------12分18.⑴解：设下周一有雨的概率为p ，由题意，20.36,0.6p p ==， -------2分基地收益X 的可能取值为20,15,10,7.5，则(20)0.36,(15)0.24,(10)0.24,(7.5)0.16,P X P X P X P X ======== 所以基地收益X 的分布列为：-------6分基地的预期收益()200.36150.24100.247.50.1614.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，所以，基地的预期收益为14.4万元.---------8分 ⑵设基地额外聘请工人时的收益为Y 万元，则其预期收益()200.6100.416E Y a a =⨯+⨯-=-（万元），--------10分()() 1.6E Y E X a -=-，综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.------12分X 20 15 10 7.5 p0.36 0.24 0.24 0.1619.⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点，因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，又因为AC ⊄平面MDF ，MN ⊂平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .-----4分⑵解：因为平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF I 平面ABCD CD =，DE ⊂平面CDEF ，DE CD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，------6分以D 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设,DA a DE b ==，(,,0),(0,0,),(0,2,0),(0,2,)B a a E b C a F a b ，(,,),(0,2,),(,,0)BE a a b DF a b BC a a =--==-u u u r u u u r u u u r，因为BE DF ⊥，所以22(,,)(0,2,)20BE DF a a b a b b a ⋅==--⋅=-=u u u r u u u r ，2b a =，--8分设平面EBC 的法向量(,,)m x y z =u r ，由20,m BE ax ay az m BC ax ay⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩u r u u u ru r u u u r得到m u r 的一个解为(1,1,2)m =u r ，注意到平面EAD 的法向量(0,1,0)n =r，--10分而1cos ,,2||||⋅<>==⋅u r ru r r ur r m n m n m n 所以，平面EAD 与EBC 所成锐二面角的大小为60o .12分20.⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，2222(1)3(1)x y x y ++=-+， -----2分整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=，为所求.-----4分⑵解：由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ，设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+，由2,y x y x t =-⎧⎨=-+⎩，解得点22(,)22t t P +-，-----6分由圆的几何性质，221||||||||2NP CD ED EP ==-，而22222||(1)()22t t NP +-=-+，2||3ED =，22||()2EP =，解之得0t =或3t =，又,C D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y x =-.由22410,,⎧+-+=⎨=-⎩x y x y x 解得21,21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或21,2 1.⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩x y 不失一般性，设2222(1,1),(1,1)2222C D --+--， --9分由22410,(1)x y x y u x ⎧+-+=⎨=-⎩消y 得：2222(1)2(2)10u x u x u +-+++=，⑴ 方程⑴的两根之积为1，所以点A 的横坐标22A x =+，又因为点22(1,1)22C --在直线1:10l x my --=上，解得21m =+，直线1:(21)(1)l y x =--，所以(22,1)A +，--11分同理可得，(22,1)B -，所以线段AB 的长为22. --12分21.⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2()x mf x x-'=，当0m ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；--2分当0m >时，()()()x m x m f x x+-'=；当0x m <<时，()0f x '<，函数()f x 的单调递减；当x m >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增.综上：当0m ≤时，函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无减区间；当0m >时，函数()f x 的单调增区间是(,)m +∞，减区间是(0,)m .----4分⑵解：令21()()()(1)ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->，问题等价于求函数()F x 的零点个数， ----5分当0m =时，21(),02F x x x x =-+>，有唯一零点；当0m ≠时，(1)()()x x m F x x--'=-，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，注意到3(1)02F =>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；--7分当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>，所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增，注意到1(1)02F m =+>， (22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点； ----9分当01m <<时，0x m <<或1x >时()0F x '<，1m x <<时()0F x '>，所以函数()F x 在(0,)m 和(1,)+∞单调递减，在(,1)m 单调递增，意到ln 0m <，所以()(22ln )02mF m m m =+->，而(22)ln(22)0F m m m +=-+<，所以()F x 有唯一零点. ---11分综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ---12分22.⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，∠=∠=EFC CDA ∠+∠BAE CBA ，AE 平分BAC ∠，所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =.---4分 ⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠，所以CEA DEC ∆∆:，即2,CE DE EC EA EA CE DE==，---6分由⑴知，3EC EF ==，所以92EA =， ---8分所以45()4AC AF AD AE AE DE AE ⋅=⋅=-⋅=. ---10分23.⑴解：()π22cos 2cos sin 4ρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，----------2分即()22cos sin ρρθρθ=+，可得22220x y x y +--=，故2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=.----------5分⑵解：1C 的直角坐标方程为320x y ++=，由⑴知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离()2213233213d +++==+， ----------8分所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为33222++.----------10分24.⑴解：当2x >时，原不等式可化为211x x --->，此时不成立；当12x -≤≤时，原不等式可化为211x x --->，即10x -≤<，当1x <-时，原不等式可化为211x x -++>,即1x <-，-----3分综上，原不等式的解集是{}|0x x <．-----5分⑵解：因为1()121g x ax a x=+-≥，当且仅当a x = 所以min ()21g x a =，-----7分12,02,()3,2x x f x x -<≤⎧=⎨->⎩，所以()[3,1)f x ∈-，∴211a ≥,即1a ≥为所求．---10分。

河南省郑州市2017届高中毕业年级第一次质量预测(理数)

河南省郑州市2017届高中毕业年级第一次质量预测数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|21x M x x N x =<=>，则M N =I （）A ．∅B ．{}|01x x <<C ．{}|0x x <D ．{}|1x x < 2.若复数z 满足)23i z i +=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（） A 2i + B 2i C ．12i + D ．12i3.命题“2000,10x R x x ∃∈-->”的否定是（） A ．2,10x R x x ∀∈--≤ B ．2,10x R x x ∀∈-->C ．2000,10x R x x ∃∈--≤D ． 2000,10x R x x ∃∈--≥4.《张丘建算经》卷上第22 题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A ．18B ．20 C. 21 D ．255.我们可以用随机数法估计π的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()0,1内的任何一个实数），若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（）A ．3.119B ．3.126 C. 3.132 D ．3.1516.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．80B ．160 C. 240 D ．480 7.设0sin a xdx π=⎰，则61ax x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是（）A ．-160B ．160 C. -20 D ．208.函数()12cos 12xxf x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图像大致为（） 9.已知数列{}n a 满足()2*1232n n a a a a n N =∈L ，且对任意*n N∈都有12111nt a a a +++<L ，则实数t 的取值范围为（） A ．),31(+∞ B ．[+∞,31) C.),32(+∞ D ．),32[+∞10.设正实数,y x 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（）A ．2B ．42 C. 8 D ．1611.已知直线l 与双曲线2214x y -=相切于点,P l 与双曲线两条渐近线交于,M N 两点，则ON OM ⋅的值为（）A ． 3B ．4 C. 5 D ．与P 的位置有关12.已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()1k x f x -<对任意的1x >恒成立，则k 的最大值为（）A ．2B ．3 C. 4 D ．5二、填空题:本大题共4题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 坐标为(3，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．14.已知实数,x y满足不等式组35024020x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则z x y=+的最小值为．15.过抛物线214y x=的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于,A B两点，则AB=．16.若函数()f x满足a b R∀∈、都有()()2323a bf f a f b+⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()()11,47f f==，则()2017f=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知ABC∆外接圆直径为433，角,,A B C所对的边分别为0,,,60a b c C=.（Ⅰ）求sin sin sina b cA B C++++的值；（Ⅱ）若a b ab+=，求ABC∆的面积.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD-中，底面梯形ABCD中，//ADBC，平面SAB⊥平面,ABCD SAB∆是等边三角形，已知24,2225AC AB BC AD DC=====.（Ⅰ）求证：平面SAB⊥平面SAC；（Ⅱ）求二面角B SC A--的余弦值.19. （本小题满分12分）北京时间3月15日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGO与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGO获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在1：4.人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”. （Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为“围棋迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取1名学生，抽取3次，记被抽取的3名淡定生中的“围棋迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()2P x k ≥ 0.050.01k3.841 6.635已知圆()222:0M x y rr +=>与直线:340l x +=相切，设点A 为圆上一动点，AB x ⊥轴于B ，且动点N 满足2AB NB =u u u r u u u r，设动点N 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）直线l 与直线1l 垂直且与曲线C 交于,P Q 两点，求OPQ ∆面积的最大值. 21. （本小题满分12分）设函数()()()1ln 1f x mx x =-+.（Ⅰ）若当01x <<时，函数()f x 的图像恒在直线y x =上方，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求证：1000410011000e ⎛⎫> ⎪⎝⎭.非围棋迷围棋迷合计男女 10 55 合计请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，半径为1的圆. （Ⅰ）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 为曲线1C 上的点，N 为曲线2C 上的点，求MN 的取值范围.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()f x x a x b =++-的最小值为4. （Ⅰ）求a b +的值；（Ⅱ）求221149a b +的最小值.数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.D3.A4.C5.B6.B7.A8.C9.D 10.C 11.A 12.B.二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上 13. 23;-- 14. 13;- 15.16;316.4033.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解: （Ⅰ）由正弦定理可得：432sin sin sin 3a b c R A B C ====，……2分所以433a =sin A ，43sin 3b B =，43sin .3=c C 43(sin sin sin )43sin sin sin 3(sin sin sin )3a b c A B C A B C A B C ++++==++++． ……6分 (Ⅱ)由43sin 3c C =，得4332,32=⋅=c ……………8分由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2224()3a b ab a b ab =+-=+-，又a b ab +=，所以2()340ab ab --=，解得4ab =或1ab =-（舍去）．……10分所以113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯=．……………12分18．解：（Ⅰ）证明：在BCA ∆中，由于2,4,25AB CA BC ===,∴222AB AC BC +=,故AB AC ⊥．……………2分又SAB ABCD ⊥平面平面，SAB ABCD AB =I 平面平面， AC ABCD ⊂平面，SAB AC ∴⊥平面，……………4分又AC SAC ⊂平面，故平面SAC ⊥平面SAB ……………6分（2）如图建立A xyz -空间直角坐标系，()0,0,0A ,()2,0,0,B()0,4,0,u u u rAC ……………8分设平面SBC 的法向量()111,,n x y z =r,…10分设平面SCA 的法向量()222,,m x y z =u r,二面角--B SC A 的余弦值为……………12分19．解：(Ⅰ)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有25人，…1分从而22⨯列联表如下：……………3分因为，所以没有理由认为“围棋迷”与性别有关. ……………6分(Ⅱ)由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“围棋迷”的概率为1.由题意13,3X B ⎛⎫⎪⎭:，从而X 的分布列为……………10分()13==3=44E X np ⨯. ……………12分20.（Ⅰ）设动点),(y x N ，),,(00y x A 因为x AB ⊥轴于B ，所以)0,(0x B ，……1分设圆M 的方程为222:,+=M x y r由题意得2r ==，所以圆M 的程为22:4M x y +=.……………3分由题意, 2AB NB =u u u r u u u r ，所以00(0,)2(,)y x x y -=--，所以，即00,2,=⎧⎨=⎩x x y y将(,2)A x y 代入圆22:4M x y +=,得动点N 的轨迹方程2214x y += ，……………5分 (Ⅱ)由题意设直线0,++=y m 设直线l 与椭圆交于221,4+=x y 1122(,),(,)P x y Q x y，联立方程22,44,⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y m x y得2213440x m ++-=，222192413(44)16(13)0m m m ∆=-⨯-=-+>，解得213m <，1,2x ==，又因为点O 到直线l 的距离2m d =，122213PQ x x =-= (10)分1212213OPQm S ∆=⋅⋅=≤. OPQ ∆面积的最大值为1.……………12分于是'()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，从而'()'(0)0F x F <=，因此()F x 在(0,1)x ∈上单调递减，即()(0)0F x F <=不符；……………4分，当0(0,]x x ∈时，，于是'()F x 在0(0,]x x ∈上单调递减，从而'()'(0)0F x F <=，因此()F x 在0(0,]x x ∈上单调递减，即()(0)0F x F <=而且仅有(0)0F =不符.综上可知，所求实数m 的取值范围是分 (Ⅱ)对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n ，不等式2……………8分上单调递减，即()(0)0F x F <=；……………10分分分。

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C. ∃x0∈R，x2 0-x0-1≤ 0
D.∃x0∈R，x2 0-x0-1≥0
4.《张丘建算经》卷上第 22 题为：”金有女善织，日益功疾，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5 尺布，现在一月(按 30 天计） ,共织 390 尺布“,则该女最后一天织多少尺布？ A. 18 B.20 C.21 D.25 5.我们可以用随机数法估计 π 的值，下面程序框图表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数），它能随机产生（0,1）内的任何一个实数,若输出的结果为 521，则由此可估计 π 的近似值为( ) A. 3.119 B. 3.126 C.3.132 D. 3.151
开始 i=1,m=0 i≤10000? x=RAND y=RAND z=RAND x2+y2+z2<1 m=m+1 输出结束
i=i+1
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
8 6
）
10 正视图 6 俯视图侧视图
A. 80
C.240 D.480 1 7.设 a=π sinxdx,则（a x- )6的展开式中常数项是（） 0 x A.-160 B.160 C.-20 D.20
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18.如图,在四棱锥 S—ABCD 中，底面梯形 ABCD 中，BC∥AD，平面 SAD⊥平面 ABCD，△SAB 是等边三角形，已知 AC=2AB=4，BC=2AD=2DC=2 5. （Ⅰ）求证：平面 SAB⊥平面 SAC；（Ⅱ）求二面角 B-SC-A 的余弦值.
S
D A B C
B.[ ，+∞)
1 3
C.（ ,+∞)
A. 2 2
B . 4 2 C. 8 D. 16 2 x 11.已知直线 l 与双曲线－y2=1 相切于点 P，l 与双曲线两条渐近线交于 M，N 两点，则→ OM•→ ON的值
4 为( )
B. 4 C. 5 D. 与 P 的位置有关 12.已知函数 f(x)=x+xlnx，若 k∈Z,且 k(x-1)<f(x)对任意的 x>1 恒成立,则 k 的最大值为( ) A. 2 B.3 C.4 D.5
郑州市 2017 年高三毕业第一次质量检测班级__________ 一、选择题座号_____ 姓名__________ 分数__________
1．已知集合 M={x|x2<1}，N={x|2x>1},M∩N A.∅ B.{x|0<x<1} C.{x|x<0} D. {x|x<1} 2.若复数 z 满足( 2+i)z=3i(i 为虚数单位）,则 z 的共轭复数为( ) A. 2+i B. 2－i C.1+ 2i D. 1－ 2i 2 3.命题“∃x0∈R，x0-x0-1>0”的否定是( ) A. ∀x∈R，x2-x-1≤ 0 B.∀x∈R，x2-x-1 > 0
1 15.过抛物线 y= x2的焦点 F 作一条倾斜角为 30°的直线交抛物线于 A、B 两点，则|AB|= 4 a+2b 16.若函数 f(x)满足∀a、B∈R 都有 3f ( )=f(a)+2f(b)，且 f(1)=1,f(4)=7,则 f(2017)= 3 三、解答题 4 3 17.已知△ABC 外接圆直径为 ,角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c，C=60°， 3 a+b+c （Ⅰ）求的值; sinA + sinB + sinC (Ⅱ）若 a+b=ab,求△ABC 的面积设函数 f(x)=(1-mx)ln(1+x) (Ⅰ）若当 0<x<1 时,函数 f(x)的图像恒在 y=x 上方，求 m 的取值范围; 1001 1000.4 (Ⅱ）求证：e>( ) 1000
22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为
x=2cosφ ， y=sinφ ，
B.160
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1-2x 8.函数 f(x)= ( )cosx 的图象大致为( 1+2x
)
1 1 1 2 * * 9.已知数列{an}满足a1a2a3…an=2n (n∈N ），且对任意 n∈N 都有 + +…+ <t，则实数 t 的取值 a1 a2 an 范围为( ) 1 A. ( ，+∞) 3 2 2 D.[ ，+∞) 3 3 2 2 1 4x y 10.设正实数 x，y 满足 x> , y>1,不等式 + ≥m 恒成立,则 m 的最大值为( ) 2 y-1 2x-1
19.北京时间 3 月 15 日下午,谷歌围棋人工智能 AlphaGo 与韩国棋手李世石进行最后一轮较量， AlphaGo 获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在 1:4，人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了 100 名学生进行调查，根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图（如图所示），将日均学习围棋的时间不低于 40 分钟的学生称为”围棋迷“.
20.已知圆x2+y2=r2(r>0)与直线 l1：x- 3y+4=0 相切,设点 A 为圆上一动点，AB⊥x 轴于 B，且动点 N →=2NB →，设动点 N 的轨迹为曲线 C. 满足AB (Ⅰ）求曲线 C 的方程; (Ⅱ）直线 l 与直线 l1垂直且与曲线 C 交于 P，Q 两点，求△OPQ 面积的最大值.
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否有 95%的把握认为”围棋迷“与性别有关? (Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该地区大量学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生，抽取 3 次，记被抽取的 3 名学生中的”围棋迷“人数为 X，若每次抽取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方差 D(X). n(ad－bc)2 2 附：K ＝其中 n=a+b+c+d. (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
A. 3
二、填空题
13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 α 的顶点和点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上一 π 点 M 坐标为（1， 3)，则 tan(α + )= 4
x－3y+5≥0， 14.已知实数 x，y 满足不等式组2x+y－4≤0， y+2≥0，
则 z=x+y 的最小值为
（φ 为参数)，在以 O 为极点，x
π 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2是圆心为(2， ),半径为 1 的圆. 2 (Ⅰ)求曲线 C1，C2的直角坐标方程; (Ⅱ）设 M 为曲线 C1上的点，N 为曲线 C2上的点，求|MN|的取值范围.
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