最新2.3.2 直线与平面所成的角.ppt
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直线与平面所成的角
直线与平面所成的角1、直线和平面所成的角，应分三种情况：（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解问题．在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．3、斜线和平面所成角的最小性：斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．用空间向量直线与平面所成角的求法：（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝．。
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
【精品课件】第三章3.2.3直线与平面所成的角
(0,1,)
PA PC= 1
PA PC = 6 COS< PA ,PC >= 6 6
(0,0,0)
A
(1,0,0) x
B
PC和面AC成角为
π -arccos 6 2 6
2.直线与平面所成的角
(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角. (2)范围: [0 , ] 2 (3)向量求法:设直线l的方向向量为 a ,平面的法
AA 6, M 为B1C1上的一点,且B1M 2, 点N 在线段A1D上， 1
解：如图建立坐标系A-xyz,则
A(0, 0, 0), M (6,2,6)
由A1 N 5, 可得 N (0,4,3) AM (6,2,6), AN (0,4,3). 设平面的法向量n ( x, y, z ),由
直线与平面所成角的范围： q
A
q
O
[0,
2
]
n
思考：
< n, BA 与 q的 关 系 ？
B
结论： sin q
|
cos < n , A B
|
例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. 分析：定义法 RT△PAC中 PA=1 AC= 5 PC= 6 30 PC和面AC成角为 arccos 6
A
B
最小角原理
？？
？探究学习 q1 ------ 斜射角（线面角） q ------ 斜非角 q2 ------ 射非角
直线和平面 所 成 的 角
C
a
平面与平面所成的角ppt课件
D A
C B
D
C
A
B
精选ppt
7
1．二面角，二面角的平面角的定义； 2．会求二面角的平面角．
精选ppt
8
教材 P 134，练习 B 组第 1，2 题．
精选ppt
9
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二面角 -AB-
二面角 C-AB-D
二面角 -l-
二面角 C-l-D
面
C•
A
l
D•
面
棱 B
精选ppt
3
二．二面角的平面角
射线 OA 和 OB 构成的 AOB 叫做二面角的平面角．
B
l
O
A
精选ppt
4
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角 的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．
B
l
O
A
l
B O
D
二面角D-AB-D 的平面角．
A
B
由于△DAD是等腰直角三角形，
因此 DAD＝45 ，
所以二面角 D-AB-D 的大小为 45．
精选ppt
C
C
6
一．一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的 两个面的交线组成的角就是二面角的平面角， 对吗？为什么？
二．如图所示，在正方体ABCD－ABCD 中， 求二面角A-AB-D 的大小．
A
我们约定，二面角 的大小范围是 0≤ ≤180 ．
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
精选ppt
5
例 已知正方体 ABCD－ABCD ( 如图 ) ，
求二面角 D－AB－D 的大小 ．
直线和平面所成的角全国优秀课件
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 （3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
A1
D
A
C1 B1
C B
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
（3）直线和平面所成角的范围是_0_0_,_9_0_0 _ 。
最小角定理 A
B
1
O
2 C
l是平面 的斜线，A是l
上任意一点， AO⊥ ， O是垂足，OB是斜线l的
射影，θ1是斜线l与平面
所成的角.BC是内任意 直线，则
coθs 1
=
BO AB
coθs
=
BC AB
∴ cos = cos1 cos2
教学目标：
1.掌握公式cosθ=cosθ1cosθ2，会用公式解决一些问题 2.掌握直线与平面所成角的概念 3.掌握最小角定理
教学重点：
直线与平面所成的角的概念及求法
教学难点：
公式cosθ=cosθ1cosθ2的的推导及应用
新课引入
思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢？
O
A
探索线面角
1
coθs 2
=
BC OB
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题选讲
例 1.正方体 AC 1中, 求 :
(1) A1 B和平面 ABCD 所成的角 ; 在平面内的射影为AB, 450 (2)A1B和平面BCC1B1所成的角; 在平面内的射影为BB1,450 (3) A1B和平面A1 B1CD所成的角; 在平面内的射影为A1O, 300
A1
D
A
C1 B1
C B
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
（3）直线和平面所成角的范围是_0_0_,_9_0_0 _ 。
最小角定理 A
B
1
O
2 C
l是平面 的斜线，A是l
上任意一点， AO⊥ ， O是垂足，OB是斜线l的
射影，θ1是斜线l与平面
所成的角.BC是内任意 直线，则
coθs 1
=
BO AB
coθs
=
BC AB
∴ cos = cos1 cos2
教学目标：
1.掌握公式cosθ=cosθ1cosθ2，会用公式解决一些问题 2.掌握直线与平面所成角的概念 3.掌握最小角定理
教学重点：
直线与平面所成的角的概念及求法
教学难点：
公式cosθ=cosθ1cosθ2的的推导及应用
新课引入
思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢？
O
A
探索线面角
1
coθs 2
=
BC OB
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题选讲
例 1.正方体 AC 1中, 求 :
(1) A1 B和平面 ABCD 所成的角 ; 在平面内的射影为AB, 450 (2)A1B和平面BCC1B1所成的角; 在平面内的射影为BB1,450 (3) A1B和平面A1 B1CD所成的角; 在平面内的射影为A1O, 300
2 第2课时 直线与平面所成的角、直线与平面垂直的性质定理
栏目 导引
第八章 立体几何初步
(3)因为 A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1， 又因为 AB1∩B1C1＝B1， 所以 A1B⊥平面 AB1C1D，即 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角为 90°. 答案：(1)45° (2)30° (3)90°
栏目 导引
第八章 立体几何初步
直线与平面所成的角 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，求 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值． 【解】 取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
求点到平面的距离 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底 面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点． (1)证明：PB∥平面 AEC； (2)设 AP＝1，AD＝ 3，三棱锥 P-ABD 的体积 V＝ 43，求 A 到 平面 PBC 的距离．
栏目 导引
栏目 导引
如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点， N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
第八章 立体几何初步
栏目 导引
第八章 立体几何初步
证明：(1)因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面 ADD1A1， 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________； (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________； (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________．
第八章 立体几何初步
(3)因为 A1B⊥AB1，A1B⊥B1C1， 又因为 AB1∩B1C1＝B1， 所以 A1B⊥平面 AB1C1D，即 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角为 90°. 答案：(1)45° (2)30° (3)90°
栏目 导引
第八章 立体几何初步
直线与平面所成的角 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，求 直线 BE 与平面 ABB1A1 所成的角的正弦值． 【解】 取 AA1 的中点 M，连接 EM，BM.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
求点到平面的距离 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底 面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点． (1)证明：PB∥平面 AEC； (2)设 AP＝1，AD＝ 3，三棱锥 P-ABD 的体积 V＝ 43，求 A 到 平面 PBC 的距离．
栏目 导引
栏目 导引
如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点， N 是 A1C 的中点，MN⊥平面 A1DC. 求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点．
第八章 立体几何初步
栏目 导引
第八章 立体几何初步
证明：(1)因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1⊥A1D. 又因为 CD⊥平面 ADD1A1， 所以 CD⊥AD1.因为 A1D∩CD＝D， 所以 AD1⊥平面 A1DC. 又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________； (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________； (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________．
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
直线与平面所成的角-教学课件
直线与平面所成的角-教学课件
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
数学2.3.12直线和平面所成的角课件新人教版A必修2
问题提出
1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？
定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直.
定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面.
2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形， 我们需要从理论上作些分析.
αA
OB
思考5:如图，过平面α内一点P引平 面α的两条斜线PA、PB，这两条斜 线段在平面α内的射影分别为PC、 PD，如果PA>PB，那么PC与PD的大 小关系确定吗？
A B
C
D
α
P
思考6:如图，直线l是平面α的一条 斜线，它在平面α内的射影为b，直 线a在平面α内，如果a⊥b，那么直 线a与直线l垂直吗？为什么？反之成 立吗？
l
b abal
αa
知识探究（二）：直线和平面所成的角 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度，我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度，并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定，那么角的顶点宜选在何处？
l
α
思考2:如图，AB为平面α的一条斜 线，A为斜足，AC为平面α内的任意 一条直线，能否用∠BAC反映斜线AB 与平面α的相对倾斜度？为什么？
知识探究（一）：平面的斜线
思考1:当直线与平面相交时，它们可 能垂直，也可能不垂直，如果一条直 线和一个平面相交但不垂直，这条直 线叫做这个平面的斜线，斜线和平面 的交点叫做斜足.那么过一点作一个平 面的斜线有多少条？
l
斜线
斜足
P
α直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条？
1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？
定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直.
定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面.
2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形， 我们需要从理论上作些分析.
αA
OB
思考5:如图，过平面α内一点P引平 面α的两条斜线PA、PB，这两条斜 线段在平面α内的射影分别为PC、 PD，如果PA>PB，那么PC与PD的大 小关系确定吗？
A B
C
D
α
P
思考6:如图，直线l是平面α的一条 斜线，它在平面α内的射影为b，直 线a在平面α内，如果a⊥b，那么直 线a与直线l垂直吗？为什么？反之成 立吗？
l
b abal
αa
知识探究（二）：直线和平面所成的角 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度，我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度，并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定，那么角的顶点宜选在何处？
l
α
思考2:如图，AB为平面α的一条斜 线，A为斜足，AC为平面α内的任意 一条直线，能否用∠BAC反映斜线AB 与平面α的相对倾斜度？为什么？
知识探究（一）：平面的斜线
思考1:当直线与平面相交时，它们可 能垂直，也可能不垂直，如果一条直 线和一个平面相交但不垂直，这条直 线叫做这个平面的斜线，斜线和平面 的交点叫做斜足.那么过一点作一个平 面的斜线有多少条？
l
斜线
斜足
P
α直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条？
2.3.2--平面与平面垂直的判定定理(经典)-ppt
而EF = 1，在△EFG中 tan EGF EF 5 GF
练习
第11页，共42页。
例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.
求证: BDCD,BAC 600
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
2 等腰三角形底边上的高 3 勾股定理
2 线面垂直 线线垂直.
要证明l垂直于内的直线b，
往往反过来证明b垂直于过l的某个平面.
(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.
二、平面与平面垂直
(1)定义：两平面所成二面角为直二面角
(2)判定定理： 平面过平面的垂线l
(3)性质定理： 两平面垂直，则平面内垂直于公共棱的直线是
i)求证面PAC 面ABC ii)求二面角B-PC-A的余弦值.
P
注意：Rt APC Rt ABC
证明:取AC的中点E，连接PE，往证PE 面ABC.
PA PB,点E为AC的中点，PE AC. 接下来往证PE BC,可转化为异面直线所成角问题.A
E
C
取AB的中点F，连接EF，PF，则EF//BC.
P
PO OA，PO OB，PO OC
PA=PB=PC，PO=PO=PO
Rt POA Rt POB Rt POC
OA=OB=OC，即O为 ABC的外心.
A
C
ABC为直角三角形，ABC=90，则O为斜边AC的中点. B 由PO 面PAC，PO 面ABC，可得面PAC 面ABC.
第20页，共42页。
A
G E
C
EGB为所求二面角B-PC-A的平面角.