重庆中考数学第24题专题训练

2015年重庆中考数学第24题专题讲义

1、如图，在正方形ABCD中，点E是AB中点，点F是AD上一点，且DE＝CF，ED、FC交于点G，连接BG，BH平分∠GBC交FC于H，连接DH。

（1）若DE＝10，求线段AB的长；（2）求证：DE－HG＝EG。

24.(1)AB=45

(2) 证明在正方形ABCD中

易证RT△CDF≅RT△DAE

∴∠DGE=∠DAE=RT∠

∴∠EGC=∠EBC=RT∠

∴∠EGC+∠EBC=180°

∴B、C、G、E四点共圆

∠AED=∠BCG

连EC，∴∠BGC=∠BEC

因为BE=EA BC=AD

∴RT△BCE≅RT△ADE

∴∠AED=∠BEC

∴∠BGC=∠AED

∴∠BGC=∠BCG

∴BG=BC

又因为BH平分∠GBC

∴BH是GC的中垂线

∴GH=HC=GC/2=4√(5)/5/2=2√(5)/5

∴GH=DG

∴△DGH是等腰直角三角形

即：DE－HG＝EG。

2．如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC.

(1)若AB=13，CF=12，求DE的长度；

(2)求证：

1

3

DCM DMF

∠=∠.

G

H

F

E

D

C

B

A

M

F

E

D C

B

A

第24题

4

321

M

F

E D

C

B

A

B

第24题图

24.解:(1)∵平行四边形,13ABCD AB = ∴13==AB CD ，又 ∵,12CF DE CF ⊥=

∴5DF ==又∵F 为DE 中点

∴210DE DF == ……4′ (2)连接CE , ∵,CF DE F DE ⊥为中点 ∴,CD CE =∴12∠=∠

在CDM CEB ∆∆和中 ∵ CD CE CM CB DM BE =⎧⎪

=⎨⎪=⎩

∴CDM CEB ∆≅∆ ∴34∠=∠

又∵41222∠=∠+∠=∠ ∴322∠=∠ ∴3232DMF ∠=∠+∠=∠

∴123DMF ∠=

∠ 即1

3

DCM DMF ∠=∠ ……10′

3．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ， ABE ∠ 的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ． （1）若︒=∠30CBE ，3=

AG ，求DH 的长度；

（2）证明：DF AH BE +=．

24: ∵ABCD 是正方形

∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠CDA =90°

∵∠CBE =30°且BG 平分∠ABE ,

∴∠ABG =∠GBE =30° 1分 ∴∠AGB =∠GBE ∴∠ABG =∠AGB

∴AB =AG =3 2分 又∵在Rt △ABE 中，∠ABG =30° ∴AH =

3

3

AB =1 3分 又∵ABCD 是正方形 ∴AD =AB

∴DH =3—1 4分 （2）证明：将△ABH 绕着点B 顺时针旋转90° （辅助线加说明） 5分 ∵ABCD 是正方形

∴AD =BC ,∠ADC =∠C =90° ∴∠ADF =∠C ∵AF ∥BE ∴∠F =∠BEC ∴△ADF ≌△BCE

∴DF =CE

6分 又由旋转可知：AH =CM ,∠AHB =∠M ,∠BAH =∠BCM =90° ∵∠BCD =90°

∴∠BCD +∠BCM =180°

∴点E 、C 、M 在同一直线。 7分 ∴AH +DF =EC +CM =EM 又∵BG 平分∠ABE , ∴∠ABG =∠GBE 又∵∠ABH =∠CBM ∴∠GBE =∠CBM

∴∠GBE +∠CBE =∠CBM +∠CBE

即 ∠GBC =∠MBE 8分 又∵正方形ABCD 中，AD ∥BC ∴∠AHB =∠GBC ∴∠GBC =∠M

∴∠M =∠MBE 9分 ∴BE =EM =AH +DF

∴BE =AH +DF 10分

A B

C D E F G

H

第24题

M

6. 已知：如图，正方形ABCD中，点E是BA延长线上一点，连接DE，点F在DE上且DF=DC，DG⊥CF于G. DH平分∠ADE交CF于点H，连接BH.

（1）若DG=2，求DH的长；

（2）求证：BH+DH=2CH.

G

H

F

A C B

D E

24. （1）∵DG ⊥CF 且DF ＝CD

∴∠FDG=21

∠FDC.................1分

∵DH 平分∠ADE

∴∠FDH=21

∠ADF.................2分

∴∠HDG=∠FDG-∠FDH=21∠FDC-21

∠ADF =21（∠FDC-∠ADF ）=21

∠ADC=45°....3分

∴△DGH 为等腰直角三角形 ∵DG=2，

∴DH ＝22 .................5分

（2）过点C 作CM ⊥CH, 交HD 延长线于点M ∵∠1+∠DCH=∠2+∠DCH=900 ∴∠1=∠2

又△DGH 为等腰直角三角形 ∴△MCH 为等腰直角三角形 ∴MC=HC

又∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD ＝CB

∴△MCD ≌△HCB .................8分 ∴DM ＝BH

又∵△MCH 为等腰直角三角形 ∴DM+DH=2CH

∴BH+DH=2CH .................10分

7． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； (2)若BE=1，AB=3，求PE 的长．

H P G F E D C

B A