挡板法的应用
排列组合的常见模型(1)
4 n 4 3 34 排列组合的常见模型（一）处理排列组合问题的常用思路：1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。
例如：用0,1, 2,3, 4 组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 N = 4 ⨯ A 4= 96种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。
从这 10 件产品中任意抽出 3 件，至少有一件次品的情况有多少种解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。
N = C 3 - C 3 = 85 （种）1073、先取再排（先分组再排列）：排列数 A m是指从 n 个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元素进行排列。
但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女生，则选派方案有多少种。
解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列），所以将方案分为两步，第一步：确定选哪些学生， 共有 C 2C 1 种可能， 然后将选出的三个人进行排列： A 34 33C 2C 1 A 3 = 108 种方案（二）排列组合的常见模型1、捆绑法（整体法）：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 A 4种位置，第二步考虑。
专题10-1 排列组合20种模型方法归类-2023年高考数学一轮复习热点题型(全国通用)(原卷版)
专题10-1 排列组合20种模型方法归类目录【题型一】基础：相邻与不相邻 (2)【题型二】球放盒子：先分组后排列 (2)【题型三】平均分配：医生与护士型 (3)【题型四】特殊元素（位置）优先排 (3)【题型五】模型1：下电梯型 (4)【题型六】模型2：公交车模型 (4)【题型七】模型3：排课表 (5)【题型八】模型4：节假日值班 (6)【题型九】模型5：书架插书型（不改变顺序） (7)【题型十】模型6：地图染色 (7)【题型十一】模型7：几何体染色 (8)【题型十二】模型8：相同元素 (9)【题型十三】模型9：停车位、空座位（相同元素） (9)【题型十四】模型10：走路口（相同元素） (10)【题型十五】模型11：上台阶（相同元素） (11)【题型十六】模型12：“波浪数”型（高低站位） (12)【题型十七】模型13：配对型 (13)【题型十八】模型14：电路图型 (13)【题型十九】模型15：机器人跳动型 (14)【题型二十】难点：多重限制与分类讨论 (15)真题再现 (16)模拟检测 (17)【题型一】基础：相邻与不相邻【典例分析】阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有()A．144种B．216种C．288种D．432种1.三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A．72种B．108种C．36种D．144种2.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30B．36C．60D．723.现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A．12B．24C．48D．60【题型二】球放盒子：先分组后排列【典例分析】我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有A．300种B．150种C．120种D．90种【变式演练】1.我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.2.将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.3.某小区因疫情需求，物业把招募的5名志原者中分配到3处核酸采样点，每处采样点至少分配一名，则不同的分配方法共有（）A．150 种B．180 种C．200 种D．280 种【题型三】平均分配：医生与护士型【典例分析】某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（）A．3180B．3240C．3600D．3660【变式演练】1.袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（）A．12344812161040C C C CC⋅⋅⋅B．2134481216240C C C CC⋅⋅⋅C．21144812161040C C C CC⋅⋅⋅D．13424812161040C C C CC⋅⋅⋅2.某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为A．4680B．4770C．5040D．52003.将6名志愿者分配到3个社区进行核酸检测志愿服务，若志愿者甲和乙必须在一起，且每个社区至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．150种B．180种C．360种D．540种【题型四】特殊元素（位置）优先排【典例分析】某学生将语文、数学、英语、物理、化学、生物6科的作业安排在周六、周日完成，要求每天至少完成两科，且数学，物理作业不在同一天完成，则完成作业的不同顺序种数为A．600B．812C．1200D．1632【变式演练】1.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，1.女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．2.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有____________多少种参赛方法（用数字作答）．【题型五】模型1：下电梯型【典例分析】电梯有6位乘客，在5层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是（）A．1600B．2700C．5400D．10800【变式演练】1.有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（）A．172B．112C．572D．52162.甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼，每层楼最多下2人，则下电梯的方法有A．210种B．252种C．343种D．336种3.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第17，18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这四层的每一层下电梯的概率为14，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.【题型六】模型2：公交车模型【典例分析】北京公交101路是北京最早的无轨电车之一，最早可追溯至1957年.游客甲与乙同时从红庙路口西站上了开往百万庄西口站方向的101路公交车，甲将在朝阳门外站之前的任意一站下车，乙将在神路街站之前的任意一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（ ）A ．720 B ．25 C ．920 D ．12【变式演练】1.车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（ ）A ．36B ．63C ．36AD ．36C2.有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．81种D ．256种3.某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点()0,1,2,3i A i =下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为（ ）A ．23 B ．34C ．35D ．12【题型七】模型3：排课表【典例分析】某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）A ．18B ．48C ．50D ．54【变式演练】1.某学校为高一年级排周一上午的课表，共5节课，需排语文､数学､英语､生物､地理各一节，要求语文､英语之间恰排1门其它学科，则不同的排法数是（）A．18B．26C．36D．482.某教师一天上3个班级的课，每班上1节，如果一天共8节课，上午5节，下午3节，并且教师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位教师一天的课表的所有不同排法有（）A．312种B．300种C．52种D．50种3.大庆实验中学安排某班级某天上午五节课课表，语文､数学､外语､物理､化学各一节，现要求数学和物理不相邻，且都不排在第一节，则课表排法的种数为（）A．24B．36C．72D．144【题型八】模型4：节假日值班【典例分析】甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（）A．13B．25C．1130D．310【变式演练】1.2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共5人，随机分配4人去值班，每人只需值班一天，若前两天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙两人不同在第三天值班，则满足条件的排法共有（）A．72种B．60种C．54种D．48种2.某校安排甲、乙、丙三位老师担任五月一日至五月五日的值班工作，每天1人值班，每人不能连续两天值班，且每人都参与值班，则不同的安排方法共有（）种A．14B．16C．42D．483.某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（）A．甲乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种【题型九】模型5：书架插书型（不改变顺序）【典例分析】书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）.A ．60B ．120C ．336D ．504【变式演练】1.书架上有排好顺序的6本书，如果保持这6本书的相对顺序不变，再放上3本书，则不同的放法共有（ ）.A ．210种B ．252种C ．504种D ．505种2.10名同学进行队列训练，站成前排3人后排7人，现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数为（ ）A ．2575C AB ．2275C A C ．2273C AD ．2274C A3.某同学计划用他姓名的首字母,T X ，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号,,αβθ设置一个六位的密码．若,T X 必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（ ）A ．864B ．1009C ．1225D ．1441【题型十】模型6：地图染色【典例分析】在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）A ．1440B ．720C ．1920D ．960比如，以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构【变式演练】1.如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480B．720C．1080D．12002.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192B．336C．600D．以上答案均不对3.用五种不同的颜色给图中ABCDEF六个小长方形区域涂色，要求颜色齐全且有公共边的区域颜色不同，则共有涂色方法A．720种B．840种C．960种D．1080种【题型十一】模型7：几何体染色【典例分析】ABC A B C的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂用五种不同颜色给三棱柱111不同颜色，则不同的涂法有（）A．840种B．1200种C．1800种D．1920种【提分秘籍】基本规律立体型结构，可以“拍扁了”，“拓扑”为平面型染色，这是几何体染色的一个小技巧【变式演练】1.正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A．420B．600C．720D．7802.过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（）A．18B．30C．36D．543.给正方体的八个顶点涂色，要求同一条棱的两个端点不同色，现有三种颜色可供选择，不同的涂色方法有________种．【题型十二】模型8：相同元素【典例分析】将1个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A．96B．114C．128D．136【变式演练】1.有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为A．78B．102C．114D．1202.由1,1,2,2,3,3,4,4可组成不同的四位数的个数为__________．3.把a，a，a，b，b，α，β排成一排，要求三个“a”两两不相邻，且两个“b”也不相邻，则这样的排法共有______种．【题型十三】模型9：停车位、空座位（相同元素）【典例分析】某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A．514B．1528C．914D．67【变式演练】1.现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.2.．某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同的停放方法共有( )A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种3.某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有A ．36种B ．42种C ．48种D ．96种【题型十四】模型10：走路口（相同元素）【典例分析】如图，在某城市中，M ､N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A ､2A ､3A ､4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处，今在道路网M ､N 处的甲､乙两人分别要到N ､M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N ､M 处为止，则下列说法错误的是（ ）A ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有9种B ．甲､乙两人相遇的概率为81100C ．甲乙两人在2A 处相遇的概率为81400D ．甲从M 到达N 处的方法有20种【变式演练】1.夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在M处，学校在N处，AB段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（）条．A．23B．24C．25D．262.如图，小明从街道的A处出发，选择最短路径到达B处参加志愿者活动，在小明从A处到达B处的过程中，途径C处的概率为（）A．1063B．3063C．635D．18353.如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（）A．5B．6C．7D．8【题型十五】模型11：上台阶（相同元素）【典例分析】有一道楼梯共10阶，小王同学要登上这道楼梯，登楼梯时每步随机选择一步一阶或一步两阶，小王同学7步登完楼梯的概率为___________.【变式演练】1.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（）A．45种B．36种C．28种D．25种2.共有10级台阶，某人一步可跨一级台阶，也可跨两级台阶或三级台阶，则他恰好6步上完台阶的方法种数是（）A．30B．90C．75D．603.某人从上一层到二层需跨10级台阶. 他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步. 从一层上到二层他总共跨了6步，而且任何相邻两步均不同阶. 则他从一层到二层可能的不同过程共有（）种.A．6B．8C．10D．12【题型十六】模型12：“波浪数”型（高低站位）【典例分析】在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是（）A．13B．16C．18D．1121.因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有（）种．A．181B．109C．84D．962.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，从中任意抽取一个，则其恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增）的概率是（）A．120B．112C．110D．163.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（）A．23B．24C．32D．33【题型十七】模型13：配对型【典例分析】新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A．310B．13C．1130D．25【变式演练】1.．由5双不同的鞋中任取4只，其中至少有两只配成一双的取法共有()A．130种B．140种C．250种D．205种2.柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是（）A．25B．35C．45D．143.—对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的4个座位上（一人一座）．为安全起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，则他们4人的坐法符合安全规定的概率是（）A．13B．12C．23D．56【题型十八】模型14：电路图型【典例分析】如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A．12B．28C．54D．63【变式演练】1.如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的种数为（）A．12B．28C．54D．632.如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（）种.A．9B．11C．13D．153.如图，在由开关组A与B组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有（）种A．6B．5C．18D．21【题型十九】模型15：机器人跳动型【典例分析】一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.A．105B．95C．85D．75【变式演练】1.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？A．5B．25C．55D．75⨯=个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形2.如图，由6636的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果要求机器人不能接触到线段AB，那么不同的走法共有______种．3.动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上可能位置的个数为（）A．7B．9C．11D．13【题型二十】难点：多重限制与分类讨论【典例分析】小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（）A．20160B．20220C．20280D．20340【变式演练】1.“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）2.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅰ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）A ．87B ．95C ．100D ．1033.某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A 班的班主任，英语老师不担任B 班的班主任，化学老师不担C 班和D 班的班主任，则共有__________种不同的安排方法．（用数字作答）．1．（辽宁·高考真题）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A．46801010100C C C ⋅ B ．64801010100C C C ⋅ C ．46802010100C C C ⋅ D ．64802010100C C C ⋅2．（全国·高考真题（文））将1，2，3填入33⨯的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填 ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．48种3．（北京·高考真题（文））某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）A ．6B ．12C ．15D ．304．（·全国·高考真题（文））2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（ ）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种5．（全国·高考真题（文））元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（ ）A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种6．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种7．（·全国·高考真题（文））5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A．10种B．20种C．25种D．32种8．（·全国·高考真题）某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，则至少有1名女生当选的不同的选法有（）A．27种B．48种C．21种D．24种9．（山东·高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A．12B．120C．1440D．1728010．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种11．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.812．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种13．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11161．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A．25种B．50种C．300种D．150种2．编号为1，2，3的三位学生随意坐入编号为1，2，3的三个座位，每个座位坐一位学生，则三位学生所坐的座位号与学生的编号恰好都不同的概率是（）A．23B．13C．16D．563．某地为遏制新冠肺炎病毒传播，要安排3个核酸采样队到2个中风险小区做核酸采样，每个核酸采样队只能选择去一个中风险小区，每个中风险小区里至少有一个核酸采样队，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种4．某班9名同学参加植树活动，若将9名同学分成挖土､植树､浇水3个小组，每组3人，则甲､乙､丙任何2人在不同小组的安排方法的种数为（）A．90B．180C．540D．32405．有2个人在一座8层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A．17B．67C．78D．186．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；7．入冬以来，梁老师准备了4个不同的烤火炉，全部分发给1,2,3楼的三个办公室（每层楼各有一个办公室）.1，2楼的老师反映办公室有点冷，所以1，2楼的每个办公室至少需要1个烤火队，3楼老师表示不要也可以.则梁老师共有多少种分发烤火炉的方法（）A．108B．36C．50D．868．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A､B､C､D､E五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A．45B．12C．47D．389．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数______．10．若方程12348x x x x+++=，其中22x=，则方程的正整数解得个数为______.11．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是________.12．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为______。
排列与组合.版块八.排列组合问题的常用方法总结2.教师版
挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．于是安排方法数为1192928C A ．【答案】1192928C A ；【例2】 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，典例分析排列组合问题的常用方法总结 2可在12个名额中的11个空档中插入7块档板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 330=种． 【答案】330；【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】当项中只有一个字母时，有14C 种（即,,,a b c d ），而指数的次数为15， 故这样的项有14C 个；当项中有2个字母时，有24C 种，指数和为15，即将15个1分配给2个字母，用挡板法知为114C ，于是一共这样的项有21414C C ⋅；当项中有3个字母时，同上讨论知这样的项有32414C C ⋅种． 当项中有4个字母时，同上讨论知这样的项有43414C C ⋅种． 于是()15a b c d +++的项数为12132434414414414C C C C C C C 816+⋅+⋅+⋅=．或者化为123415x x x x +++=的不定方程非负整数解的问题，答案为318C 816=． 【答案】816；【例4】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】为使每个盒子内的球数不少于编号数，先将0，1，2个球分别放入编号为1，2，3的盒子，这样这个问题转化为将17个球放入三个不同盒子的问题．将17个小球排成一排，在其间的16个空隙中插入2个挡板即可．于是所有的方法数为216C 120=． 【答案】120；【例5】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】相当于把100个1分给50个未知数，采用挡板法，于是所有的方法数为4999C ；非负整数解的问题，等价于 ()()()()12350111...1150x x x x ++++++++=的非负整数解问题，等价于1i i y x =+，12350...150y y y y ++++=的正整数解问题，一共有49149C 组．【答案】4999C ，49149C ；【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法． 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙中的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例7】 将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】考虑将74+个球放入4个盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子都减去一个球后与题目中的情形一一对应，故只需考虑将11个球放入4个盒子，每个盒子都不空即可．用加号法：将11写成11个1相加，共有10个加号，从中任取3个，刚可将这些数分成4份，共310C 120=种． 【答案】120；【例8】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题，共有612C 924=种不同的走法．【答案】924；【例9】 有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【考点】排列组合问题的常用方法总结【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】将10写成10个1相加，其中有9个加号，选出其中的5个加号，于是10可以被分成6数之和，且每个数都不小于1，故共有59C 126=种分配方案．【答案】126；【例10】 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】用隔板法，18人排成一排，有17个间隔，在17个间隔里插入9个隔板，故共有917C 种分配方案．【答案】917C【例11】 10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先拿3个指标分配给二班一个，三班两个，然后，问题就转化为7个优秀名额分配给三个班级，每班至少一个．用隔板法，有2615C =种方法．【答案】15插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】 从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同的白球，其中黑球不相邻的排列问题，也就是从990个白球形成的991个空档中选择10个放黑球，共有10991C 种不同的取法．【答案】10991C【例13】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2010年，西城1模【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24 种排法． 【答案】C ；【例14】 三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】将三个人插入5个空位中间的四个空档中，共有34A 43224=⨯⨯=种． 【答案】24；【例15】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】6个歌唱节目排列有66Α种，歌唱节目的空隙及两端共7个位置排入4个舞蹈节目，有47Α种方法．因此，由计数原理总方法有6467ΑΑ种．【答案】6467ΑΑ【例16】 马路上有编号为l ，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种． （用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】关掉的灯不能相邻，也不能在两端．又因为灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯．有3620C =种．【答案】20；【例17】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 ．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将无机染料和添加剂全排，有44Α种，包括两端共5个空，再将3种有机染料插入空中，有35Α种，故总要试验的次数为43451440=ΑΑ．【答案】1440；【例18】 一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】六个人全排后，将3空位插入六个人之间的五个空档中，共6365A C 720107200=⨯=种坐法．【答案】7200；【例19】 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（ ）A ．360B ．520C ．600D ．720【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】选择【关键字】2009年，海淀区2模【解析】只有甲参加时，有3454C 240=Α种；同理，只有乙参加时也有240种；甲、乙都参加时，先从剩下的5人中选2个排好，然后将甲、乙两人插入3个空中，故共有2253120=ΑΑ种． 因此不同发言顺序的种数为2402120600⨯+=．【答案】C ；【例20】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】相当于在一个有10个位置的节目单中，有序插入2个歌唱节目，还剩余8个位置，由于剩余的8个节目的相对位置固定，故此时10个节目的位置确定．故所有的排法数为21010990A =⋅=． 【答案】90；【例21】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题，将三黑球“捆绑”在一起看成一个“黑球”，与另一个黑球插入四个白球的空档中，共有25A 20=种不同的结果． 【答案】20；捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：4444A A 576⋅=．【答案】576；【例23】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先选取4个小球中的2个捆绑在一个，然后此3个群体放入3个盒子，一共的方法数有2343C A 36⋅=种．【答案】36【例24】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】填空 【关键字】无【解析】注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列．【答案】1192928C A ⋅【例25】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】先将8辆车全排有88Α种，再将4个空车位看成整体插入8辆车形成的9个空档中，有19C 种方法，故所求的方法为889Α．【答案】889Α；【例26】 四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空 【关键字】无【解析】4个盒子选一个为空的方法14C 种，4个小球放入剩下3个盒子，每盒都至少有一个，只有112，，这种可能，故总共有111234432322C C C C 144=ΑΑ种放法． 换一种思路，从4个小球中取2个放在一起，有24C 种不同的方法，把取出的两个看成一个大球，与另外两个小球放入4个盒子中的3个，有34Α种不同的方法，故共有2344C 144=Α种放法．【答案】144；除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有33A 6=种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有22264233C C C 15A =种 【答案】15【例28】 6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】分出三堆书()()()123456,,,,,a a a a a a 由顺序不同可以有22A 4=种，而这4种分法只算一种分堆方式，故分堆方式有41162122C C C 15A =种 【答案】15；【例29】 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略【答案】⑴7733A A ；⑵773434A A A【例30】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星【题型】解答 【关键字】无【解析】在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为12，故本例所求的排法种数就是所有排法的12，即661A 3602=种．或者由于数学和体育的次序固定，方法数为6622A 360A =． 【答案】360【例31】 甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】选择【关键字】2008年，海南宁夏高考【解析】A ；从五天中抽出三天来安排甲乙丙共有35C 10=种，其中甲要排在三天中的第一天，乙与丙还有两种顺序，故共有20种安排方法．【答案】A ；【例32】 某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中B C ，校必选，且B 在C 前，问此考生共有 种不同的填表方法（用数字作答）．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】填空【关键字】2009年，东城1模【解析】第一档次的志愿填法有26Α种；第二档次的学校除B C ，外另一个有13C 种选法，排顺序有3332=Α种（因为B 在C 前和B 在C 后的排法是一样多的），因此不同的填表方法共有21633C 270⨯=Α种．【答案】270递推法【例33】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设上n 级楼梯的走法有n a 种，易知121,2a a ==，当2n ≥时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有1n a -种走法，第二类是最后一步跨两级，有2n a -种走法，由加法原理知：12n n n a a a --=+，据此3123a a a =+=，4235a a a =+=，5348a a a =+=，如是很容易计算出上10级台阶的走法数为89．【答案】89；用转换法解排列组合问题【例34】 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A 20=种． 【答案】20【例35】 6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】2星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C 126=种．【答案】126；【例36】 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题．于是答案为10991C ．【答案】10991C【例37】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C 35=种．【答案】35；【例38】 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C 924=种．【答案】924；【例39】 求()10a b c ++的展开式的项数．【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答【关键字】无【解析】展开使的项为a b c αβγ，且10αβγ++=，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C 66=种． 【答案】66【例40】 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】设亚洲队队员为a 1，a 2，…，a 5，欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）【答案】252；【例41】 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？ 【考点】排列组合问题的常用方法总结 【难度】3星 【题型】解答 【关键字】无【解析】因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C 1365 个． 【答案】1365；。
新高考数学复习考点知识讲解2---排列与组合
【自主解答】(1)法一： ＝ ＝ ＝ .
法二： ＝ ＝ ＝ ＝ .
(2)∵A －A ＝ －
＝ ·
＝ ·
＝m·
＝mA ，
∴A －A ＝mA .
给出下列四个关系式：
① ② ③ ④
其中正确的个数为（）
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有 个三角形，
从中任选两个，共有 种情况，
因为平行六面体有六个面,六个对角面，
从8个顶点中4点共面共有12种情况，
每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，
故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，
故选：B.
8、5个男同学和4个女同学站成一排
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个
题型二排列公式计算
例2 (1)计算： ；(2)证明：A －A ＝mA .
（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
（4）男生和女生相间排列方法有多少种？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
【分析】
（1）捆绑法求解即可；
（2）插空法求解即可；
（3）特殊位置法求解即可；
，D正确．
故选：BCD．
排列组合问题的基本解法
第 1 页 共 7 页排列组合问题的基本解法江苏省梁丰高级中学 (215600) 张伟新 排列组合问题主要依据分类计数原理和分步计数原理，其本身应用的知识并不多，但 由于题目灵活多样，在各级各类考试中经常出现，在数学竞赛活动中尤其突出。
其解题方法 也多种多样，归纳起来，我们一般可用下面的方法来解决。
一、列举法：例1、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的 偶数，不同的取法有 。
（1998年全国高中数学联赛）解：从10个数中取出3个数，使其和为偶数，则这三个数都为偶数或一个偶数二个奇数。
当三个数都为偶数时，有35C 种取法；当有一个偶数二个奇数时，有15C 25C 种取法。
要使其和为不小于10的偶数。
我们把和为小于10的偶数列举出来，有如下9种不同取法： （0，1，3），（0，1，5），（0，1，7），（0，3，5），（0，2，4），（0，2，6），（1，2，3），（1，2，5），（1，3，4）。
因此，符合题设要求的取法有35C +15C 25C －9=51种。
例2、设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。
若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也 停止跳动。
那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种。
（1997年全国高中数学联赛）解：如图：青蛙不能经过跳1次、2次或4次到达D 点。
故青蛙的跳法只有下列两种：（1）青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法。
（2）青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定 不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，AFAF ，ABAF ，ABCB ， ABAB ，AFAB 这6种跳法。
随后的两次跳法各有四种，比如由F 出发的有：FEF ，FED ，FAF ，FAB 共四种。
因此这5次跳法共有 6⨯4=24种不同跳法。
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
排列组合应用题的解题技巧
排列组合应用题的解题技巧排列组合应用题是高考常见题型，内容独特，解题方法灵活多变，学生普遍感到难以把握，不知怎样解，下面介绍几种常见的解题方法与技巧。
一、优先法解排列组合的应用问题应遵循先特殊后一般，先选元素再排列的原则。
即对于特殊元素应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；对于特殊位置应先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；这样就会保证分类时既不重复也不遗漏。
例1、某校从8名老师中选派4名老师同时去4个边远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有多少种？解：按特殊元素甲、乙实行分类。
甲和乙不同去分为三种情况：（1）甲去乙不去，（2）甲不去乙去，（3）甲、乙都不去。
当甲去乙不去时，丙去，此时不同的选派方案有2404425=⋅A C （种）当甲不去乙去时，丙不去，此时不同的选派方案有2404435=⋅A C （种）当甲、乙都不去时，丙不去，此时不同的选派方案有1204445=⋅A C （种）所以不同的选派方案共有240+240+120=600（种）例2、三个女生和五个男生排成一排，如果两端都不排女生，有多少种不同的排法? 解：方法一、特殊元素优先考虑：先排女生，从中间6个位置选3个女生去排即：36A ,剩余5个全排列即：55A 。
所以共有：144005536=⋅A A 方法二、特殊位置优先考虑：先排两端，从5个男生中选2个排两端有：25A ,其余6个全排列即：55A .所以共有：144006625=⋅A A 二、对等法有些限制条件的肯定和否定是对等的，各占全体的二分之一，还有“顺序一定”与“平均分组”问题要用除法，即：判断限制条件中的各种可能出现的情形是否对等的，也就是各种情形出现的概率是否相等。
例3、（1）：期中考试安排科目8门，语文要排在数学之前考，共有多少种安排顺序？（2）：四名男生和三名女生按要求站成一排，三名女生顺序一定，则有几种排法?(3)：将6本不同的书平均分成3堆，每堆2本，有几种分法?解：（1）不加任何限制，整个排法有88A 种，“语文安排在数学之前考”与“数学安排在语文之前考”的排法是相等的，所以语文要排在数学之前考共有88228821A A A =种安排顺序. (2)7名学生的全排列有77A 种，3名女生有33A 种排序。
数学：第4讲《排列组合进阶》
天内吃完，共多少种可能？ 【答案】 126；15；210 【解析】 4 C9 126； （2） 10 1 2 7 ， （1）
2 4 C6 15； C10 210 （3） 6 5 11，
例5 （1）一个三位数的数字和为 9， 这样的三位数有多少个？ （2） 一个四位数的数字和为 11， 这样的四位数有多少个？ （3） 一个五位数的数字和为 37， 这样的五位数有多少个？ 【答案】 （2）45（2）279（3）495
由上可见，“将 10 个苹果无限制 的分给 3 个人”与“将 13 个苹果 每人至少 1 个分给 3 个人”是一 2 一对应等价的： C12 66 练一练 （1）一部电视剧共 10 集，要在 第 5 天播完，每天至少播 1 集， 安排播出方法共多少种可能？ （2）有 10 个相同的小球，装进 编号分别为①②③的三个盒子， ①号盒子至少装 1 个，②号盒子 至少装 2 个，③号盒子至少装 3 个；共有多少种装法？ （3） 奶奶家有 6 个鸡蛋， 要在 5
7 7 3 3 2 2 2 2
C C 2110 210
2 7 2 5
【拓展】 （1）将 6 个不同的苹果平均分 给 3 个人，有多少种分法？ （2）将 6 个不同的苹果平均分 成 3 堆，有多少种分法？ 【答案】 （1）90（2）15
【解析】 （1）每人得到 2 个苹果：
2 2 C6 C4 15 6 90种；
首先令每个位置上都是 99999， 再将 8 个 1分配到五个位置， 数 量不限； 则 分 配 方 案 共 有 ： 8 5 13 ， 4 C12 495种 例6 （1）10 个相同的球放进 3 个不 同的盒子，每个盒子至少 1 个， 共有多少种不同的放法？ （2）10 个相同的球放进 3 个相 同的盒子，每个盒子至少 1 个， 共有多少种不同的放法？ （3）10 个不同的球放进 3 个不 同的盒子，每个盒子至少 3 个， 共有多少种不同的放法？ （4）10 个不同的球放进 3 个相
高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—概率与排列组合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷【母题题文】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】【解析】【分析】本题考查了古典概型及其计算，涉及组合数公式、对立事件的概率公式，属基础题．【解答】解：由题可知，总的取法有72=21种，不互质的数对情况有：两个偶数，3和6．所以两个数互质的概率为=1−42+121=23．【母题来源】2022年新高考II卷【母题题文】甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】【分析】本题考查排列、组合的运用，属于基础题．【解答】解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有223321=24种．【命题意图】第1题考察计数原理，考察排列组合的应用，考察古典概型的计算，考察应用排列组合计算古典概型问题的概率。
第2题考察排列组合的捆绑法、插空法等计算方法。
试题通过设计优化情境，应用型、创新性的考察。
【命题方向】排列组合与概率是高考必考的知识点之一，其中概率是相对容易排列组合则时难时易。
主要考察分类、分布计算原理的应用，考察古典概型及几何概型，突出考察分类讨论思想，考察转化化归数学思想应用，试题在问题情境的设置上越来越接近生活，把实际问题合理、正确的转化为排列组合概率问题，以此来考察思想、应用、创新等能力。
排列、组合与概率常以现实生活、社会热点为载体【得分要点】涉及到排列组合的综合问题，处理此类问题一般先分析如何安排，在安排时是分类还是分步，元素之间是否讲顺序，以及分组问题注意重复情况的处理，对各种情况一定要仔细斟酌题意，写全切不要重复1.古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2.古典概率中的“人坐座位模型基础”：特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
例谈“不定方程整数解个数”模型应用
例谈“不定方程整数解个数”模型应用浙江省绍兴县柯桥中学(312030)陈冬良在排列组合中，我们利用挡板法可以得到方程x 1+x 2+x 3+…+x k =n (n 为正整数)的正整数解个数为11--k n C ;这一知识点在各类联赛或各省市的预赛中正频繁的出现，的确此模型的应用较广泛、灵活，特别是从一般试题中挖掘出此类命题的“庐山真面目”需有较强的功底。
下面选取几例典型的试题供参考。
一．模型的直接应用例1.（2010全国联赛） 方程x + y + z = 2010满足x ≤ y ≤ z 的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 _______ .解：首先易知x + y + z = 2010的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C把x + y + z = 2010满足x ≤ y ≤ z 的正整数解分为三类：（1）x , y , z 均相等的正整数解的个数显然为1；（2）x , y , z 中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设x , y , z 两两均不相等的正整数解为k .易知 1+ 3⋅1003 + 6k = 2009×1004， 6k = 2009×1004 - 3×1003 -1解得k = 335671. 从而满足x ≤ y ≤ z 的正整数解的个数为1+1003 + 335671 = 336675例2. (04全国联赛)一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于n 2，则算过关。
问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。
抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。
）解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而45642,652⨯>⨯<，因此，当5n ≥时，n 次出现的点数之和大于2n 已不可能。
MBA数学排列组合方法总结
排列组合方法总结一、知识点(一)加法原理如果完成一件事有n 类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事，若第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的办法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法.(二）乘法原理如果完成一件事，必须依次连续地完成n 个步骤，这件事才能完成，若完成第一个步骤有1m 种不同的方法，完成第二个步骤有2m 种不同的方法，…，完成第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅⋅ 种不同的方法-(三)排列 1.排列从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.排列数从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的种数，称为从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，记作mn P 或mn A .当m n =时，即从n 个不同元素中取出n 个元素的排列，叫作n 个元素的全排刿，也叫n 的阶乘，用符号!n 表示.3.排列数公式（1）规定101A =.（2）()()()()!121!m n n A n n n n m n m =---+=- .（3）()()12331!mn A n n n n =--⨯⨯= . （4）()m k m nn n n k A A A m k --=⋅≥.(四)组合1.组合从n 个不同元素中，任取()m m n ≤个元素组成一组(不考虑元素的顺序），叫作从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合.2.组合数从n 个不同元素中任取()m m n ≤个元素的所有组合的总数，叫作从n 个不同元素中任取m 个元素的组合数，用符号mn C 表示.3.组合数公式（1）规定01nn n C C ==；（2）()()()11!121mmn nn n n m A C m m m --+==-⨯ ，则m m mn n m A C A =⋅；（3）m n mn n C C -=.(五)二项式定理()01111nn n k n k k n n n n n n n n n a b C a C a C a b C ab C b ----+=++++++ ,其中第1k +项为1kn kk k n T C a b -+=称为通项.若令1a b ==，得0122nn n n n n C C C C ++++= ，01,,,nn n n C C C 称为展开式中的二项式系数，二项式系数具有以下性质： （1）02412n n n n n n C C C C -++++= （n 为偶数）；（2）13512n n n n n n C C C C -++++= （n 为奇数）；（3）n 为偶数时中项的系数最大，n 为奇数时中间两项的系数等值且最大. 二．常见问题及方法1.住店问题n 个不同人(不能重复使用元素），住进m 个店（可以重复使用元素），那么第一，第二，…，第n 个人都有m 种选择，则总共排列种数是n m 个.例1.有5人报名参加3项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有（）.(A)243种 (B)125种 (C)81种(D)60种（E)以上选项均不正确解析：乘法原理，每个人都有3种选择，所以不同的报法有53243=(种).【答案】A练习：3个人争夺4项比赛的冠军，没有并列冠军，则不同的夺冠可能有（）种.(A)34 (B)43 (C)4×3 (D)2×3 (E)以上选项均不正确解析：每个冠军都有3个人可选，故夺冠可能有种. 【答案】B2.简单排列组合问题明确排列与组合的区别：只要求每个组里的元素不同，是组合问题，用mn C ；若对顺序有要求，则是排列问题，用mn A . 注：解决这类问题的关键是准确分类与分步.例2(2012-1)某商店经营15种商品，每次在橱窗内陈列5种，若每两次陈列的商品不完全相同，则最多可陈列（）.(A)3000种(B)3003种(C)4000种(D)4003种(E)4300种【解析】只要求商品不同，是组合问题，故5151514131211300354321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯(种)【答案】B练习： (2015-1)平面上有5条平行直线，与另一组条平行直线垂直，若两组平行线共构成280个矩形，则（）.(A)5(B)6(C)7(D)8(E)9【解析】组合问题从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形，于是225280n C C ⨯=，即()156n n -=，解得8n =.【答案】D3. 排队问题（1）特殊元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； （2）特殊位置优先法. 先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； （3）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． （4）相邻问题捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一14n243m +k个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． （5）不相邻问题插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． （6）定序问题消序法.例3甲、乙、丙、丁、戊、己6人排队，则在以下各要求下，各有多少种不同的排队方法？（1）甲不在排头；（2）甲不在排头并且乙不在排尾； （3）甲乙两人相邻； （4）甲乙两人不相邻；（5）甲始终在乙的前面(可相邻也可不相邻). 【解析】假设6人一字排开，排入如下格子：（1）方法一：剔除法. 6个人任意排，有66A 种方法；甲在排头，其他人任意排，有55A 种方法；故甲不在排头的方法有6565600A A -=(种).方法二：特殊元素优先法.第一步：甲有特殊要求，故让甲先排，甲除了排头外有5个格子可以选，即15C ；第二步：余下的5个人，还有5个位置可以选，没有任何要求，故可任意排，即55A .故不同的排队方法有1555600C A =(种).方法三：特殊位置优先法.第一步：排头有特殊要求，先让排头选人，除了甲以外都可以选，故有15C ； 第二步：余下的5个位置，还有5个人可以选，没有任何要求，故可任意排55A ,故不同的排队方法有1555600C A =(种).【注意】①虽然以上两种方法在这一道题列出式子来是一样的，但是两种方法的含义不同.②在并非所有元素都参与排列时(如“6个人选4个人排队，甲不在排头”），特殊位置优先法与特殊元素优先法列出的式子并不一样，特殊位置优先法会更简单.（2）方法一：特殊元素优先法.有两个特殊元素：甲和乙.如果我们先让甲挑位置，甲不能在排头，故甲可以选排尾和中间的4个位置.这时，如果甲占了排尾，则乙就变成了没有要求的元素；如果甲占了中间4个位置中的一个，则乙还有特殊要求：不能坐排尾；故按照甲的位置分为两类：第一类：甲在排尾，其他人没有任何要求，即55A ；第二类：甲从中间4个位置中选1个位置，即14C ；再让乙选，不能在排尾，不能在甲占的位置，故还有4个位置可选，即14C ；余下的4个人任意排，即44A ；故应为114444C C A .加法原理，不同排队方法有51145444504A C C A +=(种).方法二：剔除法.6个人任意排66A ,减去甲在排头的55A ，再减去乙在排尾的55A ； 甲既在排头乙又在排尾的减了2次，故需要加上1次，即44A ；所以，不同排队方法有65546554504A A A A --+=(种).（3）相邻问题用捆绑法.第一步：甲乙两人必须相邻，故我们将甲乙两人用绳子捆起来，当作一个元素来处理，则此时有5个元素，可以任意排，即55A ；第二步：甲乙两人排一下序，即22A ；根据乘法原理，不同排队方法有5252240A A =(种).（4）不相邻问题用插空法.第一步：除甲乙外的4个人排队，即44A ；第二步：4个人中间形成了5个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不相邻，即25A ；根据乘法原理，不同排队方法有4245480A A=(种).（5）定序问题用消序法.第一步：6个人任意排，即66A；第二步：因为甲始终在乙的前面，所以单看甲乙两人时，两人只有一种顺序，但是6个人任意排时，甲乙两人有22A种排序，故需要消掉两人的顺序，用乘法原理的逆运算，即用除法，则有6622AA.故不同排队方法有6622360AA=种).【注意】若3人定序则除以33A，以此类推.练习：(2012-1)在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出3男2女共5名运动员进行5局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员的不同出场顺序有（）.(A)12种(B)10种(C)8种(D)6种(E)4种【解析】要求“每队”队员的不同出场顺序，只需要考虑一队即可.所以，2个女队员排在第二和第四局，即22A；3个男队员排在另外三局，即33A；根据乘法原理，不同的出场顺序为232312A A=(种).【答案】A4.万能元素问题万能元素是指一个元素同时具备多种属性，一般按照选与不选万能元素来分类.例 (2011-10)在8名志愿者中，只能做英语翻译的有4人，只能做法语翻译的有3人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有1人.现从这些志愿者中选取3人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有（）种.(A)12 (B)18 (C)21 (D)30 (E)51【解析】分为两类：第一类：有人既懂英语又懂法语121721C C=；第二类：没有人既懂英语又懂法语1211434330C C C C+=.根据加法原理，不同的选法有51种.练习：从1、2、3、4、5、6中任取3个数字，其中6能当9用，则能组成无重复数字的3位数的个数是（）个.(A)108 (B)120 (C)160 (D)180 (E)200【解析】分为三类：第一类：无6和9,则其余5个数选3个任意排，即35A；第二类：有6,则1、2、3、4、5中选2个，再与6-起任意排，即2353C A；第三类：有9,则1、2、3、4、5中选2个，再与9一起任意排，即2353C A；故总个数为3232355353180A C A C A++=(种).【答案】D5.均匀与不均匀分组问题（1）均匀分组与不均匀分组.如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组.（2）小组有名称与小组无名称.只是分组即可，则小组无名称；如分为A组、B组、C组，或种子队、非种子队.等等，则小组有名称.（3）如果均匀分组，并且小组无名称，需要消序（若有m组元素个数相等，就要除以mmA）；其佘情况均不需要消序.例：从10个人中选一些人，分成三组，在以下要求下，分别有多少种不同的方法？（1）每组人数分别为2、3、4；（2）每组人数分别为2、2、3；（3）分成A组2人，B组3人，C组4人；（4）分成A组2人，B组2人，C组3人；（5）每组人数分别为2、3、4,：去参加不同的劳动；（6）每组人数分别为2、2、3,去参加不同的劳动.【解析】（1）不均匀分组，不需要考虑消序，即2341085C C C.（2）均匀并且小组无名字，要消序，即234 108522C C CA.（3）小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即2341085C C C . （4）小组有名字，不管均匀不均匀，不需要消序，即2231086C C C .（5）第一步，不均匀分组，即第二步，安排劳动，即33A ；故有234310853C C C A（6）第一步，均匀且小组无名称分组，即223108622C C C A .；第二步，安排劳动，即33A ；故有22331086322C C C A A . 6.不同元素的分配问题不同元素的分配问题，采用先分组，再分配(排列）的原则.例：4个不同的小球放人甲、乙、丙、丁4个盒中，恰有一个空盒的放法有（）. (A)1244C C(B)3343C A(C)144C A(D)2344C A(E)3143A C【解析】先取两个球作为一组是24C ，余下2球自然成为2组，把3组球放入4个盒子的三个里，即34A ，所以，不同的放法有2344C A 种.【答案】D练习 (2010-1)某大学派出5名志愿者到西部4所中学支教，若每所中学至少有一名志愿者，则不同的分配方案共有（）.(A)240种（B)144种(C)120种（D)60种（E)24种【解析】其中一所学校分配2人，其余3所学校各分配一人，分两步： 第一步：从5名志愿者任选2人作为一组，另外三人各成一组，即25C ； 第二步：将4组志愿者任意分配给4所学校，即44A .故不同的分配方案有：2454240C A =.【答案】A7. 相同元素的分配问题（1）挡板法将n 个“相同的”m 个对象，每个对象“至少分一个”的分法如下： 把这n 个元素排成一排，中间有1n -个空，挑出1m -个空放上挡板，自然就分成了m 组，所以分法一共有11m n C --种，这种方法称为挡板法.要使用挡板法需要满足以下条件： ①所要分的元素必须完全相同. ②所要分的元素必须完全分完. ③每个对象至少分到1个元素.（2）如果不满足第三个条件，则需要创造条件使用挡板法.①每个对象至少分到0个元素（如可以有空盒子），则采用增加元素法，增加m 个元素(m 为对象的个数，如盒子的个数），此时一共有n m +个元素，中间形成1n m +-个空，选出1m -个空放上挡板即可，共有11m n m C -+-种方法，②每个对象可以分到多个元素，则用减少元素法，使题目满足条件③例 (2009-10)若将10只相同的球随机放人编号为1、2、3、4的四个盒子中，则每个盒子不空的投放方法有（）种.(A)72(B)84(C)96(D)108(E)120【解析】挡板法.10个球排成一列，中间形成9个空，任选3个空放上挡板，自然分为4组，每组放入一个盒子，故不同的分法有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯(种).【答案】B练习： 若将15只相同的球随机放人编号为1、2、3、4的四个盒子中，每个盒子中小球的数目，不少于盒子的编号，则不同的投放方法有（）种.(A)56(B)84(C)96(D)108(E)120【解析】减少元素法.相同元素的分配问题，但是不满足使用挡板法的第三个条件（每个盒子至少放一个小球），则需要创造出第三个条件.第一步：先将1、2、3、4四个盒子分别放0、1、2、3个球.因为球是相同的球，故只有一种放法.第二步：余下的9个球放入四个盒子，则每个盒子至少放一个，就满足了题干的要求，也满足挡板法的要求，故3887656321C ⨯⨯==⨯⨯(种).8.不能对号入座问题——错排问题出题方式为：编号为1，2，3,…，n 的小球，放人编号为1，2，3，…，n 的盒子，每个盒子放一个，要求小球与盒子不同号.此类问题不需要自己去做，直接记住下述结论即可：①2n=时，有1种方法.②3n=时，有2种方法.③4n=时，有9种方法.④5n=时，有44种方法.例：(2014-1)某单位决定对4个部门的经理进行轮岗，要求每位经理必须轮换到4个部门中的其他部门任职，则不同的方案有（）.(A)3种（B)6种(C)8种（D)9种（E)10种【解析】4球不对号入座问题，9种.【答案】D练习：有5位老师，分别是5个班的班主任，期末考试时，每个老师监考一个班，且不能监考自己任班主任的班级，则不同的监考方法有（）.(A)6种（B)9种(C)24种（D)36种（E)44种【解析】不能对号入座问题，根据上述结论，直接选44.【答案】E9.成双成对问题出题方式为：从鞋子、手套、夫妻中选出几个，要求成对或者不成对.解题技巧：无论是不是要求成对，第一步都先按成对的来选.若要求不成对，再从不同的几对里面各选一个即可.例：从6双不同的鞋子中任取4只，则其中没有成双鞋子的取法有（）种.(A)96 (B)120 (C)240 (D)480 (E)560【解析】第一步，从6双中选出4双鞋子，有46C；第二步，从4双鞋子中各选1只，有11112222C C C C；故不同的取法有4111162222240C C C C C=.10.涂色问题涂色问题分为以下三种：（1）直线涂色：简单的乘法原理.（2）环形涂色公式.把一个环形区域分为k 块，用s 种颜色去涂，要求相邻两块颜色不同，则不同的涂色方法有()()()111k k N s s =-+--,其中，s 为颜色数(记忆方法：se 色），k 为环形被分成的块数(记忆方法：kuai 块).例： (2000-1)用五种不同的颜色涂在图中的四个区域，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则不同的涂法共有（）.(A)120种 (B)140种(C)160种 (D)180种【解析】A ，B ，C ，D 四个区域分别有5C ，4C ，3C ，3C 种涂法，根据乘法原理，得11115433180C C C C =(种). 【答案】D练习： 如图7-7所示，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）种.(A)96 (B)84 (C)60 (D)48 (E)36【解析】环形涂色问题.方法一：分为两类：第一类，A,D 种相同的花14C ；C 不能和A ，D 相同，故有3种选择；B 不能和A,D 相同，故有3种选择；据乘法原理，得143336C ⨯⨯=(种).第二类，A,D 种不同的花24A ；C 不能和A,D 相同，故有2种选择；B 不能和A ，D 相同，故有2种选择；据乘法原理，得242248A ⨯⨯=(种). 据加法原理，得36＋48＝84(种).方法二：公式法.()()()()()()41114141184k k k N s s =-+--=-+--=(种). 【答案】B。
挡板法的原理及应用求回答
挡板法的原理及应用求回答挡板法是一种有效的思维工具，通过将问题分解为多个部分，每个部分集中解决，最终得到问题的解决方案。
它的原理基于这样一个观点：当遇到一个复杂的问题时，将其分解为多个小部分，将注意力集中在每个小部分上，逐个解决，最终将所有小部分的解决方案整合起来，就能够得到整个问题的解决方案。
挡板法的应用十分广泛，下面我将讨论它在不同领域的应用。
首先是在工程领域。
挡板法能够帮助工程师将复杂的工程问题分解为多个小问题，并逐个解决。
例如，在设计一座大桥时，可以将问题分解为桥身结构、桥梁连接、桥面材料等多个小问题。
然后，专注于每个小问题，找到最优的解决方案。
最后，将每个小问题的解决方案整合起来，就能够得到整座大桥的设计方案。
其次是在管理领域。
挡板法可以帮助管理者解决一系列复杂的管理问题。
例如，在组织中提高员工绩效时，可以将问题分解为目标设定、培训、激励等多个小问题。
然后，集中注意力解决每个小问题。
通过设定明确的目标、提供必要的培训、设计有效的激励机制等，逐步提高员工绩效。
最后，将每个小问题的解决方案整合起来，就能够提高整体绩效。
再次是在创新领域。
挡板法可以帮助创新者解决创新过程中的复杂问题。
例如，在设计一款新产品时，可以将问题分解为功能设计、外观设计、用户体验等多个小问题。
然后，集中精力解决每个小问题。
通过调研用户需求、设计创新功能、研发吸引人的外观等，逐步创新出完整的产品。
最后，将每个小问题的创新方案整合起来，就能够得到整个产品的创新设计。
最后是在学术研究领域。
挡板法可以帮助研究者解决复杂的研究问题。
例如，在研究一项复杂的科学现象时，可以将问题分解为数据收集、数据分析、结果解释等多个小问题。
然后，集中注意力解决每个小问题。
通过收集充分的数据、运用统计学方法分析数据、从结果中找到规律等，逐步解决整个科学现象的问题。
最后，将每个小问题的解决方案整合起来，就能够得出完整的研究结论。
总之，挡板法是一种有效的思维工具，可以帮助人们解决各领域中的复杂问题。
挡板法的原理及应用
挡板法的原理及应用1. 挡板法的概述挡板法（Stoppers Method）是一种软件测试技术，它旨在发现和定位软件系统中的缺陷和错误。
它通过在软件的输入和输出之间插入挡板（或称“中断点”）来模拟和控制软件系统的运行流程。
通过在特定情况下中断软件的执行，挡板法能够暴露出隐藏的错误和异常情况，从而帮助开发人员找到并修复这些问题。
2. 挡板法的工作原理挡板法通过在软件系统的关键路径上插入中断点来模拟和控制软件的执行。
中断点可以是一个特定的代码片段，用于检查条件或执行其他关键操作。
当软件执行到中断点时，它会被暂停，并进入到挡板法的处理逻辑。
挡板法可以根据特定条件来决定软件是继续执行还是中断执行，并根据需要生成报告或记录有关执行过程和结果的日志信息。
3. 挡板法的应用挡板法可以应用于软件开发的各个阶段，包括需求分析、系统设计、单元测试和集成测试等。
它可以帮助开发人员发现和修复软件系统中的错误和异常情况，提高软件的质量和可靠性。
以下是挡板法的一些常见应用：3.1 单元测试在单元测试阶段，挡板法可以用于验证并发现代码中的缺陷和异常行为。
通过插入中断点，并模拟各种边界条件和异常情况，开发人员可以检查代码的正确性和可靠性。
例如，可以使用挡板法模拟网络超时、数据库连接失败等情况，以确保代码在这些情况下能够正确处理并给出合适的响应。
3.2 集成测试在集成测试阶段，挡板法可以用于模拟系统之间的接口和交互。
通过插入中断点，并模拟其他系统的行为和响应，开发人员可以验证系统之间的协作和兼容性。
例如，可以使用挡板法模拟外部系统返回错误的数据或异常情况，以确保系统能够正确处理并恢复正常。
3.3 性能测试在性能测试阶段，挡板法可以用于模拟系统的负载和压力情况。
通过插入中断点，并模拟大量用户访问和请求，开发人员可以检查系统在不同负载下的性能和稳定性。
例如，可以使用挡板法模拟并发用户访问系统的情况，并观察系统的响应时间和资源利用情况。
排列组合用A还是C的技巧
分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种,关第二只,第三只时需分类讨论,十分复杂.若从反面入手考虑,每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列,于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题.故关灯方法种数为C4,3=4.
例1、五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有
A．120种B．96种C．78种D．72种
分析：由题意可先安排甲,并按其分类讨论：1若甲在末尾,剩下四人可自由排,有P4,4=24种排法；2若甲在第二,三,四位上,则有C3,1C3,1P3,3=54种排法,由分类计数原理,排法共有78种,选C.
四、排除法
对于含有否定字眼的问题,可以从总体中把不符合要求的除去,此时需注意不能多减,也不能少减.
例如在例3中,也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有C4,1P4,2=48个,排好后发现0不能排首位,而且数字3,5也不能排末位,这两种排法要除去,故有C4,1p4,2-C2,1C3,1P3,1=30个偶数.
x=11,y=0或x=10,y=3或x=9,y=6故选A
例12、把一张20元面值的人民币换成1元、2元或5元面值的人民币,有多少种不同的换法
解：设对换成1元的人民币x张,2元的人民币y张,5元的人民币z张,则x+2y+5z=20
当z=0时,x+2y=20,x可以取0、2、4…20,有11种方法.
当z=1时,x+2y=15,x可以取1、3、5…15,有8种方法.
二、特殊元素与特殊位置优待法
对于有附加条件的排列组合问题,一般采用：先考虑满足特殊的元素和位置,再考虑其它元素和位置.
挡板法的原理及应用求回答
挡板法的原理及应用1. 挡板法的原理挡板法是一种软件开发过程中常用的测试技术，通过模拟外部资源的行为，来测试软件的功能和稳定性。
其原理主要是将真实的资源替代为虚拟的挡板，从而使得测试环境更加稳定和可控。
1.1 挡板的定义挡板是指一个假的系统或者组件，它模拟了真实系统或者组件的行为和接口，可以接收请求并返回特定的响应。
通过将真实的系统或者组件替换为挡板，开发人员可以在测试环境中模拟各种各样的场景，以验证软件在不同情况下的行为是否符合预期。
1.2 挡板的工作原理挡板通过提供固定的响应或者通过预定义的逻辑来处理请求。
它可以模拟真实系统的行为，如返回特定的错误码、延迟响应或者返回特定的数据，从而使得测试人员可以测试软件在各种不同情况下的行为。
1.3 挡板的优点•可控性：挡板可以在测试环境中模拟各种复杂的场景，如异常情况、高负载、网络延迟等，从而验证软件在不同情况下的行为。
•稳定性：通过使用挡板，可以避免依赖于真实系统的不稳定因素，如网络故障、硬件故障等。
•可重复性：挡板可以提供确定性的响应，使得测试结果具有可重复性，方便问题定位和修复。
2. 挡板法的应用场景挡板法在软件开发中有着广泛的应用，下面列举了几个主要的应用场景。
2.1 测试环境的构建在软件开发过程中，往往需要依赖于各种外部资源，如数据库、Web服务、消息队列等。
为了在测试环境中模拟这些外部资源，可以使用挡板来替代真实的资源，从而创建一个独立的测试环境。
2.2 并发场景的测试在并发场景下，系统的行为往往比较复杂，需要对系统进行充分的测试。
通过使用挡板，可以模拟并发请求，并观察系统在高负载情况下的响应情况，以验证系统在并发场景下的稳定性和性能。
2.3 异常情况的测试软件在面对异常情况时往往会有不同的行为，如错误码的返回、重试机制的触发等。
通过使用挡板，可以模拟各种异常情况，如网络故障、服务宕机等，从而验证软件在异常情况下的行为是否符合预期。
2.4 第三方依赖的模拟在软件开发中，经常会依赖于第三方服务或组件，如支付接口、短信服务等。
挡板法数学排列组合
挡板法数学排列组合挡板法主要用于解决元素分组问题，灵活运用挡板法能处理一些较复杂的排列组合问题，但使用时有三点要求：（1）元素相同；（2）每组均“非空”，即每组中至少分一个元素；（3）不能有剩余元素。
通过对历年真题的分析，平面几何图形阴影部分面积的求法有两种类型:一是求规则图形(如三角形、矩形、梯形和扇形等)的面积;二是求不规则图形的面积；对于前一种可直接应用面积公式求其面积,比较简单,在此不再赘述.对于后一种则需转化为规则图形的面积问题求解，其解法包括和差法、等积法、割补法、方程法等其它的方法。
一、直接使用挡板法例1：如现有10个完全相同的球全部放入7个不同的盒子，每个盒子至少1个，问共有多少种不同的方法？答案解析该问题用分类计数法较复杂，但可以将10个球排成一行，10个球中间就出现9个空挡，再用6个挡板把10个球分成有序的7份，每个盒子就依次按序号分到相应的n个球（可能是1个、2个、3个等）。
即在9个空挡中插入6个挡板，由6个挡板把球分成7份，共有种方法。
二、直允许有“空组”问题例2：08个完全相同的球全部放入3个不同的盒子中，有_____种不同的分法。
答案解析此题与例1区别在于：例1中每组都要求非空，而例2允许有空盒。
即8个球可能分在2个甚至1个盒中。
但此类题型还是可以用挡板法，只需做一些小变化，可以假想从每个盒子中借一个球，这样共有11个球，然后用挡板法。
这11个球中间10个空挡用2个挡板，故答案为种方法。
这类题型我们称为“先借后还”。
当盒中分到一个球后还回1个球，该盒实际上市空盒；分到2个球，该盒实际上只含一个球，以此类推，可以避免复杂的分类。
三、受限制分组问题例3：8 个完全相同的球全部放入编号为 1 、 2 、 3 的 3 个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于其编号数，则有____ 种不同的分法。
答案解析先在3个盒子内分别放入0个、1个、2个球，这样保证每个盒子中只需要再放入一个1个球就可以达到要求。
高中数学—15—组合-教师版
1、组合数：从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符合mn C 表示. 组合数公式为!(1)(2)(1)(,*,)!()!!m m n nm m P n n n n n m C m n N m n P m n m m ---+===∈≤-L ,规定01n n n C C ==.组合数公式有两种形式，(1)乘积形式；(2)阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式。
2、组合数的性质：性质一：C m n =C mn n- ①等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标.②此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化.例如20152016C ＝201520162016-C ＝12016C =2016.③y n xn C C =y x =⇒或n y x =+．性质二、1m n C +=m n C +1m nC - ①等式特点：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．②此性质作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．③证明过程：1!!!()!(1)![(1)]!mm n nn n C C m n m m n m -+=+----!(1)!!(1)!n n m n m m n m -++=-+(1)!!(1)!n m m n m n m -++=+-1(1)!![(1)]!mn n C m n m ++==+-.组合知识梳理3、组合问题常见解题方法： （1）注意“至少”、“最多”、“含”等词； （2）区分“分配”与“分组”：“分组问题”的特征是组与组之间只要元素个数相同是不可区分的，即指把物件分成组，是无顺序可言的；而“分配”问题即使元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的，或者是指把物件分给不同的人（或团体），是有顺序的，解分配问题必须先分组后排列，若平均分m 组，则分法=取法/!m （3）隔板分组法：常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题. （4）分排问题直排处理； （5）“小集团”排列问题中先集体后局部处理；（6）定序问题除法处理：即先不考虑顺序限制，排列后在除以定序元素的全排列.一、组合数及其运算性质【例1】解方程（1）333222101+-+-+=+x x x x x P C C（2）8771nn n C C C =-+【难度】★★ 【答案】（1）4；（2）14【解析】（1）335242101+++=+x x x P C C ， 3353101++=x x P C ， ()()()()()()()10123543211123+⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅⋅+⋅+⋅+x x x x x x x x ，∴()121=-⋅x x ，∴4=x 或3-=x （舍）。
排列组合问题一般解法
解决排列组合问题的一般方法[内容]1．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示。
2．组合数公式3．组合数的两个性质定理1 （当n=m时，规定）定理2例1．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学，要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法？解法一：选出的3名代表不必考虑他们的顺序，属组合问题，优先安排女同学，根据3名代表中女同学的人数进行分类，有下列三种类型：（1）3名代表中有1名女同学、2名男同学的选法的种数是（2）3名代表中有2名女同学，1名男同学的选法的种数是（3）3名代表都是女同学的选法种数是所以3名代表中至少有1名女同学的选法的种数是=60+36+4=100。
解法二：排除不合条件的选法的种数，间接求得结果：10名同学中选3名代表的选法的种数是；3名代表都是男同学的选法的种数是，所以3名代表中至少有1名女同学的选法的种数是。
小结：解组合应用题同解排列应用题一样，常用的基本方法相同，有“直接”和“间接”两种思路。
同样要分清运用分类计数原理还是分步计数原理，或是综合运用两个原理，设计好解题程序，注意防止重复或遗漏。
例2．有四位医生，六位护士，五所学校。
（1）若要选派三位医生到五所学校之中的三所学校举办健康教育讲座，每所学校去一位医生有多少种不同的选派方法？（2）在医生或护士中任选五人，派到五所学校进行健康情况调查，每校去且仅去一人，有多少种不同的选派方法？（3）组成三个体检小组，每组一名医生，两名护士，到五所学校中的三所学校为老师体检，有多少种不同的选派方法？解：（1）解法一：将选派医生的过程分两步：第一步：决定派医生到哪三所学校去，有种决定办法。
第二步：将第一步选定的三所学校视为位置元素，则需决定在四位医生中选哪三位派到三所不同的学校去，共有种派法。
排列组合问题
一、排列与组合的区别排列是按照一定的顺序排成一列,组合是无论怎样的顺序并成一组,因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志．下面通过实例来体会排列与组合的区别．（1）高二数学课外活动小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（2） 有2、3、5、7、11、13、17、19八个质数：①从中任取两个数求它们的商，可以有多少个不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（3） 有8盆花：①从中选出2盆分别给甲、乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？【思考与分析】． 解：（1） ①是排列问题，共有210A =10×9=90（种）不同的选法；②是组合问题，共210C =45（种）不同的选法； （2） ①是排列问题，共有28A =8×7=56（个）不同的商；②是组合问题，共有28C =28（个）不同的积； （3） ①是排列问题，共有28A =56（种）不同的选法；②是组合问题，共有28C =28（种）不同的选法．【反思】 区分排列与组合的关键是“有序”与“无序”.二、挡板法（相同元素的分配问题）例1.把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，且不能有空盒，则有_____种不同的放法没有空盒，将8个相同小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，有3537 C三、插空法不邻问题"插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
定义"不邻问题"插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
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挡板法的应用
作者：胡锦彩
来源：《教育教学论坛·上旬》2011年第08期
摘要：挡板法是解组合问题的一种重要方法，本文通过具体实例阐述了挡板法的构建过程，体现了数学的建模思想。
关键词：挡板法；构建；组合模型；转化；推广；快捷
挡板法是解决组合问题的有效方法，它的关键是把实际问题转化为组合模型。
下面我们通过具体的例子来揭示这种转化的途径和方法。
例１：要从7个学校中选出10人参加数学竞赛，每校至少有1人，这10个名额有多少种不同的分配方法？
解析：这类问题一般地可用分类讨论的方法求解，即分成三类：第一类，有一所学校4人，其他学校各1人，共有C■■种不同的方法；第二类，有一所学校３人，有一所学校２人，其他学校各1人，共有A■■种不同的方法；第三类，有三所学校各２人，其他学校各1人，共有C■■种不同的方法；根据加法原理可得C■■+?摇A■■+C■■=84（种）。
这种解法虽然思路清晰，方法可行，但总感觉有点麻烦，如果我们能从整体上考虑，就可将问题转化为将10个形状大小都相同的小球放到７个不同盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种放法？事实上，把10个球排成一行，然后用6块挡板插在9个间隔中，将小球分成7份的方法数共有
C■■=84（种），我们把这种直观的方法称为挡板法。
这种解法既避开了复杂的分类讨论，又形象生动简洁明了，学生掌握起来比较方便。
例２：求不定方程x+y+z=4的正整数解的不同组数。
解析：例２这个问题的最原始的解法手段是列举法。
它有如下的三组解：即x=1y=1z=2?摇，x=1y=2z=1，x=2y=1z=1。
但这种解法虽然直观明了，但没有推广价值，如：求不定方程x+y+z=100的正整数解的不同组数就相当困难。
那我们如何去构造恰当的数学模型来解决这类问题呢？
我们设想将4个1排成一行，即■，它们之间有3个空挡，相当于用2块挡板把4个大小形状都相同的小球分成3个部分，每个部分的个数依次记为x，y，z。
这样上述的每一种挡板的插法与方程x+y+z=4的一组正整数解一一对应，于是原问题的答案等价于从3个不同的元素中取出2个元素的组合数，为组合模型，所以共有C■■种不同的方法，故原不定方程有
C■■=3组不同的正整数解。
同理，我们可以很方便快捷地得到不定方程x+y+z=100的正整数
解的不同组数为C■■=4851（组）。
当然我们还可以得到更一般的结论：不定方程
x1+x2+…+xn=M（M≥n，m∈Z）的正整数解的不同组数为C■■。
若将正整数解更改为非负整数解，像例题3就不能直接用上述的方法，为什么呢？因为x，y，z的值可以为0，那么我们能不能转化为例２的方法来解呢？
例３：求不定方程x+y+z=6的非负整数解的不同组数？
?摇?摇不妨将x，y，z看成3个盒子，先在3个盒子中先各放上1个大小形状都相同的小球，再把6看成6个大小形状都相同的小球，然后把9个大小形状都相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有1个小球，这样不定方程x+y+z=6的非负整数解的不同组数转化为求不定方程x+y+z=9的正整数解组数。
因此例3的解为C■■=28组。
事实上，若设x'=x+1，y'=y+1，z'=z+1则原方程x+y+z=6可化为x'+y'+z'=9，所求的原不定方程非负整数解的组数与新方程x'+y'+z'=9正整数解的组数一一对应。
类比例2的解法，可知新方程x'+y'+z'=9的正整数解共有C■■=28组，故原方程非负整数解有28组。
例４：求（a+b+c+d）10的展开式的项数。
例４的解法通常把（a+b+c+d）10改写成[（a+b）+（c+d）]10，然后按二项式展开，即（a+b+c+d）10=C■■（a+b）10+C■■（a+b）9（c+d）+C■■（a+b）8（c+d）2+…+C■■
（c+d）10这样展开式的所有的项数为
11+10×2+9×3+8×4+7×5+6×6+5×7+4×8+3×9+2×10+11=286（项），但是这种解法也没有推广的价值，如求（a+b+c+d）100的展开式的项数，若用上述方法则力不从心。
但我们可以把这个问题转化为例2的方法来解决。
因为（a+b+c+d）10=C■■C■■C■■axbyczd10-x-y-z（x，y，
z∈A，A={0，1，2，…，10}），所以（a+b+c+d）10的展开式的项数为相当于不定方程
x+y+z+t=10的非负整数解的不同组数，所以共有C■■=286（项），这样就起到事半功倍的效果。
我们还可以得到更一般性的结论：（x1+x2+…xn）m的展开式的项数为C■■。
?摇?摇
从上面这些例子的解法中，我们可以看出很多的“至少一个”型的计数问题和“元素不可辨”等问题，通过构造恰当的挡板法模型，使问题的解决变得简便快捷，这对于发展学生的形象思维和建模能力有着不可估量的重要作用。