2012年北京高考模拟系列试卷_文科数学试题及其答案
2012年北京高考试题(文数,word解析版)
2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）解析版数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A x x ⋂=>。
【考点定位】本小题考查的是集合（交集）运算和一次和二次不等式的解法。
2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ． （1,3） B ． （3,1） C ．(1,3-） D ．31-（，）【答案】A 【解析】1010(3)133(3)(3)i i i i i i i -==+++-，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A 【考点定位】本小题主要考查复数除法的化简运算以及复平面、实部虚部的概念。
3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ．44π- 【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122244224p ππ⨯-⨯-==⨯，故选D 【考点定位】 本小题是一道综合题，它涉及到的知识包括：线性规划，圆的概念和面积公式、概率。
4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==， 循环结束，输出的S 为8，故选C【考点定位】 本小题主要考查程序框图，涉及到判断循环结束的 时刻，以及简单整数指数幂的计算。
2012年北京市高考数学(文科)试题及标准答案详解
20 2 xy ２01２年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）(北京卷)本试卷共5页，1５0分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1．已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B =(A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- （Ｃ）2(,3)3-(D)(3,)+∞ 【解析】和往年一样，依然是集合（交集）运算,本次考察的是一次和二次不等式的解法。
利用一次、二次不等式的解法2{|}3A x x =>-,{|13}B x x x =<->或并画出数轴图易得答案:D2.在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为（A)(1,3) （B ）(3,1) （C)(1,3)- （D ）(3,1)-【解析】考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
因为10133ii i=++,实部为1,虚部为3,对应复平面上的点为(1,3) 答案：A 3.设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A)4π （B ）22π- (C ）6π(D ）44π-【解析】一道微综合题，它涉及到的知识包括：线性规划,圆的概念和面积公式，几何概型。
题目中 表示的区域如右图正方形所示,而动点Ｄ可以存在的位置为正方型面积减去四分之一圆的面积部分,因此所求概率是44π- ,答案:D 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为 (A)2 （B ）4 （Ｃ）8 （D ）１６【解析】考查程序框图，涉及到判断循环结束的时刻,以及简单整数指数幂的计算。
当ｋ＝3时 ，循环结束,此时输出的Ｓ为8,答案:Ｃ5．函数的零点个数为（A ）0 （Ｂ）1 （C)2 (D)3【解析】表面上考查的是零点问题，实质上是函数图象问题(单调性)的变种,该题所涉及到的图像为幂函数和指数函数混合运算后的零点,即令()0f x = 。
2012年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x|x >1}，B ={x|x 2<4}，那么A ∩B =( ) A.(−2, 2) B.(−1, 2)C.(1, 2)D.(1, 4)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x =3，则输出y 的值为（ ）A.5B.7C.15D.313. 若a =log 23，b =log 32，c =log 413，则下列结论正确的是（ ） A.a <c <b B.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a4. 如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z1z 2对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A.4√3cm 2B.2√3cm 2C.8cm 2D.4cm 26. 若实数x ，y 满足条件{x +y ≥0x −y +1≥00≤x ≤1则|x −3y|的最大值为（ ）A.6B.5C.4D.37. 设等比数列{a n }的前n 项和是S n ，则“a 1>0”是“S 3>S 2”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件8. 已知集合A ={x|x =a 0+a 1×2+a 2×22+a 3×23}，其中a k ∈{0, 1}(k ＝0, 1, 2, 3)，且a 3≠0．则A 中所有元素之和是（ ）A.120B.112C.92D.84二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.已知向量a →=(1, 2)，b →=(λ, −2)．若<a →−b →，a →>=90∘，则实数λ=________．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．函数y =sin 2x +3cos 2x 的最小正周期为________．圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心到直线x −√3y =0的距离是________．已知函数f(x)={x 12，0≤x ≤9x 2+x ，−2≤x <0.则f(x)的零点是________；f(x)的值域是________．如图，已知抛物线y2=x及两点A1(0, y1)和A2(0, y2)，其中y1>y2>0．过A1，A2分别作y轴的垂线，交抛物线于B1，B2两点，直线B1B2与y轴交于点A3(0, y3)，此时就称A1，A2确定了A3．依此类推，可由A2，A3确定A4，…．记A n(0, y n)，n=1，2，3，…．给出下列三个结论：①数列{y n}是递减数列；②对∀n∈N∗，y n>0；③若y1=4，y2=3，则y5=23．其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC中，已知2sin B cos A=sin(A+C)．(1)求角A；(2)若BC=2，△ABC的面积是√3，求AB．某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（1）求研究性学习小组的人数；（2）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．E，F分别在线段BC和AD上，EF // AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．(Ⅰ)求证：NC // 平面MFD；(Ⅱ)若EC＝3，求证：ND⊥FC；(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√63，一个焦点为F(2√2,0)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线l:y=kx−52交椭圆C于A，B两点，若点A，B都在以点M(0, 3)为圆心的圆上，求k的值．如图，抛物线y=−x2+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD // AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．（1）求面积S以x为自变量的函数式；（2）若|CD||AB|≤k，其中k为常数，且0<k<1，求S的最大值．对于数列A:a1，a2，a3(a i∈N, i=1, 2, 3)，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1，b2，b3，其中b i= |a i−a i+1|(i=1, 2)，且b3=|a3−a1|．这种“T变换”记作B=T(A)．继续对数列B进行“T变换”，得到数列C:c1，c2，c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A:2，6，4经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）设A:a1，a2，a3，B=T(A)．若B:b，2，a(a≥b)，且B的各项之和为2012．(I)求a，b；(II)若数列B再经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值，并说明理由．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，能求出集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x>1}，B={x|x2<4}={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|1<x<2}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】根据所给数值先执行一次运算，然后判定是否满足判断框中的条件，不满足执行循环语句，满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：∵输入的x值为3，y=2×3+1=7；判断框内|x−y|=|3−7|=4<8，执行x=7，y=2×7+1=15；判断框内|x−y|=|7−15|=8≤8，执行x=15，y=2×15+1=31；判断框内|x−y|=|15−31|=16>8，输出y的值为31，算法结束．故选D．3.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数的单调性将a、b、c与0和1进行比较，从而可得a、b、c的大小关系．【解答】解：∵a=log23>log22=1，0=log31<b=log32<log33=1，c=log413<log41=0，∴c<b<a 故选D．4. 【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数的运算【解析】通过向量的表示求出向量对应的复数，利用复数的除法运算，求出复数对应的点的象限即可．【解答】由题意可知z1＝−2−i，z2＝i．∴z1z2=−2−ii=(−2−i)ii⋅i=−1+2i，复数z1z2对应的点位于第二象限．5.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．6.【答案】B【考点】求线性目标函数的最值【解析】先确定平面区域，再求√10的最大值，进而可求|x−3y|的最大值．【解答】解：不等式表示的平面区域，如图所示先求|x−3y|√10的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．由{x =1x −y +1=0，可得x =1，y =2 由图可知，(1, 2)到直线x −3y =0的距离最大为√10=√10∴ |x −3y|的最大值为5 故选B ． 7. 【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】分公比q ＝1和q ≠1两种情况，分别由a 1>0推出S 3>S 2成立，再由S 3>S 2也分q ＝1和q ≠1两种情况推出a 1>0，从而得出结论． 【解答】当公比q ＝1时，由a 1>0可得 s 3＝3a 1>2a 1＝s 2，即S 3>S 2成立． 当q ≠1时，由于 1−q 31−q =q 2+q +1>1+q =1−q 21−q，再由a 1>0可得 a 1(1−q 3)1−q>a 1(1−q 2)1−q，即 S 3>S 2成立．故“a 1>0”是“S 3>S 2”的充分条件．当公比q ＝1时，由S 3>S 2成立，可得 a 1>0． 当q ≠1时，由 S 3>S 2成立可得a 1(1−q 3)1−q>a 1(1−q 2)1−q，再由1−q 31−q >1−q 21−q，可得 a 1>0． 故“a 1>0”是“S 3>S 2”的必要条件．综上可得，“a 1>0”是“S 3>S 2”的充要条件， 8.【答案】 C【考点】 数列的求和 【解析】由题意可知a 0，a 1，a 2，各有2种取法（均可取0，1），a 3有1种取法，利用数列求和即可求得A 中所有元素之和．【解答】由题意可知，a 0，a 1，a 2各有2种取法（均可取0，1），a 3有1种取法， 由分步计数原理可得共有2×2×2×1＝8种方法，∴ 当a 0取0，1时，a 1，a 2各有2种取法，a 3有1种取法，共有2×2×1＝4种方法， 即集合A 中含有a 0项的所有数的和为(0+1)×4＝4；同理可得集合A 中含有a 1项的所有数的和为(2×0+2×1)×4＝8； 集合A 中含有a 2项的所有数的和为(22×0+22×1)×4＝16； 集合A 中含有a 3项的所有数的和为(23×1+23×0)×8＝64； 由分类计数原理得集合A 中所有元素之和： S ＝4+8+16+64＝92二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 【答案】 9【考点】平面向量数量积 【解析】根据向量a →、b →的坐标，得到向量a →−b →的坐标，再根据a →−b →与a →的夹角为90∘，得到它们的数量积为0，列式并解之可得实数λ的值． 【解答】解：∵ a →=(1, 2)，b →=(λ, −2)． ∴ a →−b →=(1−λ, 4) 又∵ <a −b ，a >=90∘，∴ (a →−b →)a →=0，即1×(1−λ)+2×4=0，解之得λ=9 故答案为：9 【答案】 54【考点】分布和频率分布表 频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数． 【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1， ∴ 最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920， 由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人） 【答案】 π【考点】三角函数中的恒等变换应用 三角函数的周期性及其求法【解析】利用二倍角的余弦公式将函数表达式进行降次处理，得y =2+cos 2x ．再由三角函数周期性的结论，可得函数的最小正周期． 【解答】解：∵ sin 2x =12(1−cos 2x)，cos 2x =12(1+cos 2x)∴ 函数y =sin 2x +3cos 2x =12(1−cos 2x)+32(1+cos 2x)=2+cos 2x ． 由此可得函数的最小正周期T =2π2=π故答案为：π 【答案】 1【考点】直线与圆的位置关系 点到直线的距离公式【解析】先确定圆心坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解． 【解答】解：圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心坐标为(2, 0)，则由点到直线的距离公式可得d =√1+3=1∴ 圆x 2+y 2−4x +3=0的圆心到直线x −√3y =0的距离1． 故答案为：1 【答案】−1和0,[−14，3]【考点】 函数的零点函数的值域及其求法 【解析】令f(x)=0，结合x 的范围，求出x 的值，即为所求的f(x)的零点．由函数的解析式可得当x =−12时，函数有最小值为−14，当x =9时，函数有最大值为3，从而求得f(x)的值域． 【解答】解：∵ 函数f(x)={x 12，0≤x ≤9x 2+x ，−2≤x <0.，由{0≤x ≤9x 12=0 解得x =0．由{−2≤x <0x 2+x =0 解得x =−1．综上可得f(x)的零点为−1和0．由函数f(x)的解析式可得，当x =−12时，函数有最小值为−14，当x =9时，函数有最大值为3，故答案为−1和0，[−14，3]．【答案】 ①②③ 【考点】数列与解析几何的综合 【解析】先确定直线B n−1B n−2的方程，求得y n =y n−2y n−1y n−2+y n−1，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，B n−1(y n−12,y n−1)，B n−2(y n−22,y n−2)，则直线B n−1B n−2的方程为y −y n−1=1yn−2+y n−1(x −y n−12)令x =0，则y −y n−1=1y n−2+y n−1×(−y n−12)，∴ y =y n−2y n−1y n−2+y n−1∴ y n =y n−2yn−1y n−2+yn−1∴1y n=1y n−1+1y n−2∵ y 1>y 2>0，∴ y n >0，故②正确；1y n−1y n−1=1y n−2>0，∴ y n <y n−1，故①正确；若y 1=4，y 2=3，则y 3=127，y 4=1211，y 5=23，故③正确． 故答案为：①②③．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【答案】解：(1)∵ A +B +C =π，∴ sin (A +C)=sin (π−B)=sin B ， ∴ 2sin B cos A =sin B .∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12. ∵ A ∈(0, π)，∴ A =π3.(2)S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin π3=√3，即AB ⋅AC =4①.由余弦定理得：BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅AC ⋅cos A =AB 2+AC 2−AB ⋅AC ，∴ AB 2+AC 2=BC 2+AB ⋅AC =4+4=8，∴ (AB +AC)2=AB 2+AC 2+2AB ⋅AC =8+8=16， 即AB +AC =4②，联立①②解得：AB =AC =2， 则AB =2．【考点】诱导公式余弦定理正弦定理三角函数值的符号【解析】（1）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin(A+C)=sin B，代入已知的等式，根据sin B不为0，可得出cos A的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（2）由A的度数求出cos A的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sin A的值代入求出AB⋅AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos A，求出将cos A，BC 及AB⋅AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB⋅AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．【解答】解：(1)∵A+B+C=π，∴sin(A+C)=sin(π−B)=sin B，∴2sin B cos A=sin B.∵B∈(0, π)，∴sin B>0，∴cos A=12.∵A∈(0, π)，∴A=π3.(2)S△ABC=12AB⋅AC⋅sinπ3=√3，即AB⋅AC=4①.由余弦定理得：BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos A=AB2+AC2−AB⋅AC，∴AB2+AC2=BC2+AB⋅AC=4+4=8，∴(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB⋅AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．【答案】（1）解：设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得m18=327，所以m=2，研究性学习小组的人数为m+3=5．…（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a1, a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, a1)，(a2, a2)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b2, b1)，(b2, b2)，(b2, b3)，(b3, a1)，(b3, a2)，(b3, b1)，(b3, b2)，(b3, b3)，共25种．…2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b3, a1)，(b3, a2)，共12种．…所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=1225．…【考点】古典概型及其概率计算公式分层抽样方法【解析】（1）设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，可得m18=327，所以m=2，由此求得研究性学习小组的人数．（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件一一列举共25个，满足条件的有12个，由此求得2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．【解答】（1）解：设从①班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得m18=327，所以m=2，研究性学习小组的人数为m+3=5．…（2）设研究性学习小组中①班的2人为a1，a2，②班的3人为b1，b2，b3．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：(a1, a1)，(a1, a2)，(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, a1)，(a2, a2)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b1, b1)，(b1, b2)，(b1, b3)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b2, b1)，(b2, b2)，(b2, b3)，(b3, a1)，(b3, a2)，(b3, b1)，(b3, b2)，(b3, b3)，共25种．…2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：(a1, b1)，(a1, b2)，(a1, b3)，(a2, b1)，(a2, b2)，(a2, b3)，(b1, a1)，(b1, a2)，(b2, a1)，(b2, a2)，(b3, a1)，(b3, a2)，共12种．…所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=1225．…【答案】（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN // EF // CD，MN＝EF＝CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC // MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC // 平面MFD．（2）证明：连接ED，设ED∩FC＝O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．(Ⅲ)设NE＝x，则EC＝4−x，其中0<x<(4)由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为V NFEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)．所以V NFEC≤12[x+(4−x)2]2=2．当且仅当x＝4−x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积直线与平面平行【解析】(Ⅰ)先证明四边形MNCD是平行四边形，利用线面平行的判定，可证NC // 平面MFD；(Ⅱ)连接ED，设ED∩FC＝O．根据平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，可证NE⊥平面ECDF，从而可得FC⊥NE，进一步可证FC⊥平面NED，利用线面垂直的判定，可得ND⊥FC；(Ⅲ)先表示出四面体NFEC的体积，再利用基本不等式，即可求得四面体NFEC的体积最大值．【解答】（1）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN // EF // CD，MN＝EF＝CD．所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC // MD，因为NC⊄平面MFD，所以NC // 平面MFD．（2）证明：连接ED，设ED∩FC＝O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．又EC＝CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．所以FC⊥平面NED，因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．(Ⅲ)设NE＝x，则EC＝4−x，其中0<x<(4)由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为V NFEC=13S△EFC⋅NE=12x(4−x)．所以V NFEC≤12[x+(4−x)2]2=2．当且仅当x＝4−x，即x＝2时，四面体NFEC的体积最大．【答案】（1）设椭圆的半焦距为c，则c=2√2．由e=ca=√63，得a=2√3，从而b2＝a2−c2＝4．所以，椭圆C的方程为x212+y24=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4(1+3k2)x2−60kx+27＝0．由△＝3600k2−16(1+3k2)×27>0，得k2>316，且x1+x2=15k1+3k2．设线段AB的中点为D，则x D=15k2+6k2，y D=kx D−52=−52+6k2．由点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，即3+52+6k2−15k2+6k2⋅k=−1，解得k2=29，符合题意．所以k=±√23．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)利用离心率为√63，一个焦点为F(2√2,0)，可求a，c的值，从而可求椭圆C的方程；(Ⅱ)设将直线l的方程代入椭圆C的方程，确定线段AB的中点为D，利用点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，由此可求k的值．【解答】（1）设椭圆的半焦距为c，则c=2√2．由e=ca=√63，得a=2√3，从而b2＝a2−c2＝4．所以，椭圆C的方程为x212+y24=1．（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)．将直线l的方程代入椭圆C的方程，消去y得：4(1+3k2)x2−60kx+27＝0．由△＝3600k2−16(1+3k2)×27>0，得k2>316，且x1+x2=15k1+3k2．设线段AB的中点为D，则x D=15k2+6k2，y D=kx D−52=−52+6k2．由点A，B都在以点(0, 3)为圆心的圆上，得k MD⋅k＝−1，即3+52+6k 2−15k 2+6k 2⋅k =−1，解得 k 2=29，符合题意．所以 k =±√23．【答案】 解：（1）依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y C =−x 2+9．…点B 的横坐标x B 满足方程−x B 2+9=0，解得x B =3，舍去x B =−3． … 所以S =12(|CD|+|AB|)⋅y C =12(2x +2×3)(−x 2+9)=(x +3)(−x 2+9)．… 由点C 在第一象限，得0<x <3．所以S 关于x 的函数式为 S =(x +3)(−x 2+9)，0<x <3．…（2）由 {0<x <3x 3≤k 及0<k <1，得0<x ≤3k ． …记f(x)=(x +3)(−x 2+9)，0<x ≤3k ，则f ′(x)=−3x 2−6x +9=−3(x −1)(x +3)． … 令f ′(x)=0，得x =1． …①若1<3k ，即13<k <1时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下：f(1)=32．… ②若1≥3k ，即0<k ≤13时，f ′(x)>0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1−k 2)． …综上，13≤k <1时，S 的最大值为32；0<k <13时，S 的最大值为27(1+k)(1−k 2)．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】（1）依题意，确定点C 的纵坐标、点B 的横坐标，从而利用梯形的面积公式，即可求得S 关于x 的函数式； （2）先确定函数关系式，再求导数，利用分类讨论的数学思想，确定函数的单调性，从而可求S 的最大值． 【解答】 解：（1）依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y C =−x 2+9．…点B 的横坐标x B 满足方程−x B 2+9=0，解得x B =3，舍去x B =−3． … 所以S =12(|CD|+|AB|)⋅y C =12(2x +2×3)(−x 2+9)=(x +3)(−x 2+9)．… 由点C 在第一象限，得0<x <3．所以S 关于x 的函数式为 S =(x +3)(−x 2+9)，0<x <3．…（2）由 {0<x <3x 3≤k 及0<k <1，得0<x ≤3k ． …记f(x)=(x +3)(−x 2+9)，0<x ≤3k ，则f ′(x)=−3x 2−6x +9=−3(x −1)(x +3)． …令f ′(x)=0，得x =1． …①若1<3k ，即13<k <1时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下：f(1)=32．… ②若1≥3k ，即0<k ≤13时，f ′(x)>0恒成立， 所以，f(x)的最大值为f(3k)=27(1+k)(1−k 2)． …综上，13≤k <1时，S 的最大值为32；0<k <13时，S 的最大值为27(1+k)(1−k 2)．【答案】（1）解：数列A:2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…． 以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． …（2）解：(I)因为B 的各项之和为2012，且a ≥b ，所以a 为B 的最大项， 所以|a 1−a 3|最大，即a 1≥a 2≥a 3，或a 3≥a 2≥a 1．… 当a 1≥a 2≥a 3时，可得{b =a 1−a 22=a 2−a 3a =a 1−a 3.由a +b +2=2012，得2(a 1−a 3)=2012，即a =1006，故b =1004．… 当a 3≥a 2≥a 1时，同理可得 a =1006，b =1004．…(II)方法一：由B:b ，2，b +2，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：b −2，b ，2；2，b −2，b −4；b −4，2，b −6；b −6，b −8，2；2，b −10，b −8；b −12，2，b −10．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“b ，2，b +2”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B 经过6×83=498次“T 变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502．…方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结构相同”．若数列B 的三项为x +2，x ，2(x ≥2)，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为x ，x −2，2（不考虑顺序）．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4． 因此，数列B:1004，2，1006经过502次“T 变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502．… 【考点】递归数列及其性质 数列的函数特性数列的求和【解析】（1）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束．（2）中(I)的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案．(II)的解答要抓住B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4=502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．【解答】（1）解：数列A:2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．…（2）解：(I)因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，所以|a1−a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．…当a1≥a2≥a3时，可得{b=a1−a2 2=a2−a3 a=a1−a3.由a+b+2=2012，得2(a1−a3)=2012，即a=1006，故b=1004．…当a3≥a2≥a1时，同理可得a=1006，b=1004．…(II)方法一：由B:b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b−2，b，2；2，b−2，b−4；b−4，2，b−6；b−6，b−8，2；2，b−10，b−8；b−12，2，b−10．由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006=12×83+10，所以，数列B经过6×83=498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过498+4=502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．…方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．若数列B的三项为x+2，x，2(x≥2)，则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x−2，2（不考虑顺序）．所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列B:1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．…。
高考文科数学试卷北京卷附答案
2012年高考文科数学试卷（北京卷）附答案2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}则A∩B=A（-，-1）B（-1，-）C（-,3）D(3,+)2在复平面内，复数对应的点的坐标为A(1,3)B(3,1)C(-1,3)D(3,-1)（3）设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）（B）（C）（D）（4）执行如图所示的程序框图，输出S值为（A）2（B）4（C）8（D）16(5)函数f（x）＝的零点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3（6）已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m 的值为（A）5（B）7（C）9（D）11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得弦长为__________。
（10）已知为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2=____________，Sn=_________________。
（11）在△ABC中，若a=3，b=，，则的大小为_________。
（12）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=_____________。
2012年北京高考数学文科试卷(带答案)
r2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}{}320,(1)(3)0A x x B x x x =∈+>=∈+->R R ，则A B I=（ ）A.(,1)-∞-B.2(1,)3--C.2(,3)3-D.(3,)+∞ 【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算. 【考查方式】给出两个集合，求交集.【参考答案】C 【试题解析】23A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎭⎩，利用二次不等式的解法可得{3B x x =>或}1x <，画出数轴易得}{3A B x x =>I . 2.在复平面内，复数10i3i+对应的点坐标为 （ ） A. (1,3) B.(3,1) C.(1,3)- D.(3,1-)【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义. 【考查方式】给出复数，求对应的点坐标. 【参考答案】A 【试题解析】10i 10i(3i)13i 3i (3i)(3i)-==++++，实部是1，虚部是3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A. 3.设0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟不等式组表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 （ ）A.π4 B. π22- C. π6 D.4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、几何概型.【考查方式】给出不等式组，求不等式组所表示的区域中点到直线距离的概率. 【参考答案】D【试题解析】题目中0202x x ⎧⎫⎨⎬⎭⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224p ⨯-⨯-==⨯，故选D4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）A.2B.4 C ．8 D.16 【测量目标】循环结构的程序图框.【考查方式】给出程序图，求最后的输出值. 【参考答案】C 【试题解析】0,11,12,23,8,k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==循环结束，输出的S 为8，故选C.5.函数121()()2xf x x =-的零点个数为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【测量目标】导函数的定义与应用.【考查方式】已知复合函数，求零点个数. 【参考答案】B【试题解析】函数121()()2x f x x =-的零点，即令()0f x =，根据此题可得121()2xx =，在平面直角坐标系中分别画出这两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选答案B .6. 已知}{n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）A.1222a a a +…B.2221322a a a +…C.若则12a a = ,则132a a a +…D.若31a a >，则42a a >【测量目标】等比数列的公式与性质.【考查方式】给出等比数列，判断选项中那些符合等比数列的性质. 【参考答案】B【试题解析】当10,0a q <<时，可知1320,0,0,a a a <<>，所以A 选项错误；当1q =-时，C 选项错误；当0q <时，323142a a a q a q a a >⇒<⇒<，与D 选项矛盾。
2012北京西城高考二模数学文(含解析)
北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科) 2012．5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ）． A ．1i 22+ B ．1i 22- C ．1i 22-+ D ．1i22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）． A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2x y =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ）．A ．①B ．②C ．③D ．④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂， 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）．A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =± D ．2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）．（注：标准差s =其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）A ．12x x >，12s s >B ．12x x <，12s s <C ．12x x >，12s s <D ．12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼 层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量 为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ）． A ．7层 B ．8层 C ．9层 D ．10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =L ，其中0(1,2,,20)k a k >=L ，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）．A ．210个B ．200个C ．190个D ．180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在ABC △中，BC AC =π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的 两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何 体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形；③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．已知函数 ()sin())f x x x ωϕωϕ=++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值；（Ⅱ）若()4f α=，求2sin sin 22sin sin 2αααα-+的值．如图，四棱锥E ABCD -中，EA EB =，AB CD ∥，AB BC ⊥，2AB CD =． （Ⅰ）求证：AB ED ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB △（O 为原点）面积的最 大值．若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N L L ，则称12n a a a ⨯⨯⨯L 为N 的 一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()k a k ∈N 中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =L ，使得N 的分解积最 大．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，()1,2； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分；14题少选、错选均不给分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1n n n a b c -+=，即132n n n b c --++=，所以 132n n b n c -=-+． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++L L 21(31)(1)2n n n c c c --=+++++L ． ………………10分 从而当1c =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分当1c ≠时，(31)121nn n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分设()f x 的最小正周期为T ．由图可得πππ()2442T =--=，所以πT =，2ω=． ………………4分 由 (0)2f =，得 πsin()13ϕ+=，因为ππ(,)22ϕ∈-，所以π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos22f x x x =+=． ………………8分由 ()2cos 42f αα==，得 cos 2α=， ………………9分所以 23cos 2cos 125αα=-=． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 EO AB ⊥． ……………2分 因为 AB ∥CD ，2AB CD =， 所以 BO ∥CD ，BO CD =．又因为AB BC ⊥，所以四边形OBCD 为矩形， 所以AB DO ⊥． ………4分因为EO DO O =I ，所以AB ⊥平面EOD ． ………………5分所以AB ED ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，12FG AB =． 因为AB ∥CD ，12CD AB =，所以FG ∥CD ，FG CD =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， ………………12分所以DF ∥平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a-∞；单调减区间是1(,)a a --，(,)a -+∞．………………13分综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由222222213a b b e a a -==-=，得 b a =． ① ………………2分由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分联立①②，解得1b =，a = …………4分 所以椭圆C 的方程是2213x y +=． …………5分（Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2y kx =+．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得22(13)1290k x kx +++=． …………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……………9分所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x =-=⨯⨯-=-△△△． ………………10分因为22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设21(0)k t t -=>，则212236363()16(34)4924t x x t t t -===+++． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时AOB △………………14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ……………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ……………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． …………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =L 中可以有2个2． …………4分 当(1,2,,)k a k n =L 有3个或3个以上的2时， 因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()k a k ∈N 中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =L 中有1时， 因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ②由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =L 中至多有2个2． ③当(1,2,,)k a k n =L 中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大．因此，(1,2,,)k a k n =L 中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分④ 当(1,2,,)k a k n =L 中有大于4的数时，不妨设4i a >， 因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =L 中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++L 1444442444443个使得分解积最大； …………12分 当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++L L 14444424444431444442444443个个使得分解积最大； ……………13分 当*32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++L 1444442444443个使得分解积最大． ………………14分北京市西城区高三二模试卷 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：由题可知111i 1i 1i 1i 1i 2z ++==⋅=--+． 故选A ．2．【答案】C【解析】解：对于函数3()f x x =，易知()()f x f x =--； 对于函数()sin f x x =，易知()()f x f x =--． 故选C ．3．【答案】D【解析】解：由题可知输出的函数为存在零点的函数， 因为()20x f x =>，所以该函数不存在零点； 因为()20x f x =-<，所以该函数不存在零点；因为1()f x x x -=+为对勾函数且()2f x ≤-或()2f x ≥，所以该函数不存在零点； 因为当1x =时，1()0f x x x -=-=，所以该函数存在零点． 故选D ．4．【答案】A【解析】解：由图一，图二可知“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件．故选A ．图二图一nnm mββαα5．【答案】D【解析】解：可知c ，由双曲线的定义可知14c k ===渐近线为2y x ==±． 故选D ．6．【答案】B【解析】解：可知()1153565758617072617x =⨯++++++=，()2154565860617273627x =⨯++++++=1s ==2s == 故选B ．7．【答案】C【解析】解：由题可知，设在第()212n n ≤≤层下，S 达到最小值， 而()()23110S n n n =-+-++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦L ()()111122n n +++-+-⨯⎡⎤⎣⎦L ()()()()1213122n n n n -⨯-=+-⨯-235315722n n =-+， 可知函数的对称轴为536n =，由于n 为整数， 故当9n =时，min 40S =． 故选C ．8．【答案】C【解析】解：易知满足题意得(),a b ，其中,220a b a >≤≤， 当2a =，有()2,1，共1个； 当3a =，有()3,1()3,2，共2个；L L L ；当20a =，有()()()20,1,20,2,,20,19L ，共19个； 综上，()119191902S +⨯==，满足题意．故选C ．二、 填空题 9．【答案】π4【解析】解：由正弦定理可知sin sin sin sin 2sin 3BC AC B A B B ==⇒=， 所以π4B =． 故答案为π4．10．【答案】2-【解析】解：由题可知,x y 满足的区域为如图的阴 影区域ABCD ，当直线过点()1,0A -时，取得最小 值()max 2102z =⨯-+=-． 故答案为2-．11．【答案】16【解析】解：由题可知(),x y 的可能为：()()()()()()1,1,1,3,1,1,1,3,3,1,3,3--；由⊥a b 可知，0⋅=a b ，所以()(),13,030x y x y -⋅=⇒-=，即3y x =； 满足条件的有()1,3，故16p =． 故答案为16．12．【答案】0，()1,2【解析】解：由题可知002bb -=⇒=；当0x ≥，则不等式为()221132012x x x x x -+<⇒-+<⇒<<， 当0x <，则不等式为()221120x x x x -+<-⇒-+<， 因为180∆=-<，故方程无解． 故答案为0，()1,2．13．【答案】13，3π【解析】解：由题可知,,PA AB AD 两两垂直，所以1133V PA AB AD =⋅⋅⋅=；可知三棱锥P ABCD -的外接球的直径为PC =所以表面积2224π4π4π3π2PC S r ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为13，3π．14．【答案】② ③【解析】解：当0,0x y >>时，函数的方程为()()22118x y -+-=，可画图，当0,0x y ><；0,0x y <>； 可类似画图（如图）．① 错误．如图曲线C 与坐标轴没有公共点； （方法二：由函数方程易知0x =或0y =无意 义，故与坐标轴无公共点） ② 正确．由图易知； ③ 正确．由图可知max 2PQ r ==故答案为② ③．PDCBA。
2012年全国高考文科数学试题及答案-北京卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{|320}A x R x =∈+>，{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->，则A B = （A ）(,1)-∞- （B ）2(1,)3-- （C ）2(,3)3- （D ）(3,)+∞ （2）在复平面内，复数103ii+对应的点的坐标为 （A ）(1,3) （B ）(3,1) （C ）(1,3)- （D ）(3,1)-（3）设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π（B ）22π-（C ）6π（D ）44π-（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16（5）函数121()()2xf x x =-的零点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥ （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A ）28+ （B ）30+（C ）56+ （D ）60+（8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2012年6月8日全国各地高考文科数学试题及参考答案北京卷
2012年全国各地高考数学试题普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)一 、选择题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合{|320}A x R x =∈+>,{|(1)(3)0}B x R x x =∈+->,则A B = (A)(,1)-∞- (B)2(1,)3-- (C)2(,3)3- (D)(3,)+∞ (2)在复平面内,复数103ii+对应的点的坐标为 (A)(1,3) (B)(3,1) (C)(1,3)- (D)(3,1)- (3)设不等式组02,02x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4π(B)22π-(C)6π(D)44π-(4)执行如图所示的程序框图,输出的S 值为(A)2 (B)4 (C)8 (D)16(5)函数121()()2xf x x =-的零点个数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (6)已知{}n a 为等比数列,下面结论中正确的是(A)1322a a a +≥ (B)2221322a a a +≥(C)若13a a =,则12a a = (D)若31a a >,则42a a > (7)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(A)28+ (B)30+(C)56+ (D)60+(8)某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 的值为 (A)5 (B)7 (C)9 (D)11第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为__________。
数学_2012年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2012年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A ={x|x ≥0}，且A ∪B =B ，则集合B 可能是（ ） A {1, 2} B {x|x ≤1} C {−1, 0, 1} D R2. “a =3”是“直线ax +3y =0和2x +2y =3平行的”（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3. 执行如图的程序框图，则第3次输出的数为（ ）A 4B 5C 6D 74. 已知圆x 2+y 2−2x +my =0上任意一点M 关于直线x +y =0的对称点N 也在圆上，则m 的值为( )A −1B 1C −2D 25. 将函数y =sinx 的图象向右平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为（ ）A y =1−sinxB y =1+sinxC y =1−cosxD y =1+cosx6. 已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是（ ）A α⊥β，且m ⊂αB m // n ，且n ⊥βC α⊥β，且m // αD m ⊥n ，且n // β 7. 设M(x 0, y 0)为抛物线C:y 2=8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x 0的取值范围是（ ） A (2, +∞) B (4, +∞) C (0, 2) D (0, 4)8. 设a ，b ，c 为实数，f(x)=(x +a)(x 2+bx +c)，g(x)=(ax +1)(cx 2+bx +1)．记集合S =|x|f(x)=0，x ∈R|，T =|x|g(x)=0，x ∈R|，若cardS ，cardT 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ）A cardS =1，cardT =0B cardS =1，cardT =1C cardS =2，cardT =2D cardS =2，cardT =3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 若向量a →=(1, 0)，向量b →=(1, 1)，则a →−b →=________，a →−b →与b →的夹角为________． 10. 设a ∈R ，且(a +i)2i 为实数，则a 的值为________．11. 将容量为n 的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 等于________．12. 在平面直角坐标系xOy 中，将点A(√3，1)绕原点O 逆时针旋转90∘到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB的倾斜角为α，则tan2α=________．13. 已知函数f(x)=x12，给出下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)>x2−x1；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，则f(x1)+f(x2)2<f(x1+x22)．其中，所有正确命题的序号是________．14. 已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AA1=2，底面ABCD的边长均大于2，且∠DAB=45∘，点P在底面ABCD内运动且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥P−D1MN体积的最大值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（其中x∈R，A>0，ω>0，−π2<φ<π2）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）已知在函数f(x)图象上的三点M，N，P的横坐标分别为−1，1，3，求sin∠MNP的值．16. 某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了100名学生，相关的数据如下表所示：（1）用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取5名，高中学生应该抽取几名？（2）在（1）中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名初中学生的概率．17. 如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB // NC，MN⊥MB．(1)求证：平面AMB // 平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证BC⊥AC．18. 已知函数f(x)=−12x2+2x−ae x．（1）若a =1，求f(x)在x =1处的切线方程；（2）若f(x)在R 上是增函数，求实数a 的取值范围． 19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F 1(−1, 0)，长轴长与短轴长的比是2：√3．（1）求椭圆的方程；（2）过F 1作两直线m ，n 交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，若m ⊥n ，求证：1|AB|+1|CD|为定值．20. 64个正数排成8行8列，如下所示：，其中a ij 表示第i 行第j 列的数．已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为q ，a 11=12，a 24=1，a 21=14．（1）求a 12和a 13的值；（2）记第n 行各项之和为A n (1≤n ≤8)，数列{a n }，{b n }，{c n }满足a n =36A n，mb n+1=2(a n +mb n )（m 为非零常数），c n =bn a n，且c 12+c 72=100，求c 1+c 2+...+c 7的取值范围；（3）对（2）中的a n ，记d n =200a n(n ∈N ∗)，设B n =d 1d 2…d n (n ∈N ∗)，求数列{B n }中最大项的项数．2012年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. D5. C6. B7. A8. D9. (0, −1),34π10. ±1 11. 6012. (−1,√3),√3 13. ①④ 14. 13(√2−1)15. 解：（1）由图知，A =1．f(x)的最小正周期T=4×2=8，所以由T=2πω，得ω=π4．又f(1)=sin(π4+ϕ)=1且−π2<ϕ<π2，所以，π4+ϕ=π2，解得ϕ=π4．（2）因为f(−1)=0，f(1)=1，f(3)=0，所以M(−1, 0)，N(1, 1)，P(3, 0)，设Q(1, 0)，在等腰三角形MNP中，设∠MNQ=α，则sinα=√5cosα=√5．所以sin∠MNP=sin2α=2sinαcosα=2×√5√5=45．16. 解：（1）由表中数据可知，高中学生应该抽取27×545=3人．…（2）记抽取的5名学生中，初中2名学生为A，B，高中3名学生为a，b，c，则从5名学生中任取2名的所有可能的情况有10种，它们是：(A, B)，(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, a)，(B, b)，(B, c)，(a, b)，(a, c)，(b, c)．…其中恰有1名初中学生的情况有6种，它们是：(A, a)，(A, b)，(A, c)，(B, a)，(B, b)，(B, c)．…故所求概率为610=35．…17. 证明：(1)∵ MB // NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，∴ MB // 平面DNC．∵ AMND是矩形，∴ MA // DN．又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC，∴ MA // 平面DNC．又MA∩MB=M，且MA，MB⊂平面AMB，∴ 平面AMB // 平面DNC．(2)∵ AMND是矩形，∴ AM⊥MN．∵ 平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN=MN，∴ AM⊥平面MBCN．∵ BC⊂平面MBCN，∴ AM⊥BC．∵ MC⊥BC，MC∩AM=M，BC⊥平面AMC．∵ AC⊂平面AMC，∴ BC⊥AC．18. 解：（1）由a=1，则f(x)=−12x2+2x−e x，则f(1)=32−e，所以f′(x)=−x+2−e x．则f′(1)=1−e，所以所求切线方程为y −(32−e)=(1−e)(x −1)，即2(1−e)x −2y +1=0．（2）由已知f(x)=−12x 2+2x −ae x ，得f ′(x)=−x +2−ae x ．因为函数f(x)在R 上是增函数，所以f ′(x)≥0在实数集上恒成立，即不等式−x +2−ae x ≥0恒成立． 整理得a ≤−x+2e x．令g(x)=−x+2e x，g′(x)=x−3e x．因为e x >0，所以x ，g ′(x)，g(x)的变化情况如下表：由此表看出当x =3时函数g(x)有极小值，也就是最小值． 所以a ≤g(3)=−e −3，即a 的取值范围是(−∞, −e −3]． 19. （1）解：由已知得{2a ：2b =2：√3c =1a 2=b 2+c 2 解得：a =2，b =√3． 故所求椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）证明：由（1）知F 1(−1, 0)，当直线m 斜率存在时，设直线m 的方程为：y =k(x +1)(k ≠0)．由{y =k(x +1)x 24+y 23=1，得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0．由于△>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则有x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√(1+k 2)[(−8k 23+4k2)2−4×4k 2−123+4k2]=12(1+k 2)3+4k 2．同理|CD|=12(1+k 2)3k 2+4．所以1|AB|+1|CD|=3+4k 212(1+k 2)+3k 2+412(1+k 2)=7(1+k 2)12(1+k 2)=712．当直线m 斜率不存在时，此时|AB|=3，|CD|=4，1|AB|+1|CD|=13+14=712． 综上，1|AB|+1|CD|为定值712． 20. （共14分）解：（1）因为q =a 21a 11=12，所以a 14=a 24q=2．又a 11，a 12，a 13，a 14成等差数列， 所以a 12=1，a 13=32．…（2）设第一行公差为d ，由已知得，a 24=a 14q =(12+3d)×12=1，解得d =12．所以a 18=a 11+7d =12+72=4．因为a n1=a 11⋅(12)n−1=(12)n ，a n8=a 18⋅(12)n−1=4×(12)n−1=8×(12)n ．所以A n =a n1+a n82×8=36×(12)n ，所以a n =2n (1≤n ≤8, n ∈N ∗)．… 因为mb n+1=2(a n +mb n )， 所以mb n+1=2n+1+2mb n ． 整理得b n+12n+1−b n 2n=1m．而c n =b n a n，所以c n+1−c n =1m，所以{c n }是等差数列．… 故c 1+c 2+⋯+c 7=(c 1+c 7)×72．因为1m ≠0，所以c 1≠c 7．所以2c 1c 7<c 12+c 72．所以(c 1+c 7)2=c 12+c 72+2c 1c 7<2(c 12+c 72)=200， 所以−10√2<c 1+c 7<10√2．所以c 1+c 2+...+c 7的取值范围是(−35√2，35√2)．… （3）因为d n =200×(12)n 是一个正项递减数列，所以当d n ≥1时，B n ≥B n−1，当d n <1时，B n <B n−1．(n ∈N ∗, n >1) 所以{B n }中最大项满足{d n ≥1d n+1<1即{200×(12)n ≥1200×(12)n+1<1… 解得6+log 121625<n ≤7+log 121625．又0<log 121625<1，且n ∈N ∗，所以n =7，即{B n }中最大项的项数为7．…。
2012年高考试题及解析：文科数学(北京卷)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一 、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=（A ） （﹣∞，﹣1） （B ） （﹣1，﹣23） （C ）（﹣23,3） （D ） (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）.在复平面内，复数103i i+对应的点的坐标为 （A ） (1 ,3) （B ） (3,1) （C ）(-1,3) （D ） (3 ,-1)【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（文）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（文）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（3）设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ）4π （B ）22π- （C ）6π （D ）44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（文）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（文）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
（4）执行如图所示的程序框图，输出S 值为（A ）2 （B ） （C ）8 （D ）16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。
2012北京高考数学真题(文科)及答案
2012北京高考数学真题（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞ 2.在复平面内，复数103ii+对应的点坐标为（ ） A ． （1,3） B ． （3,1） C ．(-1,3) D ．(3,-1)3.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4πB ．22π- C ．6πD ．44π- 4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 5.函数121()(2xf x x =-的零点个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 6. 已知{a n }为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥ B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a > 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．28+ B．30+ C．56+D ．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ） A ．5 B ． C ． 9 D ．11第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 . 10.已知{a n }为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S= .11. 在∆ABC 中，若3a =，b =，3A π∠=，则C ∠的大小为 . 12.已知函数f (x )=lg x ，若()1f ab =，则22()()f a f b += .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <，则m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求f (x )的定义域及最小正周期； （2）求f (x )的单调递减区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ,E 分别是AC ，AB 上的中点，点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2. （1）求证：DE ∥平面A 1CB ; （2）求证：A 1F ⊥BE ;（3）线段A 1B 上是否存在点Q ,使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由17.（本小题13分）近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率； （3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2S 最大时，写出a ,b ,c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值.（注：方差2222121[((()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为x 1,x 2,…,x n 的平均数）B 1A C D EF 图218.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线y =f (x )与曲线y =g (x )在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当3,9a b ==-时，求函数f (x )+ g (x )在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为.直线(1y k x =-余与椭圆C 交于不同的两点M,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当△AMN k 的值.20.（本小题13分）设A 是如下形式的2行3列的数表，a b cd ef满足：性质P ：,,,,,[1,1]a b c d e f ∈-，且0++++=a b c d e f +.记()i r A 为A 的第i 行各数之和1,2=i 余余，()j c A 为A 的第j 列各数之和1,2,3=j 余余；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，3|()|c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值； 1 1-0.8 0.1 -0.3-1（2）设数表A 形如11-1-2d d d-1其中0-1d ≤≤.求()k A 的最大值；（3）对所以满足性质P 的2行3列的数表A,求()k A 的最大值。
2012年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是（）A.(−3, 0]B.(−3, 1]C.[0, 1]D.[1, 5)2. 已知命题p:∃x∈R，使sin x<12x成立．则¬p为（）A.∃x∈R,sin x=12x B.∀x∈R,sin x<12xC.∃x∈R,sin x≥12x D.∀x∈R,sin x≥12x3. cos215∘−sin215∘的值为( )A.1 2B.√22C.√32D.√624. 执行如图所示的程序框图，若输入x的值为10，则输出的x值为（）A.4B.2C.1D.05. 已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α // β”是“m // β”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6. 为了得到函数y=12log2(x−1)的图象，可将函数y=log2x的图象上所有的点的（）A.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度7. 某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A.203B.43C.6D.48. 点P(x, y)是曲线C:y=1x(x>0)上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：①|PA|=|PB|；②△OAB的周长有最小值4+2√2；③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数z=1+ii3，则|z|=________．已知双曲线x2a−y2b=1的渐近线方程是y＝±2x，那么此双曲线的离心率为________．在△ABC中，若∠A=120∘，c=6，△ABC的面积为9√3，则a=________．在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P，则△PAB的面积大于等于14的概率是________．某同学为研究函数f(x)=√1+x2+√1+(1−x)2(0≤x≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f(x)．请你参考这些信息，推知函数的极值点是________，函数的值域是________．已知定点M(0, 2)，N(−2, 0)，直线l:kx−y−2k+2=0（k为常数）．若点M，N到直线l的距离相等，则实数k的值是________；对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，则实数k的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，S5=4a3+6，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和公式．在一次“知识竞赛”活动中，有A1，A2，B，C四道题，其中A1，A2为难度相同的容易题，B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．(I)求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；(II)求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．在正方体ABCD−A′B′C′D′中，棱AB，BB′，B′C′，C′D′的中点分别是E，F，G，H，如图所示．（1）求证：AD′ // 平面EFG；（2）求证：A′C⊥平面EFG；（3）判断点A，D′，H，F是否共面？并说明理由．已知函数f(x)=x+ax2+3a2(a≠0, a∈R)．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)当a=1时，若对任意x1，x2∈[−3, +∞)，有f(x1)−f(x2)≤m成立，求实数m的最小值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1, 0)，且点(−1, √22)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点Q(54, 0)，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：QA→⋅QB→为定值．将一个正整数n表示为a1+a2+...+a p(p∈N∗)的形式，其中a i∈N∗，i=1，2，…，p，且a1≤a2≤...≤a p，记所有这样的表示法的种数为f(n)（如4=4，4=1+3，4=2+2，4=1+1+2，4=1+1+1+1，故f(4)=5）．(I)写出f(3)，f(5)的值，并说明理由；(II)证明：f(n+1)−f(n)≥1(n=1, 2,…)；(III)对任意正整数n，比较f(n+1)与12[f(n)+f(n+2)]的大小，并给出证明．参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】二次函数的性质【解析】已知函数y=−x2+1，可以利用其图象以及单调性求出f(x)在−1≤x<2的值域；【解答】解：函数y=−x2+1，图象开口向下，对称轴为y轴，画出图象：由图象可得函数y在x=0处取最大值，f(x)max=f(0)=1，f(x)在x=2处取得最小值，f(x)min=f(2)=−4+1=−3，∴函数y=−x2+1，−1≤x<2的值域是(−3, 1].故选B.2.【答案】D【考点】全称命题与特称命题命题的否定【解析】含有量词的命题的否定法则：“∃x∈R，p(x)”的否定是“∀x∈R，¬p(x)”，由此不难得到本题的答案．【解答】解：由含有量词的命题否定法则，得∵命题p:∃x∈R,sin x<12x，∴命题¬p为：∀x∈R，sin x≥12x故选：D3.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式【解析】将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos215∘−sin215∘=cos(2×15∘)=cos30∘=√32．故选C.4.【答案】A【考点】程序框图【解析】按照程序的流程，写出前几次循环的结果，并同时判断各个结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．【解答】解：经过第一次循环得到x=8，不满足判断框中的条件；经过第二次循环得到x=6，不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到x=4，不满足判断框中的条件；经过第四次循环得到x=2，满足判断框中的条件，执行“是”，x=22=4，输出x即输出4．故选A．5.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】首先题目问的是“α // β”是“m // β”的什么条件．然后应该判断“α // β”是否可以推出“m // β”，是则充分，不是则相反．再判断“m // β”是否可以直接推出“α // β”，是则必要，否则相反；判断的时候主要应用了空间直线与平面间的位置关系．【解答】解：由于m⊂α，若“α // β”，由直线与平面的关系，故可以直接推出“m // β”成立．则是充分条件．反之．若“m // β”，不可以直接推出“α // β”成立，因平面α与平面β也可能相交．则不是必要条件．则“α // β”是“m // β”的充分不必要条件．故选C．6.【答案】A【考点】函数的图象变换【解析】根据函数图象的变换规律，可得结论．【解答】解：∵将函数y=log2x的图象上所有的点的纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，可得函数y=12log2x的图象．再把所得图象向右平移1个单位长度，可得函数y=12log2(x−1)的图象，故选A．7.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图，还原成几何体，再根据长度关系，即可求得几何体的体积【解答】由三视图知，原几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥其中正方体的棱为2，正四棱柱的底面边长为正方体的上底面，高为1∴原几何体的体积为V=2×2×2−13×2×2×1=2038.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．【解答】解：设动点P(m,1m )(m>0)，则y′=−1x2，∴f′(m)=−1m2，∴过动点P(m,1m )的切线方程为：y−1m=−1m2(x−m)．①分别令y=0，x=0，得A(2m, 0)，B(0,2m)．则|PA|=√m2+1m2，|PB|=√m2+1m2，∴|PA|=|PB|，故①正确；②由上面可知：△OAB的周长=2m+2m +2√m2+1m2≥2×2√m×1m+2√2√m2×1m2=4+2√2，当且仅当m=1m ，即m=1时取等号．故△OAB的周长有最小值4+2√2，即②正确．③假设曲线C上存在两点M(a,1a)，N(b,1b)，不妨设0<a<b，∠OMN=90∘．则|ON|=√2|OM|，OM→⊥MN→，所以{√b2+1b2=√2√a2+1a2a(b−a)+1a(1b−1a)=0化为{b2+1b2=2(a2+1a2)a3b=1解得{a=√3−√524b=1a，故假设成立．因此③正确．故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.【答案】√2【考点】复数的模【解析】把给出的复数的分母化简后利用复数的除法运算化为a+bi(a, b∈R)的形式，则复数的模可求．【解答】解：z=1+ii3=1+i−i=(1+i)⋅i−i2=−1+i，∴|z|=√(−1)2+12=√2．故答案为√2．【答案】√5【考点】双曲线的离心率【解析】由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，知双曲线的标准方程可设为x2λ−y24λ=1，由此能求出此双曲线的离心率．【解答】∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±2x，∴设双曲线方程为x2λ−y24λ=1，λ>0，∴双曲线的标准方程为x2λ−y24λ=1，∴a2＝λ，b2＝4λ，c2＝5λ，∴此双曲线的离心率e=√5λ=√5．【答案】6√3【考点】余弦定理【解析】由A 的度数求出sin A 与cos A 的值，利用面积公式列出关系式，将sin A ，已知的面积与b 的值代入，求出b 的值，再利用余弦定理列出关系式，将b ，c 及cos A 的值代入，开方即可求出a 的值． 【解答】解：∵ ∠A =120∘，c =6，△ABC 的面积为9√3， ∴ 12bc sin A =3√32b =9√3，即b =6，∴ 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A =36+36+36=108， 则a =6√3． 故答案为：6√3 【答案】12【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设E 、F 分别为AD 、BC 的中点，可得四边形ABFE 是矩形．当点P 落在线段EF 上时，△PAB 的面积等于矩形ABFE 面积的一半，可得此时S △ABP =12S 矩形ABFE =14，由此可得当点P 落在矩形CDEF 内部或在EF 上时△PAB 的面积大于等于14，即可算出△PAB 的面积大于等于14的概率． 【解答】解：设正方形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点∵ 四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别为AD 、BC 的中点 ∴ EF // AB 且EF =AB ，可得四边形ABFE 是矩形 ∵ 正方形ABCD 面积为1，∴ AB =1且AE =12AD =12当点P 落在线段EF 上时，△PAB 的面积等于矩形ABFE 面积的一半， 此时S △ABP =12S 矩形ABFE =14因此，当点P 落在正方形ABCD 内部，且在线段EF 上或EF 的上方时， 可使△PAB 的面积大于等于14∴ △PAB 的面积大于等于14的概率为P =SCDEF S ABCD=12 故答案为：12 【答案】12,[√5, √2+1]【考点】函数单调性的性质 函数的值域及其求法 【解析】分别在Rt △PCF 和Rt △PAB 中利用勾股定理，得PA +PF =√1+x 2+√1+(1−x)2．运动点P ，可得A 、P 、B 三点共线时，PA +PF 取得最小值；当P 在点B 或点C 时，PA +PF 取得最大值．由此即可推知函数的极值点及函数f(x)的值域． 【解答】解：Rt △PCF 中，PF =√CP 2+CF 2=√1+x 2 同理可得，Rt △PAB 中，PA =√12 ∴ PA +PF =√1+x 2+√1+(1−x)2．从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA +PF 的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵ 当点P 在BC 的中点上时，即A 、B 、P 三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时， PA +PF 取得最小值 √AE 2+EF 2=√5，当P 在点B 或点C 时，PA +PF 取得最大值 √2+1． ∴ √5≤PA +PF ≤√2+1，可得函数的极值点是 12； 函数f(x)=AP +PF 的值域为[√5, √2+1]． 故答案为：12；[√5, √2+1]． 【答案】1或13,(−∞,−17)∪(1,+∞) 【考点】 两直线的夹角 直线的倾斜角【解析】由点M(0, 2)，N(−2, 0)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离相等，利用点到直线的距离公式求得k 的值． 由题意可得，以MN 为直径的圆与直线l:kx −y −2k +2=0相离，故圆心H(−1, 1)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离大于半径，即2>√2，由此解得k 的范围．【解答】解：由点M(0, 2)，N(−2, 0)到直线l:kx −y −2k +2=0的距离相等可得√k 2+1=√k 2+1，解得 k =1，或 k =13．由于对于l 上任意一点P ，∠MPN 恒为锐角，故以MN 为直径的圆与直线l:kx −y −2k +2=0相离．而MN 的中点，即圆心为H(−1, 1)，则点H 到直线l:kx −y −2k +2=0的距离大于半径12⋅MN =√2， 即√k 2+1>√2，即 (1−3k)2>2(1+k 2)，解得 k <−17，或 k >1，故答案为 1或13； (−∞,−17)∪(1,+∞)．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】 解：（1）因为S 5=4a 3+6，所以5a 1+10d =4(a 1+2d)+6．①… 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1+8d)=(a 1+2d)2．②… 由①②及d ≠0可得：a 1=2，d =2．… 所以a n =2n ．…（2）由a n =2n ，可知S n =n 2+n … 所以1S n=1n(n+1)=1n−1n+1，…所以数列{1S n}的前n 项和为1−12+12−13+...+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1，…【考点】等差数列与等比数列的综合 等差数列的通项公式 等比数列的通项公式【解析】（1）利用S 5=4a 3+6a ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，建立方程，可求数列的首项与公差，即可得到数列{a n }的通项公式；（2）利用裂项法，即可求数列{1S n }的前n 项和公式．【解答】 解：（1）因为S 5=4a 3+6，所以5a 1+10d =4(a 1+2d)+6．①… 因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 1(a 1+8d)=(a 1+2d)2．②… 由①②及d ≠0可得：a 1=2，d =2．… 所以a n =2n ．…（2）由a n =2n ，可知S n =n 2+n … 所以1S n=1n(n+1)=1n −1n+1，…所以数列{1S n}的前n 项和为1−12+12−13+...+1n −1n+1=1−1n+1=nn+1，…【答案】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个， 它们是：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 1, B)，(A 1, C)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(A 2, B)， (A 2, C)，(B, A 1)，(B, A 2)，(B, B)，(B, C)，(C, A 1)，(C, A 2)，(C, B)，(C, C)． (I)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(B, B)，(C, C)，共有6个． 所以P(M)=616=38．(II)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”， 则N 包含的基本事件有：(B, A 1)，(B, A 2)，(C, A 1)，（C, A 2,），(C, B)，共有5个． 所以P(N)=516．【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】(I)先列举出所有可能的结果有16个，找出其中事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”包含的基本事件有6个，从而求得甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率．(II)在所有的基本事件中找出事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”包含的基本事件的个数，可得甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率． 【解答】解：由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个， 它们是：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 1, B)，(A 1, C)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(A 2, B)， (A 2, C)，(B, A 1)，(B, A 2)，(B, B)，(B, C)，(C, A 1)，(C, A 2)，(C, B)，(C, C)． (I)用M 表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M 包含的基本事件有：(A 1, A 1)，(A 1, A 2)，(A 2, A 1)，(A 2, A 2)，(B, B)，(C, C)，共有6个． 所以P(M)=616=38．(II)用N 表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度”， 则N 包含的基本事件有：(B, A 1)，(B, A 2)，(C, A 1)，（C, A 2,），(C, B)，共有5个． 所以P(N)=516．【答案】（1）证明：连接BC ′，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，AB =C ′D ′，AB // C ′D ′． 所以，四边形ABC ′D ′是平行四边形，所以，AD ′ // BC ′．因为 F ，G 分别是BB ′，B ′C ′的中点，所以 FG // BC ′，所以，FG // AD ′． 因为 EF ，AD ′是异面直线，所以，AD ′⊄平面EFG ． 因为 FG ⊂平面EFG ，所以，AD ′ // 平面EFG ．（2）证明：连接B ′C ，在正方体ABCD −A ′B ′C ′D ′中，A ′B ′⊥平面BCC ′B ′，BC ′⊂平面BCC ′B ′，所以，A ′B ′⊥BC ′．在正方形BCC ′B ′中，B ′C ⊥BC ′，因为 A ′B ′⊂平面A ′B ′C ，B ′C ⊂平面A ′B ′C ，A ′B ′∩B ′C =B ′，所以，BC ′⊥平面A ′B ′C ． 因为 A ′C ⊂平面A ′B ′C ，所以，BC ′⊥A ′C ．因为 FG // BC ′，所以，A ′C ⊥FG ，同理可证：A ′C ⊥EF ．因为 EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF ∩FG =F ，所以，A ′C ⊥平面EFG ．（3）点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF．由（1）知，AD′ // BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′，所以，AD′ // 平面BCC′B′．因为C′∈D′H，所以，平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F．因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′ // C′F．所以，C′F // BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以，点A，D′，H，F不共面．【考点】直线与平面平行的判定平面的基本性质及推论直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用正方体的性质以及题中的条件，证明FG // AD′，再根据直线和平面平行的判定定理证得AD′ // 平面EFG．（2）利用直线和平面垂直的判定定理、性质定理证明BC′⊥A′C，A′C⊥EF，从而证明A′C⊥平面EFG．（3）点A，D′，H，F不共面，用反证法证明如下：假设A，D′，H，F共面，由（1）可证得C′F // BC′，而C′F与BC′相交，这是矛盾的，故假设不对．【解答】（1）证明：连接BC′，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，AB=C′D′，AB // C′D′．所以，四边形ABC′D′是平行四边形，所以，AD′ // BC′．因为F，G分别是BB′，B′C′的中点，所以FG // BC′，所以，FG // AD′．因为EF，AD′是异面直线，所以，AD′⊄平面EFG．因为FG⊂平面EFG，所以，AD′ // 平面EFG．（2）证明：连接B′C，在正方体ABCD−A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，BC′⊂平面BCC′B′，所以，A′B′⊥BC′．在正方形BCC′B′中，B′C⊥BC′，因为A′B′⊂平面A′B′C，B′C⊂平面A′B′C，A′B′∩B′C=B′，所以，BC′⊥平面A′B′C．因为A′C⊂平面A′B′C，所以，BC′⊥A′C．因为FG // BC′，所以，A′C⊥FG，同理可证：A′C⊥EF．因为EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EF∩FG=F，所以，A′C⊥平面EFG．（3）点A，D′，H，F不共面．理由如下：假设A，D′，H，F共面．连接C′F，AF，HF．由（1）知，AD′ // BC′，因为BC′⊂平面BCC′B′，AD′⊄平面BCC′B′，所以，AD′ // 平面BCC′B′．因为C′∈D′H，所以，平面AD′HF∩平面BCC′B′=C′F．因为AD′⊂平面AD′HF，所以AD′ // C′F．所以，C′F // BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．所以，点A，D′，H，F不共面．【答案】解：求导函数，可得f′(x)=−(x−a)(x+3a)(x2+3a2)2．令f′(x)=0，解得x=a或x=−3a．(I)当a>0时，f′(x)，f(x)随着x的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(−3a, a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −3a)，(a, +∞)．当a <0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(a, −3a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, a)，(−3a, +∞)． (II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数． 又当x >1时，f(x)=x+1x 2+3>0．所以f(x)在[−3, +∞)上的最小值为f(−3)=−16，最大值为f(1)=12． 所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞),f(x 1)−f(x 2)≤f(1)−f(−3)=23．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，使f(x 1)−f(x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23． 【考点】利用导数研究函数的单调性导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】(I)求导函数，分类讨论，由导数的正负，即可求函数f(x)的单调区间；(II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数，对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，有f(x 1)−f(x 2)≤m 成立，等价于f(x)max −f(x)min ≤m 求实数m 的最小值． 【解答】解：求导函数，可得f′(x)=−(x−a)(x+3a)(x 2+3a 2)2．令f′(x)=0，解得x =a 或x =−3a ．(I)当a >0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(−3a, a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, −3a)，(a, +∞)． 当a <0时，f′(x)，f(x)随着x 的变化如下表函数f(x)的单调递增区间是(a, −3a)，函数f(x)的单调递减区间是(−∞, a)，(−3a, +∞)． (II)当a =1时，由(I)得f(x)是(−3, 1)上的增函数，是(1, +∞)上的减函数． 又当x >1时，f(x)=x+1x 2+3>0．所以f(x)在[−3, +∞)上的最小值为f(−3)=−16，最大值为f(1)=12．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞),f(x 1)−f(x 2)≤f(1)−f(−3)=23．所以对任意x 1，x 2∈[−3, +∞)，使f(x 1)−f(x 2)≤m 恒成立的实数m 的最小值为23． 【答案】（1）解：由题意知：c =1．根据椭圆的定义得：2a =(√22)+√22，解得a =√2．所以 b 2=2−1=1． 所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，A(√2，0)，B(−√2,0)． 则 QA →⋅QB →=(√2−54,0)⋅(−√2−54,0)=−716．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{x 22+y 2=1x =ty +1，可得：(t 2+2)y 2+2ty −1=0．显然△>0，则{y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2.， 因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，所以QA →⋅QB →=(x 1−54，y 1)⋅(x 2−54,y 2)=(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2=(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−(t 2+1)1t 2+2+14t 2t t 2+2+116=−2t 2−2+t 22(t 2+2)+116=−716，即 QA →⋅QB →=−716．综上，QA →⋅QB →=−716，即QA →⋅QB →为定值． 【考点】圆锥曲线的综合问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由题意知：c =1，根据椭圆定义可求得a ，根据b 2=a 2−c 2可得b ；（2）分直线l 的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线l 的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．联立直线方程与椭圆方程消掉x 得y 的二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论； 【解答】（1）解：由题意知：c =1．根据椭圆的定义得：2a =√(−1−1)2+(√22)2+√22，解得a =√2．所以 b 2=2−1=1．所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1．（2）证明：当直线l 的斜率为0时，A(√2，0)，B(−√2,0)． 则 QA →⋅QB →=(√2−54,0)⋅(−√2−54,0)=−716．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：x =ty +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由{x 22+y 2=1x =ty +1，可得：(t 2+2)y 2+2ty −1=0．显然△>0，则{y 1+y 2=−2tt 2+2y 1y 2=−1t 2+2.， 因为x 1=ty 1+1，x 2=ty 2+1，所以QA →⋅QB →=(x 1−54，y 1)⋅(x 2−54,y 2)=(ty 1−14)(ty 2−14)+y 1y 2 =(t 2+1)y 1y 2−14t(y 1+y 2)+116=−(t 2+1)1t 2+2+14t 2t t 2+2+116=−2t 2−2+t 22(t +2)+116=−716，即 QA →⋅QB →=−716．综上，QA →⋅QB →=−716，即QA →⋅QB →为定值．【答案】解：a =8，b7，B =0∘， 整理得：2−8c5=0， 解得：c3或=5， 则c 的值35． 【考点】数列与不等式的综合 数列的函数特性【解析】利用得b2a2+c2−2ac cos B ，a ，b 及B 的度数代入，利用殊角的三角函数值化，得出关于元二次，求出方程的解即可得到c 的值． 【解答】解：a =8，b7，B =0∘， 整理得：2−8c5=0， 解得：c3或=5， 则c 的值35．。
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(附答案解析)
2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A ={x|x 2=1}，B ={x|x(x −2)<0}，那么A ∩B =( ) A.⌀ B.{−1} C.{1} D.{−1, 1}2. 在等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18，则a 1+a 2+a 3+a 4=( ) A.26 B.40 C.54 D.803. 已知向量a →=(x +1, 2)，b →=(−1, x)．若a →与b →垂直，则|b →|=( ) A.1 B.√2 C.2 D.44. 过双曲线x 29−y 216=1的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（ ）A.3x +4y −15=0B.3x −4y −15=0C.4x −3y +20=0D.4x −3y −20=05. 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（ ）A.4B.5C.6D.76. 若满足条件{x −y ≥0x +y −2≤0y ≥a 的整点(x, y)恰有9个，（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则整数a 的值为（ ） A.−3 B.−2C.−1D.07. 已知函数f(x)={−x 2+ax ，x ≤1，ax −1,x >1， 若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.a <2 B.a >2C.−2<a <2D.a >2或a <−28. 在棱长为1的正方体ABCD −A′B′C′D′中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P 的个数为（）A.4B.6C.8D.12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.复数2i1−i在复平面内所对应的点的坐标为________．若tanα＝2，则sin2α＝________．以抛物线y2=4x上的点(x0, 4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是________．已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是________，左视图的面积是________．设某商品的需求函数为Q＝100−5P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中EQ EP =−Q′QP，Q′是Q的导数），则商品价格P的取值范围是________．已知函数f(x)={1,x∈Q0,x∈C R Q，则f（f(x)）=________下面三个命题中，所有真命题的序号是________．①函数f(x)是偶函数；②任取一个不为零的有理数T，f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立；③存在三个点A（x1, f(x1)），B（x2, f(x2)），C（x3, f(x3)），使得△ABC为等边三角形．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 已知函数f(x)=sin x+sin(x−π3)．(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f(A)=√32，a=√3b，试判断△ABC的形状．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0, 100]，样本数据分组为[0, 20),[20, 40),[40, 60),[60, 80),[80, 100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿．已知菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60∘（如图1所示），将菱形ABCD沿对角线BD翻折，使点C翻折到点C1的位置（如图2所示），点E，F，M分别是AB，DC1，BC1的中点．（1）证明：BD // 平面EMF；（2）证明：AC1⊥BD；（3）当EF⊥AB时，求线段AC1的长．已知函数f(x)=a ln x −12x 2+12(a ∈R 且a ≠0)．（1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A(2, 0)，离心率为√32，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E ，D ，求|DE||AP|的取值范围．对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M ，对于两个集合M ，N ，定义集合M △N ={x|f M (x)⋅f N (x)=−1}．已知A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 2, 4, 8, 16}． （1）写出f A (1)和f B (1)的值，并用列举法写出集合A △B ；（2）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数．(I)求证：当Card(X △A)+Card(X △B)取得最小值时，2∈X ； (II)求Card(X △A)+Card(X △B)的最小值．参考答案与试题解析2012年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】求出集合A 中方程的解，确定出集合A ，求出集合B 中不等式的解集，确定出集合B ，找出两集合的公共元素，即可求出两集合的交集． 【解答】解：由集合A 中的方程x 2=1，解得：x =1或x =−1， ∴ 集合A ={−1, 1}，由集合B 中的不等式x(x −2)<0，解得：0<x <2， ∴ 集合B ={x|0<x <2}， ∴ A ∩B ={1}． 故选C 2.【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】根据等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18，求得数列的首项与公比，即可求和． 【解答】解：∵ 等比数列{a n }中，a 2=6，a 3=−18， ∴ q =a3a 2=−3，a 1=a 2q=−2∴ a 1+a 2+a 3+a 4=−2+6−18+54=40 故选B ． 3. 【答案】 B 【考点】 向量的模 【解析】根据a →与b →垂直建立等式关系，求出x ，从而得到向量b →的坐标，根据向量模的公式可求出所求． 【解答】解：∵ 向量a →=(x +1, 2)，b →=(−1, x)，a →与b →垂直∴ a →⋅b →=x −1=0解得x =1 则b →=(−1, 1) ∴ |b →|=√2 故选B ． 4.【答案】 D【考点】 双曲线的特性 【解析】 由双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F(5, 0)，经过一、三象限的渐近线为y =43x ，得到所求直线方程为y =43(x −5)，由此能够求出结果． 【解答】解：∵ 双曲线x 29−y 216=1的右焦点为F(5, 0)， 经过一、三象限的渐近线为y =43x ，∴ 所求直线方程为y =43(x −5)， 整理，得4x −3y −20=0． 故选D ． 5.【答案】 B【考点】循环结构的应用 【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出k 的值． 【解答】解：第一次循环：n =3×5+1=16，k =0+1=1，继续循环； 第二次循环：n =162=8，k =1+1=2，继续循环；第三次循环：n =82=4，k =2+1=3，继续循环； 第四次循环：n =42=2，k =3+1=4，继续循环； 第五次循环：n =22=1，k =4+1=5，结束循环． 输出k =5．故选B．6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出满足条件{x−y≥0x+y−2≤0y≥a的平面区域，利用整点(x, y)恰有9个，可求整数a的值．【解答】解：作出满足条件{x−y≥0x+y−2≤0y≥a的平面区域，如图要使整点(x, y)恰有9个，即为(0, 0)、(1, 0)、(2, 0)，(1, 1)、(−1, −1)、(0, −1)、(1, −1)，(2, −1)、(3, −1)故整数a的值为−1故选C．7.【答案】A【考点】全称命题与特称命题分段函数的解析式求法及其图象的作法【解析】若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则说明f(x)在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可.【解答】解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则说明f(x)在R上不单调.①当a=0时，f(x)={−x2，x≤1,−1,x>1,，其图象如图所示，满足题意;②当a<0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2<0，其图象如图所示，满足题意;③当a>0时，函数y=−x2+ax的对称轴x=a2>0，其图象如图所示，要使得f(x)在R上不单调,则只要二次函数的对称轴x=a2<1,∴a<2.综上可得，a<2.故选A.8.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】由题意可得点P是以2c=√3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭球与正方体与棱的交点，可求【解答】解：∵正方体的棱长为1∴AC′=√3∵|PA|+|PC′|=2∴点P是以2c=√3为焦距，以a=1为长半轴，以12为短半轴的椭球上，∵P在正方体的棱上∴P应是椭圆与正方体的棱的交点结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B′C′，C′D′，CC′，AA′，AB，AD上各有一点满足条件故选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.【答案】(−1, 1)【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】复数的分母实数化，利用复数与点的对应关系，求出结果即可．【解答】解：复数2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，所以复数2i1−i在复平面内所对应的点的坐标为(−1, 1)．故答案为：(−1, 1)．【答案】4【考点】同角三角函数间的基本关系二倍角的三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式，把要求的式子化为2tanα1+tan2α，把已知条件代入运算求得结果．【解答】∵tanα＝2，∴sin2α＝2sinαcosα=2sinαcosαcos2α+sin2α=2tanα1+tan2α=45，【答案】(x−4)2+(y−4)2=25【考点】抛物线的求解圆的标准方程【解析】先根据抛物线的方程求得其焦点的坐标，把y=4代入抛物线方程求得圆心的坐标，进而求得圆的直径，进而求得圆的方程．【解答】解：∵y2=4x，∴p=2，焦点F(1, 0)，把y=4代入抛物线方程求得x0=4，得圆心P(4, 4)∴圆的半径r=√32+42=5∴所求圆的方程为(x−4)2+(y−4)2=25．故答案为：(x−4)2+(y−4)2=25．【答案】√23,√22【考点】由三视图求体积【解析】由题意可知，三条侧棱两两垂直的正三棱锥是正四面体，要求该三棱锥的体积和左视图的面积，必须求出正四面体的高及底面三角形的高，从而解决问题．【解答】正三棱锥A−BCD的三条侧棱两两垂直，∴正三棱锥A−BCD是正四面体，底面是边长为2正三角形，底面上的高是√3，所以底面面积S =√34×22=√3， A 到底面的距离：ℎ=√AD 2−DF 2=(√3)=√63；∴ 该三棱锥的体积V =13×√3×√63=√23， 该三棱锥的左视图的面积：S △ADE =12×DE ×AF =12×√3×√63=√22【答案】 (10, 20) 【考点】函数最值的应用 【解析】利用Q ＝100−5P ，弹性EQEP 大于1，建立不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】∵ Q ＝100−5P ，弹性EQEP 大于1 ∴ EQEP =−Q ′Q P =5P100−5P >1 ∴ (P −10)(P −20)<0∴ 10<P <20 【答案】 1,①②③ 【考点】命题的真假判断与应用 函数的求值【解析】根据函数的对应法则，可得不管x 是有理数还是无理数，均有f （f(x)）=1．根据函数奇偶性的定义，可得f(x)是偶函数，①正确；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得②正确；取x 1=−√33，x 2=0，x 3=√33，可得A(√33, 0)、B(0, 1)、C(−√33, 0)三点恰好构成等边三角形，得③正确． 【解答】解：∵ 当x 为有理数时，f(x)=1；当x 为无理数时，f(x)=0∴ 当x 为有理数时，f （f(x)）=f(1)=1；当x 为无理数时，f （f(x)）=f(0)=1 即不管x 是有理数还是无理数，均有f （f(x)）=1 接下来判断三个命题的真假对于①，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， 所以对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，故①正确；对于②，若x 是有理数，则x +T 也是有理数； 若x 是无理数，则x +T 也是无理数∴ 根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f(x +T)=f(x)对x ∈R 恒成立，故②正确； 对于③，取x 1=−√33，x 2=0，x 3=√33，可得f(x 1)=0，f(x 2)=1，f(x 3)=0∴ A(√33, 0)，B(0, 1)，C(−√33, 0)，恰好△ABC 为等边三角形，故③正确．故答案为：1 ①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【答案】解：(1)f(x)=sin x +sin (x −π3) =sin x +12sin x −√32cos x=32sin x −√32cos x =√3(√32sin x −12cos x) =√3sin (x −π6)，由2kπ−π2≤x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：2kπ−π3≤x ≤2kπ+2π3，k ∈Z ，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−π3, 2kπ+2π3]，k ∈Z .(2)∵ f(A)=√3sin (A −π6)=√32， ∴ sin (A −π6)=12，∵ 0<A <π，∴ −π6<A −π6<5π6，∴ A =π3，又a =√3b ，∴ 由正弦定理asin A =bsin B 得：sin B =12， 又a >b ，A =π3，∴ B =π6， ∴ C =π2，则△ABC 为直角三角形． 【考点】两角和与差的正弦公式 正弦定理 三角形的形状判断【解析】（1）将f(x)解析式第二项利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的单调递增区间列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到f(x)的单调递增区间；（2）由第一问确定的函数解析式及f(A)=√32，求出sin(A−π6)的值，由A的范围求出A−π6的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再由a=√3b，利用正弦定理求出sin B的值，由a大于b，利用三角形的边角关系得出A大于B，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，进而确定出C的度数，判定出三角形ABC的形状．【解答】解：(1)f(x)=sin x+sin(x−π3)=sin x+12sin x−√32cos x=32sin x−√32cos x=√3(√32sin x−12cos x)=√3sin(x−π6)，由2kπ−π2≤x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[2kπ−π3, 2kπ+2π3]，k∈Z.(2)∵f(A)=√3sin(A−π6)=√32，∴sin(A−π6)=12，∵0<A<π，∴−π6<A−π6<5π6，∴A=π3，又a=√3b，∴由正弦定理asin A =bsin B得：sin B=12，又a>b，A=π3，∴B=π6，∴C=π2，则△ABC为直角三角形．【答案】解：（1）由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1．所以x=0.0125．…（2）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12．…因为600×0.12=72．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…【考点】用样本的频率分布估计总体分布频率分布直方图【解析】（1）由题意，可由直方图中各个小矩形的面积和为1求出x值．（2）再求出小矩形的面积即上学所需时间不少于1小时组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数即可．【解答】解：（1）由直方图可得(x+0.025+0.0065+0.003×2)×20=1．所以x=0.0125．…（2）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003×2×20=0.12．…因为600×0.12=72．所以600名新生中有72名学生可以申请住宿．…【答案】解：（1）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM // BD．…又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，∴BD // 平面EMF．…（2）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．…连接AO，C1O∴在三棱锥C1−ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．又C1O∩AO=O，∴BD⊥平面AOC1．…又∵AC1⊂平面AOC1，∴BD⊥AC1．…（3）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60∘，所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．…∵E为AB中点，∴DE⊥AB．又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．∵AE=EB，BC1=AB=4，∴AC1=BC1=4．…【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）△ABC1中根据中位线定理，得到FM // BD，结合线面垂直的判定定理，可得BD // 平面EMF．（2）根据菱形的对角线相互垂直，得到C1O⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面AOC1，从而得到平面AC1O内的直线AC1BD．（3）等边三角形△ABD中，E为AB中点，得到DE⊥AB，再结合EF⊥AB，得到平面DEF⊥AB，所以C1E⊥AB，结合E为AB中点，可得AC1=BC1=4．【解答】解：（1）∵点F，M分别是C1D，C1B的中点，∴△BC1D中，FM是中位线，可得FM // BD．…又∵FM⊂平面EMF，BD⊄平面EMF，∴BD // 平面EMF．…（2）在菱形ABCD中，设O为AC，BD的交点，则AC⊥BD．…连接AO，C1O∴在三棱锥C1−ABD中，C1O⊥BD，AO⊥BD．又C1O∩AO=O，∴BD⊥平面AOC1．…又∵AC1⊂平面AOC1，∴BD⊥AC1．…（3）连接DE，C1E．在菱形ABCD中，DA=AB，∠BAD=60∘，所以△ABD是等边三角形，得DA=DB．…∵E为AB中点，∴DE⊥AB．又∵EF⊥AB，EF∩DE=E．∴AB⊥平面DEF，即AB⊥平面DEC1．…又∵C1E⊂平面DEC1，∴AB⊥C1E．∵AE=EB，BC1=AB=4，∴AC1=BC1=4．…【答案】解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．求导函数可得f′(x)=ax−x=−x2+ax．…当a<0时，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0, +∞)．…当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a（舍）．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．…综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．（2）由（1）可知：当a<0时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…当a>0时，①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…②当√a>1，即a>1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以f(√a)>f(1)．又f(1)=0，所以f(√a)>0，与对于任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0矛盾．…综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1]．…【考点】导数求函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】（1）确定函数f(x)的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f(x)的单调区间；（2）对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)≤0，即使得对任意的x∈[1, +∞)，都有f(x)max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．【解答】解：（1）f(x)的定义域为(0, +∞)．求导函数可得f′(x)=ax−x=−x2+ax．…当a<0时，在区间(0, +∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0, +∞)．…当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a（舍）．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：所以f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a，+∞)．…综上所述，当a <0时，f(x)的单调递减区间是(0, +∞)；当a >0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a ，+∞)．（2）由（1）可知：当a <0时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．… 当a >0时，①当√a ≤1，即0<a ≤1时，f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以f(x)在[1, +∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0．…②当√a >1，即a >1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以 f(√a)>f(1)．又 f(1)=0，所以 f(√a)>0，与对于任意的x ∈[1, +∞)，都有f(x)≤0矛盾．… 综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(−∞, 0)∪(0, 1]．… 【答案】 解：（1）因为 A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，所以a =2． 又ca =√32，所以 c =√3． 所以 b 2=a 2−c 2=4−3=1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（2）当直线AP 的斜率为0时，|AP|=4，DE 为椭圆C 的短轴，则|DE|=2，所以|DE||AP|=12．…当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为y =k(x −2)，P(x 0, y 0)， 则直线DE 的方程为y =−1k x ．…由{y =k(x −2)x 24+y 2=1得x 2+4[k(x −2)]2−4=0，即(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0． 所以2+x 0=16k 24k 2+1，所以 x 0=8k 2−24k 2+1．…所以 |AP|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2=√(1+k 2)(x 0−2)2，即 |AP|=4√1+k 24k 2+1． 类似可求|DE|=4√1+k 2k +4．所以|DE||AP|=4√1+k2k 2+44√1+k 24k 2+1=2√k 2+4．… 设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2． ∴|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t(t >2)．令g(t)=4t 2−15t(t >2)，则g′(t)=4t 2+15t >0．所以 g(t)是一个增函数．所以 |DE||AP|=4t 2−15t>4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是[12，+∞)．… 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）根据A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，可得a =2，利用ca =√32，可得c =√3，从而b 2=a 2−c 2=4−3=1，故可得椭圆C 的方程；（2）当直线AP 的斜率为0时，可得|DE||AP|=12；当直线AP 的斜率不为0时，设出直线AP 、DE 的方程，分别与椭圆方程联立，求出|AP|，|DE|，进而利用导数，即可确定|DE||AP|的取值范围．【解答】 解：（1）因为 A(2, 0)是椭圆C 的右顶点，所以a =2． 又ca =√32，所以 c =√3．所以 b 2=a 2−c 2=4−3=1． 所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．…（2）当直线AP 的斜率为0时，|AP|=4，DE 为椭圆C 的短轴，则|DE|=2，所以|DE||AP|=12．…当直线AP 的斜率不为0时，设直线AP 的方程为y =k(x −2)，P(x 0, y 0)， 则直线DE 的方程为y =−1k x ．…由{y =k(x −2)x 24+y 2=1得x 2+4[k(x −2)]2−4=0，即(1+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−4=0． 所以2+x 0=16k 24k 2+1，所以 x 0=8k 2−24k 2+1．…所以 |AP|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2=√(1+k 2)(x 0−2)2，即 |AP|=4√1+k 24k 2+1．类似可求|DE|=4√1+k 2k +4．所以|DE||AP|=4√1+k2k 2+44√1+k 24k 2+1=2√k 2+4．…设t =√k 2+4，则k 2=t 2−4，t >2． ∴|DE||AP|=4(t 2−4)+1t =4t 2−15t(t >2)．令g(t)=4t 2−15t(t >2)，则g′(t)=4t 2+15t >0．所以 g(t)是一个增函数．所以 |DE||AP|=4t 2−15t>4×4−152=12．综上，|DE||AP|的取值范围是[12，+∞)．…【答案】（1）解：f A(1)=1，f B(1)=−1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M(x)⋅f N(x)=−1}．A={2, 4, 6, 8, 10}，B={1, 2, 4, 8, 16}．∴A△B={1, 6, 10, 16}．…（2）设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时，X=W．(I)证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card(Y△A)+Card(Y△B)=Card(W△A)−1+Card(W△B)−1<Card(W△A)+Card(W△B)．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，2∈X．…(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card(Z△A)+Card(Z△B)=Card(X△A)−1+Card(X△B)−1<Card(X△A)+Card(X△B)．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card(X△A)+Card(X△B)的值不变．综上可知，当W为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）直接利用新定义写出f A(1)和f B(1)的值，并用列举法写出集合A△B；（2）设Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，X=W，(I)利用反证法证明2∈X成立；(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．通过a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．【解答】（1）解：f A(1)=1，f B(1)=−1，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f M(x)⋅f N(x)=−1}．A={2, 4, 6, 8, 10}，B={1, 2, 4, 8, 16}．∴A△B={1, 6, 10, 16}．…（2）设当Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值时，X=W．(I)证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．那么Card(Y△A)+Card(Y△B)=Card(W△A)−1+Card(W△B)−1<Card(W△A)+Card(W△B)．这与题设矛盾．所以2∈X，即当Card(X△A)+Card(X△B)取得最小值时，2∈X．…(II)同(I)可得：4∈X且8∈X．若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=C U{a}．那么Card(Z△A)+Card(Z△B)=Card(X△A)−1+Card(X△B)−1<Card(X△A)+Card(X△B)．所以集合W中的元素只能来自A∪B．若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card(X△A)+Card(X△B)的值不变．综上可知，当W为集合{1, 6, 10, 16}的子集与集合{2, 4, 8}的并集时，Card(X△A)+Card(X△B)取到最小值4．第21页共22页◎第22页共22页。
2012年北京市高考压轴卷文科数学试题
数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合1{1,10,}10A =,{|lg ,}B y y x x A ==∈,则A B = A.1{}10B. {10}C. {1}D. ∅2．复数11z i=+在复平面的对应的点位于 (A) 第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3．设,a b ∈R ，若||0b a ->，则下列不等式中正确的是(A)0a b ->(B)0a b +>(C)220a b -> (D)330a b +<4．函数()sin xf x e x =的图象在点(0,(0))f 处的切线的倾斜角为 (A) 0 (B)4π (C) 1 (D)325．若某程序框图如图所示，则输出的P 的值是(A)21 (B)26 (C)30 (D)556．已知命题p ：函数12x y a +=-恒过（1,2）点；命题q ：若函数(1)f x -为偶函数，则()f x 的图像关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是A.p q ∧B.p q ⌝∧⌝C.p q ⌝∧D.p q ∧⌝7．如图，三棱锥V ABC -底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA VC =,已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为A. 2B. 34 D. 68．函数y =能成为该数列的公比的数是（ ）A ．34B C D 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则tan 2ϕ=10．已知(1,)a k =-，(4,2)b =-且a b +与a 垂直，则k 的值为__________.11．抛物线22y px =与直线20x y a ++=交于A B 、两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则FA FB +的值等于12．若集合12,n A A A 满足12n A A A A =,则称12,n A A A 为集合A 的一种拆分.已知: ①当12123{,,}A A a a a =时，有33种拆分； ②当1231234{,,,}A A A a a a a =时，有47种拆分； ③当123412345{,,,}A A A A a a a a a =，时，有515种拆分；……由以上结论，推测出一般结论：当121231{,,,}n n A A A a a a a +=有_____________种拆分.13．已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是14．下面给出的四个命题中：①以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为22(1)1x y -+=；②若2m =-，则直线(2)10m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直； ③命题“R x ∈∃，使得0432=++x x ”的否定是“R x ∈∀，都有0432≠++x x ”；④将函数x y 2sin =的图象向右平移3π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图象。
2012北京西城高考二模数学文(含解析)
北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科) 2012．5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ）． A ．1i 22+ B ．1i 22- C ．1i 22-+ D ．1i22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）． A ．① ② B ．③ ④ C ．① ③ D ．② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2x y =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ）．A ．①B ．②C ．③D ．④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂， 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）．A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =± D ．2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次 为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ）．（注：标准差s =其中x 为12,,,n x x x L 的平均数）A ．12x x >，12s s >B ．12x x <，12s s <C ．12x x >，12s s <D ．12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼 层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量 为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ）． A ．7层 B ．8层 C ．9层 D ．10层8．已知集合1220{,,,}A a a a =L ，其中0(1,2,,20)k a k >=L ，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）．A ．210个B ．200个C ．190个D ．180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．在ABC △中，BC AC =π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．3/1712．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的 两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____；若该几何 体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ的最大值是 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数 ()sin())f x x x ωϕωϕ=++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-．（Ⅰ）求ω与ϕ的值；（Ⅱ）若()4f α=，求2sin sin 22sin sin 2αααα-+的值．5/1717．（本小题满分13分）如图，四棱锥E ABCD -中，EA EB =，AB CD ∥，AB BC ⊥，2AB CD =． （Ⅰ）求证：AB ED ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．7/1719．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求AOB △（O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N L L ，则称12n a a a ⨯⨯⨯L 为N 的 一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()k a k ∈N 中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n =L ，使得N 的分解积最 大．9/17北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，()1,2； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分；14题少选、错选均不给分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1n n n a b c -+=，即132n n n b c --++=，所以 132n n b n c -=-+． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++L L 21(31)(1)2n n n c c c --=+++++L ． ………………10分 从而当1c =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分当1c ≠时，(31)121nn n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分设()f x 的最小正周期为T ．由图可得πππ()2442T =--=，所以πT =，2ω=． ………………4分 由 (0)2f =，得 πsin()13ϕ+=，因为ππ(,)22ϕ∈-，所以π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos22f x x x =+=． ………………8分由 ()2cos 42f αα==，得 cos 2α=， ………………9分所以 23cos 2cos 125αα=-=． ………………11分 所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 EO AB ⊥． ……………2分 因为 AB ∥CD ，2AB CD =， 所以 BO ∥CD ，BO CD =．又因为AB BC ⊥，所以四边形OBCD 为矩形， 所以AB DO ⊥． ………4分因为EO DO O =I ，所以AB ⊥平面EOD ． ………………5分所以AB ED ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF ∥平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，12FG AB =． 因为AB ∥CD ，12CD AB =，所以FG ∥CD ，FG CD =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为DF ⊄平面BCE ，CG ⊂平面BCE ， ………………12分所以DF ∥平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分（Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x a x +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a=，()f x 与()f x '的情况如下：11/17故()f x 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a-∞；单调减区间是1(,)a a --，(,)a -+∞．………………13分综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a +∞单调递减；在1(,)a a-单调递增．0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由222222213a b b e a a -==-=，得 b a =． ① ………………2分由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b+=． ② ………………3分联立①②，解得1b =，a = …………4分 所以椭圆C 的方程是2213x y +=． …………5分（Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2y kx =+．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得22(13)1290k x kx +++=． …………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k =+． ……………9分所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x =-=⨯⨯-=-△△△． ………………10分因为22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设21(0)k t t -=>，则212236363()16(34)4924t x x t t t -===+++． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时AOB △………………14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ……………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ……………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． …………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n =L 中可以有2个2． …………4分 当(1,2,,)k a k n =L 有3个或3个以上的2时， 因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()k a k ∈N 中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n =L 中有1时， 因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ②由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n =L 中至多有2个2． ③当(1,2,,)k a k n =L 中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大．因此，(1,2,,)k a k n =L 中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分13/17④ 当(1,2,,)k a k n =L 中有大于4的数时，不妨设4i a >， 因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n =L 中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++L 1444442444443个使得分解积最大； …………12分 当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++L L 14444424444431444442444443个个使得分解积最大； ……………13分 当*32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++L 1444442444443个使得分解积最大． ………………14分北京市西城区高三二模试卷 数学（文科）选填解析一、 选择题 1．【答案】A【解析】解：由题可知111i 1i 1i 1i 1i 2z ++==⋅=--+． 故选A ．2．【答案】C【解析】解：对于函数3()f x x =，易知()()f x f x =--； 对于函数()sin f x x =，易知()()f x f x =--． 故选C ．3．【答案】D【解析】解：由题可知输出的函数为存在零点的函数， 因为()20x f x =>，所以该函数不存在零点； 因为()20x f x =-<，所以该函数不存在零点；因为1()f x x x -=+为对勾函数且()2f x ≤-或()2f x ≥，所以该函数不存在零点； 因为当1x =时，1()0f x x x -=-=，所以该函数存在零点． 故选D ．4．【答案】A【解析】解：由图一，图二可知“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的充分不必要条件．故选A ．图二图一nnm mββαα5．【答案】D【解析】解：可知c，由双曲线的定义可知14c k===渐近线为2y x==±．故选D．6．【答案】B【解析】解：可知()1153565758617072617x=⨯++++++=，()2154565860617273627x=⨯++++++=1s==2s==故选B．7．【答案】C【解析】解：由题可知，设在第()212n n≤≤层下，S达到最小值，而()()23110S n n n=-+-++⨯+⨯⎡⎤⎣⎦L()()111122n n+++-+-⨯⎡⎤⎣⎦L()()()()1213122n nn n-⨯-=+-⨯-235315722n n=-+，可知函数的对称轴为536n=，由于n为整数，故当9n=时，min40S=．故选C．8．【答案】C【解析】解：易知满足题意得(),a b，其中,220a b a>≤≤，当2a=，有()2,1，共1个；当3a=，有()3,1()3,2，共2个；15/17L L L ；当20a =，有()()()20,1,20,2,,20,19L ，共19个； 综上，()119191902S +⨯==，满足题意．故选C ．二、 填空题 9．【答案】π4【解析】解：由正弦定理可知sin sin sin sin 2sin 3BC AC B A B B ==⇒=， 所以π4B =． 故答案为π4．10．【答案】2-【解析】解：由题可知,x y 满足的区域为如图的阴 影区域ABCD ，当直线过点()1,0A -时，取得最小 值()max 2102z =⨯-+=-． 故答案为2-．11．【答案】16【解析】解：由题可知(),x y 的可能为：()()()()()()1,1,1,3,1,1,1,3,3,1,3,3--；由⊥a b 可知，0⋅=a b ，所以()(),13,030x y x y -⋅=⇒-=，即3y x =； 满足条件的有()1,3，故16p =． 故答案为16．12．【答案】0，()1,217/17【解析】解：由题可知002bb -=⇒=；当0x ≥，则不等式为()221132012x x x x x -+<⇒-+<⇒<<， 当0x <，则不等式为()221120x x x x -+<-⇒-+<， 因为180∆=-<，故方程无解． 故答案为0，()1,2．13．【答案】13，3π【解析】解：由题可知,,PA AB AD 两两垂直，所以1133V PA AB AD =⋅⋅⋅=；可知三棱锥P ABCD -的外接球的直径为PC =所以表面积2224π4π4π3π2PC S r ⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为13，3π．14．【答案】② ③【解析】解：当0,0x y >>时，函数的方程为()()22118x y -+-=，可画图，当0,0x y ><；0,0x y <>； 可类似画图（如图）．① 错误．如图曲线C 与坐标轴没有公共点； （方法二：由函数方程易知0x =或0y =无意 义，故与坐标轴无公共点） ② 正确．由图易知； ③ 正确．由图可知max 2PQ r ==故答案为② ③．PDCBA。
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2012年北京高考模拟系列试卷数学试题（文）【新课标版】第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。
满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N=（ ）A ．{|12}x x <<B ．{|13}xx <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<2．已知向量()525,2,1=-=⋅=b a a 等于（ ）A ．5B ．52C ．25D ．53．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k =（ ）A ．22B ．23C ．24D ．254．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm5．命题“存在R x ∈，使a a a x x 42-+＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）正视图侧视图俯视图A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， 105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 （ ）A ．m 250B ．m 350C ．m 225D ．m 22257．设实数x 和y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为 （ ）A ．26B ．24C ．16D ．148．已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段A B 上，则a b 的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．319．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．1s ，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s ．（填“>”、“<”或“＝”）． A ．> B ．<C ．＝D ．不能确定10、函数x x y sin 3+=的图象大致是（ ）11．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是（ ）A ．12()()0f x f x +<B ． 12()()0f x f x +>第9题图C ．12()()0f x f x ->D ．12()()0f x f x -<12．设双曲线1422=-y x 的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x ,为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为（ ） A ．2-B ．223-C ．0D ．225-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += ；14．阅读如图所示程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填的是 。
15．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l 与曲线22:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，则PM 的最小值为__________；16．观察下列等式：1=113=1 1+2=3 13+23=9 1+2+3=613+23+33=36 1+2+3+4=1013+23+33+43=1001+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225……可以推测：13+23+33+…+n 3= 。
（,*N n ∈用含有n 的代数式表示） 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知向量()()x ωx ωb x ωx ωa cos 3,cos ,cos ,sin ==（ω＞0），函数()23-⋅=b a x f 的最小正周期为π。
（I ）求函数()x f 的单调增区间；（II ）如果△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且满足,3222bc a c b +=+求()A f 的值。
18．（本小题满分12分） 已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f（Ⅰ）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（Ⅱ）设点(,)a b 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，记{()A y f x ==有两个零点,其中一个大于1，另一个小于1},求事件A 发生的概率。
19．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+2121112a a a a ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+43431132a a a a 。
（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设,log 22n n n a a b +=求数列{}n b 的前n 项和S n 。
20．（本小题满分12分） 如图，已知直四棱柱1111ABC D A B C D -的底面是直角梯形，A B B C ⊥，//A B C D ，E ，F 分别是棱B C ，11B C 上的动点，且1//EF C C ，11CD DD ==，2,3AB BC ==．（Ⅰ）证明：无论点E 怎样运动，四边形1EFD D 都为矩形；（Ⅱ）当1E C =时，求几何体1A EFD D -的体积。
第20题图21．（本小题满分12分） 若1212()x x x x ≠、是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点。
（Ⅰ）若121,13x x =-=，求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若12x x +=b 的最大值。
22．（本小题满分14分） 已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>3，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点。
①若线段A B 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值。
参考答案一．选择题1．A ；2．D ；3．A ；4．B ；5．A ；6．A ；7．D ；8．A ；9．B ；10．C ；11．D ；12．B ； 二．填空题13．5；14．5<n ；15．4；16．4)1(22+n n ；三．解答题17．解析：（I ）()23cos 3cos sin 232-+=-⋅=x x x b a x f ωωωx x ωω2cos 232sin 21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πωx ………………………3分 ∵()x f 的最小正周期为π，且ω＞0。
∴,22πωπ=∴,1=ω……………………………………………………4分∴().32sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f 由ππk 22+-≤32π+x ≤Z k k ∈+,22ππ…………………………5分得()x f 的增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ12,125………………6分 （II ）由,3222bc a c b +=+∴,3222bc a c b =-+又由bcac b A 2cos 222-+=2323==bcbc …………………………8分∴在ABC ∆中，6π=A ………………………………………………………9分∴()32sin362sin πππ=⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=A f 23=………………………………12分 18．解析：（Ⅰ）∵函数14)(2+-=bx axx f 的图象的对称轴为,2ab x =要使14)(2+-=bx axx f 在区间),1[+∞上为增函数， 当且仅当0a >且a b ab ≤≤2,12即 ………………………………2分若1a =则1b =-，若2a =则1,1b =-若3a =则1,1b =- ……………………4分 记{B =函数()y f x =在区间[)1,+∞上是增函数} 则事件B 包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴()51153P B ==……6分（Ⅱ）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)|00a b a b a b ⎧+-≤⎫⎧⎪⎪⎪Ω=>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，其面积188322S Ω=⨯⨯= ……………………………………8分事件A 构成的区域： ()()()808000,,0010410a b a b a a A a b a b b b f a b ⎧⎫+-≤⎧+-≤⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪>>⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬>>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪<-+<⎩⎩⎩⎭⎩⎭由80410a b a b +-=⎧⎨-+=⎩,得交点坐标为319(,),55………………………………10分 1131961(8)24540A S ∴=⨯-⨯=，∴事件A 发生的概率为961()1280A S P A S Ω==……12分19．（I ）∵,211221212121a a a a a a a a +⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ ,32113243434343a a a a a a a a +⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+………………………………1分 数列{}n a 各项均为正数，∴,32,24321==a a a a ………………………………………………………2分 ∴,1621434==a a a a q∴2=q ………………………………………………………………………4分 又,21121=⋅=q a a a a∴11=a ………………………………………………………………………6分 ∴1112--==n n n q a a …………………………………………………………7分（II ）∵n n n a a b 22log +=∴()141-+=-n b n n …………………………………………………………8分∴n n b b b b S +⋅⋅⋅+++=321()()121044441210-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n n ……………10分()21314-+-=n n n ………………………………………………12分20．解析：（Ⅰ）在直四棱柱111A B C D A B C D -中，11//D D C C ， ∵1//EF C C ，∴1//EF D D ，---------------------------------------2分 又∵平面//ABC D 平面1111A B C D ， 平面ABCD 平面1EFD D ED =， 平面1111A B C D 平面11EFD D FD =，∴1//ED FD ，∴四边形1EFD D 为平行四边形，---------------------------------------4分∵侧棱1D D ⊥底面A B C D ，又D E ⊂平面A B C D 内，∴1D D D E ⊥，∴四边形1EFD D 为矩形； -----------------------------5分（Ⅱ）证明：连结A E ，∵四棱柱1111ABC D A B C D -为直四棱柱， ∴侧棱1D D ⊥底面A B C D ，又A E ⊂平面A B C D 内，∴1D D AE ⊥， --------------------------------6分在Rt ABE ∆中，2A B =，2BE =，则AE = -----------------------------------7分在R t C D E ∆中，1E C =，1C D =，则DE = -------------------------------8分在直角梯形中A B C D ，AD ==；∴222AE DE AD +=，即AE ED ⊥，又∵1ED D D D = ，∴A E ⊥平面1EFD D ； --------------------------10分由（Ⅰ）可知，四边形1EFD D为矩形，且DE =，11D D =，∴矩形1EFD D的面积为11EFD D S DE DD =⋅=，∴几何体1A EFD D -的体积为11114333A E F D D E F D D V S A E -=⋅=⨯=．-----------------------------12分21．解析：（Ⅰ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f依题意有13-和1是方程02322=-+a bx ax 的两根∴2233133b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()32f x x x x =--．（经检验，适合）……5分 （Ⅱ）∵)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=a x x且12x x +=，∴()21212x x -=．∴()2222412,3933b a b a a a ⎛⎫-+=∴=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．７分 ∵20b ≥∴09a <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分 设()()239p a aa =-，则()2549p a a a '=-．由()0p a '>得06a <<，由()0p a '<得6a >．即函数()p a 在区间(]0,6上是增函数，在区间[]6,9上是减函数，．．．．．．．．10分 ∴当6a =时，()p a 有极大值为324，∴()p a 在(]0,9上的最大值是324， ∴b 的最大值为18． ……………………………12分 22．解析：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b ab+=>>满足222a b c =+，3c a=，…………2分1223b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553xy+= ……………4分（Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553xy+=中得2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>，2122631kx x k +=-+……………7分因为A B 中点的横坐标为12-，所以2261312kk -=-+，解得3k =±…………9分（2）由（1）知2122631kx x k +=-+，21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333M A M B x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++ 2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k kk k k k k -=+++-++++4222316549319k k k k ---=+++49=……………………………………………………4分。