巧构一线三直角解题

巧构一线三直角解题

发表时间：2017-02-14T14:06:18.193Z 来源：《中小学教育》2017年2月第269期作者：鲍玉秀张刚

[导读] 教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。

山东省淄博市周村区北郊中学255000；山东省淄博市修文外国语学校255000

教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。通过基本图形的积累，学生在分析题目时，就能唤醒利用这些基本图形，并能直接解题。几何命题的证明方法很多，只要找到规律、找到模型，我们就可以“以不变应万变”，任何问题就能迎刃而解。所以说，模型建立是学好数学的秘密武器。

基本图形：如图1，B、D、C在一条直线上，∠B=∠ADE=∠C=90°。我们称这一图形为“一线三直角”模型，则△ABD∽△DCE(或

△ABD≌△DCE)。

点评：我们在教学中经常遇到此图形，只要见到一直角在一条直线上，我们可以构造两侧的直角三角形，利用相似三角形可以解决一类相关问题。当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了。综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式。本文将重点对这一基本图形进行探讨。

一、在旋转中出现一线三直角基本图形（全等）

如图，将AO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到A’O。若点A的坐标为（a,b），则点A’的坐标为( )。

解析：过A点作AB⊥x轴，垂足为E，过A’作A’E’⊥x轴，则△A’OE≌△OAE，所以A’E’=OE=a,AE=OE’=b，所以A’的坐标为（-b,a）。

点评：教师在平时教学中就要注意基本图形的构造，为以后学习打下良好的基础。

变式：直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2。把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）。

分析：∠AEC=90°，并在直线l3，此时我们可以构造一线三直角数学模型，△ADE与△BEC全等，所以DB=CE=3。

二、在折叠中构造一线三直角

如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置。若ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，则点A’的坐标是多少？

解析：因为ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，OA=1，AB=2，△A’OD∽△A’BE。设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1), DE=AB，2a+ (a+1)=2，解得a= ,所以A’的坐标（- ，）。

点评：此题是以矩形折叠为载体，如果利用常规方法勾股定理及全等计算很麻烦。如果构造一线三直角是非常简单的，过A’做AB的平行线，与BC、AO的延长线交于E、D, △A’OD∽△A’BE。设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1),DE=AB，2a+ (a+1)=2，计算量相当简单。

三、画斜为直，找直线构造一线三直角

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标是（-7，1），∠AOB=135°，OB=5。（1）求△AOB的面积。（2）求点B的坐标。

解析：设B（x,y），过B点作BF⊥x轴，过D点作x轴的平行线，与y轴交于G点，过A点作AC⊥CD。因为∠AOB=135°，AO=5 2，所以∠AOD=45°，AD=OD=5，所以△BOF≌△DOG≌△DCA，所以AD=OD=BO,AC=DG=OF,CD=OG=BF，所以△AOB的面积= ×5×5= ，所以x+y=7,1+y=x，所以x=4,y=3。

点评：这是一道一题多解的题，将∠AOB=135°转化为∠AOD=45°，构造等腰直角三角形，再构造模型一线三直角（全等）。

四、在圆中构造一线三直角

如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F。若点F的坐标为(0,1),点D的坐标为(6,－1)。（1）求证：DC=FC。（2）求直线AD的解析式。

解析：(1)由△OFC≌△GDC得到OC=CG，过点作DG⊥x轴，连接AC，因为AD为直径，所以∠AGD=90°，△OAG∽△CGD，所以DG∶GC=OG∶OA，所以1∶3=3∶OA，所以OA=9。

点评：从圆中找直角，利用直径得圆周角等于90°，问题便可迎刃而解。

基本图形的教学是初中几何教学的重点，也是难点，教师在平时教学中要注重基本图形的研究，要有足够的耐心等学生慢慢积累。学生的学习达到一定程度就会从复杂的图形中提炼出基本图形，才会出现解决问题时的灵感。