中考数学总复习【第14讲 线段、角、相交线和平行线】
中考数学总复习考点：线段、角、相交线、平行线
中考数学总复习考点：线段、角、相交线、平行线2019中考数学总复习考点：线段、角、相交线、平行线?一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。
二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。
三、射线：1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。
2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。
”四、线段：1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。
2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。
五、线段的中点：1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。
∴点B为AC的中点或∵AB＝∴点B为AC的中点，或∵AC＝2AB，∴点B为AC的中点反之也成立∵点B为AC的中点，∴AB＝BC2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的补角相等。
十一、相交线1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。
它们的交点叫做斜足。
2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
4、垂线的性质（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。
简单说：垂线段最短。
十二、距离1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。
2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。
说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。
十三、平行线1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
随堂练习
1. 如图，A，B两点之间的距离为8，①，②，③，④分别代表从点A到
点B的不同路线，点C是线段AB的中点，点D在AB上，且AD＝3.(1)从点
A到点B的4条不同路线中，最短的是________；②(2)BD＝______，CD＝
______． 5
1
第1题图
2.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，
则线段BD的长为( C )A. 10 cm
B. 8 cmC. 10 cm或8 cm
D. 2 cm或4 cm
3. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E是OD上一点，过点
E作EF⊥AB于点F.(1)若∠AOD＝28°30′，则∠AOD的余角为________，
平行
【知识拓展】平行线求角度的辅助线作法：情形一： ∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
情形二： ∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
情形三： ∠ABE－∠DCE＝∠BEC
考点5 命题
命题 判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
同位角 ∠1与___∠__5___，∠2与∠6，∠4与_∠__8___，∠3与___∠__7___ 内错角 ∠2与__∠__8____，∠3与∠5 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与__∠__8____
2. 垂线及性质 垂线段
过直线外一点，作已知直线的垂线， 该点与垂足之间的线段
中考数学复习课件 线段、角、相交线和平行线
7．垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条 线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过 直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 9．平行线的判定及性质： (1)判定： ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． ②同位角相等，两直线平行． ③内错角相等，两直线平行． ④同旁内角互补，两直线平行． ⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互 相平行． ⑥平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)性质： ①两直线平行，同位角相等． ②两直线平行，内错角相等． ③两直线平行，同旁内角互补．
A．45°
图 19-2 B．55° C．125°
D．135°
【答案】
B
3．(2015· 滨州)如图 193，直线 AC∥BD，AO，BO 分别 是∠BAC，∠ABD 的平分线，那么∠BAO 与∠ABO 之间的大小关系一定为 ( ) A. 互余 B. 相等 C. 互补 D. 不等
图 193
【答案】
A
【答案】
B
题型三
平行线的性质与判定的应用
同位角、内错角和同旁内角是两直线被第三条直线所 截形成的八个角．只有当两平行线被第三条直线所截时， 这些角才有特殊的大小关系．
【典例 3】 (2016· 金华)如图 19-9，已知 AB∥CD，BC∥ DE. 若∠A ＝ 20° ， ∠ C ＝ 120° ，则 ∠AED 的度 数是 ______．
【解析】 可根据题意， 画出图形． ∵平面内有三条直线， 它们可以两两相交，也可以互相平行，∴m＝3，n＝0，∴ m＋n＝3.
【答案】 C
【类题演练 1】 如图 19-6，已知线段 AB，延长 AB 到点 1 C，使 BC＝ AB，D 为 AC 的中点，DC＝2，则 AB 的 3 长为____． 图 19-6
中考数学专项复习线段、角、相交线与平行线
线段、角、相交线与平行线【知识框架】【知识梳理】知识点1 直线、射线、线段知识点2 角针对训练1.下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )2.如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是( )A.125°B.135°C.145°D.155°3如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线.如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为( )A.50°B.60°C.65°D.70°知识点3 相交线对顶角对顶角相等.垂直性质1 过一点有且只有⑩ 条直线与已知直线垂直.性质2 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，⑪最短.点到直线的距离直线外一点到这条直线的⑫的长度，叫做点到直线的距离.知识点4 角的平分线与线段的垂直平分线角的平分线线段的垂直平分线性质角的平分线上的点到角两边的距离⑬ .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离⑭ .判定角的内部到角的两边距离相等的点在⑮上.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的⑯上.针对练习1.如图，CF是△ABC的外角∠ACM的平分线，且CF∥AB，∠ACF=50°，则∠B的度数为( )A.80°B.40°C.60°D.50°2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP3.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ = .4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )A.7B.10C.11D.125.如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝ .知识点5 平行线平行线的概念在同一平面内，的两条直线叫做平行线.平行公理经过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行.平行公理的推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 .平行线的判定，两直线平行. ，两直线平行. ，两直线平行.平行线的性质两直线平行， . 两直线平行， . 两直线平行， .平行线间的距离定义过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，的长度叫做两条平行线间的距离.性质两条平行线间的距离处处 .知识点6 命题命题的概念判断一件事情的句子叫做命题.命题的分类命题分为命题和命题.命题的组成命题由和两个部分组成.针对练习1.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝30°，则∠C为( )A.30°B.60°C.80°D.120°2.如图，直线l1∥l2，l3⊥l4，∠1=44°，那么∠2的度数为( )A.46°B.44°C.36°D.22°3.如图，把一块含有45°角的直角三角板两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，则∠2的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.30°4.如图，直线a∥b,点B在直线b上，且AB⊥BC,∠1=55°，求∠2的度数.【巩固练习】1.如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是( )A.两点确定一条直线B.两点之间，线段最短C.垂线段最短D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2.如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点，若AB=10 cm,BC=4 cm,则AD的长为( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.6 cm3.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是( )A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.两点之间线段最短D.三角形两边之和大于第三边4.如图，是我们学过的用直尺画平行线的方法示意图，画图原理是( )A.同位角相等，两直线平行B.内错角相等，两直线平行C.两直线平行，同位角相等D.两直线平行，内错角相等5.如图，直线m∥n，则∠α为( )A.70°B.65°C.50°D.40°6.如图，直线AB、CD相交于O，射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°，则∠CON的度数为( )A.35°B.45°C.55°D.65°7.如图，能判定EB∥AC的条件是( )A.∠C=∠ABEB.∠A=∠EBDC.∠C=∠ABCD.∠A=∠ABE8.如图，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行.图中与∠α互余的角共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图，AB∥ED,AG平分∠BAC,∠ECF=70°, 则∠FAG的度数是( )A.155°B.145°C.110°D.35°10.(2014·泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠A=∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1,∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；(3)若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；(4)若AC∶A1C1=CB∶C1B1,∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个11．若∠α的补角为76°28′,则∠α= .12．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题：，该逆命题是命题(填“真”或“假”).13.如图，BD是∠ABC的平分线，P是BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4 cm,则点P到边BC的距离为 __________cm.14.直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角板如图所示放置，∠1＝85°，则∠2＝ .15.如图，点D，E分别在AB，BC上，DE∥AC，AF∥BC，∠1＝70°，则∠2＝ .16.如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=70°，则∠CAD= .17.如图，EF∥BC，AC平分∠BAF，∠B=80°.求∠C的度数.18.如图，线段AB=4，点O是线段AB上一点，C、D分别是线段OA、OB的中点，小明据此很轻松地求得CD=2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上时，原有的结论“CD=2”是否仍然成立？请帮小明画出图形并说明理由.。
2024河南中考数学一轮知识点复习专题 线段、角、相交线与平行线 课件
定理 的距离④______.
∴ = .
性质
如果 ⊥ ,
在角的内部,到角两边的
定理
⊥ , = ,
相等
距离⑤______的点在这个
的逆
那么点 在 ∠ 的
角的平分线上.
定理
平分线上.
图示
考点3 相交线
1.对顶角（如图（1））
（1）对顶角有: ∠1 与 ∠3 , ∠2 与 ∠4 , ∠5 与 ∠7 , ∠6 与 ∠8 .
离相等,切忌只证明直线上有一个点到线段两端点的距离相等,就说这条直线
是线段的垂直平分线.如图, = ,但直线 不是线段 的垂直平分线.
考点4 平行线
1.平行公理及推论
一条
平行公理
经过直线外一点有且只有⑱______直线与这条ห้องสมุดไป่ตู้线平行.
平行公理的推论 如果 // , // ,那么 // .
2.平行线的判定和性质
判定
相等 ⇌ 两直线平行；
同位角⑲______
性质
判定
平行
内错角相等 ⇌ 两直线⑳______；
性质
判定
互补 ⇌ 两直线平行.
同旁内角㉑______
性质
考点5 命题
1.命题
判断一件事情的语句,叫做命题.
真命题:如果题设成立,那么结论一定成立，
这样的命题叫做真命题.
假命题:如果题设成立时，不能保证结论一
3.角平分线
内容
概念
字母表示
从一个角的顶点引出的一 若 是 ∠ 的平分
条射线,把这个角分成两 线,则 ∠ = ③
个相等的角,这条射线叫
做这个角的平分线.
人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第14讲平面图形与相交线、平行线
第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）A ．CDACB ．BCABC ．BDBCD ．ADAC【答案】D【解析】根据锐角三角函数的定义，余弦是邻边比斜边，可得答案． 【详解】cosα=BD BC CDBC AB AC==. 故选D. 【点睛】熟悉掌握锐角三角函数的定义是关键.2．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图像经过第一象限；乙：函数图像经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（） A ．3y x = B ．3y x=C ．1y x=-D ．2yx【答案】B【解析】y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线，y 随x 的增大而增大，故选项A 错误；y=3x 的图象在一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，故选项B 正确； y=−1x的图象在二、四象限，故选项C 错误；y=x²的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项D 错误； 故选B.3．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a ﹣b ，x ﹣y ，x+y ，a+b ，x 2﹣y 2，a 2﹣b 2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A ．我爱美 B ．宜晶游C ．爱我宜昌D ．美我宜昌【答案】C【解析】试题分析：（x 2﹣y 2）a 2﹣（x 2﹣y 2）b 2=（x 2﹣y 2）（a 2﹣b 2）=（x ﹣y ）（x+y ）（a ﹣b ）（a+b ），因为x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，所以结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故答案选C．考点：因式分解.4．矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．23C ．22D．52【答案】C【解析】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=12PG，再利用勾股定理求得PG=2，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵PAH GFH AH FHAHP FHG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=12 PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=12PG=12×22PD DG=22，故选：C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．5．下面的几何体中，主视图为圆的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；B、的主视图是正方形，故B不符合题意；C、的主视图是圆，故C符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．6．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )A．13B．23C．34D．45【答案】C【解析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得EFAB=DFDB,EFCD=BFBD，从而可得EF AB +EF CD =DF DB +BFBD=1．然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF 的值． 【详解】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直， ∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB,△BEF ∽△BCD ，∴EF AB= DF DB ,EF CD =BFBD ， ∴EF AB +EF CD =DF DB +BF BD =BD BD=1. ∵AB=1，CD=3， ∴1EF +3EF=1， ∴EF=34. 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则下列结论: ① abc ＜0；② 2a ＋b ＝0; ③ b 2－4ac ＜0；④ 9a+3b+c ＞0; ⑤ c+8a ＜0.正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：抛物线开口向下，得：a ＜0；抛物线的对称轴为x=-2ba=1，则b=-2a ，2a+b=0，b=-2a ，故b ＞0；抛物线交y 轴于正半轴，得：c ＞0. ∴abc ＜0, ①正确； 2a+b=0，②正确；由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△=b 2-4ac ＞0，故③错误；由对称性可知，抛物线与x 轴的正半轴的交点横坐标是x=3，所以当x=3时，y= 9a+3b+c=0,故④错误；观察图象得当x=-2时，y ＜0， 即4a-2b+c ＜0 ∵b=-2a ， ∴4a+4a+c ＜0 即8a+c ＜0，故⑤正确. 正确的结论有①②⑤， 故选:C 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．8．已知二次函数2(0)y x x a a =-+>，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（ ）A ．x 取1m -时的函数值小于0B ．x 取1m -时的函数值大于0C ．x 取1m -时的函数值等于0D ．x 取1m -时函数值与0的大小关系不确定 【答案】B【解析】画出函数图象，利用图象法解决问题即可； 【详解】由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=12，设抛物线与x 轴交于点A 、B ， ∴AB ＜1，∵x 取m 时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m-1在点A的左侧，x=m-1时，y＞0，故选B．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用函数图象解决问题，体现了数形结合的思想．9．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为( )A．22B．4 C．32D．42【答案】B【解析】求出AD＝BD，根据∠FBD＋∠C＝90°，∠CAD＋∠C＝90°，推出∠FBD＝∠CAD，根据ASA 证△FBD≌△CAD，推出CD＝DF即可．【详解】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEB=∠ADC=90°，∴∠EAF+∠AFE=90°，∠FBD+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠EAF=∠FBD，∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABC，∴AD=BD，在△ADC和△BDF中CAD DBF AD BDFDB ADC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADC≌△BDF，∴DF=CD=4，故选：B．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．10．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有30个，黑球有n个．随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则n 的值约为（ ） A ．20 B ．30C ．40D ．50【答案】A【解析】分析：根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4,根据白球个数确定出总个数,进而确定出黑球个数n. 详解：根据题意得:.n0430n=+ ,计算得出:n=20, 故选A.点睛：根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.二、填空题（本题包括8个小题）11．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ． 【答案】6或2或12【解析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，进行分情况计算．【详解】由方程2680x x -+=，得x =2或1． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是1，1，1时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，1时，2+2=1，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是1，1，2时，则三角形的周长是1+1+2=2． 综上所述此三角形的周长是6或12或2．12．观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第n 个图形共有___个★.【答案】13n +【解析】分别求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中★的个数，得到第5个图形中★的个数，进而找到规律，得出第n 个图形中★的个数，即可求解． 【详解】第1个图形中有1+3×1=4个★，第2个图形中有1+3×2=7个★，第3个图形中有1+3×3=10个★，第4个图形中有1+3×4=13个★，第5个图形中有1+3×5=16个★，…第n个图形中有1+3×n=（3n+1）个★．故答案是：1+3n.【点睛】考查了规律型：图形的变化类；根据图形中变化的量和n的关系与不变的量得到图形中★的个数与n的关系是解决本题的关键．13．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．【答案】5 2【解析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP，EF交于O点，∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD,AB∥CD.∵PE∥BC,PF∥CD，∴PE∥AF,PF∥AE.∴四边形AEFP是平行四边形．∴S△POF=S△AOE.即阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=12AC BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=52．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，则△PCD的面积为____.【答案】6【解析】根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=12AB，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=12AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形可得CD·PD=12,利用△PCD的面积=12CD·PD可得.【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，∴AC=BC，∵CD⊥AB ，∴AD=BD=CD=12 AB，∵AP2-PB2=48 ，∴(AP+PB)(AP-PB)=48，∴AB(AD+PD-BD+DP)=48, ∴AB·2PD=48，∴2CD·2PD=48，∴CD·PD=12，∴△PCD的面积=12CD·PD=6.故答案为6.【点睛】此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一15．如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是__．【答案】34． 【解析】解：根据从C 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D 、C 、F 时，所作三角形是等腰三角形，故P （所作三角形是等腰三角形）=34； 故答案为34． 【点睛】 本题考查概率的计算及等腰三角形的判定，熟记等要三角形的性质及判定方法和概率的计算公式是本题的解题关键．16．写出一个大于3且小于4的无理数：___________． 10π，等，答案不唯一．【解析】本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，因为2239,416==，故而9和1610,11,12,,15都是无理数.17．写出一个一次函数，使它的图象经过第一、三、四象限：______．【答案】y=x ﹣1 (答案不唯一)【解析】一次函数图象经过第一、三、四象限，则可知y=kx+b 中k>0，b<0，由此可得如：y=x ﹣1 (答案不唯一).18．一元二次方程()21210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 【答案】2k <且1k ≠【解析】根据一元二次方程的根与判别式△的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.【详解】由题意可得，1−k≠0，△＝4+4(1−k)＞0，∴k ＜2且k≠1.故答案为k ＜2且k≠1.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1-k≠0的考虑．三、解答题（本题包括8个小题）19．先化简代数式22321(1)24a aa a-+-÷+-，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．【答案】21aa--，2【解析】试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a的值时，不能使原分式没有意义，即a不能取2和－2.试题解析：原式=232aa+-+·2(2)(2)(1)a aa+--=21aa--当a=0时，原式=21aa--=2.考点：分式的化简求值.20．已知：如图，AB＝AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD＝AE．【答案】见解析【解析】试题分析：证明简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB 即可．试题解析：∵AB=AC,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.∵AE⊥EB,∴∠E=∠ADB=90°.∵AB平分∠DAE,∴∠BAD=∠BAE.在△ADB和△AEB中,∠E=∠ADB,∠BAD=∠BAE,AB=AB,∴△ADB≌△AEB(AAS),∴AD=AE.21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O为BC边上一点，以OC为半径的圆O，交AB于D点，且AD=AC，延长DO交圆O于E点，连接AE.求证：DE⊥AB；若DB=4，BC=8，求AE的长.【答案】（1）详见解析；（2）62 【解析】（1）连接CD ，证明90ODC ADC ∠+∠=︒即可得到结论；（2）设圆O 的半径为r ，在Rt △BDO 中，运用勾股定理即可求出结论.【详解】（1）证明：连接CD,∵O D O C =∴O D C O CD ∠=∠∵AD AC =∴ADC ACD ∠=∠90,90,OCD ACD ODC ADC DE AB∠+∠=︒∴∠+∠=∴⊥. （2）设圆O 的半径为r ，()2224+8,3r r r ∴=-∴=，设()22222,84,6,6+662AD AC x x x x AE ==∴+=+∴=∴==.【点睛】本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用．综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．22．如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，BC=DC ，AC 、BD 相交于点O ，点E 在AO 上，且OE=OC ．求证：∠1=∠2；连结BE 、DE ，判断四边形BCDE 的形状，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BCDE 是菱形，理由见解析.【解析】（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论.（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可．【详解】解：（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，∴△ADC≌△ABC（SSS）.∴∠1=∠2.（2）四边形BCDE是菱形，理由如下：如答图，∵∠1=∠2，DC=BC，∴AC垂直平分BD.∵OE=OC，∴四边形DEBC是平行四边形.∵AC⊥BD，∴四边形DEBC是菱形．【点睛】考点：1.全等三角形的判定和性质；2. 线段垂直平分线的性质；3.菱形的判定．23．如图，AB是半圆O的直径，D为弦BC的中点，延长OD交弧BC于点E，点F为OD的延长线上一点且满足∠OBC＝∠OFC，求证：CF为⊙O的切线；若四边形ACFD是平行四边形，求sin∠BAD的值．【答案】(1)见解析;(2)1 3 .【解析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，∠OCB=∠F，根据垂径定理得到OF⊥BC，根据余角的性质得到∠OCF=90°，于是得到结论；（2）过D作DH⊥AB于H，根据三角形的中位线的想知道的OD=12AC，根据平行四边形的性质得到DF=AC，设OD=x，得到AC=DF=2x，根据射影定理得到2，求得2，根据勾股定理得到226AC CD+=，于是得到结论．【详解】解：（1）连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∵∠B=∠F，∴∠OCB=∠F，∵D为BC的中点，∴OF⊥BC，∴∠F+∠FCD=90°，∴∠OCB+∠FCD=90°，∴∠OCF=90°，∴CF为⊙O的切线；（2）过D作DH⊥AB于H，∵AO=OB，CD=DB，∴OD=12 AC，∵四边形ACFD是平行四边形，∴DF=AC，设OD=x，∴AC=DF=2x，∵∠OCF=90°，CD⊥OF，∴CD2=OD•DF=2x2，∴2，∴2，∴226AC CD+=，∵OD=x，2，∴3，∴DH=3CD BD OB ⋅=x ， ∴sin ∠BAD=DH AD =13． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，射影定理，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．24．已知C 为线段AB 上一点，关于x 的两个方程()112x m +=与()23x m m +=的解分别为线段AC BC ，的长，当2m =时，求线段AB 的长；若C 为线段AB 的三等分点，求m 的值.【答案】（1）4AB =；（2）47=m 或1. 【解析】（1）把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC 、BC 的长，由C 为线段AB 上一点即可得AB 的长；（2）分别解两个方程可得m BC 2=，AC 2m 1=-，根据C 为线段AB 的三等分点分别讨论C 为线段AB 靠近点A 的三等分点和C 为线段AB 靠近点B 的三等分点两种情况，列关于m 的方程即可求出m 的值.【详解】（1）当m 2=时，有()1x 122+=，()2x 223+=， 由方程()1x 122+=，解得x 3=，即AC 3=. 由方程()2x 223+=，解得x 1=，即BC 1=. 因为C 为线段AB 上一点，所以AB AC BC 4=+=.（2）解方程()1x 1m 2+=，得x 2m 1=-， 即AC 2m 1=-. 解方程()2x m m 3+=，得m x 2=， 即m BC 2=. ①当C 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，则BC 2AC =，即()m 22m 12=-，解得4m 7=. ②当C 为线段AB 靠近点B 的三等分点时， 则AC 2BC =，即m 2m 12?2-=，解得m 1=.综上可得，4m7或1.【点睛】本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C点的位置，避免漏解是解题关键.25．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/2m下降到12月份的11340元/2m.求11、12两月份平均每月降价的百分率是多少？如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2m？请说明理由【答案】（1）10%；（1）会跌破10000元/m1．【解析】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1-x），11月份的房价为14000（1-x）1，然后根据11月份的11340元/m1即可列出方程解决问题；（1）根据（1）的结果可以计算出今年1月份商品房成交均价，然后和10000元/m1进行比较即可作出判断．【详解】（1）设11、11两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是：14000（1-x），11月份的成交价是：14000（1-x）1，∴14000（1-x）1=11340，∴（1-x）1=0.81，∴x1=0.1=10%，x1=1.9（不合题意，舍去）答：11、11两月平均每月降价的百分率是10%；（1）会跌破10000元/m1．如果按此降价的百分率继续回落，估计今年1月份该市的商品房成交均价为：11340（1-x）1=11340×0.81=9184.5＜10000，由此可知今年1月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m1．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．26．如图所示，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．【答案】证明见解析.【解析】试题分析：由1=2∠∠，可得,CAB EAD ∠=∠,,AC AE AB AD ==则可证明ABC ADE ≅，因此可得.BC DE =试题解析：1=2∠∠，12,EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠即CAB EAD ∠=∠,在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=(),ABC ADE SAS ∴≅.BC DE ∴=考点：三角形全等的判定．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．33B．55C．233D．255【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=ADAB=2210=255，故选D．2．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=1．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（）A．1，2 B．1，3C．4，2 D．4，3【答案】A【解析】试题分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．3．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC 与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD【答案】D【解析】解：∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；∵AD=DE，∴AD DE，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；∵AD2=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故C选项正确；∵CD•AB=AC•BD，∴CD：AC=BD：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故D选项错误，故选：D．考点：1．圆周角定理2．相似三角形的判定4．等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数【答案】B【解析】根据一次函数的定义，可得答案．【详解】设等腰三角形的底角为y，顶角为x，由题意，得x+2y=180，所以，y=﹣12x+90°，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，故选B．本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.5．如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（）A．15m B．25m C．30m D．20m【答案】D【解析】根据三角形的中位线定理即可得到结果.【详解】解:由题意得AB=2DE=20cm，故选D.【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．6．下列条件中不能判定三角形全等的是( )A．两角和其中一角的对边对应相等B．三条边对应相等C．两边和它们的夹角对应相等D．三个角对应相等【答案】D【解析】解:A、符合AAS，能判定三角形全等；B、符合SSS，能判定三角形全等；；C、符合SAS，能判定三角形全等；D、满足AAA，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；故选D．7．如图是一个由4个相同的长方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图的定义可知，A是该几何体的三视图，B、C、D不是该几何体的三视图.故选A.点睛:从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，看不到的线画虚线.本题从左面看有两列，左侧一列有两层，右侧一列有一层.8．已知△ABC，D是AC上一点，尺规在AB上确定一点E，使△ADE∽△ABC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以DA为边、点D为顶点在△ABC内部作一个角等于∠B，角的另一边与AB的交点即为所求作的点．【详解】如图，点E即为所求作的点．故选：A．【点睛】本题主要考查作图-相似变换，根据相似三角形的判定明确过点D作一角等于∠B或∠C，并熟练掌握做一个角等于已知角的作法式解题的关键．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣2x（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝kx（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A．53B．34C．43D．23【答案】C【解析】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数2yx=-(x<0)的图象上，∴当x=−1时，y=2，∴A(−1,2).∵此矩形向右平移3个单位长度到1111A B O C的位置，∴B1(2,0)，∴A1(2,2).∵点A1在函数kyx=(x>0)的图象上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为4yx=,O1(3,0)，∵C1O1⊥x轴，∴当x=3时,43y=，∴P4 (3,).3故选C.点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征, 坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标.10．对于反比例函数y=kx（k≠0），下列所给的四个结论中，正确的是（）A．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）也在其图象上B．当k＞0时，y随x的增大而减小C ．过图象上任一点P 作x 轴、y 轴的线，垂足分别A 、B ，则矩形OAPB 的面积为kD ．反比例函数的图象关于直线y=﹣x 成轴对称【答案】D【解析】分析：根据反比例函数的性质一一判断即可；详解：A ．若点（3，6）在其图象上，则（﹣3，6）不在其图象上，故本选项不符合题意；B ．当k ＞0时，y 随x 的增大而减小，错误，应该是当k ＞0时，在每个象限，y 随x 的增大而减小；故本选项不符合题意；C ．错误，应该是过图象上任一点P 作x 轴、y 轴的线，垂足分别A 、B ，则矩形OAPB 的面积为|k|；故本选项不符合题意；D ．正确，本选项符合题意．故选D ．点睛：本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题包括8个小题）11．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）．图乙种，67AB BC =，EF=4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为___cm【答案】503【解析】试题分析：根据67AB BC =，EF=4可得：AB=和BC 的长度，根据阴影部分的面积为542cm 可得阴影部分三角形的高，然后根据菱形的性质可以求出小菱形的边长为256，则菱形的周长为：256×4=503. 考点：菱形的性质.12．若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______．【答案】3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】分析：利用关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩可得m、n的数值，代入关于a、b的方程组即可求解，利用整体的思想找到两个方程组的联系再求解的方法更好．详解：∵关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，∴将解12xy=⎧⎨=⎩代入方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩可得m=﹣1，n=2∴关于a、b的二元一次方程组()()()()3=526a b m a ba b n a b⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a ba+=⎧⎨=⎩解得：3212 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩点睛：本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显．13．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a+b）6= ．【答案】a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2．【解析】通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为2、2、25、20、25、2、2．【详解】通过观察可以看出（a+b）2的展开式为2次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为2、2、25、20、25、2、2．所以（a+b）2=a2+2a5b+25a4b2+20a3b3+25a2b4+2ab5+b2．14．如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是____．【答案】1【解析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．【详解】解：设正多边形的边数为n，由题意得，()2180nn-︒=144°，解得n=1．故答案为1．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______【答案】【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D ，则BD ⊥AB′，∵∠C=90∘,AC=BC=，∴AB==2，∴BD=2×=， C′D=×2=1，∴BC′=BD−C′D=−1. 故答案为：−1. 点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 16．把多项式x 3﹣25x 分解因式的结果是_____【答案】x （x+5）（x ﹣5）．【解析】分析：首先提取公因式x ，再利用平方差公式分解因式即可．详解：x 3-25x=x （x 2-25）=x （x+5）（x-5）．故答案为x （x+5）（x-5）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．17．已知a ＋b ＝1，那么a 2－b 2＋2b ＝________．【答案】1【解析】解：∵a+b=1，∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b +-+=⨯-+=-+=+=故答案为1.【点睛】本题考查的是平方差公式的灵活运用.18．如图，四边形ACDF 是正方形，CEA ∠和ABF ∠都是直角，且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是__________．【答案】8【解析】证明△AEC ≌△FBA ，根据全等三角形对应边相等可得EC=AB=4，然后再利用三角形面积公式进行求解即可.【详解】∵四边形ACDF 是正方形，∴AC=FA ，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠FAB=90°，∵∠CEA=90°，∴∠CAE+∠ACE=90°，∴∠ACE=∠FAB ，又∵∠AEC=∠FBA=90°，∴△AEC ≌△FBA ，∴CE=AB=4，∴S 阴影=1·2AB CE =8， 故答案为8.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，三角形面积等，求出CE=AB 是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？【答案】（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．【解析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x 元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用。
中考复习之线、角、相交线、平行线
中考复习之线、角、相交线、平行线考点一、直线、射线和线段1、射线的概念直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
这个点叫做射线的端点。
射线有方向。
2、线段的概念直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
这两个点叫做线段的端点。
两点之间线段最短。
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离；线段的中点到两端点的距离相等。
线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
3，直线公理：过两点有且只有一条直线。
（两条不同的直线至多有一个公共点）注意：（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。
（2）直线和射线无长度，线段有长度。
（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。
（4）点和直线的位置关系有线面两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点。
②点在直线外，或者说直线不经过这个点。
4、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
考点二、角1、角的相关概念有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。
如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角。
同角（或等角）的余角相等。
如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角。
同角（或等角）的补角相等。
2、角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。
把1°的角60等分，叫1分，记作“1’”。
把1’的角60等分，叫1秒，记作“1””。
1°=60’，1’=60”3、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
九年级数学《线段、角、相交线、平行线》复习课课件
角的相关概念及性质
3.角平分线 （1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. （2）性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. （3）判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 基础点对点
相交线
3.线段的垂直平分线 (1)定义：经过线段的中点且与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线. (2)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. (3)判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
基础点对点
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点， 且AB=5，BC=8，则△ABD的周长为( A ) A.13 B.14 C.15 D.16
考点四：命题、公理、定理和证明 2.
03
针对性习题
完成课下的针对性练习
PART FOUR
感谢聆听 THANKS
1.[2018·德州] 如图 16-9,将一副三角尺按不同的位置摆 放,下列摆放方式中∠α 与∠β 互余的是 ( )
[答案] A [解析] 图①中∠α 与∠β 互余,图②中∠α= ∠β,图③中∠α=∠β,图④中∠α 与∠β 互补. 故选 A.
A.图①
B.图②
图 16-9 C.图③
D.图④
考点二：线与角的概念和基本性质
命题、公理、定理、证明
3.定理：经过推理证实的真命题叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是 所有的定理都有逆定理. 4.公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他 命题真伪的原始依据，这样的真命题叫做公理.
线段 角 相交线 平行线知识点总结
线段角相交线平行线知识点总结知识点一线段射线和直线1．线段的性质(1)所有连接两点的线中，最短(2)线段的中垂线定理2．射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线．3．直线、射线、线段的区别与联系知识点二角1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做；平角的一半叫；大于直角小于平角的角叫做，大于0°小于直角的角叫做．2．1周角＝度，1平角＝度，1直角＝度，1°＝分，1分＝秒．3．余角、补角及其性质互为补角：如果两个角，那么这两个角叫做互为补角．互为余角：如果两个角，那么这两个角叫做互为余角．余角性质：．补角性质：．知识点三相交线1．对顶角及其性质对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做．性质：．2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：①经过一点有 条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 最短(简说成： )． 知识点四 平行线1．平行线的定义在同一平面内， 的两条直线，叫平行线．2．平行公理经过已知直线外一点，有且只有 条直线与已知直线平行．3．平行线的性质(1)如果两条直线平行，那么 相等；(2)如果两条直线平行，那么 相等；(3)如果两条直线平行，那么 互补．4．平行线的判定(1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线；(2) ，两直线平行；(3) ，两直线平行；(4) ，两直线平行．考点练习1、如图，C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB =7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm 2、（2007重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）（A ）200 （B ）1200 （C ）200或1200 （D ）3603、已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，且∠β的补角为______度．4、如图，已知a ∥b ，∠1=50°，则∠2=______度．5、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．第3题图D C B A。
2024年云南省中考数学一轮复习 第14讲 线段、角、相交线与平行线课件
6.如图所示,AB∥CD,∠AEC=40°,CB平分∠DCE,求∠ABC的度数.
解:∵AB∥CD,∠AEC=40°,
∴∠ECD=∠AEC=40°.
∵CB 平分∠DCE,
∴∠BCD= ∠DCE=20°.
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠BCD=20°.
7.如图所示,已知AE∥BC,∠BAC=100°,∠DAE=50°,求∠C的度数.
模块四
第14讲
三角形
线段、角、相交线与平行线
直线、线段
(1)直线的基本事实:两点确定 一条 直线.
(2)线段的基本事实:两点之间, 线段 最短.
(3)线段的中点:如图所示,若点 M 是线段 AB 的中点,则 AM=BM= AB 或
AB=2
AM
=2
BM
.
角
(1)度分秒的换算
1周角= 360° ,1平角= 180° ,1直角= 90° ,1°= 60′ ,
同位角 相等
.
.
②两直线平行
内错角
③两直线平行
同旁内角
相等
互补
.
.
命题
(1)命题: 判断 一件事情的语句,叫做命题.
(2)真命题:如果题设成立,那么 结论 一定成立,这样的命题叫做真
命题.
(3)假命题:如果题设成立时,不能保证 结论
一定成立,这样的命题
叫做假命题.
(4)逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是另一个命题的结
C.③ D.④
2.如图所示,在直线l上有A,B,C三点,则图中线段共有( C )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
3.若A,B,C在同一条直线上,线段AB=6 cm,BC=2 cm,则A,C两点间的距
中考数学总复习 第一部分 考点全解 第四章 三角形 第14讲 线段、角、相交线和平行线课件
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类型四 平行线的性质 (2018·泰安)如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩
形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1 的大小为( )
A ．14°
C ．90°－α
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B ．16°
D ．α－44°
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【解析】 如解图所示．∵矩形的对边平行，∴∠3＝∠2＝44°.根据三角形外角 的性质，可得∠3＝∠1＋30°，∴∠1＝44°－30°＝14°，故选 A．
则∠B O G 的度数是( B )
A ．70°
B ．35°
C ．20°
D ．40°
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4．(2018·南阳模拟)如图，直线 a∥b，R t△A B C 的直角顶点 B 落在直线 a 上，若
∠1＝27°，则∠2 的度数是( B )
A ．53°
B ．63°
C ．73°
3．有关线段的基本事实：两点之间__线__段_____最短，连接两点间的线段的长度叫
做两点间的距离．
4．线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的___中_点_____.
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考点二 角高频考点 1．角的概念：具有公共端点的两条_射__线__(s_h_èx_ià_n组) 成的图形叫做角．这个公共端点 称为角的顶点，这两条射线是角的两边．角也可以看成是由一条_射__线__(_sh_èx_ià_n绕) 其端点 旋转而形成的几何图形．
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类型一 垂线的性质
(2018·杭州)若线段 A M ，A N 分别是△A B C 边 B C 上的高线和中线，
专题14 角、相交线、平行线-2020年中考数学全面复习系列讲座(通用版)
图 16－12
【解析】 如答图，延长 DC，
跟踪训练 4 答图 由题意可得∠ABC＝∠BCE＝∠BCA＝26°， 则∠ACD＝180°－26°－26°＝128°. 思维升华 两直线平行是确定等角的一个重要途径，证明两角相等，常从判断它 们所处的“三线八角”中的直线是否平行来解决．
(α)
4.度、分、秒的换算 1周角=360°,1平角=180°,1°=⑥ 60 ',1'=⑦ 60 ″,度、分、秒之间 是⑧ 60 进制.
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
角的相关概念及性质 5.余角与补角
余角
若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互为余角.
补角
若∠3+∠4=180°,则∠3与∠4互为补角.
②常用结论 如上图,AC=BC,AC= AB或BC= AB,AB=2AC或AB=2BC. (4)线段的和差运算 如图,点B是线段AC上一点,则有AB=AC-BC,BC=AC-AB,AC=AB+BC.
考点
角的相关概念及性质
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
1.角的概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点称为角的顶点,这两条 射线是角的两边. 2.角的表示 角有以下几种表示形式:
方法
命题角度 2 利用平行线的性质求角度 例2
在平行线中求角度 利用平行线的性质求角的度数,先观察要求的角与已知角的位置关系,再 选择合适的角进行等量代换,因此需要熟练掌握平行线的性质:两直线平 行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.另 外在解题过程中,要注意平角、直角、三角形内角和定理及其推论等知识 的综合运用.
第14节线段、角、相交线与平行线-中考数学一轮知识复习课件
☞命题点3 平行线的性质与判定(必考) 7.(2019·广东 12 题 4 分)如图，已知 a∥b，∠1＝
75°，则∠2＝___1_0_5_°__.
8．(2020·郴州)如图，直线 a，b 被直线 c， d 所截，下列条件能判定 a∥b 的是( D )
A.∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180° C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
O，OA 平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD 的度数
是( C )
A．20°
B．40°
C．50°
D．80°
2．(2020·吉林)如图，某单位要在河岸 l 上建一个 水泵房引水到 C 处，他们的做法是：过点 C 作 CD⊥l 于点 D，将水泵房建在了 D 处．这样做最节省水管长 度，其数学道理是_垂__线__段__最__短___.
针对训练 9．(2020·常德)如图，已知 AB∥DE，∠1 ＝30°，∠2＝35°，则∠BCE 的度数为( B )
A．70° C．30°
B．65° D．5°
10．(2020·武汉)如图，直线 EF 分别与直线 AB，
CD 交于点 E，F.EM 平分∠BEF，FN 平分∠
CFE，且 EM∥FN.求证：AB∥CD.
第四章 三角形
第十四节 线ห้องสมุดไป่ตู้、角、相交线与平行线
课标解读
1.点、线、面、角 (1)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线 段中点的意义． (2)能运用基本事实：两点确定一条直线和两点之间 线段最短解决相关问题． (3)能比较角的大小，并会计算角的和、差．
2．相交线与平行线 (1)能运用对顶角相等，同角(等角)的余角相等，同 角(等角)的补角相等进行计算或证明． (2)能过一点画已知直线的垂线；能度量点到直线的 距离；掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已 知直线垂直． (3)会辨认同位角、内错角、同旁内角，能运用平行 线的性质定理和判定定理进行计算或证明；能用三角 尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线． (4)会用平行于同一条直线的两条直线平行进行推理 证明．
广东中考数学第14讲 线、角、相交线与平行线
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考点2平行线的性质与判定(5年2考) 中考典例 4.(2021·济宁)如图,AB∥CD,BC∥DE,若∠B＝72°28',那么 ∠D的度数是( C ) A.72°28' B.101°28' C.107°32' D.127°32' 解析:∵AB∥CD,∠B＝72°28', ∴∠C＝∠B＝72°28', ∵BC∥DE,∴∠D+∠C＝180°, ∴∠D＝180°－∠C＝107°32',故选:C.
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5.(2021·白银)如图,直线DE∥BF,Rt△ABC的
顶点B在BF上,若∠CBF＝20°,则∠ADE＝
(A) A.70° C.75°
B.60° D.80°
解析:∵∠ABC＝90°,∠CBF＝20°,
∴∠ABF＝∠ABC－∠CBF＝70°,
∵DE∥BF,∴∠ADE＝∠ABF＝70°,故选:A.
第14讲 线、角、相交线与平行线
核心知识梳理 考点精讲精练
广东中考
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核心知识梳理
1.直线、射线、线段 直线 经过两点,有且只有一条直线 射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线 线段 两点之间线段最短 距离 连接两点间的线段的长度,叫两点间的距离
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1.(1)若在直线l上取6个点,则图中一共出现 12 条射线和 15 线段;
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5.(1)如图1,在△ABC中,∠C＝90°,AD平分∠CAB,且BC＝ 12,BD＝8,则点D到AB的距离为 4 ; (2)如图2,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于 点E,连接AE.若BC＝6,AC＝5,则△ACE的周长为 11 .
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考点精讲精练
考点1余角、补角、对顶角(5年1考) 中考典例 1.(2019·湖州)已知∠α＝60°32',则∠α的余角是( A ) A.29°28' B.29°68' C.119°28' D.119°68' 解析:∵∠α＝60°32', ∠α的余角是为:90°－60°32'＝29°28',故选:A.
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中考数学复习知识点总结：线段、角、相交线和平行线线段、角、相交线和平行线
要点梳理：
1、线段沿着一个方向无限延长就成为射线；线段向两方无限延长就成为直线；线
段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分。
2、直线的基本性质：两点确定一条直线。
线段的基本性质：两点之间线段最短，
连结两点的线段的长度，叫做两点之间的距离。
3、有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角，也可以把角看成是由一条射线绕
着它的端点旋转而成的图形。
（1）1 周角＝2 平角＝4 直角＝360°，1°＝
60′，1′＝60″。
（2）小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角；度数是90°的角叫做直角。
1。
2021年中考数学考点总动员第14讲 线段、角、相交线和平行线
第14讲 线段、角、相交线和平行线1．线段与直线(1)两个基本事实：直线的基本事实：两点确定一条直线；线段的基本事实：两点之间线段最短．(2)两点间距离：连接两点的线段，叫做两点之间的距离．(3)线段的中点：如图，点C 把线段AB 分成相等的两段AC 与BC ，点C 叫做线段AB 的中点，即AC ＝BC ＝12AB. (4)线段的和与差：如图，点C 是线段AB 上一点，则AC ＋BC ＝AB ，AC ＝AB －BC ，BC ＝AB －AC.2．角及角平分线(1)1周角＝_2_平角＝__4_直角＝ 360° ，1°＝__60′，1′＝60_″.(2)小于直角的角叫做_锐角_；大于直角而小于平角的角叫做钝角；度数是90°的角叫做直角．(3)余角：两个角的和等于90°时，称这两个角互为余角；同角(或等角)的余角_相等_．补角：两个角的和等于180°时，称这两个角互为补角；同角(或等角)的补角相等．(4)角平分线：①从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平分成相等的两个角，这条射线叫这个角的角平分线；②角平分线上的点，到角两边的距离_相等_；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
3．相交线(如图)(1)①邻补角：在一条直线上且互补的一对角，如：∠1与∠4，∠1与∠2，∠6与∠7等性质：邻补角和为180°.②对顶角：相交线中相对的一组角，如：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.性质：对顶角相等．(2)三线八角：同位角有∠4与∠8，∠1与∠5，∠3与∠7，∠2与∠6；内错角有∠3与∠5，∠2与∠8；同旁内角有∠3与∠8，∠2与∠5.(3)①垂线定义：两直线相交所组成的四个角中有一个是直角时，我们称这两条直线互相垂直_，其中一条直线叫另一条直线的_垂线，它们的交点叫垂足；②垂线基本事实：在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段 最短；④点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段 ，叫做点到直线的距离；⑤垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．4．平行线(1)在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线；(2)平行线公理：经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行；(3)平行线判定与性质：判定定理⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫同位角相等⇔两直线平行内错角相等⇔两直线平行同旁内角 互补 ⇔两直线平行性质定理考点1： 几何图形基本知识【例题1】若C 、D 是线段AB 上两点，D 是线段AC 的中点，AB=10cm ，BC=4cm ，则AD 的长是________ cm ．【分析】由AB=10cm ，BC=4cm ，可求出AC=AB ﹣BC=6cm ，再由点D 是AC 的中点，则可求得AD 的长．。
第14讲 线段和角、相交线和平行线-2020届广东九年级数学中考总复习课件 (共20张PPT)
第四章 三 角 形
第14讲 线段与角、相交线与平行线
近五年广东中考情况
2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 （3分） （0分） （3分） （3分） （4分）
平行线的 性质
补角的概 平行线的 平行线的
念
性质
性质
知识梳理
1.直线、射线、线段与角： （1）直线：两点确定一条__直__线____. （2）射线：直线上某一点一侧的部分称为射线，有 一个端点，可以向一侧无限地延伸. （3）线段：两点之间，__线__段____最短.连接两点的线 段的长度，叫做两点间的距离. （4）角的度量：1°＝60′；1′＝60″;1周角＝2个 平角＝4个直角＝360°. （5）两角互余和两角互补：如果两角之和为___9_0_°__, 则这两角互余；如果两角之和为____1_8_0_°___，则这两 个角互补.
考点二：平行线的判定与性质
4.（2018深圳）如图1-14-6，直线a，b被c,d所截,且
a∥b，则下列结论正确的是
（ B）
A.∠1=∠2
B.∠3=∠4
C.∠2+∠4=180°
D.∠1+∠4=180°
5.（2019广东）如图1-14-7，已知a∥b，∠1＝75°， 则∠2＝___1_0_5_°__.
3.如图1-14-3，直线AB与CD相交于点O，E是∠AOD内一 点，已知OE⊥CD，∠AOE=40°，则∠BOD=____5_0_°___.
4.如图1-14-4，把一块三角板的60°角的顶点放在直 尺的一边上，若∠1=70°，则∠2的度数是___5_0_°___.
考点突破
考点一：角的有关概念及其运算
2.角的平分线：从角的顶点出发，在角的内部的一条 射线，把已知角分成相等的两个角，这条射线叫做这 个角的平分线.性质：角平分线上的点到角的两边的 __距__离____相等；判定：到角的两边距离相等的点，在 角的_平__分__线___上. 3.对顶角：对顶角相等. 4.同一平面内，不相交的两条直线：过直线外一点， 有且只有一条直线与已知直线__平__行____.
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1. (2019·长沙)如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°，
则∠2的度数是( C )
A. 80°
B. 90°
C. 100°
D. 110°
2. (2018·荆门)已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板(∠C＝90°)
按如图的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数为( A )
A. 80°°
D. 75°
【方法指导】解决与平行线有关的求角度问题： 1．首先想到平行线的性质，分析所求角与已知角之间的关系，考虑结 合三角形内角和定理和三角形的内外角关系； 2．“折线形”问题求角度：常需要作辅助线转化为平行线，再利用平 行线性质求角度，常见类型如下表：
[对应训练]
【分析】直接利用垂直和平角的定义结合互余以及互补的定义分析得出答 案．
【方法指导】如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其 中一个角是另一个角的余角；如果两个角的和为180°，就说这两个角互为补角 即其中一个角是另外一个角的补角；角平分线上的点到角的两边的距离相等．
[对应训练] 1. 如图，AM 为∠BAC 的平分线，下列等式错误的是( C ) A. 12∠BAC＝∠BAM B. ∠BAM＝∠CAM C. ∠BAM＝2∠CAM D. 2∠CAM＝∠BAC
2. (2018·昆明)如图，过直线 AB 上一点 O 作射线 OC， ∠BOC＝29°18′，则∠AOC 的度数为____1_5_0_°__4_2_′ __．
例3 (2019·宁波)已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图
方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D. 若∠1＝25°，则∠2的度数为( C )
5. (2019·北京)用三个不等式 a>b，ab>0，1a<1b中的两个不等式作为题设， 余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( D )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6. (2017·金华)如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2相交于C，D两点，把一块含 30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝___2_0．°
B. 70°
C. 85°
D. 75°
3. (2019·泰安)如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2＋∠3＝( C ) A. 150° B. 180° C. 210° D. 240°
中考数学总复习 第14讲 线段、角、相交线和平行线
1. (2017·北京)如图，点P到直线l的距离是( B ) A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度 2. (2018·邵阳)如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD＝160°， 则∠BOC的大小为( D ) A. 20° B. 60° C. 70° D. 160°
3. (2019·陕西)如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°， 则∠2的度数为( C ) A. 52° B. 54° C. 64° D. 69°
4. (2019·齐齐哈尔)如图，直线a∥b，将一块含30°角(∠BAC＝30°)的 直角三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和b上． 若∠1＝20°，则∠2的度数为( C ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
例1 (2019·广州)一副三角板如图放置， 将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜90°)， 使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直， 则α的度数为_______1_5_°__或__6_0_°．
例2 (2018·河南)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O， ∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为_1_4_0_°．