随机变量及其分布知识点汇总

随机变量及其分布知识点汇总

知识点一 离散型随机变量及其分布列

（一）、离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,,i n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，X 取每一个值

(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅的概率()i i P X x p ==，则称以下表格

为随机变量X 的概率分布列，简称X 的分布列. 离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：

（1）0,1,2,,i P i n =⋅⋅⋅≥ （2）121n p p p ++⋅⋅⋅+= 1．两点分布

如果随机变量X 的分布列为 则称X 服从两点分布，并称=P(X=1)p 为成功概率. 2．超几何分布

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{}X k =发生的概率为：

(),0,1,2,3,...,k n k

M N M

n

N

C C P X k k m C --=== 则随机变量X 的概率分布列如下：

{}*min ,,,,,,m M n n N M N n M N N =≤≤∈其中且。 注意：超几何分布的模型是不放回抽样

知识点二 条件概率与事件的独立性

（一）、条件概率

一般地，设A,B 为两个事件,且()0P A >,称()

(|)()

P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 0(|)1P B A ≤≤ 如果B 和C 互斥，那么[()|](|)(|)P B C A P B A P C A =+ （二）、相互独立事件

设A ，B 两个事件，如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响(即

()()()P AB P A P B =),则称事件A 与事件B 相互独立。

()()()A B P AB P A P B ⇔=即、相互独立

一般地，如果事件A 1,A 2,…,A n 两两相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212(...)()()...()n n P A A A P A P A P A =. 注意：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；

(2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. （三）、n 次独立重复试验

1．一般地，在相同条件下，重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 在n 次独立重复试验中，记i A 是“第i 次试验的结果”，显然，

1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注意: 独立重复试验模型满足以下三方面特征

第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的；

第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2．n 次独立重复试验的公式：

n A X A p n A k 一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为

()(1),0,1,2,...,.(1)k k n k k k n k n n P X k C p p C p q k n q p --==-===-其中，而称p 为成功

概率.

（四）、二项分布

一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则

()(1)0,1,2,,k k n k n P X k C p p k n -==-=⋅⋅⋅，

此时称随机变量X 服从二项分布，记作~(,)X B n p ，并称p 为成功概率.

知识点三 离散型随机变量的均值与方差

（一）、离散型随机变量的均值（数学期望）

一般地，随机变量X 的概率分布列为

则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++

为X 的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 1．若Y aX b =+，其中a ，b 为常数，则Y 也是变量

则()EY aE X b =+，即()()E aX b aE X b +=+ 2．一般地，如果随机变量X 服从两点分布，那么

()=10(1)E X p p p ⨯+⨯-=

即若X 服从两点分布，则()E X p = 3．若~(,)X B n p ，则()E X np =

（二）、离散型随机变量取值的方差和标准差

一般地,若离散型随机变量x 的概率分布列为

222

1122

(())(())(()).

.

n n

DX x E X p x E X p x E X p X

X

=-+-+⋅⋅⋅+-

则称为随机变量的方差

的标准差

1．若X服从两点分布，则()(1)

D X p p

=-

2．若~(,)

X B n p，则()(1)

D X np p

=-

3．2

()()

D aX b a D X

+=