微积分中蕴涵的哲学意义

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２０ 年 ０７
第 ２ 期 Ｏ
微积分中蕴涵的哲学意义
吴保 来 李 耀 （ 河科 技学 院 河南 郑 州 ５ ０ ３） 黄 ０６
那 在历史上 ． 许多哲学家对数学非常感兴趣 ， 达 哥拉斯学派、 有 毕 柏 微 积 分 的发 明权 的争 论 为 人 们 所 熟 知 ， 么 这 种 争 论 在 排 除 了 时 间 的 拉 图、 笛卡儿 、 莱布尼茨 、 罗素 、 怀特海等 ， 甚至他们其 中有的人本身就 先 后 之 外 是 以什 么 作 为 发 明 的标 准 的 呢 ？ 以 独创 性 来 衡 量 是 否 恰 当 他 是 数 学 家 。为 什 么 他 们 会 对 数 学那 么 关 注 呢 ？数 学 和 哲 学 有 什 么 关 系 呢 ？牛 顿 和 莱 布 尼 茨 之 间 相 互 并 没 有 借 鉴 各 自 的成 果 ， 们 都 是 自己 独 立 思考 而 创 立 了微 积 分 。 首 创 权 的争 夺 不 仅 牵 涉 到 科 学 家 的 科 学 对 呢？ 牛 数 学 是 一 门研 究 空 间 形 式 和 数 量 关 系 的科 学 ， “ 以 被 看 作 是 荣 誉 而且 也 关 系 到 民族 自豪 感 的 。 顿 和 莱 布 尼 茨 的争 执 就 意 味 着 英 它 可 那么科学 的无 国界性 是否存在 呢？科学的世界 个处 理抽 象实 体 以及对这 些抽 象实 体作 抽象 运算 的推 理形 式体 国人 和德 国人 的争执 ， 主 义 难道 只 是一 个 梦想 吗 ？ 此建 立 一套 公 平 的规 则 就 显 的犹 为 必 要 因 系 。 ” ｉ 以最 初 的数 学 概 念 就 是 “ ” “ ” 概 念 。 Ｅ ｌ 所 形 和 数 的 他 人们在长期 的生产实践 和生活实践 中发 现事物之 间是存在着 区 了 。科 学 家 就 是参 加科 学 竞 赛 的参 与 者 ， 们 都 要 遵 守 这 些 公 正 的竞 后 别 的 。一 方 面 ， 们 的形 态 各 不 相 同 ； 一 方 面 ， 在 形 态 相 同 或 相 似 赛 规 则 ． 人 也 可 以通 过 这 些 规 则 来 评 价 这 些 科 学 家 。 怎 样 建 立 这 样 它 另 外 的事 物 其多 寡 也 不 一 样 。所 以经 过 实 践 和 思考 后 ， 们 的 头 脑 中产 生 的科 学 规 则 的工 作 正是 由科 学 哲 学 家 来 完 成 的 。 人 二 、 积 分 所 蕴 涵 的 辩 证 法 的 问题 微 了“ ” “ ” 形 和 数 的概 念 。 这两个数学 概念的产生 ， 志着人类认识 水平的一 次飞跃 ， 标 因为 微 积 分 的创 立 标 志 着 数 学 由 “ 量 数 学 ” 代 发 展 到 “ 量 数 学 ” 常 时 变 这 两 个 概 念 都 是抽 象 性很 强 的概 念 。 为 了计 数 ， 仅 要 有 可 以计 数 的 时 代 。这 次 转 变 具 有 重 大 的哲 学 意 义 。变 量 数学 中 的一 些 基 本 概 念 如 “ 不 对 象 ． 且 还 要 有 一 种 在 考察 对 象 时撇 开 对 象 的 其 它 一 切 特 性 而 仅 仅 变 量 、 数 、 限 、 分 、 分 、 分 法 和积 分 法 等从 本 质 上 看 是 辩 证 法 而 函 极 微 积 微 顾 及 到 数 目的 能 力 ” 这种 能 力 ， ｌ ２， 就是 人 类 抽 象 思 维 的能 力 。 在 数 学 中 的 运 用 。 如 恩 格 斯 所 指 出 的 ：数 学 中 的 转折 点 是笛 卡 儿 的 正 “ 哲 学 所 关 涉 的对 象不 是经 验 的对 象 而 是超 经 验 的 对 象 ， 宇 宙 万 变 数 。 了 变 数 ， 动 进 人 了 数 学 ， 了 变数 ， 证 法 进 人 了数 学 ， 了 如 有 运 有 辩 有 物的本原、 存在 、 体或本体 ， 括人在 内所有存在物的来源和归宿等 变数 ． 实 包 微分和积分也 就立刻成 为必要 的了。” ｌ ４ 辩证法在微积分 中体现 等 。 哲 学 也 关 注 一 些 比较 具 体 和 现 实 的 问题 ， 认 识 论 、 理 学 、 史 了 曲 线 形 和 直 线 形 、 限 和 有 限 、 如 伦 历 无 近似 和 准确 、 变 和 质 变 等 范 畴 的对 量 哲 学 、 会 政 治 哲 学 等 问 题 ， 过 这 些 问题 也 属 于 最 基 本 的 问题 ， 社 不 而越 立 统 一 。 它 使 得 局 部 与 整 体 ， 观 与宏 观 ， 程 与 状 态 ， 间 与 阶段 的 微 过 瞬 是 基 本 的 问 题 就 越 不 容 易 回 答 ， 以哲 学 同样 需要 理 性 思 维 的能 力 。 所 联系更加明确。 使我们既可以居高临下 ， 从整体角度考虑问题 ， 又可 以 从 古 希 腊 的 数 学 和 哲 学 的 起 源 中可 以 清 楚 地 看 到 两 者 之 间 的 关 析 理 人 微 ． 微 分 角 度 考 虑 问 题 。 从 系 在 此 之 后 两 千 多 年 的 漫 长 岁 月 中 ． 学 和 数 学 相 互 影 响 ， 互 促 哲 相 这 种 对 立统 一 的 规律 在微 积 分 中是 怎样 得 到体 现 的 呢 ？ 例 如 ， 近 进 ， 同 得 到 了 发 展 。 学 是 一 门 公 理 化 的 演 绎 体 系 ， 的 一 系列 原理 似 和 精 确 是 一 对 立统 一 的 关 系 ，二者 在 一 定 条 件 下 可 以 相 互 转 化 ， 共 数 它 这 都 可 以 从 最 初 的 几 个 不 证 自明 的 公 理 推 论 出 来 。而 哲 学 ， 如 许 多哲 就 是 微 积 分 中 通 过 求极 限 而 获得 精确 值 的 重要 方 法 。 晋 南 北 朝 时期 正 魏 学 家 认 为 的 那 样 ， 该 成 为 象 数 学 和 数 学 化 的 物 理 学 那 样 的严 密 的科 的我国的数学家刘徽提出割圆术作为计算 圆的周长 、 应 面积 以及 圆周率 学 体 系 ． 而 数 学 就 理 所 当 然 地 成 了 哲 学 构 造 体 系 的典 范 。用 数 学 的 的 基 础 。 其 方 法 是 “ 之 弥 细 ， 失 弥少 ， 之 又 割 ， 至 于 不 可 割 ， 因 割 所 割 以 则 演 绎 体 系 来 构 建 哲 学 体 系 一 直 是 西 方哲 学 家 的 一个 梦 想 。 与 圆 台体 而 无 所 失 矣 。 也 就 是 说 ： 徽 用 圆 内 接 正 多边 形 去逐 步 逼 近 ” 刘 哲 学 被 看 作 是 一 切 科 学 知 识 的 基 础 ． 对 具 体 科 学 的概 括 、 是 总结 ， 圆。祖冲之按刘徽割圆术从正六边形连续算到正 ２ ５ ６边形 时， 到 ４７ 得 并 指 导 各 个 科 学 。 数 学在 自然科 学 中 的 作 用 ， 像 哲 学 在 整 个 科 学 体 圆 周 率 竹 的 上 下 限 ：． １９ ６ ， ３１ １９ ７ 就 ３１ ５ ２ ＜ｒ ．４ ５ ２ 。圆 内 正多 边 形 的 面积 可 ４ ｒ ＜ 系中的作用一样—— 研究整个世 界 ， 得出普遍规律 。数学是总结 自然 以 近 似 地 看 作 是 圆 的 面 积 ， 正 多 边 形 的 边 为 ｎ条 时 ， 极 限 后 就 得 当 取 界普遍存在的空间形式和数量关系 ， 而指 导 自然科 学的发展 。 从 到 了精 确 的 值 ， 就 是 通 过 极 限法 ， 近 似 中认 识 了精 确 。 也 是 通 过 这 从 这 在数学发展 史上 ， “ 从 常量 数 学 ” 展 到 “ 量 数 学 ” 标 志 着 数 学 极限法使直线形和 曲线形等同起 来的例证 。 发 变 ， 圆内内接正多 边形 的边数 终 于 成 为 了 一 门 高 度 抽 象 的 科 学 。 微 积 分 的诞 生 则 是 数 学 发展 的 三 增 加 只是 量 的变 化 ． 是 不 断 的 增 加 直 至 无 限 的 过 程 ， 多 边 形 就 转 而 但 使 个 重 要 里 程 碑 之 一 。 同 样 ， 也 体 现 了 数 学 从 静 止 走 向 了运 动 和 变 化 化 成 圆 ． 就 是 质 的 变 化 。 以 ． 积 分 的 产 生 就 克 服 了 直 线与 曲线 和 它 这 所 微 的哲学思想。 圆 的 不 可 通 约 性 ． 而 使数 学 成 为辩 证法 的辅 助 工 具 和 表 现 方 式 。 从 正 如 前 面 所说 ， 学 是来 源 于生 产 实 践 和 生 活 实 践 。微 积 分 的创 数 三 、 积 分 为 解 决 芝 诺 悖 论 提 供 了 新 的 思维 角 度 。 微 立 也 是 为 了 解 决 十 七 世 纪 的科 学 问题 。 当 时 ， 四类 问 题 困扰 着数 学 有 在 古 希 腊 ， 利 亚 学 派 的 芝 诺 曾提 出 了 几 个 悖 论 ， 中 有 一 个 是 爱 其 家 和 科 学 家 。这 四类 问题 分 别 是 ：． Ｉ已知 物 体 运 动 的 路 程 与 时 间 的关 阿 基 里 斯 追 不 上 乌 龟 ， 主 要 揭 示 了运 动 中 包 含 的 矛 盾 ， 别 是 提 出 它 特 系 ， 物 体 在 任 意 时刻 的 速 度 和 加 速 度 ： 过来 ， 知 物 体 运 动 的加 速 了 无 穷 可 分 性 没 连 续 性 的 问题 。 个 悖论 的 关键 是 使用 了两 种 不 同 的 求 反 已 这 度 与 速度 ， 物 体 在 任 意 时 刻 的 速 度与 路 程 。２求 曲线 的切 线 问 题 。３ 时 间 测 度 ｎ原 来 ， 们 用来 测 量 时 间 的任 何 一 种 “ ” 是 依 靠 一 种 周 求 ． ． Ｉ 我 钟 都 求 函数 的 最 大 值 和 最 小 值 问 题 。４求 积 问 题 ． 曲线 的 弧 长 ． 线 围成 期 性 的 过 程 作 标 准 的 。 太 阳每 天 的 东 升 西 落 ， �
摘 要 ： 积 分 的 诞 生 是数 学 发展 的 三 个 重要 里程 碑 之 一 。微 积 分 首创 权 的 争夺 体 现 了一 个科 学哲 学 问题 。 微 积 分 中体 现 了 对 立 统 一 的规 微 律 。 微 积 分 的 极 限 概 念 有 助 于 解 决 芝诺 悖 论 。微 积分 使 哲 学找 到 了新 的 用 以描 述 和 论 证 世 界 的 工 具 ， 同时 也 使 哲 学 面 临 更 多新 的 问 题 。 关键词 ： 积分 ； 学哲学 ； 微 科 辩证 法