2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷(理科)(三模) (含部分答案)
安徽马鞍山市高三第三次教学质量检测数学理试题含解析
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1．已知i 是虚数单位，则311i i -⎛⎫⎪+⎝⎭=（ ） A. 1 B. i C. i - D 1- . 【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()i i i i i i i i i =-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-33232322111111. 考点：复数的概念及运算.2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是（ ）A ．2y x=-B ．3y x =C ．2log y x =D ．tan y x =【答案】B 【解析】试题分析：C 选项不具备奇偶性；A,D 选项是奇函数但在定义域上不是增函数；所以应选B. 考点：函数及其性质.3.已知0a >,0b >且1a ≠，则log 0a b >是(1)(1)0a b -->的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C考点：函数性质与充要条件.4.右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为=720S ，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ）A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥【答案】C考点：程序框图.5.已知函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,1),则该函数的一条对称轴方程为（ ）A ．12x π=-B ．6x π=-C ．12x π=D ．6x π=【答案】D 【解析】试题分析：因为函数2sin(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图象经过点(0,1)，所以21sin =ϕ，又因为2πϕ<，所以6πϕ=，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx y ， 所以函数的对称轴方程为z k k x ∈+=,26ππ，所以应选D. 考点：三角函数及性质.6.右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为（ ）A.15B. 16C.17D.18【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可得空间几何体为：由题意可得：3,1,3===DE GF EG ，所以该空间几何体的体积为15213121=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯GC GF GB EG DE AE . 考点：三视图及几何体的体积计算. 7.已知直线21x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线:2cos M ρθ=交于,P Q 两点，则||PQ =（ ）A ．【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：直线和曲线的普通方程分别为01=--y x 和()1122=+-y x ，因为直线经过圆心()0,1，所以2=PQ . 考点：极坐标与参数方程.8.函数()1ln ||f x x x=+的图象大致为（▲）【答案】B 【解析】试题分析：当0>x 时，()x x x f ln 1+=，所以()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=111112'x x x x x f ， 所以当()1,0∈x 时，函数为减函数，当()+∞∈,1x 时，函数为增函数； 当0<x 时，()()x x x f -+=ln 1，所以()0111112'<⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-=x x x x x f 恒成立， 所以当()0,∞-∈x 时，函数为减函数；所以应选B 考点：函数性质与图象.9.某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序， 则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A ．72 B ．168 C ．144 D ．120【答案】D 【解析】试题分析：先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空.（1）小品1，相声，小品2.有232448A A ⋅= （2）小品1，小品2，相声.有21223336A C A ⋅⋅= （3）相声，小品1，小品2.有21223336A C A ⋅⋅= 共有483636120++=种，选D ． 考点：排列组合应用.10.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点(0,)A b ，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AF AB =，则此双曲线的离心率是（ ）A ． 【答案】A【解析】试题分析：由题意可得：右焦点()0,c F ，所以直线AF 的方程为0=-+bc cy bx ，双曲线的一条渐近线方程为x a b y =，所以交点B 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++c a bc c a ac ,，所以()=-=AB b c AF ,,⎪⎭⎫⎝⎛+-+c a ab c a ac ,，由AF AB = 可得()22122=⇒+=+⇒++=e ac ac c ac ca ac c考点：圆锥曲线及其性质.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． 11．设随机变量X 服从正态分布2(1,)N σ，且2(1)(3)P X a P X a ≤-=>-，则正数 a = .【答案】2 【解析】试题分析：由题意可得：3212312-==⇒=-+-a a a a 或，当3-=a 时不符合题意，所 以2=a . 考点：正态分布.12.已知二项式21()n x x+的展开式的系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是 ▲ .【答案】10 【解析】试题分析：由题意可得：5322=⇒=n n，所以()()rr rrr rrrr xC x x C x xC T 3105525525111---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，令31310=⇒=-r r ，所以展开式中含x 项的系数是10. 考点：二项式定理.13.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机取一点，则它取自阴影部分的概率为 ▲ .【答案】22e【解析】试题分析：由题意可得：两个阴影部分的面积相等，所以上方的阴影面积为()1|1101=-=-⨯⎰x x e e dx e e ，所以取自阴影部分的概率为=⨯e e 222e. 考点：定积分，几何概型及指、对数函数. 14.设,a b 为正实数，则2a ba b a b+++的最小值为 ▲ .【答案】2 【解析】试题分析：()()2222222222232323222222b ab a abb ab a b ab a b ab a b a b a b ab a b a b b a a ++-++=++++=++++=+++ 2223221132211*********-=+-=+∙-≥++-=++-=ab b a a b b a b ab a ab考点：基本不等式.15． 如图，四边形ABCD 是正方形，以AD 为直径作半圆DEA （其中E 是 AD 的中点），若动点P 从点A 出发，按如下路线运动：A B C D E A D →→→→→→，其中2AP AB AE λμ=+()λμ∈R 、，则下列判断中：①不存在点P 使1λμ+=； ②满足λμ+2=的点P 有两个； ③ λμ+的最大值为3；④ 若满足k λμ+=的点P 不少于两个，则(0,3)k ∈. 正确判断的序号是 ▲ .（请写出所有正确判断的序号）【答案】②③ 【解析】试题分析：建立以点A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，设正方形的边长为2，点()p p y x P ,所以()()()()()1,1,2,0,2,2,0,2,0,0-E D C B A ，所以()p p y x ,=,()()1,1,0,2-==，所以由2AP AB AE λμ=+可得()()μμλ2,22,-=ppy x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=μμλ222p p y x ，所以12=+=+p p y x μλ，当0,2==p p y x 时存在点p 满足1=+μλ所以①错误；②由⎪⎩⎪⎨⎧=-=μμλ222p p y x 可得p p y x 222+=+μλ，则22=+p p y x ，因为点p 在A B C D E A D →→→→→→移动所以点p 可能是()()1,0,0,2，所以②正确；由⎪⎩⎪⎨⎧=-=μμλ222pp y x 可得p p y x +=+2μλ，所以根据线性规划的内容可得当点p 位于()2,2C 时有最大值3，所以③正确；由⎪⎩⎪⎨⎧=-=μμλ222p p y x 可得p p y x k +=+=2μλ，则k x y p p +-=2，根据线性规划的内容可得当k 为负值时也有两个点p 所以④ 错误. 考点：向量运算、线性规划及直线与圆的位置关系.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知223cos cos 222C A a c b += （Ⅰ）求证：a b c 、、成等差数列；（Ⅱ）若,3B S π== 求b . 【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）4.【解析】试题分析：(1)在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;(2)在三角兴中，注意隐含条件π=++C B A （3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式.（4）在解决三角形的问题中，面积公式B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来. 试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得：223sin cos sin cos sin 222C A A C B += 即1cos 1cos 3sin sin sin 222C A AC B +++= ………………2分 ∴sin sin sin cos cos sin 3sin A C A C A C B +++=即sin sin sin()3sin A C A C B +++= ………………4分 ∵sin()sin A C B +=∴sin sin 2sin A C B += 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列. ………………6分（Ⅱ）∵1sin 2S ac B ===∴16=ac ……………8分又2222222cos (+)3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=- ………………10分 由（Ⅰ）得：2a c b += ∴224484b b b =-⇒= ………………12分 考点：三角函数与解三角形. 17． (本小题满分12分)为了普及环保知识，增强环保意识，某校从理科甲班抽取60人，从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.（Ⅰ）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.（Ⅱ）现已知,,A B C 三人获得优秀的概率分别为111,,233，设随机变量X 表示,,A B C 三人中获得优秀的人数，求X 的分布列及期望()E X .附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）67【解析】试题分析：(1)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4)求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：（Ⅰ）2×2列联表如下由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，22110(40302020)7.8 6.635(4020)(2030)(4020)(2030)K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握认为学生的环保知识成绩与文理分科有关…………………5分 （Ⅱ）设,,A B C 成绩优秀分别记为事件,,M N R ，则11(),()()23P M P N P R ===∴随机变量X 的取值为0，1，2，3……………………………………………6分1222(0)()2339P x P M NR ===⨯⨯=,1221121214(1)()2332332339P x P M NR MNR M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=1121111215(2)()23323323318P x P MNR MNR M NR ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=1111(3)()23318P x P MNR ===⨯⨯=……………………………………………10分所以随机变量X 的分布列为：E(X ) =0×29+1×49+2×518+3×118 = 76 …………………………………………………………12分考点：2×2列联表，概率，分布列及期望. 18．(本小题满分12分)如图，已知E ,F 分别是正方形ABCD 边BC ,CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，,PA NC 都垂直于平面ABCD ，且2PA AB NC ==，M 是PA 中点． （Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ； （Ⅱ）求二面角M EF N --的余弦值．【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）【解析】试题分析：(1)利用已知的面面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)把两平面所成角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：法1：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥BD 又∵BD AC ⊥，AC PA A ⊥=，∴BD ⊥平面PAC ， 又∵,E F 分别是BC 、BD 的中点，∴EF BD ∥， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊆平面NEF ，∴平面PAC ⊥平面NEF ；……………………………5分 （Ⅱ）连OM ，∵EF ⊥平面PAC ，OM ⊂平面PAC ， ∴EF ⊥OM ，在等腰三角形NEF 中，点O 为EF 的中点，∴NO EF ⊥， ∴MON ∠为所求二面角M EF N --的平面角， 设4AB =，∵点M 是PA 的中点，∴2AM NC ==， 所以在矩形M NCA 中，可求得MN AC ==，NO =MO =………………………………9分 在M ON ∆中，由余弦定理可求得：222cos 2OM ON MN MON OM ON +-∠==⋅⋅，∴二面角M EF N --的余弦值为分 法2：（Ⅰ）同法1；…………………………………5分 （Ⅱ）设4AB =,建立如图所示的直角坐标系，MA则(0,0,4)P ,(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，(0,0,2)M ，(4,4,2)N ∴(4,4,4)PC =- ，(2,2,0)EF =- ，则(0,2,2)EN =(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则02202200m EN y z x y m EF ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令1x =，得1y =，1z =- 即(1,1,1)m =-，同理可求平面MEF 一个法向量(1,1,3)n =，…………………………………………9分∴cos ,m n <>== ，∴二面角M EF N --的余弦值为 ……………………………………12分 考点：空间点、线、面的位置关系. 19．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和(1)2nn n a S +=，且11a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令ln n n b a =，是否存在(2,)k k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）不存在. 【解析】试题分析：（1）给出n S 与n a 的关系，求n a ，常用思路：一是利用()21≥=--n a S S n n n 转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 的关系，再求n a ；由n S 推n a 时，别漏掉1=n 这种情况，大部分学生好遗忘;(2)与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点. 试题解析：解法1：当2n ≥时，11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=-， ……………1分 即1(2)1n n a a n n n --≥-． …………………………………………3分 所以数列{}n a n 是首项为111a=的常数列． ……………………4分所以1(*)nn a a n n n=⇒=∈N ． 所以数列{}n a 的通项公式为(*)n a n n =∈N ．…………………………6分 解法2：当2n ≥时，11(1)22n n n n n n a na a S S --+=-=-， ………………………1分即1(2)1n n a n n a n --≥-． …………………………………………………3分 ∴1321122113211221n n n n n a a a a n n a a n a a a a n n ----=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-- ．………4分 因为11a =，符合n a 的表达式． ……………………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式为(*)n a n n =∈N ． …………………………6分 （Ⅱ）假设存在(2,)k k k N ≥∈，使得k b ，1k b +，2k b +，成等比数列，即221k k k b b b ++=．……………………………………………………………………7分因为ln ln (2)n n b a n n ==≥， 所以2222ln ln(2)ln(2)ln ln(2)22k k k k k k b b k k +⎡⎤+++⎡⎤=⋅+<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………10分 2221ln(k 1)2k b +⎡⎤+<=⎢⎥⎣⎦. ……………………………………11分 这与221k k k b b b ++=矛盾．故不存在(2,)k k k N ≥∈，使得+1+2k k k b b b 、、成等比数列．………………………12分 考点：数列综合应用. 20．(本小题满分13分)已知椭圆2221(3x y a a+=> 的左、右顶点分别为A ,B ，右焦点为(,0)F c ，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，过点B 作椭圆C 的切线l ，直线AP 与直线l 的交点为D ，且当||BD =时，||=||AF DF .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当点P 运动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）22143x y +=；（2）相切.【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出22,b a 的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式∆：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论. 试题解析：（Ⅰ）依题可知(,0)A a -、()D a ，…………1分由||||AF FD =，得，a c +=2分化简得2a c =，由223a c =+ 得 24a =……………4分 故所求椭圆C 的方程是22143x y +=.………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()()2,0,2,0A B -,在点B 处的切线方程为2x =. 以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为(2),(0)y k x k =+≠. 则点D 坐标为(2,4)k ，BD 中点E 的坐标为(2,2)k ． ………………………6分 由22(2),143y k x x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)1616120k x k x k +++-=． 设点P 的坐标为00(,)x y ，则由韦达定理：2021612234k x k --=+． ……………8分所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1,0)，（1）当12k =±时，点P 的坐标为3(1,)2±，直线PF 的方程为1x =，点D 的坐标为(2,2)±.此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切 ………………9分（2）当12k ≠±时，直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--.所以直线PF 的方程为24(1)14k y x k =--,即214104k x y k---=． …………11分 故点E 到直线PF的距离221414|221||2|k k k d k -+-⨯-=== 综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……………………13分 考点：圆锥曲线与圆综合应用. 21．(本小题满分14分) 已知函数()ln af x x ax x=-+，其中a 为常数． （Ⅰ）若()f x 的图像在1x =处的切线经过点（3,4），求a 的值； （Ⅱ）若01a <<，求证：2()02a f >；（Ⅲ）当函数()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．【答案】（1）21；（2）略；（3）1(0,)2.【解析】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：()a f 211'-=，再结合斜率公式()21314=--f 进而得出a 的值；(2)表示出223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，然后构造函数32()2ln ln 22x g x x x =+--通过讨论函数的单调性证明2()02a f >；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与x 轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决. 试题解析：由题知0x > （Ⅰ） 211()(1)f x a x x'=-+ (1)12f a '∴=- ……………………………2分 4(1)(1)231f f -'==-又 11222a a ∴-=∴=- …………………………4分（Ⅱ）223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，令32()2ln ln 22x g x x x =+--，则242222334(1)()22x x x g x x x x -+-'=--=……………………………………7分 ∴(0,1x ∈）时，()0,()g x g x '<单调递减， 故(0,1x ∈）时，1()(1)2ln 202g x g >=-->，∴当01a <<时，2()02a f > …………………………………………9分（Ⅲ）22211()(1)ax x af x a x x x -+-'=-+=①00()0,()a f x f x '≤+∞>当时，在（，）上，递增，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………10分 ②10()0,()2a f x f x '≥+∞≤当时，在（，）上，递减，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；…………………………………………11分③10()0,2a f x '<<=当时，令得121,1x x =<=> 此时，()f x 在1(0,)x 上递减，12(,)x x 上递增，2(,)x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点.因为()f x 在1(,1)x 递增，所以1()(1)0f x f <=，又因为2()02a f >，所以201(,)2a x x ∃∈，使得0()0f x =，又001()()0,(1)0f f x f x =-==，所以恰有三个不同零点：0,011,x x ，所以函数()f x 存在三个不同的零点时，a的取值范围是1(0,)2.………………………………14分考点：函数与导数综合应用.。
2020年安徽省马鞍山市高中毕业班高三数学第三次教学质量检测(理)
2020年安徽省马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）试题考生注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致． 3． 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4． 答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．在试题卷上作答无效． 5． 考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(.球的表面积公式：24R S π=，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：334R V π=球，其中R 表示球的半径.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上将正确选项的代号涂黑.1.设i 为虚数单位，则复数ii -12009在复平面内对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合M={}02>∈xR x ，N={}0log 2>∈x R x ,则M I C R N 等于A. {}1≤∈x R xB. {}1>∈x R x C. {}10≤<∈x R xD. {}10≤≤∈x R x俯视图正视图侧视图2222223．由函数)(sin )(R x x x f ∈=的图象经过平移得到函数)(/x f y =的图象，下列说法正确的是A. 向左平移π个单位长度B.向左平移 2π个单位长度 C. 向右平移π个单位长度 D.向右平移 2π个单位长度4. 下列说法正确的是A.做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率为nm ； B.样本容量很大时，频率分布直方图就是总体密度曲线； C.独立性检验是研究解释变量和预报变量的方法； D.从散点图看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，就称两个变量之间具有线性相关关系.5.在面积为S 的三角形ABC 内随机取一点M ，则三角形MBC 的面积S S MBC 21≤∆的概率为 A. 31 B.21 C.32 D.436. 一个多面体的直观图和三视图如下，则多面体A －CDEF 外接球的表面积是A.π3B. π34C.π12D. π487． 双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M ，若MF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率为A.12+ B. 3C.2D.212+ 8.若n xx )3(3+的展开式中存在常数项，则n 的值可以是A.8B.9C. 10D. 12第6题图E F DCBA直观图9. 右图是一个算法的程序框图，当输入x=3时，输出y 的结果是0.5，则在计算框 中“？”处的关系式可以是A.2x y =B. xy -=2C. xy 2= D. 21x y =10. 已知α、β为两个互相垂直的平面，a 、b 为一对异面直线 给出下面条件：①a ∥α，b ⊂β； ②a ⊥α，b//β； ③a ⊥α，b ⊥β.其中是a ⊥b 的充分条件的有A.②B.③C.②③D.①②③11. 1sin )(+=x x x f ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2,21ππx x 时，有)()(21x f x f >，则21,x x 应满足的关系一定是A.021>>x x B. 210x x << C.21x x > D. 21x x >12.过抛物线2x y =上一动点P(t,t 2) (0<t<1)作此抛物线的切线l ，抛物线2x y =与直线x=0、x=1及切线l 围成的图形的面积为S,则S 的最小值为A.121 B. 101 C. 61 D. 41第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2交点的极坐标为 ;PABCDE F14. 已知点P y x ,(）满足条件）k k y x xy x 为常数(020⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥，若x+3y 的最大值为8，则=k ;15. 如图，四边形ABCD 中，=AB a , =AD b ,对角线AC 与BD 交于点O ， 若点O 为BD 的中点，OC AO 2=，则=BC ;16.过点)1,2(的直线l 将圆4)2(22=-+y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k 等于 ;三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数)4(sin )4tan(12cos 2cos 4)(24x x x x x f -+--=ππ（Ⅰ）求)1217(π-f 的值; （Ⅱ）当]2,0[π∈x 时，求x x f x g 2sin )(21)(+=的最大值和最小值.18.（本小题满分12分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求二面角C-PD-A 的余弦值.第15题图19. （本小题满分12分）某通道有三道门，在前两道门前的匣子里各有3把钥匙（第三道门前没有钥匙），其中一把能打开任何一道门，一把只能打开本道门，还有一把不能打开任何一道门.现从第一道门开始，随机地从门前的匣子里取一把钥匙开门，若不能进入，就终止；若能进入，再从第二道门前的匣子里随机地取一把钥匙，并用已得到的两把钥匙开门,若不能进入就终止；若能进入，继续用这两把钥匙开第三道门，记随机变量ξ为打开的门数. （Ⅰ）求0=ξ时的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望.20.（本小题满分12分）正项数列{}n a 满足11=a ，S n 为其前n 项和，且2)1(4+=n n a S （n ≥1）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）等比数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为T n ，且b 1b 2b 3=8,又33221,,b a b a b ++成等差数列，求T n .21．(本小题满分12分)如图，已知圆C ：8)1(22=++y x ,定点A(1,0),M 为圆 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足→AM =→AP 2,→AM ·→NP =0，点N 的轨迹为曲线E.（Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）若过定点A(1,0)的直线l 交曲线E 于不同的两点G 、H ， 且满足∠GOH 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围.22. (本小题满分14分)设函数),,)()()(()(R c b a c x b x a x x f ∈---=（Ⅰ）若c b a ,,互不相等，且)()(//b f a f =，求证c b a ,,成等差数列;（Ⅱ）若b a ≠，过两点)0,(),0,(b a 的中点作与x 轴垂直的直线，此直线与)(x f y =的图象交于点P ，求证：函数)(x f y =在点P 处的切线过点（c,0）;（Ⅲ）若c=0, b a =,]1,0[+∈a x 时，22)(a x f <恒成立，求a 的取值范围.第21题图2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学（理科）参考答案二填空题 13.)6,32(π；14．－6 ； 15．43-； 16.2.三．解答题17．解：（Ⅰ）)4cos()4sin(2cos )4(cos )4tan(12cos )2cos 1()(222x x xx x x x x f ++=++--+=ππππx xxx x 2cos 22cos 2cos 2)22sin(2cos 222==+=π………………………………………………………………4分36cos 265cos 2617cos 2)617cos(2)1217(-=-===-=-πππππf …………………………6分 （Ⅱ）)42sin(22sin 2cos )(π+=+=x x x x g …………………………………………………8分⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈45,4422,0ππππx x∴28max ==）（时x g x π…………………………………………………………………………10分12min -==）（时x g x π………………………………………………………………………………12分18．解：（Ⅰ）在Rt△ABC 中，AB ＝1AC ＝2．在Rt△ACD 中，AC ＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝AD ＝4．∴ABCD S ＝1122AB BC AC CD⋅+⋅111222=⨯⨯⨯… 2分则V＝123 ……………………………………………………………… 4分（Ⅱ）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ． …………………………5分∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ．∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． …………………………7分∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…………………………………………………………8分（Ⅲ）以A 为坐标原点，AD,AP 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则平面PAD 的法向量为：n =（1，0，0） 由（Ⅱ）知AF ⊥PC,AF ⊥CD ∴AF ⊥平面PCD ∴为平面PCD 的法向量. ∵P(0,0,2),C )0,1,3(∴=)1,21,23(461414323),cos(=++==,即二面角C-PD-A 的余弦值为46…………12分19．解：设第一个匣子里的三把钥匙为A ，B ，C ，第二个匣子里的三把钥匙为a,b,c(设A,a 能打开所有门，B 只能打开第一道门，b 只能打开第二道门，C,c 不能打开任何一道门)（Ⅰ）31)0(1311===C C P ξ…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）91)1(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿c) ……………………………6分91)2(13111311=⋅==C C C C P ξ(第一次只能拿B,第二次只能拿b) ……………………………8分94)3(131********31311=⋅+⋅==C C C C C C C C P ξ(第一次拿A,第二次随便拿，或第一次拿B ，第二次拿a) …10分35943912911310=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………12分20.（Ⅰ）依题⎪⎩⎪⎨⎧+=+=≥--21121414,2）（）（时n n n n a S a S n21221211114）（）（）（）（+=-⇒+-+=⇒--n n n n n a a a a a或111+=--n n a a 111--=--n n a a即或21=--n n a a 01=+-n n a a （舍去）,0>n a …………………………………………………3分 故{}n a 为等差数列，a 1=1，d=212-=n a n ………………………………………………………………………………………………5分（Ⅱ）设公比为q ，则由b 1b 2b 3=8，b n >022=⇒b …………………………………………………6分 又q q25,5,2+成等差数列 02522=+-q q ………………………………………………………………………………………8分⎩⎨⎧==121b q 或⎪⎩⎪⎨⎧==4211b q …………………………………………………………………………………10分12-=n n T 或)211(8nn T -=……………………………………………………………………12分21解：（Ⅰ）依题PN 为AM 的中垂线NM NA =22||==+⇒CM NC NA …………………………………………………………2分又C （-1，0），A （1，0） 所以N 的轨迹E 为椭圆，C 、A 为其焦点…………………………………………………………4分a=2，c=1，所以1222=+y x 为所求...............................................................5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为：y=k （x-1）代入椭圆方程：x 2+2y 2=2得 （1+2k 2）x 2-4k 2x+2k 2-2=0 (1)设G （x 1，y 1）、H （x 2，y 2），则x 1，x 2是（1）的两个根.2221222121)1(2,214k k x x k k x x +-=+=+ (7)分依题0>⋅OB OA 02121>+y y x x0)()1(2212212>++-+k x x k x x k021421)1(2)1(2222222>++-+-+k k k k k k k (9)分 解得：22-<>k k 或 (12)分22.解：（Ⅰ）'()()()()()()()f x x b x c x a x c x b x a =--+--+--若'()'()f a f c =，则()()()()a b a c c a c b --=--a c ≠Q a b b c ∴-=- 即2a c b +=∴,,a b c 成等差数列 (3)分（Ⅱ）依题意2()(2),28()a b a b c a b P +---2222222222()4'()a b a b a b c b a a b b a a b c a b k f +-+----+-⨯+⨯+⨯-=-== ∴切线22()()42()(2):8a b a b x a b c a b l y -+=------ 令0y =得222c a b a b x --+=-，即x c = ∴切线过点(,0)c .……………………………………………………………………………8分（Ⅲ）0,c a b ==，则2()()f x x x a =-∴2'()()2()()(3)f x x a x x a x a x a =-+-=--①0a >时： 3(0,)a x ∈时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数；3(,)a x a ∈时，'()0f x <，此时2()()f x x x a =-为减函数；(,1)x a a ∈+时，'()0f x >，此时2()()f x x x a =-为增函数.而34,(1)1327()aa f a a f +=+=，依题意有322422721a a a a ⎧>⎪⎨⎪>+⎩ 2721a ∴<<………………10分 ②0a <时：()x f 在(0,||1)a +时，2max 1(1)(12)()|()x a a a f f -=--= ∴22(1)(12)2a a a >-- 即3265104a a a -+->……（☆）记32651()4a a U a a -+-=，则22112512()202'()12a a U a a -+=-+>= ∴()U a 为R 上的增函数，而(0)1U =-，∴0a <时，326510()4a a U a a -+-<=恒成立，（☆）无解. 综上，2721a <<为所求.…………………………………………………………………………14分。
安徽省马鞍山市高三数学第三次教学质量检测试题 理(马鞍山三模)
2014年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测数学理科试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代号用2B 铅笔涂黑．1．复数z ＝2－i2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( ▲ )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案: D命题意图: 考查复数的运算及复数几何意义，容易题. 2．下列命题错误．．的是 ( ▲ ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”B ．若命题:p x R ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：210x R x x ∀∈++≠，C ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件D ．若“p q ∧”为假命题，则p q ，均为假命题答案:D命题意图: 考查命题、简易逻辑基础知识，容易题.3.如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且它的体积为12，则该几何体的俯视图可以是( ▲ )．答案: C命题意图: 考查三视图及体积的运算，考查空间想象能力.基础题.4.设随机变量ξ服从正态分布)9,2(N ，若)(c P >ξ=)2(-<c P ξ，则c 的值是（ ▲ ）A. 4B. 3C. 2D. 1答案: B命题意图: 考查正态分布基础知识，基础题.5. 公差不为零的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6成等比数列，则其公比为( ▲ )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案: C命题意图: 考查等差、等比数列基础知识及运算，中等题. 6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ▲ ） A ．－3 B ．－12C ． 13D ． 2答案: B命题意图: 考查程序框图，循环结构，周期性等知识，中等题.7.函数sin(),0,02y x πωϕωϕ=+><<（） 在一个周期内的图象如图所示， A ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 在y 轴上，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CDuuu r在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( ▲ )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6答案: A命题意图: 考查三角函数图像、周期性、对称性，中等题.8. 若非零向量,a b r r满足a b b +=r r r ，则( ▲ )A. 22a a b >+r r rB. 22a a b <+r r rC. 22b a b >+r r rD. 22b a b <+r r r答案: C命题意图: 考查平面向量线性运算，三角形法则，稍难题.9. 下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是（ ▲ ）A ．2ln(1)y x x =++B ．2y x = C ．tan y x =D ．x y e =答案: A命题意图: 考查函数的奇偶性、单调性，稍难题.10. 函数()sin f x x =在区间()0,10π内可找到n 个不同数12,,,n x x x L L ，使得xyDEB OC Ann x x f x x f x x f )()()(2211===ΛΛ，则n 的最大值等于（ ▲ ） .A 9 .B 10 .C 11 .D 12答案:B命题意图: 考查三角函数图像、周期性、数形结合、直线斜率等知识，稍难题.第II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题．11．若实数,x y 满足 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,23x y z +=,则z 的取值范围是 ▲ ；答案：9][1，命题意图:考查线性规划，指数运算，基础题.12. 已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 ▲ ； 答案： 13命题意图:考查圆锥曲线定义、焦点三角形相关计算，基础题. 13. 已知直线11:(1+x tC t y at=-+⎧⎨=-⎩为参数）与圆2:=2C ρ交于A 、B 两点，当|AB|最小时 a = ▲ ；答案：a =-1命题意图:考查极坐标与参数方程，直线和圆相关计算，中档题.14. 若不等式131x x m ++-≥-|恒成立，则m 的取值范围是 ▲ ． 答案：[－3,5]命题意图:考查绝对值不等式，中档题. 15. 在下列命题中①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)aaaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为 ▲ （写出所有正确命题的序号）.答案：②④⑤命题意图:考查函数的单调性，周期性，奇偶性，定积分，导数与极值.难题.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos (2)cos a C b c A =-. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）已知a =D 点为边BC 的中点，试求AD 的取值范围. 命题意图:考查三角函数的正弦定理、余弦定理，值域等，中等题题. 解：（Ⅰ）由正弦定理： A C A B C A cos sin cos sin 2cos sin -=A B C A cos sin 2)sin(=+∴ ………………………………2分A B B cos sin 2sin =∴,又sin 0B ≠21cos =∴A 30ππ=∴<<A A ………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，2,2sin sin sin b ab B B A==∴=由余弦定理得，222232cos 4sin cos 224a a AD b b C B B C ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭g ………………8分223234sin cos()sin cos 434B B B B B B π=+--=+1552cos 2sin(2)22464B B B π=-+=-+……………………………………10分 270,2,3666B B ππππ⎛⎫⎛⎫∈∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q1sin(2),162B π⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦322AD ⎛⎤∴∈ ⎥ ⎝⎦……………………………………………………………………12分另解：1()2AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rQ ，()222124AD AB ABAC AC ∴=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r下解答同上.17.（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++命题意图:考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题. 解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k=42×(16×12－8×6)224×18×20×22=25255≈4.582>3.841. ……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则P(A∩B)=33318CC，P(A)=217318CC.所以P(B|A)=P(A∩B)P(A)=33217CC=217×16=1136. ……7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P(C)=22217CC=217×16=1136.②由题知X的可能值为0，1，2.依题意P(X=0)=316318CC=3551；P(X=1)=21162318C CC=517；P(X=2)=12162318C CC=151.从而X的分布列为……10分于是E (X )=0×3551＋1×517＋2×151=1751=13. ……12分18. （本小题13分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ，︒=∠60DAB ，AB=AD=2CD ，侧面⊥PAD 底面ABCD ，且PAD ∆为等腰直角三角形，︒=∠90APD ，M 为AP 的中点. （I ）求证：;PB AD ⊥（II ）求证：DM//平面PCB ；（III ）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.命题意图:考查立体几何平行、垂直的证明，空间向量法求二面角.中等题. 解法一：（I ）取AD 的中点G ，连结PG GB BD 、、． PA PD =Q ， PG AD ∴⊥…………2分 AB AD =Q ，且60DAB ∠=︒， ABD ∴∆是正三角形，AD BG ⊥,又PG BG G =I , AD ∴⊥平面PGB ．AD PB ∴⊥． …………………4分 （II ）取PB 的中点F ，连结MF CF ,．M F Q 、分别为PA PB 、的中点，//MF AB ∴，且12MF AB =．∵四边形ABCD 是直角梯形，//AB CD 且2AB CD =，//MF CD ∴且MF CD =． …………………………6分 ∴四边形CDMF 是平行四边形． //DM CF ∴．CF ⊂Q 平面PCB ，DM ⊄平面PCB//DM ∴平面PCB ． …………………………8分 （III ）延长AD 与BC 交点为K ，连结PK ． 过G 作GH PK ⊥于一定H ， 连结BH ，则BH PK ⊥．BHG ∴∠为平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的平面角． …………10分设CD a =,则2,2AD a KD a ==,2224222cos13510PK a a a a a ∴=+-⋅⋅⋅=o ．又因为,3PK GH PG GK GK a ⋅=⋅=,310103,10aa GH a a GH ∴⋅=⋅∴=A BC PD M330tan 310BG a GHB GH a ∴∠===39cos GHB ∴∠=∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为39． …………13分解法二：（I ）同解法一（II ） ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，又PG AD ⊥Q ， PG ∴⊥底面ABCD ． PG BG ∴⊥．∴直线GA GB GP 、、两两互相垂直，故以G 为原点,直线GA GB GP 、、所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -． 设PG a =，则可求得(0,0,),(,0,0),(0,3,0),(,0,0)P a A a B a D a -，)0,23,23(a a C -．33(,,0)22BC a a ∴=--u u u r ．设000(,,)n x y z =r是平面PBC 的法向量，则0n BC ⋅=r u u u r 且0n PB ⋅=r u u u r．0000330,230.ax ay ay az ⎧--=⎪∴⎨⎪-=⎩ 00003,3.x y z y ⎧=-⎪⇒⎨⎪=⎩ 取03y =，得(1,3,3)n =-r． …………6分M Q 是AP 的中点， (,0,)22a aM ∴．3(,0,)(,0,0)(,0,)2222a a a DM a a ∴=--=u u u u r ．3(,0,)(1,3,3)022aDM n a ⋅=⋅-=u u u u r r ．DM n ∴⊥u u u u r r ．DM ⊄Q 平面PCB ，//DM ∴平面PCB ． ………………………8分（III ）又Q 平面PAD的法向量1,0)n GB ==u r u u u r，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ,则11cos n n n n θ⋅===⋅r u r r u r 分∴平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为13．…………13分 19.（本小题12分）已知数列{}n a 中， *113,,2n n a S n n N a +=-+∈=.（Ⅰ）求证：当2*n n N ≥∈，时，{}1n a -是等比数列； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设(*)2n n n b n N S n =∈-+的前n 项和为n T ，求证：14(*)33n T n N ≤<∈.命题意图:考查数列求通项、错位相减法求和.中等题 解：（Ⅰ）113(1)3(2)n n n n a S n a S n n +-=-+⎧⎨=--+≥⎩11n n n a a a +⇒-=- 112(1)n n a a +⇒-=-{}1n a ∴-从第二项起为公比等于2的等比数列…………………………3分（Ⅱ）211134,2a S a =-+== ()21121a a -≠-2*2(1)321(2,)n n n a n n N -=⎧∴=⎨⨯+≥∈⎩，，………………………………………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知113322n n n S a n n -+=+-=⨯+-132n n nb -⇒=⨯……………………………………………………………………8分011121123222111223222n n n n n T n T -⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L L L L12111111123222211()112221323212n n n n n n n T n n -⎛⎫⇒=++++- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪+⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭L L 424332n nn T +∴=-g ………………………………………………………………10分 1103n n b T T >∴≥=Q1433n T ∴≤<……………………………………………………………………12分20．（本小题13分）设M 为抛物线24(0)C x py p =>：准线上的任意一点，过点M 作曲线C 的两条切线，设切点为A 、B .（Ⅰ）直线AB 是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由;（Ⅱ）当直线,,MA MF MB 的斜率均存在时，求证：直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列.命题意图:考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等.难题. 解：（Ⅰ）设(,)M m p -，两切点为11(,)A x y ，22(,)B x y由24x py =得214y x p =，求导得12y x p'=． ∴两条切线方程为1111()2y y x x x p-=- ① 2221()2y y x x x p -=-② ………2分 对于方程①，代入点(,)M m p -得，1111()2p y x m x p --=-，又21114y x p=, ∴211111()42p x x m x p p--=-整理得：2211240x mx p --=， 同理对方程②有2222240x mx p --=，即12,x x 为方程22240x mx p --=的两根．∴212122,4x x m x x p +==- ③ ………………………………………4分设直线AB 的斜率为k ，2221211221211()4()4y y x x k x x x x p x x p--===+--，所以直线AB 的方程为211211()()44x y x x x x p p-=+-，展开得： 12121()44x x y x x x p p=+-，代入③得： 2my x p p=+，∴直线恒过定点(0,)p ． ……………… ………………………6分 另解：同上得两条切线方程为1111()2y y x x x p-=- ① 2221()2y y x x x p -=-② 得111112222211()2211()22p y x m x p mx y p pp y x m x p mx y p p⎧⎧--=--=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪--=--=-⎪⎪⎩⎩∴AB 方程为12p mx y p-=-即1+2y mx p p = ∴直线恒过定点(0,)p ． …………………6分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）的结论，设(,)M m p -，11(,)A x y ，22(,)B x y ，且有212122,4x x m x x p +==-，∴1212,MA MB y p y pk k x m x m++==-- ， ∴11MA MB k k +=1212122222221212124()4()4444x m x m x m x m p x m p x m x x y p y p x p x p p p p p------=+=+=+++++++=1212212221122121212124()4()4()4()44()4p x m p x m p x m x p x m x pm pm mx x x x x x x x x x x x p p-----+====-----，又∵12MFm mk p p p==---，所以112MA MB MFk k k +=. 即直线,,MA MF MB 的斜率倒数成等差数列．…………………13分另解：设切线方程为()y p k x m +=- 由22()44()04y p k x m x kpx p km p x py+=-⎧⇒-++=⎨=⎩- 11 - 因为直线与抛物线相切所以2=444()0kp p km p ∆--⨯+=⇒（）2-0pk mk p -=………………①知切线MA ，MB 的斜率是方程①的两个根 所以111MA MBMA MB MA MB m k k m p k k k k p ++===-- 又12PF m m k p p p==--- 112MA MB MFk k k +=即直线,,MA MF MB 的斜率倒数成等差数列．…………………13分 21．（本小题13分） 已知函数()ln a f x x bx x=-- （a 、b 为常数），在1x =时取得极值. （I ）求实数a b -的值；（II ）当2-=a 时，求函数()f x 的最小值；（III ）当*n N ∈时，试比较(1)()1n n n n ++与21()n e+的大小并证明. 命题意图:考查导数极值、最值，辅助函数证明不等式等，难题.解：（I ）2221'()a bx x a f x b x x x-++=-+= '(1)10f b a =-++=∴ 1a b -=- …………………4分（II ）12-=-=b a ， 2()ln f x x x x=++ 2222122(2)(1)()1(0)x x x x f x x x x x x +-+-'=-+==> ()f x ∴在(]0,1上单调递减，在[)1,+∞上单调递增()f x ∴在()0+∞，内有唯一极小值，也就是()f x 在()0+∞，内的最小值 min ()=(1)=3f x f ∴ …………………8分 （III ）由（II ）知min ()=(1)=3f x f ∴且()f x 在(]0,1上单调递减 011n n <<+Q 2(1)()ln (1)=3111n n n n f f n n n n +∴=++>+++ ∴21ln 011n n n n +->++ ∴2ln 01(1)n n n n n ++>++ ∴(1)ln (2)1n n n n n +>-++ ∴(1)21()()1n n n n n e ++>+ ………………（13分）。
安徽省马鞍山市2020届高中毕业班第三次教学质量监测理科数学试题参考答案
2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 247-14．4- 15．16 16．23（第1空2分，第2空3分） 三、解答题：17．【解析】（1）由2n n S a b =⋅+得12212,2,a a b a S S a =+=-=3324a S S a =-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =，即2(2)(2)4a a b a =+，化简得0a b +=①（0a =舍）；由23T =得128aa =，即(2)28a b a +=②，由①②解得2,2a b ==-（2a =-舍）． （6分）（2）由（1）得2n n a =，2log n a n =，于是(1)122n n n n T +=++⋯+=，1112()(1)21n T n n n n ==-++， 12n 11112(1)21T T T n ++⋅⋅⋅+=-<+，所以整数M 的最小值为2． （12分）18．【解析】（1）设动圆圆心(,)E x y ，由题意可得：24y x =，所以，动圆圆心的轨迹E 的方程：24=y x （5分） （2）由题意，直线BC 经过点1,0（）F ，设1122,),(,)（Bx y C x y ，直线BC 的方程：1,=+x ty 与抛物线方程联立：214=+⎧⎨=⎩x ty y x得到：2440--=y ty ，显然0,∆> 由根与系数关系：12124,4+==-y y t y y ， （7分）再设直线AB 的方程：(0)=+≠y kx m k ，与抛物线联立：24=+⎧⎨=⎩y kx my x 得到：2440-+=ky y m ，由对称性知：22,)-（Ax y ，又11,),（B x y 由根与系数关系：124my y k-= （10分） 所以：44=mk--，即m k =，直线AB 的方程：()0y kx k k =+≠， 直线AB 恒过定点()1,0-. （12分）19．【解析】（1）因为直线11B C 与直线BC 交于点2A ，所以211A B C ∈且2A BC ∈，故2A ∈面111A B C 且2A ∈ABC ，同理，2B ∈面111A B C 且2B ∈ABC ，2C ∈面111A B C 且2C ∈ABC ，由公理3，记面111A B C I 面ABC l =，则222,,A B C l ∈，即222,,A B C 三点共线． （5分） （2）因为PA ⊥面ABC ，AB BC ⊥．如图，作AY BC ∥，则,,AB AY AP 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AY AP 分别为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -． 设6(0)PA a a =>，则1(0,0,4)A a ，1(3,0,3)B a ，1(4,4,2)C a ，11(3,0,)A B a =-u u u u r ，11(4,4,2)A C a =-u u u u r， 设面111A B C 的法向量(,,)n x y z =r，则1111304420A B n x az ACn x y az ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩u u u u r ru u u u r r ，令6z =得(2,,6)n a a =r ， 又面ABC 的法向量(0,0,1)m =，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅<>===u r ru r r u r r a =5因此PA =（12分） 法二：由第一问知面111A B C I 面22=ABC B C ,作122A D B C ⊥于点D ,联结AD , 1221221221222212211A A AB C A A B C A A B C A D B C B C A AD AD B C A D A A ⊥⇒⊥⊥⎫⎪⊥⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎭I 面面 故1A DA ∠即为锐二面角122A B C A --的平面角，由条件112=453A DA A A AP AD ∠︒⇒== 有条件易知2222224=212,sin =sin =453AC AB AB AC B AC BAC B C ===∠∠︒⇒又 2222222211sin 22AB C S AC AB B AC AD C B AD =⋅∠=⋅⇒=V ，故AP =. （12分） 20. 【解析】（1）方法一：所有的派遣方法有：234336C A ⨯=，女技术员派到甲校的方法有：32233212A C A +=种，故女技术员被派到甲校的概率为121363P ==. （4分） 方法二：只考虑女技术员派遣的方法，共3种派法，被派到甲校仅一种派法，故13P =. （4分）x（2）①由x 与y 之间满足线性回归方程$y =379254x a +知101102211037925410i ii ii x yx y b xx==-==-∑∑， 即10103401627556104837910254254y y ++-⋅⋅=，解得：1053y =. （8分） ②易得48x =，39.3y =，代入$379254y x a =+得： 37939.348254a =⨯+，解得32.3a ≈-，所以$37932.3254y x =-， 当60x =时，3796032.357.2254y =⨯-≈ 故若年收入达到60万元，估计主打产品的销售额是57.2万元. （12分） 另解： 易得48x =，39.3y =，代入$379254y x a =+得：37939.348254a =-⨯， 当60x =时，3793796039.3(6048)57.2254254y a =⨯+=+⨯-≈． （12分） 21．【解】（1）()e 1x f x x '=--，令()()x f x ϕ'=，则()e 1xx ϕ'=-，因为0x ≥，所以()e 10x x ϕ'=-≥，所以()x ϕ在[)0,+∞单调递增，所以()()00x ϕϕ≥=，所以()f x 在[)0,+∞单调递增，则()()00f x f ≥=． （3分） （2）()2sin 24g x x x '=-+，令()()h x g x '=，则()4cos 240h x x '=-+≥，所以()h x 在R 上单调递增，又()00h =，所以0x <时，()()00h x h <=，函数()g x 单调递减；0x >时，()()00h x h >=，函数()g x 单调递增．所以，()g x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞． （7分）（3）证明：要证21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+，即证()2e sin 2cos sin x x x x x ≥-+．①当x π≥时，e e 3x x ππ≥>，而()2sin 2cos sin 3x x x -+≤，所以不等式成立． （8分）②当0x π<<时，sin 0x >，由（2）知：0x ≥时，2cos212x x ≥-，所以221cos 12122x x x ⎛⎫≥-=- ⎪⎝⎭，212cos 12x x -≤+所以只需证221e sin 1sin 2x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭．令()sin p x x x =-（0x ≥），则()cos 10p x x '=-≤，所以()p x 在[)0,+∞单调递减，所以()()00p x p ≤=，即sin x x ≤．故只需证221e 12x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，即证：21e 12xx x ≥++．由（1）知，上述不等式成立．综上，当0x ≥时，21e sin 22sin sin 2x x x x x +≥+． （12分）注：其他证法酌情给分，对于第（3）小题，若不考虑sin 0x >而直接将()2e sin 2cos sin x x x x x ≥-+变为221e sin 1sin 2x x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，扣1分，但按其他合理的分段点（如：2π）分类，不扣分． 22．【解析】（1）曲线1C 的普通方程为：22(2)(2)9x y -++=； （3分） 曲线2C的直角坐标方程为：0x y +=. （5分） （2）由于圆1C 的半径为3，曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为1，圆心到直线0x y +=的距离应为2=,得：2=±a . （10分） 23．【解析】（1）当26a b c ==，，()11f x >，即：|1||3|5-++>x x ，设22(1)()|1||3|4(31)22(1)+≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪--≤-⎩x x g x x x x x x ，由()5g x >解得：72<-x 或32>x ，所以，不等式()11f x >的解集为73{|}22x x x <->或. （5分）（2）因为()|2||2|||=-+++≥++=++f x x a x b c a b c a b c ，Q 函数()f x 的最小值为2，∴2++=a b c . （7分）证法一：根据柯西不等式可得： []1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭214≥1=36=94⨯ 当且仅当：123==+++a b b c a c ，即24,0,33a b c ===时等式成立. 综上，1499a b b c a c++≥+++ （10分）证法二：[]1491149=()()()4a b b c a c a b b c a c a b b c a c ⎛⎫+++++++++ ⎪++++++⎝⎭14()9()4()9()=14+4++++++⎛⎫+++++ ⎪++++++⎝⎭b c a b a c a b a c b c a b b c a b a c b c a c 114+4+6+12=94≥（），当且仅当24,0,33a b c ===等式成立. 综上，1499a b b c a c++≥+++ （10分）。
安徽省马鞍山市高考三模数学试卷(理科)
安徽省马鞍山市高考三模数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·淄博模拟) 已知集合 A={x|x2＜4}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A . ∅B . {0}C . {0，1}D . {0，1，2}2. （2分）(2019·泉州模拟) 设复数的共轭复数为 .若，则（）A .B . 3C . 4D . 53. （2分）已知命题，则为A .B .C .D .4. （2分）(2017·大理模拟) 在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，那么a5等于（）A . 4B . 5C . 9D . 185. （2分）(2018高一下·张家界期末) 设为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形为圆心的面积的最小值为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·中江期中) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 108B . 100C . 92D . 847. （2分）函数的定义域是[a，b]，值域为，则b﹣a的最大值与最小值之和为（）A . 2πB . πC .D .8. （2分）右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i>8B . i<8C . i>16D . i<169. （2分） (2018高三上·大连期末) 双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数y= 的定义域为R，求实数m的取值范围是（）A . [0，1]B . （0，1）C . （0，2）D . [0，2]11. （2分）在底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD中，SA=SB=SC=SD，异面直线AD与SC所成的角为60°，AB=2．则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为（）A . 6πB . 8πC . 12πD . 16π12. （2分） (2016高三上·福州期中) 已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则方程f（x）=log6（x﹣3）在（0，+∞）解的个数是（）A . 6B . 5C . 4D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ________ ．14. （1分）(2013·新课标Ⅱ卷理) 设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ=________．15. （1分） (2016高一下·江阴期中) 数列{an}满足a1=3，﹣ =5（n∈N+），则an=________．16. （1分）求的导数________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）已知在△ABC中，C=2A，，且2 =﹣27．（2）求AC的长度．18. （5分）(2017·成都模拟) 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频数6a24b（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（Ⅲ）某评估机构以指标M（M= ，其中D（ξ）表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？19. （10分）已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，对角线AC与BD交于点O，M为OC中点．（2）若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2 ，求的值．20. （10分）(2017·银川模拟) 已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．21. （10分） (2017高二下·武汉期中) 已知函数f（x）=x﹣ ax2﹣ln（1+x），其中a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范围．22. （10分）已知直线L经过点P（，1），倾斜角，在极坐标系下，圆C的极坐标方程为．（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于A，B两点，求点P到A，B两点的距离之积．23. （5分） (2017高三上·福州开学考) 已知f（x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜的解集非空，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷(理科)(三模)(解析版)
2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷（理科）（三模）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，P＝{x∈R|x＜0或x＞3}，则（M∪N）∩（∁R P）＝（）A．{1，2，3}B．（2，3）C．{2}D．{x∈R|0≤x≤3} 2．若复数（1+i）（a﹣i）（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（﹣1，+∞）3．雷达图也称为网络图、蜘蛛图，是一种能够直观地展示多维度的类目数据对比情况的统计图．如图是小明、小张和小陈三位同学在高一一学年六科平均成绩雷达图，则下列说法错误的是（）A．综合六科来看，小明的成绩最好，最均衡B．三人中，小陈的每门学科的平均成绩都是最低的C．六门学科中，小张存在偏科情况D．小陈在英语学科有较强的学科优势4．已知等差数列{a n}中，a2+a14＝18，a2＝3，则a10＝（）A．10B．11C．12D．135．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”，则￢p为（）A．∃x∈R，x2﹣x+1≥0B．∃x∉R，x2﹣x+1≥0C．∀x∈R，x2﹣x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣x+1＜06．的常数项为25，则实数a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣27．函数f（x）的部分图象如图，则它的解析式可能是（）A．B．C．D．8．函数的部分图象如图，点A的坐标为，则φ的值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上，•，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．10．国际数学教育大会（ICME）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME﹣7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．其中已知：OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5＝A5A6＝A6A7＝A7A8＝⋯＝1，A1，A2，A3，⋯，为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为{l n}，{S n}，则关于此两个数列叙述错误的是（）A．{S n2}是等差数列B．C．D．l n﹣1＝2S n+2S n+111．如图，E是正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱D1D的中点，F是棱C1B1上的动点，下列命题中：①若过CF的平面与直线EB垂直，则F为C1B1的中点；②存在F使得D1F∥BE；③存在F使得△BEF的主视图和侧视图的面积相等；④四面体EBFC的体积为定值．其中正确的是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④12．已知x∈（0，+∞），不等式ax+eαx≥lnx+x恒成立，则实数a的最小值为（）A．B．C．0D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设函数则＝．14．在△ABC中，，O为△ABC的外心，若，则的值为．15．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是．16．如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切．椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点F1，F2.过椭圆上一点P作圆锥的母线，分别与两个球相切于点M，N．由球和圆的几何性质可知，PN ＝PF1，PM＝PF2.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步：。
安徽省马鞍山市2020届高三毕业班第三次教学质量监测(三模)数学(理)试题
2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知{}|24x A x =≤，B =N ，则A B = A ．(0,2]B ．[0,2]C ．{}1,2D ．{}0,1,22．已知复数z 满足2(34i)(1i)z -=+（i 是虚数单位），则||z = A B C ．25D ．153．下列函数是奇函数的是 A ．sin y x x =B ．sin y x x =+C ．sin xy x=D ． sin x y x=4．已知a ∈R ，“0122<-+ax ax 对x ∀∈R 恒成立”的一个充分不必要条件是（ ） A ．10a -<<B ．10a -<≤C ．10a -≤<D ．10a -≤≤5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线方程为30x y ±=，则该双曲线的离心率为A BC ．23D ．106．已知数列{}n a 中，121,a a ==21n n n a a a ++=+，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2020项，则(1)(2)处可分别填入的是 A ．,2019?T S T n =-≥ B ．,2020?T S T n =-≥ C ．,2019?T S n =≥ D ．,2020?T S n =≥ 7．将函数1|sin 2|2y x =+图象上的所有点先向左平移12π个单位长度，再向下平移12个单位长度得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在[]0,2π上零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．78．某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为 A ．153πB ．163πC ．3011πD ．3211π9．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样； ②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为3000；③随机变量X 服从二项分布(100,0.4)B ，若随机变量21Y X =+，则Y 的数学期望为()81E Y =，方差为()48D Y =； ④分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值为k ，当k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. 其中正确的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．410．在ABC △中，3AB =，1AC =，D 在BC 的延长线上，2CD BC =，6AD =，则ABC △的面积为A ．315B ．315C ．313D ．31311．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，过左焦点()2,0-F 倾斜角为3π的直第7题图第6题图1A F ECDBA1B 1C 1D 1E 1F 线交椭圆上半部分于点A ，以FA ，FO 为邻边作平行四边形OFAB ，若点B 在椭圆上，则2b 等于 AB．C．D．12．已知()13e ,03,0x x x f x x x x +⎧⋅≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为A ．3{0,}2B ．3(0,)2C ．3[0,]2D ．30,]2（二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知3sin()25+=πα(0)2πα<<，则tan2α= ．14．54(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数为 ．（用数字作答） 15．已知ABC △的重心为O ,,2AOB π∠=AB =CA CB ⋅= ．16．已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -所有棱的棱长均为1，1BE 面1A CE P =，则1BPPE = ，PCE △的面积为 ．（第1空2分，第2空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷(文科)(三模) (含部分答案)
2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷（文科）（三模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜﹣2}，则A∪B＝（）A．∅B．{x|x＜﹣2或x＞1}C．R D．{x|﹣2＜x＜1} 2．在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x∈（0，），x＞sin x，则命题￢p为（）A．∀x∈（0，），x≤sin x B．∀x∉（0，），x＞sin xC．∃x0（0，），x0≤sin x0D．∃x0∈（0，），x0＞sin x04．2名男同学和1名女同学随机排成一行照相，则2名男同学不相邻的概率为（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．4﹣D．4﹣6．德国著名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”现将底与腰之比或腰与底之比为的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE的大小为（）A．﹣1B．C．2D．+17．将函数f（x）＝2sin（x+）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．g（x）＝2sin x B．g（x）＝2sin（x+）C．g（x）＝2sin（2x﹣）D．g（x）＝2sin（2x+）8．在△ABC中，D为BC上一点，且＝2，＝，若＝x+y，则（）A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝﹣D．x＝，y＝9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，直线AC1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A．截面形状可能为四边形B．截面形状可能为五边形C．截面面积最大值为D．截面面积最大值为10．已知函数f（x+2）是定义域为R的偶函数，f（x）在（2，+∞）上单调递减，则不等式f（lnx）﹣f（1）＜0的解集是（）A．（0，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（0，e）∪（e3，+∞）D．（e，e3）11．已知正项等比数列{a n}中，a2＝1，a4＝，S n表示数列{a n a n+1}的前n项和，则S n的取值范围是（）A．[2，）B．（2，]C．（2，）D．[2，]12．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则椭圆的标准方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．等差数列{a n}中，公差d＝3，a n＝13，S n＝35，则n＝．14．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线3x+4y﹣1＝0垂直，则该双曲线的离心率为．15．口罩是一种重要的医疗物资，为确保口罩供应，某工厂口罩生产线高速运转，设该工厂连续6天生产的口罩数量依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6（单位：万只），若x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为1，且x12，x22，x32，x42，x52，x62的平均数为5，则该工厂这6天平均每天生产口罩万只．16．已知函数f（x）＝x﹣x sin x，则f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为；若g（x）＝f（x）﹣x﹣a在（0，π）上有唯一零点x，则的值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且S＝（a2+b2﹣c2）．（1）求角C；（2）若3a＝2b，求sin A．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E 为AD的中点．（1）证明：BE⊥平面PAD；（2）若PA＝AB＝2，求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．19．某科研单位研究人员对某种细菌的繁殖情况进行了研究，发现该细菌繁殖的个数y（单位：个）随时间x（单位：天）的变化情况如表1：表1x123456y510265096195令w＝lny，w与y对应关系如表2：如表2y510265096195w 1.61 2.30 3.26 3.91 4.56 5.27根据表1绘制散点图如图：（1）根据散点图判断，y＝bx+a与y＝ce dx，哪一个更适合作为细菌的繁殖数量y关于时间x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（3）若要使细菌的繁殖数量不超过4030个，请根据（2）的结果预测细菌繁殖的天数不超过多少天？参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝，α＝﹣β．参考数据：＝3.50，＝63.67，＝3.49，（x i﹣）2＝17.50，（w i﹣）2＝9.49，（w i﹣）（x i﹣）＝12.87，（x i﹣）（y i﹣）＝519.01，ln4030≈8.30，ln1640≈7.40．20．已知动圆M过点（2，0），被y轴截得的弦长为4．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）若△ABC的顶点在M的轨迹上，且A，C关于x轴对称，直线BC经过点F（1，0）．求证：直线AB恒过定点．21．函数f（x）＝e x，g（x）＝ax﹣1，其中a∈R，e是自然对数的底数．（1）若a＝e，求函数F（x）＝f（x）﹣8（x）的最小值；（2）若x≥0时，f（x）+xg（x）≥1恒成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选--题作答.如果多做，则按所做的第-题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝a．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为非负实数，函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+b|+c．（1）若a＝2，b＝6，c＝1，求不等式f（x）＞11的解集；（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥9．参考答案一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B；2．D；3．C；4．B；5．A；6．C；7．B；8．A；9．A；10．C；11．A；12．A；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．5；14．；15．2；16．y＝x；；一、选择题17．；18．；19．；20．；21．；（二）选考题：共10分．请考生在第22.23题中任选--题作答.如果多做，则按所做的第-题计分.[选修44：坐标系与参数方程]22．；[选修4-5：不等式选讲]23．；。
安徽省马鞍山市2020届高三理综第三次教学质量监测三模试题
安徽省马鞍山市2020届高三理综第三次教学质量监测（三模）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分300分。
考试时间150分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 Ca-40 Cr-52 Sn-119第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞中化合物的叙述，正确的是A．脂质是细胞中主要的储能物质B．糖类可作为动物细胞的结构物质C．DNA是细胞生物的主要遗传物质D．蛋白质是细胞中含量最多的化合物2．下列关于细胞生命历程的叙述，不正确的是A．细胞增殖包括物质准备和细胞分裂整个连续的过程B．细胞分化的本质是基因选择性表达，产生特有的蛋白质C．衰老的细胞代谢减弱，但部分酶的活性增强D．细胞凋亡是自然的生理过程，各种基因停止表达3．下图为突触结构示意图，下列相关叙述不正确的是A．结构①为神经递质的释放提供能量B．神经递质经②的转运和③的主动运输释放至突触间隙C．当兴奋传导到③时，膜电位由外正内负变为外负内正D．结构④上会发生化学信号向电信号的转变4．下列关于酶和ATP的叙述，正确的是A．蛋白酶能催化所有的酶水解B．细胞内放能反应一般与ATP的水解相联系C．同一种酶可存在于分化程度不同的活细胞中D．无氧呼吸第二阶段释放的能量只有部分转移到ATP中5．绿头鸭和琵嘴鸭、绿翅鸭、斑嘴鸭都是野生鸭类，它们常常在同一栖息地生活。
绿头鸭的ND2基因长度为1041bp，另外几种鸭与绿头鸭ND2基因长度及核苷酸序列相似度的比较如下表。
安徽省马鞍山市2020届高三毕业班第三次教学质量监测(三模)理科综合试题
2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分300分。
考试时间150分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 Cl-35.5 Ca-40 Cr-52 Sn-119第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞中化合物的叙述，正确的是A．脂质是细胞中主要的储能物质B．糖类可作为动物细胞的结构物质C．DNA是细胞生物的主要遗传物质D．蛋白质是细胞中含量最多的化合物2．下列关于细胞生命历程的叙述，不正确的是A．细胞增殖包括物质准备和细胞分裂整个连续的过程B．细胞分化的本质是基因选择性表达，产生特有的蛋白质C．衰老的细胞代谢减弱，但部分酶的活性增强D．细胞凋亡是自然的生理过程，各种基因停止表达3．下图为突触结构示意图，下列相关叙述不正确的是A．结构①为神经递质的释放提供能量B．神经递质经②的转运和③的主动运输释放至突触间隙C．当兴奋传导到③时，膜电位由外正内负变为外负内正D．结构④上会发生化学信号向电信号的转变4．下列关于酶和A TP的叙述，正确的是A．蛋白酶能催化所有的酶水解B．细胞内放能反应一般与ATP的水解相联系C．同一种酶可存在于分化程度不同的活细胞中D．无氧呼吸第二阶段释放的能量只有部分转移到ATP中5．绿头鸭和琵嘴鸭、绿翅鸭、斑嘴鸭都是野生鸭类，它们常常在同一栖息地生活。
绿头鸭的ND2基因长度为1041bp，另外几种鸭与绿头鸭ND2基因长度及核苷酸序列相似度的比较如下表。
安徽省马鞍山市2020届高三数学第三次教学质量监测试题 文(含解析)
（1）连接 ，由题意可知 是正三角形，可证 ，由 平面 ，可证 ，由线面垂直的判定定理即可证明结果；
（2）连接 ，有勾股定理可证 ，在 中，由余弦定理得 ，可得 ，即可求出 ，再根据对称性知： ， ，所以四棱锥 的侧面积为 ，即可求出结果.
【详解】（1）如图，连接 ，∵底面 菱形， ，
∴ 正三角形.
又 ，故 .
（2）设
则
所以 .
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18. 如图，四棱锥 的底面 是菱形， ， 平面 ， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 侧面积.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
（1）利用导数的几何意义和直线的点斜式方程求得切线方程；（2）当 时，易得 . 当 ，利用导数研究 的单调性，结合零点存在定理得到存在唯一的实数 ,使得 ,且在 上 ，在 上 ,，从而得到区间 内 单调递减，在区间 单调递增,结合端点值分析，可得 在 上有唯一零点 ， ,且 ，两式结合，并利用二倍角的余弦公式化简即可求得 的值.
（一）必考题：
17. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题得 ，再利用余弦定理化简得 ，即得解；（2）设 ，先利用余弦定理求出 ，再利用正弦定理求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
解得 ，
【详解】由题意可知， ，
又 ，所以
安徽省马鞍山市2020届高三数学第三次教学质量监测三模试题文
（2）若曲线 上恰有三个点到曲线 的距离为1，求 的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 为非负实数，函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 的最小值为2，证明： .
2020年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量监测
文科数学参考答案
16．已知函数 ，则 在点 处的切线方程为▲；若 在 上有唯一零点 ，则 的值为▲．（本小题第一空2分，第二空3分）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答.
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
1．已知集合 ， ，则 （▲）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于（▲）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．命题 ，则命题 是（▲）
A． B．
C． D．
4．2名男同学和1名女同学随机排成一行照相，则2名男同学不相邻的概率为）若要使细菌的繁殖数量不超过4030个，请根据（2）的结果预测细菌繁殖的天数不超过多少天？
参考公式：
对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
参考数据：
， ， ， ， ，
， ， ，
20．（12分）
已知动圆 过点 ，被 轴截得的弦长为4.
（1）求圆心 的轨迹方程；
（2）若 的顶点在 的轨迹上，且 关于 轴对称，直线 经过点 .
一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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2020年安徽省马鞍山市高考数学第三次质量监测试卷（理科）
（三模）
一、选择题（共12小题）.
1．已知A＝{x|2x≤4}，B＝N，则A∩B＝（）
A．（0，2]B．[0，2]C．{1，2}D．{0，1，2}
2．已知复数z满足z（3﹣4i）＝（1+i）2（i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．D．
3．下列函数是奇函数的是（）
A．y＝x sin x B．y＝x+sin x C．y＝D．y＝
4．已知a∈R，“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜a＜0B．﹣1＜a≤0C．﹣1≤a＜0D．﹣1≤a≤0 5．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为x±3y＝0，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
6．已知数列{a n}中，a1＝a2＝1，a n+2＝a n+1+a n，若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2020项，则（1）（2）处可分别填入的是（）
A．T＝S﹣T，n≥2019？B．T＝S﹣T，n≥2020？
C．T＝S，n≥2019？D．T＝S，n≥2020？
7．将函数y＝|sin2x+|图象上的所有点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长
度得到函数y＝f（x）的图象，则函数y＝f（x）在[0，2π]上零点的个数为（）A．4B．5C．6D．7
8．某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为（）
A．B．C．D．
9．以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽
样是分层抽样；
②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高ξ
（单位：cm）服从正态分布N（172，σ2），且P（172＜ξ≤180）＝0.4，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为3000；
③随机变量X服从二项分布B（100，0.4），若随机变量Y＝2X+1，则Y的数学期望为
E（Y）＝81，方差为D（Y）＝48；
④分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值为k，当k越小，“X与Y有关系”的
把握程度越大．
其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
10．在△ABC中，AB＝3，AC＝1，D在BC的延长线上，CD＝2BC，AD＝6，则△ABC 的面积为（）
A．B．C．D．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0），过左焦点F（﹣2，0）倾斜角为的直线交椭圆上半部分于点A，以FA，FO为邻边作平行四边形OFAB，若点B在椭圆上，则b2等于（）
A．B．2C．3D．4
12．已知f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣a•f（x）﹣1＝0有5个不同的实根，则实数a的取值范围为（）
A．{0，}B．（0，）C．[0，]D．（0，]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知sin（α+）＝（0＜α＜），则tan2α＝．
14．（x+1）5（x﹣1）4的展开式中x3的系数为．（用数字作答）
15．已知△ABC的重心为O，∠AOB＝，AB＝2，则＝．
16．已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1所有棱的棱长均为1，BE1∩面A1CE＝P，则＝，△PCE的面积为．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～-23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a•2n+b，数列{log2a n}的前n项和为T n，T2＝3．（1）求a和b；
（2）若++…+＜M对于一切n∈N*恒成立，求整数M的最小值．
18．已知动圆M过点（2，0），被y轴截得的弦长为4．
（1）求圆心M的轨迹方程；
（2）若△ABC的顶点在M的轨迹上，且A，C关于x轴对称，直线BC经过点F（1，0）．求证：直线AB恒过定点．
19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥BC，点A1，B1，C1分别在侧棱PA，PB，PC上，且PA＝3PA1，PB＝2PB1，PC＝PC1，AB＝BC＝6．
（1）设直线B1C1与BC交于点A2，直线A1C1与AC交于点B2，直线A1B1与AB交于
点C2，求证：A2，B2，C2三点共线；
（2）若平面A1B1C1与平面ABC所成的锐二面角大小为45°，求PA的长．
20．新冠疫情期间，互联网线上教学解决了各类学校无法开学上课的难题，这得益于互联网产业的蓬勃发展，越来越多的互联网产品给人们的生活、学习等多方面都带来了很多的便利．某科技公司主营教学软件、学习软件、社交聊天软件等互联网产品，旗下的一款教学软件自2019年投放市场以来受到了全国用户的欢迎，成为该公司的明星产品，现统计了该公司连续10个月中的月总收入与这款教学软件的销售额的有关数据：
总收入（x万元）42414346474849535556销售额（y万元）253034373941424448Y10参考数据
＝480，x﹣10＝254，x i y i＝16275，y i＝340参考公式
在线性回归方程：＝x+，＝，＝﹣
（1）现有甲、乙、丙3所学校选择了该公司的这一款教学软件在学校推广使用，公司决定派4名技术员（3男1女）驻校指导，每校至少一人，则女技术员被派到甲校的概率是多少？
（2）由表中10个月的数据得出该公司月总收入与这款教学软件的月销售额之间的线性回归方程为＝x+．
①求y10；
②当该公司的月收入达到60万元时，估计这款软件的销售额是多少？（精确到0.1）21．已知f（x）＝e x﹣x2﹣1，g（x）＝cos2x+2x2﹣1．
（1）证明：x≥0时，f（x）≥0；
（2）求函数g（x）的单调区间；
（3）证明：x≥0时，xe x+sin2x≥2sin x+sin2x．
（二）选考题：共10分．请考生在第22-23题中任选一-题作簀.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中α为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）＝a．
（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程：
（2）若曲线C1上恰有三个点到曲线C2的距离为1，求a的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知a，b，c为非负实数，函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+b|+c．
（1）若a＝2，b＝6，c＝1，求不等式f（x）＞11的解集；
（2）若函数f（x）的最小值为2，证明：++≥9．
参考答案
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有.一项是符合题目要求的.
1．D；2．C；3．B；4．A；5．D；6．A；7．C；8．C；9．A；10．A；11．B；12．B；
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．﹣；14．﹣4；15．16；16．；；
一、选择题
17．；18．；19．；20．；21．；
（二）选考题：共10分．请考生在第22-23题中任选一-题作簀.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修44：坐标系与参数方程]
22．；
[选修4-5：不等式选讲]
23．；。