高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析
高中数学(苏教版选修2-2)配套习题第二章 推理与证明 2.2.1 Word版含解析
直接证明明目标、知重点.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．．直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．．综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．．分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法．[情境导学]证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知，>，求证：(＋)＋(＋)≥.证明因为＋≥，>，所以(＋)≥.又因为＋≥，>，所以(＋)≥.因此(＋)＋(＋)≥.小结从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法．思考综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，其推理过程为条件→结论(条件)→结论(条件)→结论(条件)→结论．因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且，，成等差数列，，，成等比数列，求证：△为等边三角形．证明由于，，成等差数列，有＝＋，①由于，，为△的三个内角，所以＋＋＝π.②由①②，得＝，③由，，成等比数列，有＝，④由余弦定理及③，可得＝＋－＝＋－，再由④，得＋－＝，即(－)＝，从而＝，所以＝.⑤由②③⑤，得＝＝＝，所以△为等边三角形．。
高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.1.2)ppt课件
2.1.2
跟踪训练 2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原
因：
本 (1)因为中国的大学分布在中国各地，
大前提
课 北京大学是中国的大学，
小前提
时
栏 所以北京大学分布在中国各地.
结论
目
开 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提
关
而菱形是所有边长都相等的凸多边形，
小前提
所以菱形是正多边形.
直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
2.1.2
答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特 殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.
问题 2 演绎推理有什么特点？
本
课 时
答案 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是
栏 目
一般性原理，结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实.
开 关
1.下面几种推理过程是演绎推理的是________.
本 ①两条直线平行，内错角相等，如果∠A 与∠B 是两条平行
课 时
直线的内错角，则∠A＝∠B
栏 目
②某校高三 1 班有 55 人，2 班有 54 人，3 班有 52 人，由此
开 关
得高三所有班人数超过 50 人
③由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
证明 三角形的中位线平行于底边， 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点， 所以 EF∥BD.
大前提 小前提
结论
2.1.2
若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平
本 课
行，
时 栏
EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD，
目
开 关
EF∥平面 BCD.
大前提 小前提
苏教版高中数学选修2-2推理案例赏析教案
推理案例赏析教学目标（1）了解推理方式中合情推理和演绎推理的区别和联系； （2）通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系．教学重点，难点合情推理和演绎推理的区别和联系． 教学过程 一．问题情境在前两节中，我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察．那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？ 三．数学运用 1．例题：例1．正整数平方和公式的推导． 提出问题我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n =++++=+， …①那么，前n 个正整数的平方和22222()123?S n n =++++= …② 数学活动思路1（归纳的方案）如下表1-1所示，列举出2()S n 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．(表1-1)头：1()S n 与2()S n 会不会有某种联系？如下表1-2所示，进一步列举出1()S n 的值，比较1()S n 与2()S n ，希望能有所发现．(表1-2)观察1()S n 与2()S n 的相应数据，并没有发现明显的联系．怎么办呢？尝试计算．终于在计算1()S n 和2()S n 的比时，发现“规律”了（表1-3）．从表1-3中发现21()21()3S n n S n +=，于是猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． …③公式（3）的正确性还需要证明．思考：上面的数学活动是由那些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和． （1）把正整数的平方表示出来，有222211,2(11)1211,==+=+⨯+2223(21)2=+=+22⨯1,+2224(31)3231,=+=+⨯+22(1)2(1)1n n n =-+-+，左右两边相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n =-+-+，等号两边的2()S n 被削去了，所以无法从中求出2()S n 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出2()S n ，却求出了1()S n 的表达式，即2121()(1)22n n n S n n n +-==+，它启示我们：既然能用上面方法求出1()S n ，那么我们也应该可以用类似的方法求出2()S n ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：33311,2(11)==+323332131311,3(21)232321,=+⨯+⨯+=+=+⨯+⨯+332(3)3(1)3(1)1n n n n =-+-+-+．左右两边分别相加，得323321()[()]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n =-+-+-+．由此知323212323()23(1)(21)()366n n n S n n n n n n n S n ++-++++===．思考：上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？ 上面的案例说明：（1）数学发现活动时一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，互相为用，共同推动着发现活动的进程．（2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．（3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判断”和证明，从而为调控探索活动提供依据．对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学家G 波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的 内容；在完成详细的证明之前，先得推测证明的思路．创造过程式一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明．但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的，” 五．回顾小结：1．合情推理和演绎推理的区别和联系； 2．体会这两种推理在数学活动中的作用．。
数学苏教版选修2-2知识导航2.1.3推理案例赏析含解析
2。
1.3 推理案例赏析知识梳理数学命题推理有合情推理和演绎推理，_____________和_____________是常用的合情推理。
从推理形式上看，_____________是由部分到整体，个别到一般的推理,_____________是由特殊到特殊的推理,而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看,_____________的结论不一定正确，有待于进一步证明,_____________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。
知识导学归纳与类比这两种合情推理都能帮助我们发现新的数学命题和新的数学规律，但得到的结论不一定正确，有待于进一步证明或验证。
而演绎推理只要大、小前提都正确，结论就正确。
所以我们常把两者结合起来,用合情推理来发现数学命题，用演绎推理进行系统的论证，二者相辅相成，从而推动数学的不断发展。
学习时，要从具体例子来深刻体会合情推理与演绎推理之间的这种联系和差异，我们不仅要学会推理证明,也要学会猜想。
疑难突破“推理”引发的思考.剖析：数学要进一步得到发展，关键是如何在已有知识的基础上发现新的数学问题。
我们可以用归纳和类比两种办法，大胆猜想、归纳，小心比较,作出命题,推动数学的发展，要注意观察、总结、比较、验证、论证相结合.由此可以看出数学发现活动是一个探索创造的过程，这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程，合情推理是富有创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.数学问题无穷无尽,如何去探讨发展是我们现代人必须要做的，我们既要运用好原有的知识，但也不能维持原状，要有所发展，那么怎样去发展？也不是没有根据的乱想，我们可通过大量的事实,观察、归纳、类比原有的知识来合情推理我们所需要的结论，学会尝试，不怕失败。
典题精讲【例1】 已知{a n ｝为等差数列，首项a 1＞1，公差d ＞0，n ＞1且n∈N ＊.求证：lga n+1lga n-1＜（lga n )2。
2019-2020学年苏教版高中数学选修2-2《2.1.3推理案例赏析》教案
2019-2020学年苏教版数学精品资料教学目标：1．了解合情推理和演绎推理的含义．2．能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理．3．了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学重点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别．教学难点：了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的．教学过程：一、知识回顾从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异？合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的？三个推理案例的共同点是它们都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是在推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可以分为合情推理与演绎推理．二、数学运用例1正整数平方和公式的推导．分析提出问题：我们知道，前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n ＝＋＋＋＋＝＋①那么，前n 个正整数的和22222()123S n n ＝＋＋＋＋＝？②数学活动思路1（归纳的方案）如表2-1-5所示，列举出)(2n S 的前几项，希望从中归纳出一般的结论．表2-1-5n 123456…)(2n S 1514305591…但是，从表2-1-5的数据中并没有发现明显的关系．这时我们可能会产生一个念头：)(1n S 与)(2n S 会不会有某种联系？如表2-1-6所示，进一步列举出)(1n S 的值，比较)(1n S 与)(2n S ，希望能有所发现．尝试计算，终于在计算)(1n S 和)(2n S 的比时，发现“规律”了（表2-1-7）．表2-1-7n 123456…)(1n S 136101521…)(2n S 1514305591…)()(12n S n S 33353739311313…从表2-1-7中发现21()21()3S n n S n ＋＝，于是，猜想2(1)(21)()6n n n S n ＋＋＝．公式③的正确性还需要证明．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？思路2（演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和．（1）把正整数的平方表示出来，有12＝1，22＝22(11)1211＋＝＋×＋，32＝22(21)2221＋＝＋×＋，42＝22(31)3231＋＝＋×＋，…n 2＝2(1)2(1)1n n －＋－＋，左右两边分别相加，得2221()[()][2()2]S n S n n S n n n ＝－＋－＋，等号两边的)(2n S 被消去了，所以无法从中求出)(2n S 的值，尝试失败了！（2）从失败中汲取有用信息，进行新的尝试．前面的失败尝试还是有意义的，因为尽管我们没有求出)(2n S ，但是却求出了)(1n S 的表达式，即212(1)()22n n nn n S n ＋－＋＝＝．它启示我们：既然能用上面的方法求出)(1n S ，那么我们也应该可以用类似的方法求出)(2n S ．（3）尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式．具体方法如下：13＝1，23＝332(11)131311＋＝＋×＋×＋，33＝332(21)232321＋＝＋×＋×＋，43＝332(31)333331＋＝＋×＋×＋，…43＝32(1)3(1)3(1)1n n n －＋－＋－＋．左右两边分别相加，得23321()[()3]3[()]3[()]S n S n n S n n S n n n ＝－＋－＋－＋．由此可知322323()()3n n n S n S n ＋＋－＝＝32236n n n＋＋＝(1)(21)6n n n ＋＋，终于导出了公式．思考上面的数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？例2棱台体积公式的推导．提出问题能通过类比推测出棱台的体积公式吗？数学活动思路：试图以四棱台为例，通过和梯形的类比推测公式．（1）确定类比对象．对梯形和四棱台作比较，如表2-1-8所示．表2-1-8梯形四棱台上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面据此，使我们产生了把梯形选为类比对象的念头．（2）对类比对象的进一步分析．梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的，而棱台侧可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的，据此，应该有如下的对应关系：直线平面，三解形棱锥，梯形棱台．进而有梯形底边长棱台底面积，三角形面积棱锥体积，梯形面积棱台体积．（3）通过类比推理，建立猜想．求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的，棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的．于是由梯形的面积公式1()2S h a b 梯形＝＋④其中b a,分别表示梯形上、下底的长度，h 表示高，猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式1()2V h S S 下棱台上＝＋⑤其中S S 下上，分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．（4）验证猜想．⑤式的正确性要通过严格的证明来确认．在作出正式的证明之前，可以先通过具体的例子加以检验．把棱锥看成棱台的特例．此时，公式⑤中的0S 上＝，因此有12V hS 下＝，这与实际结果1S 3h 下不符，这表明，猜想⑤是错误的，需要修正．于是设想公式具有01()3V h S S S 下棱台上＝＋＋⑥的形式，其中0S 应该是表示面积的量．它究竟是多少还有待进一步确定．与⑤式相比，公式⑥的分母从2变为3，相应的分子从2项变为3项，这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异．因此，公式⑥从整体结构上就给人以一种协调的美感．应该说，公式⑥比公式⑤更合理．既然⑥式被认为是合理的，那么下一步的行动就是要具体的确定公式中0S 的意义和大小了．容易看出：第一，由于从棱锥的体积公式可知，当0S 上＝时，0S ＝0，因此，0S 应含有S 上的因子．第二，棱台的上底和下底具有同等地位，因此S 上和S 下在公式中应该具有同等地位，据此，我们可以猜想0S 具有k S S 下上的形式．第三，进一步确定k 的值．仍然作用特殊化的方法，当S 上＝S 下时，棱台变为棱柱，则01()3V h S k S S S hS 下下棱台上上＝＋＋＝.此时S 上＝S 下＝0S ，所以有k ＝1，因此，0S ＝S S 下上，⑥式即为1()3V h S S S S 下下棱台上上＝＋＋⑦思考数学活动是由哪些环节构成的？在这个过程中提出了哪些猜想？提出猜想时使用了哪些推理方法？合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？三、学生探究上面的案例说明：1．数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．2．合理推理是富于创造性的或然推理．在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．3．演绎推理是形式化程度较高的必然推理．在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．四、课堂总结对这两种推理在数学活动中的作用，著名的数学教育家G.波利亚作了精辟的论述：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个数学定理之前，先得猜测这个定理的内容；在完成详细的证明之前，先得到推测证明的思路．创造过程是一个艰苦曲折的过程．数学家创造性的工作是论证推理，即证明，但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的．”五、课后作业教材第81页习题2.1第1题，第2题，第3题，第5题，第6题，第7题.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.3 推理案例赏析
2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23]归纳推理的应用[例1] 观察如图所示的“三角数阵”：记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨] (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析] (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案] 6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通] 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．51．设[x]表示不超过x的最大整数，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)． 123我的发现：[]＋[]＋[]＝3；45678[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10；9101112131415[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21；…通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．n2n2＋1n2＋2解析：第n行右边第一个数是[]，往后是[]，[]，…，最后一个是[ n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)． n2n2＋1n2＋2n2＋2n答案：[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？顶点数边数区域数(a)(b)(c)(d)(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为顶点数边数区域数(a)332(b)8126(c)695(d)10157(2)观察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．类比推理的应用[例2] 通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)．16类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝Error!·Error!＝n 2(n ＋1)2.1414[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，观察发现V ′＝S .则四43维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3.答案：2πr 44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S ＝24S ＋S ＋S .21223答案：S ＝S ＋S ＋S 2421223演绎推理的应用 [例3] 已知{a n }为等差数列，首项a 1>1，公差d >0，n >1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算．[精解详析] ∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .∵d >0，∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a －d 2<a .2n 2n ∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1.∴lg a n >0.∴lg a n ＋1·lg a n －1≤2(lg a n ＋1＋lg a n －12)＝2<2＝(lg a n )2，[12lg (a n －1a n ＋1)][12lg a 2n ]即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B . (1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)，所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．又面面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1.6．求证：函数y ＝是奇函数，且在定义域上是增函数．2x －12x ＋1证明：y ＝f (x )＝＝1－，(2x ＋1)－22x ＋122x ＋1所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝＋(1－22－x ＋1)(1－22x ＋1)＝2－(22x ＋1＋22－x ＋1)＝2－(22x＋1＋2·2x2x＋1)＝2－2(2x ＋1)2x＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－(1－22x 1＋1)(1－22x 2＋1)＝2(12x 2＋1－12x 1＋1)＝2·.2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1)因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________.解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1.答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋＝.n (n －3)2n 2＋n2f (4)＝4×2＋×2＝12，4×12f (n )＝n (n －2)＋×(n －2)＝.n (n －3)2n (n －1)(n －2)2答案： 12 n 2＋n 2n (n －1)(n －2)23．(陕西高考)已知f (x )＝，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2 x1＋x014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝⇒f 2(x )＝f ＝＝；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 1＋x (x 1＋x )x 1＋x 1＋x 1＋x x1＋2x x 1＋2x1＋x1＋2x ＝，故可猜想f 2 014(x )＝.x 1＋3x x1＋2 014x 答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝Error! 33＝Error! 43＝Error! ….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________.解析：根据分裂特点，设最小数为a 1，则ma 1＋×2＝m 3，m (m －1)2∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025，∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝.(1 979＋2 071)×452答案：455．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋sin 30°·cos 90°＝；314sin 225°＋cos 285°＋sin 25°·cos 85°＝；314sin 210°＋cos 270°＋sin 10°·cos 70°＝.314推测出反映一般规律的等式：____________________.解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°，∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝.314答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋sin αcos(60°＋α)＝314二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y ＝2x －1是一次函数，(小前提)y ＝2x －1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n 是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)写出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求＋＋＋…＋的值．1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，…由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ，因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ，所以当n ≥2时，f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)]＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)．(3)当n ≥2时，＝＝，1f (n )－112n (n －1)12(1n －1－1n )所以＋＋＋…＋1f (1)1f (2)－11f (3)－11f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n )＝1＋＝－.12(1－1n )3212n。
苏教版高二数学选修2-2 2.1.1 合情推理 课件(30张)
其外接圆半径 r＝ a22＋b2”；类比可得“若三棱锥三条侧棱两
两垂直，侧棱长分别为 a，b，c，则其外接球半径 r＝
a2＋3b2＋c2”．这两位同学类比得出的结论___③_____．
①两人都对
②甲错、乙对
③甲对、乙错
④两人都错
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第2章 推理与证明
解析：利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是 正确的； 把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体． 则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径． 可求得其半径 r＝ a2＋2b2＋c2， 因此，乙同学类比的结论是错误的．
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第2章 推理与证明
名师解题
类比推理中的创新题
(2014·南昌高二检测)如图，椭圆中心在坐标原点，F
为左焦点，当F→B⊥A→B时，其离心率为 52－1，此类椭圆被称
为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲 5＋1
线”的离心率 e 等于___2_____．
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第2章 推理与证明
第2章 推理与证明
第2章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
第2章 推理与证明
学习导航
学习 目标
1.了解归纳推理类比推理的含义，能利用归纳 类比推理进行简单的推理．(重点) 2．掌握归纳类比推理在数学发展中的作用． (难点)
1.归纳推理是推理中常用的思维方法，其结论 不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和
第2章 推理与证明
空间图形 线 面 球
四面体 二面角
面积 表面积
体积 …
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第2章 推理与证明
3.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，甲：由
苏教版高二数学选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 课件(29张)
第2章 推理与证明
(3)___演__绎__推__理____是形式化程度较高的必然推理，在数学发 现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情 推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明， 从而为调控探索活动提供依据．
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第2章 推理与证明
(4)合情推理与演绎推理的区别与联系(如下表)：
第2章 推理与证明
[解] (1)证明：①12x2＋12y2－12x＋12y2
＝12x2＋12y2－14x2－12xy－14y2 ＝14x2－12xy＋14y2＝14(x－y)2≥0，
∴12x2＋12y2≥12x＋12y2. ②13x2＋23y2－13x＋23y2
＝29x2＋29y2－49xy＝29(x－y)2≥0，
第2章 推理与证明
2．1.3 推理案例赏析
第2章 推理与证明
学习导航 1.理解认识合情推理和演绎推理的作用、特点 以及两者之间的联系．(重点)
学习 2．掌握并能够利用合情推理和演绎推理研究某
目标 些数学问题，提高分析问题、探究问题的能 力．(难点) 在实际的数学活动中，通过观察、思考、联想，
学法 可以猜测新的结论，新的结论的正确性可以利
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第2章 推理与证明
S2△PBC＝12BC·PD2＝14BC2·PD2，
S△OBC·S△ABC＝12BC·OD·12BC·AD. ＝14BC2·OD·AD ∵PD2＝OD·AD，∴S2△PBC＝S△OBC·S△ABC.
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第2章 推理与证明
方法归纳 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般栏目 导引
第2章 推理与证明
1.平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公 共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)＝2，f(2)＝4，f(3) ＝8，f(4)＝14，则猜想f(n)的表达式为____n_2_－__n_＋__2____． 解析：由f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝4，f(4)－f(3)＝6，…，猜 测f(n＋1)－f(n)＝2n，利用累加法，得f(n)＝n2－n＋2
高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章2.3第一课时利用数学归纳法证明等式、不等式问题Word版含解析
2.3摘象问鎚情境化，新知无师自通【P48]i⑴⑵遽駅罷点溝Ml.纣.一W心［P48]⑴ n n o(n 0 1,2 )⑵n k(k N*k n o)n k 1n o n［归纳＞升华・领悟］(1)(2)(1)n n o(2)⑴(1)⑵高中数学［例1］用数学归纳法证明：1,1 v , 1 1 1 , 1 , , 1 1_二十二__十…十 ------ ——= ----- 1 --------- …十L2 3 4 2n — 1 2n n + 1 n + 2 2n ，［思路点拨］等式的左边有2n 项，右边共有n 项，f(k)与f(k + 1)相比左边增二项，右边 增一项，而且左右两边的首项不同•因此，从n = k 到n = k + 1时要注意项的合并.1 1 ［精解详析］(1)当n = 1时，左边=1 — 2= 2， 右边=2命题成立.⑵假设当n = k 时命题成立，即111 1 1 1.1. , 1 '_ 2 3 4 2k — 1 2k k + 1 k + 2 2k那么当n = k — 1时，亠、丄.1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 左左力= 1 — — — 一 — — — 一 = -L- _L --------2 3 4 2k — 1 2k 2k +1 2k + 2 k +1 k + 2 2k 2k +11 2k + 2左边=右边，上式表明当n = k + 1时命题也成立.由(1)和(2)知，命题对一切非零自然数均成立.［一点通］(1)用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于 “先看项”弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关.由n =k到n = k + 1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.⑵证明n = k +1时成立，必须用到假设 n = k 成立的结论.1.用数列归纳法证明：当 n € N *时，—1 + 3— 5+ …+ (— 1)n (2n — 1) = (— 1)n n. 证明：(1)当n = 1时，左边=—1,右边=—1, 所以左边=右边，等式成立.(2)假设当n = k(k > 1, k € N *)时等式成立， 即一1+ 3— 5 + …+ (— 1)k (2k — 1) = (— 1)k k. 那么当n = k + 1时，—1 + 3— 5+ …+ (— 1)k (2k — 1)+ (— 1)k +1 (2k + 1)1k — 1k —+ …+ 2k — 2k1 2k + 1 1 2k + 2. 右边=1 k + 3+ …+ — + -—2k 2k + 1 12k + 2/ 八k k 1(1) k ( 1) (2 k 1)k 1 k 1(1) ( k) ( 1) (2 k 1)(1)k 1(2k 1 k)(1)k 1(k 1)n k 1(1) (2) n N *212 22 32 42(2n 1)2 (2 n)2n (2 n 1)(1) n 1 12 22 3 1 (2 1 1) 3(2) n k12 22 32 42(2 k 1)2 (2k)2k(2k 1)n k 112 22 32 42(2 k 1)2(2 k)2[2(k 1) 1]2[2(k 1)]2k(2k 1) (2 k 1)2(2 k 2)2(2 k 1)(k 1) 4(k 1)2(k 1) [2k 1 4(k 1)] (k 1)( 2k 3)(k 1)[2(k 1) 1]n k 1[ ](1) n 21 1 1 1 57 5-- ———--3 4 5 6 60 6⑵n k(k2k N )11丄5k1k 23k 6n k 1111111k1 1 k 1) 2 3k3k 13k 23k 31111 1 115 k 1 k23k3k 13k 2 3k 3k 1 >6高中数学所以当n = k + 1时不等式也成立.由(1)(2)可知原不等式对一切 n > 2, n € N *都成立. ［一点通］利用数学归纳法证明与 n 有关的不等式是数学归纳法的主要应用之一，应用过程中注意:(1)证明不等式的第二步即从 n = k 到n = k +1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；⑵与n 有关的不等式的证明有时并不一定非用数学归纳法不可，还经常用到不等式证 明中的比较法、分析法、配方法、放缩法等.1 13. 用数学归纳法证明不等式 市++•••k + 1时，不等式的左边增加的式子是n = k + 1 时,+k + k + 2k +1+ 2 k + 1 k + 1丄+丄+…+ k + 1 k + 2k + k 2k + 1 2k + 2 '答案.• (2k + 1]2k + 2)111 1 n — 2*4•求证 2+ 3 + 4+…+ 2—^>-^(n A 2 且 n € N ).假设当n = k(k > 2且k € N *)时，不等式成立, 即2+1 +1+…+占> 宁. 2 3 4 2 -12111 1 1当门=k +1时,尹3+4 +••• +尸+尹2k +1k1 k —2 1 1 1 k — 2 2 k — 2 1k 彳> 小 + k +1+ k +1+ …+ k + 1=小 + k +1=小 +c2 2 — 1 2 2 2 2 2 2 2 25+ 3 x1 —丄=5 3k + 3 k + 16'卜丘〉丹勺过程中，由n = k 推导解析：n = k ,1 1+ + … k + 1 k +21 k +1左边=k +2 + k + 3k + 1 + k + k +1 + k + 1丄+丄+丄k + 1 k + 2 k + 3 证明：当n =2时，左边=2+6，右边=2—2= 0,左边〉右边，此时不等式成立.亠 +•••+ + > +2+宀 + ••k|1 2k +1— 122k + 2k + 11 1 1+ + — ■ 3k + 2 3k + 3 k + 11 1 V2 V 32弧• k 1 1 k (k 1)1 V k -1V k ~1耳屮2尸k 1n k 1(1)(2)n［方法・规律•小结］(1)n 1n 2 n 3 n 10n2n >n 3n 10⑵n k 1n k n k 1n k n k 1(3) n k(k 1)课下训练经典化，贵在耙类旁通［()】YING YONG彳 n 2 2n 11 a *1 a aa(a 1 n N )1a'丿解析：因为左边式子中a 的最高指数是n +1,所以当n = 1时，a 的最高指数为2,根 据左边式子规律可得，当 n = 1时，左边=1 + a + a 2.=2k 2— k + (4k + 1)1 1 V2 V 31n<2 n(n(1) n 112 1 2.君＜2冬答案：1 + a+ a22.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n= k时，表达式为1X4 + 2x 7+-+ k(3k+ 1) = k(k+ 1)2,则当n = k+ 1时，表达式为 __________ .答案：1 x 4+ 2X 7 +…+ k(3k+ 1) + (k+ 1)(3k+ 4) = (k+ 1)(k+ 2)21 1 1 127 *3.用数学归纳法证明不等式 1 + 2+ 4+…+ 尹>丽⑴^ N )成立，其初始值至少应取1 — |'1)解析：左边=1 +3 4+ 4 +…+ 1 = 牛=2—2n—i代入验证可知n的最小值为8.1 —-2答案：84. 对于不等式.n2+n<n + 1(n€ N*)，某学生证明过程如下：(1)当n = 1时，，12+ 1<1 + 1，不等式成立；⑵假设n = k(k€ N*)时，不等式成立，即k2+ k<k+ 1(k€ N*)，则当n= k+ 1时,k+12+ k+1 =k2+ 3k + 2< k2+ 3k+ 2 + k + 2 = k+ 2 2=(k+ 1) + 1,所以当n = k+ 1时，命题成立.上述证法的错误在于___________________________答案：没有用归纳假设5. _____________________ 用数学归纳法证明：“(n+ 1)(n+ 2)…(n+ n)= 2n 1 3 …(2n —1)”.从“ k 到k+ 1 ” 左端需增乘的代数式为.解析：当n = k时左端的第一项为(k+ 1)，最后一项为(k+ k),当n= k+1时，左端的第一项为(k+ 2)，最后一项为(2k+ 2),所以左边乘以(2k+ 1)(2k+ 2)，同时还要除以(k+ 1).答案：2(2k+ 1)二、解答题6•用数学归纳法证明:2 *4 +5 + 9 + 13+-+ (4n—3) = 2n -n(n€ N ).证明：(1)当n= 1时，左边=1，右边=1，命题成立.* 2 ⑵假设n= k(k> 1, k€ N )时，命题成立，即1 + 5+ 9+ 13+…+ (4k—3) = 2k —k.则当n= k+ 1 时，1 + 5 + 9+ 13+…+ (4k —3) + (4k+ 1)高中数学2 22k 3k 12(k 1)2 (k 1)n k 11 3 5(2 k 3) (2 k 1)(2 k 1) (2 k 1) (2 k 3)5 3 12k 2 2k 1 (2 k 1) (2 k 1)2k 2 2k 12(k 1)2 2(k 1) n k 1 (1)(2)(2n 3) (2n1) (2n 3) 5 3 1 2n2n 1(n N *)(1) n 1(2) n k(k N *)(2 k 3) (2 k 1) (2 k 3) 25 31 2k 2k 1.1> 2n 1、一 2n 1.尸 2(1) n 2(2) n k(k 2N ) 1 2k 1 2k 1 >~2~131 5.2k 1 2k 2 > 22k 1 川 2(k 1 ) 12k 12k 2 2 2k 1 2 2k 12 ,2k 12,2k 12高中数学。
2017-2018学年高二数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.1 2.1.1 第一课时 归纳推理
_2.1合情推理与演绎推理2．1.1 合情推理第一课时 归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银110115120125130135145柱/毫米)舒张压(水银70737578808388柱/毫米)提示：140 85问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．问题5：数列{a n}的前五项为1,3,5,7,9试写出a n.提示：a n＝2n－1(n∈N*)．1．推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图→→实验、观察概括、推广猜测一般性结论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．[对应学生用书P13]归纳推理在数列中的应用[例1] 已知数列{a n }的第1项a 1＝1，且a n ＋1＝(n ＝1,2，…)，求出a 2，a 3，a 4，an1＋an 并推测a n .[思路点拨] 数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n 与a n 的关系即可解决．[精解详析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝＝；11＋112当n ＝3时，a 3＝＝；121＋1213当n ＝4时，a 4＝＝.131＋1314观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝.1n [一点通] 在求数列的通项与前n 项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n的关系，往往会较简捷地获得结论．1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝.求出a 1，a 2，a 3，a 4，并12(an ＋1an )推测a n .解：∵S n ＝，∴a 1＝，∴a ＝1.12(an ＋1an )12(a 1＋1a 1)21又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝，即1＋a 2＝，∴a 2＝－1；12(a 2＋1a 2)1212a 22a 1＋a 2＋a 3＝，12(a 3＋1a 3)即＋a 3＝，∴a 3＝－；21212a 332a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝，12(a 4＋1a 4)∴＋a 4＝，∴a 4＝2－；31212a 43观察可得，a n ＝－.n n －12．已知数列{a n }中，a 2＝6，＝n .an ＋1＋an －1an ＋1－an ＋1(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解：(1)由a 2＝6，＝1，得a 1＝1.a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1由＝2，得a 3＝15.a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1由＝3，得a 4＝28.a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28.(2)由a 1＝1＝1×(2×1－1)；a 2＝6＝2×(2×2－1)；a 3＝15＝3×(2×3－1)；a 4＝28＝4×(2×4－1)，…猜想a n ＝n (2n －1)．归纳推理在不等式中的应用[例2] 对任意正整数n ，试归纳猜想2n 与n 2的大小关系．[思路点拨] →→→给n 从小到大赋值计算各式的值比较大小归纳猜想[精解详析] 当n ＝1时，21>12；当n ＝2时，22＝22；当n ＝3时，23<32；当n ＝4时，24＝42；当n ＝5时，25>52；当n ＝6时，26>62.归纳猜想，当n ＝3时，2n <n 2；当n ∈N *，且n ≠3时，2n ≥n 2.[一点通] 对于与正整数n 有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n 的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．3．观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，猜想第n 个不等式为________．122321221325312213214274解析：第1个不等式：1＋<；1(1＋1)22×1＋11＋1第2个不等式：1＋＋<；1221(2＋1)22×2＋12＋1第3个不等式：1＋＋＋<；1221321(3＋1)22×3＋13＋1…故猜想第n 个不等式为1＋＋＋＋…＋<.1221321421(n ＋1)22n ＋1n ＋1答案：1＋＋＋…＋<1221321(n ＋1)22n ＋1n ＋14．对任意正整数n ，猜想n n ＋1与(n ＋1)n 的大小关系．解：n ＝1时，12<21；n ＝2时，23<32，n ＝3时；34>43；n ＝4时，45>54，n ＝5时；56>65.据此猜想，当n <3时，n n ＋1<(n ＋1)n ，n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n.归纳推理在图形推理中的应用[例3] 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，如图：由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n 个三角形数．[思路点拨] 将1,3,6,10分别写成，，，，据此可完成本题的1×222×323×424×52求解．[精解详析] 观察项与项数的关系特点如下：项1234项数1×222×323×424×52分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积．归纳：第n 个三角形数应为(n ∈N *)．n (n ＋1)2[一点通] 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n 项和等．5．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有a n 个树枝，则a n ＋1与a n (n ≥1)之间的关系是________________．解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a 1＝1，第2个图形有3根树枝，即a 2＝3，同理可知：a 3＝7, a 4＝15，a 5＝31.归纳可知：a 2＝3＝2×1＋1＝2a 1＋1，a 3＝7＝2×3＋1＝2a 2＋1，a 4＝15＝2×7＋1＝2a 3＋1，a 5＝31＝2×15＋1＝2a 4＋1，由归纳推理可猜测：a n ＋1＝2a n ＋1.答案：a n ＋1＝2a n ＋16．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中点的个数.解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3,13＝1＋3×4,21＝1＋4×5.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(n∈N*)．答案：n2－n＋1(n∈N*)归纳推理在数阵中的应用[例4] 如图是杨辉三角的前5行，请试写出第8行，并归纳、猜想一般规律．[思路点拨] 由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．[精解详析] 第8行：1 7 21 35 35 21 7 1.一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和；(3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．[一点通] 解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下：(1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系；(3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：第1行，第2行，第3行，…分别有1,2,3，…个数字，且每个数字前后差1，则第n－1行的最后一个数字加3即为第n(n≥3)行的从左至右的第3个数，前n －1行共有数字1＋2＋3＋…＋(n －1)＝，则第n (n ≥3)行的从左至右的n (n －1)2第3个数为＋3＝.n (n －1)2n 2－n ＋62答案：n 2－n ＋628.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 行．如a 42＝8，若a ij ＝2 009.则i 和j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.答案：1071．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质．(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．(3)猜想这个结论对该类事物都成立．2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．[对应学生用书P15]一、填空题1．(陕西高考)观察下列等式(1＋1)＝2×112 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 2224… … … … ………(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律， 第n 个等式可为________________．解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．答案：(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)2．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f 3′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2 014(x )＝________.解析：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝cos x ，…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f 2 014(x )＝f 2(x )＝－sin x .答案：－sin x3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos θ＝cos θ；cos 2θ＝2cos 2 θ－1；cos 3θ＝4cos 3 θ－3cos θ；cos 4θ＝8cos 4 θ－8cos 2 θ＋1；cos 5θ＝16cos 5 θ－20cos 3 θ＋5cos θ依照规律猜想cos 6θ＝32cos 6 θ＋m cos 4 θ＋n cos 2 θ－1.则m ＋n ＝________.解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1，即32＋m ＋n －1＝1.∴m ＋n ＝－30.答案：－304．已知a n ＝n ，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：(13)a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝________. 解析：每行对应的元素个数分别为1,3,5 …，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝a 112＝112.(13)答案：112(13)5．经计算发现下列不等式：＋<2，＋<2， ＋<221810 4.515.5103＋217－2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：10________.解析：2＋18＝20,4.5＋15.5＝20,3＋＋17－＝20，…，即各不等式左边两根号内的22数之和等于20，右侧均为2.10答案：当a ＋b ＝20，a ，b ∈(0，＋∞)时，有＋≤2a b 10二、解答题6．已知＝2， ＝3， ＝4，…，若 ＝6(a ，b 均为2＋23233＋38384＋4154156＋ab ab 实数)，请推测a ，b 的值．解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律．由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测中，a ＝6，b ＝62－1＝35，6＋ab 即a ＝6，b ＝35.7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n 边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n －1边形多n －2条对角线，由此凸n 边形对角12线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．128．观察：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1；②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．解：观察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°，因此猜测此推广为α＋β＋γ＝，π2且α、β、γ都不为k π＋，k ∈Z ，π2则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1.证明如下：由α＋β＋γ＝得α＋β＝－γ，π2π2∴tan(α＋β)＝tan ＝cot γ.(π2－γ)又∵tan(α＋β)＝，tan α＋tan β1－tan αtan β∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝cot γ(1－tan αtan β)．∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·cot γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 2.1 合情推理与演绎推理》
合情推理教学目标结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．教学重点，难点归纳推理和类比推理的特点及其创新性和不严谨性．教学过程我们生活中有很多谚语，特别是关于农耕的，例如“瑞雪兆丰年”“邋遢冬至干净年”，以及一些看云识天气的方法，这些都是我们的祖先根据多年的观察总结归纳出来的经验．这些经验就是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果农民观察天气，生物学家会去观察鸟类，心理学家会去观察行为和表情，比如说你们也会观察，总结出我上课写在黑板右侧的总是错的，或者我微微一笑，说明接下来就是一个具有挑战性的问题．当然一个对数学感兴趣的数学家就会去观察一些数字．一．问题情境数学教育家G．波利亚在其名著《数学与猜想》中对哥德巴赫猜想的推理过程进行了模拟演示：首先，波利亚说明：归纳法常常从观察开始．一个生物学家会观察鸟类的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个对数论有兴趣的数学家会观察整数1,2,3,4,5,…的性质．这一段叙述说明：归纳从观察开始，而观察要有归纳的动因，即要有感兴趣、需研究的问题，归纳推理研究问题、发现规律的手段．接着，波利亚说：假如你想要观察鸟的生活并有可能获得有益的结论的话，那么你就应当对鸟稍有熟悉，对鸟感兴趣，甚至你应当喜欢鸟．同样，假如你要考察数，你就应当对它们感兴趣，并且对它们颇为熟悉，你应当会区别偶数和奇数，你应当知道平方数1,4,9,14,25,…以及素数2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…．这里，波利亚想要传达的意思是：对你感兴趣的问题你还需要对相关的知识有一定的了解，也即应该从你对这一课题中已经熟悉的、掌握的内容开始你的探究．波利亚又说：即使只有这一点朴素的知识，你也可能观察到一些东西．比方说你可能会碰到这样几个关系：3＋7＝103＋17＝20213＋17＝30并注意到它们之间的类似之处．它会使你想到：3,7,13,和17都是奇素数，10,20210都是偶数…．这三个偶数都能够表示为两个奇素数之和，那么其他偶数又怎么样呢？上述过程说明了归纳推理的非常重要的特征：从特殊情形开始，并且所有的特殊情形都要具有类似之处，这个类似之处正是归纳发现的基础．波利亚接着说：那么其他偶数又怎么样呢？它们也有类似的性质吗？当然头一个等于两个奇素数之和偶数是6＝3＋3．看看超过6的数，我们发现8＝3＋510＝3＋7＝5＋512＝5＋714＝3＋11＝7＋716＝3＋13＝5＋11．这样下去总是对的吗？波利亚想告诉我们的是，对从几个特殊情形经过归纳推理得到的结果不能轻信，需要进一步验证．只有在较多的归纳检验证实的基础上得到的结论才能使我们更有信心．最后，波利亚说：无论如何，所看到的这些个别情况，至少可以启发我们提出一个一般性的命题：任何一个大于4的偶数都是两个奇素数的和．至此，实现了归纳推理的目标：一个一般性的结论（猜想）．当然，波利亚还进一步说明了证明的必要性．从波利亚的这个案例我们可以发现，对归纳推理的教学应该突出说明以下几点：1、要使学生认识到归纳推理不是盲目的、毫无目的的尝试，科学发现更不是纯属偶然的巧合，必须有一定的内因的驱动和信念的支撑．2、归纳推理的三个特点：从特殊开始的推理；由归纳推理得到的结论仅仅“似真”；归纳推理是一种创造性的推理．3、归纳推理的思维规程大致为：【活动一】1．观察下列等式，从中可以得出怎样的一般规律？2222=+++110002222=+++21100222231110=+++2222222242000,41111=+++=+++或 222252100=+++ 222262110=+++ 222272111=+++ 222282200=+++2222222293000,92210=+++=+++或22222222102211103100=+++=+++,或猜想：任何一个正整数都能表示为四个数的平方和． 2．在数列}{n a 中，()111,,2n na a a n N a *+==∈-，通过计算234,,a a a ，试猜想这个数列的通项公式． =2a a -21 =3a a a232-- =4a aa 3423--猜想=n a an n an n )1()2()1(-----)(*∈N n3．前n 个正整数的和为11()123(1)2S n n n n =++++=+， 前n 个正整数的平方和22222()123?S n n =++++=从表中发现21()21()3S n n S n +=，于是猜想2(1)(21)()6n n n S n ++=． 归纳推理要具备下述几个要素：1．多个特例综合分析；特例共性的发现：要存在某种相似性；共性的概括：猜想．归纳推理需要大量的原始数据，这是一个漫长的过程，在大数据时代，电脑已部分取代了这个过程，例如分析你的上网数据，分析你的喜好进行广告推送．但我们还有另外一种常用的推理方法．在高中数学学习中，指数函数与对数函数的类比，等差数列和等比数列的类比，平面几何和立体几何的类比，圆和椭圆和双曲线抛物线的类比，实数与虚数的类比等．（G 波利亚的类比）类比实数的加法与乘法，并列出它们类似的性质． 在实数的加法与乘法之间，可以建立如下的对应关系： 加（＋）乘（×） 加数、被加数 乘数、被乘数和积等等，它们具有下列类似的性质：试将平面上的圆与空间的球进行类比．圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合． 圆 球 弦 截面圆 直径 大圆 周长 表面积 圆面积球体积例如三角形的性质可以往几个方向类比：一般化为四边形，特殊化为正三角形，升维度为三棱锥，改平面为曲面等【活动二】1．选两个相关知识进行类比2．已知圆C 的方程是222x y r +=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=． 猜想新命题：1．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质．类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠．2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或者一致性．（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 【活动三】1．设x ,y 为实数，满足823≤+≤y x ，924≤-≤y x ，求yx 43-的最大值． 解：设y x y x n y x m 43)2()2(-=-++，则2324m n m n +=⎧⎨-=-⎩，即1-=m ，2=n ，将8(2)3x y -≤-+≤-，82(2)18x y ≤-≤两式相加 得15430≤-≤y x ．根据以上解答过程进行类比，尝试解决下题：设x ,y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，求34x y的最大值．（2021年江苏高考第13题） 设4322)()(yx y x xy n m=，由此可以求出1-=m ，2=n ，而2021江苏高考数学卷中的题目就体现出多种形式的类比思想。
苏教版高中数学选修2-2第2章2.1.2-2.1.3.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.1.2 演绎推理2．1.3 推理案例赏析课时目标 1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.2.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差别．1．演绎推理的定义由__________的命题推演出__________命题的推理方法，通常称为演绎推理．2．演绎推理的主要形式：________常用的格式为：M－P(M是P)(大前提)____________________S－P(S是P)(结论)在运用三段论时，常常采用省略大前提或小前提的表达方式．3．合情推理与演绎推理的关系合情推理是认识世界、发现问题的基础；演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．一、填空题1．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________．(填序号)2．下面是用“三段论”形式写出的演绎推理，其结论错误的原因是____________．因为对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数(大前提)，log x是对数函数(小前提)，y＝12log x在(0，＋∞)上是增函数(结论)．所以y＝123．已知函数f(x)＝x3＋m·2x＋n是奇函数，则m＝________，n＝________.4．下面四个结论在空间中成立的是________．(填序号)①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条也垂直；③垂直于同一直线的两直线平行；④一条直线如果与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交．5．下列推理过程属于演绎推理的为________．(填序号)①老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某药物先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；③由三角形的三条中线交于一点得到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连结)交于一点；④通项公式形如a n ＝c ·g n (c ·g ≠0)的数列{a n }为等比数列，则数列{－2n }为等比数列．6．将下面三段论形式补充完整：因为三角函数是周期函数，(大前提)而__________________，(小前提)所以y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．(结论)7．函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提：________________________________________________________________________. 小前提：________________________________________________________________________. 结论：________________________________________________________________________.8．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0)，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称；②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )为减函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－1<x <0或x >1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是__________．二、解答题9．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)一切不能被2整除的数都是奇数，75不能被2整除，所以75是奇数；(2)三角形的内角和为180°，Rt △ABC 的内角和为180°；(3)菱形的对角线互相平分．10.已知：α∥β，l ⊥α，l ∩α＝A .求证：l ⊥β.能力提升11．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y ). 若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则实数a 的范围是______________．12．已知a ，b ，c 是实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b .当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1.(1)求证：|c |≤1；(2)当－1≤x ≤1时，求证：－2≤g (x )≤2.1．用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．2．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定也是正确的．如果大前提是错误的，所得的结论也是错误的．答 案知识梳理1．一般性 特殊性2．三段论 S －M (S 是M ) (小前提)作业设计1．②2．大前提错误3．0 04．①②5．④解析 ①为类比推理，②为归纳推理，③为类比推理，④为演绎推理．6．y ＝cos x (x ∈R )是三角函数7．一次函数的图象是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线8．①③④解析 函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数．当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1x. 设μ＝x 2＋1x ＝x ＋1x. ∴μ在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．∴当x ＝1时，μ有最小值2.∴f (x )＝lg x 2＋1x(x >0)，在(0,1)上是减函数， 在(1，＋∞)上是增函数，且f (x )的最小值为lg 2.∴①③④正确，②⑤不正确．9．解 (1)一切不能被2整除的数都是奇数．(大前提)75不能被2整除．(小前提)75是奇数．(结论)(2)三角形的内角和为180°.(大前提)Rt △ABC 是三角形．(小前提)Rt △ABC 的内角和为180°.(结论)(3)平行四边形对角线互相平分．(大前提)菱形是平行四边形．(小前提)菱形的对角线互相平分．(结论)10．证明如图所示，在平面β内任取一条直线b ，平面γ是经过点A 与直线b 的平面， 设γ∩α＝a .(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，大前提α∥β，且α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，小前提所以a ∥b .结论(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，大前提a ⊂α，且l ⊥α，小前提所以l ⊥a .结论(3)如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，则它也与另一条平行线垂直，大前提 a ∥b ，且l ⊥a ，小前提所以l ⊥b .结论(4)如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直，大前提因为l ⊥b ，且直线b 是平面β内的任意一条直线，小前提所以l ⊥β.结论11．－12<a <32解析 (x －a ) (x ＋a )<1⇔(x －a )[1－(x ＋a )]<1⇔－x 2＋x ＋a 2－a －1<0⇔x 2－x －a 2＋a ＋1>0.因不等式对任意实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a －a 2＋1)<0,4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32. 12．证明 (1)因为x ＝0满足－1≤x ≤1的条件，所以|f (0)|≤1.而f (0)＝c ，所以|c |≤1.(2)当a >0时，g (x )在[－1,1]上是增函数，所以g (－1)≤g (x )≤g (1)．又g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ，g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ，所以－f (－1)＋c ≤g (x )≤f (1)－c ，又－1≤f (－1)≤1，－1≤f (1)≤1，－1≤c ≤1，所以－f (－1)＋c ≥－2，f (1)－c ≤2，所以－2≤g (x )≤2.当a <0时，可用类似的方法，证得－2≤g (x )≤2.当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c ，g (x )＝f (1)－c ，所以－2≤g (x )≤2.综上所述，－2≤g (x )≤2.。
【精选】高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.1 第一课时 归纳推理【有解析】
_2.1合情推理与演绎推理2．1.1合情推理第一课时归纳推理问题1：我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属，它们有何物理性质？提示：都能导电．问题2：由问题1你能得出什么结论？提示：一切金属都能导电．问题3：最近中国健康报报道了人的血压和年龄一组数据，先观察表中数据的特点，用适当的数填入表中.问题4：由问题3中的数据你还能得出什么结论？提示：随着人的年龄增长，人的血压在增高．问题5：数列{a n}的前五项为1,3,5,7,9试写出a n.提示：a n＝2n－1(n∈N*)．1．推理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程如图实验、观察猜测一般性结论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．1．归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳得到的结论超越了前提所包容的范围．2．归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．3．归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．4．观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．5．由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．[对应学生用书P13][例1]已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2，…)，求出a2，a3，a4，并推测a n.[思路点拨]数列的通项公式表示的是数列{a n}的第n项a n与序号n之间的对应关系，根据已知的递推公式，求出数列的前几项，观察出n 与a n 的关系即可解决．[精解详析] 当n ＝1时，a 1＝1； 当n ＝2时，a 2＝11＋1＝12； 当n ＝3时，a 3＝121＋12＝13； 当n ＝4时，a 4＝131＋13＝14. 观察可得，数列的前4项等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为 a n ＝1n.[一点通] 在求数列的通项与前n 项和时，经常用归纳推理得出结论．这就需要在进行归纳推理时要先转化为一个统一的形式，分出变化部分和不变部分，重点分析变化规律与n 的关系，往往会较简捷地获得结论．1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n .求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .解：∵S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ，∴a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，∴a 21＝1. 又∵a n >0，∴a 1＝1；a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，即1＋12a 2＝12a 2，∴a 2＝2－1； a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， 即2＋12a 3＝12a 3，∴a 3＝3－2；a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝12⎝⎛⎭⎫a 4＋1a 4， ∴3＋12a 4＝12a 4，∴a 4＝2－3；观察可得，a n ＝n －n －1. 2．已知数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＋a n －1a n ＋1－a n ＋1＝n .(1)求a 1，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解：(1)由a 2＝6，a 2＋a 1－1a 2－a 1＋1＝1，得a 1＝1.由a 3＋a 2－1a 3－a 2＋1＝2，得a 3＝15.由a 4＋a 3－1a 4－a 3＋1＝3，得a 4＝28.故a 1＝1，a 3＝15，a 4＝28. (2)由a 1＝1＝1×(2×1－1)； a 2＝6＝2×(2×2－1)； a 3＝15＝3×(2×3－1)； a 4＝28＝4×(2×4－1)， …猜想a n ＝n (2n －1)．[例2] [思路点拨] 给n 从小到大赋值→计算各式的值→比较大小→归纳猜想 [精解详析] 当n ＝1时，21>12； 当n ＝2时，22＝22； 当n ＝3时，23<32； 当n ＝4时，24＝42； 当n ＝5时，25>52； 当n ＝6时，26>62.归纳猜想，当n ＝3时，2n <n 2； 当n ∈N *，且n ≠3时，2n ≥n 2.[一点通] 对于与正整数n 有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n 的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量，凡事恰到好处．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________． 解析：第1个不等式：1＋1(1＋1)2<2×1＋11＋1；第2个不等式：1＋122＋1(2＋1)2<2×2＋12＋1；第3个不等式：1＋122＋132＋1(3＋1)2<2×3＋13＋1； …故猜想第n 个不等式为1＋122＋132＋142＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1. 答案：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1 4．对任意正整数n ，猜想n n ＋1与(n ＋1)n 的大小关系．解：n ＝1时，12<21；n ＝2时，23<32，n ＝3时；34>43； n ＝4时，45>54，n ＝5时；56>65. 据此猜想，当n <3时，n n ＋1<(n ＋1)n ，n ≥3时，n n ＋1>(n ＋1)n .[例3]由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形的数的特点，归纳第n 个三角形数．[思路点拨] 将1,3,6,10分别写成1×22，2×32，3×42，4×52，据此可完成本题的求解．[精解详析] 观察项与项数的关系特点如下：分析：项的各分母均为2，分子分别为相应项数与相应项数与1和的积． 归纳：第n 个三角形数应为n (n ＋1)2(n ∈N *)． [一点通] 此类图形推理问题涉及的图形构成的元素一般为点．题目类型为已知几个图形，图形中元素的数量呈现一定的变化，这种数量变化存在着简单的规律性，如点的数目的递增关系或递减关系，依据此规律求解问题，一般需转化为求数列的通项公式或前n 项和等．5．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n个图有a n个树枝，则a n＋1与a n(n≥1)之间的关系是________________．解析：由图可得，第一个图形有1根树枝，a1＝1，第2个图形有3根树枝，即a2＝3，同理可知：a3＝7, a4＝15，a5＝31.归纳可知：a2＝3＝2×1＋1＝2a1＋1，a3＝7＝2×3＋1＝2a2＋1，a4＝15＝2×7＋1＝2a3＋1，a5＝31＝2×15＋1＝2a4＋1，由归纳推理可猜测：a n＋1＝2a n＋1.答案：a n＋1＝2a n＋16．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图中点的个数.解析：图中点的个数依次为：1,3,7,13,21.又1＝1＋0×1；3＝1＋1×2；7＝1＋2×3,13＝1＋3×4,21＝1＋4×5.结合项数与项的关系猜想第n个图中点的个数为：1＋(n－1)n，即为n2－n＋1(n∈N*)．答案：n2－n＋1(n∈N*)[例4][思路点拨]由杨辉三角的前5行总结各行数字的规律，由此寻找第8行的数字，整体观察杨辉三角可得到多个有趣的规律．[精解详析] 第8行：1 7 21 35 35 21 7 1. 一般规律：(1)每行左、右的数字具有对称性；(2)两斜边的数字都是1，其余数字等于它肩上两数字之和； (3)奇数行中间一项最大，偶数行中间两项相等且最大．[一点通] 解决此类数阵问题时，通常利用归纳推理，其步骤如下： (1)明确各行、各列数的大小；(2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系； (3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论．7.将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则数阵中第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数是________．解析：第1行，第2行，第3行，…分别有1,2,3，…个数字，且每个数字前后差1，则第n －1行的最后一个数字加3即为第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数，前n －1行共有数字1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n (n －1)2，则第n (n ≥3)行的从左至右的第3个数为n (n －1)2＋3＝n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋628.把正整数按一定的规则排成了右边所示的三角形数表，设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 行．如a 42＝8，若a ij ＝2 009.则i 和j 的和为________．解析：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.答案：1071．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物个别情况，发现某些相同性质． (2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．(3)猜想这个结论对该类事物都成立．2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．[对应学生用书P15]一、填空题1．(陕西高考)观察下列等式(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可为________________．解析：观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)2．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f3′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)，则f2 014(x)＝________.解析：f1(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，f5(x)＝f4′(x)＝cos x，…再继续下去会重复出现，周期为4，∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.答案：－sin x3．根据三角恒等变换，可得到如下等式：cos θ＝cos θ；cos 2θ＝2cos2θ－1；cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ；cos 4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1；cos 5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cos θ依照规律猜想cos 6θ＝32cos6θ＋m cos4θ＋n cos2θ－1.则m ＋n ＝________.解析：根据三角恒等变换等式可知，各项系数与常数项的和是1， 即32＋m ＋n －1＝1. ∴m ＋n ＝－30. 答案：－304．已知a n ＝⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成如下的三角形：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9……记A (s ，t )表示第s 行的第t 个数，则A (11,12)＝________.解析：每行对应的元素个数分别为1,3,5 …，那么第10行最后一个数为a 100，则第11行的第12个数为a 112，即A (11,12)＝a 112＝⎝⎛⎭⎫13112.答案：⎝⎛⎭⎫131125．经计算发现下列不等式：2＋18<210，4.5＋15.5<210，3＋2＋17－2<210，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a ，b 都成立的条件不等式：________.解析：2＋18＝20,4.5＋15.5＝20,3＋2＋17－2＝20，…，即各不等式左边两根号内的数之和等于20，右侧均为210.答案：当a ＋b ＝20，a ，b ∈(0，＋∞)时，有a ＋b ≤210 二、解答题 6．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ，b 的值． 解：由前面三个等式，推测归纳被开方数的整数部分与分数部分的关系，发现规律． 由三个等式，知整数部分和分数部分的分子相同， 而分母是这个分子的平方减1， 由此推测6＋ab中，a ＝6，b ＝62－1＝35， 即a ＝6，b ＝35.7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线……由此猜出凸n 边形有几条对角线？解：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸n －1边形多n －2条对角线，由此凸n 边形对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)＝12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．8．观察：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1； ②tan 5°tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立且有一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广． 解：观察到10°＋20°＋60°＝90°，5°＋10°＋75°＝90°， 因此猜测此推广为α＋β＋γ＝π2，且α、β、γ都不为k π＋π2，k ∈Z ，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan αtan γ＝1. 证明如下：由α＋β＋γ＝π2得α＋β＝π2－γ，∴tan(α＋β)＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－γ＝cot γ. 又∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) ＝cot γ(1－tan αtan β)．∴tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β ＝tan γ(1－tan αtan β)·cot γ＋tan αtan β ＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.。
苏教版数学高二- 选修2-2学案 《推理案例赏析》
2.1.3 推理案例赏析 学案教学目标1、了解合情推理和演绎推理 的含义。
2、能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理。
3、了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。
教学重难点重点 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别难点 了解合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的。
教学过程 一、问题情境案例1、我们知道，前n 个正整数的和为S (n)=1+2+3+…….+n=12n(n+i)，那么，前n 个正整数的平方和、立方和呢？1S （n ）＝2222........321n ++++?案例2、棱台体积公式的推导。
二、学生活动思路1（归纳的方案）参照课本 第36页 －37页 三表 猜想1S （n ）＝(1)(21)6n n n ++思路2 （演绎的方案）尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和。
把正整数的平方和表示出来，参照课本棣37页 。
左右两边分别相加，等号两边的2S （n ）被消去了，所以无法从中求出 2S （n ）的值，尝试失败了。
1()()s n s n使用了那些推理？合情推理和演绎推理分别发挥什么作用？三、建构数学棱台体积公式的推导。
一、问题的计算与证明 退到平面, 进到空间； 二、空间性质的探索 退到平面 , 进到空间 .1、确定类比对象----- 梯形；2、对类比对象的进一步分析；梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形而得到的，棱台可以认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥而得到的。
3、通过类比推理,建立猜想.1(),(1)2S h a b =+梯形 猜想：1(),(2)2V h S S =+下棱台上 4、验证猜想. 当 S 上 = S 下 时, 当 S 上 = 0 时, 5、调整猜想.01(),(3)3V h S S S =++下棱台上四、数学运用例1、一条直线与△ABC 的边AB , AC 分别相交于E , F , 则AEFABCS AE AFS AB AC∆∆⋅⋅=。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第2章 2.1 2.1.1 第二课时 类比推理
第二课时 类比推理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论→→2．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．类比推理的特点主要体现在以下几个方面：(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．[对应学生用书P16]类比推理在数列中的应用[例1] 在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？[思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．[精解详析] 在等差数列{a n }中，a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1.又由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n ，若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n ，相应的，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．[一点通] 类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′，d ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．1．若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝(n ∈N *)也是等a 1＋a 2＋a 3＋…＋ann差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列．答案：nc 1·c 2·c 3·…·cn2．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝.现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，bn －amn －m 类比上述结论，求b m ＋n .解：等差数列通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列通项b n 与项数n 是指数型函数关系．利用类比可得b m ＋n ＝＝.(bn am )1n －m n －mbn am 类比推理在几何中的应用[例2] 如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．[思路点拨] 在△DEF 中，有三条边，三个角，与△DEF 相对应的是四面体S －ABC ，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．[精解详析] 在△DEF 中，由正弦定理，得＝＝.于是，类比三角形中的d sin D esin E fsin F 正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想＝＝成立．S 1sin α1S 2sin α2S 3sin α3[一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体3．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比＝，S △AEC S △BEC ACBC 将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________． 图(1) (2)解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.S △AECS △BEC VA －CDEVB －CDE 平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.ACBC S △ACDS △BCD 故有＝.VA －CDEVB －CDE S △ACDS △BDC答案：＝VA －CDEVB －CDE S △ACDS △BDC4.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cosβ＋S 3·cos γ.合情推理的应用[例3] 我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .[思路点拨] 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项和．[精解详析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等．(3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝(a ＋b )＋a 2k －22＝(a ＋b )＋a ＝a ＋b ；n －12n ＋12n －12当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝(a ＋b )．n2所以它的前n 项和S n ＝Error![一点通] (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力．(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．5．类比平面向量基本定理：“如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.”写出空间向量基本定理的是________．答案：如果e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a ，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 36．已知椭圆C ：＋＝1具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点x 2a 2y 2b 2P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出类似的性质，并加以证x 2a 2y 2b 2明．解：类似的性质：若M ，N 是双曲线－＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲x 2a 2y 2b 2线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中－＝1.m 2a 2n 2b 2设P (x ，y )，由K PM ＝，K PN ＝，y －n x －m y ＋nx ＋m 得K PM ·K PN ＝·＝，y －n x －m y ＋nx ＋m y 2－ n 2x 2－m 2将y 2＝x 2－b 2，n 2＝m 2－b 2代入得K PM ·K PN ＝.b 2a 2b 2a 2b 2a 21．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应学生用书P18]一、填空题1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案：正方体 正方体的体积为棱长的立方2．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，……所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)3．三角形的面积为S ＝(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的12半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．解析：△ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .13答案：(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)134．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC .”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有________．”答案：S ＝S △BOC ·S △BCD2△ABC 5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体AGGD ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则＝________.”AOOM 解析：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝×＝，322333AM ＝＝，12－(33)263R ＝，解得R ＝.(63－R )2＋(33)264于是，＝＝3.AOOM 6463－64答案：3二、解答题6．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质：(1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p .(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质．解：设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n .(1)通项a n ＝a m ·q n －m .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a ＝a m ·a n .2p (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列．7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征．(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆；(2)平面内不共线的3个点确定一个圆；(3)圆的周长与面积可求．解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球；(2)空间中不共面的4个点确定一个球；(3)球的表面积与体积可求．8．若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝，则两边均含有a ＋b2运算符号“*”和“＋”，写出对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式．解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a *b ＝，还要注意到试题的要求不仅类比推a ＋b2广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b) *(a＋b)．正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．。
高中数学苏教版选修2-2第2章《推理与证明》(2.1.3)ppt课件
时 察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，
栏
目 它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.
开 关
2.1.3
例 2 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，则 BC2＝BD·BA. 类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥 P—ABC 中， 可得到什么结论？
本 课 时 栏 目 开 关
的结论，新的结论的正确性可以利用演绎推理进行证明.
2.1.3
1.数学活动是一个 探索创造 的过程，是一个不断地提出猜想 、
本
验证猜想 的过程.
课
时 2.在数学活动中，合情推理具有提出猜想 、发现结论 、提供
栏 目
思路 的作用，演绎推理为合情推理提供了 前提 ，对猜想
开 关
作出 “判决”或证明 ，从而为调控探索活动提供 依据.
2.1.3
本 问题 2 归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么
课
作用？
时
栏 目
答案 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；
开 关
它可以为数学活动的结论提供目标和方向.
2.1.3
例 1 已知数列的前 4 项为32，1，170，197，试写出这个数列的 一个通项公式.
解 把已知 4 项改写为32，55，170，197，记此数列的第 n 项为
2.1.3
2.1.3 推理案例赏析
【学习要求】
1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和
本 课
演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.
时 栏
2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问
目 开
题、探究问题的能力.
关 【学法指导】
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2．1.3推理案例赏析2．1.4[对应学生用书P23][例1]记第n行的第2个数为a n(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为__________、__________、______________、______________、______________、______________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出a n＋1与a n的关系式．[思路点拨](1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果．(2)由数阵可直接写出答案．(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论．[精解详析](1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数．[答案]6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：a n＋1＝a n＋n.[一点通]对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解了．1．设[x]表示不超过x的最大整数，如[5]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)．我的发现：[1]＋[2]＋[3]＝3；[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10；[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21；通过归纳推理，写出一般性结论_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)．解析：第n行右边第一个数是[n2]，往后是[n2＋1]，[n2＋2]，…，最后一个是[n2＋2n]．等号右边是n(2n＋1)．答案：[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1)2．(1)如图(a)、(b)、(c)、(d)所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面围成了多少个区域？(2)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(3)现已知某个平面图形有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解：(1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为(2)观察：3＋2－3＝2，通过观察发现，它们的顶点数V，边数E，区域数F之间的关系为V＋F－E＝2.(3)由已知V＝999，F＝999，代入上述关系式得E＝1 996，故这个平面图形有1 996条边．[例2]通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； …(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1. 将以上各等式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 即12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n 3的值．[思路点拨] 类比上面的求法；可分别求出24－14，34－24,44－34，…(n ＋1)4－n 4，然后将各式相加求解．[精解详析] ∵24－14＝4×13＋6×12＋4×1＋1， 34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1， 44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1， …(n ＋1)4－n 4＝4×n 3＋6×n 2＋4×n ＋1. 将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n 3)＋6×(12＋22＋…＋n 2)＋4×(1＋2＋…＋n )＋n ∴13＋23＋…＋n 3＝14⎣⎡ (n ＋1)4－14－6×16n (n ＋1)·⎦⎤(2n ＋1)－4×n (n ＋1)2－n ＝14n 2(n ＋1)2.[一点通] (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法．(2)类比推理的步骤与方法第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别．第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚．3．二维空间中圆的一维侧度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：(2πr 4)′＝8πr 3. 答案：2πr 44．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面的面积，S 4表示截面的面积，那么你类比得到的结论是________．解析：由于平面图形中的边长应与空间几何体中的面积类比，因此所得到的结论为：S 24＝S 21＋S 22＋S 23.答案：S 24＝S 21＋S 22＋S 23[例3] 已知n 1n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1<(lg a n )2.[思路点拨] 对数之积不能直接运算，可由基本不等式转化为对数之和进行运算． [精解详析] ∵{a n }为等差数列， ∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . ∵d >0，∴a n －1a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a 2n －d 2<a 2n .∵a 1>1，d >0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d >1. ∴lg a n >0. ∴lg a n ＋1·lg a n －1≤⎝⎛⎭⎫lg a n ＋1＋lg a n －122＝⎣⎡⎦⎤12lg (a n －1a n ＋1)2<⎣⎡⎦⎤12lg a 2n 2＝(lg a n )2， 即lg a n ＋1·lg a n －1<(lg a n )2.[一点通] 三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，那么S 中所有元素都具有性质P .5．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，B 1C ⊥A 1B .(1)证明：平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1；(2)设D 是A 1C 1上的点，且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值． 要求：写出每一个三段论的大前提、小前提、结论．解：(1)因为菱形的对角线互相垂直(大前提)，侧面BCC 1B 1是菱形(小前提)， 所以B 1C ⊥BC 1(结论)．又线面垂直的判定定理(大前提)， B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B (小前提)， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)． 又面面垂直的判定定理(大前提)，B 1C ⊂平面AB 1C ，B 1C ⊥平面A 1BC (小前提)， 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1(结论)．(2)设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 根据线面平行的性质定理(大前提)，因为A 1B ∥平面B 1CD (小前提)，所以A 1B ∥DE (结论)．又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1∶1. 6．求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．证明：y ＝f (x )＝(2x ＋1)－22x＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为x ∈R .f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1 ＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1 ＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1).因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)．故f (x )为增函数．1．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常为我们提供证明的思路和方向．2．在数学推理活动中常常利用归纳和类比去发现结论，再想办法去证明或否定发现的结论．[对应学生用书P25]一、填空题1．设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k －2条侧棱可构成k －2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －2＋1＝f (k )＋k －1. 答案：k －12．如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有____条．这些直线中共有f (n )对异面直线，则f (4)＝______；f (n )＝______.(答案用数字或含n 的式子表示)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n2.f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.答案：n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)23．(陕西高考)已知f (x )＝ x1＋x，x ≥0，若 f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *, 则f 2 014(x )的表达式为________．解析：由f 1(x )＝x 1＋x ⇒f 2(x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x ＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ；又可得f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x 1＋3x ，故可猜想f 2 014(x )＝x1＋2 014x.答案：x1＋2 014x4．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5， 33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 解析：根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.答案：45 5．观察以下等式sin 230°＋cos 290°＋3sin 30°·cos 90°＝14；sin 225°＋cos 285°＋3sin 25°·cos 85°＝14；sin 210°＋cos 270°＋3sin 10°·cos 70°＝14.推测出反映一般规律的等式：____________________. 解析：∵90°－30°＝60°，85°－25°＝60°，70°－10°＝60°， ∴其一般规律为sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14.答案：sin 2α＋cos 2(60°＋α)＋3sin αcos(60°＋α)＝14二、解答题6．试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y ＝2x －1是一次函数，所以y ＝2x －1是单调函数； (4)等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q (p ，q 是常数)，数列1,2,3…，n 是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，(大前提)海王星是太阳系中的大行星，(小前提)海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(结论)(2)所有导体通电时发热，(大前提)铁是导体，(小前提)铁通电时发热．(结论)(3)一次函数都是单调函数，(大前提)函数y＝2x－1是一次函数，(小前提)y＝2x－1是单调函数．(结论)(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，(大前提)数列1,2,3，…，n是等差数列，(小前提)数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．(结论)7．平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与其对边平行，而与其余的边垂直”；“长方体的每一面与其相对面平行，而与其余的面垂直”，请用类比法写出更多相似的命题．(写出三种即可)解：(1)(平面)在平行四边形中，对角线互相平分；(立体)在平行六面体中，体对角线相交于同一点，且在这一点互相平分．(2)(平面)在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；(立体)在平行六面体中，各体对角线长的平方和等于各棱长的平方和．(3)(平面)圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；(立体)球体积等于球表面积与半径之积的1/3.(4)(平面)正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2倍；(立体)正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍．8．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣中最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮；现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)写出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由以上规律，可得出f (n ＋1)－f (n )＝4n ， 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ，所以f (n ＋1)＝f (n )＋4n ， 所以当n ≥2时， f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f [n －(n －1)]＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4[n －(n －1)] ＝2n 2－2n ＋1.f (1)＝1也适合上式，故f (u )＝2n 2－2n ＋1(n ∈N *)． (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。