吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试数学(文)Word版含解析
吉林省达标名校2018年高考二月调研数学试卷含解析
吉林省达标名校2018年高考二月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm2．若变量,x y ，满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．8113D ．103．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A 10B 6C 23D 34．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±5．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5B ．22C ．23D ．337．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 9．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A 2B 26C 13D 1311．已知函数2(0)()ln (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围（ ）． A ．[0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．[,1)-∞12．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
吉林省吉林市普通中学2018-2019学年高三毕业班第二次调研测试数学(文)试题 Word版含答案
吉林省普通中学2018-2019学年度高中毕业班第二次调研考试数学（文科）试题一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只温馨提示：多少汗水曾洒下，多少期待曾播种，终是在高考交卷的一刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流水，人生，总有一次这样的成败，才算长大。
高考保持心平气和，不要紧张，像对待平时考试一样去做题，做完检查一下题目，不要直接交卷，检查下有没有错的地方，然后耐心等待考试结束。
有一项符合题目要求.1. 已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5,6B =，则集合A B 的真子集个个数为A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知复数21iz i-=+，则复数z 的在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3. 命题“[]0,1m ∀∈，12m x x+≥”的否定形式是 A.[]0,1m ∀∈，12m x x +< B. []0,1m ∀∈，12m x x+≥ C. ()(),00,m ∃∈-∞+∞，12x x +≥ D. []0,1m ∃∈，12m x x+<4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为A. -10B. 6C. 14D. 185. 抛物线上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 A. 5 B. 4 C.15 D. 106. 若,x y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最小值为A. 0B. -3C.32D. 3 7. 设{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和10S =A. -10B. -5C. 0D. 58. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()()22311x y -+-=相切，则此双曲线的离心率为 A. 2 B.5 C. 3 D.29. 若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是A.8π B. 4πC. 38πD.34π10. 某个几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积是 A. 4π B.283π C. 443πD. 20π 11. 在等腰直角ABC ∆中，,AC BC D =在边AB 上且满足：()1CD tCA t CB =+-，若60ACD ∠=，则t 的值为A.312- B. 31- C.322- D.312+ 12. 设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()20f -=,当0x >时，则()()03xf x f x '+>使得()0f x >成立的x 的取值范围是 A. ()(),20,2-∞- B. ()()2,02,-+∞ C. ()(),22,2-∞-- D. ()()0,22,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦ .14. 已知2a b ==，,a b 的夹角为45，且b a λ-与a 垂直，则实数λ= . 15.给出下列命题：①若函数()y f x =满足()()11f x f x -=+，则函数()f x 的图象关于直线1x =对称； ②点()2,1关于直线10x y -+=的对称点为()0,3;③通过回归方程ˆˆˆybx a =+可以估计和观测变量的取值和变化趋势； ④正弦函数是奇函数，()()2sin 1f x x =+是正弦函数，所以()()2sin 1f x x =+是奇函数，以上推理错误的原因是大前提不正确.其中真命题的序号为 .16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()()()21212nnn n n n a a n N *+-⋅=+-⋅∈，则10S = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分10分）已知函数()()sin 0,2f x M x M πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1) 求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2A f ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且333,9.a S == (1)求数列{}n a 的通项公式； （2）设2233log n n b a +=，若14n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T .19.（本题满分12分）某车间20名工人年龄数据如下表：(1)求这20名工人年龄的众数与平均数；（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.20.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，E,F 分别为PC,BD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD ，且2.2PA PD AD == (1)求证：//EF 平面PAD ; （2）求三棱锥C PBD -的体积.21.（本题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，左、右焦点分别为12,F F ，左顶点为A,12 1.AF =- (1)求椭圆的方程；（2）若直线l 经过2F 与椭圆交于M,N 两点，求11F M F N ⋅的取值范围.22.（本题满分12分）设函数()()ln f x x b x =+，已知曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +=垂直.(1)求b 的值； （2）若函数()()()01xf xg x e a a x ⎛⎫=-≠⎪+⎝⎭且()g x 在区间()0,+∞上是单调函数，求实数a 的取值范围.吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第二次调研测试数 学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
2017-2018届吉林省长春市高三毕业班第二次调研测试文科数学试题及答案
2017-2018年长春市高中毕业班第二次调研测试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）.1．设集合{}2|<=xxM，集合{}10|<<=xxN，则下列关系中正确的是A．M N=RB．()M N=R RðC ．()N M =R R ðD ．M N M = 2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0 B ．4 C ．2 D ．2 3．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b +a c ，则λ的值为 A ．311-B ．113-C ．12D ．354．已知命题p ：函数1x y a +=的图象恒过定点(01)，；命题q ：若函数()y f x =为偶函数，则函数(1)y f x =+ 的图像关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 5．运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?6．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；第5题图③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为 A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③7．抛物线2x my =上一点()0,3M x -到焦点的距离为5，则实数m 的值为A ．8-B ．4-C ．8D ．4 8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．2+2B．2+2C．(2+π D． 9．设 2.8log 3.1,log ,log e a b e c ππ===，则A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．已知函数2()212x f x x x =++-，则()y f x =的图象大致为AB C D第8题图11．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 不在同一支上)，21,F F 为双曲线的两个焦点，则21,F F 在A ．以A ，B 为焦点的双曲线上 B ．以A ，B 为焦点的椭圆上C ．以A ，B 为直径两端点的圆上D ．以上说法均不正确12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
数学---吉林省吉林市普通中学2018届高三第二次调研测试试题(理)
吉林省吉林市普通中学2018届高三 第二次调研测试数学试题（理）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1.已知全集=,={|(+3)<0},={|<-1}R U N x x x M x x ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {|-3<<-1}x x B. {|-3<<0}x x C. {|-1<0} x x D. {|<-3}x x2.设i 是虚数单位，复数-i1+ia 为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. -1C.12D. -23. 已知,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线，则“α∥β” 是“m ∥β”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知{}n a 是公差为4的等差数列，前n 项和为n S ，若5=15S ，则10a 的值是（ ） A. 11 B.20 C. 29 D. 315.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，下图为该问题的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为（ ）MNUA.34B.45C.78D.15166.已知向量a 和b 的夹角为120°，且||=2,||=4a b ， 则(2-)⋅a b a 等于（ ）A ．-4B ．0C ．4D ．127.有如下四个命题：2211:,sin +cos =222R ∃∈x x p x ；2:,,sin(-)=sin -sin R ∃∈p x y x y x y ；3:[0,π=sin ∀∈p x x ；4:p 若sin =cos x y ，则π+=2x y .其中假命题的是（ ） A.24,p pB.14,p pC.23,p pD.13,p p8. 已知双曲线2222-=1(>0,>0)x y a b a b的一条渐近线为=y ，则该双曲线的离心率等于（ ）A.B.C.D.9. 已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意R ∈x 都满足ππ(+)=(-)44f x f x ，则函数()=sin +()g x x f x 的最大值为（ ）A ．5B ．3CD 10．如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 9B.272C. 18D. 2711. 已知函数是定义在R 上的奇函数，当<0x 时，()=e x f x x ，给出下列命题： ① 当>0x 时，-()=-e x f x x ；② 函数的单调递减区间是(-,-1),(1,+)∞∞；③ 对12,R ∀∈x x ，都有122|()-()|e≤f x f x . 其中正确的命题是（ ） A. ①②B. ②③C. ①③D. ②12. 已知F 为抛物线2=y x 的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且=6⋅OA OB（O 为坐标原点），若ΔABO 与ΔAFO 的面积分别为1S 和2S ，则12+4S S 最小值是（ ）A.B. 6C.132D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知实数,x y 满足条件1--10+-40≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩y x y x y , 则=2+z x y 的最大值是 .14.某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话. 事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是 . 15. 已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且+1=2n n n S a ，则-1(>1)n n a n a 的最大值为 . 16.三棱锥-S ABC 中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，⊥SA 面ABC ，=2SA ,则三棱锥-S ABC 外接球的表面积是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．在ΔABC 中，角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，满足cos +(2+)cos =0c B a b C （1）求角C ；()f x ()f x（2）若=c ΔABC 面积的最大值.18．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，24=6,=30S S . （1）求{}n a 的通项公式； （2）设22+21=(log )(log )n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，证明：3<4n T .19．某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；分数（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，=60?∠DAB ,ΔADP 为等边三角形.（1）求证：⊥AD PB ;（2）若=2,=AB BP --D PC B 的余弦值.21．设椭圆22122:+=1(>>0)x y C a b a b 的左焦点为F ，右顶点为A ，短轴A 是抛物线22:=2(>0)C y px p 的焦点. （1）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程;（2）若抛物线2C 的准线l 上两点,P Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ，若ΔAPD 的面积为3，求直线AP 的方程.22．已知函数()=e (cos -sin )x f x x x（1）求曲线=()y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;（2）令2()=()+e (2-2)-(+2c o s )x g x f x x a x x，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.参考答案一、选择题二、填空题 13.714.甲15. 2 16.28π3三、解答题17．解：(1)由已知得:sin cos +(2sin +sin )cos =0C B A B Csin cos +sin cos +2sin cos =0C B B C A Csin(+)+2sin cos =0B C A Csin +2sin cos =0A A C因为sin >0A ,所以1cos =-2C ,2π=3C (2) 由余弦定理222=+-2cos c a b ab C 得：223=++2+=3,1≥≤a b ab ab ab ab ab ，当==1a b 时取等号Δ11=sin ?1?=22≤ABC S ab C 所以ΔABC 18．解（1）设公比为q ，由题意1≠q2141(1-)=6------(1)1-(1-)=30-----(2)1-⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩a q q a q q， 由（2）得：221(1+)(1-)=301-a q q q将（1）代入得：221+=5,=4,>0,=2∴q q q q代入（1）得：1=2a ，所以=2n n a （2）+22211111===(-)(log 2)(log 2)(+2)2+2n n n b n n n n11111111111=(1-)+(-)+(-)+...+(-)232242342+2n T n n1111=(1+--)22+1+2n n 3<419．解：（1）（0.02+0.04）×10=0.6，1-0.6=0.4样本分数小于70的频率为0.4, 所以总体中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4 （2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9+++⨯=， 分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955-⨯-=.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为560030100⨯=. （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=. 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为::604032=.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为:32. 20．（1）证明：取AD 中点E ，连结PE ,BE ，ABCD 为菱形，=60°∠DAB ，∴ΔABD 为等边三角形，∴,⊥BE AD ΔADP 为等边三角形， ∴⊥PE AD ，=⋂PE BE E ，∴⊥AD PBE 面， ⊂PB PBE 面，∴⊥AD PB .(2) Δ,ΔPAD BAD 为等边三角形，边长为2===∴PE BE PB 222+=∴PE BE PB∴⊥PE EB,=⊥⋂PE AD AD BE E ∴⊥PE ABCD 面如图，以EA ,EB ,EP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系∴(-1,0,0),P D B C设平面PCD 的法向量为=(,,)m x y z=0=0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩m PD m DC,(,,)=0-=0,(,,)=0-=0⎧⎧⋅⎪⎪⎨⎨⋅⎪⎪⎩⎩x y z x x y z x 取=1z，则==-1,=x y m设平面PCB 的法向量为=(,,)n a b c=0=0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩n PB n BC,(,,)=0=0,(,,)(-2,0,0)=0-2=0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎪⎩⎩a b c a b c a 取=-1c ，则=0,=-1,=(0,-1,-1)a b n设二面角--D PC B 的平面角为θ∴cos =cos <,>===0||||⋅m n m n m nθ二面角--D PC B 的余弦值等于0 21． 解（1）22,22,22==∴===c b b c b e ，则有由222=+=1a b c ，所以椭圆方程为22+2=1x y(1,0),=2,∴A p 所以抛物线方程为2=4y x（2）设直线AP 方程为)0(1≠+=m my x ，与直线l 的方程1-=x 联立xyzABCDE P可得点)2,1(),2,1(mQ m P ---， 联立AP 跟椭圆方程⎩⎨⎧+==+11222my x y x 消去x ，整理得02222=++my y m ）（，解得22,0221+-==m m y y ，可得)22,22(222+-++-m mm m B ， 由）（mQ 2,1-，mm m m m m m k BQ 1122222222+-=+++--+-=直线BQ 方程)1(122++-=-x m m m y ， 令y =0，解得1122+-=m m x ，即)0,11(22m m D +- 所以有3222)m 111(2122=+--=m m S △， 整理得0226222=+-m m , 解得222±=±=m m 或 所以，直线AP的方程为：-1=0,-1=0,2-2=0,2-2=0x x x x 22． 解：（1）()(cos sin )e (sin cos )2e sin x x x f x e x x x x x '=-+--=-1)0(,0)0('==∴f f 又则切线方程为y=1（2）g （x ）=e x （cos x ﹣sin x +2x ﹣2）﹣a （x 2+2cos x ）g ′（x ）=e x （cos x ﹣sin x +2x ﹣2）+e x （﹣sin x ﹣cos x +2）﹣a （2x ﹣2sin x ）=2（x ﹣sin x ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sin x ）（e x ﹣e ln a ）．令u （x ）=x ﹣sin x ，则u ′（x ）=1﹣cos x ≥0，∴函数u （x ）在R 上单调递增．∵u （0）=0，∴x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0． 当a ≤0时，e x ﹣a ＞0，∴x ＞0时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）在（0，+∞）单调递增； x ＜0时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）在（﹣∞，0）单调递减． ∴x =0时，函数g （x ）取得极小值，()(0)21g x g a ==--极小 无极大值当a ＞0时，令g ′（x ）=2（x ﹣sin x ）（e x ﹣e ln a ）=0．解得x 1=ln a ，x 2=0．11 ①0＜a ＜1时，x ∈（﹣∞，ln a ）时，e x ﹣e ln a ＜0，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增；x ∈（ln a ，0）时，e x ﹣e ln a ＞0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减；x ∈（0，+∞）时，e x ﹣e ln a ＞0，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增．∴当x =0时，函数g （x ）取得极小值，()(0)21g x g a ==--极小．当x =ln a 时，函数g （x ）取得极大值，()g x =极大g （ln a ）=﹣a [ln 2a ﹣2ln a +sin （ln a ）+cos （ln a ）+2]．②a =1时，ln a =0，x ∈R 时，g ′（x ）≥0，∴函数g （x ）在R 上单调递增．无极值③a >1时，ln a ＞0，x ∈（﹣∞，0）时，e x ﹣e ln a ＜0，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增；x ∈（0，ln a ）时，e x ﹣e ln a ＜0，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减；x ∈（ln a ，+∞）时，e x ﹣e ln a ＞0，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增．∴当x =0时，函数g （x ）取得极大值，()(0)21g x g a ==--极大．当x =ln a 时，函数g （x ）取得极小值,()g x =极小g （ln a ）=﹣a [ln 2a ﹣2ln a +sin （ln a ）+cos （ln a ）+2]．综上所述：当a ≤0时，函数g （x ）在（0，+∞）单调递增；在（﹣∞，0）单调递减．g （x ）极小值为﹣1﹣2a ．无极大值当0＜a ＜1时，函数g （x ）在（﹣∞，ln a ），（0，+∞）上单调递增；在（ln a ，0）上单调递减．极小值g （0）=﹣2a ﹣1．极大值g （ln a ）=﹣a [ln 2a ﹣2ln a +sin （ln a ）+cos （ln a ）+2]． 当a =1时，函数g （x ）在R 上单调递增．无极值当a ＞1时，函数g （x ）在（﹣∞，0），（ln a ，+∞）上单调递增；在（0，ln a ）上单调递减． 极大值g （0）=﹣2a ﹣1．极小值g （ln a ）=﹣a [ln 2a ﹣2ln a +sin （ln a ）+cos （ln a ）+2]．。
2018年吉林省高考数学试卷(文科)(全国新课标ⅱ).doc
2018 年吉林省高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5 分） i（2+3i） =（）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣ 3﹣2i D．﹣ 3+2i2．（5 分）已知集合 A={ 1，3，5，7} ， B={ 2， 3， 4， 5} ，则 A∩B=（）A．{ 3} B．{ 5} C．{ 3，5} D．{ 1，2，3，4，5，7}3．（5 分）函数 f（ x）= 的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5 分）已知向量，满足|| =1，=﹣ 1，则?（ 2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5 分）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为（）A．0.6 B．0.5 C．0.4D．0.36．（5 分）双曲线=1（ a＞ 0， b＞ 0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A ．y=± xB ．y=± xC ．y=± xD ．y=± x7．（5 分）在△ ABC 中， cos = ，BC=1，AC=5， AB=（）A ．4B ．C ．D ．2 8．（5 分） 算 S=1++⋯+ ， 了如 的程序框 ， 在空白框中 填入（）A ．i=i+1B ．i=i+2C ．i=i+3D ． i=i+4．（ 分）在正方体 1 1 1 1 中， E 棱 CC 1 的中点， 异面直AE 与9 5 ABCD A B C D CD 所成角的正切 （ ） A ．B ．C ．D ．10．（ 5 分）若 f （ x ）=cosx sinx 在[ 0，a] 是减函数， a 的最大 是（ ）A ．B ．C ．D ．π．（ 5 分）已知1，F 2 是 C 的两个焦点， P 是 C 上的一点，若 PF 1⊥PF 2，且 11 F ∠ PF 2 1 °， C 的离心率 （ ）F =60 A ．1B ．2C ．D ．112．（ 5 分）已知 f （x ）是定 域 （ ∞， +∞）的奇函数， 足 f （ 1 x ） =f （ 1+x ），若 f （1）=2， f （ 1） +f （2）+f （3）+⋯+f （50）=（）A．﹣ 50B．0C． 2D．50二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
最新-吉林省长春市2018届高三下学期第二次模拟考试文
长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学文科 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. 复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于直线y x =对称，且132z i =+，则2z =A. 32i -B. 23i -C. 32i --D. 23i +2. 若实数,a b ∈R 且a b >，则下列不等式恒成立的是A. 22a b > B.1ab> C. 22a b > D. lg()0a b -> 3. 设集合2{|30}A x x x =-<，{|2}B x x =<，则A B =A. {}|23x x <<B. {}|20x x -<<C. {}|02x x << D . {}|23x x -<< 4. 运行如图所示的程序框图，则输出的S 值为A. 99212-B. 99212+ C. 1010212- D. 1010221+5. 已知AB 为圆221x y +=的一条直径，点P 为直线20x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅ 的最小值为A. 1 C. 2 D. 6. 几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为A.323B. 2163π-C. 403D. 8163π-7. 以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为A. 1B.2C.D. 2 8. 已知P 为椭圆2212516x y +=上的点，点M 为圆221:(3)1C x y ++=上的动点，点N 为圆2:C 22(3)1x y -+=上 的动点，则||||PM PN +的最大值为 A. 8 B. 12 C. 16 D. 209. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >且65911a a =，当n S 取最大值时，n 的值为 A. 9B. 10C. 11D. 1210. 已知函数()2f x +=，当(0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间(1,1]-内，()()(1)g x f x t x =-+有两个不同的零点，则实数t 的取值范围是A. 1[,)2+∞B. 11[,]22-C. 1[,0)2-D. 1(0,]211. 函数11ln 22y x x x=+--的零点所在的区间是A. 1(,1)eB. (1,2)C. (2,)eD. (,3)e12. 已知直线21y x =+与圆224x y +=相交于A 、B 两点，设α、β分别是以,OA OB 为终边的角，则sin()αβ+= A.35B. 35-C. 45D. 45-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是___________.14. 已知实数,x y 满足2040240x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≤≤≥，则2y x -的最小值为___________.15.已知向量=a ，01=（，）b，则当[t ∈时，||t -⋅a b 的取值范围是___________. 16. 已知数列{}n a 中，对任意的n ∈*N ，若满足12n n n a a a s ++++=（s 为常数），则称该数列为3阶等和数列，其中s 为3阶公和；若满足1n n a a t +⋅=（t 为常数），则称该数列为2阶等积数列，其中t为2阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的3阶等和数列，且满足32212p p p p ==；数列{}n q 为首项为1-，公积为2的2阶等积数列，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ___________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x =+(1)求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；(2) 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中7a =，若锐角A满足()26A f π-=sin sin 14B C +=，求b c ⋅的值. 18. （本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇，2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为34，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PD ⊥平面ABCD ，点1D 为棱PD 的中点，过1D 作与平面ABCD 平行的平面与棱PA ，PB ，PC 相交于1A ，1B ，1C ，60BAD ∠=︒.（1）证明：1B 为PB 的中点；（2）已知棱锥的高为3，且2AB =， AC 、BD 的交点为O ，连接1B O .求三棱锥1B ABO -外接球的体积.20. （本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ,且离心率为12,点P 为椭圆上一动点，12F PF ∆(1)求椭圆的方程;(2) 设椭圆的左顶点为1A ,过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ,B 两点，连结1A A , 1A B 并延长分别交直线4x =于P ，Q 两点，问22PF QF ⋅是否为定值？若是，求出此定值；若不是,请说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数ln ()a xf x x-=在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （1）求实数a 的值及()f x 的极值； （2）若对任意1x ，2x 2[,)e ∈+∞，有121212()()||>f x f x kx x x x --⋅，求实数k 的取值范围；请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.如图，过圆O 外一点P 的作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 的直线交圆O 于A 、B 两点，连接PA 并延长交圆O 于点C ，连接PB 交圆O 于点D ，若MC BC =.（1）求证：APM ∆∽ABP ∆；(2) 求证：四边形PMCD 是平行四边形.23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8cos()3πρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于A ,B 两点，求||AB 的最大值和最小值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲. 设函数()|+2|||()f x x x a a =+-∈R .(1)若不等式()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围； (2) 若不等式3()2f x x …恒成立，求实数a 的取值范围.长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学(文科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分) 1. D 【命题意图】本题考查复平面上的点与复数的关系，属于基础题.【试题解析】D 复数1z 在复平面内关于直线y x =对称的点表示的复数223z i =+，故选D. 2. C 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质，是书中的原题改编，考查学生对函数图像的认识.【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知：当a b >时，22ab>为正确选项，故选C.3. C 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算，属于基础题.【试题解析】C 由题意可知{|03A x x =<<，则{|22B x x =-<<，所以{|02A B x x =<< . 故选C.4. A 【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识，是一道基本题.【试题解析】A由算法流程图可知，输出结果是首项为12，公比也为12的等比数列的前9项和，即为99212-. 故选A.5. A 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系以及向量的运算.【试题解析】A 由题可知，从圆外一点指向圆直径的两个端点的向量数量积为定值，即为22d r -，其中d 为圆外点到圆心的距离，r 为半径，因此当d 取最小值时，PA PB ⋅的取值最小，由方程的图像可知dPA PB ⋅的最小值为1. 故选A. 6. C 【命题意图】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法，对学生运算求解能力有一定要求.【试题解析】C 该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥，所以其体积为14022422233⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选C. 7. A 【命题意图】本题考查椭圆与双曲线离心率的概念，属于基础题.【试题解析】A以正方形的一条边的两个端点为焦点，且过另外两个顶点的椭圆的离心率为1e ==，双曲线的离心率为2e ==，故他们的积为1，故选A. 8. B 【命题意图】本题主要考查椭圆的定义，是一道中档题.【试题解析】B 由题可知，max 12(||||)||||212PM PN PC PC +=++=，故选B.9. B 【命题意图】本题考查等差数列的性质，借助前n 项的取值确定项数，属于基础题.【试题解析】B 由题意，不妨设69a t =，511a t =，则公差2d t =-，其中0t >，因此10a t =，11a t =-，即当10n =时，n S 取得最大值. 故选B.10. D 【命题意图】本题是最近热点的函数图像辨析问题，是一道较为复杂的难题.【试题解析】D 由题可知函数在(1,1]x ∈-上的解析式为22(1,0]()1(0,1]xx f x x x x -⎧ ∈-⎪=+⎨⎪ ∈⎩，可将函数()f x 在(1,1)x ∈-上的大致图像呈现如图：根据(1)y t x =+的几何意义，x 轴位置和图中直线位置为(1)y t x =+表示直线的临界位置，因此直线的斜率t 的取值范围是1(0,]2. 故选D.11. C 【命题意图】本题主要考查函数的零点问题，将零点问题转化为交点问题，是解决本题的关键.【试题解析】C由题意，求函数11ln 22y x x x=+--的零点，即为求两个函数11ln 22x x x =-++的交点，可知等号左侧11ln 22x x x=-++为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当2x =时，11ln 22x x x <-++，当x e =时，11ln 22x x x>-++，因此函数11ln 22y x x x=+--的零点在(2,)e 内. 故选C.12. D 【命题意图】本题是关于三角函数的综合问题，属于中档题.【试题解析】D 作直线AB 的中垂线，交圆于,C D 两点，再将x 轴关于直线CD 对称，交圆于点E ，则BO E α∠=，如图所示，sin()sin(22)sin 2αβπθθ+=-=-，而1tan 2θ=，故4sin()sin 25αβθ+=-=-. 故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 0x ∃∈R ，20010x x ++≤【命题意图】本题考查全称命题的否定，是一道基本题.【试题解析】由题意可知，命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是：0x ∃∈R ，20010x x ++≤.14. 1 【命题意图】本题主要考查线性规划问题，是一道常规题. 从二元一次方程组到可行域，再结合目标函数的几何意义，全面地进行考查.【试题解析】根据方程组获得可行域如下图，令2z y x =-，可化为2y x z =+，因此，当直线过点(1,3)时，z 取得最小值为1.15.【命题意图】本题考查积分的运算，是一道中档的常规问题.【试题解析】由题意，b 为(0,1)，根据向量的差的几何意义，||t -⋅a b 表示t b 向量终点到a 终点的距离，当t =时，该距离取得最小值为1，当t =时，根据余弦定理，可算得该距离||t -a b的取值范围是.16. 7056-【命题意图】本题主要考查非常规数列求和问题，对学生的逻辑思维能力提出很高要求，属于一道难题.【试题解析】由题意可知，11p =，22p =，34p =，41p =，52p =，64p =，71p =，……，又n p 是3阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，11q =-，22q =-，31q =-，42q =-，51q =-，62q =-，71q =-，……，又n q 是2阶等积数列，因此该数列将会照此规律循环下去，由此可知对于数列{}n n p q ⋅，每6项的和循环一次，易求出112266...21p q p q p q ⋅+⋅++⋅=-，因此2016S 中有336组循环结构，故2016213367056S =-⨯=-.三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数的化简运算，以及三角函数的性质，并借助正弦定理考查边角关系的运算，对考生的化归与转化能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 2()2sin cos sin2f x x x x x x =+2sin(2)3x π=+，因此()f x 的最小正周期为22T ππ==.()f x 的单调递减区间为3222232k x k πππππ+++≤≤， 即7[,]1212x k k ππππ∈++()k ∈Z . (6分) (2)由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==，又A 为锐角，则3A π=. 由正弦定理可得2sin a R A ===sin sin 214b c B C R ++==，则1314b c +==，由余弦定理可知，22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===， 可求得40bc =. (12分)18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求. 【试题解析】2200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关. (6分)(2) 若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为,,A B C ，不满意的交易为,a b ，从5次交易中，取出2次的所有取法为(,)A B 、(,)A C 、(,)A a 、(,)A b 、(,)B C 、(,)B a 、(,)B b 、(,)C a 、(,)C b 、(,)a b ，共计10种情况，其中只有一次好评的情况是(,)A a 、(,)A b 、(,)B a 、(,)B b 、(,)C a 、(,)C b ，共计6种，因此，只有一次好评的概率为63105= (6分)19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系在立体几何中的应用. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求. 【试题解析】解：(1)连结11B D .111111111111////ABCD A B C D PBD ABCD BD BD B D PBD A B C D B D ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭ 平面平面平面平面平面平面，即11B D 为△PBD 的中位线， 即1B 为PB 中点. (6分)(2) 由(1)知，132OB =，且OA OB ⊥，1OA OB ⊥，1OB OB ⊥， 即三棱锥1B ABO -外接球为以OA 、OB 、1OB 为长、宽、高的长方体外接球，则该长方体的体对角线长为52d ==，即外接球半径为54.则三棱锥1B ABO -外接球的体积为33445125()33448V R πππ===. (12分)20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1) 已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又△12F PFP为短轴端点，因此122t ⋅=，解得1t =，则椭圆的方程为22143x y +=. (4分) (2) 设直线AB 的方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得 22(34)690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+ 直线1AA 的方程为11((2))(2)y y x x =----，直线1BA 的方程为22((2))(2)y y x x =----， 则116(4,)2y P x +，226(4,)2y Q x +， 则1216(3,)2y F P x =+ ，2226(3,)2y F Q x =+ ，则121222212121266369()()90223()9y y y y F P F Q x x t y y t y y ⋅=+=+=+++++ ，即22F P F Q ⋅为定值0. (12分)21.(本小题满分12分)【命题意图】本题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述原函数的单调性、极值等情况. 本题对考生的逻辑推理与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解(1) 由题意得21ln ()a xf x x--'=，又(1)0f '=，解得1a =. 令2ln ()0xf x x-'==，解得1x =，即()f x 有极大值为(1)1f =. (6分) (2) 由121212()()||f x f x k x x x x ->-⋅，可得1212()()||11f x f x k x x ->-令1()()g f x x=，则()ln g x x x x =-，其中2(0,]x e -∈，()ln g x x '=-，又2(0,]x e -∈，则()ln 2g x x '=-≥，即1212()()||211f x f x x x ->-，因此实数k 的取值范围是(,2]-∞. (12分)22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到切割线定理以及三角形 相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解(1) 由题意可知，2MN NA NB =⋅，则N 为PM 的中点，则2PN NA NB =⋅，即NA NPNP NB=，因此△NAP ∽△NPB ，则NBP NPA ∠=∠， 由CM CB =可得MAC BAC ∠=∠，即MAP BAP ∠=∠，则APM ∆∽ABP ∆.(5分)(2) 由(1)PMA APB ∠=∠，又PMA PCM ∠=∠，则PCM APB ∠=∠，可得//MC PD ，由NBP NPA ∠=∠，NBP ACD ∠=∠，则N P A A C D ∠=∠，可得//MP CD ，因此四边形PMCD 是平行四边形. (10分)23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、利用直线的参数方程的几何意义求解直线与曲线交点的距离等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解(1) 对于曲线2C 有8cos()3πρθ=-，即24cos 4sin ρρθθ=+，因此曲线2C的直角坐标方程为224x y x +=+，其表示一个圆. (5分)(2) 联立曲线1C 与曲线2C的方程可得：2130t t α-⋅-=，12||||AB t t =-===因此||AB的最小值为8. (10分)24.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想. 【试题解析】(1) 当0a ≥时，()0f x a +≥恒成立，当0a <时，要保证()f x a -≥恒成立，即()f x 的最小值|2|a a --≥，解得1a -≥.(5分)(2) 根据函数()f x 图像的性质可知，当322a a +=时，3()2f x x ≥恒成立，即4a =， 所以a 的取值范围是(,4]-∞时3()2f x x ≥恒成立.(10分)。
吉林省吉林大学附中2018年高考数学二模试卷(文科)Word版含解析
吉林省吉林大学附中2018年高考二模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合A={x|＜2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x2≤0}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜2}2．在等比数列{an }中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．21 B．42 C．48 D．963．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A．B．C．D．4．对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|5．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.86．2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（）A．茎叶图B．分层抽样 C．独立性检验D．回归直线方程7．下列函数既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=2x+2﹣x8．已知一个几何体可切割成一个多面体及一个旋转体的一部分，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．π B．π+1 C．π+D．π9．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．将所有正偶数按如图方式进行排列，则2 016位于（）A．第30行B．第31行C．第32行D．第33行11．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，AB=2AD=4，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等边三角形，则球面O的表面积为（）A．B．32π C．64π D．12．已知集合{f（x）|f（x）=ax2﹣|x+1|+2a＜0，x∈R}为空集，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014马鞍山三模）若实数x ，y 满足的最小值是 ．14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则= ．15．函数f （x ）的图象如图所示，f′（x ）是f （x ）的导函数，设a=f′（﹣2），b=f′（﹣3），c=f （﹣2）﹣f （﹣3），则a ，b ，c 由小到大的关系为 ．16．已知数列满足：a 1=1，a n+1=，（n ∈N *），若b n+1=（n ﹣λ）（+1），b 1=﹣λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足=2+2cos （A+B ）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC 的面积．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F ﹣AEC 的体积．19．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩拉样统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽取取100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值．（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a ≥10，b ≥18，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．20．已知点H （﹣6，0），点P （0，b ）在y 轴上，点Q （a ，0）在x 轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ 上，且满足﹣2=， （Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点T （﹣1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为E （x 0，0），设线段AB 的中点为D ，且2|DE|=|AB|，求x 0的值．21．已知函数f （x ）=，g （x ）=alnx ﹣x （a ≠0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a ＞0时，对于任意x 1，x 2∈（0，e]，总有g （x 1）＜f （x 2）成立．请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清楚题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于B ，C 两点，且AB=AC ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，∠EBC=30°．（Ⅰ）求AF 的长；（Ⅱ）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．求不等式2x+2|x|≥2的解集；（Ⅱ）已知实数m＞0，n＞0，求证： +≥．吉林省吉林大学附中2018年高考二模试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合A={x|＜2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x2≤0}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|1≤x＜2} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0＜x＜2}【分析】化简集合A、B，计算A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜2x﹣2＜1}={x|﹣2＜x﹣2＜0}={x|0＜x＜2}，B={x|1﹣x2≤0}={x|x≤﹣1或x≥1}，所以A∩B={x|1≤x＜2}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．在等比数列{an }中，a1+a2=3，a3+a4=12，则a5+a6=（）A．21 B．42 C．48 D．96【分析】设等比数列{an }的公比为q，由题意可得q2=4，而a5+a6=（a3+a4）q2，代入计算可得．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a3+a4=a1q2+a2q2=（a1+a2）q2=3q2=12，解之可得q2=4，故a5+a6=a3q2+a4q2=（a3+a4）q2=12×4=48故选C【点评】本题考查等比数列的性质，涉及整体代入的思想，属中档题．3．在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆相交的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆x2+y2=1的圆心为（0，0）圆心到直线y=k（x+2）的距离为要使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1相交，则解得﹣＜k＜∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=k（x+2）与圆x2+y2=1有公共点的概率为P==故选C．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．4．对任意复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．|z﹣|=2y B．z2=x2+y2C．|z﹣|≥2x D．|z|≤|x|+|y|【分析】根据|z﹣|=|2yi|=2|y|，可得 A、C不正确，根据z2=x2﹣y2﹣2xyi，可得B不正确，由|z|=可得D正确．【解答】解：由于复数z=x+yi（x，y∈R），i为虚数单位，∴|z﹣|=|2yi|=2|y|，故（A）错误．由z2=x2﹣y2+2xyi，故（B）错误．由|z﹣|=2|y|，不一定大于或等于2x，故（C）错误．由|z|=≤=|x|+|y|，故（D）正确．故选：D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义，准确理解复数的模的定义，是解题的关键，属于基础题．5．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为﹣1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A．0.2，0.2 B．0.2，0.8 C．0.8，0.2 D．0.8，0.8【分析】计算循环中a的值，当a≥1时不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：若第一次输入的a的值为﹣1.2，满足上面一个判断框条件a＜0，第1次循环，a=﹣1.2+1=﹣0.2，第2次判断后循环，a=﹣0.2+1=0.8，第3次判断，满足上面一个判断框的条件退出上面的循环，进入下面的循环，不满足下面一个判断框条件a≥1，退出循环，输出a=0.8；第二次输入的a的值为1.2，不满足上面一个判断框条件a＜0，退出上面的循环，进入下面的循环，满足下面一个判断框条件a≥1，第1次循环，a=1.2﹣1=0.2，第2次判断后不满足下面一个判断框的条件退出下面的循环，输出a=0.2；故选C．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．6．2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石．许多人认为这场比赛是人类的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，应采用的统计方法是（）A．茎叶图B．分层抽样 C．独立性检验D．回归直线方程【分析】这是一个独立性检验应用题，处理本题时要注意根据在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，不难得到答案．【解答】解：在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，可得：K2==83.88＞10.828，故有理由“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”是否有关系时，故利用独立性检验的方法最有说服力，故选：C．【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，属于基础题．7．下列函数既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递减的是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣|x+1| C．f（x）=ln D．f（x）=2x+2﹣x【分析】根据奇函数、偶函数的定义，奇函数在原点有定义时，f（0）=0，以及函数单调性的定义，复合函数单调性的判断便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=x3在（0，1）上单调递增，∴该选项错误；B．f（x）=﹣|x+1|的定义域为R，且f（0）=﹣1≠0；∴f（x）不是奇函数，∴该选项错误；C.的定义域为（﹣1，1），且；∴f（x）为奇函数；；在（﹣1，1）上单调递减，y=lnt单调递增；∴f（x）在（0，1）上单调递增；∴该选项正确；D．f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=f（x）；∴f（x）为偶函数；∴该选项错误．故选：C．【点评】考查奇函数和偶函数的定义及判断方法，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，对数函数、反比例函数的单调性，复合函数单调性的判断．8．已知一个几何体可切割成一个多面体及一个旋转体的一部分，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．π B．π+1 C．π+D．π【分析】由三视图知该几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是直三棱柱、右边是半个圆柱，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边是1，侧棱长是2，圆柱的底面半径是1，母线长是2，∴该几何体的体积V==π+1，故选：B．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p 是¬q 的充分不必要条件． 故选A ．【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q 是¬p 的充分不必要条件，是解答的关键．10．将所有正偶数按如图方式进行排列，则2 016位于（ ）A ．第30行B ．第31行C ．第32行D ．第33行【分析】由于题意可得：第n 行的最后一个数为2[n （n+1）]．分别令n=31，令n=32，即可判断出结论． 【解答】解：由于题意可得：第n 行的最后一个数为2[n （n+1）]． 令n=31，最后一个数为1984．令n=32，最后一个数为2112． ∴2 016位于第32行． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知四棱锥P ﹣ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，AB=2AD=4，平面PAD ⊥底面ABCD ，△PAD 为等边三角形，则球面O 的表面积为（ ）A ．B ．32πC ．64πD ．【分析】求出△PAD 所在圆的半径，利用勾股定理求出球O 的半径R ，即可求出球O 的表面积．【解答】解：令△PAD 所在圆的圆心为O 1，则圆O 1的半径r=，因为平面PAD ⊥底面ABCD ， 所以OO 1=AB=2，所以球O 的半径R==，所以球O 的表面积=4πR 2=．故选：D ．【点评】本题考查球O 的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．12．已知集合{f（x）|f（x）=ax2﹣|x+1|+2a＜0，x∈R}为空集，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．[，+∞）D．（﹣∞，）【分析】由题意知 ax2﹣|x+1|+2a≥0恒成立，再化恒成立问题为函数的最值问题，利用换元法化简．从而讨论去绝对值号并确定函数的最值．【解答】解：∵集合{f（x）|f（x）=ax2﹣|x+1|+2a＜0，x∈R}为空集，∴ax2﹣|x+1|+2a≥0恒成立，∴，设，．故a≥g（x）max令t=x+1，则．①当t=0时，g（x）=φ（t）=0，∴a≥0．②当t＞0时，g（x）=φ（t）==≤，∴a≥；③当t＜0时，g（x）=φ（t）=﹣=≤，∴a≥．综上，取交集得a≥．故选B．【点评】本题考查了不等式的恒成立问题及转化思想的应用，同时考查了换元法与分类讨论的思想方法应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2014马鞍山三模）若实数x ，y 满足的最小值是 1 ．【分析】令t=x+2y ，要求z 的最小值，只要求解t 的最小值，作出不等式组表示的平面区域，由于t=x+2y ，可知直线在y 轴上的截距越大，t 越大，可求t 的最小值，进而可求z 的最小值 【解答】解：令t=x+2y作出不等式组表示的平面区域，如图所示由于t=x+2y 可得y=，根据直线在y 轴上的截距越大，t 越大∴直线t=x+2y 平移到点O （O ，0）时，t 取得最小值0，此时，z=1 故答案为：1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则= 2 ．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=0，故=（）（）=（）（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为 2．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，属于中档题．15．函数f （x ）的图象如图所示，f′（x ）是f （x ）的导函数，设a=f′（﹣2），b=f′（﹣3），c=f （﹣2）﹣f （﹣3），则a ，b ，c 由小到大的关系为 a ＜c ＜b ．【分析】利用导数的几何意义，数形结合可作出大小比较．【解答】解：c=f （﹣2）﹣f （﹣3）=，表示（﹣2，f （﹣2））、（﹣3，f （﹣3））两点连线的斜率，a=f′（﹣2）表示（﹣2，f （﹣2））处的切线斜率， b=f′（﹣3）表示（﹣3，f （﹣3））处的切线斜率， 结合函数f （x ）的图象：由图可知f′（﹣2）＜＜f′（﹣3），即a ＜c ＜b ，故答案为：a ＜c ＜b ．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查数形结合思想，属中档题．16．已知数列满足：a 1=1，a n+1=，（n ∈N *），若b n+1=（n ﹣λ）（+1），b 1=﹣λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 λ＜2 ．【分析】数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=，（n ∈N *），两边取倒数可得，化为，利用等比数列的通项公式可得，于是b n+1=（n ﹣λ）（+1）=（n ﹣λ）2n ，由于b 1=﹣λ，且数列{b n }是单调递增数列，可得b n+1＞b n ，解出即可．【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=1，a n+1=，（n ∈N *），∴，化为，∴数列是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴，∴bn+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）2n，∵b1=﹣λ，且数列{bn}是单调递增数列，∴bn+1＞bn，∴（n﹣λ）2n＞（n﹣1﹣λ）2n﹣1，化为λ＜n+1，∵数列{n+1}为单调递增数列，∴λ＜2．∴实数λ的取值范围为λ＜2．故答案为：λ＜2．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理进行转化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根据三角形的面积公式即可求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…（2分）∴sinB=2sinA，…（4分）∴b=2a ，∴．…（6分）（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…（10分）∴，即△ABC 的面积的．…（12分）【点评】本题主要考查正弦定理的应用，根据三角形的面积公式以及正弦定理进行转化是解决本题的关键．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F ﹣AEC 的体积．【分析】（Ⅰ）证明AE ⊥BB 1，AE ⊥BC ，BC∩BB 1=B ，推出AE ⊥平面B 1BCC 1，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）取AB 的中点G ，说明直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，就是∠CA 1G ，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB 1⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴AE ⊥BB 1， ∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E 分别是BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，BC∩BB 1=B ，∴AE ⊥平面B 1BCC 1， ∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；（Ⅱ）解：取AB 的中点G ，连结A 1G ，CG ，由（Ⅰ）可知CG ⊥平面A 1ABB 1，直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，就是∠CA 1G ，则A 1G=CG=，∴AA 1==，CF=．三棱锥F ﹣AEC的体积：×==．【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩拉样统计，先将800人按001，002，…，800进行编号．（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3个人的编号；（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽取取100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求a ，b 的值．（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a ≥10，b ≥18，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率． 【分析】（1）利用随机数表法直接求解． （2）由=0.3，能求出a ，再由7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，能求出b ．（3）由题意，知a+b=31，且a ≥10，b ≥18，满足条件的（a ，b ）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（3分）（2）由=0.3，解得a=14，…（5分）∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（7分） （3）由题意，知a+b=31，且a ≥10，b ≥18， ∴满足条件的（a ，b ）有：（10，21），（11，20）， （12，19），（13，18），（14，17），（15，16）， （16，15），（17，14），（18，13），（19，12）， （20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组， 且每组出现的可能性相同．…．…（9分） 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有： （10，21），（11，20），（12，19），（13，18）， （14，17），（15，16）共6组．…（11分）∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…（12分）【点评】本题考查随机数表法的应用，考查统计表的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要注意列举法的合理运用．20．已知点H （﹣6，0），点P （0，b ）在y 轴上，点Q （a ，0）在x 轴的正半轴上，且满足⊥，点M在直线PQ 上，且满足﹣2=，（Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点T （﹣1，0）作直线l 与轨迹C 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点为E （x 0，0），设线段AB 的中点为D ，且2|DE|=|AB|，求x 0的值．【分析】（Ⅰ）设点M 的坐标为（x ，y ），求得、、、的坐标，运用向量垂直的条件：数量积为0，向量共线的坐标表示，运用代入法，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）由题意知直线l ：y=k （x+1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，解方程即可得到所求值． 【解答】解：（Ⅰ）设点M 的坐标为（x ，y ），则，，，，由⊥，得6a﹣b2=0．由﹣2=0，得，则由6a﹣b2=0得y2=x，故点M的轨迹C的方程为y2=x（x＞0）；（Ⅱ）由题意知直线l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得k2x2+（2k2﹣1）x+k2=0（k≠0），由△=（2k2﹣1）2﹣4k4=1﹣4k2＞0，解得﹣＜k＜，∴，∴，∴，，令y=0，解得，∴，∴，∴，∵，故有，则，化简得，此时．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用向量共线和垂直的条件，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．已知函数f （x ）=，g （x ）=alnx ﹣x （a ≠0）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a ＞0时，对于任意x 1，x 2∈（0，e]，总有g （x 1）＜f （x 2）成立．【分析】（I ）先求函数f （x ）的导数，再对字母a 进行分类讨论，根据导数大于0函数单调递增，导数小于0时函数单调递减可得答案．（Ⅱ）欲证当a ＞0时，对于任意x 1，x 2∈（0，e]，总有g （x 1）＜f （x 2）成立，只须证明对于任意x 1，x 2∈（0，e]，总有g （x ）max ＜f （x ）min ．由（Ⅰ）可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在（1，e]上单调递减，从而有f （x ）min =a ，同样地利用导数可得，当a ＞0时，g （x ）在（0，a ）上单调递增，g （x ）在（a ，e]上单调递减，从而g （x ）max =g （a ）=alna ﹣a ，最后利用作差法即可得到g （x ）max ＜f （x ）min ．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为R ，．当a ＞0时，当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：当a ＜0时，当x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：综上所述，当a ＞0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a ＜0时，f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）． …（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a ＞0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，f （x ）在（1，e]上单调递减，又f （0）=a ，f （e ）=所以f （x ）min =a ，同样地，当a ＞0时，g （x ）在（0，a ）上单调递增，g （x ）在（a ，e]上单调递减，所以g （x ）max =g （a ）=alna ﹣a ，因为a ﹣（alna ﹣a ）=a （2﹣lna ）＞a （2﹣lne ）=a ＞0，所以对于任意x 1，x 2∈（0，e]，总有g （x ）max =g （e ）=alna ﹣a ＜a=f （x ）min ．所以对于任意x 1，x 2∈（0，e]，仍有x 1，x 2∈（0，e]．综上所述，对于任意x 1，x 2∈（0，e]，总有g （x 1）＜f （x 2）成立．…（13分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清楚题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆E 外一点A 作一条直线与圆E 交于B ，C 两点，且AB=AC ，作直线AF 与圆E 相切于点F ，连结EF 交BC 于点D ，已知圆E 的半径为2，∠EBC=30°．（Ⅰ）求AF 的长；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）可延长BE并交圆E于M，并连接CM，从而画出图形，根据条件便可求出BC的长，进而求出AC的长，从而根据切割线定理求出AF的长；（Ⅱ）可过E作EH⊥BC，从而可得出△EDH与△ADF相似，从而有，再根据题意即可得出EH的长，从而便可求出的值．【解答】解：（Ⅰ）如图，延长BE交圆E于点M，连结CM，则∠BCM=90°，又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以，又，可知，所以．根据切割线定理得，即AF=3．（Ⅱ）过E作EH⊥BC于H，则△EDH∽△ADF，从而有，又由题意知所以EH=1，因此．【点评】考查直径所对圆周角为直角，三角函数定义，以及切割线定理，三角形相似的判定，相似三角形的对应边的比例关系．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 1的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【分析】（Ⅰ）对于曲线C 1利用三角函数的平方关系式sin 2t+cos 2t=1即可得到圆C 1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C 1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C 2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C 1与C 2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程式（t 为参数），得（x ﹣4）2+（y ﹣5）2=25即为圆C 1的普通方程，即x 2+y 2﹣8x ﹣10y+16=0．将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入上式，得．ρ2﹣8ρcos θ﹣10ρsin θ+16=0，此即为C 1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sin θ化为直角坐标方程为：x 2+y 2﹣2y=0，由，解得或．∴C 1与C 2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．[选修4-5：不等式选讲]24．求不等式2x +2|x|≥2的解集；（Ⅱ）已知实数m ＞0，n ＞0，求证： +≥．【分析】（Ⅰ）讨论①当x≥0时，②当x＜0时，去绝对值，运用指数函数的单调性，计算即可得到所求解集；（Ⅱ）运用作差法，因式分解，配方，由完全平方式非负，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）①当x≥0时，有，由，解得．②当x＜0时，有，即．解得或，又x＜0，解得，则原不等式解集为{x|或}．（Ⅱ）证明：==，则，当且仅当na=mb时等号成立．【点评】本题考查不等式的解法和证明，注意运用分类讨论和作差法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。
2018届高三第二次调研(二模)测试数学(文理)试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合，则____．【答案】【解析】∵集合∴故答案为.2. 已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a的值为____．【答案】【解析】∵复数∴∵为纯虚数∴，即.故答案为.3. 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示，则成绩不低于60分的人数为____．【解析】根据频率分布直方图可得成绩不低于60分的学生的频率为.∴成绩不低于60分的学生的人数为为.故答案为.4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值为____．【答案】125【解析】模拟执行程序可得：，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，满足条件，执行循环体，，，不满足条件，退出循环，输出的值为.故答案为.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构；(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题；(3)按照题目的要求完成解答并验证．5. 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32 cm2的概率为____．【答案】【解析】设，则，矩形的面积为.∵由几何概率的求解公式可得：该矩形的面积大于的概率为.故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.6. 在中，已知，则的长为____．【答案】【解析】由题意得，.根据余弦定理得∴∵∴，即.故答案为.7. 在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为____．【答案】【解析】∵双曲线与双曲线有公共的渐近线∴设双曲线的方程为∵双曲线经过点∴∴双曲线的方程为∴双曲线的焦距为故答案为.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，，则的值为____．【答案】【解析】∵角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点，∴，∴故答案为.9. 设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为____．【答案】-6【解析】设等比数列的公比为.∵成等差数列∴，且.∴，即.∴或（舍去）∵∴故答案为.10. 已知均为正数，且，则的最小值为____．【答案】8【解析】∵均为正数，且∴∴，当且仅当，时取等号∴的最小值为故答案为.点睛：本题主要考查等差中项的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11. 在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等式组表示的平面区域内，则面积最大的圆C的标准方程为____．【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图所示：由对称性可知，圆的圆心在轴上，设，则，解得或（舍去）.∴面积最大的圆的标准方程为.故答案为.12. 设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】当时，，画出函数图象如图所示：∴函数此时有1个零点∵函数在上有3个不同的零点∴当时，有2个不同的零点∵∴令，则，若，则函数为增函数，不合题意，故.∴函数在上为增函数，在上为减函数，即.∵∴要使在上有2个不同的零点，则.∴故答案为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．13. 在平面四边形中，已知，则的值为____．【答案】10【解析】取中点，连接，.∴∵∴故答案为.14. 已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为____．【答案】【解析】由题意得函数为奇函数.∵函数∴令，得，则.∵函数的最小值为∴∴，得.①当时，函数的定义域为，由得或，由得，函数在，上为增函数，在上为减函数.∵，，∴，则②当时，函数的定义域为，由得，得或，函数在上为增函数，在，为减函数.∵，∴，则.综上所述，或.故答案为，.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15. 在平面直角坐标系中，设向量，，．（1）若，求的值；（2）设，，且，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由向量，，得，再根据，即可得的值；（2）由，得，再根据，可得，从而可求得的值．试题解析：（1）∵向量，，∴，且.∵∴，即.∴，即.（2）∵∴依题意，.∵∴，化简得，.∴．∵∴．∴，即．16. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于端点），且∠ABE∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；（2）BC // 平面AEF．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在三棱柱中，//，由可推出，再根据，可证平面，从而可证平面平面；（2）根据，，，，可证≌，结合（1），可推出四边形是平行四边形，即可证明//平面．试题解析：证明：（1）在三棱柱中，//．∵∴又∵，，，平面.∴平面又∵平面∴平面平面（2）∵，，，∴≌∴又由（1）知，．∴四边形是平行四边形，从而．又∵平面，平面∴//平面．17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：设，，（1）根据直线的方程为时，线段的长为，可分别求得和，从而求得椭圆的标准方程；（2）方法一：直线的斜率为，由得直线的斜率为，即可分别表示出直线和直线的方程，联立直线方程，得，从而可得；方法二：设直线，的斜率为，，则直线的方程为，由得直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程，从而求得，再由在椭圆上，得与的数量关系，从而表示出直线的方程，即可求得，进而求得.试题解析：设，．（1）在中，令，得，从而b3．由得．∴．∵∴，解得．∴椭圆的标准方程为．（2）方法一：直线的斜率为，由，则直线的斜率为．于是直线的方程为：．同理，的方程为：．联立两直线方程，消去y，得．∵在椭圆上∴，从而．∴．∴．方法二：设直线，的斜率为k，，则直线的方程为．由直线的方程为．将代入，得，∵是椭圆上异于点，的点∴，从而．∵在椭圆上∴，从而．∴，得．由，所以直线的方程为．联立则，即．∴．点睛：本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.18. 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：方案①：以为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形（各边分别与或垂直）作为正四棱柱的两个底面．（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；（2）设的长为dm，则当为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）设所得圆柱的半径为，根据矩形薄铁皮的面积为100，即可求得的值；（2）设所得正四棱柱的底面边长为，根据题意得.方法一：表示出正四棱柱的体积，构造函数，求得单调性，即可求得函数的最大值，从而得体积最大值及的值；方法二：表示出的范围，从而得到的范围，再表示出正四棱柱的体积，即可求得最大值及的值.试题解析：（1）设所得圆柱的半径为，则，解得．（2）设所得正四棱柱的底面边长为dm，则即方法一：所得正四棱柱的体积记函数则在上单调递增，在上单调递减.∴当时，．∴当，时，dm3．方法二：，从而．所得正四棱柱的体积．∴当，时，dm3．答：（1）圆柱的底面半径为dm；（2）当为时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大．19. 设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且．记（i1，2，3，4）．（1）求证：数列不是等差数列；（2）设，．若数列是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域；（3）数列能否为等比数列？并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析.【解析】试题分析：（1）假设数列是等差数列，则，即，根据是等差数列及是等比数列，找出矛盾，假设不成立；（2）由，得，根据数列是等比数列得，化简求得，再根据，即可求得得范围；（3）方法一：设，，，成等比数列，其公比为，则，解方程组即可；方法二：假设数列是等比数列，则，化简得，即可求得，与且矛盾，故可得证.试题解析：（1）假设数列是等差数列，则，即．∵是等差数列∴，从而．又∵是等比数列∴．∴，这与矛盾，从而假设不成立．∴数列不是等差数列．（2）∵，∴．∵∴，即，由，得.∴且．又∵，∴，定义域为．（3）方法一：设，，，成等比数列，其公比为，则将①+③－2×②得，将②+④－2×③得，∵，，由⑤得，．由⑤⑥得，从而．代入①得．再代入②，得，与矛盾．∴，，，不成等比数列．方法二：假设数列是等比数列，则．∴，即．两边同时减1得，．∵等比数列，，，的公比为∴．又∵∴，即．这与且矛盾. ∴假设不成立．∴数列不能为等比数列．点睛：用反证法证明命题的基本步骤：①反设，设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏；②归谬，从反设出发，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论；③否定反设，从而得出原命题结论成立．20. 设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若，求证：．【答案】(1)；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，根据，等价为对恒成立，即可求得得取值范围；（2）①分别求得与，若，则存在，使，从而得，取，则，即可证明；②不妨设，令，则，由（1）知函数单调递增，则，从而，根据，推出，只需证明成立，即只需证明成立，设，求得函数的单调性，即可证明.....................................试题解析：（1）由题意，对恒成立.∵∴对恒成立，∵∴，从而．（2）①，则．若，则存在，使，不合题意.∴．取，则．此时．∴存在，使．②依题意，不妨设，令，则．由（1）知函数单调递增，则，从而．∵∴∴．∴．下面证明，即证明，只要证明．设，则在恒成立．∴在单调递减，故，从而得证．∴，即．点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.数学Ⅱ（附加题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21. 如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D．求证：．【答案】证明见解析【解析】试题分析：延长交⊙O于点E，则，根据，即可得证.试题解析：证明：延长交⊙O于点E，则．∵，∴．∴．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知．设变换，对应的矩阵分别为，，求对△ABC依次实施变换，后所得图形的面积．【答案】12【解析】试题分析：依次实施变换，所对应的矩阵，分别求得点，，在此矩阵的作用下变换后的点，即可求得面积.试题解析：依题意，依次实施变换，所对应的矩阵．则，，．∴分别变为点．∴所得图形的面积为．23. 在极坐标系中，求以点为圆心且与直线：相切的圆的极坐标方程．【答案】【解析】试题分析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，得点的直角坐标，再根据的直线的普通方程，从而可得点到直线的距离，即可求得所求圆的普通方程，再化为极坐标方程.试题解析：以极点为原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．则点的直角坐标为．将直线：的方程变形为：，化为普通方程得．∴到直线：的距离为：．∴所求圆的普通方程为，化为极坐标方程得，．24. 已知a，b，c为正实数，且，求证：．【答案】证明见解析【解析】试题分析：由，，，且，可得，再根据基本不等式即可得证.试题解析：证明：∵，，为正实数∴（当且仅当取“=”）．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25. 在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的33表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元．（1）求概率；（2）求的概率分布及数学期望．【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，再将事件分类，根据古典概型概率公式求得概率；（2）先确定的所有可能值为300，400，500，600，700，再分别求出对应的概率，列出分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）从33表格中随机不重复地点击3格，共有种不同情形，则事件：“”包含两类情形：第一类是3格各得奖200元；第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，其中第一类包含种情形，第二类包含种情形．∴．（2）的所有可能值为300，400，500，600，700．则，，，．∴的概率分布列为：∴（元）．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.26. 已知…，．记．（1）求的值；（2）化简的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．【答案】(1)30；(2)证明见解析.【解析】试题分析：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1），（1）根据，得，即可得解；（2）先根据组合数的性质可得出，再将化简得，即可证明. 试题解析：由二项式定理，得（i0，1，2，…，2n+1）．（1）；（2）∵∴．∴．∵∴能被整除．。
【数学】吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试数学(文)含解析
吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可知，阴影部分为。
故选A。
2. 复数的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以虚部为1。
故选C。
3. 已知表示两个不同平面，直线是内一条直线，则“∥” 是“∥”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：根据面面平行的性质，可以得到线面平行，充分性成立；必要性：一条线和一个平面平行，不能得到面面平行，必要性不成立。
所以是充分不必要条件，故选B。
点睛：本题首先考查充分必要条件的判断，判断方法就是“前推后叫充分，后推前叫必要”，具体考查内容是线面的平行关系，考查学生对线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的准确认识。
4. 已知向量，若与垂直，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，得，故选C。
5. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积等于A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，原图是三棱锥，所以，故选D。
6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设输入，则（1），，（2），，（3），，所以，故选A。
7. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A专业的人数为A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D。
吉林省长市普通高中高三质量监测(二)数学(文)试卷
长春市普通高中2018届高三质量监测（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. A2. B3. D4. C5.A6. C7. D 8. B 9. D 10. A 11. B 12. C简答与提示：1.【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】A 错误！未找到引用源。
.故选A.2.【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】B 错误！未找到引用源。
. 故选B.3.【命题意图】本题考查命题的相关知识. .【试题解析】D 由逆否命题的知识. 故选D.4.【命题意图】本题考查椭圆的定义.【试题解析】C 由题意知错误！未找到引用源。
的周长为错误！未找到引用源。
. 故选C.5.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.【试题解析】A 由题意知，错误！未找到引用源。
，所以错误！未找到引用源。
.故选A.6.【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C 由错误！未找到引用源。
得错误！未找到引用源。
，解得错误！未找到引用源。
，从而错误！未找到引用源。
. 故选C.7.【命题意图】本题考查函数的性质的应用.【试题解析】D 由函数性质可知，错误！未找到引用源。
的取值范围是错误！未找到引用源。
.故选D.8.【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】B 由图形可知体积为错误！未找到引用源。
.故选B.9.【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.【试题解析】D 由可行域可知在错误！未找到引用源。
点处取得最大值错误！未找到引用源。
.故选D.10.【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质.【试题解析】A 由题意可知错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
正确.故选A.11.【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B 由双曲线定义可知错误！未找到引用源。
，从而错误！未找到引用源。
，双曲线的离心率取值范围为错误！未找到引用源。
.故选B.12.【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.【试题解析】C 由题意知错误！未找到引用源。
吉林省长春市2018届高三数学上学期第二次阶段考试试题 文(扫描版,无答案)
吉林省长春市2018届高三数学上学期第二次阶段考试试题文（扫描
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2018年吉林省长春市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2+2x＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，2）2．（5分）已知复数z＝1+i，则z2+z＝（）A．1﹣2i B．1+3i C．1﹣3i D．1+2i3．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥14．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为（）A．4B．6C．8D．165．（5分）已知平面向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，0），则|+2|＝（）A．B．3C．D．56．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，a5+a6＝6a4，则a5＝（）A．4B．10C．16D．327．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）B．（0，+∞）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．9．（5分）若点（x，y）满足线性条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．2B．3C．4D．510．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π），且f（0）＝1，则下列结论中正确的是（）A．f（φ）＝2B．是f（x）图象的一个对称中心C．D．是f（x）图象的一条对称轴11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2]D．12．（5分）若关于x的方程（lnx﹣ax）lnx＝x2存在三个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）曲线f（x）＝x3﹣2x在点（2，f（2））处的切线方程为．14．（5分）若向区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为．15．（5分）更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入a＝91，b＝39，则输出的值为．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A 的平分线AD交BC于D，，，则b＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣11．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）令b n＝|a n|，求数列{b n}的前10项和S10．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°．（1）证明：B1C⊥平面ABC1；（2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．19．（12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300，350）内的概率．（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？20．（12分）已知直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若点P（2，2），过点（﹣2，4）的直线与抛物线C相交于A，B两点，设直线P A与PB的斜率分别为k1和k2．求证：k1k2为定值，并求出此定值．21．（12分）函数f（x）＝ax2﹣x﹣x2lnx．（1）若函数f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，设f（x）在x＝x0时取到极小值，证明：．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲].22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲].23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|3x﹣6|．（1）求f（x）＜2的解集；（2）若f（x）的最小值为T，正数a，b满足，求证：．2018年吉林省长春市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x2+2x＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，0）D．（﹣2，2）【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|﹣2＜x＜0}，则A∩B＝（﹣1，0）．故选：A．2．（5分）已知复数z＝1+i，则z2+z＝（）A．1﹣2i B．1+3i C．1﹣3i D．1+2i【解答】解：由复数z＝1+i，得z2+z＝（1+i）2+1+i＝1+3i．故选：B．3．（5分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：原命题的条件是““若x2＜1”，结论为“﹣1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1．故选：D．4．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1的周长为（）A．4B．6C．8D．16【解答】解：根据题意，椭圆，其中a＝＝2，则有|AF1|+|AF2|＝2a＝4，|BF1|+|BF2|＝2a＝4，△ABF1的周长l＝|AF1|+|BF1|+|AB|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝8，故选：C．5．（5分）已知平面向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，0），则|+2|＝（）A．B．3C．D．5【解答】解：根据题意，向量＝（1，﹣3），＝（﹣2，0），则+2＝（﹣3，﹣3），则，故选：A．6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a2＝2，a5+a6＝6a4，则a5＝（）A．4B．10C．16D．32【解答】解：由a6+a5＝6a4得q2+q﹣6＝0，解得q＝2，从而．故选：C．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）B．（0，+∞）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），满足在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣1）＝0，可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且f（1）＝0，f（x+1）＞0，可得或，解得x＞0或﹣2＜x＜﹣1，即解集为（﹣2，﹣1）∪（0，+∞），故选：D．8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．【解答】题：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，A、C分别为棱长为2的正方体的两条棱的中点，则该三棱锥的体积为．故选：B．9．（5分）若点（x，y）满足线性条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由作出可行域如图，联立，解得：A（1，3）．化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值，z max＝2×1+3＝5．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π），且f（0）＝1，则下列结论中正确的是（）A．f（φ）＝2B．是f（x）图象的一个对称中心C．D．是f（x）图象的一条对称轴【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+φ），且f（0）＝2sinφ＝1，∴sinφ＝，又0＜φ＜π，∴φ＝或；当时，f（）＝2sin（2×+）＝2，当φ＝时，f（）＝2sin（2×+）＝2，∴A正确．故选：A．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2]D．【解答】解：根据题意，双曲线中，点P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝2a，又由|PF1|＝4|PF2|，则，则有，变形可得：≥e﹣1，即可得：e≤，则双曲线的离心率取值范围为．故选：B．12．（5分）若关于x的方程（lnx﹣ax）lnx＝x2存在三个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，令，t2﹣at﹣1＝0的两根一正一负，由f（x）＝，f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，故f（x）max＝f（e）＝，且x＞e时，f（x）＞0，若关于x的方程（lnx﹣ax）lnx＝x2存在三个不等实根，只需令t2﹣at﹣1＝0的正根满足：，解得：，故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）曲线f（x）＝x3﹣2x在点（2，f（2））处的切线方程为y＝10x﹣16．【解答】解：根据题意，f（x）＝x3﹣2x，其导数f'（x）＝3x2﹣2，则f（2）＝4，f'（2）＝10，则在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4＝10（x﹣2），即切线方程为y＝10x﹣16．故答案为：y＝10x﹣16．14．（5分）若向区域Ω＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为．【解答】解：如图，由题意区域Ω的面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的区域面积为，即概率为，故答案为：．15．（5分）更相减损术是出自《九章算术》的一种算法．如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入a＝91，b＝39，则输出的值为13．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝91，b＝39a＞b，a＝91﹣39＝52；a＞b，a＝52﹣39＝13；a＜b，b＝39﹣13＝26；a＜b，b＝26﹣13＝13；此时a＝b，输出a＝13．故答案为：13．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若其面积S＝b2sin A，角A 的平分线AD交BC于D，，，则b＝1．【解答】解：，可知c＝2b，即．由角分线定理可知，，，在△ABC中，，在△ABD中，，即，解得b＝1．故答案为：1三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣11．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）令b n＝|a n|，求数列{b n}的前10项和S10．【解答】（1）证明：由a n＝2n﹣11可知：a n+1﹣a n＝2（n+1）﹣11﹣2n+11＝2（n∈N*），因此数列{a n}为等差数列．（2）解：由（1）知：数列{a n}的前n项和T n＝＝n2﹣10n．令a n＝2n﹣11≤0．解得n≤＝5+．∴S10＝﹣（a1+……+a5）+a6+……+a10＝﹣2T5+T10＝﹣2×（52﹣10×5）+102﹣10×10＝50．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝2，AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°．（1）证明：B1C⊥平面ABC1；（2）求三棱锥C1﹣ABB1的体积．【解答】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴BB1⊥AB，在△ABC中，由AC＝2AB＝4，∠BAC＝60°，可得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos60°＝12，则AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC，又BC∩BB1＝B，∴AB⊥平面BB1C1C，得AB⊥B1C，由，得B 1C⊥BC1，又AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1；（2）．19．（12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150），[150，200），[200，250），[250，300），[300，350），[350，400）（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示．（1）经计算估计这组数据的中位数；（2）现按分层抽样从质量为[250，300），[300，350）的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300，350）内的概率．（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A：所以芒果以10元/千克收购；B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购．通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【解答】解：（1）∵[100，250）的频率为（0.002+0.002+0.003）×50＝0.35，[250，300）的频率为0.008×50＝0.4，∴该样本的中位数为：250+＝268.75．（4分）（2）抽取的6个芒果中，质量在[250，300）和[300，350）内的分别有4个和2个．设质量在[250，300）内的4个芒果分别为A，B，C，D，质量在[300，350）内的2个芒果分别为a，b．从这6个芒果中选出3个的情况共有12种，分别为：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，a），（A，B，b），（A，C，D），（A，C，a），（A，C，b），（A，D，a），（A，D，b），（A，a，b），（B，C，D），（B，C，a），（B，C，b），（B，D，a），（B，D，b），（B，a，b），（C，D，a），（C，D，b），（C，a，b）（D，a，b），共计20种，其中恰有一个在[300，350）内的情况有：（A，B，a），（A，B，b），（A，C，a），（A，C，b），（A，D，a），（A，D，b），（B，C，a），（B，C，b），（B，D，a），（B，D，b），（C，D，a），（C，D，b）共计12种，∴这3个芒果中恰有1个在[300，350）内的概率．（8分）（3）方案A：方案B：低于250克：（0.002+0.002+0.003）×50×10000×2＝7000元高于或等于250克（0.008+0.004+0.001）×50×10000×3＝19500元总计7000+19500＝26500元由25750＜26500，故B方案获利更多，应选B方案．（12分）20．（12分）已知直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l与抛物线两交点间的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）若点P（2，2），过点（﹣2，4）的直线与抛物线C相交于A，B两点，设直线P A与PB的斜率分别为k1和k2．求证：k1k2为定值，并求出此定值．【解答】解：（1）由题意可知，2p＝2，抛物线的方程为x2＝2y．证明（2）已知P（2，2），设直线l的方程为：y﹣4＝k（x+2）A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴联立抛物线x2＝2y与直线y﹣4＝k（x+2）的方程消去y得x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8，代入k1k2可得k1k2＝﹣1．因此k1k2可以为定值，且该定值为﹣1．21．（12分）函数f（x）＝ax2﹣x﹣x2lnx．（1）若函数f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a＝1时，设f（x）在x＝x0时取到极小值，证明：．【解答】（1）解：将原不等式化为，设，而，故当x∈（0，1）时，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增所以[g（x）]min＝g（1）＝1，即a≤1为所求．（4分）（2）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x﹣x2lnx，f'（x）＝x﹣1﹣2xlnx令h（x）＝x﹣1﹣2xlnx，则h'（x）＝﹣1﹣2lnx，解h'（x）＞0得故h（x）在上单调递增，在上单调递减，而且，故f'（x）＝0在区间内解为x0，即x0﹣1﹣2x0lnx0＝0，因此，令又∵，所以，即成立．（12分）（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲].22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若过点F（1，0）的直线l与C1交于A，B两点，与C2交于M，N两点，求的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x；（2）设直线l的参数方程为（t为参数）又直线l与曲线C2：y2＝4x存在两个交点，因此sinα≠0．联立直线l与曲线C1：，可得（1+sin2α）t2+2t cosα﹣1＝0，则：，联立直线l与曲线C2：y2＝4x可得t2sin2α﹣4t cosα﹣4＝0，则，即．[选修4-5：不等式选讲].23．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+|3x﹣6|．（1）求f（x）＜2的解集；（2）若f（x）的最小值为T，正数a，b满足，求证：．【解答】解（1），如图示：由图象可知：f（x）＜2的解集为．（2）证明：由图象可知f（x）的最小值为1，由均值不等式可知，当且仅当a＝b时，“＝”成立，即．。
(优辅资源)吉林省普通中学高三第二次调研测试数学理Word版含答案
吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1.集合是A.B.C.D.2.MNUA. B. C. D.3. 是的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.A. B. C. D.5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，0，则开始输A. B.C. D.6.A B C D7. 有如下四个命题：其中假命题的是A. B.C. D.8.率等于A. B. C. D.9.则A．5 B．3 C D 10．如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A. B.C. D.11.①②③其中正确的命题是A. ①②B. ②③C. ①③D. ②12.A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.的最大值是14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人 被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是15.的最大值为16. 三外接球的表面积是.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1（2.18．（12分）（1（219．（12分）某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．（12分）（1;分数（2的余弦值.21．（12分）.（1;（2，方程.22．（12分）（1;（2无极值，若有，求出极值.吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学参考答案与评分标准一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C A AD C D B C C A B B二、填空题13. 7 ; 14. 甲; 15. 2 ; 16.三、解答题17．解(1)由已知得--------------------------------2分--------------------------------------4分------------------------------------------5分(2)------------------------------------------7分---------------------------------------------------8分---------------------------------------------------------10分18．解（1---------------------------------------------------------------1分----------------------------------------------------------------3分由（2将（1------------------------------------------5分代入（1n-------------------------------------------------------------6分（2--------------------------------9分(2n +-------------------------------------------------------12分 19．解：（1）（0.02+0.04）×10=0.6， 1-0.6=0.4 样本分数小于70的频率为0.4,所以总体中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4---------------------------------------------4分（2）根据题意，样本中分数不小于50)-----------------6分--------------8分（3）由题意可知，样本中分数不小于70所以样本中分数不小于70-------------------------10分男生和女生人数的所以根据分层抽样原理， ----------12分20．（1）证明：取AD中点E，连结PE,BE --------------------------------------------------1分-------------------------------------------------------------------------------3分BE E=PBE⊂面----------------4分(2) 26PE BE∴==2PB-------------------------------------------------------------6分如图，以EA,EB,EP为x,y,z轴建立空间直角坐标系--------------------------------7分设平面PCDPDDC==,(1,0,(1,3,0)---x yzA BCDEP3,-------------------------9分设平面PCB 00PB BC ==,)(0,3,)(2,0,0)--取1c =-，则1,(0,n =-= ---------------------------------------------10分(3,1,1)(0,1,1)||||(mn ----=-B的余弦值等于0 -------------------------------------------------------------12分 21．解（1-------------------1分----------------------------------------------3分所以抛物线方程为---------------------------------------------5分（2）设直线AP联立APx-----------------------------------------7分BQ令y=0--------------------------------------------9分--------------------------------10分整理得, 解得---------------------------11分所以，直线AP的方程为：-----------12分22．分（2）g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）g′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．------------------------------------6分令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．--------------------------------7分当a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数g（x无极大值------------------------------------------------------------------------------8分当a＞0时，令g′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴当x=0时，函数g（x当x=lna时，函数g（x）取得极大值，（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．-------------------9分②a=1时，lna=0，x∈R时，g′（x）≥0，∴函数g（x）在R上单调递增．无极值--------------------------------------------------10分③a>1时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．∴当x=0时，函数g（x当x=lna时，函数g（x）取得极小值,（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．------------------------11分综上所述：当a≤0时，函数g（x）在（0，+∞）单调递增；在（﹣∞，0）单调递减．g（x）极小值为﹣1﹣2a．无极大值当0＜a＜1时，函数g（x）在（﹣∞，lna），（0，+∞）上单调递增；在（lna，0）上单调递减．极小值g（0）=﹣2a﹣1．极大值g（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，函数g（x）在R上单调递增．无极值当a＞1时，函数g（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；在（0，lna）上单调递减．极大值g（0）=﹣2a﹣1．极小值g（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．-----------------------------------------------------------------------12分。
吉林省普通中学2018届高三理数第二次调研测试卷
吉林省普通中学2018届高三理数第二次调研测试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知全集U=R,N={x|x(x+3)<0},M={x|x<−1}，则图中阴影部分表示的集合是（）A．{x|−3<x<−1}B．{x|−3<x<0}C．{x|−1≤x<0}D．{x|x<−3}为纯虚数，则实数a的值为（）2．（2分）设i是虚数单位，复数a−i1+iA．1B．−1C．1D．−223．（2分）已知α,β表示两个不同平面，直线m是α内一条直线，则“ α∥β” 是“ m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（2分）已知{a n}是公差为4的等差数列，前n项和为S n，若S5=15，则a10的值是（）A．11B．20C．29D．315．（2分）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为（）A ．34B ．45C ．78D ．15166．（2分）已知向量 a ⃗ 和 b ⃗ 的夹角为 120° ，且 |a |=2,|b ⃗ |=4 ， 则 (2a −b ⃗ )·a 等于（ ） A ．−4B ．0C ．4D ．127．（2分）有如下四个命题：p 1:∃x ∈R,sin 2x 2+cos 2x 2=12 ， p 2:∃x,y ∈R,sin(x −y)=sinx −siny ， p 3:∀x ∈[0,π],√1−cos2x 2=sinx p 4: 若 sinx =cosy ，则 x +y =π2 其中假命题的是（ ） A ．p 2,p 4 B ．p 1,p 4 C ．p 2,p 3 D ．p 1,p 38．（2分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线为 y =√2x ，则该双曲线的离心率等于（ ） A ．√62B ．√2C ．√3D ．√69．（2分）已知函数 f(x)=sinx +acosx(a ∈R) 对任意 x ∈R 都满足 f(π4+x)=f(π4−x) ，则函数 g(x)=sinx +f(x) 的最大值为（ ） A ．5B ．3C ．√5D ．√310．（2分）如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．9B．272C．18D．2711．（2分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=xe x，给出下列命题：①当x>0时，f(x)=−xe−x；②函数f(x)的单调递减区间是(−∞,−1),(1,+∞)；③对∀x1,x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|≤2e.其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．②12．（2分）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且OA⇀·OB⇀=6（O为坐标原点），若ΔABO与ΔAFO的面积分别为S1和S2，则S1+4S2最小值是（）A．7√32B．6C．132D．4√3二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）已知实数x,y满足条件{y≥1x−y−1≥0x+y−4≤0, 则z=2x+y的最大值是14．（2分）某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话. 事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是15．（2分）已知数列{a n}中，前n项和为S n，且S n=n+12a n ，则a na n−1(n>1)的最大值为16．（2分）三棱锥S−ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA⊥面ABC，SA= 2,则三棱锥S−ABC外接球的表面积是.三、解答题 (共6题；共65分)17．（10分）在ΔABC中，角A,B,C所对边分别是a,b,c，满足ccosB+(2a+b)cosC=0（1）（5分）求角C；（2）（5分）若c=√3，求ΔABC面积的最大值.18．（10分）已知各项均为正数的等比数列{a n}，前n项和为S n，S2=6,S4=30.（1）（5分）求{a n}的通项公式；（2）（5分）设b n=1(log2a n)(log2a n+2)，{b n}的前项和为T n，证明：T n<34.19．（15分）某高中一年级600名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）（5分）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）（5分）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（3）（5分）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．20．（10分）四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°, ΔADP为等边三角形（1）（5分）求证：AD⊥PB;（2）（5分）若AB=2,BP=√6，求二面角D−PC−B的余弦值.21．（10分）设椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为√22，短轴长为√2，已知A是抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点.（1）（5分）求椭圆C1的方程和抛物线C2的方程;（2）（5分）若抛物线C2的准线l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B （B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D，若ΔAPD的面积为2√23，求直线AP的方程.22．（10分）已知函数f(x)=e x(cosx−sinx)（1）（5分）求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;（2）（5分）令g(x)=f(x)+e x(2x−2)−a(x2+2cosx)，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由图像知，图中阴影部分所表示的集合是N∩(C U M)∵N={x|x(x+3)<0}={x|−3<x<0},M={x|x<−1}∴C U M={x|x≥−1}∴N∩(C U M)={x|−1≤x<0}故答案为：C【分析】图中阴影部分所表示的集合是N ∩ ( C U M ),解二次不等式求出集合M,再求出集合N的补集,进行交集运算.2．【答案】A【解析】【解答】a−i1+i=(a−i)(1−i)(1+i)(1−i)=a−1+(−a−1)i2，∴a−1=0，a=1，故答案为：A。
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吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是A. B. C. D.【答案】A【解析】由图可知，阴影部分为。
故选A。
2. 复数的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以虚部为1。
故选C。
3. 已知表示两个不同平面，直线是内一条直线，则“∥” 是“∥”的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：根据面面平行的性质，可以得到线面平行，充分性成立；必要性：一条线和一个平面平行，不能得到面面平行，必要性不成立。
所以是充分不必要条件，故选B。
点睛：本题首先考查充分必要条件的判断，判断方法就是“前推后叫充分，后推前叫必要”，具体考查内容是线面的平行关系，考查学生对线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的准确认识。
4. 已知向量，若与垂直，则等于A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以，得，故选C。
5. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积等于A. B. C. D.【答案】D【解析】易知，原图是三棱锥，所以，故选D。
6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，右图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】设输入，则（1），，（2），，（3），，所以，故选A。
7. 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A专业的人数为A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选D。
8. 已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列结论:① ;②; ③最小; ④, 其中正确结论的个数是A. B. C. D.【答案】B【解析】，得，①，正确；②，正确；③，则最大，错误；④，则，正确，所以正确的有3个，故选B。
9. 设函数，当在上为单调函数时，的取值范围为；当存在使得函数有两个不同的零点时，的取值范围为，则A. B. C. D.【答案】D【解析】当单调时，因为在单调递增，则，即；因为当时，，所以要有两个不同零点，则，故选D。
点睛：本题考查函数的单调性，以及函数的零点。
分段函数的单调性要满足分别单调和整体单调，列出不等式组即可；零点问题一般采取图象交点个数处理，结合本题的特殊性，也可较方便的解决问题。
10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，令，可得函数的图象对对称轴方程我，取是轴右侧且距离轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移个长度单位后得到的图象关于轴对称，的最小值为，故选B．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，求的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数,可取出函数的对称轴，确定距离最近的点，即可得到结论．视频11. 已知一个球的表面上有三点，且，若球心到平面的距离为，则该球的表面积为A. B. C. D.【答案】A球心到平面ABC的距离为1,由勾股定理可得 ,球O的表面积,故选A.12. 已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线上一点，且,若，则该双曲线的离心率等于A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，，所以，则，故选C。
点睛：双曲线求离心率关键是其几何性质的应用。
本题中，结合条件和几何性质，可以得到，利用的余弦定理，就可以建立的等量关系式，求得离心率。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13. 已知实数满足条件, 则的最大值是_________【答案】7【解析】如图，过点时，14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话. 事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是________【答案】甲【解析】如果甲说假话，则丙被录用，那么乙也说假话了，与题设矛盾；如果乙说假话，则乙没有被录用，并也没有被录用，则甲被录用，满足题意；如果丙说假话，则甲也说了假话，与题设矛盾。
综上，被录用的是甲。
15. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，若，则实数=___________【答案】..................则，所以。
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：① 当时，；② 函数的单调递减区间是；③ 对，都有.其中正确的命题是_____________（只填序号）【答案】②③【解析】①时，，错误；②当时，，则在单调递减，由奇函数对称性可知，在也单调递减，正确；③由导函数分析可知，，所以，正确。
所以正确的命题是②③。
点睛：本题考查函数的基本性质及导数的应用。
奇偶性的性质求解析式，通过求导判断单调区间，以及通过单调区间判断最大最小值。
本题中的最值判断，需要对原函数进行观察，可知。
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在中，角所对边分别是，满足（1）求的值；（2）若，求和的值.【答案】（1）(2）【解析】试题分析：（1）得，所以；（2）得，又有余弦定理得可得，得试题解析：（1）由题意得，所以因为所以(2）由得由可得所以代入可得18. 已知是等比数列，，是等差数列，，（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）=【解析】试题分析：（1）利用基本量法求通项公式，得，；（2）分组求和问题，将分别求和，得到=。
试题解析：（1）设的公比为，由得，所以设的公差为，由得，所以（2）的前n项和为：的前n项和为：所以的前项和=19. 某校冬令营有三名男同学A,B,C和三名女同学X,Y,Z，（1）从6人中抽取2人参加知识竞赛，求抽取的2人都是男生的概率；（2）若从这3名男生和3名女生中各任选一名，求这2人中包含A且不包含X的概率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）将事件穷举出来，写出概率；（2）将事件穷举出来，写出概率。
试题解析：（Ⅰ）由题意知，从6人中任选两人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个.所选两个人都是男的事件所包含的基本事件有：,共个，则所求事件的概率为：.（Ⅱ）从这3名男生和3名女生各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个，包含但不包括的事件所包含的基本事件有：，共个，所以所求事件的概率为：.20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，是棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）设,求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明，，则，所以；（2）利用，求得。
试题解析：（1）在矩形ABCD中，又又（2）在中，，是棱的中点，∴由（1）知平面，∴.又∵，∴平面,∥,面,而面,所以，在中，设点到平面的距离为所以点到平面的距离为21. 已知函数（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（2）当时，若关于的方程在区间内有两个不相等的实根，求实数的取值范围（已知）.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由点处的切线斜率为，求得；（2）分离参数得，设，所以只需与有两个交点即可，对进行求导分析，得到。
试题解析：（1）所在点处的切线斜率由已知（2）由得因为，整理得：设所以当时，单调递减，当时，单调递减，所以在区间内，所以所以点睛：根（零点）的分析的题型，一般采取分离参数，图象交点分析的方法。
本题中进行分参得到，然后对函数进行求导分析单调性情况即可，要产生两个交点，只需结合图象观察即可。
22. 如图，焦点在轴上的椭圆，焦距为，椭圆的顶点坐标为（1）求椭圆的方程;（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点,过作的垂线交于点，求与的面积之比.【答案】（1）（2）9：10.【解析】试题分析：（1）；（2）设，联立直线和直线，得到，又=9：10.试题解析：（1）由已知所以椭圆方程为：（2）设因为,所以，两个方程联立可得：，，所以与的面积之比为9：10.。