河南省普通高等学校招生全国统一考试高考数学考前诊断试题(一)文(扫描版)
2022年河南省高考理科数学模拟试卷及答案解析
2022年河南省高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（ ）A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1 2．（5分）已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．323．（5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，则下列集合为A ∩B 的子集的是（ ）A ．{1，7，13，19}B ．{1，5，7，11，13}C ．{1，3，5，9，11}D ．{1，3，5，7，9，11}4．（5分）某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ）A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm 5．（5分）若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．166．（5分）圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0的公共点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（ ） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．48．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+px ﹣q （p ，q ∈N *）有两个不同的零点a ，b ，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q ﹣p ＝（ ）A ．36B ．28C ．9D ．﹣19．（5分）已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），当t ∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为（ ）A ．0.125sB ．0.25sC ．0.375sD ．0.5s10．（5分）已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 11．（5分）下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（ ）A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π12．（5分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则下列结论中正确的个数为（ ）①A 1C ⊥DB ；②A 1C =√11；③A 1C ⊥平面B 1BDD 1；④四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为√11．A ．4B ．3C ．2D ．1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f(x)=x 3cos(x +n 2π)为偶函数，且当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，则n 的值可能为 ．14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A （0，√3c ），且线段F 2A 的中点在C 的渐近线上，当点P 在C 的右支上运动时，|PF 1|+|P A |的最小值为6，则双曲线C 的实轴长为 ．15．（5分）已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝ ． 16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 的图象在点（1，1）处的切线方程为2x ﹣y ﹣1＝0，则函数h （x ）＝[f （x ）]3+f （x ）﹣2x 的零点个数为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13．（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）求sin ∠ACD ．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ，求{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，CD ∥EB ，CD ＝2DE ＝2BE ＝2BC ＝2，△ADE 为等边三角形，AC ＝2，F 为棱AC 的中点．（Ⅰ）证明：CE ⊥BF ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O ，O 'O 为铅垂线（O '在桥梁AB 上）．以O 为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO 的方程为y =149x 2−17x （﹣70≤x ≤0），右侧山体曲线BO 的方程为y =−1675x 3+5x （0≤x ≤30），其中x ，y 的单位均为m ．现在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，其中C 在线段O 'A 上，E 在线段O 'B 上，且O 'E ＝15m ，CD ＝2EF ．（Ⅰ）求CE 的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C ，E 之间找一点P ，修建两个支撑斜柱DP 和FP ，当∠DPF 最大时，求CP 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：√82≈9.06．）21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ）．（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y＝f（e x）﹣ax+1与y＝e a（lnx+a）的图象有两个不同的公共点，求a的取值范围．2022年河南省高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1，则￢p 为（ ）A ．∃x 0＞3，log 3x 0＞1B ．∃x 0＜3，log 3x 0＞1C ．∀x ＞3，log 3x ≤1D ．∀x ＞3，log 3x ＞1 【解答】解：根据题意，命题p ：∃x 0＞3，log 3x 0≤1是特称命题，其否定为∀x ＞3，log 3x ＞1；故选：D ．2．（5分）已知复数z 满足（4+3i ）（z +i ）＝25，则|z |＝（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．32【解答】解：∵（4+3i ）（z +i ）＝25，∴z +i =254+3i =25(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4−3i ， ∴z ＝4﹣4i ，∴|z |=√42+(−4)2=4√2．故选：C ．3．（5分）已知集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，则下列集合为A ∩B 的子集的是（ ）A ．{1，7，13，19}B ．{1，5，7，11，13}C ．{1，3，5，9，11}D ．{1，3，5，7，9，11}【解答】解：因为集合A ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N }，B ＝{x |x ＝2n +1，n ∈N }，所以A ∩B ＝{x |x ＝6n +1，n ∈N }，故选：A ．4．（5分）某同学用一个半径为100√10mm ，圆心角为√10π5的扇形铁片卷成了一个简易的圆锥形状的容器（接缝处忽略不计），口朝上放在院子中间接雨水来测量降雨量（容器不漏），24h 所收集的雨水的高度达到容器高度的一半，然后将这些雨水倒入底面半径为100mm 的圆柱形量杯中，则量杯中水面高度为（ ）A ．37.5mmB ．25mmC ．15mmD ．12.5mm【解答】解：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，由题意得：2πr ＝100√10×√10π5，解得r ＝100，h =√(100√10)2−1002=300，所以雨水的体积为V =13×3002×π(1002)2=(1002)3π，设量杯中水面高度为h ′，则π1002•h ′＝（1002）3π，解得h ′＝12.5，故选：D ．5．（5分）若x ，y 满足不等式组{x ≤4，x −2y +4≥0，x +y −2≥0，则z ＝2x +y 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．16 【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =4x −2y +4=0，解得A （4，4）， 由z ＝2x +y ，得y ＝﹣2x +z ，由图可知，当直线y ＝﹣2x +z 过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为12．故选：C ．6．（5分）圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16与曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0的公共点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为圆C 1：（x ﹣5）2+（y ﹣5）2＝16的圆心为（5，5），半径为4， 曲线C 2：（x ﹣1）（3x +4y ﹣20）＝0，即x ＝1或3x +4y ﹣20＝0，由于圆心到直线x ＝1的距离为4，故直线x ＝1与圆相切，切点为A （1，5），即有1个交点，圆心到直线3x +4y ﹣20＝0的距离d =√3+4=3＜4，所以直线3x +4y ﹣20＝0与圆相交，即有2个交点，且不经过点（1，5），故有3个公共点．故选：C ．7．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24，则该三棱柱的高为（ ） A ．1 B ．√2 C ．2 D ．4【解答】解：在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面是边长为2的等边三角形，设该三棱柱的高为a ，则AB 1＝CB 1=√4+a 2，∵AC ∥A 1C 1，∴∠B 1AC 是异面直线AB 1与A 1C 1所成的角（或所成角的补角），∵异面直线AB 1与A 1C 1所成的角的余弦值为√24， ∴cos ∠B 1AC =AB 12+AC 2−CB 122×AB 1×AC =4+a 2+4−4−a 22×2×√4+a=√24， 解得a ＝2．故选：C ．8．（5分）已知函数f （x ）＝x 2+px ﹣q （p ，q ∈N *）有两个不同的零点a ，b ，若a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q ﹣p ＝（ ）A ．36B ．28C ．9D ．﹣1【解答】解：由题意可得a +b ＝﹣p ，ab ＝﹣q ，因为p ，q ∈N *，可得ab ＜0，a +b ＜0，不妨设a ＜0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得{−2a =b 2a +b =−4或{−2a =b 2b −2=2a ，解得{a =−8b =4或{a =−12b =1， 若a ＝﹣8，b ＝4，则p ＝4，q ＝32，此时q ﹣p ＝28；若a =−12，b ＝1，则q =12∉N *，不合题意．综上可得q ﹣p ＝28．故选：B ．9．（5分）已知人的血压在不断地变化，心脏每收缩和舒张一次构成一个心动周期，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压．已知某人某次测量自己的血压得到收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg ，心动周期约为0.75s ，假设他的血压p （mmHg ）关于时间t （s ）近似满足函数式p （t ）＝b +a sin ωt （ω＞0），当t ∈[0，0.75]时，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为（ ）A ．0.125sB ．0.25sC ．0.375sD ．0.5s 【解答】解：由题意可知{b +a =126b −a =78，解得b ＝102，a ＝24， 由ω=2πT =2π×43=8π3，则p （t ）＝24sin 8π3t +102， 由90≤24sin8π3t +102≤114，得出−12≤sin 8π3t ≤12， 令x =8π3t ，x ∈[0，2π]，则−12≤sin x ≤12，函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示，由图可知，此人的血压在[90，114]mmHg 之间的时长约为[π6+（7π6−5π6）+（2π−11π6）]×38π=0.25． 故选：B ．10．（5分）已知抛物线C ：x 2＝2py （0＜p ＜6）的焦点为F ，P 为C 上一点，点A （3，0），B （1，﹣2），设∠ABP 取最小值和最大值时对应的点分别为P 1，P 2，且BP 1→•BP 2→=0，则p ＝（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【解答】解：如图：当BP 1与抛物线相切时，∠ABP 取最小值，当BP 2与抛物线相切时，∠ABP 取最大值，不妨令P （x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），∵x 2＝2py ，∴y =x 22p， ∴y ′=x p ，则直线BP 1的斜率k 1=x 1p =y 1+2x 1−1=x 122p +2x 1−1，即12x 12﹣x 1＝2p ，①， 同理可得直线BP 2的斜率k 2=x 1p ，即12x 22﹣x 2＝2p ，②， 由①②可得x 1，x 2是方程12x 2﹣x ﹣2p ＝0的两个根， ∴x 1x 2＝﹣4p ，∵BP 1→•BP 2→=0，∴k 1k 2=x 1x 2p 2=−1，即x 1x 2＝﹣p 2， ∴p 2＝4p ，解得p ＝4，故选：A ．11．（5分）下列各组x ，y 的值满足x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）的是（ ） A ．x ＝e 3，y ＝3eB ．x ＝e π，y ＝πeC ．x ＝3π，y ＝π3D ．x ＝3e ，y ＝e π【解答】解：因为x 2﹣y 2＜2（2log 4y ﹣log 2x ）等价于x 22+log 2x ＜y 22＜log 2y ，于是构造函数f （x ）=x 22+log 2x ，上式子等价于f （x ）＜f （y ），又因为函数f （x ）=x 22+log 2x 是增函数，故只需要x ＜y 即可． 构造函数g （x ）=lnx x ，g '（x ）=1−lnxx 2， 可得到函数g （x ）在（0，e ）上为增函数，在（e ，+∞）上为减函数， 所以g （e ）＞g （3）＞g （π），即lne e＞ln3π＞lnππ，所以e 3＞3e ，e π＞πe ，3π＞π3，故可排除A ，B ，C ； 对于D ，因为ln3π＜lnππ＜lne e，所以3e ＜e π，故选项D 正确．故选：D ．12．（5分）在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，AA 1＝1，cos ∠DAA 1＝cos ∠BAA 1=14，则下列结论中正确的个数为（ ） ①A 1C ⊥DB ； ②A 1C =√11； ③A 1C ⊥平面B 1BDD 1；④四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为√11．A．4B．3C．2D．1【解答】解：对于①，∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AA1＝1，cos∠DAA1＝cos∠BAA1=1 4，∴A1D＝A1B=√1+4−2×1×2×14=2，BD＝2，连接AC，BD，交于点O，连接A1O，A1C，则AC⊥BD，A1O⊥BD，∵AC∩A1O＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴A1C⊥DB，故①正确；对于②，∵AA1＝1，A1O＝AO=√4−1=√3，AC＝2√3，∴cos∠A1AC=2×1×√3=√36，∴A1C=1+12−2×1×2√3×√36=√11，故②正确；对于③，∵BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥A1C，∵AA12+A1C2＝AC2，∴AA1⊥A1C，∵DD1∥AA1，∴DD1⊥A1C，∵DD1∩BD＝D，∴A1C⊥平面B1BDD1，故③正确；对于④，S四边形ABCD＝2×12×2×√3=2√3，A1到平面ABCD的距离d＝sin∠A1AC=1−(√36)2=√336，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：V＝S四边形ABCD•d＝2√3•√336=√11，故④正确．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，且当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0，则n 的值可能为 n ＝4m ﹣1，m ∈Z ．【解答】解：函数f(x)=x 3cos(x +n2π)为偶函数，可得f （﹣x ）＝f （x ），即﹣x 3cos （﹣x +n2π）＝x 3cos （x +nπ2）， 即有cos （﹣x +n2π）＝﹣cos （x +nπ2）， 可得cos x cos nπ2+sin x sin nπ2=−（cos x cosnπ2−sin x sinnπ2），化为cos x cos nπ2=0，可得cosnπ2=0，可得nπ2=k π+π2，k ∈Z ，解得n ＝2k +1，k ∈Z ，当x ∈（0，π）时，f （x ）＞0， 即有cos （x +nπ2）＞0，而k 为偶数时，cos （x +nπ2）＝cos （x +k π+π2）＝﹣sin x ＜0， k 为奇数时，cos （x +nπ2）＝cos （x +k π+π2）＝sin x ＞0， 则n 的值可能为n ＝4m ﹣1，m ∈Z ， 故答案为：n ＝4m ﹣1，m ∈Z ． 14．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），点A （0，√3c ），且线段F 2A 的中点在C 的渐近线上，当点P 在C 的右支上运动时，|PF 1|+|P A |的最小值为6，则双曲线C 的实轴长为 2 ． 【解答】解：∵F 2（c ，0），点A （0，√3c ）， ∴F 2A 的中点为：（c2，√32c ）， ∵线段F 2A 的中点在C 的渐近线上， ∴√32c =b a •c2⇒b =√3a ，① ∵|PF 1|+|P A |＝2a +|PF 2|+|P A |≥2a +|AF 2|＝2a +√c 2+(√3c)2=2a +2c ，∵|PF 1|+|P A |的最小值为6， ∴2a +2c ＝6⇒a +c ＝3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③解得a ＝1，b =√3，c ＝2， ∴双曲线C 的实轴长为2a ＝2． 故答案为：2．15．（5分）已知点A ，B 是⊙O 上的两个点，∠AOB ＝θ（0＜θ＜π2），点C 为劣弧AB̂的中点，若sin θ+sin （θ+π3）=√3，OC →=xOA →+yOB →，则x +y ＝2√33． 【解答】解：根据题意，如图，连接AB ，设OC 与AB 交于点G ， 点C 为劣弧AB ̂的中点，则G 为AB 的中点，则有OG →=12（OA →+OB →）， 若sin θ+sin （θ+π3）=√3， 即sin θ+sin θcos π3+cos θsinπ3=32sin θ+√32cos θ=√3sin （θ+π6）=√3，则有sin （θ+π6）＝1，又由0＜θ＜π2，则π6＜θ+π6＜2π3，则θ+π6=π2，即θ=π3，则有OG OA =cosπ6=√32，则有OG →=√32OC →，则有12（OA →+OB →）=√32OC →，变形可得OC →=√33（OA →+OB →）=√33OA →+√33OB →，又由OC →=xOA →+yOB →，则x ＝y =√33，故x +y =2√33，故答案为：2√33．16．（5分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 的图象在点（1，1）处的切线方程为2x ﹣y ﹣1＝0，则函数h （x ）＝[f （x ）]3+f （x ）﹣2x 的零点个数为 3 ．【解答】解：因为f （x ）＝ax 3+bx ，则f ′（x ）＝3ax 2+b ，则{f′(1)=2f(1)=1，即{3a +b =2a +b =1，解得{a =12b =12， 则f(x)=x 3+x 2，而f′(x)=3x 2+12＞0， 所有f （x ）是R 上的增函数，令h （x ）＝0，可得[f （x ）]3+f （x ）＝2x ，即 [f(x)]3+f(x)2=x ，ℎ(x) 的零点对应方程f （f （x ））＝x 的实根，利用函数的单调性知，函数f （x ）是R 上的增函数，任取f （f （x ））＝x 的实根x 0，若f （x 0）＞x 0，则必有x 0＝f （f （x ））＞f （x 0）＞x 0，矛盾， 若f （x 0）＜x 0，则必有x 0＝f （f （x ））＜f （x 0）＜x 0，矛盾， 所以f （x 0）＝x 0，即x 03+x 02=x 0，可知h （x ）的所有零点为0，1，﹣1三个，故答案为：3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，M 为对角线AC 的中点，BC ＝3，BM ＝3√2，AD =√11，cos ∠ABC =13． （Ⅰ）求AB ； （Ⅱ）求sin ∠ACD ．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，BA →+BC →=2BM →，两边平方得BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →=4BM →2，即|BA →|2+9+2×|BA →|×3×13=4×18， 解得|BA →|=7或|BA →|=−9（舍去），即AB ＝7．（Ⅱ）由余弦定理可得AC 2＝BA 2+BC 2﹣2BA ⋅BC cos ∠ABC ＝44，所以AC =2√11， 由题意知∠ABC +∠ADC ＝π，所以cos∠ADC =−13， 所以sin∠ADC =√1−19=2√23． 根据正弦定理得ACsin∠ADC−AD sin∠ACD，因此sin∠ACD =ADsin∠ADC AC =√11×2√232√11=√23． 18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ，求{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣1，① ∴S 1＝2a 1﹣1⇒a 1＝1，当n ≥2时，S n ﹣1＝2a n ﹣1﹣1，② ①﹣②整理得：a n ＝2a n ﹣1，∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n ﹣1，（Ⅱ）∵数列{b n }满足b 1＝a 1，b n +1＝2a n +3b n ， ∴b n +1＝2n +3b n ⇒b n +1+2n +1＝3（b n +2n ）， 又b 1+21＝3，∴{b n +2n }以3为首项，3为公比的等比数列， ∴b n +2n ＝3n ， ∴b n ＝3n ﹣2n ，∴{b n }的前n 项和T n ＝（31﹣21）+（32﹣22）+......+（3n﹣2n）=3(1−3n)1−3−2(1−2n)1−2=3n+12−2n +1+12． 19．（12分）如图所示，在四棱锥A ﹣BCDE 中，CD ∥EB ，CD ＝2DE ＝2BE ＝2BC ＝2，△ADE 为等边三角形，AC ＝2，F 为棱AC 的中点． （Ⅰ）证明：CE ⊥BF ；（Ⅱ）求平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（I ）证明：如图，设CD 的中点为G ，连接BG ，FG ，则BG ∥DE ，FG ∥AD ， 因为BG ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以BG ∥平面ADE ， FG ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以FG ∥平面ADE ， 因为BG ∩FG ＝G ，所以平面ADE ∥平面FGB ，由平面几何知识可得CE ⊥DE ，∠CDE ＝60°，CE =√3，因为AE ＝DE ＝1，AC ＝2，CE =√3，所以AE 2+CE 2＝AC 2，即CE ⊥AE ， 又因为AE ∩DE ＝E ，所以CE ⊥平面ADE ，因此CE ⊥平面BGF ，所以CE ⊥BF ； （Ii ）因为CE ⊥平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCDE ，取DE 的中点为O ，连接AO ，GO ，则AO ⊥DE ，GO ⊥DE ，GO ⊥AO ，以O 为坐标原点，OE ，OG ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D （−12，0，0），B （1，√32，0），A （0，0，√32），C （12，√3，0）， 所以F （14，√32，√34），DB →=（32，√32，0），DF →=（34，√32，√34）， 设平面BDF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{DB →⋅n →=0DF →⋅n →=0，即{32x +√32y =034x +√32y +√34z =0，令x ＝1，则y =−√3，z =√3，所以平面BDF 的一个法向量为n →=（1，−√3，√3）， 易知平面ADE 的一个法向量为m →=（0，1，0） 设平面ADE 与平面BDF 所成的锐二面角为θ，则cosθ=||=||||||=||=√217，故平面ADE与平面BDF所成的锐二面角的余弦值为√21 7．20．（12分）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥梁及山谷的竖直截面图如图所示，谷底为点O，O'O为铅垂线（O'在桥梁AB上）．以O为原点建立直角坐标系，左侧山体曲线AO的方程为y=149x2−17x（﹣70≤x≤0），右侧山体曲线BO的方程为y=−1675x3+5x（0≤x≤30），其中x，y的单位均为m．现在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF，其中C在线段O'A上，E在线段O'B上，且O'E＝15m，CD＝2EF．（Ⅰ）求CE的长；（Ⅱ）为了增加桥梁的结构强度，要在桥梁上的C，E之间找一点P，修建两个支撑斜柱DP和FP，当∠DPF最大时，求CP的长．（结果精确到0.1m，参考数据：√82≈9.06．）【解答】解：（1）对于曲线OA，令x＝﹣70得y＝110，对于曲线OB，令x＝30，得y＝110，所以AB所在直线的方程为y＝110，所以点E(15，110)，EF=110+1675×153−5×15=40，设C （t ，110）（﹣70≤t ≤0）， 因为CD ＝2EF ，所以CD =110−149t 2+17t =80， 解得t ＝﹣35 或 t ＝42（舍去）， 所以CE ＝15﹣t ＝50， 即CE 长50m ．（2）由（1）可知CE ＝50，CD ＝80，EF ＝40， 设CP ＝n （0＜n ＜50）， 则tan∠DPF =tan(π−∠CPD −∠EPF)=−tan(∠CPD +∠EPF)=tan∠CPD+tan∠EPFtan∠CPDtan∠EPF−1， 所以tan∠DPF−80n +4050−n 80n ×4050−n −1=40(100−n)n 2−50n+3200．令k ＝100﹣n ∈（50，100）， 则tan∠DPF =40kk 2−150k+8200=40k+8200k−150≤40√k⋅8200k −150=42√82−15，当且仅当k 2＝8200， 即k ≈90.6时取等号， 此时n ＝100﹣k ≈9.4，即当∠DPF 最大时，CP 的长约为9.4m ． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率为√32，F 1，F 2是C 的左、右焦点，P 是C 上在第一象限内的一点，F 1关于直线PF 2对称的点为M ，F 2关于直线PF 1对称的点为N ．（Ⅰ）证明：|MN |≤4；（Ⅱ）设A ，B 分别为C 的右顶点和上顶点，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 相交于E ，F 两点，求四边形AEBF 面积的取值范围．【解答】证明：（I ）C 的离心率为√32，即√a 2−1a =√32，解得a ＝2．由题意知|PF 1|＝|PM |，|PF 2|＝|PN |， |MN |≤|PM |+|PN |＝|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝4，解：（II ）直线AB ，EF 的方程分别为x +2y ＝2，y ＝kx （k ＞0），设E （x 1，kx 1），F （x 2，kx 2），其中x 1＜x 2，由{y =kx ，x 24+y 2=1， 得 x 1=2√1+4k x 2=2√1+4k ，所以点E ，F 到AB 的距离分别为ℎ1=11√5=√2√5(1+4k 2)，h 2=22√5=√2√5(1+4k 2)， 又|AB |=√22+1=√5， 所以四边形AEBF 的面积为S =12|AB|(ℎ1+ℎ2)=12×√54(1+2k)√5(1+4k 2)=2√1+4k 2+4k 1+4k 2=2√1+4k 1+4k 2=2√1+41k+4k 当k ∈（0，+∞）时，1k+4k ∈[4，+∞)，则41k+4k∈(0，1]，所以 √1+4k +4k ∈(2，2√2]，即四边形AEBF 面积的取值范围为（2，2√2]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ）． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）若函数y ＝f （e x ）﹣ax +1与y ＝e a （lnx +a ）的图象有两个不同的公共点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f （x ）＝alnx +x ﹣1（a ∈R ），所以f ′（x ）=a x +1=x+ax（x ＞0）． ①当a ≥0，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ②当a ＜0，令f （x ）＝0，得x ＝﹣a ，所以x ∈（0，﹣a ）时，f ′（x ）＜0；x ∈（﹣a ，+∞）时，f ′（x ）＞0， 所以f （x ）在（0，﹣a ）上单调递减，在（﹣a ，+∞）上单调递增． 综上所述，当a ≥0，f （x ）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；当a ＜0，f （x ）的单调递增区间为（﹣a ，+∞），f （x ）的单调递减区间为（0，﹣a ）．（Ⅱ）根据题意可知：方程f（e x）﹣ax+1＝e a（lnx+a），即e x＝e a（lnx+a）有两个不同的实根，由e x＝e a（lnx+a）可得xe x＝e a+lnx（lnx+a）．令g（x）＝xe x，因为x＞0时，g′（x）＝（x+1）e x＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，要使g（x）＝g（lnx+a）有两个不同的实根，则需x＝lnx+a有两个不同的实根．令h（x）＝x﹣lnx﹣a，则h′（x）＝1−1x=x−1x，当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝1﹣a．①若a＜1，则h（x）＞0，h（x）没有零点；②若a＝1，则h（x）≥0，当且仅当x＝1时取等号，h（x）只有一个零点；③若a＞1，则h（1）＝1﹣a＜0，h（e﹣a）＝e﹣a＞0，h（e a）＝e a﹣2a．令φ（a）＝e a﹣2a，则当a＞1时，φ′（a）＝e a﹣2＞e﹣2＞0，即φ（a）在（1，+∞）上单调递增，所以φ（a）＞φ（1）＝e﹣2＞0，即h（e a）＞0．故此时h（x）在（0，1）上有一个零点，在（1，+∞）上有一个零点，符合条件．综上可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．第21 页共21 页。
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学(一)Word版含解析
2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学（一）一、单选题1．已知集合{}24xA x =<，{}1B =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()0,12．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1B ．1-C ．15D ．15-3．()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（ ） A ．154B ．162C ．176D ．1804．已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（ ） A ．83-B ．83C ．38-D ．385．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（ ）A ．312750cmB ．312800cmC ．312850cmD ．312900cm6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．07．在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．136π9D ．68π38．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（ ）A B C D二、多选题9．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（ ） A ．0AC BD ⋅= B ．2AB AD ⋅= C ．14OE BA ⋅=-D ．52OE AE ⋅=11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）A ．事件A 发生的概率为15B ．事件B 发生的概率为310C ．事件C 发生的概率为335D ．1(|)31P A B =12．对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．若0d =，则函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 有极值的充要条件是13c <C ．若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D ．若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条三、填空题13．已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t=______． 14．已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______．16．已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则满足()2f x x >的实数x 的取值范围是______．四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-． (1)判断ABC 的形状； (2)若3ab ，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，D 、E 分别是AB 、1BB 的中点，12AA AC CB ==，AB =．(1)求证：1//BC 平面1A CD ；(2)若1BC =，求四棱锥1C A DBE -的体积； (3)求直线1BC 与平面1ACE 所成角的正弦值．20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[]50,100内，按区间分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．21．已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅=． (1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥，试求直线AB 的方程．22．已知函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，()R a ∈．(1)当1a =时，求f （x ）的单调区间；(2)当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案：1．B【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围. 【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤ ∴{}12A B x x ⋂=≤< 故选：B. 2．D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-， 故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D. 3．C【分析】根据二项式定理可求得()523x +展开式通项，由此可确定12,T T ，结合多项式乘法运算进行整理即可确定x 的系数. 【详解】()523x +展开式的通项公式为：()55155C 2323C rr r r r r rr T x x --+=⋅⋅=⋅； 当1r =时，412523C 240T x x =⨯=；当0r =时，51232T ==；x ∴的系数为24023224064176-⨯=-=.故选：C. 4．A【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除2cos α，代入1tan 5α=可得答案.【详解】2222cos 2cos sin sin sin 2sin 2sin cos αααααααα-=--22111tan 825123tan 2tan 255ααα--===---, 故选：A. 5．C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果. 【详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ，上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ， 所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm . 因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm . 故选：C 6．D【分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==， 又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==， 故选：D . 7．C【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可. 【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中， 如图∴所示：取AD 的中点H ，连接PH ，连接,AC BD 交于1O ，由AP PD =则在等腰PAD 中有：PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD=AD ， 则PH ⊥平面ABCD ， 又112AH AD ==， 所以在Rt PAH △中，3PH ===，由底面为正方形ABCD ，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点1O ， 连接1O H ，则1PH O H ⊥，PAD 外接圆的圆心为2O ，且在PH 上，过点1O ，2O 分别作平面ABCD 与平面PAD 的垂线，则两垂线必交于点O ，点O 即为四棱锥P ABCD -外接球的球心， 且1OO ⊥平面ABCD ，又PH ⊥平面ABCD ，即2O H ⊥平面ABCD ， 所以1OO ∥PH ，所以四边形12OO HO 为矩形. 如图∴连接2AO ，则22AO PO =，在2Rt AO H 中，22223O H PH PO PH AO AO =-=-=-，所以()2222222213AO AH HO AO =+=+-，解得253AO =，所以254333O H =-=，所以1243OO O H ==， 在图∴中连接OB ，由112O B BD =所以在1Rt OO B 中，OB ==即四棱锥P ABCD -外接球的半径为R OB ==， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为： 221364πR 4ππ9S ==⨯=⎝⎭，故选：C. 8．D【分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =， ∴12121612k k y y ==- ∴1232y y =-， ∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,)M y --，同理：24(1,)N y -- ∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==， 设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ，又∴1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =， ∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ， ∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9. 方法1：1211||1321||||888y y MN y y -==+≥⨯=1||y =.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN的面积的最小值为2. 方法2：12||||8y y MN -==∴20m ≥∴||MN ≥m =0时取得最小值.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN故选：D. 9．AD【分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ=+=+，因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+，因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=. 故选：AD. 10．ABD【分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，2AB AD ==，60DAB ∠=，2BD ∴=，OA OC ===()0,0O ∴，()A ，()0,1B -，()0,1D ，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，对于A ，ACBD ，0AC BD ∴⋅=，A 正确；对于B ，()3,1AB =-，()3,1AD =，312AB AD ∴⋅=-=，B 正确；对于C ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BA =-，31122OE BA ∴⋅=-+=-，C 错误； 对于D ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3122AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，915442OE AE ∴⋅=+=，D 正确. 故选：ABD. 11．ABC【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：37C 35=这3个球都是红球的基本事件数为：33C 1=，所以事件A 发生的概率为：1()35P A =，故A 错误， 这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误， 这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误， 因为1()()35P AB P A ==， 所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===， 故D 正确， 故选：ABC. 12．BCD【分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R .因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-， 所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；对于B ：函数()f x 有极值⇔ ()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'.()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <.故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <.此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x c x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-.所以()()222244222212121242216162293992781cc c x x x xx x c +=+-=--=-+ 对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x c +=-+>⨯-⨯+=. 即4412281x x +>.故C 正确；对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--.所以()2322f x x x '=+-.设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'， 消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--.令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得： 123x -<<.所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.所以()()()()()32111119254660333327g x g =-=-----+=>极大值， ()()322225242660g x g ==⨯-⨯-⨯+=-<极小值.所以作出的图像如图所示：因为函数()g x 有三个零点，所以方程3200025460x x x --+=有三个根，所以过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条.故D 正确. 故选：BCD. 13．710##0.7 【分析】根据极差的定义可得()314t =--=，先求出平均数，再从方差，从而可求2s t.【详解】极差()314t =--=，平均数为()()1122315-+-+++=，故方差()()()()()222222114111*********s ⎡⎤=--+--+-+-+-=⎣⎦. 所以21475410s t ==.故答案为:710. 14．()2221x y +-=(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可. 【详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切, 圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--=,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩, 且已知半径为1,所以圆的方程可以为: ()2221x y +-=或()2221x y ++=或2221x y故答案为: ()2221x y +-=(答案不唯一) 15．12##0.5【分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由232AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -，令椭圆()222210x y a b a b +=>>中x c =-，解得：2b y a=±，所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+， 解得：12e =. 故答案为：12. 16．()(),01,-∞⋃+∞【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x +，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x +，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x+->，设()22()log 1g x x x =+-，由函数y =()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数， 得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >； 当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立；综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 17．(1)1n a n =+ (2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ； （2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a +成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+，又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩， 当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去； 12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++， ()221n n S n n ∴+=<+.18．(1)直角三角形 (2)0【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得， 2sin cos sin cos sin C B B C A +=即()2sin sin B C A +=所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒=且()0,πA ∈，所以π2A =即ABC 是直角三角形.（2）在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c =， 又因为2BD CD =，所以23BD BC ==且cos c B a === 在ABD △中，由余弦定理可得，22222242cos 2b b AD AB BD AD B AB BD +-+-∠===⋅解得AD =， 在ABD △中由余弦定理可得，222222242cos 02b b b AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅19．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积； （3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点， 因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，1//BC ∴平面1A CD . （2）解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB == 222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ， 因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得AC BC CM AB ⋅==因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，1111111212AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎫=--==⎪⎪⎝⎭△△矩形四边形11112333C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅==四边形.（3）解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()12,0,2A 、()0,1,1E ， 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，()12,0,2CA =，()0,1,1CE =， 则1220n CA x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，可得()1,1,1n =-， 因为()10,1,2BC =-，则111cos ,BC n BC n BC n⋅<>==-=⋅因此，直线1BC 与平面1A CE20．(1)73.5(2)分布列见解析；期望()910E X =【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望. 【详解】（1）80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===；X ∴的分布列为：∴数学期望()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22145x y -=(2)y x =+y =【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B 三点共线可设:AB y kx =+用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程. 【详解】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =--，(2PF c =-，212854PF PF c ∴⋅=-+=，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =， ∴双曲线的方程为：22145x y -=.（2）由（1）得：(10,B，(2B ，()22B A B B μμ=∈R ，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =+()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=，()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12x x ∴+=1224054x x k =--， 11B A B B ⊥，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=+=+++(()1212125x x kx kx k x x =++++()()()222121222401801202005454k k kx xx x k k+=++++=-++=--，解得：k =252k <且254k ≠，∴直线AB方程为：y x =y = 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22．(1)函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1). (2)证明过程见详解【分析】(1) 因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞， 单调递减区间为(0,1).（2）因为函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->，当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aaf a a a f a =-+++>=->，因为当2x =-时，221(2)(3)10ef a a a -=-+--<；所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =； 当ln x a =-时，函数取极小值，ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=---1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<）所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=；故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：答案第17页，共17页 (1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．。
2024 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考 1 卷)数学试卷
2024年普通高等学校招生全国统一考试(新高考1卷)数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1.已知集合A ＝{x |－5＜x 3＜5}，B ＝{－3，－1，0，2，3}，则A ∩B ＝( )A .{－1，0}B .{2，3}C .{－3，－1，0}D .{－1，0，2}2.若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A .－1－i B .－1＋i C .1－i D .1＋i3.已知相邻→a ＝(0，1)，→b ＝(2，x )，若→b ⊥(→b －4→a )，则x ＝( )A .－2B .－1C .1D .24.已知cos(α＋β)＝m ，tan α•tan β＝2，则cos(α－β)＝( )A .－3mB .－m 3C .m 3D .3m 5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为( )A .23πB .33πC .63πD .93π6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2ax －a ，x ＜0，e x ＋ln(x ＋1)，x ≥0.在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ) A .(－∞，0] B .[－1，0] C .[－1，1] D .[0，＋∞)7.当x ∈[0，2π]时，曲线y ＝sin x 与y ＝2sin(3x －π6)的交点个数为( ) A .3 B .4 C .6 D .88.已知函数f (x )的定义域为R ，f (x )＞f (x －1)＋f (x －2)，且当x ＜3时，f (x )＝x ，则下列结论中一定正确的是( )A .f (10)＞100B .f (20)＞1000C .f (10)＜1000D .f (20)＜10000二、选择题：本大题共3小题，每小题8分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的。
河南省2020届高考数学质检试卷1(6月份) (含答案解析)
河南省2020届高考数学质检试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94] C. (1,32] D. (1,+∞)2. 已知复数z =i(1+i)，则|z|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 23. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b 且A =2B ，则ab 的取值范围是( )A. (0,√3)B. (1,2)C. (12,1)D. (0,2)4. 若sinx =3sin(x −π2)，则cosxcos(x +π2)=( )A. 310B. −310C. 34D. −345. “lgx,lgy,lgz ”成等差数列”是“y 2=xz ”成立的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)7. 函数f(x)=12x 2−2ln(x +1)的图象大致是( )A. B. C. D.8. 在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是( )A. 2.972B. 2.983C. 3.104D. 3.1309. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(9,12)，c ⃗ =(4,−3)，若向量m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，n⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为( )A. 45°B. 60°C. 120°D. 135° 10. 若a =log 20.1,b =log 23,c =log 28，则a,b,c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. a <c <b11. 设F 1，F 2为椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，点M 在椭圆Γ上．若△MF 1F 2为直角三角形，且|MF 1|=2|MF 2|，则椭圆Γ的离心率为( )A. √33或√53B. √53或√63C. √63或√73D. √33或√5−1412.已知三棱锥A−BCD中，AB=AC，AB⊥AC，BD⊥DC，∠DBC=π6，若三棱锥A−BCD的最大体积为32，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为()A. 4√3πB. 8πC. 12πD. 12√3π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=2x−lnx在x=1处的切线方程是______．14.已知{a n}为等比数列，a3=2，a2+a4=203，则数列{a n}的通项公式为________．15.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)的图象向左平移__________个单位长度．16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2.过点F的直线1与双曲线C的左支交于A，B两点，△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，∠F1AF2=90°，则双曲线C的离心率为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列{a n}中，a1=1，并且对于任意n∈N∗，都有．a n+1=a n2a n+1(1)证明数列{1a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n a n+1}的前n项和T n．18.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC与BD交于点E，点F是PD的中点．(1)求证：EF//平面PBC；(2)若PA=2AB=2，求点F到平面PBC的距离．19.为了解某知名品牌两个不同型号手机M10，M9的待机时间，淮北某手机卖场从仓库中随机抽取M9，M10两种型号的手机各6台，在相同的条件下进行测试，统计结果如图：(单位：小时) (Ⅰ)根据茎叶图计算M9，M10两种型号手机的平均待机时间；(Ⅱ)根据茎叶图判断M9，M10两种型号被测试手机待机时间方差的大小，并说明理由；(Ⅲ)从待机时间在75小时以上的6台被测试手机中随机抽取2台，求至少有一台手机是M9的概率．,a)(a>0)在C上，|AF|=320.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(p4(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)若直线AF与C交于另一点B，求|AF|的值．|BF|x2−ax+lnx(a∈R)21.已知函数f(x)=12(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点x1<x2，求2f(x1)−f(x2)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求M的普通方程；,0)，设P是圆N上的动点，点A与N关于原点O对称，线段(2)将圆M平移使其圆心为N(−12PA的垂直平分线与PN相交于点Q，求Q的轨迹的参数方程．23.已知函数f(x)=|3x−2|−|x−3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}， 所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}， 所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32], 故选C ．2.答案：C解析：解：∵复数z =i(1+i)=−1+i ， ∴|z|=√(−1)2+12=√2． 故选：C ．化简复数z ，求出它的模长即可．本题考查了复数的化简与模长的计算问题，是基础题目．3.答案：B解析：解：在△ABC 中，∵A =2B ，由正弦定理可得ab =sinAsinB =sin2B sinB=2cosB ．再由0<B <π3，可得12<cosB <1，∴1<2cosB <2，即ab ∈(1,2)， 故选：B ．在△ABC 中，由正弦定理可得ab =2cosB.再由0<B <π3，求得2cos A 的范围，从而求得 ab 的范围． 本题主要考查正弦定理的应用，注意A 的范围，属于中档题．4.答案：A解析：解：sinx =3sin(x −π2)=−3cosx ， 解得：tanx =−3，所以：cosxcos(x +π2)=−sinxcosx =−tanxtan 2x+1=310， 故选：A ．直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.答案：A解析：因为lgx,lgy,lgz 成等差数列，所以2lgy =lgx +lgz ，所以y 2=xz ；若y 2=xz ，当x,z <0，lgx,lgz 无意义，所以“lgx,lgy,lgz 成等差数列”是“y 2=xz ”成立的充分非必要条件，故选A ．6.答案：B解析：解析：本题考查简单的线性规划，属于基础题．作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．解：作出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0对应的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距的二倍，纵截距越大，z 越大， 当目标函数过点A(2,1)时，纵截距最小，此时z =2+2=4， 故目标函数z =x +2y 的取值范围是[4,+∞)． 故选：B ．7.答案：A解析：解：当x =0可得：f(0)=0，排除B ，D ， 当x =12时，f(12)=18−2ln 32=ln4e 189<ln1=0，排除C ． 故选：A ．利用特殊点的位置判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，特殊点的位置是判断函数图象的常用方法．8.答案：C解析：本题考查π的估计值的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由正方形的边长，得到圆的半径，写出正方形和圆的面积，根据芝麻落在圆内的概率等于圆的面积除以正方形的面积，列出一个关于π的关系式，做出π的估计值．解：∵正方形的边长是2，∴正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，根据几何概型的概率公式当得到7761000=π4，解得π=3.104，故选：C．9.答案：D解析：依题意知，m⃗⃗⃗ =(−3,−4)，n⃗=(7,1)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−25，|m⃗⃗⃗ |=5，|n⃗|=√50，所以cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=5√50=−√22，所以向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为135∘...10.答案：B解析：由于函数f(x)=log2x是增函数，因为0.1<3<8，所以f(0.1)<f(3)<f(8)即a<b<c。
2022年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷(文科)+答案解析(附后)
2022年河南省郑州市高考数学第一次质量预测试卷（文科）1. 已知集合，，则的子集的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 82. 设复数z满足，其中i为虚数单位，在复平面内，复数z对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比q等于( )A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，以，为基底，则可表示( )A. B.C. D.5. 已知命题；命题则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D.6. 已知双曲线的一条渐近线的方程是，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. 2 D.7. 已知函数，，，设这三个函数的增长速度为，，，当时，则下列选项中正确的是( )A. B. C. D.8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法错误的是( )A. 函数B. 函数的图象关于中心对称C. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到D. 函数在上单调递减9. 已知函数的定义域为R，且不恒为0，若为偶函数，为奇函数，则下列选项中一定成立的是( )A. B. C. D.10. 许多球状病毒的空间结构可抽象为正二十面体.正二十面体的每一个面均为等边三角形，共有12个顶点、30条棱.如图所示，由正二十面体的一个顶点P和与P相邻的五个顶点可构成正五棱锥，则PA与面ABCDE所成角的余弦值约为参考数据：( )A. B. C. D.11. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为单位：，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影，，，满足，，由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差为( )A. B. C. D.12. 函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数k，使得恰有个1零点；③存在负数k，使得佮有个3零点；④存在正数k，使得恰有个3零点．其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 413. 已知实数x，y满足条件，则的最大值为______.14. 甲、乙、丙三位同学打算利用假期外出游览，约定每人从嵩山少林寺、黄河游览区这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同学佮好选取同一处景点的概率是__________.15. 已知一张纸上画有半径为4的圆O，在圆O内有一个定点A，且，折叠纸片，使圆上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆上所有点时，所有折痕与的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为______.16. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为，在该圆柱内放畳一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则a的最大值为______.17. 2021年5月习近平总书记到南阳的医圣祠考察，总书记说，过去中华民族几千年都是靠中医药治病救人，特别是经过抗击新冠肺炎疫情、非典等重大传染病之后，我们对中医药的作用有了更深的认识，我们要发展中医药，注重用现代科学解读中医药学原理，走中西医结合的道路．某农科所实地考察，研究发现某地适合种植甲、乙两种药材，通过大量考察研究得到如下统计数据：药材甲的亩产里约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如表：年份编号12345年份20172018201920202021单价元/公斤1719232630药材乙的收购价格始终为21元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：若药材甲的单价单位：元/公斤与年份编号x具有线性相关关系，请求出y关Fx的线性回归方程，并估计2022年药材甲的单价；用上述频率分布直方图估计药材乙的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2022年该地区种植哪种药材收益更高？并说明理由．附：回归方程中，18. 如图，为直角三角形，，，，M、N分别为AB、BC中点，将沿MN折起，使点B到达点P，且求证：面面ACNM；求点M到平面PAC的距离．19. 已知等差数列的公差为，前n项和为，现给出下列三个条件：①、、成等比数列；②；③请你从这三个条件中任选两个解答下列问题．求的通项公式；若，且，求数列的前n项和20. 已知函数若，求曲线在点处的切线方程；若在处取得极值，求的单调区间及其最大值与最小值．21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：上不同两点M，N，满足求抛物线C的标准方程；若直线l与抛物线C相切于点P，l与椭圆D：相交于A、B两点，l与直线交于点Q，以PQ为直径的圆与直线交于Q，Z两点．求证：直线OZ经过线段AB的中点．22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半牰为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为若，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；设点P的直角坐标系下的坐标为，直线l与曲线C交于A，B两点，且，求直线l的倾斜角．23. 已知a，b，c均为正数，且满足证明：；证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为集合，，所以，故的子集的个数为故选：利用集合交集的定义求出，然后利用子集个数的计算公式求解即可．本题考查了集合的运算以及集合子集个数的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，，复数z对应的点位于第三象限．故选：根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：等比数列的前n项和为，若，，，故选：根据，进而求的本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．4.【答案】C【解析】解：建立如图直角坐标系，则，，，设，则，得，，故故选：建立如图直角坐标系，则，，，设，联立解方程组，求出x，y得出结论．考查向量的混合运算，向量的坐标运算，中档题．5.【答案】B【解析】解：，，命题p为假命题，，，命题q为真命题，为假命题；为真命题；为假命题；为假命题．故选：分别判断命题p和命题q的真假，再结合复合命题的真值表，即可得到结论．本题考查了三角恒等变换，考查了指数函数的单调性，考查了复合命题的真假，属于中档题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，推出a、b之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程是，可得，所以，解得故选：7.【答案】B【解析】解：根据题意，，，，，，，当时，，则有，故选：根据题意，求出三个函数的导数，然后根据x的范围判断导函数的大小关系，即可得答案．本题考查对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，注意三个函数图象的不同，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：对于A：根据函数的图象：，解得，由于，所以当时，，由于，所以，解得所以，故A正确；对于B：令，解得，所以函数的对称中心为，由于k为整数，当时，可得函数的图象关于中心对称，故B正确；对于C：函数，故C正确；对于D：令，解得，所以函数的单调递减区间为，故函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误；故选：直接利用函数的图象求出函数的关系式，进一步利用函数的图象和性质的应用判断A、B、C、D 的结论．本题主要考查三角函数解析式的确定，函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：若为偶函数，为奇函数，可得，，则，，即有，由，，即，可得，即有，可得，故选：运用函数的奇偶性的定义和赋值法，可得结论．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了线面角的求解，正二十面体的结构特征的运用，解题的关键是找到直线与平面所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．若为P在平面ABCDE上的射影，由正二十面体的性质可知，与各顶点的连线所成三角形都是等腰三角形且顶角均为，令，求出，然后由线面角的定义找到对应的角，求解即可．【解答】解：由题意，PA，PB，PC，PD，PE在平面ABCDE上的射影，，，，，如图所示，所以五个三角形都是等腰三角形且，因为，又，令，所以，又正二十面体的每一个面均为等边三角形，即，且平面ABCDE，所以PA与平面ABCDE所成角的余弦值为故选：11.【答案】B【解析】解：过C作，过B作，如图所示，故，易知为等腰直角三角形，所以，所以，因为，所以，在中，由正弦定理可得，，故，所以故选：通过作辅助线，将已知条件量化到一个三角形中，再结合正弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于函数；对于①，若，，令，整理得，，则根据函数的图象，恰有2个零点；故①正确；对于②，对于函数，，当时，则根据函数的图象：存在负数k，使得恰有个1零点；故②正确；对于③，如上图，把直线，以y轴的交点为定点，沿逆时针方向旋转，则只要k为负数，则使得直线与曲线只有两个交点，故③错误；对于④，对于函数，，当时，如图所示：存在正数k，使得恰有个3零点，故④正确．故选：直接利用函数的图象和性质，利用函数的图象的交点和函数的零点的关系的应用判断①、②、③、④的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，分类讨论思想的应用，函数的交点和函数的零点的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：实数x，y满足条件，作出可行域如图阴影部分所示，令，则z表示可行域中的点与点连线的斜率，联立方程，解得，所以点，当点Q在点A处时，z取得最大值为故答案为：先利用不等式组作出可行域，然后利用的几何意义，由图象分析求解即可．本题考查了简单的线性规划问题，两条直线交点坐标的求解，两点间斜率公式的理解与应用，解题的关键是正确作出可行域，考查了逻辑推理能力，属于中档题．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求古典概型的概率公式，属于基础题．利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：甲、乙两位同学选取景点的不同种数为，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为，故答案为：15.【答案】3【解析】解：以OA中点为G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．可知，，设折痕与和分别交于M，N两点，则MN垂直平分，，又，，的轨迹是以O，A为焦点，4为长轴的椭圆．的轨迹方程C为，曲线C上的点到点O距离的最大值为故答案为：由题意可根据与A折叠后重合，结合线段中垂线的性质来进行求解即可．本题考查了椭圆的定义以及简单的性质，属于基础题．16.【答案】2【解析】解：由已知得，要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，则需该正四面体的外接球在圆柱封闭容器内即可，作出正四面体与其外接球O的位置关系如图所示，SD是球的直径，与平面ABC交于点E，连接CE，CD，易知E为正三角形ABC的中心，，，又，由勾股定理得，设球的半径为R，，解得，由，所以，即a的最大值为故答案为：求出正四面体的外接球的直径，利用直径小于等于，计算可得所求最大值．本题考查正四面体的特征和球的截面的性质，以及圆柱的定义和性质，考查空间想象能力和化简运算能力、推理能力，属于中档题．17.【答案】解：由表中数据可得，，，故，，即，解得，，当时，，若种植甲种药材每亩地的收入约为，若种植乙种药材每亩地的收入约为，所以应该种植甲种药材．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，将代入上式的线性回归方程中，即可求解．根据已知条件，先求出乙平均亩产量，再分别算出二者的收入，通过比较，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．18.【答案】证明：连接MC，为直角三角形，，M、N分别为AB、BC中点，分，，即分，面面PMN，面面分解：，；分由得，，面PAM，，分到面PAC的距离为：分【解析】连接MC，证明，，即可证明面然后证明面面利用等体积法求解点M到平面PAC的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，空间点、线、面距离的求法，等体积法的应用，是中档题．19.【答案】解：由条件①得，因为、、成等比数列，则，即，因为，可得；由条件②得：即由条件③得，，可得，可得若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以，解：，且，所以，当时，则有，也满足，故对任意的，；则，所以，【解析】选条件①②时，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；选条件①③时，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；选条件②③时，建立方程组，进一步求出数列的通项公式；利用的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；分因为，则，由题意可得，解得，分故，，列表如下：x3+0-0+增极大值减极小值增所以，函数的增区间为，，单调递减区间为，分当时，；当时，，分所以，，分【解析】求出函数的导数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解切线方程．求出导函数，利用函数的极值，得到a，然后求解极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调性，求解函数的最值即可．本题考查函数导数的应用，切线方程以及函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：由题意O为坐标原点，抛物线C：上不同两点M，N，满足是正三角形，关于y轴对称，M的横坐标为：，纵坐标为：6，，，抛物线的标准方程是：分证明：设，抛物线，，直线AB的斜率为，分设，，两式相减可得设中点G，则分又，，分故直线OZ经过线段AB的中点．分【解析】利用抛物线经过的点求解p，得到抛物线方程．设，利用函数的导数，求解直线AB的斜率为，设，，利用点差法，求出斜率，然后推出结果．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，是中档题．22.【答案】解：当时，直线l的参数方程为为参数，消去参数t，可得l的普通方程为，又，，得，曲线C的直角坐标方程为；将代入中，得，设A，B对应的参数分别为，，，，，得，又或，直线l倾斜角为或【解析】把代入直线l的参数方程，消去参数t，可得l的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线C的直角坐标方程；将代入中，可得关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系求解，进一步可得直线l倾斜角．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】证明：，当且仅当，，时等号成立，即证：分由柯西不等式得：，故当且仅当，，时等号成立即证：分【解析】利用配凑法，结合均值不等式转化证明即可．利用已知条件，结合柯西不等式证明即可．本题考查不等式的证明，均值不等式以及柯西不等式的应用，是中档题．。
2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷(含答案)
试卷类型：A2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 新高考I 卷注意事项：1． 答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2． 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 设集合A ＝{3,2a }，B ＝{a ,b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,4}D ．{2,3,5}2． 设复数z 的共轭复数为 z ，则下列一定为纯虚数的是A ．z ＋zB ．z －zC ．z ·zD ．zz̅3． 设α，β是两个不同平面，直线m ⊂α，直线n ⊂β，则A ．m ⊥β是m ⊥n 的充分条件B ．m //n 是α//β的必要条件C ．m ⊥β是m ⊥n 的必要条件D ．m ⊥n 是α⊥β的必要条件4． 已知随机变量ξi 的分布列如表所示（i ＝1,2）．若0＜p 1＜12＜p 2＜23，则A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)5． 已知sin(θ＋π)＜0，cos(θ－π)＞0，则A ．tan θ2＜cot θ2B ．tan θ2＞cot θ2C ．sin θ2＜cos θ2D ．sin θ2＞cos θ26． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对于任意n ∈N *，都有a n a n +1＜0，a n S n 恒为定值c（c ＞0），则A ．|a 2|＜|a 3|＜|a 4|B ．|a 3|＜|a 2|＜|a 4|C ．|a 3|＜|a 4|＜|a 2|D ．|a 4|＜|a 3|＜|a 2|7． 设非负实数x ,y ，2x ＝3y ，则A ．2x ＝3yB ．2x ＞3yC ．2x ＜3yD ．无法比较2x 与3y 的大小8． 已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 1|＜|PF 2|，PF 1的垂直平分线经过点F 2，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则 e 12－2e 2的最小值是 A ．2 B ．－2 C ．6D ．－6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是 A ．中位数：3，众数：2 B ．平均数：4，中位数：5 C ．极差：4，平均数：2D ．平均数：4，众数：510．已知函数f (x )＝x 4－x 2＋x －1，则A ．f(x)有两个零点B ．f(x)有唯一极值C ．过坐标原点可作曲线y ＝f (x )的一条切线D ．曲线y ＝f (x )上存在三条互相平行的切线11．如图，与圆柱底面成60°的平面α截此圆柱，其截面图形为椭圆．已知该圆柱底面半径为2，则 A ．椭圆的离心率为√32B ．椭圆的长轴长为 8√33C ．椭圆的面积为32πD ．椭圆内接三角形面积的最大值为 6√3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在△ABC 中，C ≠π2，若cos A ＝sin B ，则A 的取值范围是_________．13．已知a ，b ，c 成等差数列，点P （－1,0）到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离为 2√2 ，则直线l 的倾斜角是_________．14．设点P 是边长为2的正△ABC 的三边上的动点，则 P A ⃗⃗⃗⃗ ·（PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ ）的取值范围是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，a ＝6，b ＋12cos B ＝2c ． （1）求A 的大小；（2）请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC 存在，并解决问题： M 为△ABC 内一点，AM 的延长线交BC 于点D ，求△ABC 的面积.①M 为△ABC 的外心，AM ＝4； ②M 为△ABC 的垂心，MD ＝√3 ； ③M 为△ABC 的内心，AD ＝3√3 ．16．（满分15分）图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母C 表示．如图所示，边长为1的正三角形被n （n ∈N *）层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为n 时，等圆的半径为a n ．图中已给出n 等于1，2，10时的覆盖情形．（1）写出a 1，a 2的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）证明：此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73）17．（满分15分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1．（1）求概率P(ξ＝0)；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．18．（满分17分）如图，已知抛物线E：y2＝x与圆M：(x－4)2＋y2＝r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（1）求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．19．（满分17分）已知函数f(x)＝(x－a)(e x－a)，a≥0．（1）当a＝0时，讨论f(x)的单调性；（2）证明：f(x)有唯一极小值点x0，并求f(x0)的最大值．2024年普通高等学校招生全国统一考试 押题密卷2数学 参考答案单项选择题 1．A 2．B 3．A 4．D 5．B6．C7．C8．B多项选择题 9．BCD对于A ，中位数是3，则这5个数从小到大排列后，第3个数是3，第1、2个数是2才能使众数为2，故第1个数不是1，故A 不正确，对于B ，有可能出现点数1，例如1,2,5,6,6； 对于C ，有可能出现点数1，例如1,1,1,2,5； 对于D ，有可能出现点数1，例如1,4,5,5,5； 故选BCD.10．ACD对于A ，()32()(1)1f x x x x =−++，对于函数322()1,()32g x x x g x x x +=′=++， 令gg ′(xx )<0⇒−23<xx <0，令gg ′(xx )>0⇒xx <−23或xx >0，所以函数gg (xx )在(−23,0)上单调递减，在(−∞,−23)和(0,+∞)上单调递增，则函数gg (xx )在xx =−23，xx =0处分别取极大值和极小值， 由gg (0)>0，知gg (xx )只有一个零点，所以ff (xx )有两个零点，故A 正确；对于B ，假设B 成立，设切点坐标为�xx 0,ff (xx 0)�，切线方程为()()342000004211y xx x x x x x =−+−+−+−，即()34200042131y xx x x x =−+−+−，∴4200310x x −+−=，但显然4200310x x −+−<，故B 错误； 对于C ，32()421,()122f x x x f x x ′=′+′=−−， 令ff ″(xx )<0⇒−√66√6，令ff ″(xx )>0⇒xx <−√66或xx >√66，所以函数()f x ′在(上单调递减，在(−∞,−√66)和(√66,+∞)上单调递增，∴函数()f x ′在x =处分别取到极大值和极小值，由0f >′知()f x ′只有一个零点，ff (xx )有一个极值点，故C 正确； 对于D ，若D 正确，则存在实数m 使得3()421f x x x m ′=−+=有三个不同的根， 即函数yy =4xx 3−2xx +1mm 3个交点，由选项C 可知，,m f f∈ ′′，故D 正确.故选ACD. 11．AD对于A ，bb =rr =2，aa =rrcccccc 60°=2124，所以cc =√aa 2−bb 2=√16−4=2√3，所以离心率ee =ccaa =2√34=√32，所以A 正确；对于B ，长轴长2248a =×=，所以B 不正确；对于C ，椭圆的面积SS =ππaabb =2×4ππ=8ππ，所以C 不正确； 对于D ，椭圆方程为xx 2aa 2+yy 2bb 2=1，椭圆内接三角形一个顶点在长轴左顶点，另两点在直线xx =mm (mm >0)上，此时另两点的距离为：2bb �1−mm 2aa2，三角形的面积为：12(aa +mm )⋅2bb �1−mm 2aa 2=bb ⋅�(aa +mm )(aa +mm )�1−mm aa ��1−mm aa�=aabb √3⋅��1+mmaa��1+mm aa ��3−3mm aa ��1+mm aa � ≤aabb √3��1+mm aa +1+mm aa +3−3mm aa +1+mm aa 4�4=aabb√3×94=3√3bbcc4 当且仅当1+mm aa=3−3mm aa，即mm =aa2时，取等号．∴SS3√3aabb 43√3×4×24√3△mmaaxx，所以D 正确，故选AD ． 填空题 12．�0,ππ4�因为ssss ss BB >0，ccccss AA =ssss ss BB ，所以ccccss AA >0，所以AA <ππ2. 若BB <ππ2，由ccccss AA =ssss ss BB ，可得ssss ss (ππ2−AA )=ssss ss BB ，由正弦函数在(0,ππ2)的单调性可得，BB =ππ2−AA ，则CC =ππ2，原题设不成立； 若π2B >，同理可得BB =AA +ππ2，由AA +BB <ππ，解得π(0,)4A ∈．故答案为(0,ππ4)．13．ππ4∵a ，bb ，cc 成等差数列，2b a ∴=+，即cc =2bb −aa ，点PP (−1,0)到直线ll :aaxx +bbyy +cc =0，=，两边平方化简可得(aa +bb )2=0，即bb =−aa ，则直线ll 的斜率为1ab−=，故直线的倾斜角是ππ4，故答案为ππ4．14．�−98,2�根据题意，以AABB 中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标： 正三角形AABBCC 的边长为2，则AA (−1,0),BB (1,0),CC�0,√3�，点PP 是AABBCC 三边上的动点，�����⃗=(−1−tt,0),PPBB�����⃗=(1−tt,0),PPCC�����⃗=�−tt,√3�则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=(−1−tt,0)⋅�(1−tt,0)+�−tt,√3��=(−1−tt)⋅(1−2tt)=2�tt+14�2−98,(−1≤tt≤1)所以当tt=−14时取得最小值为−98；当tt=1时取得最大值为2. ②，当PP在线段CCBB上时，直线CCBB的方程为yy=−√3xx+√3，设PP�mm,−√3mm+√3�,(0≤mm≤1)，�����⃗=�−1−mm,√3mm−√3�,PPBB�����⃗=�1−mm,√3mm−√3�,PPCC�����⃗=�−mm,√3mm�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�所PPAA=�−1−mm,√3mm−√3�⋅��1−mm,√3mm−√3�+�−mm,√3mm��=�−1−mm,√3mm−√3�⋅�1−2mm,2√3mm−√3�=8�mm−12�2,(0≤mm≤1)所以当mm=12时取得最小值为0；当mm=1或mm=0时取得最大值为2. ③，当PP在线段AACC上时，直线AACC的方程为yy=√3xx+√3，设PP�ss,√3ss+√3�,(−1≤ss≤0)，�����⃗=�−1−ss,−√3ss−√3�,PPBB�����⃗=�1−ss,−√3ss−√3�,PPCC�����⃗=�−ss,−√3ss�，则PPAA�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�，所PPAA=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅��1−ss,−√3ss−√3�+�−ss,−√3ss��，=�−1−ss,−√3ss−√3�⋅�1−2ss,−2√3ss−√3�，=8�ss+58�2−98,(−1≤ss≤0)，所以当ss=−58时取得最小值为−98；当ss=0时取得最大值为2.�����⃗⋅�PPBB�����⃗+PPCC�����⃗�的取值范围为�−98,2�，综上可知，PPAA解答题15．（1）在△AABBCC 中，由余弦定理得ccccss BB =aa 2+cc 2−bb 22aacc，又因为aa =6，12cos 2b B c +=， 所以2221222a c b b c ac+−+⋅=，整理得2236b c bc +−=.在△AABBCC 中，由余弦定理得22362cos b c bc A +−=，所以bbcc =2bbcc ccccss AA ， 即ccccss AA =12又因为AA ∈(0,ππ)，所以AA =ππ3.（2）选①，设△AABBCC 的外接圆半径为R ，则在△AABBCC 中，由正弦定理得62sin sin 3BCR A π===，即R =因为MM 为外心，所以AAMM =2√3，与AAMM =4盾，故不能选①. 选②，因为MM 为△AABBCC 的垂心，所以222BMDMBD ACB ACB πππ∠=−∠=−−∠=∠， 又MMMM =√3，所以在△MMBBMM中，tan BD MD BMD ACB =⋅∠=∠，同理可得CDABC =∠，又因为6BD CD +=6ABC ACB ∠∠=，即tan tan ABC ACB ∠+∠又因为在△AABBCC中，tan()tan ABC ACB BAC ∠+∠=−∠=所以tan tan 1tan tan ABC ACBABC ACB∠+∠=−∠∠tan tan 3ABC ACB ∠∠=，故ttaass ∠AABBCC ，tan ACB ∠为方程xx 2−2√3xx +3=0两根，即tan tan ABC ACB ∠=∠因为∠AABBCC ，∠AACCBB ∈(0,ππ)，所以3ABC ACB π∠=∠=，所以△AABBCC 为等边三角形， 所以SS △AAAAAA =12×62×√32=9√3.选③，因为MM 为△AABBCC 的内心，所以∠BBAAMM =∠CCAAMM =12∠BBAACC =ππ6， 由SS △AAAAAA =SS △AAAAAA +SS △AAAAAA ， 得111sin sin sin 232626bc c AD b ADπππ=⋅+⋅， 因为AAMM =3√3，所以1()2b c =+，即3bc b c +=，由（1）可得2236b c bc +−=，即(bb +cc )2−3bbcc =36，所以2()33609bc bc −−=， 即(9)409bc bc+−=， 又因为bbcc >0，所以bbcc =36，所以SS ΔΔAAAAAA =12bbcc ssss ss ππ3=12×36×√32=9√3.16．（1）由题意得，1a =，2a =当覆盖的等圆有ss 层时，最下面一层的圆有ss 个，相邻两圆的圆心距为2aa nn ，最左边与最右边的两圆的圆心距为()21n n a −．又最左边与最右边的两圆的圆心在三角形底边上投影与底边最近顶点距离之和为n ，则()211n n n a −+=，∴n a =．（2）证明：被覆盖面积()211π2n n n S a +==2S =．被覆盖率120.9050.91S C S =<≈<， ∴对任意的层数ss ，此正三角形的被覆盖率CC 低于91%．17．（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 32对相交棱，因此P(ξ＝0)＝232128C C ＝8×366＝411.（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，其中距离为√2的共有6对，故P(ξ＝√2)＝2126C ＝111， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝√2)＝1－411－111＝611， 所以随机变量ξ的分布列是 ξ1√2P(ξ)411611111因此E(ξ)＝1×611＋√2×111＝6+√211.18．（1）联立方程组与，可得，所以方程由两个不等式正根由此得到解得，所以r的范围为（2）不妨设E与M的四个交点坐标分别为设直线AC,BD的方程分别为，解得点p的坐标为设t=，由t=及（1）可知由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积将代入上式，并令，得求导数，令，解得当时，，当，；当时，当且仅当时，由最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为（）19．（1）当aa=0时，()e x=，f x x则ff′xx，令ff ′(xx )=0，得xx =−1， 则ff (xx )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增.（2）由ff (xx )=(xx −aa )(ee xx −aa )，得()f x ′=e ()e (1)e x x x a x a x a a −+−=−+−， 令()(1)e x G x x a a =−+−，得()G x ′=(2)e x x a −+. 令()0G x ′=，则xx =aa −2， 所以()f x ′在(−∞,aa −2)上单调递减，在(aa −2,+∞)上单调递增， 易知()e a f a a ′=−，设函数()e x H x x =−， 令()e 10x H x ′−，可得xx =0，则()e x H x x =−在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 又HH (0)=1>0，故()e 0x H x x =−>在RR 上恒成立，故()e 0a f a a ′=−>，又2(2)e 0a f a a −′−=−−<， 所以存在0(2,)x a a ∈−，使得()00f x ′=. 又当(,2)x a ∈−∞−时，易知()0f x ′<，故ff (xx )有且仅有一个极小值点xx 0.因为()00f x ′=，所以()0001e 0e 1x x x a +≥+，即xx 0≥−1， 则ff (xx 0)=�xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1��ee xx 0−(xx 0+1)ee xx 0ee xx 0+1�=−ee xx 0(ee xx 0−xx 0)2(ee xx 0+1)2设()()22e e ()e 1x x x x g x −=−+，求导得()g x ′=()()23e e e (1)e 2e 1x x x x x x x x −++−− −+. 设2()e (1)e 2x x h x x x =++−−，求导得2()2e (2)e 1x x h x x ′=++−，注意到ℎ′(xx )在[−1,+∞)上单调递增，且�ℎ′(−1)=2ee −2+ee −1−1<0ℎ′(0)=3>0， 所以存在cc ∈(−1,0)，使得()0h c ′=，从而()h x 在(−1,cc )上单调递减，在(,)c +∞上单调递增， 又(0)0h =，2(1)e 10h −−=−<，ee xx −xx >0，所以当−1≤xx <0时，gg′(xx )>0；当xx >0时，()0g x ′<. 所以gg (xx )在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，则()01(0)4f x g ≤=−， 即ff (xx 0)的最大值为−14.。
2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学+答案解析(附后)
2022年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 设复数z 满足R ，则z 的实部为A. 0B. 1C.D. i3. 设向量，是互相垂直的单位向量，则与向量垂直的一个单位向量是A. B. C.D.4. 已知且，则函数为奇函数的一个充分不必要条件是( ) A.B.C.D.5. 设双曲线C ：的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线C 及其渐近线在第一象限分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若，则双曲线C 的渐近线方程为A. B.C. D.6. 已知，，，则( )A.B. C.D.7. 通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒，检测方式分为单检和混检．单检，是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测；混检，是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测，若检测结果呈阳性，再对这多个人重新采集单管拭子，逐一进行检测，以确定当中的阳性样本．混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检，“5合1”混检，“10合1”混检等．调查研究显示，在群体总阳性率较低低于时，混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本．根据流行病学调查结果显示，某城市居民感染新冠病毒的概率为若对该城市全体居民进行核酸检测，记采用“10合1”混检方式共需检测X 次，采用“5合1”混检方式共需检测Y 次，已知当时，N ，据此计算的近似值为A. B. C. D.8. 定义在上的函数满足：当时，，当时，，若关于x 的方程有两个不等实根，则a 的取值范围是A. B. C. D.9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是.( )A. B. C. D.10. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是( )A. 回归直线至少经过点中的一个点B. 若，，则回归直线一定经过点C. 若点都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数D. 若，，则相应于样本点的残差为11. 已知数列满足：N，则下列说法中正确的是A. B.C. 数列的前10项和为定值D. 数列的前20项和为定值12. 已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是A. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交B. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行C. 过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直D. 过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为13.已知a为非零实数，直线与曲线相切，则_________.14. 的值等于__________.15. 中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号，具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力．其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强，成为发射北斗导航卫星的“专属列车”．12年间，长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现，将53颗北斗导航卫星送入预定轨道．现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11颗相同的北斗导航卫星进入预定轨道，每次发射运送1颗或2颗卫星，则这11颗卫星的不同运送方式共有_________种．16. 在平面直角坐标系xOy中，过动点P作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若则的最大值为__________.17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求C；若，，点D在边AB上，且，求CD的长．18. 如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，求的长；求直线与平面所成角的正弦值．19. 已知数列满足：，N，R.证明：数列是等差数列；是否存在使得数列为等差数列？若存在，求的值及数列的前n项和；否则，请说明理由．20. 某电视台举办“读经典”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A，B，C三类问题中选择一类．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束；否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．21. 已知椭圆C：的右顶点为B，O为坐标原点，D为线段OB的中点，过点D的直线l与椭圆C交于M，N两点，且当直线l与x轴垂直时，求椭圆C的离心率；若，求直线l的斜率．22. 已知函数，R.当时，讨论的单调性；若存在唯一极值点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.化简A，由交集运算即可求解.【解答】解：因为，，则故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算以及复数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.根据复数的乘法法则计算，结合复数的概念即可求得z的实部.【解答】解：设复数，a，，因为，所以，所以z的实部为0，故选3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量垂直的性质，单位向量的概念，属于基础题.依次判断选项中的向量是否与向量垂直且模为1即可.【解答】解：，可知向量与向量垂直，而，模长不为1，故A错误；同理可知向量、与向量垂直，而，，故B正确，C错误；，与向量平行，故D错误.故选4.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分必要条件的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题.求得函数为奇函数的等价条件，结合充分不必要条件的定义判断即可.【解答】解：函数为奇函数，则，，即，解得，当时，，即为奇函数的充分必要条件是或，是的非充分非必要条件是的非充分非必要条件是的充分不必要条件;则函数为奇函数的一个充分不必要条件是，故选5.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查双曲线的标准方程和几何性质.把右焦点的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，结合点A是BF的中点，得到，再根据即可求解渐近线方程.【解答】解：设双曲线的右焦点为，因为过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，所以设双曲线的一条渐近线方程为，把右焦点F的坐标分别代入双曲线方程及其渐近线方程中，得到，，又，所以可得点A是BF的中点，所以，即，又，所以，则双曲线C的渐近线方程为故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了比较大小，不等式性质和对数函数及其性质，属于基础题.利用对数函数的性质和不等式性质得和，再利用不等式性质得结论.【解答】解：，，因此，即又，，，因此，即，综上所述，故选7.【答案】B【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的期望，属于中档题.分别求出进行10合1混检和采用5合1混检每个个体平均检测，即可求出比值.【解答】解：由于一个城市的总人口数很大，而总体阳性率较低，所以我们可以认为阳性个体均匀分布，若进行10合1混检，对任意一个10人组进行检测，总检测次数有两种结果：1次和11次，概率分别为和，故这10人组检测次数的期望为，相当于每个个体平均检测次，同理，采用5合1混检，每个个体平均检测次，故答案选8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性与极值，属于较难题．、利用导数得出当时，，单调递减，当时，，单调递增，，从而故在上单调递增，在上单调递减，即可求解．【解答】解：当时，，，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，当时，故在上单调递增，在上单调递减，时，时，故有两个不等实根只需，故选9.【答案】BCD【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，考查函数的周期性，考查运算能力．属于基础题.根据函数的周期公式和单调性，对选项加以判断，即可得到在上单调递增，且最小正周期为的函数．【解答】解：对于A，的最小正周期为，由于当时，，故函数在上不单调，故A不正确；对于B，的最小正周期为，且在上单调递增，故B正确．对于C，的最小正周期为，在上单调递增，故C正确；对于D，函数的图像可以看做将正切函数的图象保留x轴及x轴上方部分，将x轴下方部分沿x轴翻折上去，所以最小正周期为，且在上单调递增，故D正确.故选10.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查回归直线方程、相关系数和残差分析，属于基础题.利用回归直线方程、相关系数和残差分析逐个判断即可.【解答】解：回归直线一定过样本中心点，但不一定要过样本点，故A错误，B正确；对于C、因为点都落在直线上，属于完全正相关，故相关系数，正确；对于D、若则相对应于样本的残差为，正确．故选11.【答案】AD【解析】【分析】本题考查数列的函数特征以及数列的递推关系，属较难题；由，两式可判断A，B选项;根据由题知，①，②，③，②-①得，②+③得即可判断C，D选项.【解答】解：取得，故，A正确;取得，又，所以，B错误;由题知，①，②，③，②-①得，②+③得，为定值，题中条件只限制，所以的值不确定，故前10项和无法确定，C错误;前20项中奇数项有10项，相邻两项的和确定，故这10项的和确定，同理10个偶数项的和确定，故前20项和为定值，D正确.故答案选12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于中档题.先确定点P不在这两条异面直线AB与中的任何一条上，取的中点Q，设与AB 交于点E，确定点，，Q，E，P共面，由此分析直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，即可判断选项A；利用假设法，即可判断B；由题意可得平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即可判断C；分别平移AB，，使AB与均经过点P，即可判断选项【解答】解：直线AB与是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两条异面直线中的任何一条上，如图所示，取的中点Q，则，且，设与AB交于点E，则点，，Q，E，P共面，直线EP必与相交于某点F，由于直线AB与平面仅交于点E，两点确定一条直线，则过点P有且只有一条直线l与AB，都相交，故选项A正确;对于B，若存在一条直线与AB，都平行，则，矛盾，故B错误;对于C，因为，若，则，若，而，且平面ABCD，则平面ABCD，显然满足条件的直线唯一，即，故C正确；对于D，分别平移AB，，使AB与均经过点P，则有两条互相垂直的直线与AB，都成角，故选项D错误;故选13.【答案】e【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，属于基础题.设切点坐标，利用导数的几何意义即可求解.【解答】解：设切点，则，，又对于，其导函数为又切线方程的斜率为1，即，，，又a为非零实数，故答案为14.【答案】【解析】【分析】本题考查了两角和与差的余弦公式，属于基础题.根据，利用两角和与差的余弦公式即可得答案.【解答】解：故答案为：15.【答案】56【解析】【分析】本题考查组合问题，属于基础题.转化为从8次选3次运送2颗即可.【解答】解：由题知，有3次运送2颗、有5次运送1颗，而卫星无区别，故只需确定8次中是哪3次运送2颗，共有种情况.故答案为16.【答案】【解析】【分析】本题考查与圆有关的最值问题，属于一般题.先求出点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，再利用即可求解.【解答】解：，设，则，化简得，故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，，的最大值为，故的最大值为故答案为17.【答案】解：根据题意，中，因为，，所以由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，又，所以由余弦定理知，，由知，，即【解析】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式与同角三角函数关系式，考查逻辑推理能力和运算能力．利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，得解；由余弦定理知，可得，结合，即可解答.18.【答案】解：取中点N，连接MN，AN，则，平面ABC，平面ABC，，又，，BA，平面，平面，故平面，平面，，又，，AM，平面AMN，平面AMN，平面AMN，，故∽，，而，；连接，由知平面，故为直线与平面所成角，，，即所求角的正弦值为【解析】本题考查线面垂直的判定及性质、直线与平面所成角，属中档题.先由线面垂直的判定定理得到平面，故平面，则∽，可得AB的长，则；为直线与平面所成角，求解其正弦值即可.19.【答案】解：，，两式相减得，n 为偶数时，，，，，，数列是首项为，公差为3的等差数列.由题知，，若为等差数列，则，故即，此时，，即对有，故为等差数列，且，【解析】本题考查数列的递推关系式及等差数列的判定以及等差数列的概念与通项公式及前n项和公式，属于中档题.根据递推关系式得出，进而得出是等差数列；由题意求出，再由为等差数列，则，得出，再由求出对有，得出为等差数列，由等差数列的前n项和公式求出20.【答案】解：考虑两种情况：甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为，甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为，故所求概率为由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，按ABC顺序回答，取得复赛资格的概率为，按ACB顺序回答，取得复赛资格的概率为，按CAB顺序回答，取得复赛资格的概率为，，故甲按ABC或BAC顺序回答问题取得复赛资格的概率最大.【解析】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，是中档题.若选手甲先选择A类问题，分别求出甲接下来选择回答B类或者C类问题并取得复赛资格的概率，相加即可得解；由于甲回答A，B两类问题的概率相同，故只需考虑ABC、ACB、CAB这三种回答顺序，分别求出这三种顺序的概率，比较即可得解.21.【答案】解：由题意可得，点在椭圆上，将点代入椭圆方程得，故，由知，，设，，直线，代入椭圆方程得，由D在椭圆内部知必有，则，，由题知，故①，②，由得，即，故l的斜率为【解析】本题考查椭圆的性质及几何意义和直线与椭圆的位置关系，属于中档题.将点代入椭圆方程得，故，，将直线代入椭圆方程得，由根于系数关系即可求解.22.【答案】解：由题知，，即，令，则，故在和上单调递增，在上单调递减，又，，所以，或，从而或，，在和上单调递增，在上单调递减.由题知，则，即，令，则，或，，即在和上单调递增，在上单调递减，且时，时，在上有唯一零点，记为，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，为的极小值点，由题知有唯一极值点，故在上无极值点，在上，由的单调性可知，的极大值，时，且时，故当时，，在上单调递增，，在上无极值点，当时在和内各存在一个零点，分别记为，，则或时，，，单调递增，时，，单调递减，所以为的极大值点，为的极小值点，不合题意，舍去，综上，即【解析】本题主要考查利用导数判断函数的单调性和利用导数解决函数的极值问题，属于难题.由函数解析式求出导数，构造函数，得出在和上单增，在上单减；分和两种情况判断函数是否存在唯一的极值点，求出a的取值范围。
2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷(文科)(附答案详解)
2022年河南省济源市、平顶山市、许昌市高考数学第一次质检试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则(∁R A)∩B =( )A. {2}B. {4,5}C. {3,4}D. {2,3}2. 已知复数z 满足z(1+i)=3+2i ，则z 的共轭复数z −对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 若1+12−x ≤0是(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,4]B. [1,4]C. (1,4)D. (1,4]4. 若sin 2α−cos 2α=12，则1−tan 2α1+tan 2α=( )A. −12B. 12C. −15D. 2−√35. 函数y =(2x +2−x )ln|x|的图像大致为( )A.B.C.D.6. 中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：2.左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为( )A. 15B. 910C. 37D. 9137. 正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x =( ) A. 1113B. 65C. 56D. 328. 已知实数x ，y 满足条件{2x +y ≥4x −y ≥1x −2y ≤2，则z =x +2y 的最小值为( )A. 43B. 4C. 2D. 39. 已知a >b >0，且a +b =1，则下列结论正确的是( )A. ln(a −b)>0B. √a +√b >2C. b a >a bD. 1a +1b >410. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，若a =−log 310，b =log 128，c =245，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( ) A. f(a)>f(c)>f(b) B. f(a)>f(b)>f(c) C. f(b)>f(a)>f(c)D. f(c)>f(a)>f(b)11. 已知函数f(x)=sinx +cosx ，将y =f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y =g(x)的图像．若x 1≠x 2，且g(x 1)g(x 2)=2，则|x 1−x 2|的最小值为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π12. 抛物线方程为y 2=2px(p >0)，任意过点M(1,0)且斜率不为0的直线和抛物线交于点A ，B ，已知x 轴上存在一点N(不同于点M)，且满足∠ANM =∠BNM ，则点N 的坐标为( )A. (−1,0)B. (−2,0)C. (−p,0)D. (−2p,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，A 是其左顶点．若双曲线上存在点P 满足3PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为______． 14. 在平行四边形ABCD 中，∠A =45°，AB =√2AD =2，现将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，当异面直线AD 和BC 所成的角为90°时，AC 的长为______． 15. 如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.已知a 2+c 2=b 2+ac ，则B =______.若线段AC 的垂直平分线交AB 于点E ，且BC =4，DE =√6.则△BCE 的面积为______．16.若函数f(x)={x 2−2ax+a2,x≤02x−2lnx+4+a,x>0的最小值为a2，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，冰壶比赛将在北京国家游泳中心“水立方”进行，为了落实“绿色办奥”的筹办理念，冰立方在“水冰转换”中造就了“绿色节能”的冰壶场馆．某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从大学生中抽取了男、女各100人进行调查．经统计，对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数比为4：3，男生有80人表示对冰壶运动感兴趣．(1)完成列联表，并分别估计男、女大学生对冰壶运动感兴趣的概率；(2)能否有99%的把握认为男、女大学生对冰壶运动的兴趣有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．18.已知S n为数列{a n}的前n项和，且a n>0，a n2+2a n=4S n+3，b n=a2n−1，c n=3n．(1)求{a n}的通项公式；(2)为数列{b n}与{c n}的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列{d n}，求{d n}的前10项的和．19.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为2，AA1=√2．(1)求证：A1B⊥B1C；(2)若点M在线段A1B上，且A1M=2MB，求三棱锥B1−A1CM的体积．20.如图，A(−√2,0)，B分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点和上顶点，圆O经过点B，P为椭圆C上一点，过A且与AP垂直的直线交圆O于两点C，D.若点M(1,e)在椭圆C上，其中e为椭圆C的离心率．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△PCD面积的最大值．21.已知函数f(x)=12x2+2xlnx．(1)求函数y=f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若函数g(x)=xe x+(4−a)x−1−f(x)在定义域上无极值，求正整数a的最大值．22.以直角坐标系xOy的坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，点M为曲线C1上的动点，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OP⃗⃗⃗⃗⃗ (k>0)，且满足OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =16，点P的轨迹为曲线C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为(2,π3)，点B在曲线C2上，求△ABO面积的最大值．23.已知函数g(x)=|x|，f(x)=g(3x+3)−g(2x−2)，若实数a，b满足a2+b2=2．(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)证明：对于任意x∈R，都有a+b≤f(x)+6．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|−2<x<4}，∴∁R A={x|x≤−2或x≥4}，∵B={2,3,4,5}，∴(∁R A)∩B={4,5}，故选：B．先求出集合A的补集，再根据集合的基本运算即可求(∁R A)∩B．本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z(1+i)=3+2i，∴z=3+2i1+i =(3+2i)(1−i)(1+i)(1−i)=52−12i，∴z−=52+12i，∴则z的共轭复数z−对应的点(52,12)在第一象限．故选：A．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵1+12−x≤0⇔x∈(2,3]，(x−a)2<4⇔x∈(a−2,a+2)，∴根据题意可知(2,3]⫋(a−2，a+2)，∴{a−2≤2a+2>3，解得a∈(1,4]．故选：D．1+12−x≤0⇔x∈(2,3]，(x−a)2<4⇔x∈(a−2,a+2)，根据题意可知(2,3]⫋(a−2，a+2)，然后可求得实数a的取值范围．本题考查分式不等式解法、集合间关系应用及充分不必要条件的应用，考查数学运算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为sin 2α−cos 2α=12， 则1−tan 2α1+tan 2α=1−sin 2αcos 2α1+sin 2αcos 2α=cos 2α−sin 2αcos 2α+sin 2α=−12，故选：A ．利用切化弦以及正余弦的同角关系化简即可求解．本题考查了三角函数的恒等变换以及化简求值，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数y =(2x +2−x )ln|x|，因为f(−x)=(2x +2−x )ln|−x|=f(x)，函数是偶函数，排除D ；x ∈(0,1)时，y =(2x +2−x )ln|x|<0， 排除选项A ，C ， 故选：B ．利用函数的奇偶性，结合特殊值对应点的位置，判断选项的正误即可．本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数经过的特殊点，是判断函数的图象的常用方法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方， ∵相似图形和相似三角形性质相同，大小五角星外接圆的直径之比为3：1， ∴大小五角星的面积之比为9：1，设大五角星的面积为9a ，则小五角星的面积为a ， 则五星图案的面积之和为9a +4a =13a ，则在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为9a13a =913， 故选：D ．根据几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据相似图形的面积关系求出对应的面积是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】C【解析】解：在正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =x(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+y(−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(x −12y)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x +y)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x −12y =1x +y =12，∴{x =56y =−13，故选：C ．由已知可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再列出方程组求解即可．本题考查平面向量的基本定理，平面向量线性运算，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：由约束条件{2x +y ≥4x −y ≥1x −2y ≤2写出可行域如图，化z =x +2y 为y =−x2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z2过A(2,0)时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值等于z =2+2×0=2． 故选：C ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9.【答案】D【解析】解：∵a>b>0，且a+b=1，∴12<a<1，0<b<12，∴0<a−b<1，∴ln(a−b)<ln1=0，故A错误，令a=0.6，b=0.4，则√a+√b=√0.6+√0.4<1+1=2，故B错误，令f(x)=lnxx，(0<x<1)，则f′(x)=1−lnxx2>0，故f(x)在(0,1)递增，故lnaa >lnbb，故blna>alnb，故lna b>lnb a，故a b>b a，故C错误，∵a>b>0，∴1a +1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab>2+2√ba⋅ab=4，故D正确，故选：D．根据对数的运算性质判断A，根据特殊值法判断B，根据函数的单调性以及对数函数的性质判断C，根据基本不等式的性质判断D．本题考查了不等式以及基本不等式的性质，考查对数函数的性质以及函数的单调性问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：由f(x)是定义在R上的偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，可得f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(a)=f(−a)=f(log310)，f(b)=f(−b)=f(log28)=f(3)，因为2<log310<3，1<245<2，所以f(245)<f(log310)<f(3)，即f(c)<f(a)<f(b)，故选：C．由题意可得偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，运用偶函数的定义和对数函数、指数函数的单调性，可得所求大小关系．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：∵f(x)=√2sin(x +π4)， ∴g(x)=√2sin(2x +π4)，∴g(x)的周期为π，且g(x)max =√2，g(x)min =−√2， ∵g(x 1)⋅g(x 2)=2，∴g(x 1)=g(x 2)=√2或g(x 1)=g(x 2)=−√2，所以|x 1−x 2|=π+2kπ，k ∈N ，所以|x 1−x 2|min =π， 故选：B ．由题意求出函数的周期，|x 1−x 2|的最小值为1个周期，从而得出结论．本题主要考查三角函数的图象和性质、函数的概念与性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：∵直线过点M(1,0)且斜率不为0， ∴设该直线方程为x =my +1，当m ≠0时，联立{x =my +1y 2=2px ，化简整理可得，y 2−2pmy −2p =0，p >0，Δ=(−2pm)2−4×1×(−2p)=4p 2m 2+8p >0恒成立， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 0,0)， 则y 1+y 2=2pm ≠0，y 1y 2=−2p ， ∵∠ANM =∠BNM ，∴k AN +k BN =0，即y 1x 1−x 0+y 2x 2−x 0=0，即y 1(x 2−x 0)+y 2(x 1−x 0)(x 1−x 0)(x 2−x 0)=0，故y 1x 2+y 2x 1−x 0(y 1+y 2)=0，则y 1(my 2+1)+y 2(my 1+1)−x 0(y 1+y 2)=0， 即2my 1y 2+(y 1+y 2)−x 0(y 1+y 2)=0， ∴x 0=2my 1y 2y 1+y 2+1=2m(−2p)2mp+1=−2+1=−1，即N(−1,0)，当m =0时，A ，B 两点关于x 轴对称，显然∠ANM =∠BNM 恒成立， 综上所述，N(−1,0)． 故选：A ．设该直线方程为x =my +1，当m ≠0时，联立{x =my +1y 2=2px ，化简整理可得，y 2−2pmy −2p =0，p >0，再结合韦达定理以及斜率公式，求解．本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：令P(x,y)，又A(−a,0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，则3(−a −x,−y)=2(−c −x,−y)+(c −x,−y)，∴(−3a −3x,−3y)=(−c −3x,−3y)，故−3a −3x =−c −3x ， ∴e =ca =3． 故答案为：3．令P(x,y)，应用向量共线关系的坐标表示可得(−3a −3x,−3y)=(−c −3x,−3y)，即可求离心率．本题考查双曲线的性质，以及向量的坐标运算，属于基础题．14.【答案】√6【解析】解：∵∠A =45°，AB =√2AD =2， ∴BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos45°=2， ∴BD =√2，∴BD ⊥AD ，∴BD ⊥BC ， ∵CB ⊥AD ，CB ⊥BD ，AD ∩BD =D ， ∴CB ⊥平面ABD ，又BD ⊂平面ABD ， ∴CB ⊥BD ，又∵BC =AD =√2，BD =√2，∴CD =2， ∵AD ⊥BD ，AD ⊥BC ，BD ∩BC =B ， ∴AD ⊥平面BCD ，又CD ⊂平面BCD ， ∴AD ⊥CD ，∴AC =√AD 2+CD 2=√(√2)2+22=√6，故答案为：√6．在△ABD中利用余弦定理求出BD，进而得到BD⊥BC，由线面垂直的判定定理可得CB⊥平面ABD，求出CD的长，再证得AD⊥平面BCD，得到AD⊥CD，最后利用勾股定理即可求出AC的长．本题主要考查了线面垂直的判断，考查了余弦定理的应用，是基础题．15.【答案】π32√3【解析】解：由余弦定理知：cosB=a2+c2−b22ac，而a2+c2=b2+ac，所以cosB=12，又0<B<π，则B=π3，在△BCE中，设∠CEB=θ，则CEsinπ3=BCsinθ，可得CE=2√3sinθ，又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则∠ECA=∠EAC=θ2，所以sinθ2=DECE=√2sinθ2，可得cosθ2=√22，而0<θ<π，故θ2=π2，所以CE=2√3，BE=2，故△BCE的面积为S=12CE⋅BE=2√3．故答案为：π3，2√3．由已知利用余弦定理可求cosB=12，结合范围0<B<π，可求B的值，在△BCE中，设∠CEB=θ，利用正弦定理可得CE=2√3sinθ，由题意可求∠ECA=∠EAC=θ2，可得sinθ2=DE CE =√2sinθ2，可得cosθ2=√22，结合0<θ<π，可得θ2=π2，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.【答案】[0,3]【解析】解：当x≤0时，f(x)=(x−a)2，且f(0)=a2，当a<0时，f(x)的最小值为0，不可能是a2，∴此时不成立，故a≥0，此时当x≤0时，f(x)=(x−a)2的最小值是f(0)=a2，=当x>0时，f′(x)=2−2 x2(x−1)，x则当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数，当0<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数，则当x=1时，f(x)取得极小值f(1)= 2+4+a=6+a，要使f(x)的最小值为a2，则a2≤6+a，即a2−a−6≤0，得−2≤a≤3，此时0≤a≤3，综上实数a的取值范围是[0,3]，故答案为：[0,3]．讨论a的取值范围，分别求出当x≤0和当x>0时，对应函数的最小值，然后进行比较建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查分段函数的应用，根据分段函数的表达式，分别求出对应范围上f(x)的最小值，然后进行比较是解决本题的关键，是中档题．17.【答案】解：(1)对冰壶运动有兴趣的男生与女生的人数比为4：3，男生有80人表示对冰壶运动感兴趣，所以女生有60人对冰壶运动感兴趣，感兴趣没兴趣男生8020女生6040=0.8，男大学生中对冰壶活动感兴趣的比率为80100=0.6，女大学生中对冰壶活动感兴趣的比率为60100故男大学生中对冰壶活动感兴趣的概率的估计值为0.8，女大学生中对冰壶活动感兴趣的概率的估计值为0.6．(2)∵K2=200×(80×40−60×20)2100×100×140×60≈9.524>6.635，∴有99%的把握认为男、女大学生对冰壶运动的兴趣有差异．【解析】(1)根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．(2)根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．本题主要考查了独立性检验公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3，两式相減得a n+12−a n2+2(a n+1−a n)=4a n+1，即(a n+1+a n)(a n+1−a n)=2(a n+1+a n)，因为a n>0，则a n+1−a n=2，又a12+2a1=4S1+3,a1>0，解得a1=3，即{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，所以{a n}的通项公式a n=3+2(n−1)=2n+1．(2)由(1)知，b n=4n−1，数列{b n}与{c n}的公共项满足b n=c k，即4n−1=3k,k=4n−13=n+n−13，而k，n∈N∗，于是得n−13=m−1(m∈N∗)，即n=3m−2，此时k=4m−3，m∈N∗，因此，b3m−2=c4m−3=12m−9，即d n=12n−9，数列{d n}是以3为首项，12为公差的等差数列，令{d n}的前n项和为T n，则T10=10×3+10×92×12=570，所以{d n}的前10项的和为570．【解析】(1)由给定的递推公式结合S n+1−S n=a n进行变形推导即得{a n}为等差数列，再求其通项得解．(2)根据给定条件求出数列{d n}的通项即可计算作答．本题考查了数列的递推式以及等差数列的综合，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D ，则CD ⊥AB ，因为平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，平面ABB 1A 1⋂平面ABC =AB ， 所以CD ⊥面ABB 1A 1，因为A 1B ⊂面ABB 1A 1， 所以CD ⊥A 1B ，因为tan∠BA 1B 1=√22，tan∠BB 1D =1√2=√22， 所以∠BA 1B 1=∠BB 1D ，所以A 1B ⊥B 1D ，又B 1D ∩CD =D ，CD ⊥A 1B ， 所以A 1B ⊥平面B 1CD ，又B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以A 1B ⊥B 1C .(2)解：由题可得：S △A 1BC =32S △A 1MC ，所以V B 1−A 1CM =23V C−A 1B 1B ，又点C 到平面A 1B 1B 的距离为√3， 三角形A 1B 1B 的面积为12×2×√2=√2， 所以V C−A 1B 1B =13×√2×√3=√63，所以V B 1−A 1CM =23×√63=2√69，故三棱锥B 1−A 1CM 的体积为2√69．【解析】(1)取AB 中点D ，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证A 1B ⊥平面B 1CD ，即证；(2)由题可得V B 1−A 1CM =23V C−A 1B 1B ，再利用棱锥的体积公式即求． 本题主要考查空间中的垂直关系，锥体体积的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：(1)由题意可知，1a 2+e 2b 2=1，所以b2a2=b 2−e 2=1−e 2，所以b 2=1， 由a 2=2，所以椭圆C 的标准方程：x 22+y 2=1；(2)设直线AP 的方程：x =my −√2，直线AC 的方程：y =−m(x +√2)， 联立方程组{y =my −√2x 2+2y 2−2=0，消去x ，整理得(m 2+2)y 2−2√2my =0， 解得y P =2√2mm 2+2，x P =√2(m 2−2)m 2+2， 又O 到直线AC 的距离距离d =√2m|√m 2+1<1，则−1<m <1且m ≠0，于是|CD|=2√1−d 2=2√1−m 2m 2+1，又|AP|=(√m 2+2(√m 2+2)=2√2|m|√m 2+1m 2+2，从而，S△PCD =12×|CD|×|AP|=2√2|m|√1−m 2m 2+2=√3×√3|m|×√2−2m 2m 2+2≤√3×3m 2+2−2m 22m 2+2=√33， 当且仅当3m 2=2−2m 2，即m 2=25，(满足−1<m <1，且m ≠0)， 综上可知，△PCD 的面积的最大值为√33．【解析】(1)根据题意，将点A 和点M(1,e)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；(2)设直线AP 和AC 的方程，将AP 方程代入椭圆方程，求得P 点坐标，求得|CD|及|AP|，即可表示出△PCD 面积，利用基本不等式，即可求得△PCD 面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，基本不等式的应用，考查转化思想，计算能力，属于难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=12x2+2xlnx，所以f′(x)=x+2(1+lnx)，所以f′(1)=3，又f(1)=12，所以函数f(x)在(1,f(1))的切线方程为y−12=3(x−1)，即y=3x−52．(2)由题得g(x)=xe x−2xlnx−12x2+(4−a)x−1定义域为(0,+∞)，若g(x)=f(x)+(4−a)x−1无极值，则g′(x)≥0恒成立或g′(x)≤0恒成立，①当g′(x)≥0恒成立时，g′(x)=(x+1)e x−2(1+lnx)−x+4−a≥0，即a−2≤(x+1)e x−2lnx−x恒成立，所以a−2≤[(x+1)e x−2lnx−x]min，令ℎ(x)=(x+1)e x−2lnx−x，所以ℎ′(x)=(x+2)e x−2x −1=(x+2)e x−x+2x=(x+2)(e x−1x)(x>0)，令φ(x)=e x−1x，所以φ′(x)=e x+1x2>0，所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增，又φ(12)=√e−2<0，φ(1)=e−1>0，所以存在x0∈(12,1)使φ(x0)=e x0−1x0=0，当x∈(0,x0)时，φ(x)<0，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，φ(x)>0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=(x0+1)e x0−2lnx0−x0=(x0+1)⋅1x−2lnx0−x0，因为e x0=1x，所以x0=−lnx0，所以ℎ(x0)=1+1x0+2x0−x0=1+x0+1x0∈(3,72)，即ℎ(x0)∈(3,72)，所以a−2≤3，所以a≤5，所以整数a的最大值为5，②g′(x)≤0恒成立，所以a −2≥[(x +1)e x −2lnx −x]max ， 由①知ℎ(x)在(x 0,+∞)单调递增， 所以不存在最大值，综上所述，正整数a 的最大值为5．【解析】(1)求导得f′(x)，再计算出f(1)，即可得出切线方程为y −f(1)=f′(1)(x −1)，即可得出答案．(2)若g(x)=f(x)+(4−a)x −1无极值，则g′(x)≥0恒成立或g′(x)≤0恒成立，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，点M 为曲线C 1上的动点，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (k >0)，且满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，所以C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程(x −2)2+y 2=4(x ≠0)；(2)设点B 的极坐标为(ρB ,α)， 所以ρB =4cosα，所以S △ABO =12×|AO|⋅ρB ⋅sin∠AOB =2|sin(2α−π3)−√32|≤2+√3．当α=−π12时取得最大值．【解析】(1)直角利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)∵g(x)=|x|，f(x)=g(3x +3)−g(2x −2)，∴f(x)=|3x +3|−|2x −2|，当x ≥1时，f(x)=3x +3−(2x −2)=x +5≥1，解得x ≥−4， 故x ≥1，当−1<x <1时，f(x)=3x +3−(2−2x)=5x +1≥1，解得x ≥0，故0≤x<1，当x≤−1时，f(x)=−(3x+3)−(2−2x)=−x−5≥1，解得x≤−6，故x≤−6，综上所述，f(x)≥1的解集为{x|x≤−6或x≥0}．(2)证明：f(x)={x+5,x≥15x+1,−1<x<1−x−5,x≤−1，当x≥1时，f(x)≥6，当−1<x<1时，−4<f(x)<6，当x≤−1时，f(x)≥−4，综上所述，f(x)≥−4，则f(x)+6≥2，∵a2+b2=2，∴a+b2≤√a2+b22，即a+b≤2，当且仅当a=b时，等号成立，∴(a+b)max≤f(x)+6，故对于任意x∈R，都有a+b≤f(x)+6，即得证．【解析】(1)由题意可得，f(x)=|3x+3|−|2x−2|，再分x≥1，−1<x<1，x≤−1三种情况讨论，即可求解．(2)先求出f(x)的最小值，再结合基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．。
河南省名校联考2022年10月高三一轮复习诊断考试(一)理科数学试题(含解析)
名校联考2022年10月高三一轮复习诊断考试(一)数学(理科)注意事项:1.本试卷共6页。
时间120分钟,满分150分。
答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置,并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
作答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将试卷和答题卡一并收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项由,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|4,{2,1,3,4}A x x B =∈=-Z …, 则图中阴影部分所表示的集合为A. {2,1}-B. {1,0,2}-C. {0,1,3}D. {1,2,3}2. 命题“(1,),sin 20x x x ∀∈+∞-<”的否定是A. (1,),sin 20x x x ∀∈+∞-…B. (,1],sin 20x x x ∀∈-∞-≥C. 000(1,),sin 20x x x ∃∈+∞-…D. (]000,1,sin 20x x x ∃∈-∞-…3.《墨经・经说下》中有这样一段记载: “光之人,煦若射. 下者之人也高, 高者之之人也下.足蔽下光, 故成景于上; 首蔽上光, 故成影于下. 在远近有端, 与于光, 故景库内也. ”这对小孔成像有了第一次的描述. 如图为一次小孔成像实验, 已知物距: 像距=6: 1,2312,cos 32OA OB AOB''==∠=, 则像高为A. 1B.324. 设命题:0ln(2)ln3p x <-≤，命题:(2)(23)0q x m x m ---≤，若q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是A.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5. 函数()(tan sin 2)22x x y x x -=--的部分图象大致为6.二叉树(Binary tree)是计算机中数据结构的一种,是树形结构的一个重要类型,许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式,形式如图,其中节点是包含一个数据元素及若干指向子树分支的信息,树中所有节点的层次最大值称为树的高度,经实验验证,节点数与树的高度呈指数关系，二叉树的高度h 与节点数x 的关系为 4.13.6h x e+=,若经测算，一个二叉树的节点大约有800个,则二叉树的高度约为(ln 20.7,ln5 1.6≈≈,结果保留整数) A.14B.16C.18D.207. 已知函数22()log f x x ax =-在区间(0,1]上单调递增, 则实数a 的取值范围是 A. (,0)-∞B. (,0][2,)-∞⋃+∞C. (2,)+∞D. (,0)(1,2)-∞⋃8. 若12x y <<<, 则 A. e 3e 3x y y x +<+B. e 3e 3x y y x +>+C. 323233x y y x +<+D. 323233x y y x +>+9. 已知2(cos sin )sin()sin cos ααθαθθ--=+, 则tan(2)αθ-= A. -1B. 1C. -2D. 210. 已知ABC 中,2BO OC =, 过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N ,则 AMN 与ABC 的面积之比的最小值为B.49C. 89D. 211. 已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,记ABC 的面积为S . 若28c S =, 则ba的最大值为A. 3B. 3C. 2D. 2+12. 若1ln sin ,ln 9,ln(ln 0.9)9a b c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭, 则A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. a c b <<二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.13. 已知向量(2,2),(3,32),(2,22)m m ==-=--b c a . 若//()+b c a , 则||=b _____.14. 设全集U =R , 集合{}220,{1}A x x x B x m x =--<=<<∣∣. 若集合()U A B ⋂ð中有且仅有一个整数, 则实数m 的最小值为_____.15. 已知函数()2cos (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为,()T f x 的一个极值点为x π=. 若233T ππ<<, 则ω的最大值是_____. 16. 已知函数2e ,0,()|ln |,0,x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩…若函数()y f x b =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<, 则以下结论正确的是_____.①22342x x +>②20b e<<③122x x +=-④()13422x x x x +<-. 三、解答题: 共 70 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知函数3()sin cos (0)2424f x m x x m ππππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 将()f x 的图象向右平移23个单位长度得到函数()g x 的图象, 点,,A B C 分别是()f x 与()g x 的图象上连续相邻的、自左向右的三个交点 (点B 在 x 轴的下方), 且ABC的面积为(1) 求实数m 的值;(2) 若点D 为BC 延长线上一点, 且2CD =, 求AD 的长. 18. (本小题满分 12 分)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,设ABC 的面积为S ,满足2sin cos sin a C ac B C S =+. (1) 求角C ;(2)若sin sin 6sin b C c B B +=, 求ABC 周长的最大值.19.(本小题满分 12 分)已知函数()f x 为二次函数, 点(0,0),(2,1),(2,1)O A B -分别为函数()f x 图象上的 三点,点M 为()f x 图象上的任一点.(1)求MA MB ⋅的最小值;(2)若PQ 是以AB 为直径的圆的一条直径,求MP MQ ⋅的取值范围.20. (本小题满分 12 分)如图, 在平面四边形ABCD 中,(),090,6AD CD BAD BCD AB BC θθ︒︒⊥∠=∠=<<+=.(1)若2,75BC AB θ︒==, 求对角线AC 的长;(2) 当,3AD CD BC ==时, 求平面四边形ABCD 的面积的最大值及此时θ的值.21. (本小题满分 12 分)已知函数2()2,()ln 2(0)f x x g x a x a =-=->.(1) 若方程()()f x g x =在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的实根, 求实数a 的最大值；(2) 当4a =时, 判断函数()f x 与()g x 的图象是否存在公切线? 若存在, 请判断有几条公切线, 并写出其中一条公切线的方程; 若不存在, 请说明理由.22. (本小题满分 12 分)已知函数2()e e 22()x x f x a x a =+++∈R . (1) 当5a =-时,求函数()f x 的单调区间;(2) 设()()g x f x x =-, 若函数()g x 至少有两个不同的零点, 求证:3a -….名校联考2022年10月高三一轮复习诊断考试(一)数学(理科)参考答案14. -2 15.23416. ①②④ 三、解答题17.【解析】(1) 因为3()sin cos cos sin sin 24244422f x m x x m x x m x πππππππ⎛⎫⎛⎫=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;所以()sin 223m g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令sin sin 22223m m x x πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 整理得sin sin 223x x πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,解得2,23x k k πππ=+∈Z , 所以4C B y y m =-=.因为4,AC BA BC ==, 所以()12ABCC B SAC y y =⨯⨯-==所以4m =.(2) 因为tan 2C By y BCA -∠==所以60BCA ︒∠=, 所以120DCA ︒∠=.根据余弦定理, 可得AD ===18.【解析】(1) 因为2sin cos sin a C ac B C S =+, 所以21sin cos sin sin 2a C ac B C ab C =+.因为(0,)C π∈, 所以sin 0C ≠, 所以222cos a ac B ab =+.由余弦定理, 得2222222a c b a ac ab ac+-=⋅+, 整理, 得222a b c ab +-=. 由余弦定理, 得2221cos 22a b c C ab +-==.因为(0,)C π∈, 所以3C π=.(2) 因为sin sin 6sin b C c B B +=, 所以根据正弦定理, 得6bc cb b +=, 所以3c =. 在ABC 中, 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-, 得229a b ab =+-, 所以2()93a b ab +-=.因为22a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭…, 所以22()932a b a b +⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭…, 当且仅当3a b ==时等号成立.所以当3a b ==时,a b +取得最大值 6 .所以a b c ++取得最大值 9 , 即ABC 周长的最大值为 9 .19.【解析】 (1) 根据题意, 设2()(0)f x ax bx c a =++≠, 代入,,O A B 三点的坐标可得2001421,0,()442114c c a b c b f x x a b c a ⎧⎪==⎧⎪⎪-+=∴=∴=⎨⎨⎪⎪++=⎩⎪=⎩ 设(,)M x y , 则(2,1),(2,1)MA x y MB x y =---=--. 所以2224(1)(1)4MA MB x y y ⋅=-+-=+-.因为0y …, 所以2(1)4y +-在[0,)+∞上单调递增. 所以3MA MB ⋅-…, 当0y =时, 等号成立. 故MA MB ⋅的最小值为-3.(2) 设AB 的中点(0,1)为D . 因为PQ 为圆O 的直径, 所以||||4,PQ AB DQ DP ===-. 利用向量的线性表示, 可得,MP MD DP MQ MD DQ MD DP =+=+=-, 所以222()()|||||4MP MQ MD DP MD DP MD DP MD ⋅=+⋅-=-=-. 因为222(1)(1)0||x MD y y =+-=+≥当0y =时等号成立所以23||4MD -≥-所以MP MQ ⋅的取值范围为[)3,-+∞20.【解析】(1) 因为,75AD CD BAD BCD θ︒⊥∠=∠== 所以36027590120ABC ︒︒︒︒∠=-⨯-=.又因为2,6BC AB AB BC =+=, 所以4,2BC AB ==.在ABC 中, 由余弦定理, 得2222cos 416224cos12028AC AB BC AB BC ABC ︒=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=,故AC =即对角线AC的长为(2) 因为6,3AB BC BC +==, 所以3AB BC ==. 根据题意画出如图所示的平面四边形ABCD , 并连接BD . 又AD CD =, 所以BD 为ADC ∠的平分线, 所以18045135ABD CBD θθ︒︒︒∠=∠=--=-在BCD 中, 由正弦定理sin sin BD BC BDC θ=∠,得sin 3sin sin sin 45BC BD BDC θθθ︒===∠. 所以四边形ABCD 的面积()()122sin 135sin 1352BCDS SBD BC θθθ︒︒==⨯⨯⨯-=-29sin cos 9sin 22θθθθθθ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭()999sin 2(1cos 2)245222θθθ︒=+-=-+$$ 因为0090︒︒<<, 所以45245135θ︒︒︒-<-<.所以当24590θ︒︒-=, 即67.5θ︒=时,S 取到最大值,. 21.【解析】 (1) 令2()()()ln ,0h x f x g x x a x x =-=->, 则()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点.因为222()2x x a x a h x x x x x '⎛+ -⎝⎭⎝⎭=-==, 所以易知()h x要使得()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点,则1e e <<, 即 2222e e a <<.当1e x ⎡∈⎢⎣时,()0,()h x h x '<单调递减;当x ⎤∈⎥⎦时,()0,()h x h x '>单调递增, 所以()h x在x =,极小值为2a h a =-所以2111ln 0()2ln 0ln 02h a e ee h e e a e a h a ⎧⎛⎫⎪=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎨⎪⎪=-<⎪⎩解得22e a e <≤所以实数a 的最大值为2e .(2) 因为函数2()2f x x =-, 所以()2f x x '=.设切线与函数()f x 的图象相切的切点坐标为()2,2n n -, 则()2f n n '=, 所以切线方程为()222()y n n x n --=-, 即222y nx n =-- 当4a =时, ()4ln 2g x x =-, 所以4()g x x'=. 设切线与函数()g x 的图象相切的切点坐标为(,4ln 2)m m -, 则4()g m m'=, 所以切线方程为4(4ln 2)()y m x m m --=-, 即44ln 6y x m m=+-. 若函数()f x 与()g x 的图象存在公切线,则242264ln n mn m ⎧=⎪⎨⎪+=-⎩所以2(1ln )1m m -= 设2()(1ln )(0)x x x x ϕ=->.令()0x ϕ'=,得x =当x ∈时,()0x ϕ'>;当)x ∈+∞时, ()0x ϕ'<. 所以()x ϕ在上单调递增,在)+∞上单调递减, 最大值为e2ϕ=因为e 111,(1ln 2)1,(3)9(1ln 3)1224ϕϕ⎛⎫>=+<=-< ⎪⎝⎭,所以方程211ln m m=-有 2 个不同的解, 所以()f x 与()g x 的图象有 2 条公切线. 可以观察1m =为方程的一个解,此时2n =, 所以其中一条公切线的方程为46y x =-. 22.【解析】(1) 当5a =-时,2()e 5e 22,x x f x x x =-++∈R , 所以()()2()2e 5e 22e 1e 2x x x x f x '=-+=--.由()0f x '>, 得ln 2x <-或ln 2x >; 由()0f x '<, 得ln 2ln 2x -<<.所以函数()f x 的单调递增区间为(,ln 2),(ln 2,)-∞-+∞,单调递减区间为(ln 2,ln 2)-. (2) 2()()e e 2,x x g x f x x a x x =-=+++∈R , 函数()g x 至少有两个不同的零点等价于方程2e e 20xxa x +++=, 即2e 2ex xx a ++-=至少有两个相异实数根. 设2e 2(),e x xx F x x ++=∈R , 则等价于直线y a =-与函数()y F x =的图象至少有两个不同的交点.()()()22222e 1e e 2e e 1()ee xx x xx xx x x F x '+-++--==. 令2()e 1,x h x x x =--∈R , 则2()2e 1x h x '=-. 由()0h x '>,得ln2x >; 由()0h x '<,得ln 2x <. 所以函数()h x在区间,ln 2⎛-∞ ⎝⎭上单调递减,在区间ln 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以函数()h x的最小值为2ln ln 10222h ⎛⎛=--< ⎝⎭⎝⎭. 又(0)0h =所以当(0,)x ∈+∞时，()0h x >又21(1)0h e ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭因此必存在唯一01,ln 2x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，使得0()0h x =当x 变化时，'(),(),()h x F x F x 的变化情况如下表当0x x =时,()F x 有极大值()0F x , 当0x =时,()F x 有极小值(0)F . 又21(0)3,(2)(0)e F F F =-=<, 且x →+∞时,()F x →+∞, 所以当直线y a =-与函数()y F x =的图象至少有两个交点时, 必须满足()0(0)F a F x -剟, 即()0(0)3F x a F --=-剟, 所以3a -….。
河南省2019届普通高中招生考试诊断性测试数学试卷及参考答案
（1） 求该抛物线的解析式； （2） 如图1，直线l的解析式为y=x，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线l的垂线，垂足为点H，连接OP ，求△OPH的面积； （3） 把图1中的直线y=x向下平移4个单位长度得到直线y=x-4，如图2，直线y=x-4与x轴交于点G．点P是四边形ABCO 边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E，F．是否存在点P，使得以P，E，F为顶点的三角形是等腰 三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
三、解答题
16. 化简代数式：
，再从不等式组
的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式
的值．
17. 为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴
趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
（1） 学校这次调查共抽取了名学生； （2） 补全条形统计图； （3） 在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为； （4） 设该校共有学生2000名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？ 18. 如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅， 象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于 同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行 到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽 略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin 40°≈0.64，tan 40°≈0.84)
2023-2024学年河南省联考高一上册期末教学诊断性考试数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省联考高一上册期末教学诊断性考试数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6,8}N =，则()U M N = ð（）A ．{1,2,3,4,5,6,8}B ．{7,9}C ．{2,4}D ．{1,3,5,6,7,8,9}【正确答案】B【分析】利用并集和补集的定义求解即可.【详解】因为全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6,8}N =，所以{1,2,3,4,5,6,8}M N = ，所以(){7,9}U M N = ð,故选：B 2．使“112x>”成立的一个充分不必要条件是（）A ．0x >B ．12x <C ．102x <<D ．104x <<【正确答案】D 【分析】由112x>得102x <<，再根据充分不必要条件判断即可.【详解】由112x>得，1202xx ->，即()2210x x -<，得102x <<，所以，使“112x >”成立的一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭的子集，所以，由各选项可知“104x <<”满足题意，所以，使“112x>”成立的一个充分不必要条件可以是“104x <<”.故选：D ．3．已知命题p ：()0,4x ∃∈，1x <或3x >，则命题的否定是（）A ．()0,4x ∃∈，1x ≥或3x ≤B ．()0,4x ∃∈，13x ≤≤C ．()0,4x ∀∈，1x ≥或3x ≤D ．()0,4x ∀∈，13x ≤≤【正确答案】D【分析】存在量词命题的否定是特称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】首先确定量词，排除选项A ，B ；其次“1x <或3x >”的否定形式为13x ≤≤,故命题p 的否定为“()0,4x ∀∈，13x ≤≤”．故选：D ．4．已知ab ＝3log 2，c ＝2，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【正确答案】C【分析】由对数式和根式的运算，确定三个数的范围再比较大小.【详解】∵12<<，∴12a c <<=；又3330log 1log 2log 31=<<=，所以01b a <<<，∴b a c <<．故选：C ．5．已知某校高三年级共1200人，其中实验班200人，为了解学生们的学习状况，高三年级组织了一次全员的数学测验，现将全部数学试卷用分层抽样的方法抽取60份进行研究，则样本中实验班的试卷份数为（）A ．5B ．10C ．20D ．25【正确答案】B【分析】根据分层抽样可求得样本中实验班的试卷份数.【详解】根据题意，样本中实验班的试卷份数为20060101200⨯=.故选：B.6．若函数()2log f x x x ＝＋，则()f x 的零点所在区间是（）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】由已知可推得()f x 在()0,∞+上为增函数．然后分别求解，可得104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，304f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，()10f >，即可根据零点存在定理，得出答案.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，且()f x 的图象在()0,∞+上是连续的.根据对数函数的单调性可知，任意120x x <<，有2122log log x x <成立，则121222log log x x x x +<+，即()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+上为增函数．又211117log 2044444f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭＝＋，211111log 1022222f ⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭＝＋，223335log log 34444f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭()()45222114log 35log 3log 244=-=-2181log 0432=>，()21log 1110f =>＝＋.即13024⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，根据零点存在定理可知，()f x 的零点所在区间是13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C.7．已知0a >，0b >，0c >，()()10a b c a b c +++-=，则33a b c +-的最小值为（）A ．8B ．10C ．D ．【正确答案】C【分析】利用()()332a b c a b c a b c +-=++++-结合均值不等式求解即可.【详解】因为()()10a b c a b c +++-=，0,0,0a b c >>>，所以0a b c ++>，0a b c +->，所以()()332a b c a b c a b c +-=++++-≥=，当且仅当()2a b c a b c ++=+-即3a b c +=时取等号，所以33a b c +-的最小值为故选：C.8．已知函数())lg f x x =，则()()()()2lg lg 2lg log 51f f ++=（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】B【分析】由已知可推得()()1f x f x -+=.又因为()2lg 2log 511⨯+=，所以()()2lg log 51lg lg 2+=-，即可得出答案.0x >恒成立，所以()f x 的定义域为R ，且()()))()22lglglg 101f x f x x x x x -+=+==＋-.()()222lg 2log 51lg 2log 5log 2⨯+=⨯+2lg10lg 2log 10lg 21lg 2=⨯=⨯=，所以，()()21lg log 51lglg lg 2lg 2+==-，所以，()()()()()()()()2lg lg 2lg log 51lg lg 2lg lg 21f f f f ++=+-=.故选：B.关键点睛：涉及较复杂的函数求值问题，探求给定函数的性质，再借助性质计算是解题的关键.二、多选题9．已知函数()f x x α=(α是常数），()42f =，则以下结论错误的是（）A ．12α=B ．()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．()f x 的定义域为()0,∞+D ．在区间()0,1上，()1f x >【正确答案】CD 【分析】由题知12α=，()12f x x ==案.【详解】解：由()442f α==得，12α=，即()12f x x ==故选项A ，B 正确；因为()12f x x =的定义域为[)0,∞+，故选项C 错误；因为()f x 在区间()0,1上，112211x <=，故选项D 错误．故选：CD ．10．已知11a b a＞＞＞，则以下不等式成立的是（）A ．1ab ＞B ．2a b ＋＞C ．log 1b a ＞D ．b aa b ＞【正确答案】ABD【分析】由已知可推得1a >，01b <<.根据基本不等式可判断B 项；根据对数函数、指数函数的单调性可判断C 、D 项.【详解】由已知可得，1a >，01b <<.对于A 项，由题意知10b a>>，故1ab >，故选项A 正确；对于B 项，由已知可得12a b a a+>+≥，当且仅当1a a =时等号成立.因为1a >，所以 2a b ＋＞，故选项B 正确；对于C 项，由已知01b <<，故log b y x =为()0,∞+上的减函数，又a b >，所以log log 1b b a b <=，故选项C 错误；对于D 项，因为1a >，01b <<，所以01b a a >=，01a b b <=，所以b a a b ＞，故D 项正确.故选：ABD ．11．现有一组数据：1,3,4,7,10,11，则（）A ．这组数据的平均值为6B ．这组数据的中位数为5.5C ．这组数据的75%分位数为7D ．对任意()()()()()()2222221R,134710116x x x x x x x ⎡⎤∈-+-+-+-+-+-⎣⎦的最小值为这组数据的方差【正确答案】ABD【分析】根据平均值、中位数、75%分位数的定义分别计算可判断ABC 选项，再根据二次函数的最小值的取法和方差的定义可判断D 选项.【详解】对于A ：这组数据的平均数为1347101166+++++=，故A 正确；对于B ：这组数据的中位数为475.52+=，故B 正确；对于C ：该组数据是从小到大排列的，60.75 4.5⨯=得，它的75%分位数为第5个数10，故C 错误；对于D ：2222221(1)(3)(4)(7)(10)(11)6x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-⎣⎦2148123x x =-+当6x =时，此二次函数取最小值，最小值为403，由方差定义可知，该组数据的方差2222222140(16)(36)(46)(76)(106)(116),63s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦故D 正确.故选：ABD.12．若不等式2240ax bx a >＋＋＋()4a >-的解集为(),4a a +，则（）A ．1a ＝B ．1b ＝C ．0a ＜D ．0b ＜【正确答案】BC【分析】根据已知条件可得，a 和4a +是方程2240ax bx a +++=的两根，且a<0.进而可根据两根之积()44a a a a+⋅+=，求出a 的值.然后根据两根之和求出b .【详解】由已知可得，a 和4a +是方程2240ax bx a +++=的两根，且a<0，所以()44a a a a+⋅+=.又4a >-，则21a =，则1a =-．又24ba a a-=++，则1b =，则0b >．故选:BC ．三、填空题13．如图是一组数据的频率分布直方图，分段区间分别是[)[)[)[)[]2,6,6,10,10,14,14,18,18,22，则x =__________.【正确答案】0.03##3100【分析】根据频率和为1列式求解.【详解】根据题意得，()0.020.080.09241x +++⨯=，解得0.03x =.故0.0314．已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味､3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为__________.【正确答案】12##0.5【分析】根据样本空间和所求事件包含的样本点，由古典概型的概率公式求值.【详解】设4袋牛奶编号分别为a b c d ,,,，其中a 为枣味，,,b c d 为原味，从中任取两袋，则样本空间{}Ω,,,,,ab ac ad bc bd cd =，共6个样本点，用事件A 表示“取到枣味”，则{},,A ab ac ad =，共3个样本点，根据古典概型的概率公式可得，()3162P A ==.故1215．已知函数()()2,0f x ax bx a a =++>，()11f =则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为______．【正确答案】2##2-+【分析】由()11f =可得12b a =-，再利用均值不等式求解即可.【详解】由题意得()121f a b =+=，即12b a =-，所以()()212f x ax a x a =+-+，所以由均值不等式得()12112222a f a a a aa a -⎛⎫=++=+-≥-=- ⎪⎝⎭，当且仅当2a a=，即a =所以1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为2-，故216．若函数()e e x xf x -=+，则()()123f x f x +>-的解集为______．【正确答案】2,43⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由题知()f x 为偶函数，且在区间[)0,∞+上单调递增，进而根据单调性与奇偶性解不等式即可.【详解】解：函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，所以，()()e e x xf x f x --=+=，即()f x 为偶函数．设120x x ≤<，则12e e 0x x -<，12e 1x x +>，12110ex x +->，所以，()()()1212121212111e e e e 10e e ex x x xx x x x f x f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以，根据偶函数的性质，易知()()123f x f x +>-等价于()()123f x f x +>-，所以，123x x +>-，解得243x <<．所以，()()123f x f x +>-的解集为2,43⎛⎫⎪⎝⎭故2,43⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知1b a >>，log 2a b =，6a b +=．(1)求,a b 的值；(2)解不等式：680x x b a -+<．【正确答案】(1)2,4a b ==(2){|12}x x <<【分析】（1）利用对数的概念列方程组求解即可；（2）利用换元法令()2,0,xt t =∈+∞，解一元二次不等式，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】（1）由log 2a b =可得2a b =，代入6a b +=得260+-=a a ，又因为1a >，所以2a =，24b a ==；（2）由（1）得2,4a b ==，所以不等式680x x b a -+<即为46280x x -⋅+<，令()2,0,x t t =∈+∞得()()268420t t t t -+=--<，解得24t <<，即242x <<，解得12x <<，所以不等式的解集为{|12}x x <<.18．某工厂生产的每件产品所用原材料的质量m （单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了300件产品，并将得到的数据按如下方式分为9组：[)10,15、[)15,20、L、[]50,55，绘制成如下的频率分布直方图：工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了300件产品.(1)求今年一月份生产的产品长度在[)25,40的件数；(2)现从[)25,30和[)30,35两组产品中以分层抽样的方式抽取7件产品，客户在这7件产品中再随机抽取2件，求这2件产品在[)25,30和[)30,35两组中各有1件的概率.【正确答案】(1)156件(2)47【分析】（1）将产品长度在[)25,40的频率乘以300可得结果；（2）分析可知，在[)25,30的产品有3（件），设编号分别为a 、b 、c ，在[)30,35的产品有4（件），编号分别为A 、B 、C 、D ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在[)25,40的有()3000.030.040.0345156⨯++⨯=（件）.（2）由题可知，按分层抽样抽取的7件产品中，在[)25,30的产品有0.03730.030.04⨯=+（件），设编号分别为a 、b 、c在[)30,35的产品有0.04740.030.04⨯=+（件），编号分别为A 、B 、C 、D ，则在7件产品中随机抽取2件，所有的基本事件有：(),a b 、(),a c 、(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b c 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),c A 、(),c B 、(),c C 、(),c D 、(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),B C 、(),B D 、(),C D ，共有21个基本事件，其中事件“抽到的2件产品在[)25,30和[)30,35两组中各有1件”所包含的基本事件有：(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),c A 、(),c B 、(),c C 、(),c D ，共12个基本事件，故所求概率为124217P ==.19．某种植户要倚靠院墙建一个高3m 的长方体温室用于育苗，至多有54m 2的材料可用于3面墙壁和顶棚的搭建，设温室中墙的边长分别为x y ，，如图所示．(1)写出：x y ，满足的关系式；(2)求温室体积的最大值．【正确答案】(1)()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<(2)354m 【分析】（1）根据长方形面积公式即可得到()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<.（2）首先利用基本不等式即可得到36x y +≥=0t =>，得到2540t +-≤，再解不等式即可得到答案.【详解】（1）由题意得：顶棚所用材料的面积为xy ，3面墙壁所用材料的面积为36x y +，所以()3654018,09xy x y x y ++≤<<<<．（2）因为36x y +≥=2x y =时取等号，所以3654xy xy x y +≤++≤0t =>，则2540t +-≤，解得0t <≤18xy ≤，当且仅当6x =，3y =时取等号，所以温室体积354V xy =≤，则温室体积的最大值为354m ．20．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y ＋＝，()00f ≠.(1)求()0f 的值；(2)若()13f =，*n ∈N ，求满足()2023f n ＜的n 的最大值．【正确答案】(1)1；(2)6.【分析】（1）令0x y ==，代入即可得出()01f =；（2）令x n =，*n ∈N ，1y =代入可得，()()13f n f n =＋.依次求解，即可得出()2679f =，()87217f =，进而得出答案.【详解】（1）令0x y ==，由已知可得()()200f f＝，解得()01f =或()00f =（舍去）.所以，()01f =.（2）令x n =，*n ∈N ，1y =，则由已知可得，()()()()113f n f n f f n =＋＝.显然()0f n >，所以()()()13f n f n f n =>＋.所以，()()2319f f ==，()()33272f f ==，()()14383f f ==，()()354324f f ==，()()965372f f ==，()()7763218f f ==.所以，满足()2023f n ＜的n 的最大值为6.21．已知集合A 满足以下条件：①1A ∈；②若a A ∈A .(1)求证：集合A 至少有3个元素；(2)若集合R M A =ð，写出属于集合M 的两个元素，并说明理由.【正确答案】(1)证明见解析,33-，理由见解析【分析】（1）由已知条件可得，1A∈时，有2A-2A∈，所以集合A至少有3个元素（2A，A，故属于集合M.【详解】（1）证明：由1A∈(2A=-∈，)22A-=-∈，1,A=∈ ，周而复始，故由题意易得集合A至少有3个元素.（2）当a=A；=a=，即当a=A=，故A.故属于集合M的两个元素是33.22．已知函数()22f x x ax=-，()3g x ax a=+-，Ra∈．(1)若对Rx∀∈，()()0f xg x+>，求a的取值范围；(2)若对Rx∀∈，()0f x>或()0g x>，求a的取值范围．【正确答案】(1)()6,2-(2)(),3-∞【分析】（1）利用一元二次函数的图象和性质求解即可；（2）根据a的取值分情况讨论即可求解.【详解】（1）由题意可得()()230f x g x x ax a +=-+->恒成立，则()()24130a a ∆=--⨯⨯-<即()()2412620a a a a +-=+-<，解得62a -<<，故a 的取值范围为()6,2-.（2）当0a =时，()2f x x =，()30g x =>，符合题意；当a<0时，由()220f x x ax =->，解得2x a <或0x >，故当20a x ≤≤时，()30g x ax a =+->恒成立，而()g x 在R 上为减函数，故只需()030g a =->，而由a<0，得30a ->，故a<0符合题意；当0a >时，由()220f x x ax =->，解得0x <或2x a >，故当02x a ≤≤时，()30g x ax a =+->恒成立，而()g x 在R 上为增函数，故只需()030g a =->，解得0<<3a ，综上a 的取值范围是(),3-∞．。