新人教版19.2.3正方形的性质和判定
小学数学知识归纳正方形的性质与判定
小学数学知识归纳正方形的性质与判定正方形是小学数学中常见的几何图形之一，它有其独特的性质与判定方法。
本文将对正方形的性质进行归纳，并介绍判定一个图形是否为正方形的方法。
一、正方形的性质正方形是具有以下性质的四边形：1. 边长相等：正方形的四条边长都相等。
2. 角度相等：正方形的四个内角都是直角（即90度），所以角度也相等。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线互相垂直且长度相等。
4. 对称性：正方形具有对称性，即以中心为对称点旋转180度，正方形仍然保持不变。
二、判定一个图形是否为正方形的方法在数学中，我们可以通过以下方法来判定一个图形是否为正方形：1. 角度判定法：如果一个四边形的四个内角都等于90度，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的角度都相等，并且每个角度都是90度。
2. 边长判定法：如果一个四边形的四条边长都相等，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的边长都相等，所以四边形的四条边长也应该相等。
3. 对角线判定法：如果一个四边形的两条对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是正方形。
这是因为正方形的对角线具有这样的性质。
除了以上三种方法外，我们还可以通过其他相关性质来判定一个图形是否为正方形，比如对称性等。
三、归纳小结正方形是一种具有特殊性质的四边形，其性质包括边长相等、角度相等、对角线相等和对称性等。
判定一个图形是否为正方形可以通过角度判定法、边长判定法、对角线判定法等方法进行验证。
通过学习和掌握正方形的性质与判定方法，小学生可以更好地理解和应用正方形相关的数学知识。
正方形在几何学中有着重要的应用，如建筑设计、图案制作等。
因此，对正方形的深入了解对于小学生的数学学习和发展非常重要。
希望本文对读者对小学数学中正方形的性质与判定方法有所帮助，能够为小学生的数学学习提供一定的指导。
同时也希望读者能够继续学习和探索更多有关几何图形的知识，提升数学水平。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有特定的性质和判定条件。
本文将对正方形的性质进行分析，并介绍如何判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的定义和性质正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
以下是正方形的一些性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 直角：正方形的四个角都是直角，即90度。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，记为d。
4. 对角线垂直：正方形的对角线互相垂直，即两条对角线的夹角是直角。
二、正方形的判定条件如何判定一个四边形是否为正方形呢？下面是几种常见的判定条件：1. 边长相等且对角线相等：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线相等，则这个四边形是正方形。
2. 边长相等且对角线互相垂直：如果一个四边形的四条边长度相等且对角线互相垂直，则这个四边形是正方形。
3. 内角相等且边长相等：如果一个四边形的四个内角都是直角（90度），且四条边长度相等，则这个四边形是正方形。
三、应用举例1. 例1：已知一个四边形的边长都是5厘米，并且对角线相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件1，边长相等且对角线相等，则可以判断这个四边形是正方形。
2. 例2：已知一个四边形的边长都是4厘米，并且对角线互相垂直，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件2，边长相等且对角线互相垂直，则可以判断这个四边形是正方形。
3. 例3：已知一个四边形的内角都是直角，且边长相等，判断这个四边形是否是正方形。
根据判定条件3，内角都是直角且边长相等，则可以判断这个四边形是正方形。
四、正方形的应用领域正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质，在很多领域都有广泛的应用：1. 建筑设计：正方形的对称性使得它在建筑设计中常用于布局规划，例如正方形的房间、庭院等。
2. 绘画和艺术：正方形作为一种几何图形，在绘画和艺术作品中常常被用作构图元素，营造平衡和和谐感。
3. 数学研究：正方形是数学研究中的重要对象，与其他几何形状有着密切的联系，深入研究正方形的性质可以推广到其他领域。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，具有独特的性质。
在本文中，我将介绍正方形的定义、性质和判定方法。
首先，我们来定义正方形。
正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形。
其中，相等边长称为边长，直角处的两个边称为邻边，相邻的两个直角称为相邻角，对角线的重合点称为中心。
下面，我们将详细介绍正方形的性质。
正方形具有以下性质：1. 边长相等：正方形的四条边长相等，可以用a表示。
这意味着正方形的周长为4a。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（90度）。
这是因为正方形的两条相邻边构成一条直角线段。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，可以用d表示。
这是由于正方形的两个对角线是两条等边三角形的斜边。
4. 对角线互相垂直：正方形的两条对角线相互垂直。
这是由于正方形的对角线是两个相交的垂直直角三角形的斜边。
5. 中心对称：正方形的中心是对称中心，即以中心为对称中心将正方形折叠，两边能完全重合。
6. 内切圆：正方形有一个内接圆，即一个与正方形的四条边相切的圆。
7. 外接圆：正方形有一个外接圆，即一个与正方形的四个顶点相切的圆。
接下来，我们来讨论如何判定一个四边形是否为正方形。
判定一个四边形是否为正方形通常有以下几种方法：1. 判断边长是否相等：一个四边形的四条边长都相等时，可以判定为正方形。
2. 判断内角是否为直角：一个四边形的四个内角都是直角时，可以判定为正方形。
3. 判断对角线是否相等：一个四边形的对角线相等时，可以判定为正方形。
4. 判断对角线是否垂直：一个四边形的对角线互相垂直时，可以判定为正方形。
5. 判断是否为菱形：如果一个四边形既是菱形又是矩形，那么它就是正方形。
这些方法可以单独或者组合使用来判断一个四边形是否为正方形。
总之，正方形是一种具有独特性质的四边形，包括边长相等、内角为直角、对角线相等等。
我们可以通过判断边长、内角、对角线的相等性以及对角线的垂直性来判定一个四边形是否为正方形。
19.2.3正方形的性质及判定(一)教师
19.2.3 正方形的性质及判定（一） 执笔人： 审核人：Fra bibliotek（新授第
课时） 教师活动
教学目标 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和 计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别， 教学重点和难点 正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 学法指导：学生以自主学习的方式掌握重·难点 教学过程 一． 课前预习 1、____________________的矩形叫做正方形。 2、正方形具有_________、___________、____________的一切性质。
6、如图 4.6－6，已知 E 为正方形 ABCD 的边 BC 的中点，EF⊥AE，CF 平分∠DCG，求证：AE＝ EF．
精讲点拨：
课堂小结：
（三） 达标测试 7、 如图 4.6－4，以△ABC 的边 AB，AC 为边向 形外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG，AH⊥BC，交 EG 于 M，垂足为 H，求证：EM＝MG．
学情分析：
二． 课堂研讨 （一） 重点研讨 检查预习： 3、 四边形 ABCD 是正方形，两条对角线相交于点 O，图中等腰三角 形的个数是 （ ） A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.8 个 4、判断。 (1)正方形一定是矩形。 （ ） (2)正方形一定是菱形。 （ ） (3)菱形一定是正方形。 （ ） (4)矩形一定是正方形。 （ ） (5)正方形、矩形、菱形都是平行四边形。 （ ） （二） 深化提高 5、(教材 P100 的例 4) 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 导语： 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图） ． 求证：△ ABO、△ BCO、△ CDO、△ DAO 是全等的等腰直角三角形．
正方形的定义及性质
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。(P100例4） 已知：如图正方形ABCD对 角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，如图
求：正方形的面积S。
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 对角线互相垂直 四边都相 对角相等， 平分，每条对角 轴对称图形、 邻角互补 等 线平分一组对角 中心对称图形
对边平行，四个角 对角线互相垂直平 轴对称图形、 正方形 四条边 分且相等，每条对 都是直角 角线平分一组对角 中心对称图形 都相等
例4．如图，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
你还能得出其 他结论吗？
正方形的性质=
为什么说正方形是一个完美的图形呢？
(C) 它是轴对称图形,有4条对称轴 也是中心对称图形,对称中心为点O
A O
D (B)
(1)它具有平行四边形的一切性质 (2)具有矩形的一切性质
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。
一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。
2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。
4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。
5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。
二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。
1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。
2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。
三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。
解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。
由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
因此，四边形ABCD是一个正方形。
案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。
解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。
由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。
正方形的性质与判定-优质课件
7、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE 和ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90°
又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
D O
B
C
例题1 如图，在正方形ABCD中，点E
在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？
为什么？
D
C
解：BE=DE.
因为 对角线AC所在的直
线是正方形ABCD的对
E
称轴，而点E在对称轴 A
B
上，点B为点D关于AC
的对称点，
所以 BE=DE
2.在正方形ABCD中，点P是对角线 AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂 足分别是点E、F.求证：DP=EF
矩形
正方形
一组邻边相等的矩形
叫正方形
菱 形 一个角是直角
正方形
∟
发现：
一个角为直角的菱形叫正 方形
如何来给正方形下定义？
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
平行四边形
一组邻边相等 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边
形叫做正方形
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
练:正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
19.2.3正方形学案
19.2.3正方形学习目标：了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质、判定方法．过程与方法：经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法．重难点、关键重点：探索正方形的性质与判定．难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法．关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容．教学准备教师准备：投影仪，制作投影片，补充本节课内容，矩形纸片，活动的菱形框架．学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质、判定，预习本节课内容．学习过程一、合作探究，导入新课【显示投影片】显示内容：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片（多幅）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？•四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？3．正方形具有哪些性质呢？学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片．进行联想．易知：1．•正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）．实验活动：教师拿出矩形按课本P110图19．2～14左图折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊矩形是正方形．教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质，它又是菱形，所以它又具有菱形的一切性质，归纳如下：正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形．正方形性质：（1）边的性质：---------------------（2）角的性质：————————————（3）对角线的性质：——————————————————————————。
（4）对称性：——————————————————。
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定正方形是几何学中常见的一个形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将探讨正方形的性质与判定方法。
一、正方形的定义正方形是一种四边相等且四个角均为直角的特殊四边形。
它既是矩形，也是菱形，同时也是正多边形。
正方形的特点使其在几何学中具有重要的地位。
二、正方形的性质1. 边长性质正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 角度性质正方形的四个内角均为直角，即∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°。
3. 对称性质正方形具有各种对称性质。
其中包括中心对称、对角线对称和轴对称。
正方形可绕其中心旋转180°得到一模一样的图形。
4. 对角线性质正方形的对角线相等且垂直平分对方的角。
即AC=BD=2r，且AC⊥BD。
5. 对应边平行性质正方形的对边是平行的，即AB∥CD，BC∥AD。
三、正方形的判定方法确定一个四边形是否是正方形可以根据以下几种常见的判定方法。
1. 边长判定如果一个四边形的四条边长度均相等，则可以判定为正方形。
2. 角度判定如果一个四边形的四个内角均为直角，则可以判定为正方形。
3. 对角线判定如果一个四边形的对角线相等且垂直平分对方的角，则可以判定为正方形。
4. 组合判定可以结合使用边长、角度和对角线的性质来判定一个四边形是否是正方形。
例如，如果一个四边形的对边平行且相等，并且对角线垂直且相等，则可以判定为正方形。
四、应用举例正方形的性质和判定方法在几何学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景。
1. 建筑设计在建筑设计中，正方形的对称性和稳定性使其成为设计方案中常见的形状之一。
例如，一些公共广场的地面铺装常采用正方形的铺砖方式。
2. 基础几何证明正方形的性质经常被用于解决数学几何证明问题。
例如，可以利用正方形的对角线性质证明勾股定理。
3. 计算机图形学在计算机图形学中，正方形常被用作显示屏幕的基本像素单位，通过在像素网格中填充正方形像素来构建图像。
正方形的性质和判定
正方形的性质和判定正方形是几何学中的一种特殊形状，它具有许多独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的性质以及如何准确地判定一个形状是否为正方形。
一、正方形的性质正方形是一种具有四条相等边且四个内角均为90度的四边形。
以下是正方形的主要性质：1. 边长性质：正方形的四条边长度相等，记为a。
2. 内角性质：正方形的每个内角均为90度。
3. 对角线性质：正方形的对角线相等且垂直平分对方顶点的内角。
4. 对称性质：正方形具有对称性，笛卡尔坐标系中以正方形的中心为原点，可以将正方形分为四个相等的象限。
5. 封闭性质：正方形的四条边围成一个封闭的区域。
二、如何判定一个形状是否为正方形判定一个形状是否为正方形的关键在于验证其是否满足正方形的定义和性质。
以下是两种常见的判定方法：1. 边长相等判定：通过测量四条边的长度，如果它们相等，则可以初步判断该形状为正方形。
但该方法仅适用于已知各边长度的情况。
2. 内角度数判定：通过测量四个内角的度数，如果它们均为90度，则可以确定该形状为正方形。
注意，只有测量到了90度的误差范围内，才能断定该形状为正方形。
三、案例分析下面通过一个具体的案例演示如何判定一个形状是否为正方形：假设有一个形状ABCD，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，同时角ABC=90度，我们需要判定该形状是否为正方形。
根据判定方法，首先我们测量四条边的长度，已知AB=BC=CD=DA=4厘米，满足正方形的边长性质。
接下来，我们需要测量四个内角的度数，已知角ABC=90度。
如果我们测量到剩余三个角的度数也均为90度，那么可以确定该形状为正方形。
在实际测量中，如果我们测得角BCD、角CDA和角DAB的度数也均为90度（在90度的误差范围内），那么该形状可以被判定为一个正方形。
四、总结正方形作为一种特殊的四边形，具有独特的性质和判定方法。
通过测量边长和角度数，我们可以判断一个形状是否满足正方形的定义。
正确理解和应用正方形的性质和判定方法，有助于我们更好地理解几何学中的基础概念，并能够准确判断形状的类型。
正方形的性质和判定
正方形的性质和判定正方形是我们学习数学时经常接触到的一个几何图形，它具有独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍正方形的性质和判定，并通过具体的例子来说明。
一、正方形的性质正方形是一种特殊的四边形，它具有以下几个重要的性质：1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，这是正方形最基本的性质之一。
例如，如果一条边的长度是5cm，那么其他三条边的长度也都是5cm。
2. 内角相等：正方形的四个内角都是90度，也就是直角。
这是正方形与其他四边形的明显区别之一。
无论正方形的边长是多少，它的内角都是直角。
3. 对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。
对角线是连接正方形两个相对顶点的线段，它们的长度相等。
例如，如果一条对角线的长度是8cm，那么另一条对角线的长度也是8cm。
4. 对角线垂直：正方形的两条对角线相互垂直，也就是说它们的夹角是90度。
这个性质与正方形的内角都是直角相呼应，使得正方形具有更多的特殊性。
二、正方形的判定在生活中，我们经常需要判断一个图形是否是正方形。
下面，我将介绍两种判定正方形的方法。
1. 边长相等判定法：如果一个四边形的四条边长度相等，那么它就是一个正方形。
这是最简单也是最直观的判定方法。
例如，如果一个四边形的四条边长度都是6cm，那么它就是一个正方形。
2. 对角线相等判定法：如果一个四边形的两条对角线长度相等，那么它就是一个正方形。
这个方法相对来说稍微复杂一些，但在某些情况下更加实用。
例如，如果一个四边形的一条对角线长度是10cm，而另一条对角线长度是10cm，那么它就是一个正方形。
三、正方形的应用举例正方形在生活中有着广泛的应用，下面我将通过几个具体的例子来说明。
1. 建筑设计：在建筑设计中，正方形常常被用来设计房间的平面布局。
例如，一个正方形的房间可以更好地利用空间，使得房间的使用更加方便和舒适。
2. 园艺设计：在园艺设计中，正方形也被广泛应用。
例如，一个正方形的花坛可以使得花卉的布局更加整齐美观，给人一种和谐的感觉。
正方形的性质与判定条件
正方形的性质与判定条件正方形是几何学中一个重要的形状，具有独特的性质和判定条件。
正方形是指具有四条相等边和四个直角的四边形。
本文将探讨正方形的性质与判定条件，以及其在几何学中的重要应用。
一、正方形的性质1. 边长相等：正方形的四条边长度相等，即AB=BC=CD=DA。
2. 内角为直角：正方形的四个内角都是直角（即90度），即∠BAD=∠CDA=∠DCB=∠ABC=90°。
3. 对角线相等：正方形的对角线相等，即AC=BD。
4. 对角线互相平分：正方形的对角线互相平分，即AC和BD分别平分对方的两个内角，即∠BAD=∠CDA和∠ABC=∠BCD。
5. 对边互相平行：正方形的对边互相平行，即AB∥CD且BC∥DA。
二、正方形的判定条件1. 边长相等的四边形：若一个四边形的四条边长度相等，则它是一个正方形。
2. 直角四边形：若一个四边形的四个内角都是直角，则它是一个正方形。
3. 对角线相等且互相平分：若一个四边形的对角线相等且互相平分对方的两个内角，则它是一个正方形。
三、正方形的应用1. 建筑设计：正方形具有稳定的结构，常被应用于建筑设计中，如平面布局、房间设计等。
2. 四边形研究：正方形是四边形的一种特殊情况，通过了解正方形的性质，有助于深入理解其他类型的四边形。
3. 数学证明：正方形是许多几何学问题的理论基础，通过研究正方形的性质，可以推导出其他几何形状的性质和定理。
总结：正方形是一种具有四条相等边和四个直角的四边形，具有边长相等、内角为直角、对角线相等、对角线互相平分以及对边互相平行的性质。
正方形可以通过边长相等、直角四边形、对角线相等且互相平分的判定条件进行确认。
正方形在建筑设计、四边形研究和数学证明等领域有着广泛的应用。
通过深入了解正方形的性质与判定条件，可以拓展对几何学的认知，提高数学学习的效果。
以上就是关于正方形的性质与判定条件的文章。
正方形作为一种几何图形，其特点和性质在实际生活和学术领域中有着重要的应用和意义。
18.2.3正方形的性质与判定 (2)
19.2.3 正方形的性质与判定教学流程安排【探究】在一个矩形，改变边长．（观察几何画板）① 当矩形变成正方形时，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的有什么关系？② 猜想：正方形的四个角都是直角且四边相等③ 猜想：对角线互相平分且相等 操作，思考、交流、归纳后得到正方形的性质．ABCDO (2)性质边角对角线对称性图形语言文字语言符号语言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟对边平行，四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD轴对称图形中心对称图形2、类比、归纳几种特殊四边形的性质【活动五】[例4] 求证正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．分析：因为是正方形，所以两条对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角．平分可以产生线段等量关系和角的等量关系，垂直可以产生直角，于是可以得到四个全等的等腰直角三角形．已知：如图四边形ABCD是正方形，对角线AC，。
正方形定义和性质及判定正方形的特征正方形的判定方法
正方形，正方形的性质，正方形的判定
正方形的定义：
在平面几何学中，正方形是具有四条相等的边和四个相等内角的多边形。
正方形是正多边形的一种：正四边形。
四个顶点为ABCD的正方形可以记为\square ABCD。
正方形是二维的超方形，也是二维的正轴形。
正方形的特征：
1、边：两组对边分别平行；四条边都相等；
2、内角：四个角都是90°；
3、对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。
正方形的判定方法：
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4：一组邻边相等，对角线互相平分的四边形是正方形
5：一组邻边相等，对角线互相垂直的平行四边形是正方形
6：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
7：每个角都是90度的平行四边形是正方形
正方形的面积公式：
正方形面积公式是边长乘边长
正方形有的周长公式：
正方形的周长是它的边长的4倍。
如果边长为a，那么周长
正方形的对称性：
正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点中心对称（这个点又被称作正方形的中心）。
它的对称轴有四条，分别是对边中点的连线以及两条对角线。
保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的旋转，以及关于四条对称轴的反射。
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练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，CD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
分析：
求证：∠MFD＝45°
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
∴AE＝AB AG＝AC ∠1＝∠2＝90° 又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC ∴∠EAC＝∠BAG ∴△AEC≌△ABG (SAS) ∴∠CEA＝∠ABG
第二课时
你觉得什么样的四 边形是正方形呢?
活动
1.从长方形木板中怎样截出最大的正方形木板?
请同学们画一个四边形，
要求它既是矩形又是菱形。
1． 正方形的定义
有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。
平行四边形，矩形， 菱形，正方形的关系!
请画出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图
由正方形可以得到的条件有： AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °
条件够吗？
还需要的条件是 AM＝BN
你能完成证明吗???
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交
于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N， 求证：BM＝CN。
证明：
∵四边形ABCD是正方形 ∴OA＝OB , ∠1＝∠2＝∠3＝45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45° ∴OM＝ON ∴OA－OM＝OB－ON 即AM＝BN
_____=_____ 要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?
△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为
CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M， 求证：∠MFD＝45°
证明：
∵CE⊥AF ∴∠ADC＝∠AEM＝90° 又∵∠CMD＝∠AME ∴∠1＝∠2 又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，如图
求：正方形的面积S。
例1．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连 结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG 分析：欲证∠CEA＝∠ABG， 大家想一想证明两个角相等的方法， 你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
平行四边形
正
矩形
方 形
菱形
初中数学资源网
正方形是特殊的平行四 边形，也是特殊的矩形，也 是特殊的菱形。
正方形的性质=
0D
正方形性质:
边: 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线：相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。
范例精讲 例1求证：正方形的两条对角线把正方
①求证OE=OF； ②如图2所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥EB的延长 线于点M，交DB的延长线于点F，其他条件都不变，则结 论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不 成立，请说明理由．
A
O F M B 图1
D
A O
D
E
M C
F
B
C E
图2
练习：在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
（8）如图1：正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点 O，E是AC上的一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂 足M，AM交BD于点F．
Ｂ．四角相等的四边形是正方形
Ｃ．对角线垂直的平行四边形是正方形 Ｄ．对角线互相垂直平分且相等的四边 形是正方形
例题解析
1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四 边形EFGH是正方形吗?为什么? Ｈ
Ａ Ｄ Ｅ
Ｇ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
2.已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH, 试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?
形分成四个全等的等腰直角三角形。
．已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD 相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
下面大家自己完成证明
例：在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ `，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上， 且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ` Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图(2)。 求：AC的长及正方形的面积S。
DF⊥AC,垂足分别是E,F.
1)试说明:DE=DF
2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外
添加辅助线,无需证明)
E B
A F D C
Ａ Ｅ
Ｈ
Ｄ
Ｇ Ｂ Ｆ Ｃ
1.平行四边形
有一组邻边相等 有一个角是直角
常
见
说
2.矩形 3.菱形
有一组邻边相等
明
正方形
方
法
有一个角是直角
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。
分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
2.怎样使菱形的衣帽架变成正方形的衣帽架?
3.昨天,我去超市买了一条方巾，现在想请同学们帮助检验 一下方巾是否是正方形的。
例1：1、要使一个菱形成为正方形需 增加的条件是 （填上一个条件即可）
2、要使一个矩形成为正方形 需添加的条件是 （填上一个条件即可）
例２：下列正确的是
Ａ. 四边相等的四边形是正方形