第三章 刚体力学PPT课件

角位移 n的矢量性证明
如图所示，设某刚体绕通过定点O的某轴线做
转动，。其中一质点在P点对点O的位矢
为 运动r到
P，’经点微，小此过时程该，质发点生的的位位矢移r 为 rr
，
n
目标：证刚体经过两次微小的 P
转n'动可所对发易生，的即角 位n 移 n ' n n ' 和n r
r
M
P’
rr
O
η
y0
为让两坐标系分离：
绕O 转动，ON称为节线
绕ON节线转θ
z0
z0
y’’
y’
zθ
O
η
y0
ξ’
x0
N x’
η
O
ξ
N
x’
绕Oz转ψ
zθ
z
ψ
y
注意在第三次转动前oz,o , oy’’在同一
y’’ 个平面，但Oy’’绕Oz转到Oy后，o已不
M
在Oxz这个平面
y,η
O
ψ
x,ξ N
x
x’
经三步可达任何位置，由此定义出的
原来的位置
y x
绕在y轴转90度
y x
绕在z轴转90度
有限转动不能对易，所以有限转动不是矢量 或者说有限角位移不是矢量。
2.无限小转动 角位移：刚体绕通过定点O的某轴线转个微小 角 取度 有向线段，像n位来移表应示是其一大矢小量和，方我向们，在有转轴上
大小： n 方向：右手螺旋法则 有大小和方向，还需证明其满足平行四边行 法则才是矢量
第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析
一、描述刚体位置的独立变量 1 刚体的概念 2 任意两质点间的距离不因外力和内力的
作用而发生改变的特殊质点组（由连续质点 所组成）
显然与质点类似，是一种理想化的概念。 只有当物体的形状和大小的改变可以忽 略不计时，物体才能看做刚体。
2 刚体位置的确定
只要确定刚体内不在同一直线上的三点的位 置，即就确定了刚体的位置。三点的空间位 置的确定，原则上需九个独立变量，但事实 上，由于刚体内任意两点的距离是固定不变 的，所以三个质点受到三个约束方程，从而 从九个独立变量减少的六个独立变量
2 刚体运动的分类
在某些限制条件下，刚体可 做少于六个独立变量的运动 I 平动 在刚体运动过程中，如 刚体内任意两点的连 线在各个时刻都保持平行，则称刚体做平动。 运动轨迹可是直线或曲线
特点：刚体内任意一点都具有相同的速度， 加速度，所以任意一点的运动都可代表刚 体的运动。
所以只需3个独立变量，就能描述刚 体的平动。 II 定轴转动 刚体运动时始终有两个质点不动，即刚
个独立变量）和绕通过质心的某直线的定点转 动（3个独立变量。因而描述刚体的一般运动 需6个独立变量，正好与刚体空间位置的确定 的独立变量数相同。
§3.2 角速度矢量
一、有限转动和无限小转动 A
B
AB
B
A B B A
A
1.有限转动
z
z
y
x
x
原来的位置
z z
z
y
y
x
绕在y轴转90度
z
y
x
称为进动角，章动角，自转角，相应的取值
范围
0≤ ≤2π， 0≤ θ ≤π， 0≤ ψ ≤2π
ON总是与转动瞬轴z垂直，ON动（只能在固定
平面绕O点转动）则Oz必动（反过来不成立）所
二，欧拉运动学方程
如刚体绕着通过顶点O的某一轴线以 转动，则
在活动坐标系Oxyz的投影为 x y z
注意角速度是以静止坐标系为参考，因
线速度：因转动而具有的速度
线速度和角速度之间的关系：
v drdn r r
r为刚体内某质d 点t到d点t O的位矢， 是刚体绕通过
该点某轴线的角速度
注：刚体内不同的质点到点O的位矢不同， 线速度就不同，但角速度是整个刚体所共有， 刚体内任意质点的角速度都一样。 重要推论：从线速度的表达式，可看出某矢量因转动 引起的对时间的变化率（实际就是该矢量方向对时间 变化率)等于该矢量转动的角速度与该矢量的叉积
而某时刻在xyz的分量是绝对的，而不是
相对于随动坐标系的角速度，因随坐标
xiyjzk 系百度文库身就固着在刚体上，与刚体具有相
同的角速度，本身相对本身那角速度就
体只能绕这两点的连线做转动，即定轴转动。 不动的两点的连线就成了确定的转轴。
显然，只需确定绕定轴转了多少度，就能 描述刚体的定轴转动，因而只需1个独立变量 来描述刚体的定轴转动。
III 平面平行运动 刚体运动时，其中任意一点始终平行于
某一固定的平面的运动，就叫做平面平行运 动。
刚体可做平行于固定平面的平动和垂直于
r
r r r n r
通过类 比， 再 转动 n' 后 的 位矢：
r n r n ' ( r n r )
略 矢去 的二 变阶化小量量， r ' 第 n 二' r 次转动所发生的位
r' n ' r
则
r r ' n r n ' r ( n n ' ) r
比如在第一章：
di di
d
j
dt
dj
ddjddti
dditdkdi j jj
dt
djkjii
dt
j
j'
i'
i
i
j
d
§3.3 欧拉角
一 欧拉角 描述刚体定点转动时的三个独立变量
欧拉角的选取：设O为定点，O为静止坐 标系， Oxyz 为固定在刚体上的随动坐标系
，并选z轴为瞬时z转0 动轴。开始二者重合，如图
r ' r n ' r n r ( n ' n ) r
因 所以
r n n r ' ' n 'r ' n r 即n 为矢量
二 角速度矢量
三 既角然速角度位 ：移lti n0m 是 nt矢量ddn，t 则角速度也是矢量，
且与角位移的方向相同 转动瞬轴： 定点转动时某时刻的转轴
注意：既然是无限小转动，就可
把转轴看做是不变的。所以，
在定轴转动下讨论问题
我们知
r
是可对易，若能用
n 表
O
达出
r
，则问题就可能解决
n
r
PM .
PMrsin
r必垂直 r 与 r P nn . 和M r rr s 构i 成. n 的 平r 面n sin
转 转动 动前n是后：：
固定平面的转轴做转动. 只需3个独立变量来描述。
IV 定点转动 刚体运动时，只有一点固定不动，整个刚体围
绕着通过这一点的某一瞬时转动轴转动，这样的 运动称为定点转动。
只需3个独立变量来描述，两个确定瞬时转动轴 的空间取向，一个确定刚体绕该轴线转了多少度。
V 一般运动 刚体运动时，不受任何限制。
此时可把刚体的运动分解为质心的平动（3