3.1.3空间向量数量积运算
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人教A版选修2-1第三章
合作探究
向量的数量积
平面
夹角定义 范围 定义 几何意义 运算律 ……
空间
小组合作
完成表格
合作探究
向量的数量积
夹角定义 范围 定义
对非零向量a , b , 作OA a, OB b， 则AOB叫做a与b的夹角. 范围：[0, ] 非零向量 a b a b cos 规定：0 a 0
问题:如何判断直线l 平面？
α l
l m n
m
g
n
g
如何判断l g( g为平面内任意一条直线)？ 如何判断l g？ 如何用m, n表示g？
例题赏析
数量积运算
线面垂直
证明：在内作任一直线g , 分别在l , m, n, g上 取非零向量l , m, n, g . 直线m, n相交, 故m, n不共线. 由向量共面基本定理可知： 存在唯一实数对( x, y), 使得 g xm yn. l m, l n， l m, l n, l g l ( xm yn) 0. l g，即l g， l .
问题辨析
若a, b, c都不为0
数量积运算误区
数 量 积 运 可除吗？ 算
可约吗？
a b a Байду номын сангаасc b c
k 若a b k,则a b
不可以 不可以 不可以
可结合吗？
( a b )c a( b c )
|a || b c | cos a, b c | a || b | cos a, b | a || c | cos a, c
| b c | cos a, b c | b | cos a, b | c | cos a, c
课堂小结
空间向量的数量积运算 方法
用数量积 运算计算 空间中的 角度、 长度
知识
用数量积 空间向量 运算刻画 数量积的 空间中的 定义、 几何意义、 垂直关系： 线线垂直 运算律 线面垂直 面面垂直
思想
数 形 结 合 化 归 转 化
类 比 归 纳
学习感悟
没有运算的向量只能起到路标作用， 有了运算的向量力量无穷！
课后作业
1.必做作业：
1.1 书本92: 练习1；书本99: B组.第1题； 1.2 试证明三垂线定理的逆定理
2.选做作业： 请查阅资料，尝试发现空间向量的其他知识， 进一步完善空间向量的认知体系.
合作探究
向量的投影
B
类 比
A
H
合作探究
空间向量数量积运算的分配律
a (b c) a b a c
例题赏析
例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知： PO 平面 ，l在平面 内， OA是斜线 PA在 内的射影， 且l OA. 求证： l PA
P
O A
l
数量积运算 线线垂直
例题赏析
例2.如图, m , n是平面内的两条相交直线. 如果l m , l n，求证：l .
b c在a方向上投影 b在a方向上投影 c在a方向上投影
合作探究
空间向量数量积运算的分配律 b c在a方向上投影 b在a方向上投影 c在a方向上投影
C
平面到空间 二维到三维
P
C
P
G O
H
B
A
O
G
B
H
A
平面
空间
几何意义
运算律
( a) b (a b), a b b a a (b c) a b a c
a的长度 | a | 与b在a的方向上 的投影 | b | cos 的乘积.
类比归纳
向量的数量积
平面
夹角定义 范围 定义 几何意义 运算律
空间
对非零向量a , b , 作OA a, OB b，则AOB 叫做a与b的夹角, 记作 a , b ; 范围：[0, ] 非零向量 a b a b cos a, b ; 规定：0 a 0
a的长度 | a | 与b在a的方向上的 投影 | b | cos a, b 的乘积.
( a) b (a b), a b b a a (b c) a b a c
合作探究
向量的数量积
平面
夹角定义 范围 定义 几何意义 运算律 ……
空间
小组合作
完成表格
合作探究
向量的数量积
夹角定义 范围 定义
对非零向量a , b , 作OA a, OB b， 则AOB叫做a与b的夹角. 范围：[0, ] 非零向量 a b a b cos 规定：0 a 0
问题:如何判断直线l 平面？
α l
l m n
m
g
n
g
如何判断l g( g为平面内任意一条直线)？ 如何判断l g？ 如何用m, n表示g？
例题赏析
数量积运算
线面垂直
证明：在内作任一直线g , 分别在l , m, n, g上 取非零向量l , m, n, g . 直线m, n相交, 故m, n不共线. 由向量共面基本定理可知： 存在唯一实数对( x, y), 使得 g xm yn. l m, l n， l m, l n, l g l ( xm yn) 0. l g，即l g， l .
问题辨析
若a, b, c都不为0
数量积运算误区
数 量 积 运 可除吗？ 算
可约吗？
a b a Байду номын сангаасc b c
k 若a b k,则a b
不可以 不可以 不可以
可结合吗？
( a b )c a( b c )
|a || b c | cos a, b c | a || b | cos a, b | a || c | cos a, c
| b c | cos a, b c | b | cos a, b | c | cos a, c
课堂小结
空间向量的数量积运算 方法
用数量积 运算计算 空间中的 角度、 长度
知识
用数量积 空间向量 运算刻画 数量积的 空间中的 定义、 几何意义、 垂直关系： 线线垂直 运算律 线面垂直 面面垂直
思想
数 形 结 合 化 归 转 化
类 比 归 纳
学习感悟
没有运算的向量只能起到路标作用， 有了运算的向量力量无穷！
课后作业
1.必做作业：
1.1 书本92: 练习1；书本99: B组.第1题； 1.2 试证明三垂线定理的逆定理
2.选做作业： 请查阅资料，尝试发现空间向量的其他知识， 进一步完善空间向量的认知体系.
合作探究
向量的投影
B
类 比
A
H
合作探究
空间向量数量积运算的分配律
a (b c) a b a c
例题赏析
例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知： PO 平面 ，l在平面 内， OA是斜线 PA在 内的射影， 且l OA. 求证： l PA
P
O A
l
数量积运算 线线垂直
例题赏析
例2.如图, m , n是平面内的两条相交直线. 如果l m , l n，求证：l .
b c在a方向上投影 b在a方向上投影 c在a方向上投影
合作探究
空间向量数量积运算的分配律 b c在a方向上投影 b在a方向上投影 c在a方向上投影
C
平面到空间 二维到三维
P
C
P
G O
H
B
A
O
G
B
H
A
平面
空间
几何意义
运算律
( a) b (a b), a b b a a (b c) a b a c
a的长度 | a | 与b在a的方向上 的投影 | b | cos 的乘积.
类比归纳
向量的数量积
平面
夹角定义 范围 定义 几何意义 运算律
空间
对非零向量a , b , 作OA a, OB b，则AOB 叫做a与b的夹角, 记作 a , b ; 范围：[0, ] 非零向量 a b a b cos a, b ; 规定：0 a 0
a的长度 | a | 与b在a的方向上的 投影 | b | cos a, b 的乘积.
( a) b (a b), a b b a a (b c) a b a c