高一数学期末复习必修4第1章
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结第一章矩阵与行列式1.矩阵的定义：矩阵是由m∙n个数按照m行n列排列起来的一个数表。
2.矩阵的运算：(1)矩阵的加法：对应位置上的元素进行相加。
(2)矩阵的乘法：满足矩阵乘法规则的两个矩阵相乘，结果矩阵的元素等于第一个矩阵的相应行和第二个矩阵的相应列元素的乘积之和。
(3)数字与矩阵的乘法：数乘矩阵中的每一个元素。
3.矩阵的性质：(1)矩阵的加法满足交换律和结合律。
(2)矩阵的数乘满足结合律和分配律。
4.单位矩阵：n阶单位矩阵是一个n∙n的矩阵，主对角线上元素为1，其他元素为0。
5.方阵和对角阵：(1)方阵是行数和列数相等的矩阵。
(2)主对角线外的元素全为零的方阵是对角阵。
6.转置矩阵：矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到的新矩阵。
7.矩阵的乘积：(1)若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则可以计算矩阵A与矩阵B 的乘积，得到一个新的矩阵C，其中矩阵C的行数等于矩阵A的行数，列数等于矩阵B的列数。
(2)矩阵乘积的运算性质：结合律，分配律，但一般不满足交换律。
8.克拉默法则：若n元线性方程组的系数矩阵的行列式不等于0，则n元线性方程组有唯一解，且解可以用各个未知量的系数作为分子和系数矩阵的行列式作为通分式的分母来表示。
9.行列式的定义：(1)一阶行列式：行列式的元素就是该元素本身。
(2)二阶行列式：行列式元素按主对角线方向相乘，再减去次对角线方向的元素相乘。
(3)三阶行列式：每个元素与与其所在行行标和列标分别相同、不相同的元素构成的二阶行列式之差相乘，最后再按正负号相加。
(4)多阶行列式：利用拉普拉斯定理进行计算。
10.行列式的性质：(1)行列式的转置等于行列式本身。
(2)若行列式有两行或两列完全相同，则行列式的值等于零。
(3)互换行列式的两行（两列），行列式值不变。
(4)行列式的其中一行（列）的元素都乘以一个数k，等于用数k乘以此行列式的值。
(5)行列式中有两行（两列）元素对应成比例，则行列式的值等于零。
高一数学四第一章知识点
高一数学四第一章知识点高一数学第四章知识点数学作为一门科学，被广泛应用于各个领域中。
而高中数学作为基础部分，对于学生的数理思维培养和逻辑思维能力的提升有着重要的作用。
本章主要讲解高一数学第四章的知识点，包括概率与统计、几何运动和平面向量。
概率与统计概率与统计是数学中一门重要的应用学科，它研究随机事件的发生规律和大量数据的特征。
在高一数学中，我们首先学习了概率的基本概念和概率的计算方法。
概率的基本概念包括样本空间、随机事件和概率的定义等。
在计算概率时，我们使用了频率与概率的关系，即概率等于某一事件出现的次数除以总次数。
同时，我们还学习了加法原理和乘法原理，用于计算多个事件的概率。
几何运动几何运动是研究平面或空间中点、线、面的运动规律和几何关系的数学分支。
在高一数学中，我们主要学习了平面和空间中点的运动。
平面中点的运动可以分为平移、旋转和对称三种基本变换。
我们学习了这几种变换的性质和变换前后的关系。
同时，我们还学习了平面图形的平移、旋转和对称的关系，以及平面图形的对称性质和判定方法。
平面向量平面向量是指在平面上有大小和方向的量，它可以表示位置、速度、力等物理量。
在高一数学中，我们学习了平面向量的基本概念和运算法则。
平面向量的基本概念包括零向量、单位向量、相等向量、共线向量和坐标向量等。
我们学习了平面向量的加法、减法、数量积和向量的线性运算等运算法则。
同时，我们还学习了平面向量与平行四边形、三角形的关系，以及平面向量的表示方法和坐标表示。
概率与统计、几何运动和平面向量是高一数学第四章的重要知识点，它们的学习不仅有助于培养学生的数理思维能力，还能提高学生的实际应用能力。
概率与统计的应用广泛，可以用于解决随机事件的概率和大量数据的统计问题；几何运动可以帮助学生理解空间中物体的运动规律和几何关系；平面向量则是计算机图形学和物理学等领域的重要工具。
因此，学好这些知识点对于学生今后的学习和职业发展都具有重要的意义。
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高中数学必修四第一章知识点梳理一、角的概念的推广•任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置转到另一个位置所成的图形。
•正角、负角、零角按逆时针方向旋转成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所成的角叫做负角，一条射线没有作任何旋转所成的叫做零角。
可见，正确理解正角、负角和零角的概、关键是看射线旋转的方向是逆时针、顺时针还是没有转动。
•象限角、轴线角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，那么角的终边在第几象限（终边的端点除外），就说这个角是第几象限角。
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边落在坐标轴上的角叫做轴线角。
•终边相同角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成集合S={ 3 | 3 =a +k?360° ,k € Z},即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和。
二、弧度制•角度定义制1规定周角的—为一度的角，记做1 °,360这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，角度制为60进制。
•弧度制定义1 、长度等于半径的弧度所对的圆心角叫做1弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
1弧度记做1rad。
2、根据圆心角定理，对于任意一个圆心角a,它所对的弧长与半径的比与半径的大小无关，而是一个仅与角a有关的常数，故可以取为度量标准。
•弧度数一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角a所对的弧的长为I，那么，角a的弧度数的绝对值是|a | -。
ra的正负由角a的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。
三、任意角的三角函数•任意角的三角函数的定义设a是一个任意大小的角，a的终边上任意点P的坐标是（x,y），它与原点的距离r（r J X2~y20），那么1、比值-叫做a的正弦，记做sin ，即sin 上。
r r2、比值-叫做a 的余弦，记做COS ，即COS r3、比值—叫做a 的正切，记做tan ，即tanxx另外，我们把比值 一叫做a 的余切，记做COt ，即COtyrrr；把比值一叫做a 的余割，记做 CSC ，即CSC x yy对于一个确定的角 a ,上述的比值是唯一确定的， 它们都可以看成从一个角的集合到一个 比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。
数学必修四第一章知识点总结
数学必修四第一章知识点总结数学，作为一门科学，可以追溯到古代文明。
它是一门逻辑严谨且普遍适用的学科，不仅在科学研究中扮演重要角色，也在日常生活中发挥着巨大作用。
在高中阶段，学生们接触到了更加深入和抽象的数学概念和理论。
而数学必修四中的第一章，则是引导学生进入高中数学学习的重要一步。
本文将对数学必修四第一章的知识点进行总结和探讨，帮助读者更好理解和掌握这些内容。
一、集合与映射第一章的重点内容是集合与映射的概念与运算。
在集合的介绍中，我们学习到集合的概念、集合的表示方法、集合运算以及集合的性质。
而在映射的探讨中，我们则了解到映射的定义与表示、映射的性质与判定、一对一映射与满射的概念、映射的合成和反函数等。
集合是数学中一种基础的概念，它可以看作具有某种共同特征的元素的整体。
集合可以用罗列法、描述法来表示，还可以通过集合间的交、并、差等运算进行运算。
在运算的过程中，我们需要注意集合运算的运算律和性质，以确保我们得出的结果正确。
映射是集合之间的一种关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中。
映射的特点是对于每个元素，它都有唯一的对应元素。
我们可以通过箭头图和表示法来表示映射。
映射的性质有可逆性、一一性和满性，我们可以通过这些性质来判定一个映射的特殊类型。
二、不等式第一章的另一重要内容是不等式的运算与求解。
不等式是数学中一种常见的关系式，它描述了两个数量的大小关系。
我们学习到了一元线性不等式、一元二次不等式以及其它常见不等式的求解方法。
在解不等式的过程中，我们需要注意不等式的运算规则和性质。
对于一元线性不等式，我们可以利用增减法、取反法和绝对值法等方法来求解。
而对于一元二次不等式，我们需要将其化为一元二次方程的形式，再通过求解方程来得到不等式的解集。
此外，我们还学习到了不等式的集合表示法和图像表示法，这些表示方法可以帮助我们更好地理解和分析不等式的解集。
同时，我们还需要注意一些常见的不等式性质和技巧，如三角不等式和均值不等式等，这些性质可以帮助我们在求解复杂不等式时提供指引和思路。
高一数学必修四必背知识点
高一数学必修四必背知识点第一章二次函数与图像变换1. 顶点式和一般式的相互转换：二次函数的顶点式为：y = a(x - h)² + k二次函数的一般式为：y = ax² + bx + c2. 二次函数的图像变换：a) 向上、向下平移：顶点的纵坐标加减常数k，若k > 0向上平移，若k < 0向下平移。
b) 左右平移：顶点的横坐标加减常数h，若h > 0向左平移，若h < 0向右平移。
c) 上下翻折：纵坐标乘以-1。
d) 左右翻折：横坐标乘以-1。
3. 二次函数的最值与零点：a) 最值：当a > 0时，二次函数的最小值为k，无最大值；当a < 0时，二次函数的最大值为k，无最小值。
b) 零点：二次函数与x轴交点的横坐标。
第二章数列与数列的运算1. 等差数列的通项公式：a) 通项公式：an = a₁ + (n - 1)d，其中an为第n个数，a₁为首项，d为公差，n为项数。
b) 前n项和公式：Sn = (a₁ + an)n/2，其中Sn为前n项和。
2. 等比数列的通项公式：a) 通项公式：an = a₁q^(n - 1)，其中an为第n个数，a₁为首项，q为公比，n为项数。
b) 前n项和公式：Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn为前n项和。
3. 递推数列的通项公式：a) 递推公式：an = f(an₋₁, an₋₂, ...)，其中f为递推函数，an 为第n个数。
b) 已知初始项求通项公式：根据已知的前几项，通过观察求得递推函数。
第三章三角函数1. 基本三角函数：a) 正弦函数：y = sin(x)b) 余弦函数：y = cos(x)c) 正切函数：y = tan(x)d) 余切函数：y = cot(x)2. 三角函数的性质：a) 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都为2π；正切函数和余切函数的周期为π。
b) 奇偶性：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数和余切函数为偶函数。
必修4第一章知识点
必修4第一章知识点
⎧⎪
⎨⎪⎩
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为
第二象限角的集合为
第三象限角的集合为
第四象限角的集合为
终边在x 轴上的角的集合为
终边在y 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定
()*
n n
α
∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的
标号即为
n
α
终边所落的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 ．
6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ．
7、弧度制与角度制的换算公式：
8、若扇形的圆心角为()α
α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，
则 ．
9
、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y 的距离是(
)
0r r =
>，则 ．
10、三角函数在各象限的符号： ．
11、三角函数线：
12、同角三角函数的基本关系：
13、三角函数的诱导公式：
口诀：
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =
cos y x = tan y x =
图象
定义域 值域
最值
周期性
奇偶性
单调性
对称性
函
数
性 质。
必修四数学第一章知识点
必修四数学第一章知识点上学期间，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺精心整理的必修四数学第一章知识点，欢迎阅读与收藏。
正弦函数主词条：正弦函数。
格式：sin（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数。
函数图像：波形曲线。
值域：-1~1。
余弦函数主词条：余弦函数。
格式：cos（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数。
函数图像：波形曲线。
值域：-1~1。
正切函数主词条：正切函数。
格式：tan（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：-∞~∞。
余切函数主词条：余切函数。
格式：cot（θ）。
作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：-∞~∞。
正割函数主词条：正割函数。
格式：sec（θ）。
作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的.倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：≥1或≤-1。
余割函数主词条：余割函数。
格式：csc（θ）。
作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数。
函数图像：右图平面直角坐标系反映。
值域：≥1或≤-1。
学数学的用处第一，实际生活中数学学得好可以帮助你在工作上解决工程类或财务类的技术问题。
就大多数情况来看，不能解决技术问题的人不仅收入较差而且还要到基层去从事低等体力劳动，能解决技术问题的人就可以拿高工资在办公室当工程师或者财务人员。
高中学习数学必修4第一章节总结复习及典型例题
必修四第一章复习第一：任意角的三角函数一：角的概念：角的定义，角的三要素，角的分类〔正角、负角、零角和象限角〕，正确理解角，与角终边相同的角的集合|2k,kz，弧度制，弧度与角度的换算，弧长lr、扇形面积s1lr1r2，22二：任意角的三角函数定义：任意角的终边上任意取一点p的坐标是〔x，y〕，它与原点的距离是r x2y2(r>0)，那么角的正弦sina y、余弦cosa x、正切y，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数r rtana。
x三：同角三角函数的关系式与诱导公式：1.平方关系：sin2cos21sintan2.商数关系：cos3．诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。
正弦余弦正切第二、三角函数图象和性质根底知识:1、三角函数图像和性质y=sinxy-5-212-4-7-3-2-3-o 22-1 y=cosx y-5-3--212-7-2-3o -422-1y=tanx 37222534223372225422yxx3---22o322x解析式y=sinx y=cosx ytanx 定义域y y当x，当x y取最小值－1y值域和最值，y取最小值－1当x当x，y取最大值1无最值，y取最大值1周期性T2奇偶性奇函数在在2k2，2k2单调性kZ上是增函数在在T 2T偶函数奇函数2k，2k k Z上是在增函数k,k kZ 2k，2k k Z上是22减函数上为增函数2k2，2k32k Z上是减函数对称中心对称中心(k2,0)对称中心(k,0)kZ(k,0)k Z k Z或者对称性对称轴方程x k，对称轴方程k Z对称中心x k2，(k2,0)k Z k Z2、熟练求函数y Asin( x)的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等，会用五点法作yAsin(x)简图：五点分别为：、、、、。
3、图象的根本变换：相位变换：ysinx ysin(x)周期变换：y sin(x)y sin(x)振幅变换：y sin(x)y Asin(x)4、求函数y Asin(x)的解析式：即求A由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
高中数学必修四第一章重点知识(加习题)
高中数学必修4第一章三角函数知识点总结1、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．2、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法： 【例1】已知α为第二项限角，求2α角所在的象限。
解：∵α为第二项限角 ∴180********+⨯<<+⨯k k α90180245180+⨯<<+⨯k k α当0=k ,则90245+<<α∴2α角是第一象限角； 当1=k ，则 2702225<<α ∴ 2α角是第三象限角；因此，2α角是第一象限或第三象限角【例2】已知α为第四项限角，求2α角所在的象限。
如图：则2α是二、四象限角4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度（大约等于3.57）．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=．6、弧度制与角度制的换算公式：180=π，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 7、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．若在单位圆中，则有y =αsin ，x =αcos ，xy =αtan 。
8、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．9、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 10、同角三角函数的基本关系：()221sincos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=x x 22cos 1tan 1=+ sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭11、三角函数的诱导公式：诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4第一章知识点总结一、数列的定义与表示方法：1.数列的定义：由一列按照一定规律排列的有序数构成的集合称为数列。
2.数列的表示方法：可以通过用元素的代号表示每一项，如a₁,a₂,a₃,...,aₙ表示数列的前n项；或者使用通项公式表示数列的一般项。
二、数列的分类：1.根据数列的前后项之间的关系，可以将数列分为等差数列、等比数列和等差数列的和。
2.等差数列：若一个数列中任意两项之差都相等，则称该数列为等差数列。
等差数列的通项公式为aₙ=a₁+(n-1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。
3.等比数列：若一个数列中任意两项之比都相等，则称该数列为等比数列。
等比数列的通项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)，其中a₁为首项，q为公比，n为项数。
4.等差数列的和：等差数列的和是等差数列前n项和，记为Sₙ，可由通项公式推导出来。
三、常用的数列公式：1.前n项和公式：-等差数列的前n项和公式为Sₙ=(a₁+aₙ)*n/2-等比数列的前n项和公式为Sₙ=a₁*(1-q^n)/(1-q)，其中q≠12.末项公式：-等差数列的末项公式为aₙ=a₁+(n-1)d。
-等比数列的末项公式为aₙ=a₁*q^(n-1)。
四、数列的性质：1.数列的递增和递减性：若数列的相邻两项之差为正数，称该数列为递增数列；若相邻两项之差为负数，称该数列为递减数列。
2.数列的有界性：若数列的所有项都不小于一个常数M，称该数列是下有界的；若数列的所有项都不大于一个常数N，称该数列是上有界的。
3.数列的单调性：若数列的前后项之间的关系始终保持一致，称该数列是单调数列。
4.数列的极限：如果数列中的项无限增大或无限逼近一些常数，那么这个常数称为该数列的极限。
五、常见的数列应用问题：1.求等差数列的前n项和、末项或项数的方法。
2.求等比数列的前n项和、末项或项数的方法。
3.判断数列的递增性、递减性、有界性或单调性。
4.使用数列的公式解决实际问题，如等差电费问题、等比人口增长问题等。
高一数学必修4第一章 总结
第一章 三角函数1、任意角的定义：正角，负角，零角2、象限角的定义：第一象限角的集合为______________________; 终边在x 轴上的角的集合为______________________; 终边在坐标轴上的角的集合为 ; 终边在直线y x =上的角的集合为 ; 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法： 5、弧度制与角度制的换算公式：=π , =o1 ；=rad 16、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则__________=l ，________________________==S ．7、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则___sin =α，___cos =α，)0___(tan ≠=x α．8、特殊角的三角函数值：9、三角函数在各象限的符号： 10、同角三角函数的基本关系：（1）平方关系： ；变形 （2）商数关系： ；变形 11、三角函数的诱导公式：口诀： ;()()1sin 2_________k πα+=,_______)2cos(=+απk ,_______)2tan(=+απk ． ()()2sin _________πα+=，()cos _________πα+=，()tan ________πα+=． ()()3sin _________α-=，()cos ________α-=，()tan _________α-=．()()4sin __________πα-=，()cos __________πα-=，()tan _______πα-=．()5sin _________2πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos _____2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin ______2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos _______2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 12正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：13. 函数)0()sin(>++=A B x A y ϕω振幅________ ；周期______ ； 最大值 _______；最小值_________； 初相 ______；相位______； 对称轴____________________________；对称中心____________________________； 14、函数图象的变换)sin()sin()sin(sin )1(ϕωϕωϕ+=−→−+=−→−+=−→−=x A y x y x y x y )sin()sin()sin(sin )2(ϕωϕωω+=−→−+=−→−=−→−=x A y x y x y x ysin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 值域最值_____x =时，max ___y =；______x =时，min ___y =． _____x =时，max ___y =；______x =时，min ___y =．既无最大值也无最小值周期奇偶单调性在______________上是增函数； 在______________上是减函数． 在______________上是增函数；在______________上是减函数． 在__________上是增函数．对称性对称中心___________对称轴___________对称中心_________ 对称轴_________对称中心________ 无对称轴函 数 性 质简单计算化简1．与02002-终边相同的最小正角是______________；最大负角是_____________。
(推荐)高中数学必修4第一章知识点总结
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B，当1x x =时，取得最小值为miny ；当2x x =时，取得最大值为maxy ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 函数 性 质第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a aλλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a aλμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、baCBAa b C C -=A -AB =B()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
人教版高一数学必修4第一章章末复习课
第一章章末复习课核心归纳1．任意角与弧度制(1)与角α终边相同的角的集合为S ＝ ． (2)角度制与弧度制的互化：1°＝ rad,1 rad ＝( )°． (3)弧长公式：l ＝ ，扇形面积公式：S ＝ ． 2．任意角的三角函数设任意角α的终边上任意一点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)． 3．同角三角函数基本关系式： ； ． 4．诱导公式：记忆口诀： ． 5．三角函数的图象 (1)正弦曲线：(2)余弦曲线：(3)正切曲线：6．三角函数的性质要点一 任意角三角函数的定义【例1】 已知角α的终边经过点P (3m －9，m ＋2)． (1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值；(2)若cos α≤0，且sin α>0，求实数m 的取值范围．【训练1】 已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．要点二 同角三角函数基本关系式的应用 同角三角函数基本关系式的应用方法(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现α的正弦、余弦的转化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α弦切互化．(2)关系式的逆用与变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，(sin α＋cos α)2＝(sin α－cos α)2＋4sin αcos α．(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或含有sin 2α，cos 2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin 2α＋cos 2α＝1”代换后转化为“切”求解．【例2】 (1)已知tan α＝12，α∈(0，π2)，则sin α－cos α＝________；(2)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15．①求tan α的值；②把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．要点三 诱导公式的应用解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，清除条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．【例3】已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值；【训练2】 (1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________；(2)已知sin α是方程2x 2－x －1＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________．要点四 三角函数的图象1．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤：第一步：列表，由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x ，再由ωx ＋φ的值求出y 的值.第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象． 2．由图象或部分图象确定解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)中的参数(1)A ：由最大值、最小值来确定A ．(2)ω：通过求周期T 来确定ω．(3)φ：利用已知点列方程求出．【例4】下图所示是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的一部分，则其函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6【训练3】 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如右图所示，则ω，φ的值分别是________．要点五 三角函数图象的变换由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤【例5】 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【训练4】 将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2要点六 三角函数的性质 1．三角函数的两条性质(1)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|．(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋B 的形式．2．求三角函数值域(最值)的方法 (1)利用sin x ，cos x 的有界性．(2)从y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 特别提醒：利用换元法求三角函数的值域时，一定要注意三角函数自身的取值范围，否则会出现错误．3．求三角函数的单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx ＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x 的单调递增(减)区间对应解出x ，即得所求的单调递增(减)区间．方向1 三角函数的周期性和奇偶性【例6-1】 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数 B ．f (x )是周期为2的偶函数 C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数 D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数方向2 三角函数的单调性【例6-2】 已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]方向3 三角函数性质的综合应用【例6--3】 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋a ，a 为常数． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的单调递增区间； (3)若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．。
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高一数学期末复习——必修4第1章 三角函数
姓名 班级
【知能点一】角的概念的推广
(1)角的分类
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角； ②按终边位置不同分为象限角和轴线角
(2)终边相同的角：
{}|2,k k z ββαπ=+∈
【例1】在0°~360°范围内，与885°角终边相同的角为 ，它是第 象限角 【例2】若α是第二象限角，则2
α
是第 象限角
【知能点二】弧度制
(1)角度制：规定周角的
1360为1度角，记作0
1。
(2)弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角为1rad 。
(3)弧度数公式：l
r
α=，弧长公式：l r α=∙
(4)扇形面积公式：211
22
s l r r α=∙=∙ (5)角度度制与弧度制的换算： =︒180 rad
注意：角度制与弧度制不能混用，错例：002452,3603
k k π
α
πβ=+=
+∙ 【例3】在0~2π范围内，与
3
17π角终边相同的角为 ，它是第 象限角
【例4】已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积为 【知能点三】任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义及定义域：
{}sin (),sin (),tan (|,)2
y x y R R k k z r r x π
αααααααπ=
∈=∈=≠+∈ 【例5】已知角α终边经过点P(5，－12)，则αsin = ，αcos = ，αtan =
特殊角的三角函数值：
(1)平方关系：1cos sin
22
=+αα
(2)商数关系：ππ
ααααk +≠=
2
(cos sin tan ，)z k ∈
应用：○1已知其中一个三角函数值，求其余两个三角函数值（当α所在象限不确定时，要分情况讨论）
○2正、余弦的齐次分式可以通过分子、分母同除以同次余弦（正弦）化为切函数来处理。
【例5】已知5
3
sin -
=α，求αcos ，αtan 的值
【例6】已知2tan =θ，求（1）
θ
θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22
cos cos sin sin
+-
【例7】已知θsin ，θcos 是关于x 的方程02
=+-a ax x 的两个根（R ∈α）
(1)求a (2)求θ
θθθ22
cos sin cos sin
+
【知能点五】三角函数的诱导公式 公式一：ααπsin )2sin(=+k （z k ∈）
ααπcos )2cos(=+k （z k ∈）
ααπtan )2tan(=+k （z k ∈）
公式二：()απ+sin ＝αsin -
()απ+cos ＝αcos - ()απ+tan ＝αtan 公式三：ααsin )sin(-=-
ααcos )cos(=-
ααtan )tan(-=-
公式四：()απ-sin ＝αsin ()απ-cos ＝αcos - ()απ-tan ＝αtan -
记忆口诀：函数名不变，符号看象限 公式五：ααπ
cos )2
sin(
=-
ααπ
sin )2
cos(
=-
公式六：ααπ
cos )2
sin(
=+ ααπ
sin )2
cos(
-=+
记忆口诀：函数名改变，符号看象限
【例8】97cos
tan()sin 2146
ππ
π+-+的值为 【例9】已知5
4)540sin(-=+α
，则=-)270cos( α
【知能点六】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
【例10】函数
x y 3
sin 2=
的最小正周期为
【例11】函数12
1
sin 3+-=x y 的最小值是
，此时x ＝
【例12】若函数
sin(3)6
y a b x π
=-+
的最大值为
2
3，最小值为2
1
-
，则=a ，=b
【例13】填不等号：︒230sin
︒240s i n ；)87cos(π
-
)7
8c o s (π-
【例14】函数)3
21sin(π
+=x y 的单调增区间为
【例15】求函数3tan(2)4
y x π
=--的定义域，周期和单调区间
【例16】已知函数
()2sin(2)4
f x x π
=-
（1）求函数的定义域； （2）求函数的周期；
（3）求函数的单调区间； （4）求函数的最值及相应的x 值集合 （5）求函数
()f x 的对称轴与对称中心；
（6）若3[0,
]4
x π
∈，求()f x 的取值范围 （7）解不等式：2)(≥x f
（8）若()f x ϕ+为奇函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ；若
()f x ϕ+为偶函数，[0,2)ϕπ∈，求ϕ。
【知能点六】函数
)sin(ϕω+=x A y 的图象及三角函数模型的简单应用
1、简谐运动的有关概念
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示
注：在上表的三行中，找五个点时，首先确定第一行的数据，即先使ωx+φ=0，2
，π，
2，2π然后求
出x 的值。
3、函数y=sinx 的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤。